從一到無窮大 · 第五章　空間和時間的相對性

一、空間和時間的相互轉變 雖然顯示空間和時間在四維世界中的統一性的數學努力並沒有完全消除距離與時間延續之間的差別，但的確揭示出這兩個概念之間具有高度的相似性，其程度要比在愛因斯坦之前的物理學中大得多。事實上，各個事件之間的空間距離和時間間隔，現在只能認為是這些事件之間基本的四維距離在空間軸和時間軸上的投影，從而四維坐標系的旋轉可以使距離在部分程度上轉變為時間的延續，或者使時間的延續在部分程度上轉變為距離。不過，四維時空坐標系的旋轉是什麼意思呢？ 我們先來考慮圖34a中由兩個空間坐標所組成的坐標系，並且假定有兩個固定點相距為L。將這一距離投影在坐標軸上，我們發現這兩個點沿第一個軸的方向相距a英尺，沿第二個軸的方向相距b英尺。若把該坐標系旋轉一個角度（圖34b），則同樣的距離在兩個新坐標軸上的投影將與之前不同，新的值為a′和b′。然而根據畢達哥拉斯定理，兩個投影的平方和的平方根在兩種情況下是一樣的，因為它對應著那兩個點的實際距離，不會因為坐標系的旋轉而改變。因此， 。 所以說，雖然投影的特殊值是偶然的，取決於坐標系的選擇，但其平方和的平方根不會隨著坐標系的旋轉而變化。 圖34 現在我們再來考慮一個軸對應著距離、一個軸對應著時間延續的坐標系。此時之前例子中的兩個固定點就成了兩個固定的事件，而在兩個軸上的投影則分別表示它們的空間距離和時間間隔。如果這兩個事件就是上一章所討論的銀行遭劫和飛機失事，我們便可以畫一張圖（圖35a），它非常類似於表示兩個空間坐標的圖34a。那麼，怎樣才能旋轉坐標軸呢？答案非常出乎意料，甚至令人困惑：要想旋轉時空坐標系，請上汽車。 假定我們真的在7月28日那個多事之晨坐上了一輛沿第五大道行駛的公共汽車。從自我中心的觀點來看，此時我們最關心被劫的銀行和飛機失事地點離我們的汽車有多遠，倘若距離決定了我們能否看到這些事件。 圖35 圖35a畫出了汽車世界線的相繼位置以及銀行遭劫、飛機失事這兩個事件。你會立刻注意到，從汽車上觀察到的距離不同於比如站在街角的交警所記錄下來的距離。由於汽車正在沿大道行駛，比如說速度是每三分鐘過一個街區（這在擁擠的紐約交通中並非罕見），所以從汽車上看，這兩個事件的空間距離就變小了。事實上，由於上午9點21分汽車正在穿過五十二街，所以距離此時遭劫的銀行有兩個街區之遠。而上午9點36分飛機失事時，汽車在四十七街，距離失事地點有14個街區之遠。如此測量相對於汽車的距離，我們會斷言，銀行遭劫與飛機失事的空間距離為14-2=12個街區，而不是相對於城市建築所測得的50-34=16個街區。再看看圖35a，我們看到，從汽車上記錄的距離不能像以前那樣從縱軸（交警的世界線）來計算，而應從表示汽車世界線的那條斜線來計算。因此，現在起著新時間軸作用的是後一條線。 把方才討論的「零七碎八」總結一下就是：要想繪製從運動物體上觀察到的事件的時空圖，必須把時間軸旋轉一個角度（角度的大小取決於運動物體的速度），而空間軸保持不動。 雖然從經典物理學和所謂「常識」的觀點來看，這種說法是無可置疑的真理，但它卻和我們關於四維時空世界的新觀念直接相左。事實上，既然時間被視為獨立的第四個坐標，時間軸就必須總是垂直於三個空間軸，無論我們坐在公共汽車上、電車上還是人行道上！ 在這一點上，我們只能兩種思路選其一：要麼保留我們習慣性的時間空間觀念，不再對統一的時空幾何學作任何進一步思考；要麼就必須打破「常識」的舊觀念，認為在我們的時空圖中，空間軸必須和時間軸一起旋轉，從而二者總是保持垂直（圖35b）。 然而，正如旋轉時間軸在物理上意味著，兩個事件的空間距離在從運動物體上觀察時會有不同的值（在前面那個例子中分別為12個街區和16個街區），旋轉空間軸也意味著，從運動物體上觀察到的兩個事件的時間間隔不同於從地面上某一固定點觀察到的時間間隔。於是，如果市政廳的時鐘顯示銀行遭劫與飛機失事相隔15分鐘，那麼公共汽車上的乘客的手錶所記錄的時間間隔將有所不同。這並非因為機械裝置的不完美導致兩塊表走得快慢不一致，而是因為在以不同速度運動的物體上，時間本身的流逝快慢有所不同，記錄時間的實際機械裝置也相應地變慢了。不過對於公共汽車的低速而言，這種變慢微乎其微，幾乎覺察不到。（本章會詳細討論這個現象。） 再舉一個例子。設想一個人在一列行進的火車餐車上吃飯。在餐車的服務員看來，他在同一個地方（第三張桌子靠窗）吃餐前開胃品和餐後甜點。但在兩個站在鐵軌的固定點透過窗戶朝車內張望的扳道工看來（一個正好看到他在吃餐前開胃品，另一個正好看到他在吃餐後甜點），這兩個事件發生在數英里之遙。於是我們可以說：在一位觀察者看來發生在同一地點和不同時間的兩個事件，在處於不同運動狀態的另一位觀察者看來卻發生在不同的地點。 從我們所期望的時空等價的觀點出發，把上面這句話中的「地點」和「時間」這兩個詞互換，該句就成了：在一位觀察者看來發生在同一時間和不同地點的兩個事件，在處於不同運動狀態的另一位觀察者看來卻發生在不同的時間。 如果將其用於我們餐車的例子中，我們會期待那位服務員言之鑿鑿地聲稱，坐在餐車兩頭的兩位乘客餐後同時點菸，而在鐵軌上透過窗戶朝車內張望的扳道工卻會堅持說，兩人點菸的時間有先有後。 因此，在一位觀察者看來同時發生的兩個事件，在另一位觀察者看來卻相隔一段時間。 這些便是四維幾何學的必然推論，在四維幾何學中，時間和空間僅僅是一段固定不變的四維距離在相應軸上的投影。 二、以太風和天狼星之旅 現在我們要問，願意使用這種四維幾何學的語言，是否證明在我們舊的感覺良好的時空觀念中引入這些革命性變化是正當的？ 如果回答是肯定的，我們便質疑了整個經典物理學體系，經典物理學的基礎是偉大的牛頓在兩個半世紀以前對空間和時間的定義：「絕對空間就其本性而言與任何外界的事物無關，永遠不變和不動」，「絕對的、真實的數學時間就其本性而言均勻地流逝著，與任何外界的事物無關。」在寫這些話的時候，牛頓肯定不認為自己是在講什麼新的或引起爭議的東西；他不過是在以精確的語言把人們常識中的空間和時間概念表達出來罷了。事實上，人們對這些經典時空概念的正確性是如此堅信，以至於它們常被哲學家們視為先驗的。從來沒有一個科學家（更不用說外行）認為它們有可能錯誤，從而需要重新考察和表述。那麼，我們現在為什麼要重新考慮這個問題呢？ 回答是：之所以要拋棄經典的時空觀念並把時間和空間統一在一幅四維圖景中，並非出於愛因斯坦純粹審美的願望，亦非其無法遏止的數學衝動使然，而是因為實驗研究中經常會出現一些難以對付的事實，與獨立的時間和空間的經典圖景不符。 經典物理學這座似乎永世長存的美麗城堡的基礎受到的第一次衝擊源於1887年美國物理學家邁克耳孫（Albert Abraham Michelson）所做的一個看起來樸實無華的實驗，它幾乎震撼了這精巧建築物的每一塊磚石，使其牆壁搖搖欲墜，就像耶利哥的城牆在約書亞的號角聲中倒塌一樣。邁克耳孫實驗的想法非常簡單，它基於這樣一種物理圖像：光在通過所謂「傳遞光的以太」（一種均勻充滿宇宙空間以及所有物體原子之間的假想物質）時，會表現出某種波動性。 將一塊石頭丟進池塘，水波會沿四面八方傳播。振動的音叉發出的聲音以波的形式向四面傳播，任何明亮物體發出的光也是如此。然而，水面上的波紋清楚地顯示了水微粒的運動，聲波也已知是聲音所穿過的空氣或其他物質的振動，但我們卻找不到任何傳遞光波的物質媒介。事實上，（與聲音相比）光能在空間中如此輕易地傳播，空間似乎是完全空虛的！ 然而，倘若沒有什麼東西在振動，又談論某種振動的東西，這似乎太不合邏輯。於是，物理學家不得不引入「傳遞光的以太」這樣一個新概念，以便在試圖解釋光的傳播時為「振動」這個動詞提供一個實體性的主詞。從純語法的角度來看，任何動詞都必須有一個主詞，「傳遞光的以太」的存在性不可能被否認。但——這個「但」要大聲強調——語法規則並沒有規定也不可能規定，這個為了正確造句而不得不引入的主詞具有什麼物理性質！ 如果我們把「光以太」定義為傳播光波的東西，那麼說光波在光以太中傳播倒是千真萬確的，但這是一句完全無謂的重言式。查明這種光以太究竟是什麼以及具有什麼樣的物理性質，乃是完全不同的問題。這裡，任何語法都幫不了我們，答案只能來自物理學。 在接下來的討論中我們會看到，19世紀物理學所犯的最大錯誤在於假定這種光以太具有類似於我們所熟知的日常物體的那些性質。人們習慣於談論光以太的流動性、剛性、各種彈性甚至是內摩擦。一方面，光以太在傳遞光波時表現得像一種振動的固體；28另一方面，它又顯示出完全的流動性，對天體的運動毫無阻礙。這樣一來，光以太就被類比於封蠟一樣的物質：人們知道，封蠟等物質非常堅硬，在迅速的機械撞擊之下很容易碎裂；但若靜置足夠長的時間，又會在自身重量的作用下像蜂蜜一樣流動。根據這種類比，舊物理學設想光以太充滿了整個宇宙空間，對於與光的傳播有關的高速擾動來說表現得像堅硬的固體；而對於在其中穿行、速度比光慢幾千倍的行星和恆星來說，卻又表現得像液體。 這樣一種或可稱為擬人化的觀點試圖把我們所熟知的普通物質的性質歸於一種除名稱以外一無所有的物質，它從一開始就遭遇了巨大的失敗。人們雖然作了許多努力，但仍然無法對光波的這種神秘傳遞者給出合理的力學解釋。 根據我們目前擁有的知識，很容易看出這種努力錯在何處。事實上我們知道，普通物質的所有機械性質都可以追溯到構成物質的原子之間的相互作用。例如，水的高度流動性是由於水分子之間可以作摩擦很小的滑動；橡膠的彈性是由於橡膠分子很容易變形；金剛石的堅硬則是由於構成金剛石晶體的碳原子被緊緊地束縛在一種剛性點陣結構中。因此，各種物質所共有的一切機械性質都是緣於它們的原子結構，但這條規則在運用於像光以太這樣被認為絕對連續的物質上時是毫無意義的。 光以太是一種特殊類型的物質，它與我們熟知的原子嵌鑲結構或通常所說的物質毫無相似性。我們可以把光以太稱為一種「物質」（這僅僅因為它充當著「振動」這個動詞在語法上的主詞），但也可以稱之為「空間」。不過要記住，正如我們之前已經看到，之後還會看到的，空間可能具有某種形態特徵或結構特徵，它比歐幾里得幾何學中的空間觀念複雜得多。事實上在現代物理學中，「光以太」（除去它那些據稱的力學性質）和「物理空間」被認為是同義詞。 不過我們已經偏離得太遠，竟然開始對「光以太」一詞進行哲學分析了。現在我們還是回到邁克耳孫實驗的話題上來吧。如前所述，這個實驗的想法是非常簡單的：如果光是在以太中穿行的波，那麼地面上的儀器所記錄的光速將因為地球在空間中運動而受到影響。站在沿軌道繞日運行的地球上，我們會經驗到一股「以太風」，就像即使天晴無風，人站在快速行駛的船的甲板上也會感到有風撲面而來一樣。當然，我們是感覺不到「以太風」的，因為它已被假定能夠毫無困難地穿透到我們的身體原子之間。但是通過測量沿不同方向相對於我們運動的光速，就應該能夠探測到它的存在。眾所周知，順風傳播的聲音速度比逆風傳播的大，因此，順著以太風傳播的光的速度似乎也應當大於逆著以太風傳播的光的速度。 做過如此推理之後，邁克耳孫著手設計了一套儀器，能夠記錄沿各個方向傳播的光速的差別。當然，要想做到這一點，最簡單的辦法是採用前面提到的斐索的儀器（圖31c），把它轉到不同的方向進行一系列測量。但這樣做並不很現實，因為這要求每次測量都有很高的精度。事實上，由於我們所預期的速度差（等於地球的速度）只有光速的萬分之一左右，所以必須以極高的準確度來進行每一次測量。 如果你有兩根長度大致相同的棒，並想知道其長度究竟相差多少，那麼最簡單的辦法就是把兩根棒的一端對齊，在另一端量出差異。這就是所謂的「零點法」。 邁克耳孫的儀器草圖如圖36所示，它便是利用零點法來比較光沿兩個相互垂直的方向的速度差的。 圖36 這套儀器的中心部件是一個玻璃片B，上面鍍著一層薄薄的半透明的銀，可以使入射光的一半發生反射，並讓其餘的一半透過。於是，光源A發出的光束被B分成兩個相互垂直的部分，這兩束光分別被與中心玻璃片等距的鏡子C和D反射回B。從D返回的光有一部分會穿過銀膜，從C返回的光有一部分會被銀膜反射，在儀器入口處被分開的這兩束光在進入觀察者眼睛時會重新結合起來。根據大家所熟知的一條光學定律，這兩束光會彼此干涉，形成一套肉眼可見的明暗條紋。如果距離BD與BC相等，兩束光將會同時返回中心部件，亮條紋會位於圖像中心。如果稍微改變距離，使一束光有所延遲，則條紋就會向左或向右移動。 由於該儀器位於地球表面，而地球正快速穿過空間，所以我們必然會預期，以太風正以地球運動的速度吹過地球。例如，假定這股風沿著從C到B的方向颳去（如圖36所示），我們來看看它會給趕往相會地點的兩束光的速度造成什麼差別。請記住，其中一束光是先逆風後順風，另一束光則是在風中來回橫穿。那麼哪一束光先回來呢？ 設想河上有一艘汽船逆流而上從1號碼頭行駛到2號碼頭，然後再順流駛回1號碼頭。水流在前一半航程起阻礙作用，在歸程則起輔助作用。你也許認為這兩種作用會彼此抵消吧？但事實並非如此。為了理解這一點，設想這艘汽船以水流的速度行駛。在這種情況下，它永遠到不了2號碼頭！不難看到，在所有情況下，水流的存在將使整個航行的時間增加一個因子： ， 其中V是船速，v是水流速度。29例如，倘若船速是水流速度的10倍，則整個航行的時間為： ， 也就是說，比在靜水中的時間長百分之一。 同樣，我們也能計算出在河水中來回橫渡所耽擱的時間。這裡的耽擱是因為要想從1號碼頭駛到3號碼頭，船的行駛方向須稍稍傾斜，以補償在水流中的漂移。在這種情況下，耽擱的時間要少一些，其因子為： 對於上面那個例子來說，時間只增加了0.5%。這個公式很容易證明，有興趣的讀者可以自行驗證。現在，將河流替換成流動的以太，將船替換成在其中傳播的光波，便可得到邁克耳孫的實驗方案。現在，光束從B到C再返回B的時間增加的因子為： ， 其中c是光在以太中的傳播速度。而光束從B到D再返回B的時間增加的因子則為： 。 由於以太風的速度等於地球運動的速度，為每秒30公里，光的速度為每秒30萬公里，因此這兩束光將分別延遲0.01%和0.005%。因此，藉助於邁克耳孫的儀器，光束逆著以太風行進和順著以太風行進的速度差異是很容易觀察到的。 然而，在作這項實驗時，邁克耳孫竟然未看到干涉條紋有絲毫移動，可以想見他當時是何等驚訝！ 顯然，無論光是沿著以太風傳播，還是橫穿以太風，以太風對光速都沒有影響。 這個事實太讓人驚訝，邁克耳孫起初還不敢相信，但一次次地精心重複實驗無可置疑地表明，他最初得到的結果雖然令人驚訝，卻是正確的。 對這個出乎意料的結果，唯一可能的解釋似乎就是大膽假設，邁克耳孫那張安裝鏡子的巨大石桌沿著地球穿過空間的方向有輕微的收縮（所謂的菲茨傑拉德收縮30）。事實上，如果距離BC收縮了一個因子 而距離BD保持不變，那麼兩束光的耽擱時間就變得相同了，因此便不會出現所預期的干涉條紋移動。 然而，邁克耳孫那張桌子有可能收縮，這話說起來容易，理解起來難。的確，我們會預料在有阻滯介質中運動的物體會有某種收縮，比如由於船尾螺旋槳的驅動力和船頭水的阻力，在湖上行駛的汽船會有些微的壓縮。不過，這種機械壓縮的程度依賴於造船材料的抗拉強度，鋼製船體的壓縮程度會比木製船體小一些。然而，導致邁克耳孫實驗中否定結果的收縮只依賴於運動速度，而絲毫不依賴於所涉材料的抗拉強度。倘若安裝鏡子的那張桌子並非由石頭製成，而是由鑄鐵、木頭或其他任何材料製成的，收縮的量也將完全一樣。因此很顯然，我們這裡討論的是一種普遍效應，它使所有運動物體都以完全相同的程度發生收縮。或者按照愛因斯坦教授1904年對這種現象的描述，我們這裡討論的是空間本身的收縮。所有以相同速度運動的物體都會以相同的方式收縮，這僅僅是因為它們都被嵌在同一個收縮的空間中。 關於空間的性質，我們在前面兩章已經談了不少，以使上述陳述聽起來顯得合理。為把情況說得更清楚一些，可以設想空間具有彈性膠凍的某些性質，其中留有不同物體邊界的痕跡；當空間由於受到擠壓、拉伸或扭轉而變形時，所有嵌在其中的物體的形狀會自動以同一種方式發生改變。這些因空間變形而導致的變形不同於各種外力所導致的個體變形，外力在變形的物體內部產生了應力和應變。圖37顯示的二維情況也許有助於解釋這種重要的區別。 圖37 空間收縮效應雖然對於理解物理學的基本原理非常重要，但在日常生活中卻幾乎未受注意，這是因為與光速相比，我們在日常經驗中遇到的最高速度仍然微不足道。例如，一輛以每小時50英里的速度行駛的汽車，其長度只減小到原來的 倍，這相當於汽車從頭到尾只減少了一個原子核的直徑那麼長！一架時速超過600英里的噴氣式飛機，其長度只減少了一個原子直徑那麼長。就連時速超過25000英里的100米長的星際火箭，其長度也只是減少了百分之一毫米。 不過，如果設想物體以光速的50％、90%和99%運動，其長度將分別縮短為靜止長度的86%、45%和14%。 所有高速運動物體的這種相對論收縮效應可見於一位不知名作者所寫的一首打油詩： 菲斯克小伙劍術精， 出劍迅速如流星， 由於菲茨傑拉德收縮性， 長劍變成小鐵釘。 當然，這位菲斯克先生出劍必須快如閃電才行！ 根據四維幾何學的觀點，很容易把所有運動物體的這種普遍收縮解釋為時空坐標系的旋轉使物體不變的四維長度的空間投影發生了改變。事實上，根據上一節討論的內容，你一定還記得，從運動系統所作的觀察必須通過空間軸和時間軸都旋轉某個角度（角度的大小取決於速度）的坐標來描述。因此，如果在靜止系統中，四維距離百分之百地投影在空間軸上（圖38a），那麼在新的坐標軸中，它的空間投影總會更短（圖38b）。 圖38 請務必記住，所預期的長度縮短只和兩個系統的相對運動有關。如果所考慮的物體相對於第二個系統靜止，因此表示為一條與新空間軸平行的長度不變的線，那麼它在原空間軸上的投影將縮短同樣的倍數。 因此，指明兩個坐標系中哪一個「真正」在運動不僅沒必要，而且沒有物理意義。重要的僅僅是它們在作相對運動。於是，假定未來某個「星際交通公司」的兩艘高速行駛的載人飛船在地球與土星之間的某地相遇，每艘飛船上的乘客透過舷窗都能看到另一艘飛船顯著變短了，而自己乘坐的這艘飛船卻注意不到有什麼收縮。爭論哪艘飛船「真正」縮短了是沒有意義的，因為無論哪艘飛船，在另一艘飛船上的乘客看來都縮短了，而在它自己的乘客看來卻沒有縮短。31 四維時空理論也使我們明白，為什麼運動物體速度接近光速時，才會有明顯的相對論收縮。事實上，時空坐標軸旋轉的角度取決於運動系統走過的距離與所需時間之比。如果用米來測量距離，用秒來測量時間，那麼這個比值就是用米/秒表示的常用速度。然而，四維世界中的時間間隔是用普通的時間間隔乘以光速表示的，而決定旋轉角度的比值又是用米/秒表示的運動速度除以用同樣的單位表示的光速，因此只有當兩個運動系統的相對速度接近光速時，旋轉角度及其對距離測量的影響才會變得顯著。 時空坐標系的旋轉既影響了長度測量，影響了對時間間隔的測量。但可以表明，由於第四個坐標具有特殊的虛數性，32空間距離縮短時，時間間隔會膨脹。如果把一隻鍾安置於一輛高速行駛的汽車中，它將比安置在地面上的鐘走得慢些，相繼兩次嘀嗒聲的時間間隔會加長。和長度的縮短一樣，運動時鐘的變慢也是一種普遍效應，只取決於運動速度。因此，無論是最現代的手錶，還是你祖父的舊式擺鐘，抑或是計時沙漏，只要運動速度相同，變慢的程度就會相同。當然，這種效應並不限於被我們稱為「鍾」和「表」的特殊機械；事實上，所有物理過程、化學過程或生理過程都將以相同的程度變慢。因此，如果你在疾馳的飛船上煮雞蛋做早餐，你不必擔心因手錶走得太慢而把雞蛋煮老了，因為雞蛋內部的過程也會相應地變慢。如果你看著表把雞蛋煮上五分鐘，你仍然能吃上平日裡吃的「五分鐘蛋」。這裡我們之所以用飛船而不是火車餐車作例子，是因為時間膨脹也和長度的收縮一樣，只有在速度接近光速時才變得比較明顯。時間膨脹的因子也和空間收縮一樣是。區別在於，這裡不是把它用作乘數，而是用作除數。如果一個物體運動得非常快，以至於長度減少了一半，那麼時間間隔會變成兩倍長。 運動系統中時間速度的變慢會對星際旅行產生一個有趣的影響。假設你決定造訪距離太陽系9光年的天狼星的一顆行星，並且乘坐了一艘幾乎能以光速行駛的飛船。你自然會以為，天狼星的往返之旅至少需要18年，因此準備隨身攜帶大量食物。不過，如果你乘坐的飛船真能以接近光速的速度行駛，這種擔心就是完全沒有必要的。事實上，如果你以光速的99.999 999 99%移動，你的手錶、心臟、呼吸、消化和心理過程都將減慢70 000倍，因此從地球到天狼星再返回地球（在留在地球上的人看來）所花的18年在你看來將只有幾個小時。事實上，如果你吃過早飯就從地球出發，那麼當你的飛船降落在天狼星的一顆行星表面上時，你正好可以吃中飯。如果你時間很緊，吃過午飯就馬上返航，那麼你很可能趕得上在地球上吃晚飯。不過，如果你忘了相對論定律，你到家時定會大吃一驚，因為親友們會認為你已在太空中不知所蹤，因此已經自行吃過6570頓晚飯了！由於你正以近乎光速的速度旅行，地球上的18年對你而言只是一天而已。 那麼，運動得比光還快會怎麼樣呢？對這個問題的回答亦可見於一首相對論打油詩： 年輕女孩名伯蕾， 健步如飛光難追； 愛因斯坦來指點， 今日出行昨夜歸。 的確，如果速度接近光速可以使運動系統中的時間變慢，那麼超過光速不就能把時間倒轉了嗎！此外，由於畢達哥拉斯根式下面代數符號的改變，時間坐標會變成實數，從而成為空間距離；一如超光速系統中的所有長度都經過零而變成虛數，從而成為時間間隔。 如果所有這一切是可能的，圖33中那個愛因斯坦變尺為鐘的戲法就會成為現實了，只要在此過程中他能設法超過光速。 不過，物理世界雖然荒唐，但並非那麼瘋狂。這種魔術式的操作顯然是不可能實現的，這可以簡單地總結為：任何物體都不能以光速或超光速運動。 這條基本自然定律的物理學基礎在於一個已被無數實驗直接證明的事實，即在運動速度接近光速時，運動物體所謂的慣性質量（反映了物體對進一步加速的機械反抗）會無限增大。於是，如果一顆子彈以光速的99.999 999 99%運動，它對進一步加速的反抗就相當於一枚12英寸的炮彈；如果以光速的99.999 999 999 999 99%運動，這顆小子彈的慣性反抗將會相當於一輛滿載的卡車。無論給這顆子彈施加多大努力，我們也無法征服最後一位小數，使其速度正好等於宇宙中所有運動的速度上限即光速！ 三、彎曲空間和重力之謎 看完前面這幾十頁關於四維坐標系的討論，讀者們必定感到頭暈腦脹，對此我深表歉意。現在，我邀請讀者到彎曲空間中散個步。人人都知道曲線和曲面是什麼，但「彎曲空間」又是什麼意思呢？這種現象之所以難以想像，與其說在於這個概念的不同尋常，不如說在於我們能從外部觀察曲線和曲面，卻只能從內部來觀察三維空間的曲率，因為我們本身就在三維空間之中。為了理解一個三維的人如何來構想他所處的空間的曲率，我們先來考慮生活在表面上的假想的二維影子生物的狀況。圖39a和39b中有一些影子科學家，他們在「平面世界」和「曲面（球面）世界」上研究自己二維空間的幾何學。可供研究的最簡單的幾何圖形當然是三角形，即由連接三個幾何點的三條直線所組成的圖形。大家在中學幾何學裡都學過，平面上畫的任何平面三角形的三個內角之和都是180°。但很容易看到，上述定理並不適用於在球面上畫的三角形。的確，由兩條經線和一條緯線所形成的球面三角形就有兩個直角的底角，頂角的值則可介於0°與360°之間。以圖39b中那兩個影子科學家所研究的三角形為例，三個角之和等於210°。於是我們看到，通過測量其二維世界中的幾何圖形，影子科學家們無須從外面觀察便可發現那個世界的曲率。 將上述觀察運用於又多了一維的世界，我們自然能夠得出結論說，生活在三維空間中的人類科學家無須躍入第四維，只要測量連接其空間中三點的三條直線之間的夾角便可確定那個空間的曲率。如果三個角之和等於180°，那麼空間就是平坦的，否則就是彎曲的。 不過在作進一步討論之前，我們先要弄清楚「直線」一詞是什麼意思。看到圖39a和圖39b所示的兩個三角形，讀者們也許會說，平面三角形（圖39a）的各邊是真正的直線，而球面上的各邊（圖39b）則是球面上大圓33的弧，其實是彎曲的。 圖39　「平面世界」和「曲面世界」上的二維科學家們正在檢查關於三角形內角和的歐幾里得定理 這種基於我們常識幾何學觀念的說法會使影子科學家們根本不可能發展出他們二維空間的幾何學。直線概念需要一種更一般的數學定義，使它不僅能在歐幾里得幾何中獲得一席之地，還能把表面和空間中更複雜的線包括進來。要想作這樣一種推廣，可以把直線定義為某個表面或空間中描繪兩點之間最短距離的線。在平面幾何中，上述定義當然符合我們常見的直線概念；而在更複雜的曲面的情況下，它會引出一族定義明確的線，在這裡所起的作用就如同普通「直線」在歐幾里得幾何中所起的作用。為了避免誤解，我們常常把描繪曲面上最短距離的線稱為測地線，因為這種觀念最早是在測地學——即測量地球表面的科學——中被引入的。事實上，當我們談起紐約與舊金山的直線距離時，我們是指「筆直地」沿著地球表面的曲線走，而不是像一台巨型鑽機那樣筆直地鑽透地球。 這種把「廣義直線」或「測地線」看成兩點之間最短距離的定義暗示，作這種線有一種簡單的物理方法，那就是在兩點之間拉緊一根繩子。如果在平面上做，你會得到一條普通的直線；如果在球面上做，你會發現這根繩子沿著一個大圓的弧張緊，它對應於球面上的測地線。 通過類似的辦法，我們也可以查明我們所身處的三維空間是平坦的還是彎曲的。我們只需在空間中的三個點之間拉緊繩子，看看由此形成的三個角之和是否等於180°。不過，在設計這樣一個實驗時必須記住兩點：一是實驗必須在非常大的尺度上進行，因為曲面或彎曲空間的一個微小部分對我們來說可能顯得很平坦，我們顯然不能通過在後院裡測量出來的結果來確定地球表面的曲率；二是此表面或空間也許在某些區域是平坦的，而在另一些區域是彎曲的，因此可能需要作完整的測量。 愛因斯坦在創立關於彎曲空間的廣義理論時包含了一個了不起的想法，那就是假定物理空間在巨大的質量附近會變彎曲；質量越大，曲率就越大。為了用實驗來驗證這個假說，我們可以環繞一座大山釘三個木樁，在木樁之間拉緊繩子（圖40a），然後測量繩子在三個木樁處形成的夾角。即使選擇了最大的山，哪怕是喜馬拉雅山，你也會發現，考慮到可能的測量誤差，三個角之和將正好等於180°。但這個結果並不必然意味著愛因斯坦是錯的，並不表明大質量的存在不會使其周圍的空間發生彎曲，因為即使是喜馬拉雅山，可能也不會使周圍的空間彎曲到能用我們最精密的測量儀器記錄下來。大家還記得伽利略試圖用遮光燈測量光速時的慘敗吧！（圖31） 圖40 因此不要灰心，找個更大的質量再試一次，比如太陽。 如果你在地球上某個點拴根繩子扯到一顆恆星上去，再從這顆恆星扯到另一顆恆星上，然後再回到地球上原來那個點，並讓太陽圍在繩子組成的三角形內。你瞧，這下要成功了！你會看到，這三個角之和將與180°有顯著不同。如果你沒有足夠長的繩子來作這項實驗，可以把繩子換成一束光線，因為光學告訴我們，光總是走所有可能路線中最短的。 圖40b是這項測量光線夾角的實驗的示意圖。位於太陽兩側的恆星SI和SII發出的光線會聚到經緯儀中，這樣便測出了它們的夾角。然後等太陽離開時再重複進行實驗，並把兩個角度加以比較。如果有所不同，就證明太陽的質量改變了其周圍空間的曲率，使光線偏離了原路。這個實驗最初是愛因斯坦為了檢驗自己的理論而提出來的。將它與圖41所示的二維類比相比較，讀者們可以獲得更好的理解。 圖41 在通常條件下做愛因斯坦的這項實驗顯然有一個實際障礙：耀眼的太陽光使我們看不到它周圍的星星。不過在日全食期間，星星在白天也是清晰可見的。1919 年，一支英國天文遠征隊前往西非的普林西比群島進行實際檢驗，那裡是當年日全食的最佳觀測地點。結果發現，兩顆恆星的角距離在有太陽和沒有太陽介於其間的情況下相差1.61"±0.30"。而愛因斯坦的理論預言這個值為1.75"。後來所做的各種遠征也得到了類似的觀測結果。 當然，1.5角秒並不大，但已足以證明，太陽的質量的確迫使它周圍的空間發生了彎曲。 如果能用其他某個大得多的星體來代替太陽，關於三角形內角和的歐幾里得定理就會出現若干分甚至若干度的誤差。 一個內部的觀察者需要一定的時間和豐富的想像力，才能習慣於彎曲三維空間的觀念，不過一旦被正確理解，它就會和我們所熟知的其他任何古典幾何學概念一樣清晰明確。 我們還需要再前進一步，才能完全理解愛因斯坦的彎曲空間理論及其與萬有引力這個基本問題的關係。我們不要忘了，剛才一直在討論的三維空間只是充當著所有物理現象背景的四維時空世界的一部分。因此，空間的彎曲本身僅僅反映了更一般的四維時空世界的彎曲，而表示這個世界中光線運動和物體運動的四維世界線必須被看成超空間中的曲線。 從這種觀點來考察問題，愛因斯坦得出了一個著名結論：重力現象僅僅是四維時空世界的彎曲所產生的效應。事實上，太陽施加某個力直接作用於行星，使之圍繞太陽沿圓形軌道運動，這種舊的說法現在可以被視為不當而加以拋棄。更準確的說法則是：太陽的質量使它周圍的時空世界發生了彎曲，圖30中行星的世界線之所以是那個樣子，僅僅因為它們是穿過彎曲空間的測地線。 這樣一來，作為一種獨立的力的重力概念就從我們的思想中徹底消失了。取而代之的則是純粹的空間幾何學概念，在這個空間中，所有物體都按照其他大質量所造成的彎曲沿著「最直的線」或測地線運動。 四、封閉空間和開放空間 在結束本章之前，還須簡要討論一下愛因斯坦時空幾何學中的另一個重要問題，那就是宇宙是否有限。 迄今為止，我們一直在討論空間在大質量附近的局域彎曲，這就好像宇宙這張巨大的臉上散布著各種「空間粉刺」。但撇開這些局域偏差不談，宇宙的臉是平坦的還是彎曲的？如果是彎曲的，又是以何種方式彎曲的呢？圖42對長有「粉刺」的平坦空間和兩種可能的彎曲空間做出了二維描繪。所謂的「正曲率」空間對應於球面或其他任何封閉的幾何形體的表面，無論朝著什麼方向，它都以「同樣的方式」彎曲。與之相反的「負曲率」空間則在一個方向上向上彎，在另一個方向上向下彎，很像一個馬鞍面。這兩種彎曲的區別很容易弄清楚：你可以從足球和馬鞍上分別割下一塊皮子，試著把它們在桌面上攤平。你會注意到，如果既不伸展又不收縮，那麼兩者都攤不成平面。足球皮的邊緣必須伸展，馬鞍皮的邊緣必須收縮；足球皮的中心周圍沒有足夠的材料將它攤平，而馬鞍皮的材料又多了些，要想弄得平坦光滑總會摺疊起來。 圖42 對於這一點還能作另一種表述。假如我們（沿著表面）從某一點開始數距離它1英寸、2英寸、3英寸等範圍內「粉刺」的個數，我們會發現：在平坦的表面上，「粉刺」個數是像距離的平方即1，4，9…那樣增長的；在球面上，「粉刺」數目的增長會比平面上慢一些；而在「馬鞍」面上則比平面上快一些。於是，生活在表面上的二維影子科學家雖然無法從外面打量該表面的形狀，但仍然能通過計算落在不同半徑的圓內的粉刺數來覺察它的彎曲狀況。這裡我們還會注意到，正曲率與負曲率之間的差別顯示於對相應三角形角度的測量。正如我們在上一節看到的，畫在球面上的三角形的內角和總是大於180°。如果你在馬鞍面上畫一個三角形，會發現它的內角和總是小於180°。 上述由曲面得到的結果可以推廣到彎曲的三維空間，並得到下表： 空間類型 遠距離狀況 三角形內角和 體積增長情況 正曲率（類似球面） 自行封閉 ＞180° 慢於半徑立方 平　直（類似平面） 無窮伸展 = 180° 等於半徑立方 負曲率（類似馬鞍面） 無窮伸展 ＜180° 快於半徑立方 這張表可以用來回答我們生活的這個空間究竟是有限的還是無限的。我們將在討論宇宙大小的第十章來探討這個問題。