猜想與反駁 · 2. 機率和檢驗的嚴格性
我們的檢驗的嚴格性能夠客觀地加以比較；如果我們願意的話，我們也可對它們的嚴格性規定一個尺度。
在這個限定以及本附錄後面的討論中，我將在機率演算的意義上利用機率的思想；或者更確切地說，利用相對機率的思想：
p（x，y），
它讀做「對於給定的y，x的機率」。絕對機率的思想：
p（x），
它讀做「x的絕對機率」，這裡將用相對機率來加以定義，它的顯定義是
p（a，b）＝p（a，c））。
這裡「（a）」是「對於每一個a」的縮寫；「（Ea）」是「存在著一個a」的縮寫；「」是「當且僅當」的縮寫；「…………」是「如果……那麼……」的縮寫。（後面我們還要用「&」作為「和」的縮寫。）為了直觀地解釋D（AP），我們可以選擇c的否定作為d。
相對機率p（x、y）的思想這裡像在D（AP）中一樣，將主要用作定義者。它本身又可用一個公理系統隱含地定義，就像在我的《科學發現的邏輯》（新的附錄*Ⅳ和*Ⅴ）中一樣。那裡給出的六條公理可以簡併為三條，其中的一條A是一條存在公理，另外兩條B和C是（「創造性的」(5)）定義形式的公理：
A
（Ea）（Eb）p（a，b）≠p（b，b）
就是說，至少存在兩種不同的機率。
公理B用p（x，y）定義乘積ab（讀做「a和b」）。
公理C用p（x，y）定義補－a（讀做「非a」）。
對這三條公理，我們還可以添加三條（非創造性的或普通的）定義：上面用D（AP）定義的絕對機率p（a）的定義；布爾恆等式a＝b的定義；和相對於b的n項的獨立的定義。
恆等式定義如下：
我們認為如果所謂（相對於b的）「特殊乘法定理」適用於An集的2n－1個非空子集中的每一項，那麼一個n個元素的集成n項的序列An＝a1，…，an，是「n項獨立的（相對於b）」。令ai，…，am為任何這種子集（或子序列）的元素；那麼，如果An是n項獨立的，則我們有
（m） p（ai…am，b）＝p（ai，b）·p（ai＋1，b）…p（am，b）式中右邊是m－i機率的乘積。在這些2n－1方程中，對應於An的2n－1非空子集，將存在n個無足輕重的方程（對於單元子集），因為對於m＝i，我們的方程（m）退化為
（i）
p（ai，b）＝p（ai，b）；
這就是說，每一單個元素不過是1項獨立的（相對於每一個b）。因此，An的n項獨立乃由2n－n－1個重要的方程定義。(6)
這個運用2n－n－1個方程的有點笨拙的定義可加以簡化，為此引入「Indpn（a1，…，an；b）」的一個遞歸定義，它讀做「a1，…，an是n項獨立的（相對於b）」：
D（Indp） （i）Indp1（a1；b），對於我們可能選擇的任意的元素a1和b。
（ii）Indpn＋1（a1，…，an＋1；b），當且僅當
（a）Indpn（a1，…，an；b）；
（b）Indpn（a1，…，an；（an＋1b））；
（c）p（ai，（an＋1b））＝p（ai，b），對於每一個元素ai（1≤i≤n）。
這裡我們可以用
（b′）p（an＋1，aj…amb）＝p（an＋1，b，）其中aj…am（對於j≤m≤n）是An的任何子集的元素的合取，
取代（b）和（c）。
這些定義可以加強：對於一個無窮的理論，在最後的括號前，例如在（c）中插入一個僅僅在假設p（ai，b）≠0之下從（c）推出的方程
「&p（an＋1，ai，b）＝p（an＋1，b）」，
可能是合適的。
現在，我們可以轉到檢驗的嚴格性的定義上了。
設h是有待檢驗的假說；設e是檢驗陳述（證據），b是「背景知識」，也即我們在檢驗該理論時認為（暫時地）沒有問題的那一切東西。（b也可以包含初始條件性的陳述。）讓我們先假定，e是h和b的一個邏輯推論（這個假定後面將要放寬），這樣p（e，hb）＝1。例如，e可以是從牛頓的理論h和我們對火星過去位置的知識（構成b之一部分）推出的一個關於火星的一個預言位置的陳述。
於是，我們可以說，如果我們把e作為h的一個檢驗，那麼，在只給出b（沒有h）時，e越不可幾，解釋為支持證據的這檢驗的嚴格性就越高；也就是說，對於給定的b的e的機率p（e，b）就越小。
定義檢驗e對於給定b的嚴格性S（e，b），主要有兩種方法。(7)兩者都從內容度量C t出發。第一種方法把機率的補作為內容的度量Ct：
（1）
Ct（a）＝1－p（a）；
第二種方法把機率的倒數作為內容的度量：
（2）
Ct′（a）＝1/p（a）
第一種方法提出了一個像S（e，b）＝1－p（e，b）這樣的定義，或者更好地表達為
（3）
S（e，b）＝（1－p（e，b））/（1＋p（e，b））
就是說，它建議我們用C t度量檢驗的嚴格性，或者更好地用「正規化的」Ct（利用1/（1＋p（e，b））作為一個正規化因子）來度量它。第二種方法提議我們只要用檢驗的內容Ct′來度量它的嚴格性：
（4）
S′（e，b）＝Ct′（e，b）＝1/p（e，b）。
現在我們來推廣這些定義，為此我們放寬e應邏輯地從h和b推出這個要求，甚或放寬下列更弱的要求：
p（e，hb）＝1
就是說我們現在假定存在某種機率，p（e，hb），它可能等於1，也可能不等於1。
這意味著，為了得到（3）和（4）的一個推廣，我們在這兩個公式中都用更一般的項「p（e，hb）」代替「1」。因此，我們得出了下面兩個解釋為理論h的支持證據的（對於給定的背景知識b）檢驗e的嚴格性的推廣定義。
（5）S（e，h，b）＝（p（e，hb）－p（e，b））/（p（e，hb）＋p（e，b））；
（6）
S′（e，h，b）＝p（e，hb）/p（e，b）。
這些就是我們對作為支持證據的檢驗的嚴格性的度量。這兩種度量之間沒有選擇餘地，因為從一種到另一種的轉移是保序的；(8)就是說，兩者都是拓撲不變的。（如果我們用C t′和S′的對數(9)例如log2Ct″和log2S′代替Ct′和S′——以使這些度量成為加性的，情形同樣如此。）
在定義了我們的檢驗的嚴格性的度量後，現在我們可以用同樣的方法來定義理論h在b出現的條件下關於e的解釋力E（h，e，b）（而且如果我們願意的話，也可以類似方式定義h的確證度(10)）：
（7）
E（h，e，b）＝S（e，h，b）；
（8）
E′（h，e，b）＝S′（e，h，b）。
這些定義表明，對理論h的一次檢驗e越嚴格，理論h（關於某個被解釋者e）的解釋力就越大。
現在顯而易見，一個理論的解釋力的最大程度或者它的檢驗的嚴格性的最大程度乃取決於該理論的（信息的或經驗的）內容。
因此，知識的進步或潛在增長的標準將是我們理論的信息內容或經驗內容的增加；同時，是它們可檢驗性的增加，也是它們有關（已知的和未知的）現象的解釋力的增加。