從一到無窮大 · 第四章　四維世界

一、時間是第四維 第四維這個概念通常被神秘和懷疑所籠罩。我們這些只有長、寬、高的生物如何敢談及四維空間呢？憑藉我們全部的三維智力，有可能設想一個四維的超空間嗎？一個四維的立方體或球體會是什麼樣子呢？我們說「想像」一條尾巴披鱗、鼻孔噴火的巨龍，或者一架帶有游泳池、機翼上有兩個網球場的超級客機時，實際上是在心靈中描繪這些東西真的突然出現在我們面前時的樣子。我們是以那個所有普通物體（包括我們自己在內）都位於其中的大家所熟悉的三維空間為背景來描繪這幅圖像的。如果這就是「想像」一詞的含義，我們就無法以普通三維空間為背景來想像一個四維的物體，一如我們無法將三維物體壓入平面。不過且慢，在某種意義上我們的確可以將一個三維物體壓入平面，那就是在平面上畫出這個三維物體。不過，在所有這些情況下，我們當然不是用一台水壓機或任何其他物理的力量來實現的，而是用所謂的幾何「投影」法進行的。由圖24立即可以看出將物體（例如馬）壓入平面的這兩種方法的區別。 圖24　將一個三維物體「壓」入二維表面的錯誤方法和正確方法 通過類比，我們現在可以說，雖然不可能把一個四維物體完全「壓」入三維空間，但可以討論各種四維物體在我們這個三維空間中的「投影」。不過要記住，正如三維物體的平面投影是二維圖形或平面圖形，四維超物體在我們這個普通三維空間中的投影是立體圖形。 為了把問題說得更清楚一些，我們先來考慮生活在面上的二維影子生物會如何構想一個三維立方體。不難想像，作為優越的三維生物，我們可以從上面即從第三個方向來打量二維世界。將立方體「壓」入平面的唯一途徑就是以圖25所示的方法將它「投影」到那個平面上。旋轉這個立方體，可以得到各種其他投影。通過觀察這些投影，我們的二維朋友們至少能對這個被稱為「三維立方體」的神秘形體的性質形成某種認識。他們無法「跳出」自己的面，像我們一樣來看這個立方體。不過僅僅通過觀察投影，他們也能說（比如）這個立方體有八個頂點和十二條邊。現在看圖26，你會發現自己的處境和那些只能看到普通立方體在面上投影的可憐的二維影子生物完全相同。事實上，圖中那家人正在驚愕萬分地研究的那個複雜的古怪結構，正是一個四維的超正方體在我們這個普通三維空間中的投影。23 圖25　二維生物們正在驚奇地打量一個三維立方體在其表面上的投影 圖26　四維空間的來客！一個四維超正方體的正投影 認真考察這個形體，你很容易看到讓圖25中的影子生物困惑不已的那些特徵：普通立方體在平面上的投影是兩個正方形，一個套在另一個裡面，且頂點與頂點相連；而超正方體在普通空間中的投影則是兩個立方體，一個套在另一個裡面，頂點也以類似的方式相連。數一數就會看到，一個超正方體共有16個頂點、32條邊和24個面。好一個正方體，不是嗎？ 現在我們來看看四維球體是什麼樣子。為此，我們最好先看一個較為熟悉的例子，即一個普通球體在平面上的投影。例如設想將一個標記有大陸和海洋的透明球體投射到一面白牆之上（圖27）。在這一投影中，兩個半球當然會彼此重疊，而且從投影上看，我們也許會以為美國紐約和中國北京距離很近。但這只是一種表面的印象。事實上，投影上的每一點都代表實際球體上兩個相對的點，一架從紐約飛往中國的飛機，它在球體上的投影將先移到平面投影的邊緣，然後再返回來。雖然兩架不同飛機在圖上的投影可能會重疊，但如果它們「實際」在地球的兩側飛行，那是不會相撞的。 圖27　地球的平面投影 這些便是普通球體的平面投影的性質。只要對想像力稍作發揮，我們便不難看出四維超球體的空間投影是什麼樣子。正如普通球體的平面投影是兩個（點對點）疊在一起、只沿外圓周相連的圓盤，超球體的空間投影也一定是兩個彼此交疊且沿外表面相連的球體。關於這種特異的結構，我們已經在上一章作為類似於封閉球面的三維封閉空間的例子作了討論。這裡只需補充一句：四維球體的三維投影不過就是我們在那裡討論的由兩個沿整個外皮長在一起的普通蘋果所形成的雙蘋果罷了。 同樣，使用這種類比法，我們也能回答關於四維形體性質的其他許多問題，儘管我們無論如何也沒法在我們的物理空間中「想像」出第四個獨立的方向。 不過，只要再稍作思考，你就會發現，根本沒有必要把第四個方向看得很神秘。事實上，有一個我們幾乎每天都在用的詞可以表示物理世界中這第四個獨立的方向，那就是「時間」。我們常常用時間和空間來描述周圍發生的事件。談到宇宙中發生的任何事情時，無論是在街上邂逅了一個朋友，還是遙遠星體的爆發，我們通常不僅會說它在哪裡發生，還會說它是何時發生的。於是，除了表示空間位置的三個方向要素之外，我們又增加了一個要素——時間。 如果作進一步思考，你還可能意識到，任何實際物體都有四個維度：三個空間維度，一個時間維度。比如你所住的房屋就是沿長、寬、高和時間延展的。時間的延展從蓋房時算起，一直到它最後被燒毀、被某個拆遷公司拆掉或因年久失修而倒塌為止。 的確，時間方向與空間的三維很不相同。時間間隔是由鐘錶度量的：嘀嗒聲表示秒，叮咚聲表示小時，而空間間隔則是由尺子度量的。你能用同一把尺子來度量長、寬、高，卻不能把尺子變成鐘錶來度量時間。此外，你在空間中可以前移、後移或上移，然後再回來，而在時間中你卻退不回來，只能從過去到將來。不過，儘管時間方向與空間的三個方向之間存在著所有這些區別，我們仍然可以把時間作為物理世界的第四個方向，不過別忘了它與空間不大相同。 在選擇時間作為第四維時，想像本章開頭討論的四維形體要簡單得多。例如，你還記得四維正方體的投影所切出的那個奇特形體嗎？它竟然有16個頂點、32條邊和24個面！難怪圖26中的那些人盯著這個幾何怪物會瞠目結舌。 不過從我們的新觀點來看，四維正方體只是個存在了一段時間的普通立方體罷了。假定你在5月7日用12根鐵絲製成了一個立方體，一個月後又把它拆掉。那麼，這樣一個立方體的每一個頂點都應被看成沿時間方向有長為一個月的一條線。你可以給每個頂點掛一本小日曆，每天翻一頁以顯示時間的前進。 現在很容易數出這個四維形體的邊數。它剛開始存在時有12條空間邊，以及描述各個頂點延續時間的8條「時間邊」，結束存在時又有12條空間邊，24因此總共有32條邊。用類似的方法可以數出它有16個頂點：5月7日有8個空間頂點，6月7日又有8個空間頂點。作為練習，請讀者以同樣的方式數一數我們四維形體的面數。在此過程中要記住，其中一些面是原立方體的普通正方形面，其他面則是立方體原來的邊從5月7日延伸到6月7日所形成的「半空間半時間」面。 圖28 我們這裡針對四維立方體所講的內容當然也適用於任何其他幾何體或物體，無論是死的還是活的。 特別是，你可以設想自己是一個四維形體，類似於一根長長的橡膠棒從你出生之時延伸到你生命結束。不幸的是，我們在紙上畫不出四維物體，因此在圖29中，我們嘗試以二維影子人為例來說明這種想法，他把與他所生活的二維平面垂直的空間方向認作時間方向。這幅圖只描繪了這個影子人整個生命的很小一部分，整個生命過程需要用一根長得多的橡膠棒來表示：開端很細，此時他是嬰兒，在很多年裡一直變動不定，直到死時才獲得恆定的形狀（因為死人不會動），然後開始解體。 圖29 說得更確切一些，這根四維棒是由無數分離的纖維組成的，每根纖維都由分離的原子所組成。在整個生命過程中，大多數纖維保持成一束，只有少量纖維在理髮或剪指甲時離去。由於原子是不滅的，所以人死後的身體分解實際上應被視為各個纖維朝四面八方分散開來（也許除了形成骨骼的那些纖維）。 用四維時空幾何的語言來說，這樣一條代表每一個物質微粒歷史的線被稱為它的「世界線」。同樣，我們把形成一個複合體的一束世界線稱為「世界束」。 圖30給出了一個天文學的例子，顯示了太陽、地球和彗星的世界線。25和前面那個例子一樣，我們讓時間軸與二維空間（地球軌道平面）垂直。在這幅圖中，太陽的世界線由一條與時間軸平行的直線來表示，因為我們認為太陽是不動的。26地球的軌道非常接似於圓，地球的世界線是一條圍繞太陽世界線盤旋的螺旋線，而彗星的世界線則先靠近、後遠離太陽的世界線。 圖30 我們看到，從四維時空幾何的角度來看，宇宙的地形學和歷史融合成了一幅和諧畫面。我們只需考慮一束代表個體原子、動物或星辰運動的纏結在一起的世界線就可以了。 二、時空等價 在把時間看成與三個空間維度多多少少等價的第四維時，我們碰到了一個非常困難的問題。度量長、寬、高時，我們可以用同一種單位，比如英寸或英尺。但時間長度既不能用英寸也不能用英尺來度量，我們必須使用完全不同的單位，比如分鐘或小時。那麼，它們如何比較呢？如果想像一個長寬高均為1英尺的四維正方體，它在時間上應當延伸多長才能使所有四個維度相等呢？是1秒、1小時，還是像上面那個例子中的1個月？1小時比1英尺更長還是更短？ 初看起來，這個問題似乎毫無意義，但細想一下就會找到一個合理方法來比較長度和時間延續。我們常常聽說，某人住在市區，「乘公共汽車需要20分鐘」，某個地方「乘火車只需5小時即可到達」。這裡，我們是通過乘坐某種交通工具所需的時間來指明距離的。 於是，如果可以就某種標準速度達成一致，我們就應當能用長度單位來表示時間間隔，反之亦然。當然，被選作空間與時間之間基本變換因子的標準速度必須同樣基本和一般，無論人採取什麼行動或者物理環境如何，都應保持不變。物理學中已知具有這種一般性的速度只有光在真空中傳播的速度。雖然通常稱這種速度為「光速」，但稱之為「物理相互作用的傳播速度」要更好，因為在物體之間起作用的任何種類的力，無論是電吸引力還是引力，都以相同的速度在真空中傳播。此外，我們後面還會看到，光速是任何可能的物質速度的上限，任何物體都不可能以大於光速的速度穿過空間。 17世紀著名的義大利物理學家伽利略第一次嘗試測量光速。一個漆黑的夜晚，他和助手帶著兩盞配有機械遮板的燈來到佛羅倫薩近郊的曠野，彼此相距幾英里站定。伽利略在某一時刻打開燈，朝著助手的方向發出一束光（圖31a）。助手已被告知，一看到伽利略那裡發出的光就要打開自己的燈。既然光從伽利略到助手再返回伽利略都需要一定時間，所以從伽利略打開燈到看見來自助手的光線，也應有某個時間延遲。伽利略的確注意到了一個小的時間延遲，但是當他讓助手站到兩倍遠的地方再重複這個實驗時，觀察到的延遲卻沒有增大。光顯然走得太快了，走幾英里的距離幾乎不用什麼時間。觀察到的時間延遲其實緣於伽利略的助手不可能在看到光的一瞬間立即打開燈——我們今天稱之為反應延遲。 圖31 雖然伽利略的實驗沒有導出任何正面結果，但他的另一項發現，即發現了木星的衛星，卻為第一次實際測量光速提供了基礎。1675年，丹麥天文學家羅默（Roemer）在觀測木星衛星的食時，注意到這些衛星消失在木星陰影中的時間間隔並不總是相同，而是隨著那一特殊時刻木星與地球之間的距離而變長或變短。羅默立刻意識到（你在考察圖31b之後也會意識到），這種效應並非緣於木星的衛星運動不規則，而僅僅是由於木星與地球的距離變動導致我們看到這些食有不同的延遲。由他的觀測結果可以得出，光速約為每秒185 000英里。難怪伽利略用他的設備測不出光速，因為光從他的燈傳到助手再傳回來只需十萬分之幾秒！ 不過，伽利略用其粗糙的遮光燈做不到的事情，後來用更精密的物理儀器做到了。圖31c是法國物理學家斐索（Fizeau）最先使用的以較短距離測量光速的設備，其主要部件是安在同一根軸上的兩個齒輪。如果我們沿著與軸平行的方向看這兩個齒輪，那麼第一個齒輪的齒對著第二個齒輪的齒縫。於是，無論軸如何轉動，沿著與軸平行的方向射出的細光束都無法穿過這套齒輪。現在假定這套齒輪系統高速旋轉。由於透過第一個齒輪齒縫的光線需要一些時間才能到達第二個齒輪，所以如果在此期間這套齒輪系統恰好轉過半個齒縫，那麼這束光就能穿過第二個齒輪了。這裡的情況非常類似於汽車以恰當的速度沿一條裝有紅綠燈同步系統的街道行駛。如果這套齒輪的轉速提高一倍，那麼光到達第二個齒輪時正好會射到轉來的下一個齒上，光的行進將再次受阻。但如轉速繼續提高，光將再次能夠穿過，因為光束到達之前這個齒已經轉了過去，而下一個齒縫恰好會在這個時刻轉來讓光穿過去。因此，只要注意光的相繼出現和消失所對應的轉速，就能估算出光在兩齒輪之間穿行的速度。為了方便實驗並且減小所需的轉速，我們可以讓光在兩齒輪之間多走些距離，這可以藉助於圖31c中所示的幾面鏡子來實現。在這個實驗中，當齒輪以1 000轉每秒的速度旋轉時，斐索第一次看到光穿過了距離自己最近那個齒輪的齒縫。這說明在此轉速下，光從一個齒輪到達另一個齒輪時，齒輪的齒已經轉過了半個齒距。由於每一個齒輪都有50個相同尺寸的齒，所以齒距為齒輪周長的1/100，光穿過這段距離的時間也就是齒輪轉動一整圈所需時間的1/100。斐索將這些計算結果與光從一個齒輪傳到另一個齒輪的距離聯繫起來，得到光速為300 000公里每秒或186 000英里每秒，它與羅默觀測木星衛星所得到的結果幾乎相同。 繼這些先驅者的工作之後，人們又用天文學和物理學的方法做了大量獨立測量。目前，光在真空中的速度（通常用字母c來表示）的最佳估計值是 c = 299 776公里/秒或186 300英里/秒。 天文學距離非常巨大，如果用英里或公里來度量它們，可能要寫滿好幾張紙，此時極高的光速就成了一個方便的度量標準。於是，天文學家會說某顆星星距離我們5「光年」遠，就像我們說乘火車去某個地方需要5小時一樣。由於1年有31 558 000秒，1光年就對應於31 558 000×299 776 = 9 460 000 000 000公里或5 879 000 000 000英里。用「光年」來度量距離，實際上已經把時間看成一個維度，把時間單位看成一種空間量度了。我們也可以把程序反過來，說「光英里」，意指光走1英里的距離所需的時間。使用上述光速值，我們得到1光英里等於0.000 005 4秒。同樣，「1光英尺」是0.000 000 001 1秒。這便回答了我們在上一節所討論的那個四維正方體的問題。如果該正方體的空間尺寸（space-dimensions）為1英尺×1英尺×1英尺，那麼其空間持續（space-duration）僅為0.000 000 001 1秒。如果這個邊長1英尺的正方體存在了一整月的時間，就應把它看成一根沿著時間軸的方向被拉得極長的四維棒。 三、四維距離 既已解決沿著空間軸和時間軸使用什麼可比較的單位這個問題，我們現在可以問，應當如何理解四維時空世界中兩點之間的距離？務必記住，現在每一個點都對應於通常所說的「一個事件」，即位置與時間的結合。為了講清楚這一點，我們不妨看看以下兩個事件： 事件1：1945年7月28日上午9點21分，位於紐約第五大道和五十街交叉口1樓的一家銀行被劫。27 事件2：同一天上午9點36分，一架軍用飛機在霧中撞在紐約三十四街在第五、六大道之間帝國大廈79樓的牆上（圖32）。 圖32 這兩個事件在空間上南北相隔16個街區，東西相隔1/2個街區，上下相隔78層樓；在時間上相隔15分鐘。顯然，要想描述這兩個事件的空間間隔，並不一定要記錄下街道的數字和樓層數，因為藉助於著名的畢達哥拉斯定理，即空間中兩點之間的距離等於單個坐標距離的平方和的平方根，可以將它們結合成一個直接的距離（圖32右下角）。而為了運用畢達哥拉斯定理，當然必須先用可比較的單位（例如英尺）將所有所涉距離表達出來。如果一個南北街區長200英尺，一個東西街區長800英尺，帝國大廈每個樓層的平均高度為12英尺，那麼三個坐標距離就是南北方向3 200英尺，東西方向400英尺，豎直方向936英尺。現在，運用畢達哥拉斯定理可以得出，兩個地點之間的直接距離為 英尺 如果時間作為第四個坐標的概念有任何實際的有效性，我們現在應當能把兩個事件的空間距離3360英尺與時間距離15分鐘結合起來，用一個數來刻畫這兩個事件之間的四維距離。 按照愛因斯坦原來的想法，只需把畢達哥拉斯定理作簡單的推廣，便可實際確定這樣一個四維距離。在確定各個事件之間的物理關係方面，此距離要比單個的空間時間間隔更為基本。 當然，要把空間和時間的數據結合起來，我們必須用可比較的單位將其表示出來，就像用英尺來表示街區長度和樓層高度一樣。前已看到，用光速作為變換因子，便很容易做到這一點。於是，15分鐘的時間間隔就成了800 000 000 000「光英尺」。現在，對畢達哥拉斯定理作簡單的推廣，我們便可把四維距離定義為所有四個坐標距離（即三個空間間隔和一個時間間隔）的平方和的平方根。然而在此過程中，我們完全取消了空間與時間的任何差別，這等於實際承認空間度量和時間度量可以相互轉換。 然而，任何人都無法用布遮住一根尺子，揮動一下魔杖，念念「空間去，時間來，變」這樣的咒語，就能把它變成一個閃閃發光的全新鬧鐘！甚至連偉大的愛因斯坦也不例外。（圖33） 圖33　愛因斯坦教授從來就做不到這個，但他做的比這強得多 於是，若要在畢達哥拉斯公式中將時間與空間結合成一體，就必須採用某種不尋常的方法，以保留它們的一些自然差別。 根據愛因斯坦的看法，在推廣的畢達哥拉斯定理的數學表達式中，可以通過在時間坐標的平方前使用負號來強調空間距離與時間延續之間的物理差別。這樣一來，兩個事件之間的四維距離就可以表示成三個空間坐標的平方和減去時間坐標的平方，然後開平方。當然，首先要用空間單位來表示時間坐標。 於是，銀行遭劫與飛機撞擊帝國大廈之間的四維距離應當這樣來計算： 。 第四項之所以比前三項大得多，是因為這個例子來自「日常生活」，而以日常生活的標準來看，合理的時間單位的確太小了。如果不是以紐約市發生的兩個事件，而是以宇宙中發生的一個事件作為例子，我們就能得到大小更為相當的數值了。例如，第一個事件是1946年7月1日上午9點整一顆原子彈在比基尼環礁爆炸，第二個事件是同一天上午9點10分一顆隕石落在火星表面，其時間間隔即為540 000 000 000光英尺，空間距離則約為650 000 000 000 英尺，兩者大小相當。 在這個例子中，兩個事件之間的四維距離是： 英尺=36×1010英尺， 在數值上與純空間距離和純時間間隔都非常不同。 當然，有人也許會反對這樣一種看似不合理的幾何學，因為它對其中一個坐標的處理不同於其他三個坐標。但不要忘了，任何旨在描述物理世界的數學系統都必須符合事物；如果空間和時間在其四維結合中的表現的確有所不同，那麼四維幾何學的定律也必須有對應的樣式。而且還有一種簡單的數學補救辦法，可以使愛因斯坦的時空幾何學看起來與我們在學校里學習的古老而美好的歐幾里得幾何學完全一樣。這種補救辦法就是把第四個坐標看成純虛數，它是德國數學家閔可夫斯基（Hermann Minkovskij）提出的。大家也許還記得，本書第二章講過，一個普通的數乘以就成了一個虛數，用這種虛數來解各種幾何學問題是非常方便的。於是，根據閔可夫斯基的說法，要把時間看成第四個坐標，不僅要用空間單位來表示它，還要乘以。這樣一來，那個例子中的四個坐標距離就成了： 第一坐標：3 200英尺 第二坐標：400英尺 第三坐標：936英尺 第四坐標：8×1011i光英尺。 現在，我們也許可以把四維距離定義為所有四個坐標距離的平方和的平方根了。事實上，由於虛數的平方總是負的，所以用閔可夫斯基坐標寫出的普通畢達哥拉斯公式將與用愛因斯坦坐標寫出的似乎不太合理的公式在數學上等價。 有一個故事，說的是一位患風濕病的老人問自己的健康朋友是如何避免這種病的。 回答是：「我這輩子每天早上都會洗個冷水澡。」 「噢，」前者喊道，「那你是患了冷水澡病！」 於是，如果你不喜歡那個似乎會引起風濕病的畢達哥拉斯定理，你可以把它改成虛時間坐標這種冷水澡病。 由於時空世界裡的第四個坐標是虛的，所以必須考慮兩種在物理上不同的四維距離。 事實上，在前面討論的紐約事件那樣的情況下，兩個事件之間的三維距離在數值上要小於時間間隔（用恰當的單位），畢達哥拉斯定理中根號下的數是負的，所以我們得到的推廣的四維距離是虛的。而在其他一些情況下，時間延續要小於空間距離，因此根號下得到的是正數，這當然意味著在這些情況下，兩個事件之間的四維距離是實的。 如上所述，既然空間距離被看成實的，而時間延續被看成純虛的，我們也許可以說，實的四維距離與普通的空間距離關係更近，而虛的四維距離與時間間隔關係更近。根據閔可夫斯基使用的術語，前一種四維距離被稱為類空（raumartig）間隔，後一種被稱為類時（zeitartig）間隔。 我們將在下一章看到，類空間隔可以轉變為正規的空間距離，類時間隔也可以轉變為正規的時間間隔。然而，這兩者一個為實數，一個為虛數，這給時空的相互轉變造成了不可逾越的障礙，因此我們不可能把尺子變成時鐘，也不可能把時鐘變成尺子。