發現孩子 · 第17章 數字與算術
很多幼兒在計數時都是通過背誦記憶中的數字順序，但一旦遇到與這些數字相對應的數量時，他們就糊塗了。
在計數教學中使用的第一個材料是一套由10根小木棒組成的教具，這套教具已經在前面的感官教育中使用過了，用來教給兒童關於長度的概念。這套小木棒的長度從1到10逐個遞增。最短的是4英寸，第二個是8英寸，以此類推，直到第十個是40英寸。但是，這些用來計數的小木棒並不是單一顏色的，這與用來練習目測長度的小木棒有所不同。在這套教具中，木棒以4英寸為一個單位被交替漆成紅色和藍色，這樣就可以數出一根木棒包含幾個4英寸。如果第一個木棒代表1，其餘木棒相繼代表2、3、4、5、6、7、8、9、10。這套教具的優勢在於，它既代表了一個整體，又包含可以計數的單位，而這些單位的數量正好是它所代表的數字。例如，第5根木棒，從整體上代表著數字5，但是它同時包含了5個以不同顏色區分的單位。這就克服了將一個一個的單位匯總計算的困難。如果我們使用任何形狀的小物體進行計數，例如用同樣大小的小立方體，兒童就無法理解為什麼老師將第一個立方體放下時說「1」，把第二個立方體放下時說「2」，並以此類推。幼兒習慣把每一個新加入的物體都數成1。他會說：「1、1、1、1、1」，而不是「1、2、3、4、5」。
一個團體會隨著每一個新成員的加入而不斷擴大，理解這一概念對於3歲半到4歲的兒童學習計數是一個主要的障礙。一些獨立的單位組合在一起，形成一個整體，這超出了兒童的理解能力。實際上，很多幼兒在計數時都是通過背誦記憶中的數字順序，但一旦遇到與這些數字相對應的數量時，他們就糊塗了。計數他的手指、手和腳對兒童來說是比較具體的任務，因為他總是能夠找到由同樣的物體組成的確定的數量。他知道他有兩隻手和兩隻腳。
但是，他很少能夠確定無疑地數出一隻手上的手指，即使當他正確地數出手指後，他也很難明白自己為什麼要對著一隻手上5個同樣的手指數「1、2、3、4、5」。這種概念對於一個更為成熟的頭腦來說根本不成問題，但是對於幼兒來說卻是學習計數時的一大障礙。我們需要對兒童提供明確的幫助，才能使他們的頭腦獲得最大限度的準確性和具體性。當我們把計數用的木棒提供給孩子們時，我們看到即使最小的孩子也對計數產生了強烈的興趣。
這些木棒對應著不同的數字，其長度逐級增加。它們不僅提供了數字的絕對概念，同時也提供了相對概念。兒童已經在感官練習中對它們的比例進行了研究。在這裡，他們要從數學的角度對這些木棒進行判斷，這便是算術的開端。兒童可以通過這些木棒進行數字的組合與對比。通過把一個單位構成的木棒擺放在兩個單位構成的木棒旁邊，就形成了三個單位的長度。把三個單位長的木棒與兩個單位長的木棒連接在一起，就構成了5個單位長的木棒。
然而，最為有趣的練習是根據木棒的長度按順序把它們排列在一起，就像在感官練習中所做的那樣。這個練習的結果是，當木棒像風琴的管子一樣被排列在一起時，它們的紅色和藍色就會組成美麗的橫條圖案。把最短的包含1個單位的木棒擺放在包含9個單位的木棒頂端，把第二個放在第八個頂端，把第三個放在第七個頂端，第四個放在第六個頂端，它們全部等於包含10個單位的最長的木棒。這種數量的移動和組合難道不是數學運算的開端嗎？與此同時，用這種方式移動物品也是一種令人愉快的遊戲，兒童的頭腦無需費力地去思考由不同的單位組成一個整體來代表一個數字的概念，而是可以把新鮮的能量用於更為高級的練習，也就是對數量進行判斷和求和。這個障礙一旦被消除，兒童的全部精神能量便得以發揮，他便會在學習中取得與他的年齡相符的進步。當兒童開始學習讀寫時，他們很容易掌握代表數字的符號。我們在給孩子們提供砂紙字母的同時，也給他們提供了砂紙數字。通過用手指描摹這些數字，他們能夠學會寫這些數字，還能認識它們的名字。當他們學會了一張卡片後，這張卡片便被放在相應數量的木棒上。這個將書面符號與相應數量進行配對的練習，類似於將一張卡片放在它所代表的物品上的練習。當這個練習被成功地完成後，兒童便為今後漫長的數學學習打下了基礎。木棒的總和可以被寫下來，與數字相對應。5歲的兒童有時會在筆記本中寫滿他們的算術題。
儘管我們將木棒教具作為兒童算術啟蒙的主要幫助，但同時我們還使用了另外兩種物品。其中之一幫助兒童計數獨立的單位和理解數組的概念，同時它讓兒童認識下列連續的符號：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。這個被我們稱為「紡錘托盤」的教具有著不同的格子，每個上面按照順序標明1～10的數字。兒童在這些格子裡將不同物品所對應的數字進行分組，從而構成單位，這些物品用紡錘形的長棒代表。
另一個教具我們在前面已經提到，它是由一套卡片構成，這些卡片放在一個箱子裡，同時裡面還有一些物品（彩色書籤）。每張卡片上面分別有1～10的編號，它們的順序被打亂，兒童必須首先將它們排成一排，通過這種方式表示他理解數字的順序，並認識代表這些數字的符號。然後，他要在每個數字下面擺放相應數量的彩色書籤，把它們兩兩一組放在一起，也就是一對書籤放在另一對書籤上面。這樣，奇數和偶數的區別便自動顯現出來。這就是我們認為讓兒童為計數和算術運算打好基礎所必需的全部教具。
接下來我們要對這些練習進行更加詳細的描述，以便為教師們提供實際幫助。木棒根據各自的長度進行排列。進行這項練習的兒童必須從A側開始計數木棒紅色和藍色的部分。
然後，他根據每個木棒所包含的單位數量，從最短到最長為每個木棒命名，並從B側觸摸這些木棒，它們在這一側構成了階梯狀。這個階梯的編號方式與最長的木棒所包含的單位編號方式相同：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。這樣，兒童就可以驗證一個事實，即三角形的每個邊都對應著數字10，隨後他會自發地多次重複這個練習，因為他發現這很有趣。
我們將識別長短的感官練習與計數結合在一起。木棒被放在地上，或打亂順序放在桌子上。老師拿起其中一根，不是簡單地讓孩子看著它，而是讓他計數它的節數，例如，5。然後她對孩子說：「把下一個最長的木棒給我。」孩子會通過目測找出木棒，老師會讓他把兩個木棒放在一起，計數它們的節數，從而驗證他找得是否正確。這樣的練習可以多次重複，兒童可以通過這些練習學會給每一級階梯賦予一個特定的名字。現在，他把它們稱作：「第1根」、「第2根」、「第3根」、「第4根」等。最後，為了簡便起見，他可能會一邊計數它們，一邊稱呼它們：「1」、「2」、「3」、「4」等。
由圖形符號代表的數字。此時，如果兒童已經學會寫字，我們可以給他用砂紙做成的數字，並且同樣按照前面提到的三個不同階段進行：「這是1」、「這是2」、「給我1」、「給我2」、「這個數字是什麼？」孩子必須用手指描摹這些數字，就像描摹字母一樣。
數字練習：使書面符號與數量相關聯。我為這些數字製作了兩個容器。每個容器都包括一個水平的托盤，每個托盤都被分隔成5個小格子，裡面可以放置物品。第二個托盤被豎直放置，與第一個托盤形成直角，它也被垂直線分成5個部分。在每個部分里都有一個數字。在第一個托盤裡是0、1、2、3、4，第二個托盤裡是5、6、7、8、9。
這個練習很簡單。它要求在水平托盤裡放置與垂直托盤裡的數字相對應數量的物品。為了使練習富於變化，我們給孩子們提供了不同的小物品。我使用特製的小紡錘、福祿培爾的立方體，以及玩國際跳棋所使用的圓片。一組物品被放在兒童面前，他必須把它們放在相應的位置，例如將一個圓片放在數字1旁邊，將兩個圓片放在數字2旁邊，以此類推。當孩子完成了他的任務，並認為自己成功了時，他會叫老師來進行檢查。
零的練習。我們等待兒童指著標有0的格子問：「我應該把什麼放在這兒？」我們就會回答：「什麼也不放，零就是什麼也沒有。」
但這還不夠，我們必須讓兒童感覺到零就是什麼都沒有。為了實現這個目的，我們設計了一些非常有趣的練習。我坐在他們中間，他們坐在小椅子上圍在我身邊，我轉向一個已經進行過數字練習的孩子說：「來，親愛的，到我這裡來零次。」孩子幾乎都會跑到我這裡，再回到他的座位上。「你到我這裡來了1次，而我讓你到這裡來零次。」「但是我該怎麼做呢？」「什麼也不做，因為零就是什麼都沒有。」「但是我怎麼才能什麼也不做呢？」「就是不做任何事。你必須坐著不動。你不能動。你一次也不要到我這裡來，『零次』的意思就是一次也沒有。」
我們重複這個練習。「你，親愛的，給我零個飛吻。」孩子激動地微笑著，一動也不動。「你聽明白了嗎？」我用近乎生氣的語氣重複道。「給我零個吻，零個吻。」我停下來，降低聲音，仿佛對他們的笑聲感到生氣，然後用嚴肅甚至威脅的口氣對他們中的一個說：「你，到這裡來零次！我告訴你，到這裡來零次。聽明白了嗎？我在對你說話。到這裡來零次！」他沒有動。笑聲更響亮了，這笑聲是由我從懇求到威脅的態度轉變所引起的。「那麼，」我悲傷地嘆口氣說，「你為什麼不來？你為什麼不來？」然後，所有的孩子都會笑得前仰後合，並齊聲喊道：「零就是什麼都沒有！零就是什麼都沒有！」「啊，是這樣嗎？」我平靜地微笑著問，「那麼你們所有人都到我這裡來1次！」他們立刻一擁而上。
後來，在教孩子們寫數字的時候、在教零的時候，我們會說：「零看起來像字母O。它是O嗎？不是，它不是零。零是什麼都沒有。」
數字記憶練習。當兒童能夠認識書面數字並了解它們的含義，我就會讓他們進行下面的練習。
我製作了一些卡片，每張卡片上印著或寫著從0～9的數字。我經常使用從大的日曆上剪下來的數字。這些數字最好是紅色的，我會把數字周圍的任何文字都剪掉。我把這些卡片摺疊起來，放入一個箱子，讓孩子們從中抽取。一個孩子從箱子中抽出一張卡片，把它拿到自己的座位上，悄悄地看一眼，再把它折上，不把他看到的數字告訴任何人。然後，我讓那些年齡較大、能夠認識數字的孩子們一個一個地，或是一組一組地來到老師跟前的一張大桌子前，桌子上堆放著各種物品。這些物品可以是立方體、福祿培爾積木，或是我為重量感覺練習而設計的小道具。每個孩子都要按照他卡片上的數字取走相應數量的物品。那張寫有數字的卡片此時仍然折起來留在孩子的座位上。這樣，孩子不僅要在排隊走到桌子前的過程中記住他的數字，還要在他取走物品並一個一個地計數時記住這個數字。此時老師可以對一個孩子的記憶力進行有趣的觀察。
當孩子取走他的物品後，他要把它們兩兩一組放在他的桌子上，如果這個數字是奇數，他就把多出來的一個放在最後一對物品下方的中央。9個數字的排列如下圖所示：
x代表數字。孩子必須把折起的紙片放在標有。的地方。當他完成這項任務後，就等待老師來檢查他的工作。老師來到他身邊，打開折起的紙片，看一看上面的數字，如果孩子沒犯任何錯誤，就給予表揚。
在這個遊戲一開始的時候，兒童常犯的一個錯誤是取走過多的物品。這並不是因為他沒有記住他的數字，而是因為他想擁有更多。這是自然狀態下、未受過教育的人類的本能。老師會試著向孩子們解釋，取走那麼多東西是沒有用的，這個遊戲的有趣之處就在於按照他們紙片上的數字取走相同數量的物品。
他們會逐漸明白這個概念，但不像我們想像的那麼容易。一個孩子必須努力地進行自我克制，才能按照規定的數量取走物品。例如，從面前堆積如山的物品中只取走兩個，而同時看到他的小夥伴們取走了更多。因此，我更多地把這個練習視為一個意志力練習，而不是計數練習。
一個孩子如果抽到了數字零，他就必須坐著不動，即使他看到同伴們紛紛站起來到桌子前面去取東西，而他卻不能。抽到零的孩子常常是一個很會數數的孩子，他非常希望能夠取來很多物品，把它們按順序擺放在桌子上，然後驕傲地等待老師前來檢查。
研究那些抽到零的兒童的面部表情是一件非常有趣的事。一名兒童對待這樣一個結果的反應，能夠在很大程度上體現出他的性格。有些兒童不動聲色，裝出滿不在乎的樣子，以此來掩飾他們的失望。一些兒童會以一個突然的動作來表示他們的失望。還有一些兒童無法掩飾他們的微笑，因為他們發現自己處於一個奇妙的境地，並且會激起其他人的好奇。另一些兒童會目不轉睛地注視著他們的同伴的一舉一動，直到練習結束，流露出一點嫉妒，以及明顯的渴望。還有一些兒童顯示出聽天由命的表情。
在老師進行檢查的時候，當他們被問到抽到了什麼數字時，他們承認自己抽到了零的表情也十分有趣：「那麼你呢，你沒有取來任何東西嗎？」「我抽到了零。」「這是零。」「我的是零。」他們通常會這樣回答。但是他們的面部表情和語調會流露出各種不同的感情。少數兒童會坦白地承認這個不尋常的數字令他們感到煩惱，大多數孩子的反應則是困惑或者順從。
我們必須對兒童的行為進行一番教導：「你看，要想保守零的秘密是很困難的。它總是會自己泄露秘密。你應該裝作不在乎的樣子，不要讓任何人知道你什麼也沒有。」實際上，一段時間之後，驕傲和自尊會占據主導地位，兒童開始習慣於抽到零或是較小的數字。他們不再感到煩惱，而是能夠有意地掩飾最初所產生的輕微憤怒。
20以內的加減法、乘法和除法。我們用來進行最初的算術運算的教具與計數所用的教具相同——長度逐級遞增的木棒，它已經覆蓋了十進制的簡單運算。如前所述，這些木棒用它們所代表的數字進行命名：1、2、3、4等。它們按照各自的長度以數字的順序進行排列。
第一個練習是讓兒童對木棒進行重組，使它們的總和等於10。最簡單的方法是從1這一端取出一個最短的木棒，再從9這一端取出一個最長的木棒。我們可以發出這樣的指令：「拿出1，把它和9加在一起。」、「拿出2，把它和8加在一起。」、「拿出3，把它和7加在一起。」、「拿出4，把它和6加在一起。」這樣，我們就有了4組總和等於10的木棒。這時還剩下一個5，但是我們可以把它縱向翻轉一下，這樣就達到了10的長度，這也顯示了5乘以2等於10。
這些練習被重複了一遍又一遍，兒童逐漸地學會使用一些技術語言：「9加加1等於10」、「8加2等於10」、「7加3等於10」、「6加4等於10」，以及「5乘以2等於10」。最後，我們教給兒童「加」、「等於」和「乘」的符號，並讓他們練習寫這些符號。這樣一來，我們的孩子們就可以在他們的作業本中整齊地寫出以下算式：
當兒童抱著極大的興趣完成了這些練習，並落實在紙上之後，我們就要把他們的注意力轉移到減法上來。從最後一個算式中去掉4，剩下的是6。從倒數第二個算式中去掉3，剩下的是7。從下一個算式中去掉2，剩下的是8。從第一個算式中去掉1，剩下的是9。然後我們可以用更為準確的語言表達：「10減4等於6」、「10減3等於7」、「10減2等於8」、「10減1等於9」。
至於最後剩下的5，它等於10的一半，如果我們把最長的木棒分成兩個等份，就相當於用10除以2。因此，10除以2等於5。我們可以用下列算式來表達。
一旦兒童掌握了這個練習，他們就可以自己嘗試新的練習。我們能把3分成兩個部分嗎？讓我們把1和2加在一起，然後把它們寫下來，這樣我們就能記住：2＋1＝3。4可以由哪兩個部分組成？3＋1＝4，4－3＝1，4－1＝3。
2與4的關係相當於5與10的關係，也就是，當把2縱向翻轉一次時，它便等於4的長度。因此4÷2＝2，2×2＝4。這樣我們就可以考慮以下問題：我們可以用哪些數字來玩這個遊戲？答案是3和6，4和8，即：
2×2＝4;3×2＝6;4×2＝8;5×2＝10;
10÷2＝5;8÷2＝4;6÷2＝3;4÷2＝2。
此時，我們發現可以對用來玩數字記憶遊戲的立方體加以利用：
從它們的排列就可以立刻看出哪些數字可以被2整除：所有下面沒有單獨一個立方體的數字。這些數字是偶數，因為它們可以成對排列，也就是兩兩排列，2的除法非常簡單，因為只需將兩列正方體從中間分開即可。只要數出一列正方體的數量，就可以得出答案了。要想重新得到原始的數字，只需把兩列正方體組合在一起就可以，例如2×3＝6。5歲的兒童在這方面不會遇到什麼困難。
很快，這種重複就會變得單調。但是我們為什麼不能把練習稍作改變呢？讓我們拿出由10根不同長度的木棒組成的教具，這次不再把1放在9上，而是放在10上；把2放在9上，而不是放在8上；把3放在8上，而不是放在7上。2也可以放在10上，3放在9上，4放在8上。在這種情況下，我們得到的結果是一個大於10的長度，我們必須對這些數字進行命名：11、12、13等，一直到20。使用立方體進行的遊戲也無需局限在9以內。
當兒童學會了10以內的運算後，他們就會輕鬆地掌握20以內的運算。唯一的難點在於除法，這需要幾堂課的時間才能學會。
除法教學。10以上的數學運算。在這裡，必需的材料包括一些正方形卡片，上面用大字體印著數字10，高度大約1.5～2英寸，還有一些長方形卡片，寬度是正方形卡片的一半，每張卡片上印著從1到9的一個數字。這些簡單的數字被排成一列，1、2、3、4、5、6、7、8、9。然後，由於還有更多的數字，我們必須再次從1開始。這就像是木棒系統中從9向10晉級的那一個單位。當我們沿著階梯數到9後，還剩下一個單位，我們必須再用1來表示，因為已經沒有更多的數字了。但是這個1的地位要比普通的1更高，為了將它區分開來，我們在它旁邊放上一個沒有數值的符號，也就是0。這樣我們就得到了10。然後我們用長方形中的數字按順序來替換0，這樣就得到了11、12、13、14、15、16、17、18、19。組成這些數字的方法是將木棒1加在木棒10上，然後是2、3、4，最後將木棒9加在木棒10上，組成一根很長的木棒。如果我們數一數它的藍紅交錯的節數，就可以得到19這個數字。
這樣，老師就可以指揮孩子用木棒進行練習，她可以拿出表示10的卡片，然後用另一個數字代替0，例如16。這時孩子就要把木棒6加在木棒10上。老師把6拿走，換上另一張印有數字的卡片，例如數字8。這就組成了數字18，這時孩子要拿走木棒6，換上木棒8。
這些練習都可以用書面方式表示，例如，10＋6＝16；10＋8＝18等。減法的教學方式與加法相同。
當兒童完全理解了數字的含義時，就可以只用卡片來進行組合。數字被寫在兩張長形的卡片上，如下圖中的A和B，上面印有1～9數字的長方形卡片被用來替換這些數字的個位和十位。
印有1的長方形卡片被用來替換卡片1上的第二個10的個位數字，接下來是2，以此類推。這樣，左側的十位數字保持不變，右側的個位數字從1～9依次變化。
卡片B的操作更為複雜。印有不同數字的卡片這次被放置在左側的一列，依次從1～9排列。到達9以後，要繼續用10進行替換，這樣就得到了100。
我們這裡幾乎所有的孩子都能數到100，這個數字被作為對他們好奇心的獎勵。我認為這種教學方法不再需要更多的解釋。