發現孩子 · 第18章 算術能力的培養

與其他人不同的是，我認為算術非常難懂，過多地期望這麼小的孩子掌握它是件很愚蠢的事情。 對於我們來說，孩子能夠數到100，並進行相關的練習似乎很重要。因為這種練習將最基本的數字與簡單的計算結合在一起，尤其由於算術運用的是一種推理方法而不是一種基於機械記憶的體系。二十多年以來，我們的教學一直局限於這些練習。 總體上說，與其他人不同的是，我認為算術非常難懂，過多地期望這麼小的孩子掌握它是件很愚蠢的事情。 實際上，經驗告訴我們，與他們熱衷的事情比起來孩子對算術幾乎沒有什麼興趣，譬如書面語言，孩子們掌握它之後會產生令人吃驚的效果。孩子對於語言學習的濃厚興趣顯然證實了他們對難懂和枯燥的算術普遍存在偏見。 與此同時，我為小學裡年齡稍大的孩子準備了一些通過幾何形狀代表數字的教具，以及能夠讓孩子進行不同數字組合的可移動物體。通過這些教具和物體，我們很快進入到設計好的教學體系里，而對於年齡稍小的孩子也產生了同樣令人驚奇的效果。我們將這些非常好的教具稱之為「教學珠子」，通過小棍子或小棒子上的彩色玻璃珠從1～10的自然排列來代表數字。許多這樣的教學珠子將數字組合成組。因此，當代表10的教學珠子重複擺放十次，它就組成了一個十排的正方形，裡面有一百個珠子。最後，十個這樣的正方形彼此疊放在一起，搭配起來後就形成一個立方體。由10組成的立方體裡包含這1000個珠子。應用我們開發的兒童教育方法的文法學校，詳細描述了這一教學素材。 現在，由於操作和掌握起來非常容易，竟然有些四歲大的孩子被這些奇妙的教具所吸引。我們驚奇地發現，他們開始使用這些教具，與他們看到的年齡稍大一些孩子的做法如出一轍。結果，孩子們對於數字遊戲的熱情大大地增加了，尤其是通過這十進制，算術真正地變成了一種他們喜愛的練習。 4歲大的孩子將數字組成到1000。以後，當孩子5～6歲時，就會有非常明顯的進步，那就是現在6歲的孩子已經能夠完成幾千以內數字的加減乘除四種運算。 我們終於開發出這一教程，孩子們能夠求出兩位、三位，甚至是四位數字的平方根。甚至孩子們能夠通過組合數字棍的方法，解決簡單的代數問題。 孩子們在做這些練習時得到的快樂以及對小几何體的理解能力，促使我將這些教具做的就像福祿貝爾著名「禮物」一樣：立方體和稜柱體排列成一個正方形盒子。我並沒有將所有立方體和積木都做成一個形狀，而是用木頭做了一個巨大的立方體，每條邊長大約有四英寸，將它分成不對稱的兩部分，然後再分成不對稱的三部分。當這個巨大的立方體通過這種方式被切割後，巨大的立方體變成了其他小立方體和不同形狀的矩形稜柱。這一教具代表的是代數方程式，即立方體的二項式和三項式。相同十進制數值的實體有著相同的顏色，每組不同的實體顏色也不相同。 然後基於此，當孩子打開盒子時看到的是單一物體，一個塗有很多顏色的立方體，它的單獨部分排列起來，組成一個單獨的組。譬如在三項式里，有三個不同尺寸和顏色的立方體；相同數值的稜柱體有相同顏色的正方形表面，例如綠色；三個其他稜柱體也有一個正方形表面，但是形狀不同，比如說塗上黃色；三個其他稜柱體有正方形表面，但是不同於其他兩組稜柱體，比如說塗上藍色。最後，所有面都呈矩形表面的六個稜柱體被塗上黑色。上面提到的三組稜柱體的矩形表面也是黑色的。這些小小的色彩斑斕的物體讓孩子非常著迷。首先，他一定會根據它們的顏色給它們分組，接下來，用各種方式將它們排列起來，杜撰一些小故事。故事裡三個立方體代表三個國王，每個國王都有一個隨從，並且還有兩個和這個隨從地位相當的人物，警衛穿著黑色衣服。通過使用這一教具，取得了很好的效果。這些效果之一就體現在，假如下面的代數式： a 3 ＋3a 2 b＋3a 2 c＋b 3 ＋3b 2 c＋c 3 ＋3c 2 a＋3c 2 b＋6abc 最後，立方體依照一定的次序被放回到盒子裡，這樣就又重新變成一個巨大的色彩斑斕的立方體(a＋b＋c) 3 。 當孩子們玩這一教具時，對這些物體的排列會產生一個視覺印象，這樣便能夠記住他們的數量和排列規律。 從這些物體獲得的感官印象為大腦提供了素材，沒有什麼物體能夠讓四歲大的孩子如此著迷。以後，通過稱呼這些國王a、b、c，並根據它們各自的國王寫下每個物體的名字，五六歲大的孩子就能夠在他們的大腦里儲存這個三項式立方體的代數方程式，而不用再看這個教具，因為他們通過視覺記憶記住了不同物體的排列。這一練習賦予孩子們一些在實踐中能夠獲得的有關可能性的概念。 所有這種通過幫助記憶的卡片和能產生很好效果的其他教具，進行的算術教學和代數原理教學都似乎非常神奇。結果表明算術教學應該徹底改頭換面，應該以建立在對具體事物認識上的感官認知作為開始。 顯然，當這些接受過感官認知訓練的6歲大的孩子入讀普通學校，而那裡的其他孩子都從數1、2、3開始時，他們會發現自己與周圍的環境格格不入。如果想要讓他們在學業上繼續大踏步前進的話，那麼這些小學的教育體制必須進行根本的變革。 在這個體系中，孩子要不停地用他的雙手移動物體並積極地鍛煉他的感官，並且該教育體系還考慮到了孩子對數學的特殊天賦。當離開這一教具時，孩子們很容易就會想出運算結果。這樣一來，孩子們不但完成了一項抽象的腦力運算，而且促使他們自然而然和自發的傾向於使用心算。 譬如，一個英國孩子與他的媽媽一起走下倫敦的有軌電車，這時他說道：「如果車上的人都吐痰的話，那麼總共要有34英鎊的罰金。」這個孩子注意到一個警示，上面寫著任何在有軌電車裡吐痰的人都要被處以一定數額的罰款。於是，他開始花時間通過心算的方法計算出罰金的總數，並把它換算成英鎊。