皇朝經世文五編 · 卷十四 解釋
句股平三角解
詹貴楨
三角形有直角九十度者為句股過九十度者為鈍角不及九十度者為銳角無直角者作中垂線分為兩直角亦成兩句股故句股由三角而生三角亦由句股而成三角形三角相和等於一百八十度句股則有直角九十度餘二角相和亦等於九十度故直角與二角相加亦得一百八十度夫角之大小視所對之邊大小為準凡三角形有一角即有八線皆可以句股比例求之也三角形有六事三為邊三為角有兩角一邊能求餘三事法以對所知之角與對所求之角為比即如所知之邊與所求之邊為比也有二邊一角亦能求餘三事法以對所知之邊與對所求之邊為比即如所知之角與所求之角為比也此所知之角矛在所知兩邊之間也若角在所知兩邊之間法當以兩邊和為一率兩邊較為二率所知角之外角半弧之切線為三率求得四率為半較角之切線既得較數而角度亦得矣有三邊亦能求三角法以三角形求取中垂線分為兩直角形而三角自隨之而得矣惟句股形有一角一邊或兩邊能求餘三事何哉句股系取直角其直角九十度已知之雖曰有一角一邊或兩邊以直角合而論之實二角一邊或二邊一角也夫以廣為句修為股直角相對之邊為弦弦自乘等於句自乘加股自乘此句股正數之所以立法也句股中名目頗繁如和較和和較較等類二事相加謂之和二事相減謂之較如句加股句股和也股減句句股較也弦加句股和名曰弦和和即三事和弦加句股較名曰弦較和弦與句股和相較名曰弦和較弦與句股較相較名曰弦較較夫求句股其法不一而要不外比例相推如句自乘等於股弦和乘股弦較股自乘等於句弦和乘句弦較試列比例表如左凡句股諸題按表馭之庶覺簡易耳
句股比例表
股弦和
句
弦較和
三事和
句
股弦較
弦和較
弦較較
弦較和
弦和較
倍句股較
倍股
三事和
弦較較
倍股
倍句弦和
句弦和
股
弦較較
三事和
股
句弦較
弦和較
弦較和
弦較較
弦和較
倍股弦較
倍句
三事和
弦較和
倍句
倍股弦和
地圓解
莫有鑣
地圓如球乃行星之一也地極廣大視之似平坦然細考之知地圓而動繞日而運行其證不一試略言之如一大河約四五英里人低頭平望不見對岸之矮屋小舟祇見高山大樹因水面微高略成圓形能遮目力之所及其證一也如人立海邊高處遙望大船駛來初見桅頂漸近則見船帆更近則見船身若望大船開行船去稍遠則不見船身更遠則不見其桅愈遠則桅頂亦不見夫船身大者也桅帆小者也若海面是平則船之來也應先見其大者船之去也應先不見其小者今所見與此相反因海面微圓船身在底遠即不見桅帆在高遠猶可見也其證二也凡月蝕時見月面為黑影遮掩此乃地球之影也日與月相對而地適在其中日光照地地後有影射於月面故月蝕所謂月入闇虛其黑影正圓是知地球全體必是圓形其證三也人於平原無樹林巒礙目之處目力所極視天地周界成一平圓或登高塔或在海船升乃頂所見地面水面必有一定界線四周成大平圓若登高山則四周之界更大亦成平圓界線外不能見非蒙氣差遮隔乃地為圓體目之視線直行不能如弧線之彎故不見也其證四也如以平線[測](則)量地面相距一英里地面微彎八英寸距三英里約彎六英尺距五英里微彎一丈六英尺地體非圓曷能如是其證五也凡諸曜顯似繞地運行或成大圜或成小圜不等惟北辰居其所似乎屹然不動蓋地體圓而自動運行不息而南北不改其向故覺諸曜循環而北辰不動也其證六也如開河道各處河底深法不同相距若干遠須差若干尺各河工皆知之其證七也凡航海者自某處駛行或向西或向東俱能繞地一周而仍至原處如船由中國揚帆西去先過印度洋又向西南過好望角又向西行過大西洋及南亞美理駕海角又向西北過太平洋直向西行復至中國可見地為圓體其證八也有航海者船行近北極則不見南極星復駛船行近南極則不見北極星如蟻之在橙蒂不見橙底也是知地體為圓其證九也有此九證顯見地圓如球豈虛語哉查地球徑中數約七千九百二十六英里赤道徑大於二極徑約三百分之一知地非正球乃微扁然其差甚微雖目力極精者亦難辨也因作地圓解
西法代數本於中法四元說
姚模
從來理溯淵源必由乎舊術求敏捷必出以新數學自河洛圖書而後門類日增精義日出諸法繁多理甚精奧入者未深迷眩矣至 本朝西人以借根方法傳入中國借根方者即西國古代數也至近年而代數盛行其式雖繁而理尚明晰然西法代數即中法四元不過闡而明之集而補之故曰代數本於四元考四元之法中國失傳已久嗣後宋之秦九韶著數書九章元之朱漢卿著四元玉鑒李仁卿演測圓海鏡諸書至 國初皆無從可得後由高麗得之而四元遂復行當六朝時四元之法流入天竺國名東來術希臘有丟番都因其法而用字代記號而天竺後有精於丟氏者代未知之數用五色名即秦九韶之大衍術此為代數本於四元之始元時義大利之薄那洗學自亞拉伯以傳於其國至明嘉靖萬曆時鐵法利傳於日耳曼白勒得利傳於法蘭西立可傳於英吉利皆仿東來術易天地人物四字而各用方言字母代已知之數及未知之數此四元法流入各國之始迨牛端出始加以諸號並作諸捷簡法依其淺深難易之步數集為代數大成於是言算法者不復知代數之本於四元矣夫代數以字母相乘除而四元以天地人物相因剔代數相消之理即四元所謂如積相消齊同相消之理代數有公生一名公度數又名公約數大公生一名大公度數又名大公約數之名四元有天勾地股人弦物黃方之號上下升降左右進退互相變化用假象真加正消負同一理也況推演四元之法悉本方程試演代數之法亦本方程推代數之所以通於方程者以四元本於方程故也四元法立天元一立地元一代數術有一次二次悉根方程之一色二色而出方程對減一遍去一色而省一行猶四元相消一遍去一元而省一色亦猶代數相消一遍去一次而省一事由是觀之四元本於方程而代數本於四元可知矣蓋四元之法中國失傳而後流入天竺由天竺而傳入歐西經西人推闡增詳創為代數復行於中國習算者以四元簡而深為難以代數繁而淺為易遂謂四元不及代數中法不如西法是未知代數之淵源與四元之奧旨也
釋日月食
徐永銓
凡日月食皆由一體之影掩一體地為暗體由日照而得光其影於背日遠處可見日大於地地影盡處必成尖錐形所謂闇虛也地影兩旁更有一外虛影離地影愈遠外虛之影愈淡月繞地行相離不遠地影常足掩月使日月與地三者正在一直線必食月食恆在望其不屢食者黃白二道斜交月行近上近下不適相平否則每月必食食之分數不一有時或至一二點鐘之久凡日食月掩也食時月適居日地之中月後有影射地面人在影中不見日光故成日食日食恆在朔凡月食月入暗虛也食時地在日月之間地後有影遮蔽月面人不見其光是為月食月之受食深淺不同月面半入地影者為半食全入地影者為全食至地影與月面兩心相掩者則為食甚矣日半食時月影射地其處即見日食在影外者仍見日光至日食甚時兩心相掩或作金環露於月邊其時月距地較遠使月之軌道與地之軌道同在一平面內則日食恆見於朔月食恆見於望但二道斜交角約五度又四分之一其斜交處謂之交點日食初虧時始於日之西及復圓時終於日之東月食初虧時始於月之東及復圓時終於月之西按每年交食多則七次少則兩次約中計之則有四次即日食二次月食二次月食循環之序大率每十九年而復轉常人向視日月食第以為有咎不知實為天文之要學焉由月食可辨地為圓體並知日大於地地大於月與夫月之運動有時在地理家則於交食可以定地之經線在歷家亦可於交食考事之時宜
釋潮
徐永銓
海水於十二個半時長落二次曰潮潮乃關於日月之攝動也海潮則以月之攝力為尤甚天地萬物皆有自然攝力月當以其攝力攝水惟相距愈遠攝力愈微若距地加遠平方之比向月最近之水其受攝力較多於地球對面向日之水蓋日距地遠月距地近故也天學家牛端考月攝潮之力大於日之攝力四倍半月攝海水約高八英尺七寸日月合力祇攝水約高十一尺耳或問月之力攝正面之海水上升是矣而同時相對背面之水亦上升何也曰地與水皆受月之攝力引動正面之水受攝力較地體多故上升對面之水受攝力較地體少地去而水留故亦上升也所以地球兩面相對之水同時發漲而距漲潮相等之處兩面相對之水均為落潮潮之盛長也非在月過午線時乃在月過午線後凡物之靜而動動而靜不能立時改易水勢亦然月過午線時水應極長月過午線後水勢仍長不能立時即消也夫海潮受日月攝力而成浪頂恆隨日月之視行與日月之諸差相合日月二浪有時合而相加有時離而相減朔望為二潮之和兩弦為二潮之較故朔望時潮最大名曰高潮兩弦時潮最少名曰低潮當月在赤道之北月過午線在地平上時其潮大在地平下時其潮小若月在赤道之南潮之大小與此相反推是則月之向南也月在平地下時赤道對面之潮極大月在平地上時赤道對面之潮極小同一理也設令地面皆水則潮之長落應無異時所以各處地勢潮汐不齊者為島及兩大洲所滯耳欲解其理必按各處海岸沙灘及各河地勢論之自能明其所以然矣洋中諸小島潮長甚微惟海灣河口其潮之高常由十二尺以至五十尺高潮有時最高低潮有時最低皆在冬至後約十日即西曆正月元旦也其時因日距地最近其攝力必較壯於他時潮高者遇其時亦較盛於他時太平洋之潮盛於大西洋之潮而潮在大西洋熱帶內地界於阿非力加亞美利加者較少於在溫帶內之潮以海面較耳海面不寬潮多阻塞惟在大洋面由高至卑闊計九十度之處潮乃暢流無滯雲
釋電氣攝力
潘行讓
電氣攝力者何試以玻璃或琥珀一片用乾物或手擦熱令近輕微之物如線發羽芥等彼物為攝力所吸則互相黏連移時始落設以木箸一枝兩頭插以輕塞以絲線中懸使平復以琥珀或火漆擦熱近輕塞而引之箸即隨之轉運此皆電氣攝力也凡攝輕物之力即謂之電氣攝力物而有此攝力者曰有電氣質為他物之攝力所攝者曰受攝氣質物有擦之而不生攝力者曰無電氣質人發貓皮暗中擦之常見電光此皆有電之質也格物家傅蘭克論天下萬物俱含電氣流質蓋天然電氣各物均平惟電氣互相牽引故有攝力者其電氣較多無攝力者其電氣較寡試以傳電之物如五金一片近多電之物處則金片將物之餘電傳來斯時所受之電氣較其本質之電氣為盛此之謂正電氣正者有餘之謂也倘以傳電之金片置近寡電之物則金片之電氣為物所分斯時所有之電較其本質之電氣為寡此之謂負電氣負者不足之謂也按電氣流行由有餘傳至不足者其勢易然物有難傳電氣者有不傳電氣者凡電氣相引由正而引至負者為引電質其難傳電及不能傳電者為阻電質能引電之物五金為最不引電之物琥珀火漆松香玻璃磁器絲綢為最凡物以電氣架托之則電氣可儲如以玻璃為椅足或置五金一片於玻璃之上電氣亦可儲也如欲多取電氣流質以作別用須用電氣機器機器類繁以玻璃造者為大宗有擦電之物用以激電有引電之物用以儲電有托電之物使電氣不外散其機器皆今電氣運行者也傅蘭克謂人造之電氣與在天之雷電相同其理已經諸格物家討論深矣以雷電之形體與人所造之電氣相較不相徑庭夫電光燦爍閃出重霄流行無定而電光發響其象則同西人以風箏取電風箏上有鐵齒以線放於空中接手處系以絲線防引電也絲麻相接處墜一鐵匙電由風箏下達時見絲線蓬蓬立以手近之見有火星後以此法蓄之於器見其發光爆響與人所造之電氣無異焉雷擊極高之物遇傳電之物流行甚易遇阻電之物則勃發熱而成雷火以至焚擊爆裂殛及生靈此皆由電之流質而來也西人有避電之法於房屋最高處樹一鐵竿長數丈一端埋於地中或近水處一端高出於屋頂數尺上有盆齒以銀包其尖恐生鏽也雷電過之即隨鐵竿下入於地而人屋可保此名防雷鐵蓋雷性遇傳電之物暢行無礙若遇阻電之物遏其流行之勢乃轟然作聲奮擊為禍耳
氣學淺說
戴儒珍
有沖漠先生言於憑虛公子曰今試然一洋燈君以為何所有耶曰光以外莫之見也先生曰凡空管中自滿空氣至燈一然則空氣由熱氣上升而出而熱氣始散蓋熱氣輕於空氣也推之他管亦然試觀地球熱帶之風每吹於南北極各處從可知熱氣之能高出乎冷氣矣按蒙各耳飛哀熱氣球始於西曆一千八百年球為亞拿乃蒙各耳飛哀昆仲所創製其法以熱氣灌於球內務令充足待其熱與球口生火處之熱相等則熱氣自足以高升乎冷氣之上而球亦與焉高至極處約有七八百法尺公子曰何妨作一球以試之先生曰一球不足以明其理必作十球而後可公子曰是何言也先生曰不難知也吾今以杯水和胰皂少許再以筆管入水中吹之君所見者何耶公子曰第見皂水中出無數[泡](苞)由管端飛入空際耳何關乎熱氣球乎先生曰即此亦可明氣學之理焉泡之為吾所吹出者蓋口中之熱氣由管而入於水熱氣既輕於冷氣自由水中上升而成泡耳公子曰何泡之不能極高耶先生曰口中吹出之氣不甚熱一遇空氣即復冷故五色皂泡遂為點水而散入纖塵矣公子曰而今而後吾無惑乎皂泡亦關於氣學焉先生曰此亦格物之一道也然猶有可試驗者如以一盆及一深玻璃杯盆內置水僅半復以引火紙一頭然著放於杯內急將杯倒置於盆火即熄而盆中之水漲入杯內因氣中養氣一經焚盡水無不升於杯中公子曰此何故耶先生曰杯中有火則所余之氣均為淡氣初固熱而漲繼即冷而少終且成為空故水受空氣壓力即泛以補其缺公子曰吾深喜此考驗之法請畢其說先生曰試往庖人處取一卵燒熟去其再取一玻璃瓶用塞塞之放於近火處烘之待其瓶熱極急易此卵以塞之然後將此瓶離火君又何所見耶公子曰吾見此卵漸入瓶中矣先生曰其故因瓶為火烘熱則瓶中本有之空氣皆為熱氣所迫而出及至離火已遠則熱氣自減而漸成空瓶中既空則外之空氣欲入而適有此卵以阻之卵雖阻而氣欲入卵能不為氣壓令入瓶乎
釋熱
長庚
熱之為物也無聲無臭而其用至廣有從日而來者有由火而生者有因二物擦磨而出者其從日而來者與光直來歷程萬萬里由火而生者其熱有光與從日來者無異地受太陽照臨熱氣甚盛地心積熱如大爐焉地震即地中烈火所致烈火發於火焰山如地心之火爐煙故常地中火出至人身之熱則無光人之覺暖也由體內自有之熱非衣足以暖體也衣以蔽體使內熱不速外散耳二物擦磨而生熱亦有無光者如以兩滑棍相磨祇覺其熱而已如木機器兩端擦磨熱甚則生火二木棍互相摩擊亦有火生熱能四散如執一鐵條置彼端在火俄而此端覺熱因傳熱速也如二物相連熱能由此達彼設有二物一熱一冷互相依近少頃二物冷熱等矣熱之傳也視各物質以為遲速鐵傳熱最易試持鐵條置一端於火熱即傳至彼端若為木條傳熱必不若此之易也蓋木難傳熱彼端然火此端尚不覺其熱耳熱能令物漲大如火輪車之鐵軌兩軌相接處必留空隙防其因熱鐵漲也車輪安置鐵圈必先炙其鐵鐵熱則漲安之甚易然後沃以水鐵圈縮緊輪自堅固即此理也熱能發舒天氣氣熱則漲漲則輕輕則上升而他處之氣較冷較重即向此處吹聚以補其空缺所以天氣時常鼓盪也設嚴扃一暗室僅開一隙放光射入窺光線中見天氣飛騰或上或下是知氣遇熱則升他處之氣吹來此氣之流行無滯也風之起也職是故耳海涯晚風之涼爽也因當晝地受日熱熱甚則氣升清氣吹來故成海風也熱氣恆輕於冷氣以氣遇熱則漲而氣之質並無所加祗覺愈漲愈稀愈稀愈輕氣遇冷則縮而氣之質並無所減祇覺愈縮愈稠愈稠愈重也水與流質遇熱則漲而薄熱甚流質即化氣如水熱則化為蒸汽實質遇熱亦漲惟不若氣與水之甚耳熱之大者由日而生使世界無此熱氣則庶物不育草木不生熱之為用大矣哉
以方出圓解
葉爾昌
方者直線也圓者弧線也周髀所謂以方出圓者以方之形度圓之分圓數即從方數而出與前說圓出於方之理合也蓋方象地圓象天方之體偶圓之體奇方象乎地地易測也圓象乎天天難測也然推天者以地准之即以易測而測難測也方之象偶偶有盡也圓之象奇奇無盡也然求奇者以偶定之即以有盡而盡無盡也故曰以方出圓也管子能大圓者體乎大方本此如正圓求積以徑自乘為正方形而以方率圓率比例求之即得又於圓內正方畫為句股先得四邊形復求之得八邊形如是屢求至億萬邊與圓外切湊合遂化圓周為直線皆以方出圓之理也又如繪圖家環矩為圓矩方器也以矩之一端為樞以一端旋轉為圓此亦圓出於方之證也蓋萬物之象萬象之數皆不離方圓孟子曰規矩方圓之至考工記曰圓者中規方者中矩淮南子云左手畫方右手畫圓方圓皆以對待言之實則以方出圓圓之體非方不能定圓之積非方不能求耳
光氣考
葉爾昌
物有其輕重不可測而附身方顯其大力者四光熱電氣及攝力是也熱及電氣攝力釋之於前按化學光與熱有相因之理試再言之光之變化可於照相見之更有時一物而具數色者如一片之光紅朱黃綠藍青紫各色燦呈紅居首而[紫](且)居末化物之光多生紫色腐魚及死畜臭爛者其質恆化而為光即朽光常發所謂磷也熱氣之用主燠能使流質若氣質不凝實為定質倘人行近火或日光射照手上溫暖自生此即熱氣之證按光之定位紫色為殿受熱最微而冠以紅色受熱最重熱氣隨在可見然亦有不可以求者熱由內化不得而知此所謂熱氣之隱蘊者也譬少放熱水於冰上則水入冰中熱不敵寒熱氣俄散不見水未結為冰而熱先散冰未融於水而熱已消消則不可見其熱所消之熱必職所融之冰然水少冰多旋融則冰旋結矣中蘊之熱亦能驗知如錘一鐵久之即見其發紅摩一干木久之即見其生暖是知鐵與木皆蘊內熱也物去其熱當成定質如水銀去其熱氣即變成實質如銀此事有人航海近北極見之北極熱最微者也熱加於冰則化為水是謂融化熱加於水則化為氣是謂氣化及熱加於鐵則化為流質是亦融化若熱至十分有加無已鐵質或亦氣化石灰參水熱氣暴發放火焰能傷人此何故也蓋水蘊內熱一遇石灰熱即外發發則水之流質成定質所謂定質者以內少熱耳凡質皆有內熱但有多寡之不同火酒內含熱氣水亦如之水酒相和其熱氣較原酒原水為盛其故何也蓋兩質攙勻則變雜質雜質之熱本不如凡質原熱之多今既兩熱相和所以覺其然耳