從一到無窮大 · 第二章　自然數與人工數

一、最純粹的數學 數學通常被人們尤其是數學家們譽為科學的女皇。既然是女皇，自然要力圖避免與其他知識分支扯上關係。比如在一次「純粹數學與應用數學聯席會議」上，希爾伯特應邀作一次公開演講，以幫助消除這兩種數學家之間的敵意，他是這樣說的： 我們常常聽說，純粹數學與應用數學是彼此敵對的。事實並非如此。純粹數學和應用數學並非彼此敵對。它們過去不曾敵對，將來也不會敵對。它們不可能彼此敵對，因為兩者其實毫無共同之處。 然而，儘管數學喜歡保持純粹，並盡力遠離其他科學，但其他科學尤其是物理學，卻極力同數學「親善」。事實上，純粹數學的幾乎每一個分支現在都被用來解釋物理世界的某個特徵。這包括抽象群理論、非交換代數、非歐幾何等一直被認為最為純粹、絕不可能付諸應用的學科。 但迄今為止，除了起智力訓練的作用以外，還有一個巨大的數學分支成功地保持住了自己的無用性，它真可以被冠以「純粹之王」的名號呢。這就是所謂的「數論」（這裡的數指整數），它是純粹數學思想最古老也最複雜的產物之一。 說來也怪，從某種角度來講，數論這種最純粹的數學竟然又可以稱為一門經驗科學，甚至是一門實驗科學。事實上，它的絕大多數命題都是通過嘗試用數來做不同的事情而提出的，就像物理學定律是通過嘗試用物體來做不同的事情而提出的一樣。此外，數論的一些命題已經「在數學上」得到了證明，而另一些命題還停留在純粹經驗的階段，至今仍在考驗最出色數學家的能力，這一點也和物理學一樣。 讓我們以質數問題為例來說明這一點。所謂質數，是指那些不能用兩個或兩個以上更小整數的乘積來表示的數，比如 2，3，5，7，11，13，17等就是這樣的數。而比如12可以寫成2×2×3，所以就不是質數。 質數的數目是無限的呢，還是存在著一個最大的質數，凡是比這個數更大的數都可以表示成已有質數的乘積呢？這個問題最早是歐幾里得（Euclid）解決的，他簡單而優雅地證明了並不存在什麼「最大的質數」，質數的數目超出了任何限度。 為了考察這個問題，讓我們暫時假定只知道有限個質數，其中最大的用N表示。現在我們把所有已知的質數都乘起來，再加上1，把它寫成以下形式： （1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1。 這個數當然比那個據稱的「最大質數」N大得多。但它顯然不能被我們的任何一個質數（到N為止，包括N在內）除盡，因為從這個數的構造方式可以看出，拿這些質數中的任何一個來除它，都會留下餘數1。 因此，這個數要麼本身也是一個質數，要麼必定能被一個比N更大的質數整除。而這兩種情況都與我們最初假設的N是最大的質數相矛盾。 這種證明方式被稱為歸謬法，是數學家最愛用的工具之一。 圖9 一旦知道質數的數目是無限的，我們自然會問，是否有什麼簡單的辦法可以把它們一個不漏地挨個寫出來。古希臘哲學家和數學家埃拉托色尼（Eratosthenes）最早提出了這樣一種方法，即所謂的「篩法」。你只需將完整的自然數列 1，2，3，4…寫下來，然後相繼刪去所有2的倍數、3的倍數、5的倍數，等等。圖9顯示了將埃拉托色尼的「篩法」用於前100個數的情況，其中總共有26個質數。通過使用這種簡單的篩法，我們已經製作了10億以內的質數表。 倘若能設計出一個公式，可以迅速地自動找到所有質數而且僅僅是質數，那該多方便啊。可惜，經過數個世紀的努力，我們仍然沒有找到這樣的公式。1640年，著名的法國數學家費馬（Pierre Fermat）認為自己已經設計出了一個只產生質數的公式：22n+1，其中n取1，2，3，4等自然數的值。 運用這個公式，我們得到： 221+1=5， 222+1=17， 223+1=257， 224+1=65537。 這幾個數的確都是質數。但在費馬宣布這個公式之後大約一個世紀，德國數學家歐拉（Leonard Euler）證明，費馬的第五個數225+1=4 294 967 297並非質數，而是6 700 417與641的乘積。於是，費馬這個演算質數的經驗規則被證明是錯誤的。 還有一個引人注目的公式也可以產生許多質數。這個公式是： n2-n+41， 其中n也取1，2，3等自然數的值。人們已經發現，在n取1到40之間某個數的情況下，用上述公式都能產生質數。可惜到了第41步，這個公式也不管用了。 事實上， (41)2-41+41＝412＝41×41， 這是一個平方數，而不是質數。 人們還嘗試過另一個公式： n2-79n+1601， 在n取從1到79之間的某個數時，這個公式都能產生質數，然而當n＝80時，它又失效了！ 於是，尋找只產生質數的普遍公式的問題仍然沒有得到解決。 尚未得到證明也沒有被否證的數論定理的另一個有趣例子是1742年提出的所謂「哥德巴赫猜想」。它說：每一個偶數都能表示成兩個質數之和。從一些簡單的例子很容易看出它是對的，比如12=7+5，24=17+7，32=29+3。但數學家們雖然就此作了大量研究，卻依然不能確鑿地證明這個命題是對的，也找不出一個反例來否證它。直到1931年，蘇聯數學家施尼雷爾曼（Schnirelmann）才朝著所期望的證明成功地邁出了建設性的第一步。他證明，每一個偶數都是不多於300 000個質數之和。後來，「300 000個質數之和」與「2個質數之和」之間的差距被另一位蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradoff）大大縮短了。他把史尼雷爾曼的結論減少到「4個質數之和」。但是從維諾格拉多夫的「4個質數」到哥德巴赫的「2個質數」，這最後的兩步似乎最難邁過去。我們不知道究竟需要幾年還是幾個世紀，才能最終證明或否證這個困難的命題。 由此可見，要想導出能夠自動給出小於任意大的數的所有質數的公式，我們還有很遠的路要走，我們甚至不確定究竟能否導出這樣的公式呢。 現在，我們也許可以問一個更為謙卑的問題：在給定的數值區間內，質數所占的百分比有多少。隨著數變得越來越大，這個百分比是否大致保持恆定？如果不是，它是增大還是減小？我們可以通過查找不同數值區間內的質數數目來經驗地回答這個問題。我們發現，100以內有 26個質數，1 000以內有168個，1 000 000以內有78 498個，1 000 000 000以內有50 847 478個。把這些質數數目除以相應的數值區間，我們便得到了下面這張表： 數值區間 1~N 質數數目 比率 偏差（%） 1~100 26 0.260 0.217 20 1~1 000 168 0.168 0.145 16 1~106 78 498 0.078 498 0.072 382 8 1~109 50 847 478 0.050 847 478 0.048 254 942 5 從這張表上首先可以看出，隨著數值區間的擴大，質數的相對數目在逐漸減少，但並不存在質數的終點。 有沒有什麼簡單的辦法能對質數在大數當中所占百分比的這種減小做出數學表示呢？有的，而且支配質數平均分布的法則堪稱整個數學中最引人注目的發現之一。這條法則說：從1到任何更大的數N之間質數所占的百分比近似由N的自然對數的倒數所表示。11N越大，這種近似就越精確。 從上表的第四欄可以查到N的自然對數的倒數。將它們與前一欄的值對比一下，就會看到兩者非常接近，而且N越大就越接近。 和其他許多數論命題一樣，上述質數定理起初也是憑經驗發現的，而且長時間得不到嚴格的數學證明。直到19世紀末，法國數學家阿達馬（Jacques Solomon Hadamard）和比利時數學家普桑（de la Vallée Poussin）才終於證明了它。其證明方法太過繁難，這裡就不去解釋了。 既然討論整數，就不能不提到著名的費馬大定理，儘管這個定理與質數的性質並無必然聯繫。這個問題可以追溯到古埃及，那裡的每一個好木匠都知道，一個三邊之比為3:4:5的三角形必定包含一個直角。事實上，古埃及人正是把這樣一個三角形（現在被稱為埃及三角形）用作木匠的曲尺。 公元3世紀時，亞歷山大里亞的丟番圖（Diophantes）開始思考這樣一個問題：是否只有3和4這兩個整數才滿足其平方和等於另一個整數的平方？他證明，還有其他三個一組的整數（事實上有無窮多組）具有這樣的性質，並且給出了找到這些整數的一般規則。這些三邊均為整數的直角三角形被稱為畢達哥拉斯三角形，埃及三角形是其中第一個。構造畢達哥拉斯三角形的問題可以簡單地表述成解代數方程 x2+y2=z2， 其中x，y，z須為整數。12 1621年，費馬在巴黎買了一本丟番圖所著《算術》的法文譯本，其中討論了畢達哥拉斯三角形。費馬讀這本書時，在書頁空白處作了一則簡短的筆記，說雖然方程 x2+y2=z2 有無窮多組整數解，但對於任何 xn+yn=zn 類型的方程，當n大於2時永遠沒有整數解。 「我發現了一個絕妙的證明，」費馬補充說，「但這裡的空白太窄了，寫不下。」 費馬去世後，人們在他的圖書室發現了丟番圖的那本書，那則旁註的內容也公之於世。三百多年來，各國最優秀的數學家都在力圖重建費馬寫那則旁註時所想到的證明，但至今未能成功。13當然，在朝著終極目標邁進方面已經有了很大進展。一門全新的數學分支，即所謂的「理想數理論」，在嘗試證明費馬大定理的過程中被創建出來。歐拉證明，方程x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有整數解。狄利克雷（Dirichlet）證明，x5+y5=z5也是如此。通過幾位數學家的共同努力，現已證明，當n的值小於269時，費馬方程都不可能有整數解。不過，對指數n取任何值都成立的一般證明一直沒能作出。人們越來越懷疑，費馬要麼根本沒有作出證明，要麼就是在證明過程中有什麼地方弄錯了。為了尋求這個問題的解答，曾經懸賞10萬德國馬克，這個問題因此變得紅極一時。不過，那些為獎金而來的業餘數學家的努力全都以失敗而告終。 當然，這個定理也有可能是錯誤的，只要能找到一個例子，證明兩個整數的某個相同高次冪之和等於另一個整數的同一次冪就可以了。不過在尋找這個例子時，我們只能使用比269更大的冪次，這可不是容易的事情啊。 二、神秘的 現在，我們來做點兒高級算術。二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。14 但一個負數的平方根會是什麼呢？和這樣的表達式有什麼意義嗎？ 如果你試圖以理性的方式來理解這樣的數，你一定會得出結論說，上述表達式沒有任何意義。我們可以引用12世紀的印度數學家婆什迦羅（Brahmin Bhaskara）的話：「正數的平方是正數，負數的平方也是正數。因此，正數的平方根有兩個：一個正的、一個負的。負數沒有平方根，因為負數不是平方數。」 但數學家都是固執的人。如果有某個看上去沒有意義的東西不斷出現在其公式中，他們就會盡力為其賦予意義。負數的平方根顯然持續出現在各種地方，無論是過去的數學家所思考的簡單算術問題，還是20世紀在相對論框架內將時間和空間統一起來的問題。 最早將負數的平方根這個看似沒有意義的東西寫到公式中的勇士是16世紀的義大利數學家卡爾丹（Cardan）。在討論是否有可能將10分成乘積等於40的兩部分時，卡爾丹表明，雖然這個問題沒有任何有理解，但如果把答案寫成5+和5-這兩個荒謬的表達式就可以了。15 卡爾丹雖然承認這兩個表達式沒有意義，是虛構和想像的，但還是把它們寫下來了。 如果有人敢把負數的平方根寫下來，那麼將10分成乘積等於40的兩部分的問題就迎刃而解了，儘管它們是虛構的。一旦打破堅冰，負數的平方根，或如卡爾丹所稱的「虛數」，就越來越被數學家們頻繁使用了，儘管使用時總是很有保留，並且要找適當的藉口。在著名德國科學家歐拉1770年出版的代數著作中，我們看到了對虛數的大量運用。但作為緩和，他又加上了如下評論：「所有像、……這樣的表達式都是不可能的或想像中的數，因為它們表示的是負數的平方根。對於這類數，我們也許可以斷言，它們既不是無，也不比無更多或更少。它們純屬虛幻或不可能。」 然而，儘管有這些毀謗和藉口，虛數很快就成了數學中像分數或根式一樣無法避免的東西。如果不使用虛數，幾乎可以說寸步難行。 可以說，虛數家族代表著實數的一個虛構的鏡像。正如我們從基本數1可以產生所有實數，我們也可以把當作虛數的基本數（通常用符號i表示），由它產生所有虛數。 不難看出，=×=3i，=×=0.246…i，等等，因此每一個實數都有自己的虛數搭擋。我們還能像卡爾丹起初所做的那樣把實數和虛數結合起來，組成像5+=5+i這樣的表達式。這種混合形式通常被稱為複數。 闖入數學領域之後足足兩個世紀，虛數仍然被一張難以置信的神秘面紗包裹著，直到兩位業餘數學家，即挪威的測量員韋塞爾（Wessel）和巴黎的簿記員阿爾岡（Robot Argand），最終對虛數做出了簡單的幾何解釋。 按照他們的解釋，一個複數，例如3+4i，可以像在圖10中那樣表示出來，其中3對應著水平距離，4對應著垂直距離。 事實上，所有實數（無論是正是負）都可以用橫軸上的點來表示，所有純虛數都可以用縱軸上的點來表示。我們把一個實數（代表橫軸上的一個點）比如3乘以虛數單位i，就得到了位於縱軸上的純虛數3i。因此，一個數乘以i，在幾何上等價於逆時針旋轉90°。（見圖10）。 圖10 如果把3i再乘以i，則須再旋轉90°，結果又回到了橫軸，不過現在位於負數那一邊。因此， 3i×i=3i2=-3， 或 i2=-1。 說「i的平方等於-1」遠比說「兩次逆時針旋轉90°便成反向」更容易理解。 當然，同樣的規則也適用於混合的複數。把3+4i乘以i，我們得到 （3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i。 由圖10立即可以看到，-4+3i這個點對應於3+4i這個點圍繞原點逆時針旋轉90°。同樣，由圖10也可以看出，一個數乘以-i不過是它圍繞原點順時針旋轉90°罷了。 如果你仍然覺得虛數蒙有一層神秘的面紗，那就讓我們通過解決一個虛數有實際應用的簡單問題來揭開它吧。 有一個喜歡冒險的年輕人，在他曾祖父的遺稿中發現了一張羊皮紙，上面透露了一個藏寶地點。它是這樣寫著的： 乘船至北緯　　、西經　　，16即可找到一座荒島。島的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡樹和一棵松樹。17那裡還能看到一個年代已久的絞架，那是我們曾經用來吊死叛變者的。從絞架走到橡樹，記住走了多少步；到了橡樹之後，向右轉個直角再走這麼多步，在那裡打個樁。然後回到絞架朝松樹走，記住所走的步數。到了松樹之後，向左轉個直角再走這麼多步，在那裡也打個樁。在兩個樁的中間挖掘，即可找到財寶。 這些指令清楚而明確。於是，這位年輕人租了一條船駛往南太平洋。他找到了這座島，也找到了橡樹和松樹，但讓他大失所望的是，絞架不見了。此時距離寫下那份遺稿已經過去太長時間，風吹日曬雨淋已使絞架的木頭徹底腐爛，歸於泥土，當初所在的位置一點痕跡也沒有留下來。 我們這位愛冒險的年輕人陷入了絕望。憤怒而狂亂的他開始在地上胡亂挖掘。但這個島面積太大了，他的所有努力都付諸東流。一無所獲的他只得返航。如今，那財寶可能還在島上埋著呢！ 這是一個不幸的故事，但更為不幸的是，如果這個小伙子懂點數學，特別是懂得如何運用虛數，他或許能夠找到財寶。現在讓我們為他找找看，儘管對他來說已經太晚了。 圖11　用虛數尋寶 把這個島看成一個複數平面。過兩樹的根畫出一軸（實軸），過兩樹的中點作另一軸（虛軸）與實軸垂直（見圖11）。取兩樹距離的一半作為我們的長度單位，於是可以說，橡樹位於實軸上的-1點，松樹位於+1點。我們不知道絞架在哪裡，不妨用希臘字母Γ（這個字母的樣子倒像個絞架！）來表示它的假設位置。由於該位置並不一定在兩根軸中的某一軸上，所以應把Γ看成一個複數，即Γ=a+bi。 現在我們來做些簡單的計算，別忘了前面講過的虛數的乘法規則。如果絞架在Γ，橡樹在-1，則兩者的方位距離為 -1-Γ=-(1+Γ)。 同樣，絞架與松樹的方位距離為1-Γ。根據上述規則，將這兩段距離分別沿順時針（向右）和逆時針（向左）旋轉90°，就是把它們分別乘以-i和i，這樣便求出了我們打的兩根樁的位置： 第一根樁：(-i)［-(1+Γ)］+1=i(Γ+1)+1， 第二根樁：(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)-1。 由於財寶在兩根樁的正中間，所以我們應求出上述兩個複數之和的一半，即 ［i(Γ+1)+1+i(1-Γ)-1］=(iΓ+i+1+i-iΓ-1)=(2i)=i。 由此可見，Γ所表示的絞架的未知位置已經從我們的運算過程中消失了。無論絞架在哪裡，財寶都必定在+i這個點上。 因此，如果這個年輕人能做這麼一點簡單的數學運算，他就無須在整個島上挖來挖去，而只要在圖11中打×的地方尋找財寶。 如果你仍然不相信，要找到財寶完全不需要知道絞架的位置，你可以在一張紙上標記出兩棵樹的位置，再為絞架假設幾個不同的位置，然後按照羊皮紙上的指令去做。你將總是得到複數平面上對應於+i的那個位置！ 通過運用-1的平方根這個虛數，我們還找到了另一項隱秘的財寶：我們驚訝地發現，普通的三維空間能與時間結合成受四維幾何學規則支配的四維空間。我們將在接下來的某一章討論愛因斯坦的思想和他的相對論，屆時會回到這一發現。