猜想與反駁 · 3. 逼真性

這一節將進一步討論和發展第十章第Ⅹ和Ⅺ節的思想（這裡假定讀者已經讀過它們）。 在塔爾斯基的真理理論中，「真理」是陳述的一個性質。我們可以用「T」標示某種人工的語言（對象語言；參見下面第5節）的所有真陳述的類。我們可以用 a∈T 表達（某種元語言的）斷定：陳述a是真陳述類的一個成員，換句話說，a是真的。 我們在這裡的首要任務是定義一個陳述a的真內容的觀念，我們用「CtT（a）」標示它。這定義必須使得一個假陳述和一個真陳述都有真內容。 如果a是真的，那麼a的真內容CtT（a）（或更確切地說，它的度量）將僅僅是a的內容的度量；也即 （1） 式中我們可以像第2節的（1）一樣，建立 （2） Ct（a）＝1－p（a）。 假如a是假的，則正如已經提到過的那樣，它仍然可以有真內容。因為，假定今天是星期一，那麼陳述「今天是星期二」將是假的。但是，這個假陳述將蘊含一些真陳述，例如「今天不是星期三」或「今天或者是星期一或者是星期二」；它所蘊含的所有真陳述的類將是它的（邏輯的）真內容。換句話說，每個假陳述都蘊含一個真陳述類這個事實是把一個真內容賦予每個假陳述的基礎。 所以，我們將把陳述a的（邏輯的）真內容定義為既屬於a的（邏輯的）內容又屬於T的那些陳述的類；因而我們也解釋了它的真內容的度量CtT（a）。 為了在理論C t或p（這裡C t（a）＝1－p（a））的內部給CtT（a）觀念下定義，我們可以應用各種方法。 最簡單的方法或許是同意，在像p（a）或p（a，b）這樣的表達式內，字母「a」、「b」等等不僅可以是陳述的名字（因而也是，例如，有限個陳述的合取的名字），而且也可以是陳述的類的名稱（或者屬於這些類的所有陳述的有限或無限的合取的名字），因此，我們也就同意用符號「t」(11)（在像p（t）、p（a，t）或p（t，b）這樣的語境之中）代替「T」，並把它看作是所考慮的語言系統（或陳述系統）的一切真陳述的（有限或無限的）合取。換句話說，我們把符號「t」用作變項「a」、「b」等等可能取的常值之一，並且同意以下述方式使用它： （3）t的推論類或邏輯內容是T。 然後我們定義一個新符號「aT」如下： （4） aT＝avt 我們從這個定義得出（用「」標示「蘊含」即「從……推出……」） （5） 從而還得出 （6） p（aaT）＝p（a）， （7） p（a，aT）p（aT）＝p（aaT）＝p（a）。 我們還得出 （8） 式中「」還是讀做「b可從a推出（或者由a蘊含）」。因此，（8）的意思是：aT是a所蘊含的邏輯上最強的真陳述（或演繹系統）。因此，我們現在可以把a的真內容定義為aT的真內容，而它的度量CtT（a）現在可以定義如下： （9） CtT（a）＝Ct（aT）＝1－p（aT） 從（9）和（5）得出 （10） CtT（a）≤Ct（a） 和 （11）如果a∈T，那麼aT＝a，以及CtT（a）＝Ct（a） 為了定義「VS（a）」——即a的逼真性（的度量）——我們不僅需要a的真內容，而且還需要它的假內容——或者它的度量——因為我們希望把VS（a）定義為a的真內容和假內容之差異這類東西。但是，a的假內容或它的某種替代物的定義不是很簡單的，因為存在這樣的基本事實：T可以說是構成了一個推論類或內容（t的內容，參見上面的（3）），而我們系統的所有假陳述的類F卻不是推論類。因為，雖則T包含T的一切邏輯推論——因為任何真東西的邏輯推論必定也是真的——但F並不包含所有它的邏輯推論：從一個真陳述只能推出真陳述，而從一個假陳述不僅能推出假陳述，而且也總能推出真陳述。 因此，按類似於「真內容」的方式來定義「假內容」，看來是行不通的。 為了得出a的假內容的度量C tF（a）的一個令人滿意的定義，規定一些必需的定理是有益的： （i） （ii） （iii） 0≤CtF（a）≤Ct（a）≤1 （iv） CtF（contrad）＝Ct（contrad）＝1 式中「contrad」是自相矛盾的陳述的名字。所需要的定理（iv）應該和定理 CtT（tautol）＝Ct（tautol）＝0 加以比較和對照。式中「tautol」是一個重言陳述的名字。 （v） （vi） （vii） CtT（a）＋CtF（a）≥Ct（a） （如果取「a」為，例如「contrad」，則可看出這裡用「≥」而不是「＝」的理由；因為在這種情況下，我們根據（iv）和C tT（a）＝Ct（t）得到CtF（a）＝Ct（a）＝1，但是，C t（t）是最大真內容，它通常區別於零。在一個無限域裡，C t（t）＝1－p（t）通常將等於1。） （viii）CtF和CtT在下述意義上關於Ct是對稱的：存在兩種函數，f1和f2，以致 （a）CtT（a）＋CtF（a）＝Ct（a）＋f1（CtT（a），CtF（a））＝Ct（a）＋f1（CtF（a），CtT（a）） 就是說，f1關於CtT和CtF是對稱的；因此，結果我們便得到 （b） CtT（a）＝f2（Ct（a），CtF（a）） （c） CtF（a）＝f2（Ct（a），CtT（a））。 在按這些方式定義「CtF（a）」的各種可能性中，以下定義是可取的，這裡就採用這個定義： （12） CtF（a）＝1－p（a，aT）＝Ct（a，aT） 這個定義滿足我們的需要。對於所要求的定理（i）和（ii）來說，這是顯而易見的；如果我們考慮以下定理，那麼這對於其他所要求的定理來說，也變得很清楚： （13） 因此 （14） CtT（a）＝Ct（a）－（CtF（a）p（aT））≤Ct（a） （15） CtF（a）＝（Ct（a）－CtT（a））/p（aT） ＝（Ct（a）－CtT（a））/（1－CtT（a）） （16） CtT（a）p（a，aT）＝p（a，aT）－（p（aT）p（a，aT））＝p（a，aT）－p（a）＝Ct（a）－CtF（a） 於是，我們就得到 （17） CtF（a）＝Ct（a）－（CtT（a）p（a，aT））≤Cta （18） 我們從（15）還得到 （19） CtF（a）－CtT（a）CtF（a）＝Ct（a）－CtT（a） 從而還有 （20） CtT（a）＋CtF（a）＝Ct（a）＋CtT（a）CtF（a） 所以，（17）表明（iii）得到滿足，而（20）表明（v）（vi）（vii）和（viii）也都得到滿足。（iv）的滿足可以從p（contrad，t）＝0得出。 這表明，對CtF（a）所提出的定義（12）滿足一切我們所需要的定理。但是，我們所需要的定理之一（vii）可能顯得不可滿足：或許可以看到——儘管我們對（vii）作了評論——我們應該假定 （一） CtT（a）＋CtF（a）＝Ct（a） 可以表明，方程（一）實際上決定了CtF：它將導致定義（我們不接受這個定義） CtF（a）＝Ct（aT→a）＝1－p（aT→a） 式中「aT→a」（或者，我們還可以寫作「a←aT」），是條件陳述「如果aT，那麼a」或者「a，如果aT」。 把這個定義和我們的（12）相比較，或者換句話說，把Ct（a←aT）和Ct（a，aT）相比較（後者就是我們的C tF（a）），或者把p（a←aT）和p（a，aT）相比較，是很有意思的。 誠然，我們有 CtT（a）＋Ct（a←aT）＝Ct（a） 乍一看來，這似乎令人滿意。 但是，讓我們用「contrad」代替a： CtT（contrad）＝Ct（t）＝1－p（t）， 如我們已經看到的那樣，這是我們體系中可得到的最大真內容；因為Ct（contrad）＝1，所以我們得到Ct（a←aT）＝Ct（contrad←t）＝1－p（contradν－t）＝p（t）。現在，雖然C tT（contrad）＝Ct（t）完全無可非議——它顯然是C tT（a）的一個令人滿意的定義的推論，也顯然是一切東西，因而包括t都從一個自相矛盾的陳述推出這一事實的推論——但是，CtF（contrad）＝p（t）的情形卻並非如此；因為，這在大多數情況下會使得一個矛盾的假內容少於它的真內容，而我們本來期望一個矛盾的假內容至少等於它的真內容。 舉個例子，設我們的論域是擲骰子；設t是「3面朝上」；設p（t）為1/6。對CtF（a）＝Ct（a←aT）所提出的（但這裡是被拒斥了的）定義在現在的論域裡將導致這樣的結果：一個矛盾陳述（像「6將面朝上並且不朝上」）的假內容CtF（contrad）將等於1/6，而它的真內容C tT（contrad）將等於5/6。可見，一個矛盾陳述的真內容將大大超過假內容，而這顯然是違反直觀的。正因為這樣，所以才要採用我們需要的定理（iv）；這個定理導致 CtT（a）＋CtF（a）＞Ct（a） 的情形。 從這一切可以看到，我們所需要的定理（iv）可由下面兩條高度直觀的定理代替： （iv，a） CtF（contrad）＝常數， （iv，b） CtF（contrad）≥CtT（contrad）。 附帶指出，事實上我們每每得到 （21） CtF（a）－Ct（a←aT）＝CtF（a）CtT（a）， 這看來有點令人驚訝。但是，它只是下面更為一般的公式的一個直接推論： （22） p（a←b）－p（a，b）＝Ct（a，b）Ct（b）， 這個公式我在好多年前就得出了，為的是要表明，一個條件陳述「a，如果b」（或者陳述「如果b，那麼a」）的絕對機率通常超過某個陳述a（對於另一個給定陳述b）的相對機率。 （因此，可以說，公式（22）把朝向左邊的箭頭「←」和逗號「，」進行了比較，並計算了條件機率對於相對機率的永恆非負的超出量： Exc（a，b）＝p（a←b）－p（a，b）。） 定義了真內容和假內容的度量之後，我們現在可以來定義VS（a）即a的似真度了。就我們僅對相對值感興趣而言，我們能夠用 CtT（a）－CtF（a）＝p（a，aT）－p（aT） 作為定義者。如果我們對數值感興趣，那麼最好用一個正規化因子去乘它，並且用（p（a，aT）－p（aT））/（p（a，aT）＋p（aT））作為定義者。因為，我們希望下面的所需要定理得到滿足。 因此，我們得到 （v） －1＝VS（contrad）≤VS（a）≤＋1； （vi）在一個Ct（t）可以成為1的無限域中，VS（t）應該也能成為1。 這裡應該指出，C t（t）＝1－p（t）將取決於我們論域的選擇。甚至在一個潛在無限的論域裡，它也可能小於1，就如下述例子所表明的那樣：設我們的論域包含互斥可能的一個可數無限集a1，a2，……，並設p（a1）＝1/2，p（a2）＝1/4，p（a3）＝1/8，p（an）＝1/2n；此外，再設這些可能性中只有一個得到實現：t＝a1；那麼，Ct（t）＝1/2。 因此，為了作數值計算，最好是用一個正規化的形式去代替p（a，aT）－p（aT）；我們選取正規化因子1/（p（a，aT）＋p（aT））；就是說，如上所述，我們定義： （23）VS（a）＝（p（a，aT）－p（aT））/（p（a，aT）＋p（aT））。 我們現在得到： （24）如果a∈T，那麼VS（a）＝CtT（a）/（1＋p（aT））＝Ct（a）/（1＋p（a））， （25） VS（tautol）＝0， 和 （26） VS（contrad）＝－1。 還存在其他各種可能的定義。例如，我們可以引入其他正規化因子，如CtT（a）、Ct（a）或者CtT（a）＋CtF（a）。我認為，這些不會導致VS（a）的恰當定義，倒是會導致像「真值度」這類觀念的定義。