從一到無窮大 · 第三章　空間的不尋常性質

一、維數和坐標 我們都知道什麼叫空間。但要精確地定義這個詞的意思，我們恐怕又會張口結舌。我們也許會說，空間就是那個我們可以在其中前後、左右、上下移動的包圍著我們的東西。存在著三個互相垂直的獨立方向，這是我們生活於其中的物理空間的最基本的性質之一；我們說，這個空間是三個方向的或三維的。空間中的任何位置都可以通過這三個方向來確定。如果我們來到一座陌生的城市，向旅店服務員詢問如何找到某家知名商號的辦事處，那麼他可能會說：「向南走5個街區，然後向右拐再走2個街區，上到7層。」以上這三個數通常被稱為坐標，在這個例子中規定了城市街道、樓層和原點（旅店廳堂）的關係。不過顯然，同一地點的方位也可以由其他任何一點給出，只要使用一個能正確表達新原點與目的地之間關係的坐標系就行了。只要知道新坐標系相對於舊坐標系的位置，就可以通過簡單的數學運算，用舊坐標表示出新坐標。這一過程被稱為坐標變換。這裡不妨補充一句，這三個坐標並不一定要由代表距離的數來表達；事實上在某些情況下，使用角坐標要更加方便。 例如，紐約的地址通常用一個由街和路所組成的直角坐標系來表示，而莫斯科的地址則要換成極坐標，因為這座古老的城市是圍繞著克里姆林中心城堡發展起來的，它既有從城堡輻射出去的各個街道，又有若干條同心的環路。因此人們會很自然地說，某座房子位於比如克里姆林宮正北與西北正中間（north-north-west）的第20個街區。 直角坐標系和極坐標系的另一個經典例子是俄國的海軍部大廈和華盛頓的美國陸軍部五角大樓，這是二戰期間參與戰爭工作的每一個人所熟知的。 圖12　這幾個例子表明如何能用三個坐標來表示空間中某一點的位置，其中有些坐標是距離，有些坐標是角度。但無論選擇什麼系統，我們都需要三個數據，因為我們討論的是三維空間 我們這些擁有三維空間概念的人雖然很難想像高於三維的超空間（儘管我們稍後會看到，這樣的空間是存在的），但卻很容易想像低於三維的子空間。平面、球面或其他任何表面都是二維的子空間，因為只需兩個數就可以描述表面上的任何一點。同樣，線（直線或曲線）是一維的子空間，因為只需一個數就可以描述線上的某個位置。我們還可以說，點是零維的子空間，因為一個點內沒有兩個不同位置。不過，誰會對點感興趣呢！ 作為三維生物的我們覺得理解線和面的幾何性質要比理解三維空間的幾何性質容易得多，因為我們是三維空間的一部分，可以「從外面」觀察線和面。因此，我們很容易理解曲線或曲面是什麼意思，而一聽說三維空間也可以彎曲便會大吃一驚。 但只要稍作練習，並且了解了「曲率」一詞的真實含義，你就會發現彎曲三維空間的概念其實非常簡單。到下一章結束時，（我們希望）你甚至能夠輕鬆地談論一個初看起來非常可怕的概念，那就是彎曲的四維空間。 不過在討論那些內容之前，我們先來做一些有關普通三維空間、二維表面和一維的線的思維訓練。 二、不量尺寸的幾何學 根據我們中學時的記憶，幾何學是關於空間量度的科學，18其內容主要是涉及各種距離和角度之間數值關係的一大堆定理（例如，著名的畢達哥拉斯定理就與直角三角形的三條邊有關）。然而，空間的許多最基本性質並不需要測量長度或角度。討論這些內容的幾何學分支被稱為位置分析（analysis situs）或拓撲學（topology）19。 茲舉一個典型拓撲學的簡單例子。考慮一個封閉的幾何面，比如一個球面，它被一張線網劃分成許多區域。為此，我們可以在球面上任選一些點，用不相交的線將它們連接起來。那麼，這些點的數目、相鄰區域之間邊界線的數目以及區域的數目之間有什麼關係呢？ 首先，如果把這個圓球擠成南瓜狀的扁球，或者拉成黃瓜狀的長條，那麼點、線、區域的數目顯然還和圓球時一樣。事實上，我們可以取隨意擠壓拉扯（除了切割或撕裂）一個橡皮球時所能得到的任何封閉表面，對上述問題的表述和回答都不會有任何改變。這與一般幾何學中的數值關係（比如線的長度、面積、體積之間的關係）截然不同。事實上，如果把一個正方體拉扯成一個平行六面體，或者把球體壓成餅形，這些關係會發生很大變化。 對於這個已經劃分成若干個區域的球體，我們現在可以將它的每一個區域都壓平，這樣一來，該球體就變成了一個多面體（圖13）；現在，不同區域的邊界變成了多面體的邊，原先選定的點則成了多面體的頂點。 圖13　一個劃分成若干區域的球體變形為一個多面體 現在，我們之前那個問題就可以重新表述成（其含義沒有任何改變）：一個任意形狀的多面體的頂點數、邊數和面數之間是什麼關係？ 圖14顯示了五種正多面體（即所有面都有同樣數目的邊和頂點）和一個純粹憑想像畫出的不規則多面體。 圖14　五種正多面體（只可能有這五種）和一個不規則的古怪多面體 我們可以數一數這些幾何體各自擁有的頂點數、邊數和面數，看看這三個數之間有沒有什麼關係？ 通過計數，我們可以製得下表。 多面體名稱 頂點數V 邊數E 面數F V+F E+2 四面體 4 6 4 8 8 六面體 8 12 6 14 14 八面體 6 12 8 14 14 二十面體 12 30 20 32 32 十二面體 20 30 12 32 32 「古怪體」 21 45 26 47 47 初看起來，前三欄的數字好像沒有什麼明確的關係。但稍作研究就會發現，頂點數V與面數F之和總是比邊數E大2。於是我們可以寫出這樣一個數學關係： V+F=E+2。 這種關係是只適用於圖14所示的這五種特殊多面體，還是適用於任何多面體呢？如果你試著畫出幾種不同的多面體，數出它們的頂點、邊和面，你會發現上述關係依然成立。由此可見，V+F=E+2是一條一般的拓撲學定理，因為這個關係式並不依賴於對邊長或面積的測量，而只涉及若干種不同的幾何學單位（頂點、邊、面）的數目。 我們方才發現的多面體的頂點數、邊數和面數之間所滿足的這一關係是17世紀著名的法國數學家笛卡兒（René Descartes）最先注意到的。稍後，另一位數學天才歐拉對它做出了嚴格證明，如今它被稱為歐拉定理。 以下是對歐拉定理的完整證明，引自庫朗（R. Courant）和羅賓斯（H. Robbins）的著作《數學是什麼？》（What Is Mathematics?），20我們可以看看這種證明是如何完成的。 為了證明歐拉的公式，讓我們把給定的簡單多面體想像成中空的，其表面由橡皮薄膜製成［圖15a］。如果切掉這個中空多面體的一個面，並把其餘表麵攤成一個平面［圖15b］。在此過程中，多面體各個面的面積和各個邊之間的角度當然都會改變。不過，該平面網絡中頂點和邊的數目仍與原多面體一樣多，而由於切掉了一個面，多邊形的數目將比原多面體的面數少一個。現在我們將證明，對於這個平面網絡，V-E+F=1。於是，如果把切掉的那個面算進去，結果就成了：對於原多面體來說，V-E+F=2。 圖15　對歐拉定理的證明。該圖顯示的是正方體的情況，但結論對於任何其他多面體都成立 首先，我們給這個平面網絡中某個不是三角形的多邊形畫出對角線，從而把該平面網絡「三角形化」。這樣一來，E和F都會增加1，因此V-E+F的值保持不變。這樣持續畫出對角線，直到最後整個圖形都由三角形所組成［圖15c］。在這個三角形化的網絡中，V-E+F仍和劃分成三角形之前的值一樣，因為畫對角線並不改變這個值。 一些三角形的邊位於該網絡的邊緣，其中有的三角形（例如△ABC）只有一條邊位於邊緣，有的三角形則可能有兩條邊位於邊緣。任取一個這樣的邊緣三角形，把它的那些不同時屬於其他三角形的部分移去［圖15d］。這樣一來，從△ABC，我們移去了AC邊和面，留下了頂點A、B、C 和兩條邊AB、BC；從△DEF,我們移去了面、兩條邊DF、FE以及頂點F。 在△ABC類型的移去法中，E和F都減少1，而V不變，因此V-E+F保持不變。在△DEF 類型的移去法中，V減少1，E減少2，F減少1，因此V-E+F同樣保持不變。以恰當的順序逐步拿掉這些邊緣三角形，直到只剩下一個三角形和它的三條邊、三個頂點和一個面。對於這個簡單的網絡，V-E+F=3-3+1=1。但我們已經看到，隨著三角形的減少，V-E+F並不發生改變，因此在原來那個平面網絡中，V-E+F也必定等於1。而這個網絡比原多面體少一個面，因此對於完整的多面體來說，V-E+F=2。這便證明了歐拉的公式。 歐拉公式的一個有趣推論是：只可能存在五種正多面體，即圖14所示的那五種。 然而，如果認真檢查一下前面幾頁的討論，你也許會注意到，在繪製圖14 所示的「各種不同的」多面體以及用數學推理來證明歐拉定理時，我們都作了一個隱秘的假設，導致我們對多面體的選擇受到了很大限制。也就是說，我們只能選擇那些沒有任何孔眼的多面體。我們所說的孔眼並不是指橡皮球上的破洞那樣的東西，而是類似於麵包圈或橡皮輪胎當中那個閉合的窟窿。 我們只要看看圖16就清楚了。這裡有兩個不同的幾何體，它們和圖14所示的幾何體一樣也是多面體。 現在我們來看看歐拉定理是否適用於這兩個新的多面體。 圖16　分別穿有一個和兩個孔眼的兩個立方體狀的東西。其各個面不都是嚴格的矩形，但正如我們所看到的，這在拓撲學中無關緊要 對於第一個幾何體，我們總共可以數出16個頂點、32條邊和16個面；於是，V+F=32，而E+2=34，不對了。對於第二個幾何體，我們總共可以數出28個頂點、46條邊和30個面；V+F =58，E+2=48，同樣不對。 為什麼會這樣呢？我們前面對歐拉定理所作的一般證明對於這兩個例子為什麼失效了？ 問題當然在於，我們前面考慮的所有多面體都可以看成一個球膽或氣球，而這裡的新型中空多面體卻更像輪胎或更複雜的橡膠製品。前面給出的數學證明無法運用於後面這類多面體，因為對於這類多面體，我們無法完成證明所必需的所有操作——「切掉這個中空多面體的一個面，並把其餘表麵攤成一個平面」。 如果拿一個球膽，用剪刀切掉它的一部分表面，你將很容易滿足這個要求。但對於一個輪胎卻無法做到。倘若看了圖16還不相信這一點，你可以找箇舊輪胎試試！ 但不要以為對於這種更複雜的多面體，V、E和F之間就沒有關係了。關係是有的，但有所不同。對於麵包圈形的，或者說得更科學一些，對於環面形（torus）的多面體來說，V+F=E，而對於扭結形（pretzel）的多面體來說，V+F=E-2。一般說來，V+F=E+2-2N，其中N為孔眼的數目。 另一個典型的拓撲學問題與歐拉定理密切相關，那就是所謂的「四色問題」。假定有一個被劃分成若干區域的球面，現在要給這些區域塗上顏色，要求任何兩個相鄰的區域（即擁有共同邊界的區域）不能有同一種顏色。那麼，要想完成這項工作，最少需要幾種顏色呢？顯然，兩種顏色一般來說是不夠用的，因為當三條邊界交於一點時（比如美國地圖上的弗吉尼亞州、西弗吉尼亞州和馬里蘭州，見圖17），就需要三種不同的顏色。 圖17　馬里蘭州、弗吉尼亞州和西弗吉尼亞州的地圖（左）以及瑞士、法國、德國和義大利的地圖（右） 要找到需要四種顏色的例子也不難，比如德國吞併奧地利時期的瑞士地圖（圖17）。21 但無論你怎麼努力，也想像不出一張非得用四種以上顏色的地圖，無論在球面上還是一張紙上。22看來，無論把地圖構造得多麼複雜，用四種顏色就足以避免邊界處的任何相混了。 不過，如果這種說法是正確的，就應該能用數學方法證明它。然而，經過幾代數學家的努力，仍然未能做到這一點。這是那種幾乎無人懷疑、但也無人能夠證明的數學陳述的一個典型案例。我們現在只能從數學上證明五種顏色總是夠用的。這個證明是將歐拉關係應用於國家數、邊界數和若干個國家交會的三重、四重等交點數而得出的。 這個證明非常複雜，寫下來會離題太遠，這裡就不贅述了。讀者可以在各種拓撲學著作中找到它，並且在沉思中度過一個愉快的夜晚（說不定還會一夜無眠）。如果有誰能夠證明無需五種、只需四種顏色就足以給任何地圖上色，或者，如果對這種說法的有效性產生懷疑，能夠畫出一幅四種顏色也不夠用的地圖，那麼無論哪種情況成功了，他的大名都會經常出現在未來幾個世紀的純粹數學年鑑上。 頗具諷刺意味的是，這個上色問題在球面或平面的情況下怎麼也求解不得，而對於麵包圈形或扭結形等更為複雜的表面卻能以相對簡單的方式得到解決。例如，人們已經最終證明，無論對麵包圈形的表面作怎樣的劃分，要使它的相鄰區域的顏色有所不同，最多需要七種顏色。實際需要七種顏色的例子也已經給出。 讀者如果不厭其煩，可以找一個充氣輪胎和七種不同顏色的油漆給輪胎上色，使每一種顏色的區域都與另外六種顏色的區域相鄰。做完之後，他就可以說他「對麵包圈形的表面的確了如指掌」了。 三、把空間翻過來 到目前為止，我們一直在討論各種表面也就是二維空間的拓撲學性質。但類似的問題顯然也可以針對我們生存於其中的三維空間提出。這樣一來，地圖上色問題在三維情況下的推廣就可以表述成：要把由不同材料製成的各種形狀的鑲嵌圖案拼成一個空間，使得沒有任何兩塊由同一種材料製成的鑲嵌圖案有共同的接觸面，那麼需要用多少種材料？ 上色問題在球面或環面上的三維類比是什麼呢？能不能想出一些不同尋常的空間，它們與普通空間的關係就如同球面或環面與普通平面的關係？初看起來，這個問題似乎沒有什麼意義。事實上，我們雖然很容易想到許多不同形狀的表面，卻往往認為只可能有一種三維空間，即我們生活於其中的那個熟悉的物理空間。但這種看法是一種危險的幻覺。只要稍微發動一下想像力，我們就能想出與歐幾里得幾何教科書中所講空間截然不同的一些三維空間。 設想這類古怪空間的主要困難在於，我們本身是三維生物，我們只能「從內部」打量這個空間，而不能像在觀察各種怪異表面時那樣「從外部」去打量。不過，經過一番思維訓練，我們是能夠征服這些怪異空間的。 我們首先來建立一個性質與球面相似的三維空間模型。當然，球面的主要性質是：它沒有邊界，但有有限的面積；它轉過來自我封閉。我們能否設想一個三維空間，它以類似的方式自我封閉，從而有有限的體積而無明確邊界呢？ 考慮兩個球體，它們各自被自己的球面所限，就像蘋果被自己的外皮所限一樣。現在，設想這兩個球體「相互穿過」，沿外表面連在一起。當然，這並不是說我們能把兩個物體（比如兩個蘋果）擠得相互穿過，從而使其表皮粘連在一起。蘋果能被擠碎，但永遠也不會相互穿過。 或者，我們可以設想有個蘋果被蟲子吃出了錯綜複雜的通道。假定有黑色和白色兩種蟲子，它們彼此厭惡，在蘋果內的各自通道絕不相通，儘管可以始於蘋果皮上的相鄰兩點。一個被這兩種蟲子蛀來蛀去的蘋果最後會像圖18那樣，出現兩個緊密交纏、布滿整個蘋果內部的通道網絡。然而，儘管黑蟲和白蟲的通道可以很接近，要想從一半迷宮走到另一半迷宮，卻必須先到表面才行。如果設想通道變得越來越細，數目越來越多，最後蘋果內將會有兩個互相交疊的獨立空間，它們僅在共同表面上相連。 圖18 如果你不喜歡蟲子，可以設想一種類似於紐約世界博覽會的巨型球體建築中那種雙走廊雙樓梯系統。設想每一套樓梯系統都盤旋穿過整個球體，但要從其中一套系統的某個點到達另一套系統的臨近點，只能先走到球面上兩套系統的會合處，然後再往回走。我們說這兩個球體互相交疊而彼此不相干涉，你的朋友可能離你很近，但要見到他、握個手，你必須兜很大的圈子！需要注意的是，這兩套樓梯系統的連接點其實與球內的任何其他點並無不同，因為總可以使整個結構變形，把連接點推到裡面，把以前裡面的點弄到表面。關於我們的模型，第二點要注意的是，雖然兩套通道的總長度是有限的，但沒有「死胡同」。你可以不斷穿過走廊和樓梯，而不會被牆壁或柵欄擋住；如果你走得足夠遠，你最終一定能回到你的出發點。從外面審視整個結構，我們可以說，在這迷宮中穿行的人最終總會回到其出發點，因為樓梯會逐漸轉到反方向。但對於處在內部而不知「外面」為何物的人來說，空間將表現為有限尺寸而無明確邊界的東西。我們將在後面看到，這種沒有明顯邊界但並非無限的「自我封閉的三維空間」在討論整個宇宙的性質時是非常有用的。事實上，用最強大的望遠鏡所作的觀測似乎表明，在如此遙遠的距離處，空間開始彎曲，顯示出一種返折回來自我封閉的明顯趨勢，就像蘋果被蟲子蛀出通道的那個例子一樣。但在討論這些令人興奮的問題之前，我們還得再了解一下空間的其他性質。 關於蘋果和蟲子，我們還沒有講完。下一個問題是：能否把一個被蟲子蛀過的蘋果變成一個麵包圈呢？當然，這並不是說要使蘋果嘗起來像麵包圈，而只是說讓它看起來像麵包圈；我們在討論幾何學，而不是烹飪術。讓我們取一個上一節所討論的「雙蘋果」，也就是兩個「相互穿過」且表皮「粘連在一起」的新鮮蘋果。假設有一隻蟲子在其中一個蘋果中蛀出了一條環形通道，如圖19所示。請記住，是在一個蘋果中蛀的，所以通道外的每一點都是屬於兩個蘋果的雙重點，而通道內則只有那個未被蟲蛀過的蘋果的物質。這樣一來，我們這個「雙蘋果」就有了一個由通道內壁組成的自由面（圖19a）。 圖19　如何將一個被蟲子蛀過的雙蘋果變成一個麵包圈。不是魔術，只有拓撲！ 你能改變這個受損蘋果的形狀，將它變成一個麵包圈嗎？當然，這要假設蘋果有很大的可塑性，可以隨意捏成什麼樣子，唯一的條件是蘋果不會發生破裂。為了便於操作，我們可以把蘋果切開，只要在完成所需的變形之後還能將切口粘起來。 首先，我們把形成「雙蘋果」的兩個部分的表皮解開，從而將兩個蘋果分開（圖19b）。為了便於在接下來的各個步驟中進行追蹤，我們用Ⅰ和Ⅰ′這兩個數字來表示這兩張剝離開的表皮，最後我們還會把它們重新粘起來。接著，將那個包含著蟲蛀通道的蘋果切開（圖19c），這便切出了兩個新的面，分別標記為Ⅱ、Ⅱ′和Ⅲ、Ⅲ′，以後還會把它們粘回去。通道的自由面也顯示出來了，它必定會成為麵包圈的自由面。現在，讓我們按照圖19d所示來拉伸這幾個碎塊，這個自由面被拉伸成了很大一塊（不過按照我們的假定，這裡使用的材料可以任意伸縮！）。與此同時，切開的面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的尺寸都減小了。當我們對「雙蘋果」的前一半做手術時，也必定會把另一半壓縮成櫻桃大小。現在，我們要開始沿著切口往回粘了。第一步很容易，先把Ⅲ、Ⅲ′粘在一起，得到圖19e所示的形狀。再把縮小的蘋果放在由此形成的兩鉗口之間。收攏兩鉗口，球面Ⅰ將與Ⅰ′重新粘在一起，切面Ⅱ和Ⅱ′也將合在一起。這樣，我們便得到了一個光滑而精緻的麵包圈。 做這一切有什麼意義呢？ 沒有什麼意義，只是讓你在想像中做做幾何學練習，這種思維體操有助於你理解彎曲空間和自我封閉空間這樣的異乎尋常的東西。 如果你願意再擴展一下想像力，我們可以看看上述做法的一個「實際應用」。 你大概從未想過，你的身體也曾有過麵包圈的形狀吧。事實上，任何生命體在其發育的最初階段（胚胎階段）都要經歷所謂的「原腸胚」階段。在這個階段中，它呈球形，一條寬闊的通道橫穿其中。食物從通道的一端進入，待生命體攝取了有用成分之後，剩下的東西從另一端排出。在發育成熟的生命體中，內部通道變得更細、更複雜，但主要原則依然不變：麵包圈形的所有幾何性質都沒有改變。 好了，既然你也是個麵包圈，現在嘗試逆著圖19的方式作個變形——（在思想中！）努力把你的身體變成一個擁有內部通道的雙蘋果。特別是，你會發現，你身體中彼此部分交疊的不同部分將會形成「雙蘋果」的果體，而包括地球、月亮、太陽和星辰在內的整個宇宙將被擠入內部的圓形通道！ 試著畫畫看它是什麼樣子。如果你畫得不錯，連達利（Salvado Dali）本人也要承認你的超現實主義畫作技高一籌了！（圖20） 圖20　裡面翻到外面的宇宙。這幅超現實主義畫作畫的是一個人邊在地球表面上行走，邊抬頭看星星。這幅畫按照圖19所示的方法作了拓撲變換。於是，地球、太陽和星辰都擠在貫穿人體的一個狹窄通道中，周圍則是他的內部器官 雖然本節已經很長，但在結束它之前，我們還要討論一下左手系、右手系物體及其與空間一般性質的關係。介紹這個問題最方便的辦法是從一副手套談起。比較一下一副手套（圖21），你會發現它們在各方面都是相同的，但有一個重大差異：你無法把左手套戴到右手上，也無法把右手套戴到左手上。你可以隨意將它們扭來轉去，但左手套永遠是左手套，右手套永遠是右手套。左手系物體與右手系物體的這種區別還可見於鞋子的形狀、汽車的轉向機構（美國的和英國的）、高爾夫球棍以及其他許多物體。 圖21　右手系和左手系物體看起來非常相像，但極為不同 另一方面，像禮帽、網球拍等許多東西就沒有顯示出這種差別。沒有人會傻到要去商店訂購幾隻左手用的茶杯。如果有人讓你找鄰居借一個左手用的活動扳手，那肯定是個惡作劇。那麼，這兩種東西有什麼區別呢？稍作思考你就會注意到，像禮帽和茶杯這樣的東西都有一個我們所謂的對稱平面，沿這個平面可將它們切成兩個相等的部分。而手套和鞋子就沒有這樣的對稱平面。無論你如何努力，你都無法把一隻手套切成兩個相同的部分。如果某個物體沒有對稱平面，或如我們所說是非對稱的，那麼它就有左手系和右手系兩種類型。其差別不僅表現於手套或高爾夫球桿這樣的人造物體，在自然界中也很常見。例如，存在著兩種蝸牛，它們在所有其他方面都相同，唯獨建房子的方式不同：一種蝸牛的殼沿順時針盤旋，另一種則沿逆時針盤旋。甚至連分子這種組成各種不同物質的微粒，也常常有左旋和右旋兩種形態，就像左、右手套以及順時針和逆時針盤旋的蝸牛殼一樣。當然，你是看不見分子的，但這種不對稱性可以顯示於這些物質的晶體形態和某些光學性質。例如，糖有左旋糖和右旋糖兩類；還有兩種吃糖的細菌，每種細菌只吃與之對應的那種糖，信不信由你。 如前所述，將一個右手系物體（例如一隻右手套）變成左手系物體似乎是完全不可能的。但果真如此嗎？我們能否設想出某種可以做到這一點的奇妙空間呢？為了回答這個問題，讓我們從生活在面上的扁平居民的角度來考察它，我們可以從更優越的三維地位來觀察這些居民。圖22描繪了只有兩維空間的扁平國的可能居民的幾個例子。那個手提一串葡萄的站立者可稱為「正面人」，因為他只有「正面」而沒有「側面」。而他身邊的動物則是一頭「側面驢」，或者說得更確切些，是一頭「右側面驢」。當然，我們也能畫出一頭「左側面驢」。由於這兩頭驢都被限定於這個面上，所以從二維的觀點來看，它們的不同就如同我們三維空間中的左右手套。你無法將「左驢」與「右驢」交疊起來，因為要使它們鼻子挨著鼻子、尾巴挨著尾巴，就得把其中一頭驢子翻個個兒，這樣一來，它可就四腳朝天，無法站立咯。 圖22　生活在平面上的二維「影子生物」的樣子。這種二維生物很不「現實」。此人有正面而無側面，他無法將手裡的葡萄送入口中。那頭驢子倒可以吃到葡萄，但它只能向右走，要想左移只能退著走。驢子退著走倒並非罕見，但畢竟不太像樣 不過，若將一頭驢子從面上取出，在空間中翻轉一下再放回去，兩頭驢子就會變得一樣。同理也可以說，若把一隻右手套沿第四方向拿出我們這個空間，適當地旋轉一下再放回去，就可將它變成一隻左手套。但我們的物理空間並無第四方向，所以只能認為上述方法是不可能做到的。那麼，有沒有別的辦法呢？ 現在，我們還是回到二維世界，不過不是考慮圖22所示的普通平面，而是考慮所謂「莫比烏斯面」（surface of Möbius）的性質。這種面的名字得自於一個世紀以前最早對它進行研究的德國數學家。拿一個長長的紙條，將其一端擰個彎，然後把兩端粘成一個環，便輕而易舉地得到了莫比烏斯面。圖23顯示了這個環的具體做法。這種面有許多特殊性質，其中一個性質很容易發現：拿剪刀沿一條與邊緣平行的線（沿著圖23中的箭頭）剪一圈，你一定會預期這樣會把這個環剪成兩個分離的環。但做了之後你就會發現猜錯了：你得到的不是兩個環，而是一個環，它是原有環的兩倍長、一半寬！ 圖23　莫比烏斯面和克萊因瓶 讓我們看看一頭影子驢沿著莫比烏斯面走一圈會發生什麼。假定它從位置1（圖23）出發，此時看它是頭「左側面驢」。從圖上可以清楚地看出，它走啊走，經過了位置2和位置3，最後又接近了出發點。但不僅你感到奇怪，它也感到納悶，自己竟然處在蹄子朝上的古怪位置（位置4）。當然，它能在面上轉一下使蹄子落地，但這樣一來，頭的朝向又不對了。 簡而言之，沿著莫比烏斯面走一圈之後，我們這頭「左側面驢」變成了「右側面驢」。別忘了，在此過程中，驢子一直處在面上而未被拿出來在空間翻轉。於是我們發現，在一個扭曲的面上，只要繞過扭曲處，左手系物體就可以變成右手系物體，反之亦然。圖23所示的莫比烏斯帶是被稱為「克萊因瓶」（如圖23右邊所示）的更一般的面的一部分。這種瓶只有一個面，自我封閉而沒有明顯的邊界。如果這在二維的面上是可能的，那麼同樣的情況也可以在三維空間中發生，只要以恰當的方式將它扭曲。當然，設想空間中的莫比烏斯扭曲絕非易事。我們不能像看驢所在的面那樣從外部來看我們的空間，當我們身在其中時，看清楚事物總是很難的。但天文空間自我封閉並以莫比烏斯的方式發生扭曲，這並非不可能。 如果真是如此，那麼宇宙旅行家回到地球時，其心臟將位於胸腔右側。手套和鞋子的製造商或許能夠得益於生產過程的簡化：他們只需製造同一種鞋子和手套，然後把一半物品裝入飛船環繞宇宙一周，這樣就能滿足另一半的手腳所需了。 我們就用這個荒誕的奇思異想來結束關於不尋常空間的不尋常性質的討論吧。