猜想與反駁 · 4. 數值的例子

在討論一些數值例子——這些例子必須取自於那些把機率運用於靠碰運氣取勝的遊戲的理論或者統計理論——之前，我希望先對純粹容度和機率理論中的數值作些一般的論述。 除了那些我們能用一般方式（或者藉助在投骰子時的等機率假定，或者藉助統計假說）度量機率的機率論應用而外，我看不出有把數值（除了0和1）賦予我們的機率或容度的量度的可能。就此而言，純粹機率論和純粹容度理論很像歐幾里得幾何：歐幾里得幾何里沒有加以定義的實際單位。（巴黎單位米的定義無疑是超幾何學的。）我們不必因為純粹機率論或容度理論不提供實際的數值（除了0和1）而擔心。因此，我們的地位在許多方面更像拓撲學，而不是度量幾何。(12) 現在來談數值例子。我將區分兩種類型。 （1）普通擲骰子型的例子。這裡，如果比如說4朝上，而我們猜的是5朝上，那麼，我們認為，這不比猜6朝上更好，也不更壞。（這裡是在離真實更近或更遠的意義上使用更好或更壞的。） （ii）我們的猜測離開真實之距離有一種度量的例子。我們能夠用下述假設來表示這一例子：如果事實上4朝上，則5將朝上（或3將朝上）這個猜測或命題就把6將朝上（或2將朝上）這個命題同真理隔開了；由於這個緣故，因此如果a＝6，則aT就將是6ν5ν4，而不是6ν4（或者aT＝2ν3ν4）。(13) 這裡和下面，「a＝6」或「a＝6ν4」都用於表達「a＝6將朝上」或「a＝6ν4將朝上」，等等。 我們取幾顆同類的骰子。 我首先計算類型（i）的三個例子。 （1） a＝6；b＝4；b＝t 我們有： aT＝6ν4；p（a，aT）＝1/2；p（aT）＝1/3 VS（a）＝1/5 （2） a＝5；b＝4；b＝t 我們有aT＝5ν4。這計算和結果同情形（1）相同。 （3） a＝6ν5；b＝4；b＝t 我們有： aT＝6ν5ν4；p（a，aT）＝2/3；p（aT）＝1/2 VS（a）＝1/7 我們現在可以把這些和類型（ii）的三個相應的例子加以比較。差別在於aT的計算。 （1』） a＝6；b＝4；b＝t 我們有： aT＝6ν5ν4；p（a，aT）＝1/3；p（aT）＝1/2 VS（a）＝－1/5 （2』） a＝5；b＝4；b＝t 我們有： aT＝5ν4；p（a，aT）＝1/2；p（aT）＝1/3 VS（a）＝1/5 （3』） a＝6ν5；b＝4；b＝t 我們有： aT＝6ν5ν4；p（a，aT）＝2/3；p（aT）＝1/2 VS（a）＝1/7。 我現在再增加兩個準確猜測的例子： （1」） a＝6；b＝6；b＝t； VS（a）＝5/7。 （2」） a＝6ν5；b＝6；b＝t； VS（a）＝1/2。 於是，我們看到，逼真度可能隨著a的容度而增加，隨著a的機率而減少。