益古演段 · 益古演段卷上

元　李冶　撰 第一問 今有方田一段內有圓池水占之外計地一十三畝七分半並不記內圓外方只雲從外田楞至內池楞四邊各二十步問內圓外方各多少 答曰外田方六十步　內池徑二十步 法曰立天元一為內池徑加倍至步得□丨【按太即真數此 即四十步並一池徑】為田方靣【按方靣即每邊】以 自增乗得□□丨【按此即一千六百步八十 池徑一平方並】為方積於頭再立天元 一為內池徑以自之又三因四 而一得【太○】○□【按此即百分平方之七十五上二○存步與池之位】為池積以減頭位得□□□【按此即一千六百步八十池徑二分半平方】為一段虛積寄左然後列直積以畝法【按畝法二百四十步】通之得三千三百步與左相消【按相消者兩邊同減一千六百歩後凡言相消者皆兩邉加減一數也】得□□□【按此即一千七百歩與八十池徑二分半平方等】開平方得二十步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也按今借根方法即立天元一法詳見 御製數理精蘊茲不盡釋 以條段求之真積內減四段至步冪為實四之至步為從二分半常法 義曰真積內減四段至步冪者是減去四隅也以二分半為常法者是於一步之內占卻七分半外有二 分半也 第二問 今有方田一段內有圓池水占之外計地一十三畝七分半並不記徑面只雲從外田南楞通內池北楞四十步問內圓外方各多少 答曰同前 法曰立天元為池徑減倍通步 得□丨【按此即八十步少一圓徑】為田方靣 以自増乗得□□丨【按此即六千四百步 少一百六十徑多一平方】為方田積於頭又 以天元池徑自之三因四而一得【太　○○】□【按此即百分平方之七十五】為池積以減頭位得□□□【按此即六千四百步少一百六十徑多二分半平方】為一段虛積寄左然後列真積三千三百步與左相消得□□□【按此即三千一百步與一百六十徑少二分半平方等】開平方得二十歩即內池徑也倍通步內減池徑為方靣也 依條段求之倍通步自乗於頭位以田積減頭位余為實四之通步為從二分半虛常法 義曰倍通步者是於方靣之外引出一圓也用二分半虛常法者是一個虛方內卻有減余圓池補了七分半外欠二分半故以之為虛隅也 第三問 今有方田一段內有圓池水占之外計地一萬一千三百二十八歩只雲從外田角斜至內池楞各五十二步問靣徑外方各多少 答曰外田方一百二十步　內池徑六十四步 法曰立天元一為內池徑加倍 至步得□丨為方斜以自増乗 得□□丨為方斜冪於頭【其方斜上 本合身外減四今不及減便是寄一步四分為分母也今此方斜冪乃】 【是變斜為方靣以自乘之數又別得是展起之數也】又立天元為池徑自之又三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池積亦須展起故又用一步九分六厘乗之得一步四分七厘亦為一個展起底圓池積也【以一步九分六厘乘之者葢為分母十四以自之得一步九分六厘也】以池積減田積余□□□為一段虛積寄左然後列真積一萬一千三百二十八步亦用分母冪一步九分六厘乗之【或兩度不加四亦同】得二萬二千二百○二步八分八厘與左相消得□□□平方開之得六十四步為內池徑也倍至步加池徑身外除四見方靣也　一法求所展池積以徑自之了更不湏三因四除及以一步九分六厘乗之只於徑冪上以一步四分七厘【按此即三因四除一步九分六厘之數】乗之便為所展之池積也 依條段求之展積內減四段至步冪余為實四之至步為從四分七厘益隅 義曰凡言展積者是於正積上以一步九分六厘乗起之數元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過於每步上得一步九分六厘故今命之為展起之數 也諸變斜為方者皆凖此所展 之池積是於一步圓積上展出 九分六厘若以池徑上取斜為 外圓徑則一步上止生得四分 七厘也故以四分七厘為虛常法又取方冪一步九分六厘四分之三亦得圓積一步四分七厘也按法內皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積分數與宻率不合葢此書専為明理而作宻率數繁礙於講解故用古率以從簡且其法既明即用宻率亦無不可 第四問 今有方田一段內有圓池水占之外計地一萬一千三百二十八步只雲從外田角斜通池徑得一百一十六步問靣徑外方各多少 答曰外田方一百二十步　內池徑六十四步 法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜 以自之得□□丨便為所展方 田積於上再立天元一為池徑 以自之又以一步四分七厘乗 之得【太　○○】□【步】便為所展圓池 積也以池積減上田積余得□□□為一段如積寄左然後列真積如法展之得二萬二千二百○二步八分八厘與左相消得□□□平方開之得六十四步為內池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外除四為方靣也 以條段求之四段通步冪內減展積為實四之通步為從四分七厘常法 義曰四之通步為從其減 積外實欠一個方今即有展 池減時所剰之積補卻一 個虛方外猶剰一個四分 七厘為常法也 第五問 今有方田一段內有圓池水占之外計地一十三畝二分只雲內圓周不及外方周一百六十八步問方圓各多少 答曰外方周二百四十步　內圓周七十二步 法曰立天元一為內圓周加一百六十八步得□丨為外方周以自増乗得□□丨為一十六個方田積又三因之得□□□為四十八段方田積於頭【所以三因 為四十八者就為四十八分母也】再立天元圓 周以自之【元○】丨為十二段圓池 積【圓周冪為九個圓徑冪每三個圓徑冪為四個圓池積今九 個圓徑冪共為十二個圓池積也】又就分四之 得【元○】□為四十八個圓池積以減頭位得□□丨為四十八段如積寄左然後列真積一十三畝二分以畝法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五萬二千○六十四步與寄左相消得□□丨平方開之得七十二步為內圓周也三而一為池徑 依條段求之四十八段田積內減三段不及步冪為實六之不及為從一虛隅 義曰每一個方周方為十六段方田積今三之為四十八段方田積也內除了三個圓周冪外於見積上虛了一個圓周冪也今求圓周故以一步為虛隅法舊術曰以十六乗田積為頭位【以合方周之積】以不及步自乗減頭位餘三之為實六之不及步為從法防常以一步為減從法 第六問 今有方田一段內有圓池水占之外計地二千六百七十三步只雲內圓周與外方靣數等問各多少答曰外方靣內圓周各五十四步 法曰立天元一為方靣【便是圓周】以 自之得元丨便為十二段池積 也再立天元方靣以自之又十 二之得【元○】□為十二段方田積 也二數相減余【元○】□為十二段如積寄左然後列真積就分母十二之得□與左相消得□□平方開之得五十四步為方靣亦為圓周徑也 依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法 義曰一個方田積便是一 個圓周積也一個圓周積 便是十二個圓池積今將 一十二個圓池積減於十 二個方田積通有十一段方田積也 舊術曰以十二乗田如十一而一所得開方除之合前問也 又法立天元一為等數以自之為外田積又就分母九之得【元○】□為九個方田積於頭又立天元等數以自之為十二個圓池積也三之四而一得【元○】□為九個圓池以減頭位得【元○】□為九段如積寄左然後列真積就分九之得二萬四千○五十七步與左相消得□○□平方開得五十四步為等數也 依條段求之九之積為實無從八步二分半為常法義曰每一個方冪為十二個圓池今將見有底九個 圓池去了七分半餘二分半並 實有八個方恰是八個二分半 也 又法立天元一為徑以三之為 外方靣以自之得【元○】□為外方積於上再立天元圓徑以自之三之四而一得【元○】□為圓池積也以此圓積減方積得【元○】□為一段如積寄左然後列真積與左相消得下式□○□平方開得一十八步為圓徑也 以條段求之積為實八步二分半為常法 義曰中間一方除圓池四分之 三外有四分之一即是一步內 得二分半也 舊術曰列積步以八步二分半 為法除之所得再開方見內圓徑 第七問 今有方田一段內有圓池水占之外計地一千三百五十七步只雲外方靣不及內池周一十四步問方圓各多少 答曰方靣四十步　圓周五十四步 法曰立天元一為外方加不及 一十四步得□丨為內周以自 増乗得□□丨為十二個圓池 積於頭再立天元方靣以自之 又十二之為十二個方田積內減頭位得□□□為十二段如積寄左然後列見積一千三百五十七步就分母十二通之得一萬六千二百八十四步與左相消得□□□開平方得四十步為外方靣也依條段求之十二之積內加入不及步冪為實二之不及步為虛從十一步常法 義曰其十二段積內起十二個圓池其十二個圓池補成一個圓周方其圓周多於方靣十四步故 自之為冪加入所 欠之一角又二之 為虛從恰得十一 個方也 第八問 今有方田一段內有圓池水占之外有地一十三畝七分半隻雲內外方圓周共相和得三百步問方圓周各多少 答曰外方周二百四十步　內圓周六十步 法曰立天元一為圓徑以三之 為圓周以減共步得□□為方 周以自増乗得□□□為十六 段方田積於頭再立天元圓徑 以自之又十二之得【太○】○□為十六個圓池積以減頭位得□□□為十六段如積寄左然後列真積一十三畝七分半以畝法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五萬二千八百步與左相消得□□□開平方得二十步為圓池徑又三之為圓周也依條段求之和步冪內減十六之見積為實六之和步為從三步常法 義曰十六個圓池該十二個方內從步合除去九個方外猶剰三個方故以三步為常法也 舊術曰列相和步自乗為頭位又以十六之田積減頭位又六而一為實以相和步為從法廉常置五分 第九問 今有方田一段內有圓池水占之外計地三千一百六十八步只雲內外周與實徑共相得三百三十步問三事各多少 答曰外方周二百四十步　實徑十八步　圓周七十二步 法曰立天元一為池徑以五之 減倍之相和步得□□為九個 方靣以自増乗得□□□為八 十一段方田積於頭位【二之相和步別】 【得是八方面六圓徑二實徑今二實徑與一圓徑就成一方靣共前數計九方靣五圓徑卻更無實徑也】再立天元池徑以自之又以六十步七分半乗之得【元○】□為八十一個圓池【所以用六十步七分半乘之者欲齊其八十一分母也每個圓池七分半以八十一通之得六十步七分半也】以此減頭位余□□□為八十一段如積寄左然後列真積三千一百六十八步以八十一通之得二十五萬六千六百○八與 左相消得下□□□　【步】開平方得二十四步為池徑也五因池徑減倍相和餘九而一得方田靣以池徑減方余折半為實徑 依條段求之倍共步自乗於頭以八十一之田積減頭位余為實二十之共步為從三十五步七分半為常法 義曰八十一個方田內起八 十一個圓池每個圓池七分半 此八十一個計該六十步七分 半其從步內合除去二十五個 外猶剰三十五個七分半故以之為常法也 舊術曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積減頭位余退一位為實倍相和步為從法廉常置三步五分七厘半 第十問 今有方田一段內有圓池水占之外計地三千一百六十八步只雲內外方圓周與斜徑共相和得三百四十二步問三事各多少 答曰外方周二百四十步　內圓周七十二步 斜三十步 法曰立天元一為池徑以二十 五之減於十之相和三千四百 二十步得□□為四十七個外 方靣以自増乗得□□□為二 千二百九段方田積於頭位【十之相和步三千四百二十為方靣四十個內池徑三十個斜至步一十個以一十個斜至步合入五個池徑共得五斜此五斜卻便是七個方靣計總數該四十七個方靣二十五個圓徑外更無斜至步也】再立天元池徑以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得【元○】　□為二千二百○九個圓池積也【所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲齊其二千二百○九分母也每一個圓池積七分半今有二千二百○九個圓池積以七分半乘之該一千六百五十六步七分半也】以此減頭位得□□□為二千二百九段如積數寄左然後列真積三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九萬八千一百一十二步與左相消得□□□開平方得二十四步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步餘四十七而一得為外方靣身加四內減了圓池徑余折半為斜徑也 按法內所用四十七方靣之數亦由立天元一法取出但截去前段恐初學不能無疑茲仍依其法補之 法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為八方靣一斜共數以方五因之得□□為實又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七並之得四十七為法除實得方靣不除便為四十七個方靣也 依條段求之相和步進一位自乗於頭位以二千二百九之真積減頭位余為實五百之和步為益從一千三十一步七分五厘為益隅 義曰減數系是二千二百九段方靣冪內卻漏下二千二百九個圓池此數該一千六百五十六個七分 圓徑冪卻於從步上疊用了六 百二十五個池徑冪外猶剰一 千三十一個七分五厘故以之 為隅法其從法元有五十個圓 徑今命為之五百者縁相和步進一位也 舊術曰列相和步進一位自相乗為頭位以二千二百九之積減頭位余以三之為實又以一千五百之相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開平方見池徑 第十一問 今有圓田一段內有方池水占之外計地二十五畝餘二百四步只雲從外田楞至四邊各三十二步問外圓內方各多少 答曰外圓徑一百步　內方靣三十六步 法曰立天元一為內方靣加倍至步為外田徑以自之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積 於頭再立天元方靣以自之又 就分母四之得【元○】□為四池積 以減頭位得□□丨為四段如 積數寄左然後列真積又就分 四之得二萬四千八百一十六步與左相消得□□丨開平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓徑也 依條段求之四之積步於頭位【作三個外圓徑冪內出了四個方池積也】內減十二之至步冪為實十二之至步為從一虛隅 義曰四個外圓田內減了十二段至步冪復以十二之至步為從又合去四個方池今元積內有三個虛池外猶欠一個虛池故以一步為虛隅常減從以為法 又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步只雲方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問圓徑方靣各若干 答曰徑十歩　靣五步 法曰立天元一為方斜加三步 為圓徑以自之又以一步九分 六厘乗之得□　【步】□□【按此為一平方 九分六厘多十一元七分六厘多十七步六分四厘諸條皆步】 【數在上此條獨步數在下】又三之得□　【步】□□內減四之天元冪得上層□中下云云【按即多三十五元二分八厘多五十二平方九分二厘】寄左然後置五十步兩度加四得□【步】又四之得□【步】與左相消得下層三百三十九步○八厘【按此下當加與一平方八分八厘多三十五元二分八厘等十八字方明】負開平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即方靣也合問 依條段求之四段展起見積內減三段展起至步冪為實六之至步展起為從一步八分八厘為常法也此問若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細分之 義曰三個九分六厘共計二步八分八厘其元初作四段如積時合有四個所展之池今來只見三個故於二步八分八厘內去卻一步有餘只有一步八分八厘為常法也【此法於別紙上抄得故録於此】 第十二問 今有圓田一段內有方池水占之外有地二十五畝零二百四步只雲從外田楞通內方方靣六十八步問各數若干 答曰外圓徑一百步內方靣三十六步 法曰立天元一為內方靣減倍通步得□丨為外圓 徑以自之得□□丨為圓徑冪 以三之得□□□為四段圓田 積於頭再立天元內方靣以自 之又就分母四之得【元○】□為四 段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數寄左然後以四之見積二萬四千八百一十六步與左相消得□□丨平方開之得三十六步為內方靣也減倍通步即圓徑 依條段求之十二段至步冪內減四之見積為實十二之通步為從一常法 義曰所減數內剰 下四個方池疊補 了三個外猶剰一 個故以之為常法 第十三問 今有圓田一段內有方池水占之外計地五千步只雲從外田楞至內池角四邊各一十五步問方圓各多少 答曰外圓徑一百步　內方靣五十步 法曰立天元一為內方靣身外 加四為內方斜又加倍至步得 □□為外圓徑也以自増乗得 □□□為外徑冪以三之得□ □□為四段外圓積於頭再立天元內方靣以自之又四之得【元○】□為四段方池積也以減頭位余□□□為四段如積數寄左然後列四之見積二萬步與左相消得□□□開平方得五十步為池方靣也身外加四又加入倍至步即為外田徑也 依條段求之四之積步內減十二段至步冪為實十二之至步身外加四為從一步八分八厘為常法義曰三個九分六厘計二步八分八厘其四個圓田內有四個方水池除從步合占三個外猶剰一個水 池卻於數內取了一步餘一步八分八厘故以之為常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能見方靣而但得方斜也 舊術曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減頭位余折半為實又倍去角步三因加四為從法廉常置九分四厘 第十四問 今有圓田一段內有方池水占之外計地三百四十七步只雲從田外楞通內池斜三十五步半問外圓內方各多少 答曰外圓徑三十六步　內方靣二十五步 法曰立天元一為內方靣加四得【元□】為方斜以減倍通步得【太□】□為外圓徑以自増乗得□□□為外田 徑冪也以三之得□□□為四 段圓田積於頭再立天元內方 靣以自之又就分四之得【元○】□ 為四段方池以減頭位得□□ □為四段如積寄左然後列四之見積一千三百八十八步與左相消得□□□開平方得二十五步為內方靣也方靣加四減於倍通步得圓徑也 依條段求之十二段通步冪內減四之田積為實十二之通步加四為益從一步八分八厘常法 義曰此式元系虛從今以虛隅命之四段圓田減積時剰下四段方池於從步內用訖三個外猶剰一個卻於二步八分八厘虛數內補了一歩外虛一步八分八厘故以之為法【從負隅正或從正隅負其實皆同故因此廉從以別之】舊術曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位余為實又十二通步加四為從法廉常置一步八分八厘減從開方【新舊廉從不同開時則同故兩存之】 第十五問 今有圓田一段內有方池水占之外計地三十三畝一百七十六步只雲內方周不及外圓周一百五十二步問外圓內方各多少 答曰外圓周三百六十步　內方周二百八步 法曰立天元一為內方靣以四 之為內方周加不及一百五十 二步得□□為外圓周以自増 乗得□□□為十二段圓田積 於頭再立天元內方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積以減頭位余□□□為十二段如積寄左然後列見積八千○九十六步又就分十二之得九萬七千一百五十二步與左相消得□□□平方開得五十二步為內池方靣也以四之為內方周加不及步為圓周也 依條段求之十二段積步內減不及步冪為實八之不及步為從四步為常法也 義曰十二段圓積該九段圓徑 冪九段圓徑冪便是九個圓周 冪也據十二段圓積內元少十 二個方池今於周冪內除折筭 外剰四個池積故以四步為常法也 舊術曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位餘八而一為實以不及步為從法廉常置半步開平方【新舊二術不同者舊術從簡耳算術本貴簡易而猶立新術者縁舊術難畫條段也余仿此】第十六問 今有圓田一段內有方池水占之外計地三千五百六十四步只雲內方周與外圓徑等問等數各若干答曰內方周外圓徑各七十二步 法曰立天元一為等數便以為 方周以自之為十六個方池於 頭【元○】丨再立天元等數便以為 圓徑以自之又十二之得【元○】□ 為十六段圓田積內減頭位余【元○】□為十六段如積寄左然後列真積三千五百六十四步又就分十六之得五萬七千○二十四步與左相消得□○□平方開得七十二步即等數也 按法後落條段一條依前例補之 依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法 義曰十六個圓積 乃十二段圓徑冪 也其十六個圓積 內有十六個方池恰是一個方也此一個方便是等數冪也 舊術曰列田積從十一段平方開之得內方靣四之即等數也乂法以十六乗田積如十一而一所得開方即等數 第十七問 今有圓田一段內有方池水占之外有地一千六百一十一步只雲外圓徑不及內方周四十二步問方圓各若干 答曰外圓徑五十四步　內方周九十六步 法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得 為內方周以自増乗得下式□ □丨為十六段池積於頭再立 天元外圓徑以自之又十二之 得【元○】□為十六段田積也內減 頭位余□□□為十六段如積寄左然後列真積一千六百一十一步就分母十六之得二萬五千七百七十六步與左相消得□□□平方開得五十四步為外圓徑也加不及步為內方周也 依條段求之置十六之積加不及步冪為實倍不及步為虛從一十一步為常 義曰十二個圓徑 冪該十六個圓田 積十六個圓田積 內有十六個方池其十六個方池於實積內侵過所加一角並二段虛從之數也 第十八問 今有圓田一段內有方池水占之外計地三百四十七步只雲外圓周內方周共得二百八步問內外周各多少 答曰外圓周一百八步　內方周一百步 法曰立天元一為內方靣以四 之為內方周減於相和二百八 步得□□為外圓周以自增乗 得□□□為圓周冪便為十二 段圓田積於頭再立天元內方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積也以減頭位余□□□為十二段如積寄左然後列見積三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得□□□開平方得二十五步為內方靣也四之為內方周減於相和步為圓周也 依條段求之以十二之積步減和步冪為實八之和步為虛從四常法 義曰十二段圓田內有十二個 方池於方周冪內補了十二池 外猶欠四個故以四為隅法此 式元系虛從今卻為虛隅命之 故以四為虛常法 舊術曰相和步自乗於頭位以十二之積步減頭位餘八而一為實相和步為從法廉常置半步減從第十九問 今有圓田一段內有方池水占之外計地三十三畝一百七十六步只雲內外周與實徑共相和得六百二步問三事各多少 答曰外圓周三百六十步　內方周二百八步 實徑三十四步 法曰立天元一為內方靣以減一百七十二得□丨為外田徑也【倍雲數得一千二百四步別得是六個圓徑八個方靣兩個實徑今將一個方靣兩個實徑合成一個圓俓並前數而計是七個方靣七個圓徑也今置一千二百四步在地以七約之 得一百七十二步為徑靣共也便是一個方靣一個圓徑更無 實徑也】以自增乘得□□丨為圓 徑冪也以三之得□□□為四 段圓田積於頭再立天元內池 靣以自之又就分四之得【元○】□為四池積以減頭位得□□丨為四段如積寄左然後列見積八千九十六步又就分四之得三萬二千三百八十四步與左相消得□□丨開平方得五十二步為內方靣也以七之方靣減於倍和步余以七而一即圓徑也圓徑內減方靣余者又半之即實徑也 依條段求之徑靣共一百七十二也自之為冪又三之於頭位內減四之見積余為實六之徑靣共步為從一常法 義曰四之真積內有四個方池於從法內疊周了三個外剰一個故以一步為常法 舊術曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六步【按此即四與四十九相乗之數】之田積減頭位余以十四而一為實又六之相和步為從法廉常置三步半開平方見內方靣 第二十問 今有圓田一段內有方池水占之外計地二千四百七十五步只雲內外周與斜徑相和得二百五十九步半問三事各多少 答曰外圓周一百八十步　內方周六十步　斜 十九步半 法曰立天元一為內方靣以三 十三之減於十之雲數二千五 百九十五步得□□為三十五 個圓田徑【十之雲數內有外圓徑三十個內方靣四】 【十個角斜十個今將七個方靣併入十個角斜為五個圓徑也總別得十之雲數是方靣三十三個圓徑三十五個外更無斜徑角也】乃以三十五之圓徑自増乗得下式□□□為一千二百二十五段圓徑冪也以三因之得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓田積於頭再立天元內池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位得□□□為四千九百段如積數寄左然後列真積二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二萬七千五百步與左相消得□□□平方開得一十五步為內方靣方【三十三之方靣以減於十之相和二千五百九十五步餘三十五而一即圓徑以方靣加四減圓徑余半之即斜徑也】 依條段求之十之相和步自之為冪以三之於頭位以四千九百段見積減頭位為實一千九百八十之相和步為從一千六百三十三為常法 義曰減數計三千六百七十五個圓徑冪便是四千九百個圓田積也內漏下四千九百個方池卻於從 內疊用了三千二 百六十七個方池 外猶剰一千六百 三十三個方靣冪故以之為常法也其從法元有一百九十八個方靣合用一百九十八之相和步為從今用一千九百八十個相和步者縁為相和步先進了一位也 第二十一問 今有方田三段共計積四千七百七十步只雲方方相較等三方靣共並得一百八步問三方多少 答曰大方靣五十七步　中方靣三十六步　小 方靣一十五步 法曰立天元一為方差以減中方靣 【置並數三而一即得中方靣】得□丨為小方靣也 以自之得□□丨為小方積於頭再 立天元方差加入中方靣得□丨為 大方靣以自之得□□丨為大方積於次位又列中方靣□自之得下□為中方積於下位三位相併得□○□為一段如積數寄左然後列真積四千七百七十步與左相消得□○□開平方得二十一步即是方差也【置方差數加中方即大方靣減中方即小方靣也】 依條段求之列並數以三約之所得即中方靣也以自之為冪又三之以減積為實無從二步常法義曰積步內減三個中方冪外有兩個方故得二步 常法舊術又折半止得一個 方也 第二十二問 今有方田一段其西北隅被斜水占之外計地一千二百一十二步七分半隻雲從田東南隅至水楞四十五步半問田方靣多少 答曰田方靣三十五步 法曰立天元一為水占斜加入 雲數四十五步半得□【元丨】為田 斜以自増乗得□步□丨為田 斜冪於頭再立天元一水占斜 以自之為水占得小方積就分以一步九分六厘乗 之得【元○】□　【步】為所展得水占積也以減頭位得□□ □【步】為如積一段寄左然後列真積一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘與左相消得□□□開平方得三步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣也 依條段求之展積內減至步冪為實二之至步為從九分六厘虛常法開平方得三步半即水占斜也義曰今將水占斜直命為小方池靣也 舊術曰列田積於頭位又列至步除四則直至步以 自乗減頭位余為實二之直至 為從以九分六厘為廉從開平 方得二步半加直至步三十二 步半得三十五步即田方靣也 此圖即舊術條段也舊術減雲 步為直至步入法而求得二步 半為直至不及方靣步新術展 積入法而求得三步半為水占 斜 益古演段卷上