中國通史（第十二卷） · 第五十五章　數學

五四運動之後，中國知識界的愛國熱情十分高漲，「科學」「民主」的思想深入人心。在1919—1949年的三十年間，儘管經歷了十年內戰和抗日戰爭，中國數學仍然獲得了重大的進步。如果說二十年代中國各地紛紛舉辦大學數學系，已能夠培養自己的數學專業的學士，那麼到了三十年代，中國一些大學的數學系已達到培養數學碩士的水平。而在艱難的抗日戰爭時期，西南聯大、浙江大學等地的數學研究水平，已能夠培養數學博士。數學事業主要是智力競賽，較少依賴投資和添加設備。因而，中國數學界通過自身的努力，充分利用有限的資源，努力創造國內外有利數學發展的條件，使中國數學較快地接近世界先進水平。 第一節　二三十年代的中國數學教育 辛亥革命後的1910年代，中小學的數學教育已漸趨成熟。到了二十年代，實行和美國一樣的六、三、三學制。數學教科書除國內名家編寫的以外，多採用美國和英國的教科書，如溫德華（Wentworth）的初等幾何、初等代數，范（Fine）氏大代數，郝奈（HallandKnight）二氏的高中代數等。這一時期中小教育的代表人物有傅種孫（1898—1962），他於1920年在北京高等師範學校畢業，並留校任教，後接任系主任。由於長期在師範學校工作，對初等數學亦有深入研究。他多次主持中學理科教員暑期講習班，對中學數學教育的影響非常深遠。經過中學數學教師的不懈努力，二三十年代中國的中小學數學教學水平已相當高，「與歐美日本並駕齊驅，並不遜色」①。 1920和1930年代，中國各地的大學紛紛成立數學系，並聘請一些留學國外的著名數學家前來主持。姜立夫於1919年到天津南開大學創立數學系。1921年，熊慶來、何魯先後來到南京的東南大學（後為中央大學）興辦數學系。哥倫比亞大學博士曾昭安（1892—1978）到武昌大學（後為武漢大學）任數學系系主任。1926年獲德國哥廷根大學博士的魏嗣鑾（1895—1992）應邀到成都大學（後為四川大學）任教授、數理系主任。陳建功（1893—1971）和蘇步青（1902—）分別於1929年和1931年獲得日本東北大學數學博士學位，並先後來到浙江大學主持數學系。此外，胡明復、胡敦復在上海創辦大同大學數學系。也是哥廷根大學博士的朱公謹（1902—1963）在光華大學任數學教授。馮祖荀一直在著名的北京大學擔任數學系主任，1930年獲哈佛大學數學博士學位的江澤涵（1893—1994）的到來，使北大的數學陣容大為增強。 在三十年代的中國各大學中，數學系的力量以清華大學為最強。1926年，熊慶來、鄭桐蓀創建清華大學數學系，孫光遠（1900—1979）和楊武之（1896—1973）於1928年在芝加哥大學獲博士學位之後，都來清華任教授。此外，年輕的教員有周鴻經（1902—1957）和唐培經（1903—1990）。陳省身（1911—）於1930年從南開大學畢業後，因師從孫光遠來到清華，成為中國第一名數學碩士研究生。華羅庚（1910—1985）自學成材，為清華數學系同仁所賞識，由系主任熊慶來邀請來校任助理員。加上極有才能的許寶騄（1910—1970）和柯召（1910—）成為清華的學生。這一陣容，可稱群星璀璨，在三十年代初，極一時之盛。 抗日戰爭時期，北京大學、清華大學和南開大學在昆明合併成立西南聯合大學，3個數學系也合為1個，由江澤涵、楊武之、姜立夫擔任系的領導工作。當時著名的年輕教授有華羅庚、陳省身、許寶騄等。雖然當時的物質條件相當匱乏，但數學科研和教學水平卻非常之高。他們的科研成績已躋身於國際前列，加上學生學習十分努力，所培養的學生實際上已達博士學位的水平。陳建功、蘇步青在浙江大學（撤退到貴州湄潭），也在數學上培養出高水平的學生。此外，撤退到蘭州的北京師範大學等校組成了西北聯合大學，繼續培養數學教師。何魯領導的重慶大學數學系，魏嗣鑾所在的四川大學數學系，熊慶來為校長的雲南大學，也都在戰爭年代培養了一批數學人才。在中國共產黨領導的解放區，數學教育更注重於在工農群眾中的普及，①魏庚仁：《魏庚仁數學教育文集》，河南教育出版社版，第164頁。 並提倡與生產勞動相結合。在比較正規的中小學裡，基本上仍使用國統區的數學教材。而在農民識字掃盲班、農村冬學班、戰士學習班等的教學中，也多少有數學的內容，包括度量衡換算、買賣記賬、土地丈量等實際數學問題，以滿足革命進程中的實際需要。 1940年夏，中國共產黨中央在延安設立了自然科學院，院長徐特立在法國勤工儉學時學習過西方的自然科學和數學。自然科學院內設有大學本科，分物理、化學、生物3個系。當時的物理系設有微積分、微分方程等數學課程，負責數學課程的是南開大學畢業的孫鴻儒，物理系系主任閻沛霖也教數學，所用課本大都使用英文原版。 第二節　二三十年代的中外數學交流 中國現代數學起步較晚，在二十世紀初能懂得微積分的人仍然屈指可數，與西方的差距在200年以上。因此，派遣中國留學生到國外學習和進修，是發展中國現代數學的必要舉措。經過中國知識界的不斷努力，列強所獲得大筆超額支付的庚子賠款，終於有了部分的退回。這筆中國人自己的錢，能用於培養自己的留學生，對科學發展是很有價值的。自1908年美國部分退回庚子賠款以來，中國已連續派遣三批留學生到美國，並建立清華學校為留學預備學校。清華學校1926年起改為清華大學，清華的數學系因經費充裕，漸漸成為國內數學中心。1924年以後，美國退回全部庚款，建立了中華文化教育基金會，繼續資助留學生到歐美學習。其中包括陳省身到漢堡大學攻讀博士學位和去巴黎訪問，華羅庚到英國劍橋大學進修數論，江澤涵到美國哈佛大學以拓撲學研究獲博士學位。從1930年代起，英國也退回了一些庚款作為中國學生的留學費用。吳大任、許寶騄、柯召、李華宗、林家翹、段學復等，都是用英庚款在英國（或轉至美國）留學並獲博士學位的。樊■則是以法國退回的庚款在巴黎大學攻讀博士學位。通過其他渠道到國外去的數學留學生也有很多。據統計，1949年以前，在國外以數學工作獲博士學位的有85人。這些到國外留學的年輕數學家，日後都成為中國數學的中堅，有一些則在國際數學界享有聲譽。 與此同時，許多外國數學家也陸續來華訪問。最早來中國是曾任法國國務總理的潘勒韋（P.Painleve1863—1933）和他的秘書波萊爾（E.Borel，1871—1956），他們都是國際著名數學家，1920年來中國考察教育時，曾在北京、上海作報告。 1921年，英國著名數學家、哲學家、邏輯學家羅素（B.Rus－sel，1868—1970）來華訪問，他曾作過有關「幾何基礎」的報告，但主要的影響在哲學方面。 進入1930年代，來訪的數學家逐漸增多。先是德國漢堡大學教授布拉希開（W.Blaschke，1885—1962）應北京大學的邀請來華教授微分幾何和積分幾何，對中國幾何發展影響較大，陳省身，吳大任等青年學生也參加聽講。由布拉希開介紹，漢堡大學年輕的斯披涅兒（E.Spernier，1905—1980）教授也來華講授拓撲學和幾何學。1934年4月，曾任美國數學會主席的哈佛大學教授伯克霍夫（G.D.Birkhoff，1884—1944）在清華大學講學。1934年秋，美國哈佛大學數學系主任奧斯古德（W.FOs－good，1864—1943）來北京大學訪問，講解力學，並開設複變函數論、實變函數論等課程。 清華大學也邀請國外數學家來訪。1936年，法國著名數學家阿達瑪（J.Hadamard，1865—1963）到清華大學訪問三個月，他講授的偏微分方程課，在當時的中國還很少有人能開出來。清華25周年校慶時，阿達瑪教授曾作「關於數學任務的幾點感想」的報告。 美國麻省理工學院教授維納（N.Wiener，1894—1964）教授的來訪，是中外科學交流史上重要的一頁。1935到1936年的一年中，維納主要在電機系上課，並和李郁榮博士一起合作研究。同時他每周在數學系講授富里埃級數、富里埃積分、勒貝格積分等課程。在清華期間，維納完成了許多研究課題。作為控制論學科的奠基人，維納寫道：「我的作用主要取決於兩件事：同布希（W.Bush）所擬訂的計算機計劃密切接觸，以及和李郁榮博士在電網絡設計上的合作。這兩件事後來都證明是重要的」①。 ①維納：《控制論》中譯本，科學出版社1962版。 第三節　三十年代前後的中國數學研究成就 經過1920年代的準備，中國現代數學的水平有了很大的提高，一些優秀的年輕數學家開始嶄露頭角。不少人到國外留學或進修，通過自己的艱苦努力，逐漸達到了世界上某些數學學科的研究前沿。一批數學研究成果得到國際數學界的重視。 最先達到國際水平的數學研究成果，應是陳建功在日本發表的論文：《具有絕對收斂富里埃級數的函數類》②。文中證明了，一個函數的富里埃級數是絕對收斂的充分必要條件是它是楊（Young）氏函數。這一結果，恰和當代著名英國數學家哈代（Hardy）和李特伍德（Littlewood）同時得到，因而值得重視。 陳建功，1893年生於浙江紹興。他從1912年起，三次到日本留學，最後於1929年在日本東北帝國大學獲得理學博士學位。他用日文撰寫的著作《三角級數論》，一直是日本的標準著作。1930年回國後，在浙江大學任教授，是我國調和分析、逼近論研究的一位先驅。 蘇步青和陳建功一樣，也在日本東北帝國大學獲博士學位（1931）。當時他已在仿射微分幾何、射影微分幾何上發表了41篇論文。回國後，也在浙江大學數學系任教，並由陳建功推薦擔任數學系主任多年。蘇步青是我國微分幾何研究的奠基人之一，他和陳建功所領導的浙江大學數學系，成為我國南方的數學研究中心。 在1930年前後，中國數學家已有許多創造性的論文在國外發表，其中包括孫光遠的微分幾何研究、楊武之的數論論文、江澤涵在拓撲學方面的工作、熊慶來關於無窮級整函數與半純函數的研究。這些都標誌著中國現代數學研究已開始登上國際舞台。 更年輕的一批數學家，則向國際先進水平邁進。 華羅庚是一位傳奇式的數學家，他生於江蘇金壇縣，15歲就在父親開的雜貨鋪里做夥計，受初中數學老師王唯克的影響，開始自學數學。1930年12月，華羅庚在《科學》雜誌上發表《蘇家駒之代數的五次方程解法不能成立之理由》，引起清華大學數學系諸位教授的注意。系主任熊慶來出面邀請華羅庚來清華任圖書管理員，旁聽系裡的所有數學課。開始時，他在楊武之指導下研究數論中的華林問題，發表了一系列的論文，引起世人注目。1936年，華羅庚到英國劍橋大學進修，掌握了當時最先進的解析數論方法，並以高度的證明技巧解決了一系列的難題。1937年回國之後，在抗日戰爭的艱苦年代裡繼續研究，寫成名著《堆壘素數論》，以後又在代數學、域論、矩陣幾何、多復變量理論等多方位地開拓，成為馳名世界的數學家。 陳省身生於浙江嘉興，長於天津。1926年入南開大學數學系隨姜立夫學習幾何。1930年來到清華，成為孫光遠的碩士研究生，研究微分幾何。1934年去漢堡大學留學，兩年後獲博士學位。然後到巴黎，在大幾何學家嘉當（E.Cartan）處訪問研究，得益極大。此時，他發表的論文已引起美國著名數學家維布侖（Veblen）等的注意。1937年回國後在西南聯大任教授。1943年第二次世界大戰正酣，維布侖主持的美國普林斯頓高等研究所邀請陳省身②陳建功：OntheClassofFunctionswithAbsolutlyConvergentFourierSe-ries.Proc.Imp.Acaol.Tokyo.4（1928）517—520。 赴美研究。在那裡，陳省身完成了高維「高斯—邦內」（Gauss-Bonnet）公式的證明。這一划時代的工作，使他成為大範圍微分幾何的奠基人。1948年後去美國。 許寶騄祖籍浙江杭州，生於北京。1930年入清華大學數學系。1936年留學英國，先後獲哲學博士和科學博士。1940年回國在西南聯大任教授。他以十分精湛的數學方法，證明了數理統計學的一些基本定理，澄清了英國費歇爾（R.Fisher）學派一些模糊不清的論述，被譽為「數理統計學嚴密性的一個典範」。 其他有較大影響的中國數學家還有曾炯之（1898—1940）和周煒良（1911—1995）。 曾炯之是江西新建人，1928年到德國哥廷根大學隨著名女數學家諾特（E.Noether）研究抽象代數，1935年獲漢堡大學博士學位後回國在浙江大學任教。他在函數代數域、可除代數和代數封閉域上有出色工作。1940年病逝於抗戰時的西昌。周煒良則在德國萊比錫大學隨范·德·瓦爾登（vanderWaerden）研究代數幾何學。在這門艱深的學科中，他以周坐標、周形式、周環等諸多工作而聞名於世。1937年回國後曾任教於中央大學、同濟大學等校。1946年後去美國。 在三四十年代有較好工作的數學家還有：李國平（1910—1995），主要工作為亞純函數論研究。李華宗（1910—1949），在微分幾何、李群、群表示、算子理論上都有建樹。柯召在代數數論方面有優異成就。 1941至1946年間，國民黨政府曾頒發六屆國家學術獎勵金，獲一等獎的有：華羅庚（數論）、蘇步青（微分幾何）、陳建功（三角級數）、王福春（三角級數）；二等獎的有：許寶騄（統計）、周鴻經（三角級數）、鍾開萊（機率論）、李華宗（矩陣論）；三等獎的有：王福春（三角級數）、盧慶駿（三角級數）、熊全治（微分幾何）、張素誠（微分幾何）、吳祖基（微分幾何）、蔡金濤（代數）、胡世華（邏輯）。 進入四十年代，一些更年輕的數學家作出新貢獻：分析學方面有程民德（1917—）研究逼近論，代數學方面有段學復（1914—）的李群李代數的研究，王湘浩（1915—1993）的代數數論研究，幾何學方面有嚴志達（1917—）的李群與積分幾何的工作等。有一些中國學者以後到國外發展，取得了優異的成績。其中有林家翹（1916—），1933年入清華大學，後為美國國家科學院院士，在應用數學、流體力學和天體力學上有很高的成就。樊■（1914—），1932年入北京大學，以後留學法國，併到美國任大學教授，在泛函分析、數理經濟學、運籌學等方面有許多創造性的工作。王浩（1921—1993），1939年考入西南聯大數學系，畢業後到哲學系做邏輯方面的研究生，後來到美國，在數理邏輯、人工智慧等方面有傑出貢獻。 中國古代數學史的研究，取得了很大成績。它的奠基人是李儼和錢寶琮，他們用現代數學方法研究祖國傳統數學，在國內外產生了巨大影響。李儼（1892—1963），福建閩侯人。他是一位鐵路工程師，業餘從事中國古代數學史的研究。1915年和1916年先後發表的《中國數學史余錄》和《中國數學史源流考略》是這方面最早的文獻。他收集了非常豐富的古算著作，撰寫的100餘篇論文編為《中算史論叢》共五集。1956年調入中國科學院自然科學史研究所任研究員。錢寶琮（1892—1974）是浙江嘉興人，在英國留學時學習土木建築。1912年回國後在南開大學、中央大學、浙江大學任數學教授。他對中國傳統數學的研究十分全面，治學嚴謹，尤以關於祖沖之的圓周率的工作最為周詳精到，令人折服。 第四節　中國數學會和中研院數學研究所 辛亥革命以後，成立了北京大學和一批地方上的高等師範學校。這些高等學校里先後有一些數學和物理的學會出現，如武昌高等師範學校的數理學會（1914）、北京高等師範學校的數理學會（1916）、北京大學的數理學會、南京高等師範學校的數理化研究會（1919）、清華數學會（1928）等。這些都是各校自己的組織，沒有聯合成整體。1929年，馮祖荀等在北京成立中國數理學會，主要由北京附近各校的一部分數學家組成，每年召開年會，宣讀論文。1932年，中國數理學會委派熊慶來參加在蘇黎世舉行的國際數學家大會，這是中國數學家和國際數學家聯合會的早期接觸。1934年秋，時任交通大學數學教授的顧澄寫信給各地數學家，建議成立全國性的數學團體。1935年，何魯、熊慶來分別從重慶、北京來上海，又到杭州，與胡敦復、顧澄、范會國、陳建功、蘇步青等商討成立中國數學會事宜。1935年7月25至27日，在上海交通大學圖書館舉行中國數學會成立大會，來自各地的代表有33人。大會議決，由胡敦復、顧澄、馮祖荀、周達、秦汾、鄭之蕃（桐蓀）、黃際遇、王仁輔等9人為董事會董事，胡敦復為董事長。另有熊慶來、朱公謹、范會國等11人組成理事會，錢寶琮等21人為評議會評議。中國數學會的會址設在中國科學社明復圖書館美權算學圖書室（今上海陝西南路）①。中國數學會成立大會還議決出版兩種數學雜誌：一為《中國數學會會刊》，專登創造性的數學論文，由蘇步青任總編輯，華羅庚為助理編輯；另一種為《數學雜誌》，為普及性的數學刊物，由顧澄任總編輯。 1936年8月，《中國數學會學報》第一卷在上海出版，1937年2月出版第二卷第一期，1940年出版第二卷第二期。這是我國最早的發表創造性數學論文的雜誌，論文多用外文發表，許多論文有很高的學術水平，至今被人引用。在這兩卷中發表論文的有蘇步青、華羅庚、胡坤升、陳建功、方德植、曾炯之、申又棖、莊圻泰、江澤涵、許寶騄、吳大任、柯召、李華宗、周紹濂、熊全治、陳省身、周鴻經、周煒良以及阿達瑪、維納等。 《數學雜誌》於1936年8月創刊，第一卷共4期，由顧澄主編。第二卷未及出版，抗日戰爭爆發，顧澄倒向汪偽政權，董事會主席胡敦復聯絡部分董事和理事，撤銷了顧澄的總編輯職務。第二卷第一期於1939年出版，以後遂停刊。各期刊物刊載有數理邏輯、數學史、數論、函數論、行列式、排列組合、圓錐曲線等學科中問題的進展介紹和初等證明的文章。 中國數學會於1936年在北平舉行第二次年會，組織論文報告，討論會務。1937年之後，各大學相繼內遷。1940年分別在重慶、昆明、上海等7處舉行第三次年會。由於顧澄倒向汪偽政權，群情激憤，在大後方的會員，遂於1940年第三次年會之際，成立新中國數學會，推舉姜立夫為會長，陳省身為文書，華羅庚為會計。會址在昆明。1942年在貴州湄潭舉行過年會，1944年在昆明舉行數學等八團體聯合年會。 抗日戰爭勝利以後，新中國數學會和原中國數學會留在淪陷區的會員都沒有進行過活動。1948年10月，在南京召開各團體聯合年會，新中國數學會會長姜立夫，原中國數學會董事會會長鬍敦復到會，陳省身請兩位會長討①1928年，周達（美權）將自己收藏的數學書刊546種、2350冊捐贈中國科學社。中國科學社為紀念胡明復於1931年建立明復圖書館，內設美權算學圖書室。 論恢復中國數學會的事，結果是去掉「新」字，仍用中國數學會原名。此時的國民黨統治已風雨飄搖，直到中華人民共和國成立，中國數學會再也沒有舉行過活動。 中央研究院的數學研究所的成立，是1940年代中國數學界的一項要事。 1928年4月，中央研究院成立時，未設數學研究所。1930年代，中國數學研究實力激增，設立數學研究所勢在必行。1941年3月，經中央評議會通過，數學研究所籌備處在昆明成立，姜立夫為籌備處主任。1941—1943年間，研究所聘請6位兼職研究員，即蘇步青、陳建功、陳省身、華羅庚、江澤涵和姜立夫。1944年又曾聘許寶騄、李華宗為兼職研究員。 抗戰勝利之後，中央研究院在上海建立分院，數學研究籌備處設在上海。1946年，姜立夫赴美考察，籌備處主任由陳省身代理。陳省身覺得第一要務是培養新人，遂要求各大學推薦優秀學生來所任助理研究員。吳文俊等十餘人先後到來，陳省身親自給他們上代數拓撲學課程，打算以此為起點，向代數、幾何、分析等現代化研究方向前進。這是一個高瞻遠矚的計劃，對後來中國數學的發展有深遠影響。1948年初，數學研究所正式成立，並由上海遷往南京。數學研究所曾聘請陳建功來所工作一年，另聘蘇步青、華羅庚、樊■、許寶騄、周煒良、段學復等為兼職研究員。遷往南京以後，曾聘李華宗為專任研究員，王憲鍾、胡世楨為專任副研究員。 1948年中央研究院選舉院士，數學方面有姜立夫、陳省身、蘇步青、華羅庚、許寶騄5人當選。 香港開埠100餘年來，數學鮮有發展，香港大學數學系只設一名教授，多由英國人充任。1948年黃用諏（1913—）到校任教，他以英庚款在倫敦大學獲博士學位，是微分幾何學家。 台灣在日據時期，有一所台北帝國大學，以農學為主，僅有一名日本人在教數學。1945年光復時，陳建功、蘇步青等曾去接收，將其改名為台灣大學。不久，陳建功、蘇步青即返回浙江大學。沈璇（1899—1983）、施拱星（1918—）、許振榮（1918—）等留日學者在台灣大學執教數學。 1949年10月1日，中華人民共和國成立，中國歷史翻開了新的一頁，中國的數學發展也進入了新的歷史階段。