中國通史（第四卷） · 第四十三章 數學

隨著數學知識的不斷積累以及對於零散的材料逐漸加以總結和系統化、理論化，於是陸續出現了數學方面的專書。《漢書·藝文志》記載有《許商算術》二十六卷，《杜忠算術》十六卷，這是最早見於著錄的數學專著。這兩部書都已失傳了。秦漢時期傳留至今的數學著作和涉及數學方法較多的著作，有著名的《九章算術》和《周髀算經》。此外，還有近年出土的簡書《算數書》。這些書中包含了算術、代數和幾何等豐富的數學內容，諸如複雜的整數和分數四則運算，比例問題，盈不足術，開平方和開立方術，方程術和正負術，面積和體積問題，勾股算術和勾股測量術，等等，其中有不少算法是具有世界意義的先進成就。這些成就表明，秦漢時期已經形成了獨具特色的中國古典數學體系。 第一節「九數」 根據《周禮·地官·大司徒》記載，周朝設有稱為「保氏」的官員，專門負責向貴族子弟傳授所謂「六藝」。數學是六藝中的一門課程，共包括九項內容，稱為「九數」。但什麼是「九數」，現已難於考證。東漢鄭玄注釋《周禮》引鄭眾說，「九數」：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要，今有重差、夕桀、勾股①。鄭眾所稱「九數」中的「均輸」，實際上是西漢時的賦稅制度，不可能是《周禮》九數的內容。但從二鄭注釋可以了解到，西漢數學大致包含方田、粟米等九個方面，而重差、夕桀、勾股則是數學上的新的發展。上述九項內容與《九章算術》的篇目基本相同。「旁要」和「夕桀」兩項，今已不知所指。有人認為「旁要」指簡單的勾股問題，「夕桀」二字系傳抄有誤，應為「互乘」，即解線性方程組的一種方法。東漢一些數學家整理數學著作，用「衰分」代替「差分」，用「勾股」代替「旁要」，於是編寫成為著名的《九章算術》。正如劉徽所說，「周公制禮而有九數，九數之流則《九章》是矣」②，九章的名稱無疑是由《周禮》九數演變而來的。 ①「贏不足」，《九章算術》作「盈不足」，後皆依此。又，亦有人將「今有重差」斷開，作「旁要、今有、重差、夕桀、勾股」，把「今有」作為一種數學方法。 ②劉徽《九章算術注》原序，錢寶琮校點本《算經十書》上冊，中華書局1963年版。 第二節秦漢簡牘和《算數書》 在居延、武威、臨沂銀雀山、雲夢睡虎地及江陵鳳凰山等地出土的大批秦漢簡牘中，可以找到相當多的與社會生產和生活密切相關的數學計算問題，但就數學方法而言，僅有九九表，整數和分數的算術運算，面積、體積和容積的計算等。這些方法一般都很簡單，尚不足以反映秦漢數學的全貌。1984年1月，在湖北江陵張家山出土了一批竹簡，其中有數學著作《算數書》。據推斷，《算數書》抄寫於西漢初年（約公元前二世紀），成書時間應該更早。這是一部比較完整的，也是目前可以見到的中國最早的數學專著。全書採用問題集形式，共有六十多個小標題，九十多個題目，包括整數和分數四則運算，各類比例問題，各類面積和體積問題等。其中有些內容（如「合分」、「少廣」等）與《九章》相近，甚至文句都很相似，說明二書間可能有某些傳承關係，有些內容（如「相乘」、「增減分」等）是《九章》所沒有的。在張家山簡書漢律中，還發現有關於「均輸律」的簡文。過去一般認為漢武帝太初元年（公元前104年）郡國始置均輸官，施行均輸法，《九章算術》中的均輸問題，應是在此之後寫成的。現在看來，這一論斷需要進行修改。這部比《九章算術》還早的竹簡《算數書》的出土，是中國數學史上的一項重大發現，具有十分重要的意義。 第三節《周髀算經》 《周髀算經》是著名的《算經十書》之一，主要是一部解釋蓋天說的天文學著作，大約成書於公元前一世紀，而其中很多內容可能要早得多。在數學方面，《周髀》記述了矩的用途，勾股定理及其在測量上的應用，其中包含了相似直角三角形對應邊成比例的定理。《周髀》開篇就以商高回答周公問題的形式提出「故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五」，即勾3股4弦5，這是勾股定理的一個特例。接著，又在陳子回答榮方的問題中提出「以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日（太陽到觀測者的距離）」，即a2+b2=c2，這是勾股定理的普遍形式。據研究，陳子可能是公元前七到六世紀的人。在西方，這個定理稱為「畢達哥拉斯定理」，把勾股定理的發現歸功於公元前六世紀的古希臘數學家畢達哥拉斯。《周髀算經》中測量太陽高遠的陳子測日法，是勾股測量術的發展，又是重差術的先驅，比起西方「測量之祖」泰勒斯測量金字塔的成就是毫不遜色的。《周髀》中還有開平方和等差級數等，以及相當複雜的分數運算，用以解決古「四分曆」的計算問題。唐代國子監添設算學館，主要學習十部算經，《周髀》即是其中之一。對於研究古代天文學史和數學史而言，《周髀》是傳留至今的最早的寶貴文獻。 第四節《九章算術》 《九章算術》的成書 中國古代數學名著《九章算術》，是我國最早的傳世數學專著。《九章算術》與《周髀算經》一樣，不是一人一時寫成的。它經歷了多次的整理、刪補和增訂，是幾代數學家共同勞動的結晶。大約成書於東漢初年（公元一世紀）。《九章算術》採用問題集形式，列舉了246個數學問題及其答案，並在若干具體問題之後，敘述這類問題的解題方法。全書分為下列九章：方田、粟米、衰（cuī）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。方田章是關於土地面積的計算，包括有正方形、矩形、三角形、梯形、圓、環等面積公式，以及弓形面積和球冠表面積的近似公式。後兩個公式比較簡單，但誤差很大。劉徽在《九章算術注》中曾提出用類似割圓術的方法推求弓形面積，但未能給出更好的結果。在這一章中還有分數的四則運算法則和約分、通分、求最大公約數方法。在《九章》中，把最大公約數稱為「等數」，求兩個數的最大公約數要「以少減多，更相減損」，這種方法與歐幾里得的輾轉相除法是相同的，後來在解決一次同餘組等問題上獲得了更重要的應用。《九章算術》在世界數學史上的貢獻完整的分數運算法則，在印度遲至七世紀才出現，而歐洲則更晚。粟米章主要講各種糧食交易折算的比例問題。所用方法稱為「今有術」，即在成比例的四個數中，從三個已知數求第四個數的算法。在歐洲，這種算法稱為「三率法」。關於比與比例的思想，古希臘就已經有了，但把比例和三率法聯繫起來卻是遲至十五世紀的事情。衰分章是比例分配問題，即按等級分配物資或按一定標準攤派稅收。在這一章中還有等差數列和等比數列問題，但都用比例方法來解決。少廣章講的是已知正方形面積或正方體體積反求邊長，即開平方和開立方的方法。其具體運算過程是世界上最早的關於開平方和開立方法則的記載。在運算中，要把算籌擺放幾層，相當於用分離係數法列出與求解二次和三次方程，從而發展了籌算的位值制，並開闢了求解數字高次方程的途徑。少廣章中還有從已知球體積求直徑的問題，給出一個誤差很大的球體積公式。劉徽和祖氏父子在此基礎上深入研究，終於獲得了正確的結果。商功章主要是各種立體體積的計算。這些問題大都來源於營築城垣、開鑿溝渠、修造倉窖等土木和水利工程實際。其中包括長方體、稜柱、稜台、圓柱、圓錐、園台、楔形體等，都給出了正確的體積計算公式。缺點是圓周率取π＝3，這個數值誤差很大。根據劉徽對商功章的注釋可以知道，這些公式是通過具體模型的分解與合併來證明的，這說明中國古代的體積理論有很高的水平和不同於西方數學的獨特的處理方法。均輸章是平均賦粟和徭役問題，計算如何按人口多少、物價高低、路途遠近等條件，合理攤派稅收和民工等。包括正比、反比、複比例、連比例、等差級數等數學方法。盈不足章屬於盈虧類問題和算法。盈不足術是通過兩次假設取值，然後根據公式求出未知數，其原理與現在求高次代數方程和超越方程近似解的線性插值法是相同的。在中世紀歐洲，這種方法叫做「雙設法」或「契丹算法」，是歐洲符號代數學產生以前的一種主要代數方法。據考證，古代阿拉伯數學文獻里，「契丹」一般指的是中國。因此，不少人認為，中國的盈不足術經阿拉伯傳入歐洲，在西方數學領域起了重要的作用。方程章講的是多元一次聯立方程組（線性方程組）問題及解法。這是中國古代數學的一項重大成就。用算籌表示多元一次聯立方程組，類似於由方程組各係數構成的矩陣，其解法與現在中學代數中的消元法基本相同。古希臘和印度也有過一些特殊的聯立方程組解法，但沒有一般解法，遠不如方程章的算法完整。而在歐洲，提出同類問題要晚一千多年，直到十六世紀才有了加減消元法。在這一章中還引入了負數概念，並給出了正負數加減運算法則：「同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」負數的出現，反映出對意義相反數量的正確理解，從而實現了數的範圍的一次新擴充。這一項傑出創造，也是以中國為最早。印度於七世紀引進負數概念。歐洲十二世紀對負數有所認識，而直到十六世紀才有比較深刻的理解，這一點甚至影響到線性方程組的求解問題。勾股章主要內容是勾股定理的應用和簡單測量問題。其中包括勾股容方和勾股容圓問題，以及二次方程x2＋ax＝b（a＞0，b＞0）的解法。關於勾股數的原術及劉徽注中的有關公式，是對整數論的重要貢獻，也是世界數學史上整數勾股數研究的較早成果之一。《九章算術》及其中一些問題曾經傳到日本、朝鮮、越南、印度、阿拉伯和歐洲，對世界古代數學發展產生了相當大的影響。《九章算術》已被譯成英、俄、德、日等多種文字。 《九章算術》對中國古代數學的總結及其對後來的影響《九章算術》系統地總結了西周至秦漢時期我國數學的重大成就，是中國古代數學體系形成的顯著標誌。它的豐富多采的內容，大多來自生產和生活實踐，集中反映了我國古代高度發展的數學水平，以及理論密切聯繫實際和以算法為核心的突出特點，並對後世數學發展起了十分重要的作用。《九章算術》對中國數學的影響，正像歐幾里得《幾何原本》對西方數學的影響一樣，是非常深刻的。中國歷史上著名數學家如劉徽、祖沖之、李淳風、賈憲等，都曾經深入研究和注釋過《九章算術》，並通過這種形式提出許多新概念和新方法，為推動中國數學發展作出了重大貢獻。《九章算術》是中國古代數學流傳最久，影響最大的一部代表作，也是歷代進行數學教育的課本之一。唐代國子監算學館規定十部數學著作作為學生的數學教科書，後代稱為「算經十書」，《九章》就是其中的一部。 第五節數學與天文學 在中國古代，天、算、農、醫是成就卓著的四大學科，其中天文學和數學的關係尤為密切。天文曆法的進步促進了數學的發展，而數學的發展也為天文曆法提供了有力的工具。前面提到的《周髀算經》是一部天文學著作，其中也包含了勾股定理、勾股測量、開平方和分數運算等數學方面的成就。東漢晚期的天文學家劉洪在《乾象曆》中用「強」、「弱」來表示某數的過剩近似值和不足近似值。他的「強弱」概念與「正負」概念是相通的，並且明確指出：「強正弱負，強弱相併，同名相除，異名相消；其相減也，同名相消，異名相從；無對互之。」這與《九章算術》中的正負數加減運算法則完全一致。劉洪為解決由於月球繞地球運行不等速運動問題，提出了一次內插法。根據這種方法，通過某日某時前後的兩個實際觀測值，可以比較精確地推算月球在該日該時的實際位置。一次內插法實質上就是盈不足術，它使曆法精度有所提高，並為研究二次和高次內插法、不等間距內插法，提供了新方向，後世在這一領域獲得了很大的進展。在西方，古希臘天文學家採用幾何方法解決這一問題，相當繁瑣，遠不如中國的代數方法簡捷明確。此外，由於漢代曆法中出現了推算上元積年的需要，因此也產生了求解一次同餘式或簡單不定方程的問題，後世在這一領域也取得了極其突出的成就。 第六節數學家 秦漢時期曾湧現出一批數學家和有很高數學造詣的人。如許商、杜忠在當時都有數學專著行世。據文獻記載，漢北平侯張蒼（？—前125）、大司農耿壽昌，皆以善算名世，他們都做過修訂數學著作的工作①。劉歆（？—23）「數術、方技，無所不究」②，著有《三統曆譜》等。著名天文學家張衡（78—139）「善機巧，尤致力陰陽、天文、歷算」③，著有《靈憲》、《算■論》。他所用的圓周率相當於π＝10≈3.16，優於古圓周率π＝3，是對這一課題較早的研究和改進。劉洪「善算，當世無偶」④，曾創製《乾象曆》，有的文獻還記載他著有《九章算術》⑤。馬續「善《九章算術》」⑥。鄭玄（127—200）「少學書數，八九歲能下算乘除。年二十一，博極群書，兼精算術」⑦，曾注釋多種重要典籍。蔡邕（133—192），好辭章、數術、天文，「先治律歷，以籌算為本，天文為驗」⑧。他已知道圓周率π＞258＝3.125，比古率有所改進。徐岳「素習《九章》，能為計數」⑨。據載，著有《九章算術》、《算經要用百法》、《大衍算術注》、《數術記遺》等，實際上很可能是他對《九章算術》作過注釋。另外，《數術記遺》一書現有傳本，但也有人認為是偽托之作。以上這些人都是中國數學史上較早見於史籍記載的數學家和擅長數學的學者，遺憾的是由於史料缺乏，現尚難以對他們的數學成就做出詳細的論述。 ①劉徽《九章算術注》原序，錢寶琮校點本《算經十書》上冊，中華書局1963年版。②《漢書·律曆志》、《藝文志》、《楚元王傳》。 ③《後漢書·張衡傳》。 ④《後漢書·律曆志》。 ⑤唐釋慧琳：《大藏經音義》卷六。 ⑥《後漢書·馬援傳》。 ⑦劉孝標：《世說新語》「文學」第四引《高士傳》。 ⑧《後漢書·蔡邕傳》，《四部叢刊》影明刊本《蔡中郎集·上漢書十志疏》。⑨李昉：《太平御覽》卷七五四。