周髀算經 · 卷上之一

佚名《周髀算經》

昔者周公問於啇高曰竊聞乎大夫善數也周公姓姬名旦武王之弟啇高周時賢大夫善算者也周公位居冡宰徳則至聖【案聖刻本作高今從永樂大典本】尚卑己以自牧【案卑上刻本衍自字今據永樂大典本刪】下學而上達況其凡乎請問古者包犧立周天厯度包犧三皇之一始畫八卦以啇高善數能通乎防妙達乎無方無大不綜無幽不顯聞包犧立周天厯度建章蔀之法【案建刻本作運今據永樂大典本改】易曰古者包犧氏之王天下也仰則觀象於天俯則觀法於地此之謂也夫天不可階而升地不可得尺寸而度【案得刻本作將今從永樂大典本改】 乎懸廣無階可升盪乎遐逺無度可量請問數安從出【案安從刻本訛作從案今據永樂大典本改】心昧其機請問其目啇高曰數之法出於圓方圓徑一而周三方徑一而帀四伸圓之周而為句展方之帀而為殷共結一角邪適五此圓方邪徑相通之率【案此刻本訛作政今據永樂大典本改】故曰數之法出於圓方圓方者天地之形隂陽之數然則周公之所問天地也是以啇高陳圓方之形以見其象因奇耦之數以制其法所謂言約指逺防妙幽通矣圓出於方方出於矩圓規之數理之以方方周帀也方正之物出之以矩矩廣長也矩出於九九八十一推圓方之率通廣長之數當湏乘除以計之九九者乘除之原也故折矩故者申事之辭也將為句股之率故曰折矩也以為句廣三應圓之周【案刻本訛作廣謂之周今據永樂大典本改】橫者謂之廣句亦廣廣短也股脩四應方之帀從者謂之脩股亦脩脩長徑隅五自然相應之率徑直隅角也亦謂之 既方外外半之一矩【案各本作既方之外半其一矩訛舛不可通注內引徑作既方其外惟半之訛作半其耳據上雲折矩以為句廣三股修四徑隅五謂以十二折之句三股四其必五此蓋承上所折之形令其外各自成古則句實九股實十六實二十五合五十年也為一矩於內減股實開其餘得句減句實其餘得股若開北一矩則得下雲環而共盤得成三四五是也實二十五為一矩並句實股實亦二十五為一矩故下又雲兩矩共長二十有五是謂積矩推防上下文可證其字之字互訛今改正】句股之法先知二數然後推一見句股然後求先各自乘成其實實成勢化爾乃變通故曰既方其外或並句股之實以求實之中【案各本脫一字今補】乃求句股之分並實不正等更相取與互有所得故曰半之一矩【案之各本亦訛作其今改正】其術句股各自乘三三如九四四一十六並為自乘之實二十五減句於為股之實一十六減股於為句之實九環而共盤得成三四五盤讀如盤桓之盤言取其並減之積【案其刻本訛作而今據永樂大典本改】環屈而共盤之【案此下刻本衍謂字今據永樂大典本刪】開方除之得其一靣【案刻本脫得字令據永樂大典本補】故曰得成三四五也兩矩共長二十有五是謂積矩兩矩者句股各自乘之實共長者並實之數將以施於萬事而此陳其率也故禹之所以治天下者此數之所生也禹治洪水決疏江河【案疏刻本訛作流今據永樂大典本改】望山川之形定高下之勢除淊天之災釋昬墊之厄使東注于海而無浸逆【案逆刻本作溺今從永樂大典本】乃句股之所由生也句股圓方圖句股各自乘並之為實開方除之即按圖又可以句股相乘為朱實二倍之為朱實四以句股之差自相乘為中黃實加差實亦成實以差實減實半其餘以差為從法開方除之復得句矣加差於句即股凡並句股之實即成實或矩於外或方於內【案各本訛作或矩於內或方於外與下雲句實之矩股實方其里股實之矩句實方其里適相反據劉徽注九章算術雲里者則成方冪其居表者則成矩冪可證外內二字互訛今改正】形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股差為廣股並為袤而股實方其里減矩句之實於實開其餘即股倍股在兩邉為從法開矩句之角即股差加股為以差除句實得股並以並除句實亦得股差令並自乘與句實為實倍並為法所得亦句實減並自乘如法為股股實之矩以為差為廣【案各本訛作股今改正】句並為袤而句實方其里減矩股之實於實開其餘即句倍句在兩邉為從法開矩股之角即句差加句為以差除股實得句並以並除股實亦得句差令並自乘與股實為實倍並為法所得亦股實減並自乘如法為句兩差相乘倍而開之所得以股差増之為句以句差增之為股兩差增之為倍實列句股差實減實者以圖攷之倍實滿外大方而多黃實黃實之多即句股差實以差實減之開其餘得外大方大方之面即句股並也令並自乘倍實乃減之開其餘得中黃方黃方之面即句股差以差減並而半之為句加差於並而半之為股其倍為廣袤合令句股見者自乘為其實四實以減之開其餘所得為差以差減合半其餘為廣減廣於即所求也觀其迭相規矩共為反覆互與通分各有所得然則統敘羣倫宏紀眾理貫幽入微鉤深致遠故曰其裁製萬物惟所為之也臣鸞釋曰按君卿注云句股各自乘並之為實開方除之即臣鸞曰假令句三自乘得九股四自乘得一十六並之得二十五開方除之得五為也注云按圖又可以句股相乘為朱實二倍之為朱實四以句股之差自相乘為中黃實臣鸞曰以句差二倍之為四自乘得一十六為左圖中黃實也臣淳風等謹按注云以句股之差自乘為中黃實鸞雲倍句差自乘者苟求異端雖合其數於率不通注云加差實亦成實臣鸞曰加差實一併外矩青八得九並中黃一十六得二十五亦成實也臣淳風等謹按注云加差實一亦成實鸞雲加差實並外矩及中黃者雖合其數於率不通注云以差實減實半其餘以差為從法開方除之復得句矣臣鸞曰以差實九減實二十五餘一十六半之得八以差一加之得九開之得句三也臣淳風等謹按注宜云以差實一減實二十五餘二十四半之為一十二以差一為從開方除之得句三鸞雲以差實九減實者雖合其數於率不通注云加差於句即股臣鸞曰加差一於句三得股四也注云凡並句股之實即成實臣鸞曰句實九股實一十六並之得二十五也注云或矩於外或方於內【案外內二字各本亦互訛今改正】形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股差為廣股並為袤臣鸞曰以股差一為廣股四幷五得九為袤左圖外青也注云而股實方其表臣鸞曰為左圖中黃十六注云減矩句之實於實開其餘即股臣鸞曰減矩句之實九於實二十五餘一十六開之得四股也注云倍股在兩邉為從法開矩句之角即股差臣鸞曰倍股四得八在圖兩邉以為從法開矩句之角九得一也注云加股為臣鸞曰加差一於股四則五也注云以差除句實得股並臣鸞曰以差一除句實九得九即股四五幷為九也注云以幷除句實亦得股差臣鸞曰以九除句實九得股差一注云令並自乘與句實為實臣鸞曰令並股得九自乘為八十一又以句實九加之得九十為實注云倍並為法臣鸞曰倍股並九得一十八為法注云所得亦臣鸞曰除之得五為 注云句實減並自乘如法為股臣鸞曰以句實九減並自乘八十一餘七十二以法一十八除之得四為股也注云股實之矩以句差為廣句並為袤臣鸞曰股實之矩以句差二為廣句並八為袤注云而句實方其里減矩股之實於實開其餘即句臣鸞曰句實有九方在右圖里以減矩股之實一十六於實二十五餘九開之得三句也注云倍句在兩邉臣鸞曰各三也注云為從法開矩股之角即句差加句為臣鸞曰加差二於句三則五也注云以差除股實得句並臣鸞曰以差二除股實一十六得八句三五並為八也注云以並除股實亦得句差臣鸞曰以並除股實一十六得句差二注云令並自乘與股實為實臣鸞曰令並八自乘得六十四以股實一十六加之得八十為實注云倍並為法臣鸞曰倍句並八得一十六為法注云所得亦臣鸞曰除之得五也注云股實減並自乘如法為句臣鸞曰以股實一十六減並自乘六十四餘四十八以法一十六除之得三為句也注云兩差相乘倍而開之所得以股差增之為句臣鸞曰以股差一乘句差二得二倍之為四開之得二以句差一增之得三句也注云以句差增之為股臣鸞曰以句差二【案各本脫句字今補】増之得四股也注云兩差增之為臣鸞曰以股差一句差二増之得五也注云倍實列句股差實減實者以圖攷之倍實滿外大方而多黃實黃實之多即句股差實臣鸞曰倍實二十五得五十滿外大方七七四十九而多黃實黃實之多即句股差實一也【案各本脫一字今據上下文補】注云以差實減之開其餘得外大方大方之面即句股並臣鸞曰以差實一減五十餘四十九開之即大方之面七也亦是句股幷也注云令並自乘倍實乃減之開其餘得中黃方黃方之面即句股差臣鸞曰並七自乘得四十九倍實二十五得五十以減之餘即中黃方差實一也故開之即句股差一也注云以差減並而半之為句臣鸞曰以差一減並七餘六半之得三句也注云加差於並而半之為股臣鸞曰以差一加並七得八而半之得四股也注云其倍為廣袤合臣鸞曰倍二十五為五十為廣袤合臣淳風等謹按列廣袤術宜云倍五得十為廣袤合今鸞雲倍二十五者錯也注云令句股見者自乘為其實四實以減之開其餘所得為差臣鸞曰令自乘為其實四實乘得四十九四實者大方句股之中有四方一方之中有方一十二四實有四十八減上四十九餘一也開之得一即句股差一臣淳風等謹按注意令自乘者十自乘得一百四實者大方廣袤之中有四方若據句實而言一方之中有實九四實有三十六減上一百餘六十四開之得八即廣袤差此是股差減股並餘數若據股實而言之一方之中有實十六四實有六十四減上一百餘三十六開之得六即廣袤差此是句差【案刻本訛作股今改正】減句並餘數也鸞雲令自乘者以七七自乘得四十九四實者大方句股之中有四方一方之中有方一十二四實有四十八減上四十九餘一也開之得一即句股差一者錯也注云以差減合半其餘為廣臣鸞曰以差一減合七餘六半之得三廣也臣淳風等謹按注意以差八六各減合十餘二四半之得一二一即股差二即句差以差減即各袤廣也鸞雲以差一減合七餘六半之得三廣者錯也注云減廣於即所求也臣鸞曰以廣三減五即所求差二也臣淳風等謹按注意以廣一二各減五即所求股四句三也鸞雲以廣三減五即所求差二者錯也周公曰大哉言數心逹數術之意故發大哉之嘆請問用矩之道謂用表之宜測望之法商高曰平矩以正繩以水繩之正定平懸之體將欲慎毫氂之差防千里之失偃矩以望高覆矩以測深臥矩以知遠言施用無方曲從其事術在九章環矩以為圓合矩以為方既已追尋情理又可造制圓方言矩之於物無所不至方屬地圓屬天天圓地方物有圓方數有奇耦天動為圓其數奇地靜為方其數耦此配陰陽之義非寔天地之體也天不可窮而見地不可盡而觀豈能定其圓方乎又曰北極之下高人所居六萬里滂沱四隤而下天之中央亦高四旁六萬里是為形狀同歸而不殊塗隆高齊軌而易以陳故曰天似葢笠地法覆槃方數為典以方出圓夫體方則度影正形圓則審實難蓋方者有常而圓者多變故當製法而理之理之法者半周半徑相乘則得方矣又可周徑相乘十而一又可徑自乘三之四而一又可周自乘十二而一故曰圓出於方笠以寫天笠亦如葢其形正圓戴之所以象天寫猶象也言笠之體象天之形詩云何蓑何笠此之義也天青黒地黃赤天數之為笠也青黒為表卅黃為里以象天地之位既象其形又法其位言相方類不亦似乎是故知地者智知天者聖言天之高大地之廣遠自非聖智其孰能與於此乎智出於句句亦影也察句之損益知物之高遠故曰智出於句句出於矩矩謂之表表不移亦為句為句將正故曰句出於矩焉夫矩之於數其裁製萬物惟所為耳言包含幾防轉通旋環也周公曰善哉善哉言明曉其意所謂問一事而萬事逹