中國通史（第十一卷） · 第三十三章　數學

十九世紀中葉，中國傳統數學以一個小的高潮走向終結，伴隨帝國主義經濟掠奪和文化宣傳而來的是西方數學的傳播與普及，過程相當緩慢和艱難。日本自明治維新以來也學習西方數學，並後來居上而超過中國。自十九世紀末開始，大批中國留學生到日本、歐美學習數學，他們回國後創辦大學數學系，嘗試做研究。到1919年五四運動前後，中國現代數學事業稍具雛形，遺憾的是，曾經輝煌一時的中國傳統數學並沒有融入西方數學，此後只作為歷史存在和文化影響而成為數學史的研究對象。這就是說，中國現代數學基本上是另起爐灶，從西方移植過來的。 第一節　十九世紀中葉的中國數學 西方數學的傳播 鴉片戰爭以後，中國數學出現了新的發展態勢，一方面，西方傳教士借五口通商的便利，在傳教的同時，擴大西方數學的傳入；另一方面，清朝統治集團內部的一些洋務派人士注意支持中國的科學事業，包括中國傳統數學的發展，以及西方數學典籍的翻譯。李善蘭是這一時期最重要的中國數學家。他既精於中國古代的傳統數學，又能吸收西方的一些數學觀念加以糅和，代表了那一時代中國數學的最高水平。 1843年，英國人麥都思（W.H.Medhurst，1796—1857）在上海設立墨海書館，印刷《聖經》等傳教需用的材料。1847年8月26日，受英國倫敦會的派遣，偉烈亞力來到上海主持墨海書館的出版事務。偉烈亞力主持館務之餘，借他在倫敦自學的一點漢語知識，研讀中國的天文數學典籍，並涉獵西方科學著作的漢譯工作。他自稱：「余自西土遠來中國，以傳耶穌之道為本，余則兼習藝能。」①他和李善蘭合作翻譯的《幾何原本》後9卷，以及第一本介紹微積分的譯作《代微積拾級》分別在1857年和1859年出版，成為繼利瑪竇和徐光啟翻譯《幾何原本》前6卷之後向中國傳播西方數學的又一重要事件。 進入十八世紀六十年代之後，英國人傅蘭雅、美國長老會牧師狄考文（C.W.Mateer，1836—1908）也參與翻譯西方數學著作，影響很廣。 另一方面，清政府中的洋務派主張學習西方技術，特別注意對數學的支持。經過一番激烈的爭論，同治帝接受恭親王奕的奏請，於1862年在同文館設立天文算學館。1865年，曾國藩、李鴻章奏准在上海設立江南製造局。1868年起，在其內設翻譯館，有關代數學、三角學、機率論等一大批西方數學著作被譯成中文。政府官員中也有一些人專攻數學，如江蘇巡撫徐有壬，與同時代的數學家李善蘭等多有來往，自己亦有著作多種；江西的吳嘉善曾為翰林院編修，嘗與徐有壬共同研究數學；湖南天算家丁取忠曾在1860年應胡林翼之請到武昌作幕賓，晚年和他的弟子左潛（左宗棠的從子），曾紀鴻（曾國藩的次子）在長沙白芙堂研究數學。 1866年，曾國藩「郵致三百金」到南京資助李善蘭出版《則古昔齋算學》24卷，這部著作代表了當時中國傳統數學的最高水平。 然而，儘管有傳教士和洋務派人士對數學的支持，中國數學前進的步伐仍然十分緩慢。 傳統數學的終結在腐朽的清皇朝統治下，一部分比較開明的知識分子拋棄了對功名富貴的追求，以研究數學排遣憂悶，另一部分則追隨洋務派以研究數學而圖強。同時，也因多少受到外來數學思想方法的影響，十九世紀中期的中國傳統數學出現了一個小的高潮，僅以函數的冪級數展開而論，從1845至1865的20年間，就有項名達、戴煦、李善蘭、徐有壬、顧觀光、鄒伯奇、夏鸞翔等先①陳彥衡：《舊劇叢談》。 後發表研究成果。李善蘭的數學研究範圍更廣，在組合恆等式上的研究至今仍被國際數學界稱道。 戴煦（1805—1860），浙江錢塘（杭州）人。其兄戴熙官為兵部右侍郎，但他淡於功名，絕意仕進，終生以研治數學為樂。他先與項名達為忘年交，校注古代算學著作，1845至1852年間，完成數學著作4種9卷，總名為《求表捷術》。其內容涉及對數造表方法、三角函數造表法、三角函數對數造表法。對數表的製作，若按《數理精蘊》的辦法，「布算極繁，甚至經旬累月而不能求一數」①。他的工作是找到二項式，對數函數，三角函數的對數函數等一系列的函數冪級數展開式，成為造表的有力工具。在微積分未傳入我國的當時，戴煦的工作是相當艱難而深入的。1845年，英國教士艾約瑟（J.Edkins，1823—1905）慕名求見，戴煦以「中外殊俗異禮」託故辭之。1860年，太平軍攻克杭州，戴煦隨其兄戴熙自盡。 徐有壬（1800—1862），浙江湖州人，歷任雲南按察司，湖南布政司，以至江蘇巡撫。自幼對數學有濃厚興趣，結交許多當時數學名家，著有《務民義齋算學》，在三角函數和反三角函數的冪級數展開式上有些新見解，自稱其為「綴術」。1860年，太平軍攻克蘇州時被殺。顧觀光（1799—1862），江蘇金山人，以醫生為業，兼通天文算學。身後匯刻有《武陵山人遺書》，在對數表製作，《周髀算經》校註上有所貢獻。鄒伯奇（1819—1869），廣東南海人，對幾何光學頗有研究，同時在函數表製作、計算尺的使用上做過探討。夏鸞翔（1823—1864），浙江杭州人，與戴煦為世交。1963年游廣州，與鄒伯奇共研數學，主要工作為三角函數表的製作，以及圓錐曲線的綜合研究。湖南的丁取忠（生卒年不詳）著有《數學拾遺》，對一次同餘式求解有所闡述。晚年在長沙古荷花池的白芙草堂，與左潛（？—1874）、曾紀鴻（1848—1877）治數學。他們也研究冪級數的展開，曾紀鴻用反三角函數的冪級數展開式求得圓周率的第24位準確數字。 在晚清數學家中，李善蘭無疑是最傑出的一人。李善蘭的主要數學成就有：尖錐術、垛積術、素數論。在西方的微積分未傳入的情況下，李善蘭獨自用尖錐術發現冪函數的定積分公式、二次平方根的冪級數展開式，以及各種三角函數、反三角函數的冪級數展開式。他所使用的求對數的方法，比傳教士帶進來的方法要高明、簡捷。一般認為，在李善蘭的尖錐術的基礎上，中國傳統數學完全可以走上解析幾何、微積分的近代數學的道路。 李善蘭集前人之大成，在垛積術上有重大突破，其內容屬於今之「組合數學」。他創造了三角自乘垛和乘方垛兩類新的垛積，其中的組合公式()()()npppqnpqpqp+=+-=.2022被今人稱為李善蘭恆等式。晚清中國數學結果中具有一定世界意義的，恐僅此一端。 李善蘭在素數論方面，證明了許多結果，其中包括法國數學家費馬（P.Fermat，1601—1665）在1640年得出的一條素數定理：若ad-1能被素數N整除，則N-1能被d整除。 李善蘭和偉烈亞力等合作翻譯過大量西方科學典籍，成為近代中國科學的先驅和傳播者。1868年，他應召到北京，在同文館擔任數學教席，官至三①王楊宗：《偉烈亞力》，載《中國古代數學家傳記》（下冊），科學出版社1993年版。品，但他淡於利祿，潛心於數學教學和研究。李善蘭之後，中國傳統數學再也沒有出現有較大價值的成就。 大量翻譯西方數學典籍偉烈亞力經營的上海墨海書館首先大量翻譯西方的科學典籍。1852年，李善蘭和偉烈亞力相識，兩人通力合作，先後譯出《幾何原本》後9卷（1858年），《代數學》（1859年），《代微積拾級》（1859年）等數學著作。《代微積拾級》是中國第一部微積分譯作，影響巨大，其中使用的微分、積分、函數、級數、曲率等名詞均始自此書，沿用至今。李善蘭在翻譯時用了一些西方數學的符號，但大量使用中文字母和自創的符號，讀來十分困難。 第二次大量翻譯科學典籍是在1865年曾國藩、李鴻章奏准設立的江南製造局。主持數學典籍翻譯的是華蘅芳（1833—1902）。他是江蘇無錫人，愛好數學，1861年到安慶曾國藩軍中佐理洋務，然後到上海，在江南製造局供職。他除參加地學等書籍翻譯之外，主要和英人傅蘭雅合譯數學著作。十餘年間譯書以下6種：《代數術》（1872年）、《微積溯源》（1872年）、《三角數理》（1877年）、《代數難題解法》（1879年）、《決疑數學》（1880年）、《合數術》（1887年）。其中《決疑數學》是我國第一本有關機率論的數學譯作。與李善蘭的譯作相比，華蘅芳翻譯的著作內容較為豐富，語言更為流暢，但使用的符號仍未有大的變化。 中日數學實力的逆轉在十八世紀七十年代以前，日本數學一直在向中國學習。日本翻譯和傳播西方數學的時間也比中國稍晚。1859年，李善蘭和偉烈亞力翻譯的《代微積拾級》很快東渡日本。「18世紀60年代，日本和算家能讀到的最好微積分書籍只有Loomis的《微積分》中譯本（即《代微積拾級》）」①。 現在日本使用的數學名詞有許多是從中國傳去的，如微分、積分、函數、有理數、無理數、方程式等等，中日所用完全一樣，其來源是《幾何原本》、《代微積拾級》等中國譯本相繼傳入日本。 但自1868年明治維新之後，日本曾有「廢止和算，專用洋算」的指令性要求。1872年的學制令等文件，明文規定：「算術以洋法為主。」日本在重視工業發展的同時，重視基礎科學包括數學的發展。1877年，菊池大麓自英國學習數學後歸國，進入文部省改革科學教育。日本數學會在1877年成立，1877年東京大學成立理學部，其中有數學教授。1898年，高木貞治到德國向世界大數學家希爾伯特（D.Hilbert1862—1943）研習代數數論，日後解決了著名的類域論問題，為世界一流數學家。反觀中國，自容閎1872年組織幼童出國留學，主要學習「軍政，船政，步算，製造諸學」。十九世紀多批留學生中，竟無一人專習數學。洋務派提倡學習數學，響應者寥寥。同文館的天文算學館，學生中無人能超過李善蘭。數學之落後，自是意料中事。1894年甲午戰爭之後，中國數學已明顯落後於日本，李善蘭時代的數學優勢喪失殆盡。1898年之後，中國向日本大舉派遣留學生，其中包括派人學習數學。①戴煦：《求表捷術》。 第二節晚清時期的中國數學教育 1882年李善蘭逝世，中國傳統數學研究幾乎完全中斷，所有的數學活動只是如何向西方學習的問題。中國現代數學不得不另起爐灶，從基礎的數學教育開始。教會學校、京師大學堂、中小學校開設數學課程，派遣學習數學的留學生，出版基礎的數學教材，就是最初的幾步。 1.數學教材。 西方傳教士所辦的教會學校，大多是宗教課程，間或有一些數學課。第二次鴉片戰爭之後，西方各教派在中國所辦的學校趨於聯合。1877年，美國傳教士狄考文（C.W.Mateer1836—1902）主持成立了教科書委員會，計劃編寫初級和高級兩套教材，每套都有「算術、幾何、代數、測量學、物理學、天文學」。狄考文和平度人鄒立文合編了一套數學教材：1885年出版《形學備旨》（形學即幾何學），1890年有《代數備旨》，1892年有《筆算數學》。1893年美國傳教士潘慎文（A.P.Parker1850—1924）和謝洪賚合譯的《八線備旨》和《代形合參》（即解析幾何）出版。這些書開始採用阿拉伯數字，+，-等國際通用符號。它們發行很廣，每種書都重印了十幾次，清末許多學校都曾採用作為教科書。 2.同文館中的數學課程。 1868年設天文算學館以後，李善蘭受聘為第一任數學教習（即教授）。 同文館的歷任教習中，中文教習當然由中國人擔任，其餘的外文、理化、生物、地學、軍事、醫學、法政等等學科的教習均延請外人承擔，而數學是唯一的例外。李善蘭學貫中西，被認為是「才具很高的人」①，受到同文館上下的尊重。在某種意義上說，數學和西方的差距相對地要小一些。 同文館的數學課程，按規定第四年有算術、代數，第五年習幾何，以及平面和球面三角，第六年有微分積分，但從現存考試題目來看，沒有考過微分積分的題目。李善蘭去世後，席淦、王季同先後於1886年、1895年繼任教習，兩人的水平不及李善蘭，沒有多大作為。此外，1873年起在上海廣方言館任算學教習的劉彝程在中國傳統數學上稍有研究。 洋務派人士在籌辦船政學堂、水師學堂、武備學堂等軍事學校時，都要安排數學課程。1867年開辦的福建船政學堂，基本課程包括法文、算術、平面幾何和畫法幾何，以及一門詳論150匹馬力輪機的課程。民間興辦的書院，亦設算學課程。上海求志書院的算學課程為西方數學與中國傳統數學的混合體，其中有勾股、四元代數、平面幾何、三角、微分、級數等內容。 3.科舉中的算學科。 1870年，沈葆楨，英桂奏請「特開算學科」，內稱「水師之強弱，以炮船為大宗，炮船之巧拙，以算學為根本」。1875年，禮部又請考試算學，然二事均未能獲准。1887年，陳秀瑩有「奏請將算學歸入正途考試疏」，李鴻章予以支持，稱「為造就將才起見，要皆以算學入手」，建議由各省士子、水師武備學堂等學生及教學人員參加考試。當年，總理衙門同意加開算學科。1988年午子鄉試，報考算學的有32人，按每20名錄取1名的比例，當年取①MikamiY（三上義夫）：MathematicsinChinaandJapan，2nd.ed.NewYork.ChelseaPublishingCompany.1961.p.176.中1名。 第三節　二十世紀初年普及西方數學 明清時期，中國傳統數學的教育皆由師徒間個別傳授。百日維新前後，開始提倡辦新法學校，算學是其中一門主課。此時，民間的數學團體和數學雜誌也開始出現。湖南瀏陽的算學社以培養賢才而勸學算學，譚嗣同曾著有《興算學議》。1900年，周達（號美權，1879—1949）在揚州創立知新算社，除研究中國古算之外，主要提倡學習西算。他本人著有《周美權算學十種》，且從1902年起5次去日本交流數學。此外，四川重慶的算學館、上海松江的雲間算學會、浙江瑞安的學計館等都是研究和介紹中西方數學的民間組織。1900年，杜亞泉（1872—1934）在上海出版《中外算報》；1912年，崔朝慶（1860—1943）在南通創辦《數學雜誌》，也都主要致力於西算的傳播。1902和1904年，清廷先後頒布壬寅學制和癸卯學制，規定小學堂有算術課，中學堂設算術、幾何、代數、三角；高等學堂授解析幾何、微積分。這兩個學制雖然推行很慢，但基本上是仿照西方的。辛亥革命後的1912年，頒布新學制（壬子學制），所設數學課均為西方數學。商務印書館、中華書局大量出版自己編寫的《共和國教科書》、《民國教科書》等系列數學教材，同時也翻譯國外的優秀數學教科書。傳統的中國數學不再教習，學校中完全講授西算。課本中除多用文言文表述之外，已普遍採用橫排，使用阿拉伯數碼和國際通用的數學符號，西算就此普及。 1898年成立的京師大學堂，其數學教育一仍同文館舊制，未有大的變化。1906年使用的代數學教科書為日本上野清著，中國徐虎臣譯。該書仍為直排，文言文，沒有阿拉伯數字，數學記號仍沿用李善蘭所創的那一種。京師大學堂所開課程中最高為微積分方程論和整數論。到辛亥革命為止的十餘年間，京師大學堂沒有培養出較有成就的數學家。1912年，京師大學堂改名為北京大學，1913年成立數學門，1919年改門為系，漸有現代數學高等教育的雛形。辛亥革命以後，京師優級師範學堂改為北京高等師範學校，設立了數理科。這是民國初年培養數學專門人才的兩所高等學府。稍後，又在武昌、南京、成都等地設立高等師範學校，它們的數理系培養了大批數學教師。十九世紀派往歐美的大量中國留學生中，專習數學的未見記載。1902年，馮祖荀（1880—？）去日本第一高等學校和京都大學理學部研習數學，歸國後任北京大學數學教授，以後長期擔任數學系主任。辛亥革命前到美國學習數學的幾位學者對後來中國數學的發展較有影響，其中胡敦復（1886—1978），1904—1907年在康乃爾大學獲學士學位；鄭桐蓀（1667—1963）也在1907—1910年間就讀於康乃爾大學習數學與物理；秦汾（1883—1971）於1906年去哈佛大學學習天文與數學，1909年畢業，並繼續攻讀，於1913年成為中國在數學學科方面獲碩士學位的第一人。 1908年，美國國會同意退回庚子賠款的一部分，用作中國學生赴美留學之用。1909年派出的首批中有王仁輔（1886—1959），他在哈佛大學學習數學，1915年獲碩士學位，回國後在北京大學任教授。1910年的第二批留學生中有多人攻讀數學。其中的胡明復（1891—1927），1917年在哈佛大學獲博士學位，博士論文《具有邊界條件的線性微積分微分方程》發表在《美國數學會彙刊》上①。這是中國以數學研究而獲博士學位的第一人，他的博士論文也是中國數學家發表的第一篇有現代水平的數學論文。1910年赴美國康乃爾大學研習數學物理的還有趙元任（1892—1982），他在1918年獲哈佛大學的博士學位，回國後先在清華學校教授數學和物理學，後來轉向語言學研究，成為語言學家、作曲家。姜立夫（1890—1978）是1911年第三批赴美留學生中的一員。他在1918年以《非歐的線——面幾何》的論文，也在哈佛大學獲博士學位，1919年回國後在南開大學任教授，培養了一大批有成就的數學家。姜立夫在現代中國數學界深孚眾望，以後成為中央研究院數學研究所的第一任所長。 1919年五四運動之前，到法國學習數學的有何魯（1894—1973）、段之燮（1890—1969）、郭堅白（1895—1959），他們先後在里昂大學、巴黎大學等校獲碩士學位。熊慶來（1893—1969）於1913年考取雲南公費留學名額，在比利時、法國等地學習數學，回國後辦東南大學、清華大學等名校的數學系，對現代中國數學貢獻很大。 ①高時良：《洋務運動時期教育》，上海教育出版社1992年版，第145頁。