中國通史（第七卷） · 第八十八章數學

五代十國時期各地方政權連年征戰，社會動盪不安，但數學教育仍在以不同的形式繼續進行，並有一批數學家和天文學家為數學知識的傳播和數學的發展作出了積極的貢獻。據史籍記載，後唐明宗天成五年（930），宋延美「明算科及第。是年明算五人，而延美為之首」①。這說明當時重視數學教育，而宋延美作為中試的五人之首，顯然有較高的數學水平。又如後梁河東聞喜（今屬山西）人裴迪「明籌算」②，後晉與後漢并州（今山西太原）人聶文進「善書算」③，南漢韶州曲江（今廣東韶關）人薛崇譽「善《孫子》、《五曹算》」④，黃鐘駿《疇人傳》卷4引《南漢書》載晚唐與南漢周杰「尤精歷算」，等等，這些人無疑都是有較高數學造詣的官員。當時一些天文學家如後晉馬重績撰修《調元歷》，後周及宋初王處訥撰修《明玄歷》和《應天曆》，後周王朴撰修《欽天曆》等，也必定掌握較複雜的數學知識。現存敦煌數學文獻中有一部分為五代時的作品，從中可以了解當時民間數學教育的一些內容。 在隋唐五代數學教育不斷推廣和數學知識逐漸積累的雄厚基礎上，兩宋時期的中國數學取得了多項突破性進展，並逐步走上了中國傳統數學發展的頂峰。這一時期出現了賈憲、秦九韶、楊輝等傑出數學家，撰寫了《黃帝九章算法細草》、《數書九章》、《詳解九章算法》、《楊輝算法》等數學名著，取得了諸如賈憲三角、增乘開方法、大衍求一術、垛積術、會圓木、縱橫圖等重要的數學成就，此外，在籌算簡捷算法方面也有許多新成果，為珠算的產生提供了必不可少的算法條件。 在遼、金、西夏等統治地區，數學也有一定程度的進步。如遼金天文學家賈俊、楊級、趙知微和耶律履等曾分別撰修遼《大明曆》、金《大明曆》、《重修大明曆》、《乙未歷》等，都要用到不少數學知識。史籍記載，當時通曉數學的人也為數不少，尤其是在金朝統治的山西、河北地區，中國數學家創造了一種普遍的列方程的方法，即「天元術」，從而為元代在天元術、四元術等方面取得重大成就奠定了基礎。 第一節賈憲三角 賈憲是北宋時期的傑出數學家。關於他的生平，現在僅知，他是當時著名數學家和天文學家楚衍的弟子，曾以寄祿官左班殿直至司天監（後改太史局）任等官職，撰有《黃帝九章算法細草》9卷、《算法古集》2卷，但都已失傳。據有人研究，賈憲《黃帝九章算法細草》約寫於天聖元年（1023）至皇祐二年（1050）之間①。從南宋數學家楊輝《詳解九章算法》所附《九章算法纂類》（1261）記載的該書部分內容可知，其中提出了著名的「開方作法本源」圖以及立成釋鎖開平方法、立成釋鎖開立方法和增乘開方法等。①《冊府元龜》卷869。 ②《舊五代史》卷4。 ③《新五代史》卷30。 ④《宋史》卷481。 ①錢寶琮主編：《中國數學史》，科學出版社1964年版，第145頁。 圖1開方作法本源圖開方作法本源圖（圖1）①，是一個由數字構成的三角形數表，現稱「賈憲三角」，因見於楊輝著作，故亦曾稱「楊輝三角」，實際上即指數為正整數的二項式定理係數表。楊輝曾明確指出：這個圖系「出釋鎖算書，賈憲用此術。」圖下五句說明文字的意思是說圖中各行數字為開方過程中的各項係數以及具體的開方方法。元代數學家朱世傑《四元玉鑒》記載的「古法七乘方圖」（圖2），又在賈憲三角中增添了許多連線，更進一步表示出二項式（x＋a）n展開式各項係數之間的關係。賈憲三角是數學史上的重大發現，它在數學的許多領域都有極其重要的應用。15世紀中亞數學家阿爾·卡西（Al—Kāshī）也曾給出二項式定理係數表，此後，這張圖表又被德國數學家阿皮安努斯（P.Apianus，1527），施蒂費爾（M.Stifel，1544），義大利數學家塔爾塔利亞（N.Tartaglia，1556）和法國數學家帕斯卡（E.Pascal，1654）等圖2古法七乘方圖討論過，並被西方數學家稱為「帕斯卡三角」，但這些數學家都比11世紀的賈憲晚很多年才獲得這一成果。 楊輝《九章算法纂類》還載有賈憲立成釋鎖開平方法和開立方法。「立成」是唐以後天文學家對推算各種數據時所用數表的通稱，「釋鎖」在宋元數學家著作中則指開方和解數字方程。因此，賈憲的立成釋鎖法應是利用一種數表來解決開平方、開立方乃至開高次方問題的方法，而這種數表很可能就是他提出的開方作法本源圖。但據《九章算法纂類》所載，其演算步驟則與《九章算術》少廣章開平方術和開立方術基本相同。 第二節增乘開方法 賈憲的又一重要數學成就是根據開方作法本源圖的構造原理創造了增乘開方法。用這種方法開平方和開立方要比《九章算術》少廣章的方法簡便得多，並且其運算原則可以推廣到求任何高次冪和高次方程正實根的近似值。賈憲用此法解決了求x2＝A，x4＝A等的近似值問題。在宋代有不少數學家對解方程問題進行研究。如據楊輝《田畝比類乘除捷法》所載，劉益在《議古根源》（全書已佚，楊輝書收有其二十多個算題）中提出了「正負開方術」，所論方程係數可正可負，取消了以前對方程係數只允許為正整數的限制，並討論了x2-ax＝A和-x2＋ax＝A（a＞0，A＞0）的數值解法，把方程論（包括增乘開方法）推進了重要的一步。但是總的說來這些工作屬於初創，還不夠完整和系統。 南宋數學家秦九韶創造性地繼承和發展了前人的先進成就，提出了一套完整的正負開方術程序，成功地將增乘開方法運用於求一般高次方程：a0xn＋a1xn-1＋a2xn-2＋.an-1x＋an＝0（an＜O，a0≠0） 的數值解。他在《數書九章》中列舉了二十多個解方程問題，次數最高達十次；除一般方法外，還討論了「投胎」、「換骨」、「玲瓏」、「同體連枝」①見中華書局影印本《永樂大典》卷16344所收楊輝《詳解（九章）算法》。等特殊情形；並將其方法廣泛應用於面積、體積、測量等方面的實際問題，從而在高次方程數值解法問題上，達到了當時世界數學的最高水平。 增乘開方法的特點是在演算過程中自下而上隨乘隨加，求出各項係數，進行方程變換，逐步求出方程正根的各位數字，其演算程序具有很強的機械性，可以毫無困難地轉化為計算機程序。在西方，關於高次方程數值解法的探討，經歷了漫長的歷史過程，直到1804年，義大利數學家魯非尼（P.Ruffini）才創立了一種逐次近似法用以解決數字高次方程解的近似值問題，並為此獲得了義大利科學協會頒發的金質獎章，而在1819年英國數學家霍納（W.G.Horner）才提出與增乘開方法演算步驟基本一致的算法，後被稱為「霍納法」。但是，他們已經比秦九韶晚了五百多年，並且其原始方法也沒有秦九韶法簡捷明確。在現代一些計算數學著作中已將這種高次方程數值解法改稱「秦九韶法」。 第三節大衍求一術 大衍求一術是中國古代數學家用於解決一次同餘組問題的方法。這類問題與曆法中關於「上元積年」的推算有著密切的關係。在中國古代，天文學家們假定遠古時有一年的十一月初一甲子日夜半又恰好是合朔和那一年的冬至，並把這一時刻定為曆法計算的起點，稱為「曆元」。從該年到編歷年所經過的總年數，就叫做「上元積年」。已知編歷年實測冬至時刻和十一月初一合朔時刻推算上元積年，就是求解一次同餘組問題。西漢曆法中已有上元積年的數據，但沒有算法的記載。由於當時問題比較簡單，所以其算法也不會太難。南北朝時期《孫子算經》中的「物不知數問題」（亦稱「孫子問題」），是最早見於中國數學文獻的一次同餘組問題，但其解法很不完備。隨著天文曆法的發展，天文學家對曆元又提出了「日月合璧，五星聯珠」等要求，於是推算上元積年的條件更為複雜，求解有關同餘組也就需要更高的技巧。顯然，從兩漢到宋朝的千餘年中，一定會有很多天文學家和數學家曾研究並很熟悉一次同餘組的解法，但可惜的是在有關文獻中除一些數據外卻沒有更多的記載。南宋數學家秦九韶系統地總結和發展了前人的貢獻，在《數書九章》中創立「大衍求一術」，提出關於一次同餘組問題的相當完整的理論和算法，並且推廣其應用範圍，取得了舉世公認的傑出成就。他所著的《數書九章》，曾稱《數學大略》、《數學九章》，全書18卷，分9類，每類9題共81個應用問題，其內容涉及天文曆法、土地面積、勾股測量、建築工程、田賦戶稅、商業貿易、貨幣金融、軍事活動等豐富內容，是一部可與《九章算術》相媲美的數學名著。 《數書九章》所載大衍求一術的大意是，設要求解一次同餘組：x≡ri（modmi）（其中i＝1，2，3，.，n） 秦九韶把求最小正整數x的問題歸結為求出一組數ki，使之滿足條件：kiMmi≡1（modmi），（i＝1，2，3.，n） 其中M＝m1·m2·.·mn，ki稱為「乘率」。於是，一次同餘組的最小正整數解x=（r1k1Mm1＋r2k2Mm2＋.＋rnknMmn）—pM（p為非負整數） 這就是現在數論中著名的「孫子定理」。秦九韶詳細論述了用輾轉相除推算ki的方法，由於運算的最後一步要出現餘數1，因而稱為「求一術」。他又進一步將其與《易經·繫辭》中的「大衍之數」附會起來，而稱之為「大衍求一術」（現在一般通指一次同餘組解法）。此外，他還分別討論了模數m1、m2、.、mn兩兩互素和不互素的情形，並給出了相應的變換方法。在歐洲，直到18、19世紀，著名數學家歐拉（L.Euler，1743）和高斯（C.F.Gauss，1801）等才對一般同餘組解法進行了深入研究，獲得與秦九韶相同的結果，並且對模數兩兩互素的情形給出了嚴格的證明。這已經是秦九韶以後500年的事情了。在數學史上，上述定理過去稱為「中國剩餘定理」，現多改稱「孫子剩餘定理」或「孫子定理」。 第四節垛積術 在中國古代，對於一般等差數列和等比數列，很早就有了初步的研究成果，如《九章算術》、《張丘建算經》等都提出了一些有關等差級數求公差及求和的公式。北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中又首創「隙積術」，開始研究某種物品（如酒罈、圓球、棋子等）按一定方式堆積起來求其總數問題，即高階等差級數的求和方法。設一個長方台垛的上廣（頂層寬）為a（個物體），長為b，下廣（底層寬）為c，長為d，高共有n層，則沈括的結果相當於得到長方台形垛積物體總數：S＝ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+.+[a+(n-1)][b+(n-1)]＝n6[(2b+d)a+(2d+b)c]+n6(c-a).關於這個結果，沈括僅說：「予思而得之」①，但他沒有詳細說明是用什麼方法求得這一正確的長方台垛公式的。南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，豐富和發展了沈括的成果，提出了諸如Snnnnsnnnnn=++++=++=++++++=++1236121136101216122222LL()(),()()()之類的菓子垛和三角垛求和公式。沈括、楊輝等討論的級數與一般等差級數不同，它們前後兩項之差並不相等，但是逐項差數之差或者高次差相等。對這類高階等差級數的研究，沈括稱為「隙積術」，楊輝之後則一般稱為「垛積術」，後來成為一項重要的研究課題，吸引不少數學家從事這方面的工作。如元代數學家朱世傑就得到了一系列更複雜的高階等差級數求和公式，並把垛積術與招差術（高次內插法）聯繫起來，對後世產生了很大影響。清代數學家顧觀光指出：「堆垛之術詳於楊氏、朱氏二書，而創始之功，斷推沈氏。」①《夢溪筆談》卷18。 第五節會圓術 沈括在數學上的又一重要貢獻是創立「會圓術」③，給出了中國數學史上最早的由弦和矢的長度來求弧長的近似公式。如圖3，設圓的直徑為d，BE弦長為c，DK矢長為v，BDE弧長為s，則沈括的結果相當於得到了公式S≈c＋22vd.這是一個近似公式，但在一定範圍內使用還是比較簡便的。他同時還得出一個由矢長和半徑求弦長的公式。雖然沈括並沒有說明他的證明方法，但這兩個公式很容易從《九章算術》弧田術及勾股定理推導出來。會圓術的重要意義還在於它在中國數學史上最早提出了關於弧、弦、矢之間的關係問題，此後一些數學家繼續對這一新課題進行研究並取得了不少新成果。如元代郭守敬、王恂等人在《授時曆》中反覆應用沈括的會圓術，並根據相似三角形各線段間的比例關係，在推算「赤道積度」（太陽赤經余弧）和「赤道內外度」（太陽赤緯）方面創立了一種新的方法。就數學意義而言，這種新算法相當於球面三角學中求解球面直角三角形的方法。 第六節縱橫圖 縱橫圖，亦稱幻方，是把從1到n2的自然數排列成縱橫各有n個數，並且使同行、同列及同一對角線上n個數的和都相等的一種方陣。縱橫圖是中國古代數學中由來已久的比較特殊的內容之一。《數術記遺》載有「九宮算」，甄鸞注稱：「九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。」這實際上是一個三行縱橫圖，各行、各列及兩條對角線上的數字之和都等於15。「九宮圖」，後世通稱「洛書」，其起源當早於漢代，同時它也是世界上現在已知最早的縱橫圖。南宋楊輝在《續古摘奇算法》中列出了n＝3，4，5，.，10行的各種縱橫圖，如十行縱橫圖稱為「百子圖」等，並對一些縱橫圖的構造方法進行了研究。如洛書數的構造方法是「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出」等。此外，他還記錄了聚五圖、聚六圖、聚八圖、攢九圖、八陣圖、連環圖等圓形或環形的新型數字組合圖，這些都可說是縱橫圖的進一步演變和發展①。丁易東《大衍索隱》也收有與楊輝攢九圖和連環圖相似的圖。明清時期一些數學家如程大位、王文素、方中通、張潮、保其壽等對縱橫圖進行深入研究，取得了更加豐富多彩的結果。過去，②顧觀光：《九數存古》卷5。 ③《夢溪筆談》卷18。 ①參見李儼：《中算家的縱橫圖研究》，見李儼《中算史論叢》第一集，科學出版社1955年版。縱橫圖大多是作為開動腦筋啟發智力的一種數學遊戲，而現在則已成為組合數學的重要內容，在程序設計、圖論、組合分析等方面得到了廣泛的應用。 第七節籌算算法的發展 中國古代數學在籌算的基礎上取得了極其輝煌的成就。但是，作為主要計算工具的算籌，也還存在不少缺點，特別是使用不便，演算速度和效率不可能很高。例如籌算乘除法，要把算籌擺成上中下三層，演算時要不斷拿上拿下，一根根移動，相當麻煩。所以，當時天文學家和數學家乃至財會人員作比較複雜的計算，有時要把算籌擺滿一桌子，即所謂「置籌盈案」。可想而知，用四五寸長，二三分寬的小竹棍擺一個十幾位的數字，所占的地方就已很可觀了。隨著農業、手工業和商業的發展，日益需要進行大量繁雜的計算，並且要求算得快和算得准，因此原有計算方法甚至計算工具都越來越不能適應實際需要，改進算籌和籌算的迫切要求迅速提到日程上來。對籌算方法的研究和改進，首先是從簡化乘除運算開始的。早在8世紀的中唐時期，以《夏侯陽算經》名義流傳至今的《韓延算書》，就記載了把多位數乘除通過身外添減等轉變成乘以或除以單位數的方法。北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中提到了求一、上驅、搭因、重因、增成之類籌算的簡捷算法並且指出：算術「見簡即用，見繁即變，不膠一法」①，概括地說明了當時這樣一種趨勢。南宋數學家楊輝對籌算算法的發展有突出的貢獻。楊輝，字謙光，錢塘（今浙江杭州）人，生平不詳，曾在浙江做過地方官員，撰有《詳解九章算法》附《九章算法纂類》共12卷（1261），《日用算法》2卷（1262），《乘除通變本末》3卷（1274），《田畝比類乘除捷法》2卷（1275），《續古摘奇算法》2卷（1275），後三種一般合稱《楊輝算法》。在楊輝的著作中，系統地敘述了以加代乘和以減代除的各種方法，其中「加法代乘」有五法，「減法代除」有四法，如加一位、加二位、重加、隔位加、連身加、減一位、減二位、重減、隔位減等。他還介紹了唐宋相傳的求一代乘除法並編成易於上口的歌訣。如求一乘法歌訣是「五六七八九，倍之數不走。二三當折半，遇四兩折紐。倍折本從法，實即反其有..」①用這種方法把乘數的首位變成1，然後再用加一位、加二位等方法來計算。對於除法，也有求一歌用來簡化運算。但通過求一除法歌訣以減法代除進行除法運算實際上並不簡捷，所以後來被歸除歌訣所代替。楊輝《乘除通變算寶》中還載有九歸歌訣、化零歌以及除數是兩位數的飛歸歌訣等。如九歸古訣是：「歸數求成十，歸除自上加。半而為五計，定位退無差。」楊輝在這四句古訣的基礎上，又添注了三十二句新口訣，使之更加明確。像楊輝算書里記載的歌訣形式，在13、14世紀宋、元、明三代是很流行的。當時不僅用這種詩歌形式提出問題，而且①《夢溪筆談》卷18。 ①見楊輝《乘除通變本末》中的《乘除通變算寶》。 用來說明算法。這種便於記憶和掌握的形式，後來更加簡明和完善。它反映了籌算算法的發展，也促進了珠算的產生，而它本身也逐漸演變成後人熟知的珠算口訣。 在唐宋時期還有一部《謝察微算經》。《新唐書·藝文志》載《謝察微算經》3卷，《宋史·藝文志》作謝察微《發蒙算經》3卷，對這部算經的年代現在還難以確定。有些學者認為這是五代時的作品，並據此書殘存部分「用字例義」中提到與算盤有關的用語，如中、算盤之「中」、脊、進、退、上、下等，推斷五代時已經有了珠算②。但是，這部分內容是否為《謝察微算經》原有的內容尚有疑義，並且現在還沒有掌握元代之前已有珠算的任何一條可靠記載，所以對這類問題尚有待進一步的考證與研究。 除上述各項數學成就外，在諸如四捨五入法，小數記法，聯立方程組解法，已知三角形三邊求面積的公式，棋局總數計算，運籌思想與實踐等方面，兩宋時期的數學家們也都作出了相當出色的貢獻。 第八節數學教育 兩宋時期官府對數學教育事業曾給予了一定的重視，但幾起幾落，爭議不休。北宋初期算學曾與文、武兩學並列，設有算學博士，但一直未開辦正式的學館。宋神宗元豐七年（1084）詔令通算學者可於吏部就試，合格者授予地位很低的官職，並令秘書省刊刻算經十書，以備學習之用。宋哲宗元祐元年（1086），曾派人選址，準備建造算書館，但是由於找不到合適的教員，並且有人反對說，將來「建學之後，養士設科，徒有煩費，實於國事無補」，於是作罷。直到宋徽宗崇寧三年（1104），國子監始立算學，設博士4人和其他職員8人，計劃招收260名學生。學習教材是《九章》、《周髀》、《海島》、《孫子》、《五曹》、《張丘建》、《夏侯陽》等。考試分上、內、外三舍（三級），上舍合格者可授予通仕郎、登仕郎、將仕郎等初級官階。崇寧五年（1106）初，算學被撤銷，而在同年底卻又得到恢復。大觀三年（1107）還搞了一次封祀歷代數學家和天文學家的禮儀活動，如封張衡為西鄂伯，祖沖之為范陽子，劉徽為淄鄉男等，並打算繪像從祀，但也由於有人反對而未正式進行。大觀四年（1108），又撤銷算學，算學生併入太史局。政和三年（1113）復置算學，仍用算學館舊址，並令地方上仿照執行，其教育制度與元豐、崇寧時相同。宣和二年（1120）再次撤銷了算學館及有關的官職。由上所述可以看出，北宋時算學館的興廢交替比較頻繁，這種情況當然對數學發展是不利的。到了南宋時期，官辦數學教育事業就更趨衰微了。但另一方面，官辦數學教育畢竟培養了一批通曉數學的人才，並對民間數學傳習產生了一定的鼓勵和示範作用，這還是應該肯定的。 在數學教材方面，北宋元豐七年（1084）刻印算書時，唐代十部算經中的《綴術》已經失傳，因而只刻印了九部，並且據考證，其中《夏侯陽算經》並非原著，而是唐代中期的《韓延算術》，這部書由於卷上第一章引用了夏侯陽的一句話而被誤認為《夏侯陽算經》。元豐年間所刻《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、②李迪、馮立升：《〈謝察微算經〉試探》，見李迪主編《數學史研究文集》第三輯，內蒙古大學出版社1992年版。 《張丘建算經》、《五經算術》和《緝古算經》這九部算經是最早的官刻本數學書籍，可惜在清初就已全部亡佚。南宋紹興九年（1139）刻書興學，但未刻印算書。一直到南宋嘉定六年（1213），鮑澣之在福建汀州學校主持翻刻北宋本九部算經時，又補入《數術記遺》1卷。到了清初，南宋所刻算書也僅存《周髀》、《孫子》、《張丘建》、《五曹》、《緝古》、《夏侯陽》和《九章》7種孤本，其中《九章算術》僅存5卷。這些書幸得傳留至今。宋刻本十部算書基本上是以李淳風等注釋本為基礎的，並且其絕大部分內容通過各種途徑流傳下來，為我們保存了寶貴的數學史料，這就是我們現在可以見到的《算經十書》。 從隋唐到宋元，官府興辦的數學教育事業日趨衰落，而民間數學教育卻有所發展。在敦煌千佛洞發現的算書和算表，記載了算籌記數、乘法口訣、四則運算、面積、體積等實用算術方法。這些著作大多是唐末宋初的作品，從中可以反映當時民間數學教育的一些內容，並表明當時所用教材並非都是官府統一刊布的算經。到了宋元時期，民間數學教育更為流行，如李冶曾在河北元氏與獲鹿兩縣交界處的封龍山隱居講學，並進行數學研究。在元代數學家和天文學家郭守敬少年求學時的河北磁縣紫金山，形成了一個以劉秉忠、張守謙、張易等為中心的成就卓著的學派，數學也是這個學派教學與研討的領域之一。元代數學家朱世傑更是「以數學名家週遊湖海二十餘年」，「四方之來學者日眾」。他的《算學啟蒙》是一部很好的數學入門書，其中還包括「天元術」等當時數學的最新成果。特別是南宋之後刻印的數學著作中，出現了歌謠形式的數學問題和算法口訣，更能說明數學的傳授已經走出官學的大門，逐漸深入到了民間。此外，還應提到的是楊輝在《乘除通變本末》中給出了一個「習算綱目」，這是學習一般民用和商用數學的一份切合實際的教學大綱，其中提倡循序漸進與熟讀精思，注重培養和提高計算能力等。這個「習算綱目」是我國數學教育史上的一篇重要文獻。 第八十九章天文學第一節珍貴的天象記錄宋代很重視天象觀測，為了避免天文觀測人員謊報、漏報、錯報天象，同時也為了提高司天監人員的責任心，除司天監外，還在皇宮內再設天文院，也進行天象觀測，並於次日清晨用以核對司天監的報告。於是司天監與天文院兩邊的天文觀測人員都不敢懈怠，故天象記錄多而詳細，有些記錄具有重要的科學價值。 1006年在豺狼座爆發了一顆超新星，據研究，這顆星最亮的時候達到—9.5等，即當時的亮度約相當於滿月亮度的十分之一。這次爆發所留下的遺蹟是一個射電源，仍為現代天文學家所關注。關於這顆超新星的爆發，宋代留下了較詳細的記錄。如《宋史·天文志》載：「景德三年（1006）四月戊寅，周伯星見，出氐南騎官西一度，狀如半月，有芒角，煌煌然可以鑒物，歷庫樓東。八月，隨天輪入濁。十一月復見在氐。自是，常以十一月辰見東方，八月西南入濁。」《宋會要輯稿·瑞異一》載：「（景德三年）五月一日，司天監言：先四月二日夜初更，見大星，色黃，出庫樓東、騎官西，漸漸光明，測在氐三度。」 另一顆超新星更為著名，就是1054年爆發的天關客星。《宋史·天文志》記錄是：「至和元年五月己丑，（客星）出天關東南，可數寸，歲余稍沒。」《宋會要輯稿·瑞異一》記錄是：宋仁宗至和元年（1054）七月二十二日，「守將作監致仕楊惟德言：伏睹客星出見，其星上微有光彩，黃色。」同書記宋仁宗嘉祐元年（1056）三月，「司天監言：客星沒，客去之兆也。初，至和元年（1054）五月晨出東方，守天關。晝見如太白，芒角四出，色赤白，凡見二十三日。」現代天文工作者根據這些歷史記載和當前這顆超新星遺蹟的狀態，確定了這顆超新星的類型。他們從所記載的星的位置，最大亮度，從最亮到看不見所經歷的時間，分析出它的爆發機制和爆發後的演化。現在已知，天關客星的遺蹟是一個美麗的蟹狀星雲，星雲中還有一顆中子星。它是一個強射電源，有強x射線輻射、γ射線輻射和紅外輻射等。這些都引起現代天體物理學家的極大興趣。 沈括有一條天象記載也受到現代科學家的高度評價。《夢溪筆談》所記載的是宋英宗治平元年（1064）的一次隕石降落：「常州日禺時，天有大聲如雷，乃一大星幾如月，見於東南。少時而又震一聲，移著西南。又一震而墜在宜興縣民許氏園中。遠近皆見，火光赫然照天，許氏藩籬皆為所焚。是時火息，視地中只有一竅，如杯大，極深，下視之，星在其中熒熒然，良久漸暗，尚熱不可近。又久之，發其竅，深三尺余，乃得一圓石，猶熱，其大如拳，一頭微銳，色如鐵，重亦如之。」短短不到200字，將隕石降落的整個過程寫了出來，對聲、光、色、溫、地點、過程、形狀、重量、密度和降落時間等作了全面詳細的描述。