中國通史（第十卷） · 第四十七章數學

在中國數學發展史上，清代是由古典數學向近代數學的轉型時期。這一時期，數學研究是相當活躍的，就數學家人數和有關專著的數量而言，超過了以往的任何時代。雖然當時中國數學的整體水平已落後了，與正在興起和迅速發展的西方近代數學相比差距越來越大，但中國的數學家刻苦鑽研和不懈努力，在發掘、整理、繼承和發揚中國傳統數學，以及消化、吸收和深入研究引進西方數學等方面，仍然取得了不少重要的和具有獨創性的成果，作出了令人矚目的貢獻，並且逐漸完成了由常量數學到變量數學和由初等數學到高等數學的演變。 第一節對數的引進 明代末年，由於曆法改革的需要，陸續引進了歐氏幾何學、三角學和筆算等西方數學。入清之後，這項工作仍在繼續進行，其中最重要的是由波蘭傳教士穆尼閣（J.N.Smogolenski，1611—1656）和薛鳳祚所介紹的對數方法。薛鳳祚（1600—1680），字儀甫，山東益都金嶺鎮（今屬山東淄博）人，與清初著名天文學家和數學家王錫闡有「南王北薛」之稱。他早年曾向明代學者魏文魁學習中國傳統的天文歷算方法。五十多歲時又在南京向穆尼閣學習西方天文學和數學等科學知識。所著《歷學會通》於1664年刊行。 《歷學會通》共分正集、續集和外集三部分，主要講述天文學，此外還有數學、醫藥學、物理學、水利、火器、兵法等內容。名為「會通」，表明他的目的是想把中法西法融會貫通起來。該書的數學部分主要是傳自穆尼閣的《比例對數表》（1653年），《比例四線新表》和《三角算法》等各一卷。《比例對數表》和《比例四線新表》分別給出了1～20000的六位對數表和六位三角函數（正弦、餘弦、正切、餘切）對數表。書中把今天所說的「對數」稱為「比例數」或「假數」，並簡單解釋了把乘除運算化為加減運算的道理。這是對數方法在中國的首次介紹。對數是17世紀最重要的發現之一，它有效地簡化了繁重的計算工作。在對數、解析幾何和微積分這三種當時西方最重要的數學方法中，也只有對數比較及時地傳入了中國。《三角算法》所介紹的平面三角和球面三角知識，比《崇禎曆書》中有關三角學的內容更豐富一些。如平面三角中包含有正弦定理、餘弦定理、正切定理和半角定理等，且多是運用三角函數的對數進行計算。球面三角中，增加了半角公式、半弧公式、達朗貝爾公式和納皮爾公式等。 明末清初還傳入了西方的一些計算工具，如納皮爾算籌、伽利略比例規、計算尺（尚無游標、滑尺）、籌式計算器和帕斯卡計算器（機械式加法器）等。這些計算工具有些是外國製造的，有些則是國內自行研製的，現今仍收藏在故宮博物院。由於這些計算工具的實際運算效率並不高，遠不如珠算，因而並沒有得到廣泛的應用。在17世紀，我國有四算之稱，即珠算、筆算、籌算（非指中國古代用算籌進行的籌算）和尺算，後三者都是由西方傳入的，但當時主要和普遍使用的仍是珠算。 第二節　梅文鼎的數學工作 明清之際西方數學和天文學的傳入，在中國學術界引起了巨大的反響，引進與反引進的鬥爭有時是相當激烈的。當時中國學術界對待引進的西方科技知識的態度，基本上有三種。一種是不分精華與糟粕，一概否定，盲目排斥，如明末冷守中和魏文魁，清初楊光先等。如，楊光先說過：「寧可使中夏無好曆法，不可使中夏有西洋人」①，正是這種愚昧保守思想的典型代表。另一種態度以明末徐光啟、李之藻等為代表。他們努力學習西學，在引進西方科技知識方面作出了積極的貢獻。但是，他們對於西方傳教士的政治目的缺乏應有的警惕，而對於西方科技知識則過於推崇，無論先進或不先進、適用或不適用，往往是兼收並蓄，一概照搬，缺乏分析和批判的精神。例如徐光啟對中國傳統數學和西方數學就有不少偏激之詞。他認為《幾何原本》有「四不必」：不必疑，不必揣，不必試，不必改。而相反地，卻把中國古代數學說得一錢不值，「所立諸法蕪陋不堪讀」②，在《刻同文算指序》中又說「網羅藝業之美，開廓著述之途。雖失十經，如棄敝矣」。中西數學有不同的傳統，各有自己的特色。徐光啟的這些思想顯然是非常片面的和錯誤的。此外，清代還有一些人如阮元、戴震等，他們主張「西學東源」說，認為幾何學即勾股，代數學來自天元術，西方數學全部來源於中國。這種思想當然與歷史事實不符，只能造成阻礙學習外國先進科學技術知識的不良影響。第三種是以梅文鼎和王錫闡為代表，對於中西數學和天文學進行了比較深入的分析和研究。梅文鼎認為「法有可采何論東西，理所當明何分新舊」，「務集眾長以觀其會通，毋拘名相而取其精粹」①，雖然他在實踐中還有不足之處，但這種有分析，有鑑別，實事求是，洋為中用的科學態度，與對於外來文化盲目排斥或盲目崇拜的兩種錯誤傾向是有根本區別的。 梅文鼎（1633—1721），字定九，號勿庵，安徽宣城（今安徽宣州市） 人。畢生研究數學和天文學，著述繁富，約有80餘種之多，被乾嘉學派譽為「（清初）歷算第一名家」。康熙帝曾在一次南巡歸途中召見梅文鼎，連續三天與他討論天文學和數學問題，並親書「績學參微」四字予以表彰。在數學方面，梅文鼎對於當時的中西數學進行了相當全面的研究，幾乎涉及初等數學的各個領域。在梅文鼎之孫梅瑴成編選的《梅氏叢書輯要》中，收集了梅文鼎的數學著作13種共40卷，其中包括《筆算》5卷，《籌算》2卷，《度算釋例》2卷，《方程論》6卷，《少廣拾遺》1卷，《勾股舉隅》1卷，《幾何通解》1卷，《方圓冪積說》1卷，《幾何補編》4卷，《平三角舉要》5卷，《弧三角舉要》5卷，《塹堵測量》2卷，《環中黍尺》5卷。這些著作對當時已傳入中國的算術、幾何、代數、三角、比例規、納皮爾算籌等西方數學知識，作了系統的整理和全面的闡述，並且取得了一些獨創性的研究成果，如關於正多面體和半正多面體的研究，關於球體積的計算，關於以投影原理解球面三角問題等。梅文鼎的數學著作還有一個特點，就是用淺顯易懂的語言來敘述比較複雜的數學問題，正如阮元所說「其論算之文務在顯明，不辭勞拙，往往以平易之語解極難之法，淺近之言達至深之理，使讀其書者①楊光先：《不得已》。 ②徐光啟：《勾股義》緒言。 ①梅文鼎：《塹堵測量》卷2。 不待詳求而又可曉然」①，這也是非常難能可貴的。梅文鼎的數學工作，在有清一代吸收和消化西方數學知識過程中，起了會通中外，繼往開來的重要作用。 ①阮元：《疇人傳·梅文鼎傳》。 第三節　康熙帝與《數理精蘊》 康熙帝（1654—1722）是一位很有作為的君主。他對於科學技術也較關心，不僅熱心學習新的科技知識，而且親自參加科學研究和實驗，這在封建帝王中可說是絕無僅有的。1712年他命梅瑴成等編撰《律歷淵源》100卷，於1723年編成印行。其中數學部分為《數理精蘊》共53卷，包括上編「立綱明體」5卷，下編「分條致用」40卷，數學用表4種8卷，這是一部當時中國傳統數學和引進的西方數學知識的百科全書，基本上反映了當時國內的數學水平。特別是由於這部書是以康熙帝名義主持編撰和出版的，所以流傳很廣，影響也較大，在相當長一段時間內是學習和研究數學必須參考的重要著作。《數理精蘊》是在梅文鼎數學著作、白晉和張誠等進講的講稿等基礎上編成的，比較全面地敘述了算術、幾何、代數、三角等學科的成就。其中較新的內容有對數表的造表方法。關於對數和對數表，《歷學會通》已有所介紹，但沒有造表方法。《數理精蘊》下編卷三十八「對數比例」闡述的造表法是首先確定lg1=0，lg10=1，lg100=2..然後提出六種方法來計算1～10之間和10～100之間各數的對數。《數理精蘊》中另一項新內容是利用未知數列方程和解方程的方法，當時稱為「借根方比例」。例如，一九根一六二○，方立-=一根=一二，用現代數學式表示，即：x3-9x=1620，x=12。其中應用了加號「+」，減號「-」和等號「=」，這是中國傳統數學所沒有的。這種方法雖來自西方代數學，但實際上與宋元時的「天元術」很相似，而表示方法有所不同。《數理精蘊》還最早介紹了素數概念，稱之為「數根」，並給出了1～100000的素因數分解表及十萬以內的素數表，此外還有1～100000的十位對數表，間隔為10〃的七位三角函數表等。 第四節　中國傳統數學的整理研究和《疇人傳》 從康熙帝晚年開始，特別是雍正年間，清政府的內外政策發生了很大的變化。在此後大約一百餘年裡，對外實行閉關鎖國，對內屢興文字獄，加強思想控制，乾隆年間又開設四庫全書館，編輯《四庫全書》。在這種形勢下，引進西方科學技術的工作基本上停止了，不少人開始致力於對中國古籍的輯佚、考證、校勘和註疏，以及對傳統文化的研究，形成了以整理古典文獻為主要目標的乾嘉學派。我國的數學研究工作也同樣轉入了整理古算書和對於已有的中西數學進行深入研究的階段。 在這一時期，經過戴震、阮元等著名學者的努力，我國早已失傳的許多數學著作，如算經十書，宋元數學家秦九韶、楊輝、朱世傑、李冶的主要著作，都陸續通過由《永樂大典》輯錄、據私人藏書家所藏珍本抄錄等各種途徑被發掘出來，整理出版，其中朱世傑《算學啟蒙》的刊刻底本還出自朝鮮刻本。這些古典數學專著重新出現後，立即引起不少數學家的重視，並紛紛為之注釋校勘和進行深入研究，作出了相當突出的成績。其中李潢（？—1811）《九章算術細草圖說》、《海島算經細草圖說》、《輯古算經考注》、《四元玉鑒細草》和《〈數書九章〉大衍求一術考注》，羅士琳《四元玉鑒細草》等，都有不少獨到的見解。張敦仁《求一算術》、駱騰鳳《藝游錄》、時曰醇《求一術指》、黃宗憲《求一術通解》等，對於大衍求一術（一次同餘組）和百雞問題（不定方程）重新進行了研究和闡發，澄清了古算中陳述不清的一些問題，特別是黃宗憲還改進了古代的一些算法。乾隆嘉慶時期著名學者焦循（1763—1820）著《加減乘除釋》，使用甲、乙、丙、丁等文字代表不同的具體數字，分析《九章算術》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《緝古算經》中各種算法的規律，提出了一些有關加減乘除的基本運算律，如加法交換律和結合律，乘法交換律、結合律及分配律，整指數的二項式定理等，向著理論算術的發展邁出了重要的一步。乾隆嘉慶時代的學者通過整理和研究古代算書的辛勤勞動，使瀕於湮沒無聞的數學典籍重放光芒，為後世研究古代數學發展史和了解祖國古代數學的輝煌成就，保存了極為寶貴的文獻，這是乾嘉學派的重大功績。但可惜的是，由於社會條件和指導思想的不同，中國乾嘉時期整理和研究古典文獻的熱潮，並沒有像歐洲文藝復興時期那樣對包括數學在內的科學發展起到應有的推動作用。 這一時期還有一部重要作品，就是阮元主編，李銳和周治平協助編撰的《疇人傳》46卷（1799年）。在封建史家編撰的正史中，極少為科學家或技術專家專門立傳。《疇人傳》則完全是數學家和天文學家的傳記，著重表彰他們卓越的科學成就，這在中國歷史上是一件創舉。全書收集歷代數學家和天文學家二百四十三人，而把西方人士三十七人作為附錄，記載了他們的生平事跡和科學成就。在有些人的傳記之後，還有簡短的評論。《疇人傳》對於研究中國古代數學和天文學是很有參考價值的資料，其中對一些數學家和天文學家的評價也相當精闢。但書中也有不少內容反映了阮元的封建保守的陳腐觀點。《疇人傳》編成之後，又有一些人繼續這項工作。羅士琳撰《疇人傳續編》6卷（1840年），論述當時學者的生平和成就，內容比較翔實。華世芳撰《近代疇人著述記》（1884年），所記很簡略。諸可寶撰《疇人傳三編》7卷（1886年），所收史料和當時社會上的評價也比較可靠。黃鐘駿撰《疇人傳四編》11卷和附卷1卷（1898年），雖然所收人數較多，但很多人並非是數學家或天文學家，有些著作也早已失傳，內容無從查考，因此《四編》的質量遠不如前幾編。 第五節　方程論 對方程論中高次方程實根個數判定問題的研究，是乾隆嘉慶時期中國數學家的重要成果之一。宋元時代數學家賈憲、秦九韶等，創造和發展了「增乘開方法」，解決了高次方程正實根的求解問題，但是對於該方程是否還有其他的根，方程根與係數之間的關係，則沒有進行過探討。清代數學家李銳、汪萊、焦循經常通信或在一起討論數學和天文學問題，當時被譽為「談天三友」。汪萊（1768—1813），字孝嬰，號衡齋，安徽歙縣人，著作有《衡齋遺書》9卷和《衡齋算學》7冊。首先提出一個方程可能存在不只一個正根，並通過與李銳的討論，提出一套「審有無」（即判別方程是否存在正根）的方法。他的結論包括：對於二次方程x2-px+q=0，當≤時，方程有正根；＞時，無正根。對於三次方程q(p2)q(p2)x-px+q223=0qp2p，當≤·時，方程有正根，否則無正根。這兩個結果與現在33判定二次方程與三次方程存在正實根的判別式p2-4q≥0與4p3-27q≥0是一致的。汪萊研究了xn-pxm+q=0類型的高次方程有無正實根的判定方法，上述兩種判別式是這種判定方法的特例①。李銳（1769—1817），字尚之，號四香，江蘇元和（今蘇州市）人，著作有《李氏算學遺書》等。他在與汪萊討論過程中，進一步發展了汪萊的成果，總結出下列幾條規律：設有方程a0xn+a1xn-1+..+an-1x+an=0，則1.方程係數有一次變號時，此方程有一個正根；2.方程係數有二次變號時，此方程可有兩個正根；3.方程係數有三次變號時，此方程有三個或一個正根；4.方程係數有四次變號時，此方程可有四個或兩個正根。其中2，4這兩種情形，方程可能不存在正根，但在李銳《開方說》中不予討論②。這些結論與現在所謂「笛卡兒符號法則」是一致的。此外，李銳還首次提出了方程的重根問題。他還指出：方程「不可開，是為無數。凡無數必兩，無無一數者」①。當時雖然還沒有虛根的概念，但他的這一結論為高次方程可能存在虛根（或複數根）和虛根成對的情況，以及方程根的個數問題等代數學基本問題，提供了進一步研究的廣闊餘地。李銳和汪萊關於高次方程實根個數判定問題的研究成果，雖然在時間上晚於西方，但他們突破了宋元數學的原有範圍，開闢了方程理論研究的新方向，特別是他們在中國數學史上最早開創了帶有純理論性質的研究課題，並獨立取得了一定的成就，這無疑應該給以充分的肯定。 ①汪萊：《衡齋算學》第5冊，第7冊。 ②李銳：《開方說》，見《李氏算學遺書》。 ①李銳·《開方說》，見《李氏算學遺書》。 第六節　初等函數的冪級數展開式 明末《崇禎曆書》中已經介紹了三角函數表的編造方法，即所謂六宗、三要和二簡法。這種造表法利用普通三角函數關係公式推算，相當繁瑣，並且也不能算出任意角的三角函數值。此後陸續有人研究這一問題，但未取得重大突破。清初康熙年間，法國傳教士杜德美（P.Jartoux，1668—1720）曾介紹三個無窮級數公式，當時稱之為「圓徑求周」、「弧背求正弦」和「弧背求正矢」，相當於圓周率π的展開式以及正弦和正矢的冪級數展開式：p=++++ìí.üyt3114313451354722222223.!!!·····.，sin!!!!!xxxxxversxxxx=-+-+=-+-131517121416!357246.，.．梅瑴成將其記載在《梅氏叢書輯要》的附錄《赤水遺珍》中。這些公式提供了計算任意角度三角函數值的簡捷算法，受到當時數學家的歡迎。但由於杜德美沒有給出這三個公式的證明，因而造成了理解上的困難。首先對此進行深入研究的是蒙古族數學家和天文學家明安圖。明安圖，字靜庵，蒙古族正白旗人，生年不詳，約卒於1763年。畢生在欽天監從事天文工作，曾任時憲科五官正，晚年升任欽天監監正。他經過30餘年的不懈努力，把中國古代數學與引進的西方數學結合起來，創造了割圓連比例法和級數回求法，終於圓滿地證明了上述三個公式，並且推導出另外六個公式，其中較重要的有反正弦和反正矢的冪級數展開式：arcsin!!!xxxx=++++113135135732252227···.，()!!arcversxxxxx221214126!1238!2222232224=++++ìí.üyt···.．明安圖的數學專著是《割圓密率捷法》4卷。這部書在他生前未能完成，後由其學生和兒子續成出版（1774年）。此外，他還曾參加編著《曆象考成》、《曆象考成後編》和《儀象考成》等重要天文學著作，並曾兩次親赴新疆地區測繪地圖，在天文學和地圖測繪學等方面作出了傑出的貢獻。 清代關於無窮級數的研究是一個相當活躍的領域。明安圖之後，董祐誠（1791—1823）在《割圓連比例圖解》中又採用不同方法得到了關於弧、弦、矢三者關係的四個公式，簡化了明安圖的結果。項名達（1789—1850）在《象數一原》中，又把這四個公式簡化成兩個公式。項名達還和戴煦（1805—1860）共同發現了指數為有理數的二項式定理。在《外切密率》中，戴煦首先得到了正切、餘切、正割、餘割、反正切、反正割等三角函數和反三角函數的冪級數展開式。李善蘭也進行了這方面的研究，但用的是他所發明的「尖錐術」。徐有壬（1800—1860）的《測圓密率》和《造表簡法》，則對於清代數學家關於三角函數展開式的研究成果，作了較為全面的總結。此外，戴煦的《對數簡法》和李善蘭的《對數探源》，給出了自然對數的冪級數展開式。由此可見，清代數學家已經基本上解決了初等函數的冪級數展開式問題。雖然這些成果在時間上大多晚於西方數學家的同類成果，但這都是中國數學家刻苦鑽研獨立作出的貢獻，並且其中用到的數學方法已經有了微積分思想的萌芽，從而為順利接受解析幾何和微積分學等近代數學知識，實現由傳統數學向近代數學的演變，奠定了重要的思想基礎。 這一時期關於橢圓的研究也有了新進展。項名達的《橢圓求周術》及戴煦為之補作的圖解，提出了正確的橢圓周長公式：paeee=----21121324135246222224222226p()······.，其中為橢圓離心率，，、分別為橢圓長、短半軸，其所用ee=ab2aba222-方法符合橢圓積分法則。並據此推導出圓周率倒數公式：1121121324135246222222222p=----()······.．項、戴的這項工作是中國數學家關於二次曲線研究的最早的重要成果。 第七節　李善蘭的數學工作 李善蘭（1811—1882），字壬叔，號秋紉，浙江海寧人，晚清時期的著名數學家、天文學家、翻譯家和教育家，我國近代科學的先驅者。自幼愛好數學，青少年時代自學和研讀了許多中西數學和天文學典籍。三十歲以後，已有很高的數學造詣，並陸續發表了一些數學和天文學方面的重要研究成果。1852年，李善蘭到上海墨海書館，與英國漢學家、傳教士偉烈亞力（A.Wylie，1815—1887）等人合作，翻譯出版了《幾何原本》後9卷，以及《代數學》、《代微積拾級》、《談天》、《重學》、《植物學》等西方近代科學著作，其中《代微積拾級》是第一部譯成中文的解析幾何和微積分學著作，為近代科學在我國的引進與傳播作出了傑出的貢獻。1860年後，他先後做過江蘇巡撫徐有壬以及曾國藩的幕僚，但主要是從事科學研究工作。1868年開始擔任北京同文館算學總教習，直至1882年辭世。李善蘭的學術專著是《則古昔齋算學》（1867年）13種24卷，包括《方圓闡幽》1卷，《弧矢啟秘》2卷，《對數探源》2卷，《垛積比類》4卷，《四元解》2卷，《麟德術解》3卷，《橢圓正術解》2卷，《橢圓新術》1卷，《橢圓拾遺》3卷，《火器真訣》1卷，《對數尖錐變法釋》1卷，《級數回求》1卷，《天算或問》1卷，其中記載了他在傳統數學領域的主要成就。例如，「尖錐求積術」是李善蘭創造的一種獨特的數學方法。在《方圓闡幽》中，李善蘭首先列出十條預備定理作為推算的基本依據，並且以求圓的面積為例，說明尖錐術的具體應用。這些預備定理的基本思想是：當n≥2時，Xn可以用一個平面圖形的面積或一條線段的長度來表示。如其第八條命題說明，高為底面積為的尖錐體體積等於，這相當於定積分hahahnn+1n+1axdxahnnnoh=++ò11．他利用尖錐術得到了圓面積展開式，三角函數和反三角函數展開式以及自然對數展開式等許多很有意義的結果①。李善蘭在《垛積比類》中，深入和全面地研究了三角垛、乘方垛、三角自乘垛、三角變垛等求和問題，發現了多種類型的代數恆等式，其中尤其著名的是三角自乘垛求和公式：（）（）（），rpppjnpjprnjp+-=+-+==..12212120式中。這一公式現在通稱「李善蘭恆等式」，章用、華()!!()mmm111=-羅庚、圖蘭·帕爾（匈牙利）等現代數學家都對它進行了新的探討。李善蘭對於數論問題也曾作了不少研究。他在《考數根法》中，獨立證明了費馬定理，即如果ap-1能被N整除，且N為素數，那末N-1必能被P整除。但N-1能被P整除，僅是N為素數的必要條件而不是充分條件。他指出了這個定理的逆定理不成立，並給出另外幾個有關素數的判定方法。 ①李善蘭：《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》，均見《則古昔齋算學》。 第八節　其他方面的成就 在中國古代傳統數學中，關於有限項級數的求和問題，是一個相當有成績的領域。如宋元時代的垛積招差術，提出了許多種高階等差級數的求和公式。在清代，又有不少人繼續從事這方面的工作。如康熙時的數學家陳世仁（1676—1722）撰《少廣拾遺》，專門討論垛積術，得到：1+3+5++(2n1)=13n(4n1)1+3+5++(2n1)=n(2n1)22222333322.，.，----等一系列新成果。 中國古代很早就發明了先進的十進位值制記數法。但在長期的歷史發展過程中，也曾涉及到其他的進位制。例如《易經》的六十四卦，體現了二進制的思想，西漢揚雄《太玄經》的八十一首，體現了三進制的思想。明代朱載堉在進行律管長度換算時實際上應用了九進制。清代數學家汪萊所著《叄兩算經》，則是中國數學史上第一次系統探討非十進制算術的論文。文中論述了二至九進制的理論和算法，列出了二至九進制的乘法表，並討論了非十進制除法運算有否整數和有限小數商的情形。這是清代數學中一項值得稱道的成就。 項名達在《開諸乘方捷術》中，創用逐次逼近法開高次方。他與戴煦所得到的四個遞推公式，為高次方程的近似計算問題提供了有效的新方法。他在《象數一原》中提出的待定係數法，也是無窮級數研究中的一種重要方法。在畫法幾何方面，我國古代很早就掌握了用富有立體感的平面圖形來表現空間物體的繪圖技巧。許多建築圖樣、繪畫和雕刻作品運用了正投影、透視、軸測圖等如今屬於畫法幾何的方法。元代天文學家郭守敬《授時曆草》和明代的《營造正式》等都畫出了相當準確的二視圖。清代康熙時的數學家年希堯（？—1739），對於引進的西方透視畫法鑽研了三十餘年，撰寫出我國第一部透視學專著《視學》（1729年），把我國的製圖理論和方法提高到一個新的水平。《視學》所附圖版極其精美，繪製的建築圖樣比例準確，層次分明，立體感強，這在中國傳統科學著作中是很罕見的。《視學》中論述的透視學原理主要有量點法、雙量點法、截距法、仰望透視法、陰影作法等，其中有些內容早於西方畫法幾何的奠基人法國數學家蒙日。