中國通史（第五卷） · 第二十三章數學

秦漢時期《九章算術》的出現，是中國古代數學體系初步形成的標誌。 在此基礎上，三國兩晉南北朝時期的數學研究和數學教育又有了顯著的發展。在這一時期撰寫的數學書不下數十種，僅《隋書·經籍志》所載就有二十餘種。其中如趙爽《周髀算經注》，劉徽《九章算術注》和《海島算經》，《孫子算經》，《張丘建算經》，甄鸞《五曹算經》、《五經算術》和《數術記遺》等，都是重要的數學典籍，後被收入有名的「算經十書」而一直流傳至今。南北朝時祖沖之所著《綴術》，是一部內容豐富的數學專著，可惜已經失傳。這些數學著作記載了這一時期數學家在勾股算術、重差術、割圓術、圓周率、球體積公式、線性方程組解法、二次和三次方程解法、同餘式和不定方程解法等方面所取得的新成果，充實和發展了以《九章算術》為代表的中國古代數學體系。特別應該提到的是，劉徽在魏陳留王景元四年（263）作《九章算術注》。他在注釋中對於《九章算術》的大部分數學方法作出了相當嚴密的論證，對於一些概念給出了明確的解釋，從而為中國古代數學奠定了堅實的理論基礎。他所提出的許多新的思想、方法、原理和獲得的新成果，對後世數學發展產生了積極的和深遠的影響。祖沖之是劉徽以後又一位傑出的數學家。他的圓周率值，是舉世公認的重大數學成就，在數學史上占有突出的地位。三國兩晉南北朝時期形成了中國古代數學發展過程中繼兩漢之後的又一個高潮。 第一節勾股定理和重差術 勾股定理是中國古代幾何學中一個最基本的定理。在中國古代，勾股定理的一般形式a2+b2=c2（a、b、c表示直角三角形的三邊），最早見於《周髀算經》。《九章算術》則進一步給出計算勾股數的一組公式：abcmnmnmn∶∶∶∶=-+12122222()()其中m∶n=（c+a）∶b，這是整數論的重要成果。但是，這兩部書的共同缺欠是僅有公式而沒有證明。據現有記載，首先對有關勾股問題給出證明的是三國時孫吳數學家趙爽。趙爽，字君卿，約生活於公元3世紀初，生平不詳。曾為《周髀算經》撰序作注，對於書中闡述的蓋天學說和四分曆法作了較詳盡的注釋。趙爽《周髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》，全文五百餘字並附有六幅插圖（原圖已失傳，現傳本《周髀》中的圖是後人所補）。這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成就，給出並證明了有關勾股形三邊及其和、差關係的二十多個命題。他的證明主要依據幾何圖形面積的換算關係，例如利用弦圖證明公式c2=2ab+（b-a）2，利用面積換算證明由勾弦差（c-a）與股弦差（c-b）求勾、股、弦的公式等。劉徽在《九章算術注》中更明確地提出「出入相補，各從其類」的出入相補原理。這個原理的內容是幾何圖形經分合移補所拼湊成的新圖形，其面積（或體積）不變。劉徽根據出入相補原理證明了勾股定理，改進了勾股數的計算公式，並將其廣泛應用於解決勾股容方、勾股容圓和立體體積等各種幾何問題。這種簡明直觀具有獨特風格的幾何證明方法，與古希臘歐幾里得幾何學思想是根本不同的。 勾股測量是勾股定理的一項重要實際應用。《九章算術》中的例題表明，勾股測量是解決一些簡單測量問題的有效手段。這種測量方法起源很早，傳說大禹治水的時候就已經採用了。在《周髀算經》和張衡《靈憲》中也都有所論述。《周髀算經》里記載的陳子測日法，通過兩次測量結果進行推算，發展了勾股測量方法。這實質上就是東漢時期的天文學家和數學家所創立的重差術。把重差術用於測算太陽的高度和距離，當然不可能得到正確的結果。但是，如果用於測量和推算遠處目標的高度、深度、寬度和距離，無疑是一種有效的方法。趙爽在《周髀算經注》的《日高圖注》中，利用幾何圖形面積的關係，給出了重差術的證明。劉徽在《海島算經》中通過九個實例，對於重差術作了系統的總結，並且提出根據三次和四次測量結果的推算公式，用以解決複雜的測量問題。重差術是當時世界上最先進的用於測量的數學方法。中國古代繪製地圖的工作取得了卓越的成就，長沙馬王堆出土的西漢初期帛畫地圖，其精確程度就已令人嘆服，後來又有所進步，這與測量數學有較高水平是分不開的。 第二節割圓術和圓周率 中國在兩漢之前，一般採用的圓周率是「周三徑一」，即π=3。這個數值與文化發達較早的其他國家所用的圓周率相同。但是，這個數值誤差很大，後來的數學家不斷努力去探求更精確的結果。據公元1世紀初製造的新莽嘉量斛（一種圓柱形標準量器）推算，其圓周率值應是。世紀初，東漢天文學家張衡分別取用π3.15472=730232≈和π≈。三國時東吳王蕃取π＝≈3.1466=3.1622142451031556..其中最突出的是魏晉之際的傑出數學家劉徽。劉徽生活在魏晉時期，生平不詳，曾作《九章算術注》九卷，另撰《重差》一卷附於《九章》之後，兩者並為十卷。唐初以後《重差》另本單行，被稱為《海島算經》。此外，他還撰有《九章重差圖》一卷，已失傳。劉徽是中國傳統數學理論的奠基者和代表人物，他的主要貢獻之一是在《九章算術注》中創造了「割圓術」，為圓周率研究工作奠定了理論基礎和提供了科學的算法。劉徽割圓術的基本思想是用圓內接正多邊形的周長和面積逼近圓周長和圓面積。逼近的最終結果，正如他所指出的「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣」①，即極限情形是兩者完全重合。劉徽從圓內接正六邊形算起，一直到求出圓內接正96邊形邊長和正192邊形的面積得到π繼續求出圓內接正邊形的面積得到π,,,=15750=3.143072=39271250=3.1416。這兩個結果是比較好的，現在還經常使用，其計算程序也比古希臘數學家阿基米德的類似方法簡便得多。繼劉徽之後，南北朝時祖沖之把圓周率推算到更加精確的程度。祖沖之是我國歷史上最傑出的數學家、天文學家和機械發明家，本編別有傳。祖沖之著有《綴術》、《九章算術注》、《大明曆》、《駁戴法興奏章》、《安邊論》、《易老莊義》、《論語孝經釋》、《述異記》等，《隋書·經籍志》還載有《長水校尉祖沖之集》51卷，但大部分已失傳。他的數學專著《綴術》，唐代收入《十部算經》，立於學官，要學習四年，並曾傳到朝鮮、日本，但也已失傳。關於圓周率問題，據《隋書·律曆志》記載，祖沖之求出π的不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，並確定π的真值在這兩個近似值之間，即3.1415926＜π＜3.1415927，精確到小數七位。這是當時世界上最先進的成果，直到約一千年後才為15世紀中亞數學家阿爾·卡西和16世紀法國數學家韋達所超過。至於他得到這兩個數值的方法，一般認為是基於劉徽割圓術。祖沖之還確定了π的兩個分數形式的近似值：約率π≈，=2273.14密率π≈。這兩個值都是π的漸近分數。其中約率=3551133.1415929227早已為阿基米德和何承天所知，密率則是祖沖之首創。密率355113355113是如何得到的，有調日法術，連分數法，解同餘式或不定方程，割圓術等多①《九章算術》方田章圓田術劉徽注，見錢寶琮校點本《算經十書》（上冊），中華書局，1963年版。種推測，迄今尚無定論。在歐洲，π是世紀由德國數學家奧=35511316托和荷蘭工程師安托尼茲分別得到的，並通稱為「安托尼茲率」。但這已是祖沖之以後一千多年的事情了。為了紀念祖沖之在科學上的貢獻，人們建議把密率稱為「祖率」，紫金山天文台已把該台355113發現的一顆小行星命名為「祖沖之星」，莫斯科大學裡刻有祖沖之的雕像，在月球背面也已有了以祖沖之的名字命名的環形山。 第三節球體積公式 球體積的計算是個相當複雜的問題。在《九章算術》中，球的體積公式相當於（是球的直徑）。這是一個近似公式，誤差很大。張衡曾V=916dd3經研究了這個問題，但沒有得到更好的結果。劉徽發現了《九章算術》少廣章所說的球與其外切圓柱的體積之比為π∶4的結論是錯誤的，並正確指出球與「牟合方蓋」（兩個底半徑相同的圓柱垂直相交，其公共部分稱為「牟合方蓋」）的體積之比才是π∶4，把對於球體積問題的研究推進了一大步，但他沒有能夠解決牟合方蓋體積的計算問題。二百年後，祖沖之和他的兒子祖暅才在這個問題上取得了突破。祖暅，字景爍，曾任梁朝員外散騎侍郎、太府卿、南康太守、材官將軍、奉朝請等，也是南北朝時期著名的數學家和天文學家，著有《漏刻經》一卷，《天文錄》三十卷等，均已失傳。有的文獻記載說《綴術》也是他所著，說他還曾參加阮孝緒編著《七錄》的工作。祖沖之父子推算出牟合方蓋的體積等於，從而得到正確的球體積公式233dV=16d=3π，徹底解決了球體積的計算問題。由於當時用圓周率π，227因此他們的球體積公式為。祖氏父子在推導牟合方蓋體積公式的V=11213d過程中，提出了「冪勢既同，則積不容異」（即二立體如果在等高處截面的面積相等，則它們的體積也必定相等）的原理。現在一般把這個原理稱為「祖暅原理」。在西方，17世紀義大利數學家卡瓦列里重新提出這個原理，即被稱為「卡瓦列里公理」，這個原理成為後來創立微積分學的重要的一步。 第四節同餘式和不定方程 在三國兩晉南北朝時期的數學著作中，《孫子算經》卷下的「物不知數問題」和《張丘建算經》卷下的「百雞問題」，是世界著名的數學問題。《孫子算經》三卷，作者不詳，約成書於公元400年前後，《張丘建算經》三卷，作者張丘建，清河（今河北清河）人，生平不詳，約成書於公元466至485年之間。這兩部著作都被收入唐代《十部算經》，立於學官，並流傳至今。「物不知數問題」亦稱「孫子問題」，大意是：有物不知其數，三個一數餘二，五個一數餘三，七個一數餘二，問該物總數共有多少？這個問題應該求解一次同餘組：N=2（mod3）=3（mod5）=2（mod7），答案是N＝70×2+21×3+15×2-2×105=23。後來，孫子問題成為廣泛流傳的一種數學遊戲，被稱為「韓信點兵」等，並且還編有一首「孫子歌」：「三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知」，這首歌訣暗示出問題的解法。但這不是同餘式的一般解法。「孫子問題」與古代曆法中推算上元積年有關，南宋數學家秦九韶創造「大衍求一術」，完滿地解決了這一問題。他所得到的一次同餘組解法公式，現被稱為「孫子剩餘定理」。 「百雞問題」的大意是：公雞1隻，值錢5文；母雞1隻值錢3文；小雞3隻，值錢1文。今有100文錢買雞100隻，問可買公雞、母雞和小雞各多少只？此題有三個未知數，僅能列出兩個方程，屬於不定方程問題。《張丘建算經》給出三組答案，並有一段說明文字。但是由於其中沒有具體解法，因而引起種種猜測。對於中國古代如何解不定方程，至今眾說紛壇，尚無定論，不定方程問題最早見於《九章算術》方程章的「五家共井」題，但術文簡略，暗含限制條件，沒有一般解法。北周甄鸞《數術記遺》也收錄了百雞問題，但數據與《張丘建算經》有所不同。該題應有兩組答案，但他僅給出一組，並說明這類問題「不用算籌，宜以心計」，即採用試算的辦法去解決。南宋楊輝《續古摘奇算法》引述了《辯古根源》（已失傳）中的「百桔問題」，該題應有四組答案，書中僅列出一種，是不完全的。直到19世紀，清代數學家才把這種類型的問題和求一術（一次同餘組問題）聯繫起來，獲得了比較完善的解法。晚於《九章算術》時代的公元3世紀古希臘數學家丟番圖，對不定方程問題進行了深入的研究，取得了非常出色的成果。15世紀中亞數學家阿爾·卡西的「百禽問題」，與「張丘建算經」的「百雞問題」非常類似，很有可能受到中國數學的影響。 第五節解線性方程組和解二次、三次方程 《九章算術》方程章方程術，是關於線性方程組解法的重要成就。這種方法是用直除法消元，直到每行只剩下一個未知數，即可求得方程的解。但是這種方法比較繁瑣，劉徽認為「舉率以相減，不害餘數之課」①，於是創立新術，採取相應各行係數互乘後再消元的方法。劉徽的互乘相消法已和現在所用的線性方程組解法基本上一致。 在中國古代，把開各次方和解二次以上的方程，統稱為「開方」。《九章算術》中已經給出了完整的開平方法和開立方法，而正係數二次和三次方程的解法，就是在開平方和開立方法的基礎上自然引伸出來的。魏晉南北朝時期，解二次和三次方程又有了新的進展。如趙爽在《勾股圓方圖注》中推導出（其中＞，＞）的求根公式＝－。-x+ax=Aa0A0xa-a4A2212()《隋書·律曆志》在敘述祖沖之圓周率後，又說「又設開差冪，開差立，兼以正負參之，指要精密，算氏之最者也」②，據考證，這可能是指開帶從平方和開帶從立方法，即解一般二次方程和三次方程，也就是容許方程中有負數項。在當時，解決這類問題是比較困難的，所以說「指要精密，算氏之最者也」。 ①《九章算術》方程章，見錢寶琮校點本《算經十書》（上冊），中華書局，1963年版。②據錢寶琮主編《中國數學史》第89—90頁，科學出版社1964年版。 第六節實用算術和其他成就 在三國兩晉南北朝時期的數學著作中，還講述了一些切合當時民生日用並且解題方法淺近易曉的實用算術知識。如《孫子算經》系統記載了算籌記數制度，籌算乘除法則和度量衡的單位名稱及進制。甄鸞字叔遵，無極（今河北無極）人，曾任北周司隸大夫，漢中郡守。信佛教，嘗撰《笑道論》。通天文曆法，撰《天和歷》，於天和元年（566）頒行。所撰數學著作《五曹算經》，分田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹五卷，是為地方行政官員編寫的應用算術書；《五經算術》則是對儒家經籍及其古注中有關數字計算的解釋；《數學記遺》題漢徐岳撰，可能是甄鸞偽托之作，其中記載了十進、萬進和數窮則變的大數進位法。《數術記遺》還列舉了積算、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數、把頭、龜算、珠算、計數，共14種記數方法和相應的記數工具，多不實用，但也反映了人們改革計算工具的嘗試，其中的珠算雖和後世的珠算不同，但也可能對珠算術的產生起過某種啟發作用。 這一時期除上述成就外，諸如劉徽的求弓形面積方法，陽馬術的證明，開方不盡求微數的十進小數思想，以及張丘建的等差級數求和、求公差及項數公式，最小公倍數的概念和應用等等，都是很有創見的貢獻。 第七節劉徽的極限思想 劉徽為證明《九章算術》中的各種公式，提出了「析理以辭，解體用圖」的要求，並創立了對許多問題行之有效的圖驗法和棋驗法。但是有些問題並非僅僅用棋用圖就可以解決的，而是需要具備相當清楚的極限思想。 在先秦諸子的著作中就已有了極限思想的萌芽，如名家就提出過「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。但先秦諸子的這類思想大多帶有思辨性質，而劉徽則把極限思想和極限概念運用於解決實際的數學問題，這是極為重要的。劉徽創立割圓術，用圓內接正多邊形面積逼近圓面積，用圓內接正多邊形周長逼近圓周長，解決了推求圓周率精確值問題，是他應用極限思想的成功事例。他對陽馬術（四稜錐體積公式）的證明也是很精彩的。這個問題雖然相當困難，但劉徽運用極限方法完滿地證明了陽馬（四稜錐）與鱉臑（三稜錐，亦即四面體）的體積之比為2∶1，從而由塹堵（楔形）體積公式推導出陽馬體積的正確公式。他處理弧田術（弓形面積公式）的作法，開方不盡時求微數的思想，以及對兩立體截面積與體積關係的認識，無不與極限和無窮小分割的思想緊密地聯繫在一起。這些思想具有深刻的數學內涵，並且是解析幾何、微積分等現代數學方法的基礎。劉徽在那樣早的時代就產生了這些思想並用於解決實際問題，確實是非常不簡單的和難能可貴的。