心理物理學綱要 · 第九章 韋伯定律

我在第七章中描述的以韋伯命名的定律，總體上看可謂是心理測量的基礎之一，接下來我將詳細地——在已有研究結果的基礎之上——討論該定律的宗旨、基礎和局限。 該定律有多種不同的表述方式，但它們的基本內涵是一致的。依照情況的不同，其中總會有一種表述方式可能更具參考價值和實用性。 第一種表述方式是：如果兩個刺激（或是從某一個刺激上增加或減少一定量之後與原刺激相比）的大小比例（或是增加或減少的刺激量相對於原刺激大小的比例）一定，那麼無論這兩個刺激的絕對大小是多大，它們之間的差異會被感受為是相同的，或者是產生了同樣的差異或增量的感受。舉例來說，對一個100單位大小的刺激增加1單位的刺激量，對一個200單位大小的刺激增加2單位的刺激量，對一個300單位大小的刺激增加3單位的刺激量，依此類推，這些情況下造成的差異感受是一樣的。 第二種表述方式和第一種意義相同但更簡練：只要相對刺激差異或相對刺激增量保持不變，那麼其造成的感受差異或增量也相同；如果刺激的比率保持不變，那麼它們引起的感受差異或增量也相同。有人可能會想到，在之前我曾說過，刺激的相對差異或相對增量一定的話，刺激的比率也就自動確定了，反之亦然。根據這點，就可以使用後一種對定律的表述方式來代替前一種。 最後，結合第六章里的差別感受性的抽象定義，我們可以這樣表述韋伯定律：簡單差別感受性與差別成分的大小成反比；相對差別感受性則與差別成分的大小無關。 可以從集中感受和廣延感受兩方面來驗證韋伯定律。關於前者，可以從強度和音高（代表聲音品質中量的方面）的角度來驗證，但不能理所當然地認為在某個特定領域內驗證了定律，就能推廣到另一個領域內。而是必須在每個領域內各自採取特定的研究方法來驗證。 為了確認從廣延感受的角度能夠驗證韋伯定律，首先要根據定律中的公式，將眼可視、手可觸的刺激和刺激差異，替換為感覺大小和差異的程度。如果能夠發現一些現象，例如，兩根線段的長度剛剛能被發現不同，或者更籠統地說感覺上去幾乎一樣長時，如果將它們的長度各增長一倍，那麼根據韋伯定律，差異的感受應當是不變的。 在研究聲音的音高時，振動的頻率代表了刺激的大小。 如果韋伯定律是正確的，那麼其推論也應該是正確的。因此，通過實驗驗證定律的推論，也可視為對定律證明的一部分。我不會抽象地討論這個問題，而是會通過不同領域內的具體案例來進行驗證，並且重點會使用來自視覺感受方面的例子。 我已經提到過，就歷史而言，雖然韋伯並不是將這個定律公式化並驗證的第一人，但他卻無疑是給予了該定律一定的普遍性，確認了該定律，並且證明了該定律值得引起普遍關注的第一人。他的理論基於對重量、長度和音高最小可覺差的實驗研究，可能大家會注意到，這些研究恰恰對應了人類感受的三種主要元素：強度、區間和品質。因為這三者涵蓋了我們所能考慮到的所有方面，所以我們完全有理由使用韋伯之名來命名該定律。雖然對於這一研究只是出於一時的興趣，韋伯本人沒有對該定律進行十分深入的研究，但他的工作毫無疑問給後來的實驗者們指明了攻關的方向。因此在更深入地討論韋伯定律之前，我將逐字引用他的陳述。只有在說明韋伯定律形成了心理測量的基礎後，當前的研究才顯得很有必要。這一基礎必須加強和擴大，使其可以支持更多更複雜的觀察。由於這一定律對於我們目前的相關工作具有重要的基礎性意義，因此我將在我所知的範圍內，儘可能多地陳述與該定律有關的過去和當代、他人或我本人的研究發現，這將關乎該定律的確認和限制問題。 在經過初步的調查之後，我必須承認我們還沒有完全證明韋伯定律，更不用說對它進行徹底的證實。這個領域內大多數的研究工作都是關於集中視覺感受、聲音響度和音高感受、重量感受和視覺距離判斷的。顯然這個定律在任何情況下多多少少都廣泛存在著限制。在溫度感受方面韋伯定律的適用性仍然存在疑問。在廣延觸覺感受範圍內，許多實驗結果並不支持韋伯定律的有效性。而在其他感覺的研究領域內，尚未有相關的實驗報告。 韋伯本人的工作 韋伯在他的一篇關於觸覺和一般敏感性的論文裡，籠統地提到了與韋伯定律相關的事實，具體內容題為《關於我們的觸覺可以分辨出的最小重量差異、視覺可以分辨出的線段的最小長度差異以及耳朵可以分辨出的最小音調差異》。隨後，在介紹了一些特殊的測定過程之後，他繼續寫道： 我已經說過，同樣的結果在重量判斷實驗中也能被複製，無論增加的重量是一盎司還是半盎司，這都並不重要。重要的只是增加的重量與要比較的重量的比例是1/30還是1/50。同樣的情況也出現在兩條線段長度的比較和兩個音調音高的比較中。[1]在比較線段長度時，如果要比較的兩根線段是先後而不是同時呈現，只要在前一種情況下兩條線段的長度差是後一種情況的兩倍，那麼要比較線段的絕對長度是1英寸還是2英寸並不重要。因為實際上如果當兩根線段之間距離很近並且相互平行時，僅僅對照線段的末端，比較某根線段超出另一根的部分，就可以確定兩根線段的長度關係。在這種情況下最重要的因素就是超出部分的絕對長度以及兩根線段之間間隔的距離。在比較音調高低時也是這樣的，因為我們很難分辨在音調系列中最後幾個音的細微差異，所以只要比較的兩個音調不排在最後，那麼音調的絕對高低是高七度還是低七度並不重要。兩個音調之間相差的振動頻率也不重要，只有要比較的音調振動頻率的比值才最重要…… 判斷的關鍵是對總量比率的感知，而不用對小規模的數量進行測量，也無需關於絕對差異的認識，這是一種很有趣的心理現象。在聆聽音樂時，我們知覺的是音調的比率，而不用知道振動的頻率；在欣賞建築時，我們感受的是空間的比例，而不用去測量具體的長度是多少英寸；同樣我們在重量大小的比較過程中，也是這樣來判斷感受性的大小的。 考慮到韋伯是基於經驗得出了他的定律，所以我們只能對各種音調以及線段之間的關係進行大概的描述。但是我們可以從韋伯仔細的觀察中，得知他絕對是一個可靠的實驗者。關於重量的關係，我們可以從韋伯《收集的程序》（pp.81,86 ff.）中了解他的實驗。 韋伯區分出了兩種實驗模式。第一種實驗模式僅僅是將雙手平放在桌面上，然後將一輕一重兩個物體分別置於手中，觀察壓力下觸覺的表現；第二種實驗模式不僅可以憑壓力做判斷，同時也可以用手托起重物，憑藉肌肉覺來感受重量的大小。其中，我們設計了兩種物體重量條件，分別是32盎司以及32打蘭作為較重物體的重量，無論是哪種重量條件，在兩種實驗模式中，最小可覺差與較輕重量的數值關係實際上都是一樣的。在第一種實驗模式下，四名被試對兩種重量條件的平均最小可覺差是10.1（盎司或打蘭），在第二種實驗模式下的平均最小可覺差是3.0（盎司或打蘭）。 更多細節可以參考以下韋伯本人對實驗的描述（Progr.coll.，p.86）： 幾個人將雙手放置在桌面上，之後我各放一張紙在他們的兩隻手上，紙上面各放置2磅重的物體。之後，我在他們不知情的情況下減輕了其中一隻手上的重量，然後交換了雙手上的物體，即將較輕的那個物體從一隻手換到了另一隻手。我會不斷地移除手上的物體並且更換它們的位置，這樣就能使被試無法猜測哪只手上放過更重的物體，而只能通過觸覺來進行判斷。如果在重複測試和頻繁更替物體位置的過程中，被試能夠正確地區別出哪只手上的物體重哪只手上的物體輕，我就會做一次記錄。 之後我在同樣的一批人身上進行了相同的實驗，和上面的實驗不同的是，這次他們可以用手托起物體並感受其重量。之後，我會不斷地從小到大調整兩個物體之間的重量差異，直到被試從猶豫不決兩個物體孰輕孰重到能夠完全進行確定的判斷時，我就做一次記錄，然後計算重量的差異，最後我比較了各次結果的數字。 在介紹完了幾個實驗系列的結果之後，韋伯還提到了定律之外的數據關係，他繼續寫道： 我們不能忽略其他的一些實驗，它們證明了當通過觸覺和肌肉覺來進行判斷時，即使雙手上的物體很輕，計算出的差異比率，也能跟2磅或32盎司的重量分別放置在雙手上時的差異比率一樣。一開始我分別在被試的雙手上分別放置32盎司的物體，後來將物體重量變更為32打蘭（即先前重量的1/8）[2]。雖然我估計被試在前一種情況下的感受性可能是後一種情況的八倍，但是實驗的結果卻證明，32打蘭的情況下準確判斷出輕重時，差異重量相對於原重量的比值，和32盎司的情況下的比值是相同的。 我將列出四項實驗來證明這一點。我先將四人編號，讓他們將手平放在桌上，感受並比較了兩個給定重量物體，其中一個正好是32盎司而另一個比32盎司重，這項練習之後他們雙手上均放置32盎司的物體，我開始一點一點地減少其中一隻手上的重量，直到他們能夠感覺出雙手上重量的不同。當此時的重量差異被記錄之後，我採取同樣的方式再次進行了實驗，不過這次他們可以抬托舉起物體，這樣就能夠同時估計出觸覺和一般肌肉覺的作用。任務完成後，我記錄下他們能夠覺察出差異時的物體重量。 然後我放棄了較重的物體，而採用較輕的32打蘭為標準重量，通過同樣的方式再次進行了上述實驗，不過這次並沒有讓他們進行差異重量感受練習，因為我發現他們很容易察覺出差異，同樣地只要他們一察覺到差異，我就將實驗結果記錄下來。 如果你比較我們在較大和較小重量條件下獲得的結果，你會發現差異重量和原本重量間的關係幾乎是一樣的。 光 我在《薩克森科學學會論文集（數理分冊）》（Abhandlungen der sächs.Gesellschaft der Wissenschaften, math.-phys.Cl., Vol.Ⅳ, pp.457 ff.）中題為《關於一個基本的心理物理學定律，及其與星等估計的關係》的這部分內容中，以及在同年同一個協會出版的《年報》（Berichte, 1859, pp.58 ff.）增刊中，以集中視覺感受為例，完整說明了對韋伯定律的確認過程。我將在這裡概述這些研究的要點，並適當地做一些補充。 在這之前，博格（Bouguer）、阿拉戈（Arago）、馬森（Masson）和斯坦海爾，都曾介紹過採用其他研究方法將這一定律應用於視覺領域進行的研究，後來我和福爾克曼也進行過類似的研究，但並沒有太多人關注過這些內容。 除了斯坦海爾之外，所有對於韋伯定律的驗證都是基於最小可覺差法（依賴平均差誤法的原則），以及間接基於星等估計法。 由於我自己的研究提供了對韋伯定律的最簡單的驗證，即使這個驗證不是最精確的，但這是韋伯定律最早的經驗性認識，所以在此我將首先介紹這些研究，並將它們同定律的一般解釋結合起來。 在一個少雲的日子裡，經常可以在天空中發現這樣的一些相鄰的雲朵，它們之間僅在投影亮度上有一些細微的差別，或者一些剛好能從天空背景下被識別出來的雲朵。注視天空中剛好能觀察出差異的兩片雲朵組合，然後將墨鏡戴在眼前，就像配鏡師為光敏感的人所做的那樣。經過粗略的光學測試，我了解到這些墨鏡鏡片單獨使用時允許通過的光量略大於1/3，而兩片合起來使用時最多能讓1/7的光通過。我們假設在每隻眼前各放置一片這種鏡片能讓每朵雲的亮度減少到1/3，那麼兩朵雲之間的亮度差異也會立即減少到1/3。在這樣的假設前提下，似乎原本剛好能被覺察到的雲朵間的亮度差異現在大量地減少，就會變得不能被察覺，或者假如在使用墨鏡之前兩朵雲之間的差異還很大，遠超最小可覺的界限，那麼在使用墨鏡之後這種差異至少會變得不那麼明顯。然而事實並非如此。原本至少達到最小可覺水平的差異，在加上墨鏡之後仍是同樣的情況，而我請其他人來重複這個實驗，他們也報告了同樣的感受。 我還進行了同樣的實驗，但這次是將兩片鏡片放在同一隻眼前，同時閉上另一隻眼，這樣一來兩片雲之間的亮度差異就會減少到原來的1/7。然而結果仍是一樣，先前剛好能察覺的差異，在加上鏡片之後仍剛好能被察覺。 最後，我偶爾也使用了彩色鏡片來使通過的光量更明顯地減少，但是仍然出現了相同的實驗結果。這也說明雲朵之間或者雲朵與天空背景之間的顏色差異並不影響實驗結果，因為該實驗中的彩色鏡片能夠在不同程度上吸收不同顏色的光。 在上述實驗中，如果我們注意到改變雲朵亮度的絕對差異大小並不改變差異比例，即相對差異不變的前提下，這種剛好能感覺到差異的現象始終存在，我們就不得不承認韋伯定律的正確性。 光度上的差異減少到原來的1/3、1/7甚至更少，但是最小可察覺的程度卻和減少前是一致的，這一實驗結果乍看上去的確非常不可思議而且有悖於常理，因為在日常生活中我們都知道隨著光線減弱直至消失，亮度上的差別也會減弱直至消失。但是我們不能忽略韋伯定律成立的條件，即亮度的差異在減少的時候，兩個被比較部分同樣是按比例地減少，它們之間的比值不能改變。讓我們把符合這種條件的情況稱為第一主情況。但差異減少的方式還可能有另外一種情況，即通過減少較大的部分，或者增加較小的部分，使得兩者之間越來越接近。我們可以把這種情況稱為第二主情況，其中相對於兩個部分而言，它們之間的差異正在一點一點地減少。這種情況與我們的日常經驗相符，當兩者非常相近時，它們之間的差異將非常難以分辨甚至可以說是完全消失，後面的實驗也證明了這一點。 另外我們還可以引用第三主情況作為間接證據，來直接驗證我們在第一主情況時已經發現的定律。在第三主情況下，兩個部分的量並不是按比例改變的，而是同時在兩者中增加或減去相同的量。這樣一來就和第一種情況不同了，即兩個部分之間的絕對差異量沒變，但是相對差異量卻改變了。如果同時增加相同的量，那麼兩個部分之間的相對差異量減少，如果同時減少相同的量，那麼相對差異量增大。 如果相等的可察覺性依賴的是相對差異等價性而非絕對等價性這一原則是正確的，我們就必須預期到，雖然在第三主情況下兩部分的絕對差異量感覺並沒有改變，但對兩部分差異的可察覺性肯定會改變。而且，我們還會預期當兩部分同時增加相同的量時，差別的可察覺性會減小，當同時減少相同的量時，可察覺性會增加。 雖然設計一個專門的實驗來驗證以上假設是很簡單的事情，但的確沒有這個必要，因為結果肯定就是這樣。此外，我們的日常生活經驗就可以作為一項類似的觀察性證據，目前就足以對這些假設進行證明。 我們每個人在晚上都能看到星星，而在完全的日光條件下，即使諸如天狼星或木星之類的亮星，人們也是看不到的。然而，夜晚時星星所在夜空區域與周圍區域亮度的絕對差異，與白晝時相比並沒有改變。只是在白晝時兩者都由於陽光的作用而增加了相同大小的亮度。 有人可能會用同樣的方法，來解釋在第一個實驗中有關雲朵投影細微差異的結果。他們認為人使用墨鏡後應該會感覺到雲朵之間的差異被減弱了，雖然事實上這種減弱的程度並不多，但絕對感覺的減少確實存在。因此這種絕對差異的改變應該被感覺到，而不應該出現相對差異不變導致可察覺性不變的現象。然而大家可能也會注意到，從剛剛描述的體驗中，絕對亮度差異的存在並不能保證其被察覺——的確，就算兩者的絕對差異非常大，但只要它們的相對差異非常小，那麼兩者之間的差異就不會被察覺。在夜晚時分，沒人會否定天狼星或木星與其周圍的夜空亮度間存在著明顯差異，但即使完全集中了注意力，也沒有人能夠在白天發現天狼星或木星。我們保證在白天和夜晚，天狼星和木星與其周圍天空亮度的絕對差異是一樣的，卻因此產生了如此奇怪的現象。這是從物理角度上的分析結果，但是從感受的角度來看，在白天的這種亮度差異是零，甚至可以說比零還要小，必須將其放大到足夠程度才能被我們所覺察。 另外，我們不應認為這種現象僅局限於點光源。後面介紹的關於投影的實驗將提供一個非常便於獲得的事實，即使當絕對差異很大時，在任意亮度的發光體表面也將出現和上面一致的現象。日常生活中的經驗也可以用來說明同樣的問題。 有人或許會注意過，當油畫、銀版照相法[3]相片、塗板、漆面桌等物體的表面上有反光時，這些物體上的圖案就會變得非常難以辨認。如今大家都知道，反光的強度不取決於反光物體表面的顏色或者暗度，而只依賴於表面的光滑程度和光線的入射角度。也就是說，反光為圖案及其背景的明暗部分均增加了同樣亮的光線，並且使圖案與背景之間的差異變得難以辨認。 總之，上述諸多例子應該可以充分地證明韋伯定律。但是這樣一來，我們就可以認為定律是完全正確的嗎？ 我前面有意地提到過，在戴墨鏡觀察和用裸眼觀察時，雲朵間差異均至少是可覺的。有些被我請來重複該實驗的人，甚至發現在使用墨鏡之後可覺察的差異反而多多少少變大了，這種情況我也經常發現，但並不總是出現。於是我們可以確認，兩物體間亮度的絕對差異減小時，只要相對差異的大小沒有改變，那麼兩者間亮度差異帶給人們的感覺並不會減少，這和人們的日常估計大相徑庭。由於韋伯定律表明相同的相對差異會導致相同的可覺性，但那種在使用墨鏡後感覺能力提高的現象，仍是一種有悖於韋伯定律的情況。 雖然光輻射情況的不同，可能會影響實驗結果，還有一種可能是與之前較低水平的印象相比，被試容易在當前情況下，將與先前相同的可覺差異判斷為更大。為了剔除出被試的這種錯誤判斷，我將以下實驗與一般性的研究方法結合了起來。 我戴上墨鏡，在天空中尋找最小的可能差異，我將其判斷為最小可覺水平，找到之後取下墨鏡。如果戴墨鏡時視知覺水平有任何程度的提升，那麼戴著時的最小可覺差必然會在取下眼鏡後變得無法察覺。然而在重複了許多次之後，無論我戴上一副還是多副墨鏡，我都沒能找到如此小的一個差異以至於在摘下墨鏡之後就無法被察覺，就在我剛取下墨鏡，眼睛突然暴露在強光下時，我突然感到一陣短暫性的眩光，但很快這種感覺就消失了。在剛戴上墨鏡時，我會感受到視線由於光線的突然改變而產生短暫性的模糊體驗，但和取下墨鏡時的眩光一樣，這種模糊體驗很快就會消失。 在上面所有引用的實驗中只是使用了非常微小的差異，即所謂的最小可覺差，這是非常關鍵的。 即使韋伯定律就如以下將要提到的，可以適用於更大差異時的情況，但並不容易將它們直接應用於實驗之中。判斷在使用墨鏡前後差異是否一致，這是一件非常不確定的事情，而且結果的變異性很強，它無疑受到周圍環境中各個變量的影響。就算使用的是最小可覺差，在等價性判斷中仍然可能會產生類似前面所提到過的錯覺，只不過與差異很大的情況下絕對感覺中所產生錯覺相比，程度沒有那麼嚴重。使用極微小差異的最大好處在於，可以將這些實驗和它們的逆實驗結合起來，這樣我們就無須判斷差異間是否存在等價性，而只需要判斷是否感受到差異就可以得出結論，以此減少了判斷差異等價性而可能造成的錯誤。不戴墨鏡時可以察覺到的最小可能差異，在戴上厚厚的墨鏡後仍然可以察覺，反之，戴著厚厚的墨鏡能夠察覺的最小可能差異，在取下墨鏡後仍然可以察覺，這種結果可以作為客觀的證據，表明墨鏡對差異感受的增減並沒有影響。 但是不管怎樣，實驗與其逆實驗的結合降低了韋伯定律失效的可能性。定律有效的光線強度範圍，既不是接近完全黑暗也不是非常的明亮，這就限定了韋伯定律的適用範圍，雖然此範圍外的空間並不大。同時，這種描述既不能斷定也不能證明定律的無限有效性。就事實而言，至少是出於實驗的目的，高於或者低於這樣的限制，都必然導致定律的失效。因此，在更進一步討論韋伯定律的有效性之前，有必要檢驗定律的限制，因為只有將定律應用於這些限制範圍並且合理解釋之後，才能得知韋伯定律的有效性。 沒人能夠用裸眼看到太陽黑子，即使它們是無害的（至少只要太陽高掛在天空中），但是只要通過墨鏡，任何人都可以看到它們。然而如果韋伯定律可以適用於最高的亮度條件下，我們就能將黑子同周圍的亮光區域分開，就像戴上墨鏡那麼容易。可能只要是在令人感到眼花繚亂的情況下，即使當光線相比於太陽光弱很多時，觀察得到的結果就會偏離韋伯定律的推論，雖然關於這方面的具體研究仍是空白。 因此，如果雲朵十分明亮的話，那麼戴上墨鏡甚至能有助於使雲朵投影之間差異的程度微微提高。從實驗和逆實驗組合的結果來判斷，這種幫助的效果影響很小，我對中等亮度的雲進行的實驗中都沒能發現這一客觀現象。我必須承認，在以非常耀眼的雲朵為對象進行的實驗中，我遇到了一些問題，並且由於我眼睛出了毛病[4]，我沒能對這一現象進行明確的定義。 我們再來看極暗的情況，如果一個人戴了極多套墨鏡，這種條件下給人的感覺就是一下子什麼都看不見了，因此即使原來能看到的差異確實很大，也會變得無法分辨。根據連續性的原則，當接近極端情況時，清晰度會變差，這已經通過經驗證明。的確，無論原來的差異如何大，總能找到一副足夠暗的墨鏡，能夠使得這種差異看起來比不戴墨鏡時小。通過佩戴中等暗度的墨鏡，太陽黑子相比於不戴墨鏡時要更清晰，但在繼續增加墨鏡鏡片的暗度後，又會重新變得更模糊，最終無法辨識。 我們不能說韋伯定律在任何範圍內均有效，我們只能說在目前實驗證據的基礎上，可以確定，尚未證明在常規的可視亮度範圍內，會出現不符合韋伯定律的情況。 根據在極暗和極亮兩種條件下出現相反趨勢的偏差，可以推論出韋伯定律在介於兩個極端的中間範圍內是有效的。在極亮時，降低亮度可以提高清晰度，同樣地，在極暗時，增加亮度可以提高清晰度。因此只需要根據數學原理本身，就能斷定必然存在一個特定的中間區間，在這個區域中無論增加還是降低亮度，韋伯定律都一樣有效。只是這個區間的範圍不能通過純粹的數學推導來進行預測。 我先介紹上面這些實驗研究，不僅因為在過去我對這方面內容尚一無所知時，這些實驗證據是我最初嘗試對韋伯定律進行證明時使用的，更是因為這些研究很方便，對所有人而言都易於操作，同時也和其他一般性事實一樣，是韋伯定律的良好證據。唯一的不足在於，我們不能控制、統一維持以及改變光線的規格，因此不能隨心所欲地控制三種主情況。因此我們需要增加一些措施來使實驗觀測更為順利。 有許多方法可以處理不同色調，以製造最小可覺色差，因此實驗也可以有許多不同的形式。一種非常簡單的方式就是用墨汁在羊皮紙上繪製出剛好可以察覺的色差。事實上這樣做並不比使用雲朵投影更能保證差異的可測量性，但是這麼做至少可以保證均勻性、變化率的可控性以及操作的方便性。 最近，我使用上述方法重複了那些實驗和逆實驗，得到了與我之前使用雲朵時相同的結果。就算使用組合型墨鏡，經過精確的光度學測量使得只有原先1/100的光線透過，但只要過一會兒，我就能夠辨別出原先使用裸眼時能夠辨別的最小程度的最小可覺差。在實驗中保證充足的陽光是十分重要的。在同等的光亮度條件下，如果我將平時寫作時使用的工作室檯燈用於實驗，那麼投影差異將非常難以識別，但是當我將光線調暗到原來的1/12或更小時，其中的差異就如同沒有變暗時一樣清晰。 還有另一種簡單易行且可以同時測量和變化三種主情況的方法，即使用兩盞燈或兩個光源照射同一個物體，以形成並排的兩個投影。這樣做的話，不僅能夠使兩個投影的光度深淺比例很容易調節，而且能夠通過應用兩個等亮光源以及計算光源與投影之間距離平方倒數的方法，對投影的亮度進行簡單的測定。光源亮度的等價性，很容易通過投影亮度的等價性，以及投影與光源之間距離的等價性來判斷。調節燈或調整光源就可以改變投影的深淺。實際上，使用一個投影及其周圍的表面作為對比的兩個對象來測試定律的有效性，比使用兩個投影更為實用，因為一個投影和它周圍表面的深淺比例更容易斷定。下面詳細講解實驗過程和需要注意的地方。 L和L′是兩個光源，L′照不到的地方即形成的投影是我們希望檢驗的對象。該投影只是受到L的照射，而L與L′共同照射投影四周的表面。然後，逐漸移動L′使其遠離投影所在的表面，而L則保持不動，這樣一來，投影四周的表面受L′的額外照射將會越來越少。最終L′的照射減少到某個點，使得投影最終和四周融為一體，變得無法用肉眼辨識。此時，只要稍微移動一下某個光源或者改變某個光源的朝向，就可以產生最小可覺的投影。 這樣就可以使用墨鏡來開始實驗和逆實驗了。由此，定律以及定律的下限便可以此證實。 我們也可以不使用墨鏡來等比例地減少光量，而是移動兩個光源L與L′，逐漸使它們遠離投影所在的表面，不過兩個光源與對應投影之間的距離仍保持著相同的比例關係。接下來的實驗就使用的是這種方法，並且實驗過程與先前是互逆的。過去我們發現，只要將光照的亮度等比例地減少，那麼相對的可覺差異是保持不變的。然而接下來將要詳細說明的是，使兩個投影之間的差異保持相同的可覺性。這種新的實驗方法不僅是先前實驗系列的重複，而且是對它們的補充和檢驗。 這種實驗需要極為專注的注意以及嚴密的注視，來追蹤這些投影消失以及再次出現的蹤跡，由於我自己的眼睛狀態不好，所以這個實驗是由視力完好的福爾克曼以及其他幾位觀察員協助完成的。下面將說明實驗過程中的一些關鍵點以及結果。 在一面垂直放置的白色面板前，垂直設置有一根杆，有兩個光源L和L′照射這根杆，使其投射兩個陰影到面板上。光源L是硬脂蠟燭，固定在面板前某個距離處。另一支是經過兩種光度測量方法後被確認為具有相同亮度的蠟燭L′，觀察者需要一直注視著它投射到面板上的投影，而另一位助理觀察員移動蠟燭使其遠離面板，直到觀察者不再能辨識其投影為止。對於福爾克曼的眼睛來說，此時蠟燭L′與自己投影之間的距離是L距自己投影的10倍，這就意味著對於他的眼睛來說，投影剛剛變得無法辨識時的光照亮度是絕對光照亮度的1/100。用絕對亮度遠高於或低於上述實驗中亮度標準的光源進行實驗，得到的距離比（即光照亮度的比）是一樣的。我們必須注意到，在上述實驗中，改變光源的強度或者將蠟燭L′靠近或遠離面板，最後起到的效果都是一樣的。在所有的情況下，L′與面板的距離必須是L與面板距離的10倍，才能令L′形成的投影正好無法辨識。我們採取了以下幾種光照等級作為L值分別進行了實驗，分別約為0.36，以及從1、2.25、7.71三種等級變化至38.79的區間（將硬脂蠟燭與白色面板距離3分米時的亮度等級定義為1），所獲得的L′和面板距離與另一支蠟燭和面板距離的比例，均沒有可覺的或者明顯的差異。值得一提的是，只有在最低亮度（0.36）的條件下，這個比值有輕微的下降，即當投影正好消失時，L′與面板的距離相對於L與面板距離的比值，多少均是低於10的（根據表格數據結果從6至9倍不等）。這說明這種光照條件已經低於了韋伯定律適用的範圍下限。 為了敘述上的簡潔，我在上面只描述了L′的投影剛好無法辨識的那個極點。實際上在實驗時，我們還在那一點前後移動L′，以在投影剛好消失和剛好出現的兩個位置之間，儘可能精確地定位其最小可覺的位置。由於助手完全根據觀察者的指示移動光源L′，所以觀察者可以完全將視線和注意力放在對投影的感知上，而對於光源最終位置與面板之間的距離一無所知。因此，這樣可以消除距離認知對於實驗的影響，使實驗結果更可信。 實驗是由克諾伯勞教授（Knoblauch）、哈勒（Halle）大學的海登海因（Heidenhain）和柏林大學的榮格（Jung）協助福爾克曼完成的，部分實驗中我也在場。令人驚訝的是，在測得最小可覺差的過程中，幾乎所有的觀察者的都發現了相同的比值即1/100，每個人的具體數值均在此數值左右輕微變化。 事實上這個實驗不能保證單個實驗結果具有很好的精度，因為我們都僅僅是在一段特定的距離範圍里（對福爾克曼來說這段距離是總距離的1/10）移動L′，卻不能準確地指出一個點，在這個點上投影變得剛好可察覺。因此，一般我們對每一個觀察者的多次實驗結果取平均值，作為最後的結果。然而，每個人的每次實驗結果都是在平均值上下小範圍地波動，而且經計算可獲知最終的不確定性並不顯著。 這個實驗過程中，僅僅通過改變光源的亮度控制投影，對應的是第一主情況；只移動一個光源靠近或遠離面板使得投影變亮或變暗，則對應第二主情況，這也很好理解。為了製造出第三主情況，我們可以使用一個光源來形成兩個投影，或是一個光源照射形成一個投影，再用第三個足夠亮的光源照射這個投影的周圍表面。這樣在某個位置，差異的消失過程將會生動地呈現在觀察者的眼前。 以上就是我的一些實驗，從中我受到了啟發。正如我在一開始所提到的，雖然它們的實質並不新，但由於它們是由我獨立提出的並已通過早期研究進行了改進，因此對它們的討論仍然是有用的。它們對於驗證和解釋韋伯定律是有幫助的。不過，在這裡我還是要按照時間順序，介紹一下我在早期進行的韋伯定律驗證工作中一些關鍵性的收穫。最早進行投影消失實驗研究的是博格［根據他的文章《關於拉卡耶[5]光度分級的光學論文》（Traitéd'optique sur la gradation de la lumiére par Lacaille, 1760, p.51］，他所使用的方法和福爾克曼類似[6]，具體的標題為《對某種光的強度研究，該強度能夠使弱於它的光消失》。 我必須要說明，博格只引用了一個實驗，實驗中只提到了一種光源間距的例子，在這個距離條件下，投影間的差異達到1/64（與福爾克曼的1/100不同）時就不會被人所覺察。他進一步說明，這種感受性的程度也許會根據觀察者的眼睛不同而不同；另外他認為對自己而言，這種感受性與光線的強度無關。 馬森的一篇口頭交流報告中則引用了[7]阿拉戈使用彩色光重複博格實驗的情況。阿拉戈在其著名的天文學論著[8]中，對博格的實驗方法進行了分析後寫道，「無論M和L（博格實驗中的兩個光源）的絕對亮度是多少，實驗結果都是相同的（相同的相對最小可覺差）」，反映了他對韋伯定律的正確性持積極態度。 阿拉戈在《光度的記憶》（Memoires sur la photométrie, p.256）中沒有重新提到這條定律，但他似乎已將其視為理所當然，他引用了證明運動影響差異可見性的實驗，下面將介紹這實驗。 馬森[9]在執行一項電光度學的擴展實驗中，得出了支持韋伯定律的結論。他的實驗過程簡明扼要，並且他的實驗相比於博格或阿拉戈，更能精確、全面地證明韋伯定律。實驗的基本過程如下：在直徑大約為6cm的圓盤上將一塊扇區塗黑，該區域標記為mn，其面積是圓盤總面積的1/60，如圖1所示，然後使圓盤高速旋轉起來。由於視覺後像現象，黑色的區域在白色的圓盤上會延展成為一個圓環或整圓，根據眾所周知的快速運動物體與亮度的關係定律可推斷，這個形成的環比周圍的白色圓盤背景要暗1/60。由此可知，如果眼睛仍可以從圓盤背景中分辨出該環，那麼也就能分辨出差異比率不低於1/60的差異。馬森製作了一系列這樣的圓盤，圓盤上的黑色扇區占圓盤的比例大小分別有1/50、1/60、1/70等等，一直到最小的比例1/120。依靠這些操作，馬森就能夠檢驗出視覺感受性的閾限是多少。接下來將介紹一種也能得出上述結論的方法，同時它相比於上述方法更有趣，因為它顯示了在定律適用範圍中，瞬時光線和穩定光線的效果是一樣的。 圖1　馬森實驗中所使用的圓盤 我們知道，如果在日光或人造光照射下，將一個圓盤表面分為黑白相間的扇區並快速旋轉起來，就會呈現一種均勻的灰色。如果使用瞬時的電子火花代替，那麼能夠看到的是分開的黑白扇區。如果同時使用這兩類光源，那麼最後看到的是均勻的灰色還是分隔的黑白扇區，取決於這兩種光源的強度比例。如果瞬時的電火花亮度很低，那麼將看到均勻的灰色；如果電火花的亮度足夠大，那麼將看到分割的黑白扇區。根據馬森的說明，雖然對於每個人的兩隻眼睛而言，看到灰色時的兩種光源強度的比例是保持相同的，但是對於不同的人來說，這個比例卻是因人而異的。如果與由電火花對白色扇區（因為黑色不能夠明顯地反射光線）進行照射產生的亮度，小於無電火花照射下圓盤呈現出均勻灰色所產生的亮度，那麼這些扇區都將消失，人眼看到的將是均勻的灰色。在日光或人造光的亮度固定的前提下，圓盤上的白色和黑色扇區的寬度之比影響著最終的灰色的深度，這個比值將決定能夠看到分隔的黑白扇區時所需的電火花亮度。如果黑白扇區的寬度相同，若在上一個實驗中有人能夠識別1/100的差異，就需要電火花的亮度達到穩定光源亮度的1/200，才能使該人眼看到黑白分隔的扇區，因為旋轉圓盤使其變為灰色時，亮度也下降為原先的一半。馬森為了區別於我們用以驗證韋伯定律所進行的實驗，他自己設計了一些實驗並進行了大量的改造，但最終我們還是發現這些研究結果與之前的其他研究結果是相一致的。 下面引用的是馬森對自己研究結果的詳細敘述[10]，按順序先是第一種觀察方法，然後是第二種觀察方法： 我測試了不同人的視力後發現，視力較弱的人的視覺感受性範圍為1/50到1/70，視力正常的人的視覺感受性範圍為1/80到1/100，而視力極好的人的視覺感受性範圍為1/100到1/120甚至更小。我在實驗中一共遇到了兩個能夠識別出圓盤上1/120差異的人。 我通過改變光線的強度發現，只要光線足夠使人看清8開本上的字，那麼對於同一個人來說他的視覺感受性就不會改變。因此，正如博格曾經發現的那樣，眼睛的視覺感受性與光線的強度無關。我曾通過多種方法改變圓盤反射光的強度。例如曾將卡索燈[11]擺放在與圓盤相隔的不同距離處，並使用陰雨天氣的陰暗條件，曾經在日落時昏黃的光線下進行實驗，我還曾使用過經定日鏡[12]反射的太陽光線，有時我還使用鏡片製造發散的光線進行實驗。最終都發現只要圓環扇區的內夾角小於某個限度，人眼距圓盤的距離就不會影響感受性。 在我改變了圓盤直徑和圓環寬度的關係之後，這一結果仍然沒有改變。我採用了表面有1/3或1/4部分為黑色的圓盤。我將黑色的部分設置在圓盤的不同位置，包括圓盤邊緣、中心以及中心與邊緣之間的地方。我將若干個黑色塊擺放在圓盤之上，這些黑色部分的面積占圓盤面積的比例各不相同，最終我選擇了圓盤5[13]。在所有的情況下，感受性的閾限都沒有變化。 我使用彩色光線照射活動的圓盤，以檢驗視覺感受性是否會隨著光束特性的不同而改變。除了在下面我將要提到的一些限制之外，我發現感受性的閾限是獨立於色彩的。因此，無論是使用自然光還是彩色光線照射圓盤，我識別灰色圓環的敏感度都是1/100。 我採用使日光或者卡索燈的光線通過彩色鏡片來產生各種顏色的光。後來我還使用了光譜中的顏色以及阿拉戈的測光裝置。 感謝邦滕普斯（M.Bontemps）熱心地提供給我彩色鏡片，我用光譜表測試了這些鏡片。除了紅色鏡片只能允許光譜中極端的紅色光通過之外，其他的鏡片都可以讓不同顏色的光以不同量通過。有一些諸如紅色的鏡片，吸收了太多的光線以至於讓人很難看清圓盤上的圓環。 在前面的實驗中，觀察者注視圓盤的時間是不一樣長的，因而導致我們無法確定，在照明為瞬時的情況下視覺感受性的閾限是否會保持不變。而我通過下面最後一個例子中論述的方法，驗證了我自己視覺感受性的變化的確很小。 我用一台卡索燈照亮了一個光度計[14]中的所有扇區，然後我將電火花裝置移動到儘可能遠的位置，之後調節電火花裝置或卡索燈的距離以使圓盤上的黑白扇區能夠被看清。我使用了不同強度的光。在我的光度學實驗中，通過比較在不同強度光下能夠看清黑白扇區時，照明裝置間所能達到的不同最遠距離，這個距離與固定光源距離的比值，可以將它們作為一個人視覺感受性閾限的指標，在後面我將提到的實驗中，這一結論也同樣成立。 通過在不同被試身上進行這一實驗，我在絕對測光過程中注意到一個具有重要意義的現象，即將穩定光源與圓盤的距離視為一個單元。我發現對於兩個有相同視覺感受性並且都已適應了實驗的人，比較持續光源（標準燈）和瞬時光源（電火花）的距離，在實驗中的上述比值是一個定值。 我也曾使用自然光照射彩色圓盤來代替用彩色光照射白色圓盤的方法，發現對於我而言，在自然光照射彩色圓盤時感受性的閾限一直似乎都更小，但這種情況可能隨著紙張的顏色而變化。但是，我並不認為這是我所確立定律中的例外情況。事實上這可能是由一些因素導致的，例如我們不可能找到顏色完全均一的彩色紙，彩色紙反射的光總是太弱，彩紙背面與圓盤表面黏合得不夠緊，另外彩紙本身也會反射出不同量的白光，這個量的區間非常寬泛，具體數值與具體顏色相關。但即便如此，我還是在紅色和藍色紙張製作的圓盤上得到了與其他實驗非常接近的結論。 我在實驗中還發現，由於對比度強烈的關係，黑色扇區旋轉所形成的圓環邊緣十分明顯，使得圓環的邊緣部分十分容易辨認，會導致被試更容易發現它，所以我將圓盤上黑色扇區的邊緣做了處理，使邊緣模糊化（見原作的圖6和圖7）。 我在該實驗及其他一些實驗中還發現，雖然有一些被試對所有顏色光的感受性閾限都是一樣的，但是他們在盯著被紅光照射的圓盤看時會出現疲勞及不舒服的現象，這種現象表明這些被試內心對這種顏色的厭惡。我想這會是一個很有意思的研究，即研究除了紅光之外其他顏色的光是否也會產生這種影響。 最後，我要介紹一下斯坦海爾的實驗。在他的一篇關於稜鏡測光的論文[15]中，他研究了光線的強度水平是否會影響對光線強度等價性估計的錯誤率。他簡短地引用了一些相關的發現：「結果表明我們可以十分精確地判斷兩個表面的亮度是否相同。不論亮度的高低，此類估計的不確定性不會超過總亮度的1/38。」 這一論斷包含了韋伯定律的思想，因為估計兩種光線強度是否相等時的不確定性大小，可以理解為是取決於最小可覺差大小的。如果在不同的光強度下，大多數實驗中平均誤差的大小比例是相同的，那麼差異的可覺差閾限與不同光強度的比例應該也是相同的。 斯坦海爾自己也寫到了相似的發現：「B部分中將說明……總的光強度除以每次估計的誤差總和，是可以除盡的。對於後面這個例子而言，如果把表面的光線強度調低到再也無法從周圍天空的光線中分辨出來，那麼它的強度就與周圍天空的亮度成比例。」 1/38這個比例和我們之前所獲得的1/64至1/120的結果看上去不一致。我們不能確定這種不一致的原因是被試間還是實驗方法間的差異，但這種不一致並不影響定律的有效性。從這一點而言需要注意的是，斯坦海爾的1/38這個分數指的是不確定性的比率，與先前其他研究者所發現的大小為1/64至1/120的最小可覺差異並不是完全相同的。但是這種說法並不能解釋結果間差異的大小和方向。 斯坦海爾的實驗可以被視作對韋伯定律的驗證，他的實驗只使用了三種強度尺度的光，三者的比例是1.000比1.672比2.887。因此可以說強度的區間並不是很廣。但是這實驗卻是非常重要和有價值的，不僅因為實驗的執行者斯坦海爾在光度學測量應用方面的技藝精湛，更因為這個實驗採用一個不同於其他實驗的原理證明了韋伯定律的有效性，也說明了韋伯定律可以經受各種實驗的檢驗。 事實上，我們很容易忽視一個事實，即斯坦海爾的實驗原理其實類似於平均差誤法，而早期的驗證方法大都是基於最小可覺差法的。 由於在這裡對斯坦海爾的結果和計算進行詳細敘述會很麻煩，我建議讀者可以去查閱他的原文或者我的論文[16]，在我的研究中，我對實驗做了一些改進並且排除了與其餘實驗結果不符合的一個實驗系列，最後得到的結果是1/40而不是1/38。我在下面只列出了實驗結果總和以及簡單平均誤差，該誤差是根據韋伯定律推算出來的，其值與光強度的平方根成比例。 正如第七章顯示的那樣，到目前為止對韋伯定律的驗證中，所關注的都是很小的差異，如果心理測量想要建立在該定律的基礎之上，就必須遵守這種限制。很難直接驗證在差異大於最小可覺差的情況下韋伯定律是否有效，因為在這種情況下，等價性判斷並不確切，另外實驗和逆實驗的結合，也不能幫助我們得出同最小可覺差標準實驗一樣的結論。然而，我在我的文章[17]提到了一種體驗，即無論我們注視的是一道光還是一面牆，閉上一隻眼睛會看到一個微弱的投影進入視野，但我們卻不會覺得視野變亮或者變暗了。可能在某些情況下，這種體驗可以歸為我們定律的範疇，而且可以作為當差異略大於最小可覺水平時定律的有效性證明。關於這種體驗的討論，可以直接在我的論文中看到。 然而，相比於上面說的那種模稜兩可的方法，還有一種方法可以在差異大於最小可覺水平的情況下，更準確地驗證韋伯定律。這個方法同時也是關於韋伯定律的最早的研究方法，更值得一提的是，它也是我最早提到的證明韋伯定律有效性的突出觀察證據之一，那就是星等估計法。不過首先，我們需要假定在進行驗證定理所需的星等估計時，天文學家那訓練有素的眼睛能夠克服人所固有的困難。 眾所周知，估計星等是自古就有（從希帕克斯時期）的工作，它需要人根據自己的眼睛對星亮度的感受進行分類，而不是根據其亮度的光度測量值，這樣天文學家就能根據各顆星外顯的亮度差異，將它們分為一等、二等、三等，等等。因此，如果星等的值越小，表明星可見的亮度越高。根據韋伯定律，只有當相鄰星等光度學上的關係是一定時，人們知覺到相鄰星等的亮度差異才是相同的；因此，以等差數列形式存在的星等系列，必須對應的是以等比形式存在的亮度系列，以採用星的亮度來描述其光度值。 為了確保正確性，我們必須考慮與上述的推論矛盾的說法，例如洪堡（v.Humboldt）在《宇宙》（Kosmos）中提到了赫舍爾（J.Herschel）的觀察，他提出連續的星等對應的實際亮度是一個二次冪函數列而不是等比數列，即 1, 1/4, 1/9, 1/16… 在等比數列中，每一個數都可以立即由前一個數乘以一個常數得到，然後我們會發現，這個數列和上面的數列很像，即 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… 乍一看去這一矛盾非常重要，因為赫舍爾根據自己的測光判斷，傾向於選擇二次冪函數列而不是等比數列，並且對星等進行了仔細的校正以及與實際亮度間的比較，構建了當人們需要在任意確定性程度水平上進行判斷時，所依賴的最廣泛且最重要的基礎。但是我相信在我的論文裡已經很清楚地證明，這種矛盾只是表面的問題，在對定律進行完整的驗證過程中，只要仔細地對這兩個數列進行檢驗，問題本身就會迎刃而解。下面我將陳述其中的要點。 1, 1/4, 1/9, 1/16…和1/2, 1/4, 1/8, 1/16…兩個數列之間的最大差異就在於第一星等亮度中。在第一星等亮度中，最亮星是最暗星亮度的16倍，因此，我們很有可能從其中隨意選擇一顆星的亮度作為整個星等亮度的代表，然後就隨意使用它與其他系列進行對比了。而赫舍爾的確就是做了這麼一種武斷的選擇。我們知道赫舍爾偏好使用的是二次冪函數列，在這個前提下，表示星等的數字以及對應的亮度比率就被確定了，同時這顆星所在位置的相對距離也被確定了。因此，赫舍爾選擇了第一星等中最符合自己假設的星作為第一星等亮度的代表，而這顆星只是第一星等中第三亮的星，它不能代表第一星等的平均亮度水平。這顆星是南門二（半人馬座α星），但赫舍爾自己也曾多次明確提到另一顆星，即參宿四（獵戶座α星）更能代表第一星等的平均亮度——用他的話來說這顆星就是「典型的樣本」，一顆「代表第一星等平均水平」的星。在後續的觀察數據中，赫舍爾的確替換了這顆星，之後他根據自己的光度學測定結果推算了其他14顆星的分數值，並對它們進行了排序，在第一星等中比參宿四亮度高的星有6顆，低的有8顆，因此有6顆星的星等值比參宿四小，而8顆比它大。 那麼很明顯，如果不是隨意選取，而是根據某種先入為主的概念，選取一顆能代表第一星等平均亮度的星，那就應該選擇參宿四而不是南門二。根據赫舍爾自己進行的光度學測定，參宿四和南門二的亮度之比為0.484比1。因此，把二次冪函數列中的1替換為0.484之後，我們可以得到 0.484, 1/4, 1/9, 1/16… 上面的數列中，0.484和0.5或1/2的差距很小，1/9和1/8的差距很小，而根據赫舍爾自己的說法，準確地測定星等及其亮度是很困難的，而且他還提到，從長遠角度來看，二次冪函數列不能很好地擬合觀測獲得的數據，而且由於兩個數列之間的差異很小，足以使我們能夠採用等比數列 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… 替換二次冪函數列而不造成嚴重的後果。雖然二次冪函數列和等比數列在第四項之後的差別會越來越大，但是赫舍爾的光度學測量數據只到第四星等，所以我們無法進一步比較對於後面的數據而言，哪一個數列更加符合。 我的論文中有更周密的計算，進一步表明等比數列不僅符合赫舍爾的觀測數據，而且只要對它們的關係進行合適的判斷並選擇恰當的公比，那麼等比數列相比於二次冪函數列就能更好地代表那些數據。根據赫舍爾的觀察和計算，使用二次冪函數列的誤差平方和為2.719，而使用我們基於等比數列的公式得到的誤差平方和只有2.2291。 赫舍爾的研究在這個領域內雖然非常重要，但它並不是可供我們參考的唯一研究。還有其他一些完整的研究，幫助我們消除了對於這樣一個論斷的懷疑，即呈等差數列排列的星等對應的實際亮度是按等比排列的，這其中包括了諸如斯坦海爾、施坦普費爾（Stampfer）、約翰遜（Johnson）、普森等人的研究，他們的研究均是獨立完成的卻都得到了相同的結果。在一開始提到的主要文獻中能夠看到一部分有關這些研究的總結，還有一部分能夠在《薩克森學會報告》的附錄中找到。 這些研究發現等比數列的公比之間差異不是很大，但由於各研究有的採用遞增數列有的採用遞減數列來對公比進行計算，所以數據變化範圍很大，從2.5到0.4都有。下面是具體測定的數據： *（1）根據斯坦海爾自己的計算，（2）根據與其計算方法略有不同的方法求得，參見Abhandlung, pp.518 ff.。 +（1）由恆星的數值測得，（2）由行星的數值測得。 （1）根據我自己對星等的校正，（2）加上了進一步的星等估計得到的結果。 表中不同公比產生的原因，部分是由於對星等進行估計時的誤差，部分在於進行光度學測量時不同觀測者之間的誤差。從一定程度上而言，如果天空背景的亮度沒有被充分地考慮到，那麼測定所獲得的絕對值也可能受到影響，我在論文裡更詳細地討論過這一問題。但在這裡我就不具體討論了，因為這些研究的結果是否具有總體的一致性，以及星等對應亮度呈等比排列這一結論的有效性，這些問題才是我們所關注的。 在上面的討論之後，我們還另外注意到，我們的韋伯定律與赫舍爾的計算中有一處不一致的地方。即使如我們在上文中提到的，該不一致之處與赫舍爾本人的其他數據產生了衝突，而且即使它並不能否定我們上面得出的結果，但我們不能忽略這種不一致性，因為這個數據是由如此可信的一位觀察者得出的。 赫舍爾在描寫自己的天體測量儀（好望角之旅）時，在一個註解中提到，利用等邊稜鏡的反射性來使欲比較的兩顆星連線與地平線平行，這種手段極為有效。他還寫道：「通過外部反射，這儀器偶爾還能用來以相同比例減弱兩顆幾乎同等亮度星的亮度（通過使兩顆星反射影像的連線直接與所要觀察的星之間的連線平行）。在這種亮度被減弱的狀態下，原本不易察覺的亮度差異變得明顯了。通過（同等地）增加或減少入射角，就能夠增加或減少反射影像亮度減弱的程度。」［在《綱要》（「Outlines,」p.522）中還有一種類似的方法。］ 經過上面一番論述之後可以這麼總結，如果不考慮上述矛盾的情況，我本人仍無法把赫舍爾在特定的觀察條件下發現的分歧視作是一種微不足道的偏差。表面上看來他似乎是「偶爾」才發現這個現象的，沒有針對這個問題做專門的研究。因為赫舍爾平常多次提到，有「無數的原因」能夠「以難以置信的方式影響著我們在實驗中的判斷」，所以與上述的特定實驗結果相比，我們不能認為觀測的隨機性足以解釋這種分歧的原因。從另一個角度看，也許像赫舍爾那樣富有經驗而老練的觀察者最終都能夠獲得某種對細微差異的感受性，並因此能夠幫助他發現細小的且與韋伯定律不一致之處，而對於沒有經過專門訓練的觀察者來說，這種小規模的亮度差異是難以注意到的。另外，很有可能赫舍爾起初已經意識到觀察中的困難，所以壓縮了測定中的難度，特地選擇了比較亮的星作為觀察對象，這些星的亮度接近韋伯定律適用範圍的上限，因此它們之間的差值很容易被注意到。不幸的是，由於赫舍爾並沒有進行明確的敘述，所以我們無法知道具體情況是如何的。不過，這一矛盾的存在有確定的事實基礎，因而需要對韋伯定律的適用範圍進行進一步的研究。 到目前為止，我們討論的主題是尋找在一定的範圍內存在著韋伯定律的相關證據，但是對於準確的範圍值尚未有定論。此類工作還未結束。然而，我們有必要更多地討論這些範圍的條件和性質，以及它們產生的原因。這樣的討論在某種程度上提供了一個機會，來使我們認識這些特定的因素，這些因素能夠影響人對與定律無關的強度差異感覺，因此在以實驗驗證定律的過程中一定要使這些因素保持恆定或者具有可比性。雖然這些因素是第一次被提到，但為了給後面的討論進行參考，我將在這裡介紹有關且充分的細節。 當眼睛感覺到眩光時，定律適用範圍的上限無疑受到眼睛因此被傷害這個事實的影響。通過這種方式，上限值就會非常明顯。如果超過了這個上限，毫無疑問感覺器官會受損，導致感覺所依賴的內部活動不再增加，感覺本身也不會再有可能提升。兩種不同強度的刺激，當它們都達到或者超過這一刺激限度時，只能夠引起相同強度的感覺極限值，因此無法分辨它們之間的差異。無論如何，即使只是接近這一限度，韋伯定律都會發生偏差。 將亮度接近上限值時定律的偏差簡單歸因於眼睛對光線刺激的適應，導致對於光線強度的感受性下降，這樣的解釋似乎是很合理的。當人從白天明亮的室外突然進入一間陰暗的房間時，會立刻分辨不清任何亮度差異，這樣的觀察似乎很能說明問題。而之後人的分辨能力就會逐漸變得越來越好。同樣的現象也可以反過來進行。當人長時間待在暗室後突然走進光亮處，剛一開始也會暫時看不清任何東西。之後只是慢慢地開始能分辨事物。所以，如果眼睛的適應是人在非常強的光線下無法分辨差異的原因，那麼當人在從暗室進入明亮的房間時，一開始對差異的分辨能力應該是最好的，之後就會逐漸變得越來越差。這種雙向的情況，我在前面有關雲朵細微差異的實驗和逆實驗中已經展現過了。 因此有人可能會覺得，由亮房間到暗處時看不清東西是由於強光的後效引發的印象鈍化效果，而對應地，由暗處到亮房間時看不清東西是由於鈍化的印象需要時間來重新恢復。因此，如果眼睛的內在光[18]持續存在，那麼當人從亮處走到暗處時，那些亮度微弱的細節無法對人形成以印象，這個原因就同在白天看不到星星的原理是一樣的。相反地，如果是從暗處走到亮處，那麼強的印象會比弱的印象更遲被感覺到，所以強光之間的差異是否相等在一開始是無法被察覺的。事實上，我曾經在關於「基本的心理物理定律」的論文中嘗試使用這種解釋。但是在後來更仔細地思考之後，這種解釋的兩個方向都似乎站不住腳，因為根據現有的經驗，這種殘留現象消失得太快，而且實現起來存在諸多困難。另外，強的印象比弱的印象更遲被感覺到這一假設，也和斯旺（Swan）[19]的實驗結果相矛盾。 除非我是錯的，否則從一個照明良好的環境進入暗處時，一開始無法看清任何事物這一現象的原因，實質上是由我們將在第十二章里討論到的原則決定的。但是反過來時，這一規則卻無法解釋從暗處到亮處時無法看清這一現象，而且我們可能還需要增加如下的解釋，即在先前研究中，由於強光刺激使我們暫時變得有些感覺遲鈍，從而無法感受到微弱的光線產生的效應，所以這種由強光刺激導致的感覺遲鈍，同樣可能使我們無法感受到微弱光線之間的差異。然而，不論我們是從亮處進入暗處還是暗處進入亮處，兩種情況下的光線差異都很大，雖然兩種光線條件產生的影響有先有後，但同樣都能在條件變化的瞬間，就使我們的感覺暫時變得遲鈍並且無法察覺到差異。不過即便這種解釋，仍然存在極大的不確定性。 儘管如此，根據第十二章中要提到的原則，當眼睛以相同的程度適應明暗兩種光線條件時，最終比較的結果和兩種光線以相同的比例變暗的結果是一樣的，這種情況發生的可能性是非常大的。這些條件下差異的可覺程度仍然相同，因此韋伯定律仍然適用。 至於韋伯定律適用範圍的下限，我們經過嚴密的檢查，意識到也許它並不是一個真實存在的限制。至今為止我們發現定律的偏離情況，嚴格說來都是符合定律的結果。為了證實這一點，我們需要進行一些初步的討論，而這些討論對後面的其他一些內容具有很高的重要性。 在非正常的條件下，無需外部的刺激而只需內在因素（內部的刺激）就能產生各種類型的感覺，這種感覺通常被稱為幻覺，它提供了這種可能性存在的證據。實質上，在特定的環境中，以穩定和普遍的方式出現這種感覺，這並沒有什麼大不了的。例如，在視覺方面，我們必須承認或多或少存在著一般性的幻覺。閉著眼睛或者在黑暗中時，我們看到的黑色就是這種沒有外部刺激而產生的視覺感受。這不同於什麼都沒看到，不是用手指或者後腦勺看，也不同於由於沒有外部聲音刺激而什麼都沒聽到的情況。閉眼時看到的黑色，更像是當我們看著一個表面是黑色的物體時，其反射的光給我們造成的印象，這種印象可以呈現各種層次不同的強度，甚至可以造成最高強度的視覺感受。的確可以說，這種內在的黑色可以出於純粹的內在原因，而偶然地變成亮光或者發生包含著零星亮點的現象。 只要注意的話，我們就可以在閉上眼睛後看到的黑色中發現一種細小的光點，這種現象在不同的人身上，各種狀態且不同視力的眼睛中都能夠發現，並且在某些特殊疾病人群身上這種現象的程度可能被加強。而我的情況是，從我患眼病開始的這段漫長的時間裡，我經常能夠看到持續閃爍且非常明亮的光，這種情況會根據我眼睛產生的刺激而增強，並且存在著很大的波動。另外，這種活躍且主觀的光現象在不同個體身上的形式可能會極為不同。在這裡我將不會引用更多細節，建議讀者參考眼睛疾病方面的書籍及生理學實驗中關於主觀光現象的章節。例如，《魯特的眼科學》（Rüte's Ophthalmol., p.192）。 這種內部視覺上的黑色也能夠在深度上增加或減少。這方面的證據很容易找到。如果堅持專注地在一段時間裡盯著一個黑色紙面上的白色圓盤，之後就會得到一個相對明亮背景上深黑色圓盤的後像，甚至將眼睛閉上並用雙手捂住雙眼（為了防止有光漏進眼皮裡面來），還是能看到這個後像。同時在出現後像的位置，視網膜開始變得對外界的光線不敏感。如果在後像仍然存在時張開眼，盯著一個白色的表面，那麼將會看到白色底面上有一個黑點。當眼睛疲勞時內在光就會變暗，當眼睛得到充分休息後內在光就會變得相對更亮。 無論是部分的還是整體的，是短暫的還是持續的，是僅影響視網膜還是影響視覺系統的中樞部分，感覺麻痹都能夠產生和視疲勞類似的效應。只有視網膜上的部分區域受到影響的情況並不少見。把一個物體放在病人患病區域對應的視野內，讓他看物體上灰色、黑色或彩色的光點，具體看到的顏色將取決於視覺對不同顏色光線感受性的減弱程度。[20]在有些被試身上這種現象是暫時性的。即使是出於內部原因，也都會導致整個視野永久或者暫時性地變暗。魯特[21]「發現一位婦女在持續的光照條件下，眼睛會突然完全被黑暗籠罩。而可視的物體會時不時地突破黑暗，像幽靈一樣出現，之後在她嘗試要注視它們時，物體又會迅速消失」。 如果不僅是視網膜，連視覺的中樞部分都完全受損的話，那麼人視野中的黑色感覺應該不僅僅是變暗，而應該是完全消失（就像是在閉起眼睛時視野邊緣區域的感覺），也就是說這種情況下的眼睛，不會比手指或者是死亡的神經纖維能看到的東西更多。有關這種效果是否完全且永久的問題，我還沒有能夠找到相關的觀察結論，也還沒有從著名的眼科醫師那裡獲得最終的意見；實際情況可能並不是這樣的。然而根據魯特提供的信息，這種情況的確會暫時且部分地存在[22]：「在神經錯亂的病人身上有時會出現這樣的情況，視網膜的部分區域出現暫時性退化，外部世界投影到這部分視網膜上的事物似乎完全不存在了。」[23]大腦里視覺感受的中樞部分很有可能和基礎的生命活動存在根本的聯繫，因此不能完全且持久地在不涉及其他活動的前提下，暫停某一種活動。 在定律有效性並不存在下限的假設下，甚至對於內在光的光度學測量，也可以用與之前驗證韋伯定律的實驗類似的方案進行。在黑夜裡，有一個物體擋住了燈光而產生投影，我們只要將燈往遠離物體的方向移動，直到這僅被內在光填充的投影，剛好無法從同時被內在光和外在光照亮的背景中分辨出來。應用福爾克曼結果中獲得的1/100這一數據，在這個距離開外，增加了內在光水平的燈光亮度只需要達到內在光強度的1/100，就能產生上述效果。 實際上這一實驗已經有人做過了，即使實驗完成得比較隨意。在一道又長又暗的走廊里，將硬脂蠟燭放置在物體前，背景為一塊黑色天鵝絨，周圍有一些空間，當蠟燭被往後移動87英尺時，福爾克曼就再也看不清黑色天鵝絨上的投影了。在這個距離，往原內在光水平上增加1/100的內在光亮度，就相當於在這個距離1/10的條件下，也就是8.7英尺時的燭光亮度。因此，這個實驗告訴我們，一塊黑色的背板接收來自一根約9英尺外硬脂蠟燭的光，和沒有外部光照時的內在光亮度是相等的。也就是說，前後兩種情況下的測光亮度是相等的。 也許有人會覺得這種內在光的亮度非常明顯且太高了，因為它被假定為某個物體表面被一支蠟燭在約9英尺之外照射時表現出的亮度，但是我們也不能忽略的是，在這個實驗中採用的是黑色天鵝絨製成的背景，它是這個判斷過程中的基本事實。實際上一個全黑的表面能夠吸收所有的光線，所以它是不會被照亮的，哪怕是被任意強度的火苗在非常接近的距離內進行照射。只有在採用非全黑物體進行的實驗環境中，才能允許我們來對全黑背景下的低亮度水平進行討論。在這種環境中，非全黑的背景仍可以反射一些光，但是非常少，接近於陰影水平，這時能夠非常好地對內在光的強度進行測量，這一點已經在實驗中被證實。 我在這裡引用的結果，只是福爾克曼利用自己的眼睛在仔細而小心進行的實驗中獲得的。他還另外叫了兩個人來進行這項實驗，他們在87英尺時卻仍然能識別出投影，由於環境的性質原因，超過這個距離實驗就無法推進了。這個結果說明要麼是他們的內在光水平不同，要麼是他們的感受性不同。福爾克曼嘗試繼續進行這些實驗，以進一步完成更準確的測定。同時他的結果已經足以證明內在光的測光強度既不是不可確定的量，也不是小到無法測量的。這一點就是我們現在所需要的結論。 因此根據上面所說的內容，我們知道了在完全沒有外在光源的情況下，視野中感受到的黑色仍應被視為一種真實的視覺感受，因此我們不可以忽視在這種情況下對韋伯定律的檢驗。 如果我們在沒有使用工具的前提下，裸眼觀察兩朵十分相似的雲或其投影的微小差異，那麼內在光的亮度應該同時加於兩者上。如果我們在眼前放上灰色濾鏡，以降低雲朵或其投影的亮度，這種情況下內在光的亮度是不會改變的。每次內在光都是以固定的強度加在雲朵或投影上，因此放上濾鏡前後內在光在總亮度中的比例實際上是不同的，同時與先前的相對差異也不同，而且變化的方向是下降的，根據韋伯定律，這必然會導致差異感受的下降。的確，如果我們使用更深的濾鏡，那麼內在光最終將會取代投影之間的細微差異，所有的差異都會消失。實際上，眼睛內在光的作用形式和我們想像的不一樣，它非常類似於在明亮的白天裡，星星都消失時的情況。因此，只有在內在光和外在光源的亮度相比小到可以忽略時，才能採取外在光刺激對韋伯定律進行證明。甚至連馬森也曾聲明，只有在光線的強度可以滿足一般閱讀的要求時，韋伯定律才能發揮作用。換句話說，如果在光線太暗的條件下進行實驗，那麼投影間的細小差異會變得更不清楚。相應的規則已應用於所有的改進實驗中，並且已多次被經驗證實。 有一個發現可以佐證我的觀點，即可以通過一種看上去似乎違背但實際上卻符合以上原則的方法，來使得亮度與內在光之間的差異達到極小甚至消失。 在夜晚，注視一顆剛好可從背景的黑色夜空中辨認出來的星星，那麼通過戴上一副墨鏡或者將一盞燈湊近眼旁，就會發現再也看不到這顆星了。此現象還有一個對應的完美案例，它與1858年10月初的那顆燦爛的彗星[24]有關。使用灰色或有色的濾鏡，或者將一盞明亮的燈靠近眼旁，都可以看到彗尾縮短了，當我使用在白天時能夠看到雲彩最佳細節的深紅色濾鏡來觀察時，整顆彗星甚至都會變得看不見。這其中的第一點原因是星星或者彗星的光通過濾鏡產生了明顯的衰減，但內在光並沒有減少。第二點原因是，不僅是影像投射到的視網膜區域被光照亮，甚至在一定程度上整個視網膜背景都能被照亮。不同的研究者都注意到，這個現象來自於多方面的原因。 首先，光透過鞏膜和脈絡膜時會略為變紅。布呂克（Brücke）在《物理學年鑑》（Pogg.Ann., LXXXIV, p.148）中提到，他對視網膜影像的主觀和客觀色彩進行了仔細的研究，獲得了一些以上述事實為基礎的顯著結論。其次，這個影像產生漫反射，達到視網膜的其他區域，之後回射到角膜，再從角膜反射回視網膜［赫爾姆霍茨在《物理學年鑑》（LXXXVI, pp.501 ff.）中強調了這一事實以及下一事實］。最後，由於眼細胞介質、纖維、細胞膜的微觀結構存在，折射會導致不規則的散射現象。邁耶（Meyer）在《物理學年鑑》（XCVI, p.235）中介紹了一項特別的研究，其中他發現光源周圍有彩色光暈的現象，就是由於這一原因而產生的。由於這最後一個原因，以及光源形成的影像對視網膜其餘區域的分散性反射，影像周圍的光是整個視網膜區域中最亮的。然而，整個視野都會被照亮，只是亮度從影像對應區域開始逐漸向外周遞減。 由於以上這些因素的聯合作用，假如星星或者彗尾投射到眼中的微光，距離燈光在眼中形成的影像越近，那麼被掩蓋的可能性就越大，就像白天天空中的星光一樣，因為在這個條件下，燈光形成影像的光場是最亮的。 因此，布魯斯特（Brewster）[25]陳述道： 「讓點亮的蠟燭靠近右眼，燭光作用於部分視網膜區域，這會使視網膜其餘區域對其他光亮刺激的感受，或多或少有所下降。被照亮的點附近感受性的衰減最強，其餘區域距離照亮的點越遠這種影響越小。在受到強烈刺激的視網膜部位附近，對於其他中等亮度的物體完全無法有所感覺；而且有生動色彩的物體不僅被奪去了光澤，更會慢慢地改變色彩。」 出於同樣的原因，我們可以使用赫爾姆霍茨的方法[26]，在沒有熒光物質的幫助下，看到使用平常方法看不到的太陽光譜中的紫外線。光譜中的其他射線會將紫外線掩蓋，因此只需要採取一些措施，將這種射線與光譜的其他部分隔離開來即可。 從上述說明中還可以得到進一步的一般性結論。雖然在當照射光增強時，從黑色和白色表面反射回來的光會以相同的比例增加，但是此時黑色和白色表面的差異卻會顯得更大，這是因為相比於白色，黑色的亮度組成中內在光的成分更多。這也就是為什麼在亮的地方比在暗的地方更便於閱讀的最根本原因。 除了韋伯定律中有關光線強度的限制，我們還不能忘記強度以外的其他條件對於亮度差異知覺的可能影響，只有保證這些條件的一致性，韋伯定律才能有效。據我們所知，關於這些條件的研究目前還非常不充分。但我們還是會提到一些，到目前為止就我們的經驗而言，這些因素非常值得關注。 在本書上說過，阿拉戈注意到被比較部分的運動對差異知覺的影響。福爾克曼也注意到了這個效應。在實驗中，為了能夠非常好地判斷投影的出現和消失，產生投影的光源必須要被移動，這樣就會導致陰影也會同時出現運動。在這種運動的影響下，1/100的最小可覺差異比值就可能會被修正。 我們在這裡談到的阿拉戈的實驗中，實驗對象並不是兩個投影，而是下面的方法中所提到的客體。採用的儀器是一台望遠鏡，內部配置了一套洛匈稜鏡，可以形成雙重的影像，而在物鏡之前有一個尼科爾稜鏡[27]，將這台望遠鏡對準一個黑色硬板紙背景上的洞，通過這個裝置，就能夠看到背景後面的天空。轉動尼科爾稜鏡，就可以隨意減弱兩個影像中一個的亮度，與另一個影像相比就可以測得減弱的程度。兩個稜鏡主要部分的相對位置，決定了兩個影像的相對亮度差異。按從目鏡到物鏡的方向，在望遠鏡內部直線移動洛匈稜鏡，能夠使得較暗的那個影像運動起來，通過這種方式，它的運動過程將從其邊緣與較亮的影像正中相交的位置開始，移動到當兩個影像的邊緣剛好重合的位置為止。 在若干個觀察者的幫助之下，以上述方式進行的三個系列實驗中，當較暗的影像疊加在較亮影像上方，並且運動速度達到每秒12角分[28]，同時其亮度與較亮影像的亮度比值符合以下值的情況下，較暗的影像就會消失： 關於這三個系列實驗中絕對值的巨大差異，阿拉戈說：「我不會嘗試在這裡解釋，為什麼三個實驗中靜止狀態下的眼睛感受性會如此不同。這是一個和生理學有關的現象，我之後將會回過頭來再進行敘述。」這種差異並不是由不同觀察者之間的差異造成的，因為阿拉戈說，以上「由勞吉爾（Laugier）先生、古戎（Goujon）先生和查爾斯·馬修（Charles Mathieu）先生獲得的觀測數據基本一致」，這種差異也不是由刺激的絕對強度差異造成的。因為這樣會相當於承認我們的定律在一般的天文學領域的表現，是在某種程度上與阿拉戈論述的一般性實驗結果相矛盾的：「我們可以說，計算獲得的信息能夠幫助我們判斷該範圍內的暗度水平，結果告訴我們當投射到較亮影像之外的較暗影像亮度只有前者的1/2100時，它就會消失。」 下面福斯特（Förster）[29]的記述同樣是關於運動的影響，這部分內容非常有趣。他在談到自己的光度計時說： 在很暗的光照下看一個很小的物體，一段時間後會發現物體不是變得更清楚而是似乎突然消失了，但很短的時間之後又會重新出現。我相信這一現象並不是由於視網膜的屬性之一，即能量的波動造成的，物體重新出現真正的原因，可能是在這個時刻眼睛發生了微小的運動，使得原先以其他方式激活的影像落入新的視網膜區域上。我正好有個機會與奧貝特（Aubert）協作（參見v.Gräfe'sches Arch.，Ⅲ）進行了關於視網膜空間感覺的實驗，這是個能夠很好地驗證這一事實的機會。我們在暗室里從幾英尺之外觀察幾張面積很大的白紙，紙上寫著巨大的數字，紙張之間存在著很大的間隔，這一個過程的關鍵是要保持眼睛靜止不動。房間非常暗，以至於那些數字對我們來說看起來就像是白紙上的污漬。我盯著其中一個數字看，不久之後——在亮度固定的微弱照明條件下——我所注視的數字與其他數字一樣，都完全消失在灰暗的紙張之中，作為背景的紙張也變得越來越暗。當這種情況發生時，我就無法繼續注視，眼眶有種難受的感覺，而只要此時眼睛進行一下微小的調整，我就會立刻又看到整張紙及紙上污漬般的數字。眼睛的運動要麼是如上述這樣被注意到的，要麼是有意識地做出的，或者我們也可以從上述事實推斷，最終，一個與先前不同位置上的數字出現在了注視點中。 現在尚不知道運動是如何產生這種影響的。 目前所獲得的事實認為，運動使差異投射到一個新的且尚未疲勞的視網膜位置上，所以會產生這種效果，但是由於差異雙方本身並沒有因為運動而改變，而只是改變了這種非常細微的差異出現的位置，所以這種疲勞的狀態似乎並不會因為運動程度的多少而減弱。[30] 另一種可能是，運動對差異感覺的提升是由於對多個刺激差異的多重感覺聯合導致的，而不僅僅只是取決於刺激本身的新鮮感。也許在刺激發生後的一段特定時間內，許多印象將會以總和的形式相繼被激活。最後，以下情形（至今還沒有公開解釋過）可能暫時可以從一般性的角度解釋運動的影響。對任何兩個不同大小的刺激進行比較時，使用同一器官相繼進行比較，相比於同時進行不同器官的比較而言，成功率要高得多，這與韋伯在他實驗證據的基礎上所提出的觀點類似，本書上曾提及過這部分內容。即當我們比較兩個重量間的微小差異時，使用同一隻手相繼提起重量進行比較，會比使用兩隻手分別同時提起兩個重量比較來得容易。而在我們的實驗中，通過對光的運動控制，使得同時投影到視網膜不同區域的兩個刺激間的差異關係，變為了相繼投影到視網膜上的兩個刺激之間的差異。原本視網膜上的一點受到強光的刺激，而運動使得照射到這點上的光變弱了，相反的情況也同樣存在，運動越快，在一段給定時間裡光線相繼達到視網膜上的點就越多。然而，這種解釋目前仍然只是一種推測。 還有一個影響差異感覺能力的因素就是刺激大小，但其實只要它們的強度大小保持在某個具有可比性的範圍內，這一因素就並不影響韋伯定律。這個結論是根據有關星星和投影的擴展實驗中獲得的事實而直接推斷出來的。但是，相同強度的點光源與面光源相比，卻更難從背景中被辨認出來。由於我將在第十一章中更詳細地討論這一問題，所以就不在這裡深入敘述了。 第三，有研究表明一個給定的相對亮度差異，當構成這個差異的兩個刺激較暗且背景較亮時，相對於刺激較亮背景較暗的情況，更容易被分辨出來。關於這一點，首先有阿拉戈採用測光裝置，在一種或多種實驗條件結合的情況下進行了研究，基於自己的實驗[31] 做出了專門的論述，另外漢克爾也通過其他的測光實驗發現了同樣的結果，證實了這一情況（目前還未出版）。 最後一點需要注意的是：雖然在許多方面音高和顏色都可以進行有效的類比，但對音高適用的韋伯定律在顏色領域內卻並不適用，這也是一個明顯的例外情況。正如下面馬上要提到的，音高實驗考察的是對振動中可覺差異的等價性判斷，而顏色則與之不同，因為無法使顏色的振盪頻率等比例地變化。的確，在光譜範圍內，眼睛一般很難分辨出顏色上小三度——甚至是大三度——的差異（一個比喻），但在黃色或綠色的範圍內這種最小可覺差的變化卻非常快，以至於從黃色到綠色過渡的每個可識別的差異都像個小半音一樣突出。[32]此外，音調和顏色之間還有很多沒有討論的問題，因此它們之間的類比不能成立。 聲音 關於聲音，我們必須區分噪音和樂音，噪音沒有特別的音高，只有強度可供測量，而樂音除了強度（聲強取決於振幅，與其平方成比例），還有音高（由振動的頻率決定，也是其物理測量的參數）。使用噪音和樂音都可以研究強度，但是要研究音高只能使用樂音。首先讓我們先來對強度進行研究。 在維洛特的指導之下，倫茨和沃爾夫[33]使用正誤法進行了實驗，他們在合適的環境下，將滴答作響的鐘分別放在與耳朵距離不同的幾個地方，對響度的差異判斷進行了研究。以下是他們的主要研究結果： 「如果兩個強度較低的聲音一個緊接著一個相繼呈現，而且兩個聲音的強度比例達到100:72，那麼在所有情況下被試都可以非常清楚地區分這兩個聲音了，而且隨著差異絕對值的增加，判斷的肯定性就越高。若兩個聲音的強度比例為100:92，那么正確判斷的次數就會超過錯誤或模糊判斷的次數，雖然超過的值並不大。」 這些仔細設計的實驗值得引起我們的注意，因為它們是使用正誤法的良好示範，並且它們指出了我們對於聲音響度差異的辨別能力相對較差，這些事實對於接下來的內容很重要。然而，這些實驗並不適合於驗證韋伯定律的有效性，因為它們的設計目標並不是研究不同絕對刺激強度下的差異感受的等價性。而下面的實驗是有關於這方面內容的。 在福爾克曼完成了他的測光實驗之後，我向他提到了韋伯定律普適性的重要意義。他當場就即興發揮設計了一個實驗裝置，供我用來實現驗證聲音響度範圍內韋伯定律的初實驗，我當天就以低廉的造價將這套設備製作了出來。 這套設備是由一把能夠自由擺動的錘子構成的，錘子會撞擊到對應圓盤中的一個物體，物體的材質不同，要麼會發出要麼不會發出聲音。一根堅固的編針作為擺錘的軸。這根軸是固定在一根橫木中兩個黃銅製成的孔上，而這根橫木的兩頭又是固定在一塊厚木板的兩個頂端的。從自然狀態上說，錘子重量是重或輕、錘子落下前相對於圓盤的高度是高或低、人距離設備的距離近或遠等，都可能控制錘子發出的聲音是變大或者變小。由於在最初的設計中，並沒有設計用來判斷錘子釋放前高度的分度圓裝置（機械中的專業術語），所以便在設備旁放上了一段有著幾個高度標記的象限儀，每次錘子釋放前的高度都依靠該象限儀來確定。錘子是木製的，撞擊的是一個方形玻璃瓶。事先設定兩種下落高度，對應兩種聲音之間的差異足夠明顯，能使站在設備旁的觀察者無需了解具體下落的高度，就能準確無誤地判斷出哪個聲音更大。但是這兩種聲音之間的差異又要足夠小，能使得當這種差異減小一半時，判斷不如上述情況中的那麼準確，觀察者有時會做出正確的有時又會做出錯誤的回答。然後，觀察者朝向遠離設備的方向分別邁出6步、12步、18步，以保證與設備之間的距離至少是最初距離的12倍。在每種距離條件下，都要針對兩種下落高度多次重複同樣的實驗，與前面的實驗相同，需要先呈現給觀察者一個非常小但卻仍可以確信是否存在的聲音差異。如果距離變為原來的12倍，觀察者聽到的聲音強度就變成了原來的1/144[34]，而兩種高度產生的聲音差異一開始就只是略高於最小可覺程度，因此假如對聲音強度差異的判斷是依賴於絕對強度的大小，那麼此時的差異就應該變得無法辨別。然而，在所有的三種距離條件下，觀察者對差異的判斷卻仍然非常有信心，而且成績也和在設備旁邊時一樣好。 雖然這一實驗設計和實驗設備從某種程度上說仍很粗糙，但已經充分覆蓋了其中的關鍵點，並且結論很有總結性，從中我們可以預見，就算採用更精密的實驗設備進行更精細的實驗，也不會得出其他的結果。福爾克曼後來的實驗的確證實了這一猜想，他特地設計了一個規模更大的實驗，其中聲音的強度能夠增大100倍以上。然而他的實驗中沒有使用落錘法，而是在採取了適當的防護措施的前提下，讓鐵球自由落體到鐵盤上以產生聲音。我也參與了部分實驗。在實驗中，鐵球下落的高度、鐵球的質量以及觀察者與裝置間的距離，均可以在很大的範圍內變動。在鐵球下落軌跡的一側垂直固定了一個刻度裝置，用以精確測量鐵球下落的高度及其變異值。從方法和結果這兩個方面來看，這個實驗與之前描述的其他實驗是基本一致的。當絕對聲音強度變化值達到最大程度，前後兩次鐵球下落高度的比例為3:4時（即聲音強度的比例也是3:4，後面我們將會進行說明），正好足以使兩名有良好分辨能力的觀察者能做出正確的判斷。這一比值與倫茨和沃爾夫的實驗結果非常相符。 下面是從福爾克曼的日誌中摘錄的，是有關實驗的詳細描述： 將一根標有刻度的稜柱豎立在一塊平板上。可以通過三個螺絲調節稜柱以保持完全豎直。稜柱上有兩隻可以滑動的水平臂α和β。金屬球從這兩隻滑臂指示的高度開始下落至平板上。使用拇指和食指捏起金屬球，指尖靠在水平臂α或β上，然後小心地分開兩個手指釋放金屬球。我有兩個重量相同的球，左右手各取一球，這樣就不需要在釋放了第一個小球之後再尋找和提取第二個球，減免了一次動作。 觀察者與儀器之間的最近距離為1米，最遠為6米。 鐵球先後兩次下落高度的絕對值之比為3:11。 兩個不同鐵球的重量之比是1.35克：14.85克…… 我和海登海因遵守上述的聲音差異範圍設定，進行了大量實驗，結果發現，在聲音的強度之比為3:4時我們能夠非常確定地分辨出差異，而當差異比例下降為6:7時，我們就會變得猶豫不決並產生一些錯誤。 但是另一方面，在聲音的強度之比為3:4時，費希納卻會頻繁出錯。不過，顯然練習會影響他的判斷能力，因為在實驗末尾一次很長的系列測試中，他每次都能夠正確判斷出強度為3:4的聲音差異，而在實驗開始階段他的錯誤次數多於正確次數，在經過了一段時間的實驗之後，他的判斷中仍有1/3是錯誤的，只有2/3是正確的。 早期的實驗都是基於最小可覺差法的。出於我之前已經說過的原因，這種方法不能達到像正誤法和平均誤差法那樣的精確度。因此無疑地，使用那些方法進行的實驗都是值得商榷的。不過考慮到實驗中聲音刺激的絕對強度變化範圍非常大，所以這些結果通常也足以證明定律的有效性。這些已有的實驗最多只是在低值位上與定律存在一點偏離，我們沒有必要為這樣的機率水平給出任何理由。 關於此類實驗中將要使用到的裝置，從理論和實踐方面補充一些內容說明似乎是很有必要的。 沙夫豪特[35]曾經描述過一個使用下落的球發出聲音，來測量對聲音感受性的裝置，不過這個裝置只是用來了測量絕對感受性。 音擺也被用來進行這方面的研究。伊塔德（Itard）[36]曾使用過一種測量聽力障礙者聽覺感受性的儀器，該儀器被稱為聽力計。儀器的構造是這樣的，基座上有一根立柱，柱子上固定著一根橫杆，杆上自由懸掛著一個錘制而成的銅環。銅環受到音擺的敲擊而發出聲音，擺下落的高度使用刻度弧來測量。 我自己也曾經製作過一個雙音擺，結構與上述的音擺相似，差異在於我採用的是兩個帶刻度的音擺，它們分別敲擊一塊石板[37]的兩邊以發出聲音；不過我還沒有機會使用這個裝置來進行實驗。 接下來的評論是有關於這些裝置相關的理論的： 如果忽略空氣阻力和其他可能干擾因素的影響，那麼當物體自由下落或者音擺敲擊另一個物體時，產生的聲音強度與下落的高度以及下落物體的重量成正比。[38] 實際上，聲音的強度和發聲物體振幅的平方成正比；而振幅（根據那個著名的公式）與粒子經過其平衡位置時的速度成正比，這一速度也是其離開平衡位置時速度。因此這一速度又取決於下落物體的重量及撞擊時的速度。根據自由落體定律，下落物體撞擊時的速度（即下落時的最終速度）與下落高度的平方根成正比。即下落物體撞擊時最終速度的平方與下落的高度成正比，因此粒子經過其平衡位置（諸如此類的位置）時速度的平方也與下落的高度成正比。我們知道，無論物體是自由落體還是按照彎曲的路徑下落，只要是經過同樣的高度，對下落的音擺和對自由落體的物體而言，最終速度是一樣的（假設軸的摩擦阻力可以忽略）。我們必須注意的只有一點，如果聲音強度依賴於下落時的高度這一假設是正確的，那就不能在釋放物體時為其施加初速度。因為實驗中我們採用的下落高度值都很小，所以在這種條件下空氣阻力基本可以忽略不計，我們按照正常情況進行操作即可，尤其是使用鉛作為下落物體的材料時。 以上論述表明，音擺發出的聲音強度並不是和音擺釋放時的角度φ（擺角）成正比，而是與釋放時和最低位置之間的高度差成正比；換句話說，是與1-cosφ=2sin2φ/2成正比。可以據此來校正音擺。因為cos45°等於=0.707而cos90°等於0，所以這兩個高度產生的聲音強度之比為比1-0.707（=0.293）∶1，約等於3比10。而60°、90°、180°對應的聲音強度之比為1/2:1:2。只要擺角不超過60°，就可以將聲音的強度近似等於擺角的平方，所以擺角增加為原來的2倍，聲音便增強到原來的4倍，擺角增加為原來的3倍，聲音便增強到原來的9倍。[39] 下面的簡表列出了0°到90°之間的擺角對應的聲音強度，以及從聲音強度推出的擺角角度，90°擺角條件下的聲音強度分別被定義為1（第Ⅰ部分）和10（第Ⅱ部分）。180°擺角產生的聲音強度是90°時的2倍，90°到180°之間的擺角產生的聲音強度均在這個範圍之內。不過，我們一般不太可能使用大於90°的擺角。 聲音強度與音擺擺角的關係 續前表 至於音高方面的研究，我們已經看到韋伯以及他引用過的德勒澤納都進行過一般性的描述，他們採用了振動的次數取代了刺激強度。不過我很確定的是，德勒澤納在自己書中提到的研究主要是關於偏離某些音程（例如單音符、八度音程、五度音程等等）多大的程度，音調仍能夠被區分出來，而不是直接研究韋伯定律所提出的問題，即兩個音調（在不同高度）的振動次數比例保持相同時，它們兩者間差異的可辨別性是否保持不變。同時並不需要專門設計實驗去驗證定律中的這個問題。畢竟，對於精通音樂的人來說，相同的振動比率對應著來自不同八度的兩個聲音間的同等大小差異，證明這一點是很簡單的——甚至可以說是根本不值得一提——這樣我們可以認為這種證明比其他情境下的更為直接，而且甚至可以產生更大的差異。歐拉、赫爾巴特和德羅比什也曾在他們關於音調關係的數學問題中以這一事實作為結論的基礎。 我有時會在實驗中使用木質的音擺敲擊木塊發出聲音，然後請一些精通音樂的人，讓他們將45°擺角和90°擺角時產生的聲音強度，與音高的比率對應起來。其中一部分參與者表示他們做不到這一點。而非常驚人的是，其中大多數可以完成任務的參與者（他們都是獨立完成任務的，不知道別人的判斷結果）都認為兩個聲音間的差異可以類比為四度音程。不過我不準備在這裡過多討論這些實驗，因為它們都還很粗糙且未定型，而且得出的結論也不一致。就我個人來說，我仍懷疑是否能夠將兩個聲音強度的比率和所產生的音高感受進行直接的類比。但不管怎樣，這些實驗確認了倫茨與沃爾夫，以及福爾克曼得到的結果是可信的。根據這樣的結論，我們就應該得知，這種相當廣泛的聲音強度差異（3:10）並不會造成巨大的感受差異。 關於這一問題，我聯想到曾在萊茵合唱節上遇到一位音樂家［小提琴大師馮·瓦希萊夫斯基（von Wasilewski）］，他提到一個非常有趣的現象，即一個有著400名男性的唱詩班發出的聲音，聽起來並不比只有200名男性的唱詩班更響。 重量 在本書我曾經提到通過最小可覺差法獲得有關韋伯定律的結果，這個結果為重量判斷中定律的適用性提供了第一個證據。韋伯的實驗有著特別的優點，即在他的部分實驗中，皮膚對壓力的感受性可以與肌肉感覺相分離，而類似方法進行的其他實驗則大多是基於兩種感受的結合。另一方面，我自己通過正誤法所進行的實驗中，關注的則是在提舉重量的比較過程中，這些感受自然結合情況下的結果，我馬上就要討論到其中的細節問題。通過我的操作模式，不能精確地區分這兩種感受。然而鑒於韋伯定律保證了自己的準確度，所以每個對於定律的有效證據似乎都是有用的。另外，這些實驗本身也就是作為檢驗韋伯定律的研究方法而存在的。 為了讓讀者更好地理解接下來的描述，會經常參照本書關於方法章節的內容。然而我認為沒有必要再回到其中的細節上。另一方面，讀者會發現接下來討論的內容中，包含了很多先前介紹過的證據和案例。 接下來將討論兩套重要的系列實驗，一種是雙手操作實驗，另一種是單手操作實驗（分別用右手和左手進行實驗）。兩種實驗的過程基本類似，均包含六個水平的質量，即300、500、1000、1500、2000和3000毫克，兩類實驗的結果基本一致。單手操作系列於1856年的10月到11月間進行，雙手操作系列則是在1856年的12月到1857年的1月間進行。這些實驗的環境從本質上說，與描述的一般條件一致。我們需要特別注意以下事實： 每個系列實驗均包含了32個實驗日，每個實驗日裡有12個實驗區段，每個區段由64次重量提舉組成，也就是說實驗總共包括32×12×64＝24576次簡單提舉的試次。每一個標準重量P（其重量將定時更換）對應兩個特定的增量比例值作為附加重量，分別是0.04P和0.08P。使用後一種附加重量更容易為被試察覺出變化，但從後續表格中可以看出，被試仍然會犯下相當量的錯誤，因為被試高估了自己的能力。這個結果的原因可以參考有關實驗程序的闡述，其中被試的每次判斷都僅僅是基於一次配對的重量提舉，而不是基於多次重複的提舉，在這個程序中被試對D＝0.08P的比較很少產生錯誤的判斷。每天的實驗中需要舉起12×64＝768次重量，給六個標準重量中的每一個都分配了兩個實驗區段，每個區段64個實驗試次，每天所有的實驗試次均是與同一個相對D值進行比較，D值只有在數日或者數周后才會更改一次，這在下文中將會介紹。同時，每天實驗程序中標準重量的出現順序會按照升序（↑）和降序（↓）隔日進行輪換。無論是雙手還是單手操作，每個標準重量都對應了32×128＝4096次重量提舉的比較。其中2048次是與D＝0.04P進行比較，與D＝0.08P進行比較的次數相同，這2048次中，重量升序（↑）和降序（↓）的次數分別為1024次。雙手操作實驗中每天針對每個標準重量的128次提舉是連續的。而在單手操作中則每64次左手實驗後接著進行64次右手實驗，並且接下來的實驗部分中輪換兩隻手進行實驗的順序。D＝0.04P與D＝0.08P這兩種附加重量條件，在雙手操作實驗中是兩天一輪換，而在單手操作實驗中則每八天一輪換。這樣的實驗程序導致在雙手實驗系列中，兩種D導致的感受性值非常相近。因此這個實驗系列可以用來證實我們的定律，即假如感受性h是固定的，根據D的大小就可以獲得正確判斷占總判斷次數的比率r/n。[40]但在單手操作實驗中情況則不同，如在我的評論中提到的，以0.08P作為附加重量的實驗周中，感受性值與0.04P的實驗周相比，前者較低。然而現在我們關注的是標準重量的大小對於感受性值的影響，這在單手實驗與雙手實驗中的結果是一致的。 為了開始最簡便的系列觀察操作——即使這些觀察並不是最精確的——我將先給出所有標準重量P對應的總正確判斷數r。這些值是按照它們的主要條件進行分類，而不是根據四種主要條件準確對應的測量方法進行分類（即可以計算出t=hD值的方法）。但即便不進行上述計算，我們關心的主要結果，也可以通過正確判斷的總次數r與所有判斷之間的關係獲得。對於同樣的實驗系列結果，即便採用了更精確的處理方式，也不能獲得比先前更精確的證明結論。 這裡使用的重量單位均為克。 為了防止下表中數字的意義有可能被誤解，所以我將重點解釋一下第一張表中的第一個數字。對應於P＝300, D＝0.04P, n＝1024（↑）的數字612表示，標準重量等於300克，附加重量為0.04P（也就是12克）時的實驗日中，所有使用升序變化條件下（↑）的正確判斷次數的總和為612，而在相同條件下所有的判斷次數總和為1024。錯誤判斷次數則相應地為1024-612＝412。其他數字的意義依此類推。自然地，因為最後一列的r是同一行中前面四列的數字加和而得到的，所以對應的總判斷次數是前面各列n的4倍，即括弧中的4096。另外，最後一行的r是基於同一列中前面六個P對應的數字加和而得到的，所以對應的總判斷次數是前面各行n的6倍，即6144。 Ⅰ.雙手操作系列中正確判斷次數r Ⅱ.單手操作系列中正確判斷次數r 可能讀者會很容易注意到，在這裡我略顯不恰當地省略了有關表中不同條件下不同結果的討論（比如對於不同的D值、左右手的差別、↑和↓的差異）。這些問題的細節將在《測量方法》一書中進行討論。這裡之所以分類給出這些差異結果，主要是為了展示不同條件但同樣的程序情況下正確判斷次數的變化，即正確次數隨著標準重量大小的上升而緩慢上升，當重量達到最大的2000克或3000克時，上升的幅度就微乎其微了。當我們認識到不同實驗條件下的變化一致性後，就只需要關注最後一列數據，也就是在兩個表格中，每個標準重量條件下n值為4096時的正確判斷次數之和這一數字即可。 這些實驗的數據應該可以直接且精確地支持韋伯定律，也就是在不同的標準重量條件下所有的r值應該不僅是相近而且應是一模一樣的，因為附加重量與標準重量的比值在所有的實驗條件中是一樣的。但事實並非如此。不過，本實驗數據與定律預測值之間的偏差並不是關注的重點，因為它與光感受性實驗中那種真正的偏差是有差別的，這種偏差應該同樣被視為是定律作用的結果。就像我們在光感受性實驗中即使沒有額外的光線，也必須考慮到內在光造成的影響一樣，在本實驗中，我們也要考慮手臂的重量甚至是覆蓋手臂的衣物重量（在本實驗中只有很輕的襯衫袖子需要考慮[41]），這些重量在沒有提起外部重量P的情況下也是存在的，因為在提舉物體的過程中這些重量一樣也被提起了。現在，就像之前實驗中當內在光相對於外在光小到可以忽略的程度時，定律就可以通過實驗得以證實一樣，在舉起重量的過程中手臂的重量相對於需要提起的重量物也可以忽略時，定律也才得以成立。 實際上相對於理論值，我們只在最大的重量值上觀測到不是很明顯的偏差，而且這偏差是按著先前概念中所期望的方向發展的；也就是說，正確判斷的數量多少是隨著P值的上升而上升的。如果我們考慮到實驗過程中保持不變的絕對增量A，也就是手臂的重量，這個重量增加到不斷增加的標準重量P上（D值只是隨P值成比例地變化），於是就有了D/（P+A）這個表達式來預測正確判斷的數量，其中隨著P的增長，分母中A起到的作用相比於P自然就會越來越小。當P值變大到超過某個程度，A的作用就可以開始忽略不計了。這個論斷已經獲得了實驗證實。 既然手臂的重量是值得考慮的，但令我們感到奇怪的是，P值從300克到3000克這個逐漸增加的過程中，並沒有因為手臂重量的影響下降而導致P對應的正確判斷次數顯著上升的情況。令人更震驚的是，在最小的兩個P值，即從300克增加到500克時，正確判斷的數量並沒有顯著上升，甚至在雙手實驗中產生了小幅度下降。這個反常的現象我們稍候再進行討論，它並不是一個常態的現象，因為第一，我們並不能確定手臂對自身重量產生的感覺是否和外部施加重量的作用方式一致。第二點，必須注意到當舉起重量P時，我們是使用整個手臂為槓桿，被提舉的物體位於槓桿的一端，而手臂的力矩（作用點位於其重心）相對較短。第三點，即便是增加了對力臂的考慮，我們也只是關注了肌肉的運動，而沒有考慮壓力的感覺，因為只有重量P能夠對皮膚產生壓力覺，而手臂的重量卻不能。第四點也是最後一點，我們必須考慮表中正確判斷的數據並不是為我們提供一個準確的感受性標準，而僅僅是為了證明感受性隨著標準重量的增加而變化。我們提到的問題在這裡表現得很明顯；而且我們必須特別注意一下提到的實驗環境問題，即當標準重量增加時，提舉的時間順序p產生的影響作用就會增加，同時根據內容，在這個事實下正確判斷的次數總和，比無影響假設下的期望次數要略小。事實上如果沒有這些誤差的干擾，標準重量最大時的正確判斷次數應比現在要更高一些，而且因此應該與標準重量最小時的正確次數間的差距要更大一些。這種情況在小附加重量0.04P時表現得尤為明顯，而相比之下，大附加重量0.08P中這個p的作用多多少少可以理解為消失了。因此我們會在雙手操作實驗中發現，1500克與3000克在0.04P條件下的正確判斷次數分別為1321和1335，在0.08P時則分別為1592和1657。在單手操作實驗中也是類似的情況，0.04P時對應的數值分別為1465和1460, 0.08P時為1687和1726。兩種類型實驗中表現出的數值差異是一樣的，均為0.08P時的值大於0.04P時的值。 通過提到的完全補償程序來徹底去除次要效應造成的干擾，這個方法主要是對四種主要實驗條件進行分別的計算來實現分離。我們首先看到，在接下來的表Ⅲ中列出了根據四種主要條件計算的r值。而在表Ⅳ中列出的是根據基本表求出的t值（不包含子群）。在《測量方法》中我將給出單手實驗中計算得到的數據。這裡我不想加入太多的表。接下來關注的是對結論性結果的討論，這在表Ⅳ的4hD和8hD兩列中給出。表Ⅳ中剩下的數據和表Ⅲ中所有的數據都僅僅是為了給這個結果提供一個基礎。不過在說明結果提取方法和證明方法的總體細節上，這些數據還是有用的，所以應該順帶展示給大家。 Ⅲ.雙手操作系列中四種主要實驗條件下的正確判斷次數r Ⅳ.根據前表得出的雙手操作系列t值　n＝512，υ＝1 為了更清晰的表達我的觀點，我想對兩張表的第一個數據再進行一次解釋： 表Ⅲ中當P＝300, D＝0.04P, n＝512時，r1＝328這個數值意味著，標準重量P為300克，附加重量D為12克，在第一種主要實驗條件（也就是D處於左邊容器並且先被提舉起時）下正確判斷數量r1的值為328。 表Ⅳ中對應的t1＝2547是從基本表中推出來的，通過r/n＝328/512＝0.6406這個數值可以推算出相應的t值。表頂端n＝512和υ＝1表示每個t值是從1倍的512個實驗試次（不包含子群）中得出的。 這樣就可以看到r值在四種主要實驗條件下的變化，並且能夠得出標準重量變化帶來的影響。當P＝3000時，正確判斷的次數r＝244，因此比錯誤判斷次數268小（由總判斷數n＝512減去正確次數可得），所以我們得到的t值就是負的（見表Ⅳ）。順帶提一下，這樣的情況在我其他的觀察表中還是比較常見的。 大家也可以自己使用表Ⅲ中的數據，通過介紹的規則，來完全平衡和確定p值和q值的影響，雖然我們現在對這些測定並不感興趣。 而且，比較t值表中D＝0.04P和D＝0.08P時的總和值，檢驗它們是否有顯著的成比例關係，也能夠得出讓人信服的有價值的結論；換句話說，0.08P條件下的總和值是0.04P條件下的兩倍。這個事實證明了根據[42]所提到的方法進行的計算是正確的。不過在這裡，我暫時不會對這些內容進行詳細的說明。 關鍵的問題是，在不同P值條件下，表中根據t1、t2、t3、t4得出4hD和8hD對應的總和值，在多大程度上能夠保持穩定。如果我們的定律是正確的，而且手臂的重量沒有加在P值上（或相對於P很小），它們就應該是穩定的，就像用以計算出t的r值一樣穩定。 兩列4hD中和8hD列中的值才是我們真正關心的測量結果，前兩列數據是有關於不同重量間的對比，而最後一列則將它們放在一起考慮。這些值同樣是獨立於有關不同容器的時間影響p和空間影響q的，也就是說，這些值是差別感受性h與附加重量4D或8D相乘得到的結果，所以對於不同的標準重量而言，其對應差別感受性的量度h值可以通過除以4D或是8D獲得。[43]根據我們的定律，由於標準重量P與附加重量D是成比例的，那麼除去手臂的重量，這一指標（h）與P也應該是成反比例的。但4hD與8hD的結果在不同的標準重量是一致的，所以上述這種假設不成立。現在既然這些偏差的等價性證明比成比例的證明更容易，那麼我們將放棄計算h值，而是使用得出的4hD和8hD進行計算。 為了更清晰的總結之前提到的三列關鍵數據，我們分別除以4或8，只保留單獨的hD值，具體見下表。根據使用的命名規則，在每列平均值上分別指定υ＝4和υ＝8，每列中的數據都是來自n的4倍或者8倍次數觀測的平均值，n等於512。 Ⅴ.雙手操作系列中的hD值　n＝512 如果我們想要定義hD的抽象概念，它在這裡只是為證實我們的定律而存在的，對這個實驗具有一定的意義，那麼可以使用以下的方法：如果我們使用的每一個標準重量，並不是像標準實驗中那樣相同的相對附加重量，而是混合使用的成比例的附加重量，那麼將其除以hD或給定幾倍或幾分之幾的hD，總是能夠得到相同的r/n分數。比如，在接下來的雙手實驗中，我們就必須將與標準重量2000和3000克成比例的附加重量值，除以與4500和4909[44]成比例的數值，這樣才能得到同樣強度的感受。 雖然這些並不是我們計算的確定結果——我們後面將會呈現——我還是在這裡把它們列出來，因為它們和最終的結果並沒有顯著的差異，所以依然能夠成為可靠的證據，同時它們的論證基礎與最終結果間並沒有太大的偏差。我們可以根據第八章給出的規則進行再計算。有人在不分組的情況下用相同的P和D進行了一整個月的觀察，從中採集每個條件下正確判斷的數量，最終獲得了和基本表中的t值一致的結果。就像指出的那樣，我傾向於在所有的實驗系列中，根據不同的實驗條件劃分出每組n＝64的子集，然後分別計算它們的t值，最後將它們加起來並計算平均數，這樣做是為了確認排除p和q的影響而產生的變異。在雙手和單手實驗系列中均執行了上述的實驗流程。在這裡，列出每個從包含了64個實驗試次的子集中獲得的正確判斷數量以及對應的t值，將會占用太多的空間。所以我決定限制一下內容，在這裡只按照υ值將每個實驗進行分割列出結果，以這種方式作為我在兩種實驗系列中的最終結論。 Ⅵ.雙手操作系列中的hD值　n＝64 Ⅶ.單手操作系列中的hD值　n＝64 在這裡我將通過表Ⅴ和表Ⅵ的對比，再次闡述一下計算方法中的要點。兩張表都是屬於雙手操作系列，並且是基於同樣的數據。它們的區別僅在於表Ⅴ中的數據是以n為512為基礎計算hD值的，沒有進行分組，而表Ⅵ是按照n為64進行分組來分開計算的。因為這個區別，後一個表中所有的數值都比前一個表中所有的值略大。假如這種區別相對於所有的數值都是一致的，就不必對這個問題太過擔心，因為我們關注的只是成比例的變化。然而，也有數字變化的比例比其他數字要大。通過對每個實驗系列進行單獨的檢驗後我們發現了造成這個差別的原因，是因為執行每個系列的實驗月份中，p和q完全不可能保持穩定，而是發生不規則的變化。通過將這些實驗系列繼續細分為如此多的子集，就可以忽略每組中的不規則變化，這樣我們就能通過消除p和q的變異性而去掉這一不利因素的影響。因此，表Ⅵ的數據比表Ⅴ的數據更有價值。然而與此同時，兩個表中的數據並沒有出現決定性的差異，所以人們很可能選擇第一個表，因為其中的數據更簡潔。無論如何，對比這些表的數據可以給我們提供一種信息，即通過良好的分組可以使絕對測量維持相似的變化。 比較單手操作與雙手操作系列的數據就可以發現，兩組實驗結果的比值在隨著標準重量的增加而逐漸地下降，並且趨於穩定。 簡單地看一下表Ⅵ和表Ⅶ中的數據，就會發現兩者的結果幾乎是一致的，另外除了在P值較高時，hD值隨著P的增加而增加的幅度相對於r值要更加明顯之外，兩張表中的結果和先前r值表的結果也非常相似。總的來說，這些參數隨著P值增加而增加的幅度明顯趨於一致。 我們發現在雙手操作系列中，三個最大的P值1500、2000、3000對應的hD值分別為4342、4500、4908，而單手操作系列中則分別是5682、5639和6152。P值從1500到3000間數值翻倍，而hD值相對只是僅僅增長了一點點——大概分別為1.13或1.08倍。 對於我而言，是非常有興趣地看到較大重量值條件下的hD均存在等價性，尤其是兩個最大的重量值2000和3000克對應的hD值也大致相等，因為它們對於我們定律驗證是如此重要。我同時利用這個實驗系列的機會，將雙手操作和單手實驗串聯起來，進行一項兩者間的比較。因為這兩種實驗在之前是作為一個整體存在，一個接一個進行的，並沒有提供任何的對比處理。另外，我也想進一步測試實驗中獲得的t值與使用的D值間的比例。 上述這項系列實驗同樣持續了32天，是於1858年的12月和1859年的1月間進行的，遵循的是描述的標準條件。雖然從時間上而言這次的實驗與先前實驗之間的間隔比較久了，但它們是非常類似的。每個實驗區段由8個分組構成，每個分組包括64次重量提舉。因此整個實驗序列包括32×8×64＝16384次重量提舉。每天改變標準重量值。單手操作與雙手操作實驗每兩天交換一次。另外每天實驗中每進行兩個分組實驗後，額外重量會在0.04P和0.08P之間更替一次，具體地說，就是當P為2000克時D值在80和160克之間更替，而P值為3000克時，D值在120和240克之間更替。同時在單手操作中，就如我常操作的那樣，每隔64次重物提舉之後，即完成一個分組實驗後，我都會在左右手間交換一下再繼續實驗。 為了和之前的實驗系列有所區別，這部分實驗被稱為單雙手操作系列。我先通過表Ⅷ將預實驗中四種主要條件下的r值總和列出。表Ⅸ則是將每組64次實驗的結果，按照四種主要條件分類進行hD值的歸集。雖然由於篇幅限制，我在這裡就不給出具體的計算原理，但具體過程是與之前表Ⅵ和表Ⅶ中的是基本一致的。 Ⅷ.單雙手操作系列中的正確判斷次數r 註：當P＝2000時r的總和為5875；當P＝3000時r的總和為6002。 Ⅸ.單雙手實驗系列中的hD值　n=64 註：當P＝2000時hD的總和為31186；當P＝3000時hD的總和為32938。 如果嚴格按照之前的實驗環境和計算方法來進行上述這部分實驗，那麼當P值為2000和3000時，表Ⅸ中的數據應該和表Ⅵ和表Ⅶ中的趨勢是完全一致的。然而，我們發現本實驗中雙手的數據比先前實驗中的要明顯來得小。事實的確如此，而且在單手的數據中，當0.08P的情況下與先前實驗暫且差異不大，但是當0.04P的情況下，本次實驗數據就明顯小很多。同時我們應該記得，單手類型實驗在D值為0.04P與0.08P兩種條件下是沒有可比性的，因為根據說明，後者顯然不是前者的兩倍，因為兩類數據是根據不同時期進行的實驗而得出的。這個結論支持的內容，即使所有的外部實驗環境一致，也不能說不同時間觀測的結論具有可比性。不過同時，這對於我們所關心的每個系列內數據的可比性並沒有影響。 在這次這個實驗系列中，我們發現當同一天中D值變化時，根據r值計算得出的hD值與給定的D值仍然成比例，這也驗證了我們所使用計算方法的有效性。 在最終的結果中我們發現，當P值從2000變為3000時，hD值僅僅從31186變為32938。形成偏離韋伯定律理論值的準確原因我們之前已經解釋過了，是因為額外的手臂重量沒有參與計算。相比於其他表中的數據，9464顯然大了很多，這可視為是一個小機率事件。因此我們看到的差距比應該達到的水平要小一些。否則，當前實驗對於之前的實驗結果應該是一個完美的驗證。 手臂的力矩對重量提舉產生了多大程度的影響，很難事先進行量化，一方面是因為活動的手臂力矩很難測量，另一方面是因為肌肉感覺參與到整個實驗過程中的程度也不夠清楚，所以在假設我們的定律正確的前提下，有人可能會認為根據我們計算出的hD值就可以推算出增加到P上的具體數值。然而細想一下，僅僅以目前的這些因素來達成這一目的顯然是不夠的。 根據獨立誤差估計求和的統計理論，產生了以下的公式。假設肌肉感覺自身的作用可以表達為t′=h′D，給定重量D本身引起的壓力作用表達為t″=h″D，則有以下表達式 我們可以用這個關係為基礎來實現我們的意圖。韋伯定律認為t′與P+A成反比，其中A可以通過之前的陳述來進行理解，而t″與P成反比。這樣之前的公式可以改寫成 其中c′與c″是常數。三個未知量c′、c″和A都需要從不同P值中獲得的hD來確定。然而，即使我們能克服所有計算的困難，但我們依然要承認，較小的P值情況下感受性變化的不規則性仍然是精確計算的障礙。 當P值從300克變化為500克時，t值沒有增加反而略有減小，這個異常的變化還不能夠通過之前的理論解釋。我幾乎不能相信這是由於觀察次數不夠導致的小機率事件（雖然這個可能存在，因為兩者間的差異不大，而且需要很多數據去確認這種差異的顯著性）。但拋開兩套均包含了很多個試次的實驗系列不談，相對來說，t值作為P值的函數，其增量的最大值應該出現在P值最小的時候，因為其中手臂的力矩已經達到最大值，所以P的力矩也增加到最大。另外，除非在重量最小的實驗過程中可能存在著特別的干擾條件，更何況它在重量較大時就會被掩蔽，那麼按照我的觀點，這種效應應該在測量過程中能被感受到。 雖然我對於這種異常的情況給不出任何確定的解釋，而且我也完全認同需要通過新的實驗來驗證這一發現，但在接下來的討論中我將提供類似的案例來說明這種現象確實存在於自然界中。 有人假設可能壓力的提高會造成感受性下降，這都是對神經末梢的機械壓縮或者是與壓力感覺關聯的結構造成的（與感受能力的降低無關，根據韋伯定律感受性是與刺激的增加成比例的）。上述影響在重量較大的情況下消失了，相比於韋伯定律的影響，它應該具有一種更普遍更基本的原因解釋，但可能只在重量輕的情況下才發揮作用。這可以解釋為什麼在P值最小的情況下t值不升反降。我不反對把這個影響與實驗環境結合起來探討，但一直困擾著我的是，雖然強烈的感受總是與很強的壓力聯繫在一起，但相比於更強的接觸，輕輕的撓癢這樣的動作給人會造成強烈的感受，而且可能帶來劇烈的反射行為。然而，我很願意承認這個問題只是初步的想法，它需要更進一步的證據來說明，並且可能有助於後續工作的開展。 在有關重量判斷和光的實驗中，我們發現了韋伯定律普遍存在著下限這一事實，因為可以類推，很有可能還存在著一個上限，其中存在同樣的數值關係。然而至今我的實驗都沒有繼續探尋韋伯定律的上限，因為重量過大會對被試造成傷害。顯然，我們採用正誤法雖然進行了大量的研究，但遠不足以保證在永遠無害的前提下獲取有效的數據。或許我們應該更傾向於使用最小可覺差法來獲得更多的實驗數據，而且不用擔心對被試的傷害，因為這個方法所能達到的最高準確性程度與實驗試次個數的關係並不是那麼緊密。 回顧之前所敘述過的內容會發現，韋伯定律在有關重量的實驗範圍內，對有效性的觀察和對其有效界限內容的探究仍還有很長的路要走。我的實驗僅僅算是繼韋伯提出其理論後邁出的第二步，目的是為了對原有的方法進行調整，後人研究時應當使用這些調整後的新方法。 我們只能說就目前看來，觀測的結果與定律總體上非常一致，所以在既定範圍內是沒有理由懷疑其近似或準確的有效性程度的。然而，在下限時產生的異常，在上限時可能存在的疑問，對手臂重量影響的準確測定，對於觸覺和肌肉感覺的明確區分，這些因素仍然需要未來實驗的驗證。總的來說，韋伯的實驗是第一個對於這個定律進行的驗證，但他的實驗並不適合用來進行有關普適性的敘述。我的實驗能夠通過準確說明實驗所在的環境，從而識別出數據中的偏差，但並不足以消除這些偏差。 毫無疑問的是，韋伯的方法中實現了壓力覺的完全獨立，其中重量壓在手指的最後一節上，而整個手掌則貼在桌子上。韋伯在其論文中描述過他採用其他實驗程序來進行關於觸覺和一般敏感性的實驗，在實驗中，重量放在一塊布上，觀察者將布的四個角擰成一股，用一隻手抓住，我認為這種處理能否獨立於肌肉覺有待商榷。在這種方法中，如果重量超過一定的範圍，布的四個角必然會從手指中滑落，除非觀察採用更大的力量以對抗滑落的趨勢，這樣就會產生更大的壓力。按理說，這種壓力應該始終保持穩定，否則只會讓問題進一步複雜化。 實際上，我想像不出能夠精確地將肌肉覺完全獨立的實驗方法。或許相比於採用靜止重量的形式，讓球或小錘從一定高度落在皮膚上的方式，更適於有效地分離壓力覺。將這種方式獲得的結果與重量提舉實驗進行比較，將會獲得相當有趣的結論。 不談韋伯定律正確與否，人們可能按照我們剛剛描述過的方式，來直接解釋實驗中獲得的結果，具體總結如下： 舉起一個給定的重物，同時與另一個增加了附加重量的情況進行對比，那麼如果給定重量增加，則也必須相應地增加附加重量，才能產生與先前相同的可覺差感受。 如果允許按比例地往標準重量上增加附加重量，這樣保證其相對而非絕對的大小保持不變，那麼由於標準重量的增長，相對重量增量也會略微變得更為顯著。然而這個趨勢是朝相等的方向發展的，在1500克和3000克兩個標準重量水平下，為了感受到相同程度的相對重量變化，兩者間所需要的附加重量變化比例差異卻變得非常小，大概達到11:10。這意味著為了達到相同的可覺性，1500克和3000克的標準重量的相對增量必須達到接近11:10的比例，而不是完全相等；也就是說在正誤法實驗中，兩者所導致的正確判斷對錯誤判斷的比率不是完全相等的。 隨著標準重量大小的增長，產生相同感受性的可覺重量也必須正向地增長，但在低水平標準重量條件下卻出現了例外。標準重量從300克增加為500克時，最小可覺差卻沒有增長，反而略微變小。另一方面，從500克水平往上，最小可覺差則一直在上升。 造成這個低水平標準重量條件下意外情況的原因並不清楚，並且在之前的文章中研究者們都只是進行了猜測。為什麼標準重量增加後卻沒有發現相對等價的附加重量增加值，原因也許出在提舉重量的手臂上，因為在提舉重量的過程中還需要提起手臂，這樣手臂重量附加在標準重量上，因此在計算等價的相對重量增加值時必須考慮在內，在計算標準重量時必須加上額外的手臂重量。 如果我們將多種附加重量加在同一個標準重量上，就可以更容易地發現當附加重量增加時結果的變化。因為這樣能更好地感覺，所以在使用正誤法進行重量比較實驗時，在相同總實驗次數前提下，正確與錯誤判斷次數的比值有了提高。但是正確判斷的次數卻沒有按重量增加的比率上升，而是按一個更小的比率增加。 基於給出的規則，根據基本表的數值，找到正確判斷的次數隨著附加重量變化的規律，已經通過實驗結果獲得了證實。 以上結果，是在標準重量為300、500、1000、1500、2000和3000克，同時附加重量設為標準重量的0.04和0.08倍的實驗中獲得的。假設重量提舉過程中的時間和空間順序導致的常誤被消除的前提下，無論是單手還是雙手提舉重量，獲得的結果都是一致的。 溫度 當談到韋伯定律在溫度感受上的適用範圍時，還有很多問題有待解決。韋伯[45]傾向於認為：「我們實際感受到的是皮膚溫度的上升或下降，而不是實際溫度的上升或下降的程度。比方說，人們通常不會注意到自己的前額或者手哪個更暖，直到他把手放在前額上，當人們這樣做的時可以經常感受到較大的溫度差異，有時他可能發現自己的手更溫暖，而其他時候可能是前額更溫暖。」韋伯提到的很多其他體驗也基本上證實了這種觀點。然而，如果感受到的溫度與一般或平均溫度之間的差異足夠大，則我們就很有可能可以感受到持續的溫暖或是寒冷。 然而如果有人想利用韋伯定律研究對於溫度感受的差異性，那麼刺激與之比較的參照點不是絕對的零度，而應該是我們感覺起來不冷不熱的溫度水平，所有相應的溫度感受研究都將圍繞著這個水平點展開，這是毫無疑問的。我們了解感受的差異可增可減，而韋伯定律需要解釋的問題就是，溫度發生等比例的相對增加時，即溫度差而非溫度的絕對值按照相等比例變化時，是否會帶來相等的可覺性，通俗來說，即是否會帶來溫度感受的等比例增加。 根據一部分極不嚴謹的實驗，我總結了關於這個問題的研究準則，這些準則似乎只能在中等水平的溫度下起作用，而不能適用於很熱或很冷的溫度條件。 我採用了最小可覺差法，用六天的時間進行相關實驗（1855年12月）。實驗設計借用了韋伯的方法，將同一隻手的兩根手指先後浸泡在兩個盛有在不同溫度水的容器中，浸泡的深度相同。實驗使用的是萊比錫物理系內的一對格萊納溫度計（Greiner，一著名溫度計品牌）來對水的溫度進行精確和準確的測量，溫度記錄的精度達到0.5個列氏溫度（R）等級。通過該溫度計，可以將0.5度10等分或是將1度20等分進行簡單估計。我非常感激將這兩個溫度計借給我進行實驗的研究員漢克爾，他告訴我其中一個溫度計測得的度數比另一個溫度計高0.05度，我自己也證實了這個系統誤差，並且在每次觀察之後都對這一常誤進行了校正。系列實驗條件中其他的情況，我將在給出結果時進行必要的說明。[46] 溫度大約處於10°到20°R範圍內時，被試對溫度差異的感受非常敏感，最小可覺差很難被精確測定。當感受性達到最大值時，任何可以忽略不計或接近忽略不計的差異都能被感覺到，因而感受性測定受到這種限制的影響，無法直接準確地測得。我的實驗溫度範圍是從20°至正常體溫這段區間，超過這段區間我的實驗就不管用了，當在實驗中採用的溫度超過了冰點和體溫間的中點值（＝14.77°R[47]）時，我發現實驗結果特別契合韋伯定律，因為在這個平均值之上時，溫度對應的最小可覺差正好能夠和溫度的增加成比例。在後面的實驗中，需要記錄的數據有溫度差D以及對應的即時溫度t，這些數據可供任何有關最小可覺差的計算所使用。差異D是根據觀察時所使用的兩個溫度間差異的平均值進行定義的。D值的計算基於這樣的假設，即最小可覺差是與溫度減去14.77°得到的數值成比例的。下表的第Ⅰ部分的數值並不是特別有說服力，因為觀察到的差異值太小了，並且可能都僅僅是為了說明在表格這部分的溫度區間內，最小可覺差不明顯。另一方面，我們看到表第Ⅱ部分中的溫度是從19.13°開始的，因此我們可以參考這部分中的每一對觀察值與計算值進行思考。 15.03°R至31.35°R的溫度敏感性 表中的估算值，是根據每一個溫度減去14.77°（t-14.77°）得到的值，乘以0.03623而得到的。這個常數值只是根據t＝19.13°至31.35°這段範圍的觀測而得到的。然而，在表格第Ⅰ部分即高於14.77°且低於19.13°的溫度區間內，觀測值D所對應的估算值，卻也同樣是通過這個常數值（如前文所提到的，這個數值非常小）來計算而得的。實驗總共進行了六天，上表的數據僅僅是通過其中三天的觀察得到的，因為其餘三天的實驗關注的只是溫度低於平均溫度值時的情況，會在後面的內容中單獨介紹。 表格第Ⅰ部分中帶星標的數據表示這個數據不僅僅是最小可覺察值，而是為了表示覺察的程度比最小可覺程度要高，即為了記錄觀察中可覺察（一顆星*）與可清楚覺察（兩顆星**）兩種情況。其中的一個區別是在我們關注的這個溫度水平上（例如17°），可清楚覺察的精細度已經達到不足以從溫度計上讀出的程度了（其中兩個溫度計間0.05°的差距已經進行了必要的校正）。這樣一來，也許有人會假設，感受性最強時的溫度平均值範圍應該在16°到17°之間，而不是前面所說的14.77°，根據上述數據結果顯示，的確有可能存在這種情況。然而根據存在平均溫度附近這種小到幾乎為零的差異值D進行推論，誰也無法保證獲得的結果是正確的，因為除了感受性（衡量是否可覺察的指標）的變異之外，錯誤的數據讀取，以及水溫與溫度計之間差異過小足以導致或隱藏了這其中的誤差，即使我們已經採取所有手段來盡力減少這些誤差來源也無濟於事。從全局的角度來看，在一開始以14.77°作為計算的參照點對於實驗是有好處的。 此外，在t＝20°以下的D值變化軌跡都非常像是誤差導致的結果，但我們不能這樣輕易地下結論，因為整個實驗過程總的來說，是在我不了解兩個容器中哪個水溫更高的情況下進行的。我重複交換著浸在容器中的手指，直到我對結果非常確定時才進行判斷，這樣我的正確率很高，在大量的實驗試次中，僅僅在接近平均溫度時犯了一次錯誤，在這個區域內最小可覺差幾乎接近於零。在這個案例後續的一項驗證研究中發現，我判斷出的最小可覺差異，它的正負方向卻正好與我假設的完全相反，實際上在實驗過程中我經常發現不了兩個容器間的溫度差異，而後通過溫度計我發現兩個容器間的確不存在溫差，或者是它們之間的溫差低於溫度計可量度的最小範圍。這個結果同時可以為溫度計之間的相互檢驗提供數據，並且也能作為感覺的一般且可靠的證據。 檢查表中的數據發現，平均溫度參照點以下與以上的最小可覺差似乎沒有呈現出對稱趨勢。後者的數據更符合韋伯定律，這是考慮到差異的精確程度而做出的判斷。當溫度處於平均溫度與10°間時，最小可覺差仍然太小，以至於無法揭示出它們之間的任何關係，但是從10°開始繼續下降時，最小可覺差快速大量地增長，甚至比平均溫度之上的發展趨勢，或者是根據韋伯定律推算的趨勢都要來得快。通過經驗計算我們可以相當精確地表示出D與T-t三次方之間的比例關係，其中T＝14.77°，t是觀測到最小可覺差時的溫度，那麼為了根據溫度讀數獲得最小可覺差，需要將（T-t）3乘以常數0.002734。這個結論顯然是在很冷時感受性大幅度下降的情況下得出的。當溫度超過平均點太多，接近灼熱感產生的點時，我們也可能發現類似的偏差。不過仍然可以看到，只有在溫度高於平均點很多的情況下，這種偏差才會很明顯，而低於平均點時則是立刻出現了偏差。 在+10.5°R到+4.5°R範圍內，可以通過下面的公式計算供觀測值進行比較的估算值，即 D=（14.77-t）3×0.002734 我用了數天來獲取溫度低於這個範圍時的常數值，但由於數據的變化極不規律，因此找不到恰當的值。 4.6°R至10.5°R的溫度感受性 雖然在觀測值與估算值之間的差值有正有負，但實驗結果顯示觀測值與估算值之間存在著一定的對應關係，考慮到對這些具體的實驗進行重複中存在的種種困難（尤其是這些實驗事實與數據都是在不同的日期採集的），能夠得到這樣的結果已經讓我非常滿意了。畢竟我們無法確定每天的感受性水平都是相同的，也無法保證每天能夠保持相同的主觀最小可覺標準。假如我刪除一些不合適的數據，顯然還可以將觀測值與估算值之間的相符程度再提高一些，但在計算開始之前我已經給出了所有有關最小可覺差的情況。我必須承認我所給出的公式，僅僅只能被視為是一個在特定範圍內適用的經驗公式。為了數據的完整性，後面會附上10.5°到14.20°之間的D值，這部分數據的給出不為別的目的，而只是讓讀者了解到這些數據可以被觀察到，就是數值太小了。儘管如此，如果我們使用的是前面這個公式，那麼與根據計算獲得的預測值相比，這些觀測而得的數據仍多多少少要大些，這在觀測數據的歸集和計算中將會表現出來。 雖然我認真執行了這些研究，但仍有必要進行實驗的重複，尤其是因為我們在低於平均點時採用的升序，而在高於平均點時使用的是降序進行的實驗，這樣會降低實驗結果的可比性。為了確認韋伯定律在平均點以上範圍內的有效性，我們需要比現有實驗中更多的觀測次數，所以本實驗的結果也只能作為初始結論存在，可以與後來的實驗進行對比。雖然未經證實，我還是想明確表示，韋伯定律在規定範圍仍是相當有效的。我試圖完成有關這方面的實驗，或者重新再做一次。但由於沒有時間，只好中斷了，因為我還要繼續下面的內容。 10.88°R至14.2°R之間的溫度敏感性 *可清楚覺察而非最小可覺水平。 下面我補充說明一下這個實驗的程序。 實驗中用來盛放不同溫度水的容器是兩個大號黏土坩堝，因為這樣可以儘可能地減緩水溫的變化。坩堝中的水深大概達到食指的第一和第二個指節的中間位置點（從手掌處開始計算），這樣正好可以保證右手的食指和中指觸底。因此接觸到水的手指面積總是固定的。溫度計固定在坩堝中一個合適的位置，保證水銀泡正好沒入水位的中部，並且在每次觀察前都攪動一下。在坩堝中放入冰塊或者提前在烤箱中加熱過的金屬或黏土器具，而後攪拌一下來調節水溫。實驗程序中先將兩根手指放入坩堝中，完全浸泡直到手指接觸到坩堝底，之後等待對溫度的感覺穩定下來。之後兩根手指分別不斷交替浸泡到不同的坩堝中，直到觀察者判斷出其中的區別。如果溫度感受性超過我稱之為最小可覺的水平，溫度需要向相反的方向變化，這樣我就不能憑上一次的經驗來判斷哪一個容器的水溫超過了對方，所以只能不斷重複實驗直到找到最小可覺差，上述的交換往往要在實驗中重複多次（我不得不承認這個過程非常枯燥）。在被試做出判斷後立刻記錄溫度。 雖然我需要記錄的僅僅是我稱之為最小可覺察水平的感受，但在我負責的記錄過程中我會記下所有的感覺數值，並且儘可能地保證記錄的一致性。這是為了能夠按照下列順序標記數值： 完全無法覺察、幾乎沒有覺察、剛剛能夠覺察到（最小可覺）、覺察到、明顯覺察到、十分確定、強烈、十分強烈。 通常來講我們很難對上述幾個叫法進行明顯的區分。所謂「幾乎沒有覺察」指的是被試不能夠非常確定自己的答案是否正確，雖然在後面的實驗中可以對這種模糊的感覺進行確認，但是仍可以說被試在這種水平下的判斷是完全隨機的。因此，諸如「幾乎沒有覺察」、「覺察到」和「明顯覺察到」這三個水平其實是非常相近的，即使是不同日期里進行的實驗也是如此。所以，我將上述三個水平對應數值的平均值記錄為最小可覺差，並且這樣的程序還要重複多次。 當然，除了最小可覺差法，我們還需要採用其他方法研究的結果，以對這方面進行補充。福爾克曼指導醫學院的學生林德曼（Lindemann）使用平均差誤法進行了實驗，並以此作為他博士論文的主題。然而我們從這個實驗中並不能獲取太多信息，因為雖然實驗溫度範圍擴展到7℃到45.55℃，以及14.6℃到45.55℃兩種，並且每個範圍條件下都含有兩個溫度升序和兩個降序系列，但每個溫度區間內的實驗過少，所以這個使用平均差誤法進行的實驗被我們排除了。這個實驗程序中右手齊腕浸泡到水中，在溫度升序實驗中總是先浸泡在較熱的水中，而在溫度降序實驗中先浸泡在較冷的水裡。[48]然後再加入更熱或更冷的水來中和溫度，以作為下一次感覺判斷的對象。 在兩個升序的實驗系列中（即當林德曼通過先後加入熱水的方式來調節兩個容器中的溫度），總是存在正向的誤差，而兩個降序的實驗系列中總是出現負向的誤差。有人可能會問：出現這種情況，是因為在升序和降序系列中溫度變化的範圍包含了兩個相反的方向，還是因為在單個實驗試次中，熱水和冷水的變化方向都是朝著相反方向進行的？我們可以從每個實驗系列中的第一個試次所處的環境條件來驗證後一種說法的可能性。關於這方面內容以及其他問題的準確細節，都是缺失的。 此外，我們在某些關鍵因素中發現了常誤。隨著溫度遞增或遞減，每個實驗系列中的單個誤差發展仍具有規律性，因此我們可以認為幾乎所有這些誤差都是恆定的，因為變化的誤差必然在具體表現上存在著不規律性。而這個實驗中這種規律性是非常不顯著的。 第一個升序的實驗序列，溫度範圍在26.4℃到38.8℃（含）[49]之間，一共有23個試次，這其中除了五次例外，其他均產生了+0.05℃的固定誤差。在相對較高或較低的溫度下，誤差會增加，但增加的幅度很小且略不規則，結果在39.4℃到45.5℃這一區間內產生的誤差值只有0.5℃、0.6℃、0.7℃和0.8℃四種，而且多為下降的趨勢（例如，在升序實驗序列中，一開始在14.6℃條件下誤差為+0.5℃，之後在16℃和18.2℃時變為0.4℃，依此類推）。在第二個升序實驗系列中，溫度範圍為31.35℃至42.9℃，其中有14個實驗試次，它們均無一例外地出現了+0.05℃的誤差。溫度為44.8℃與45.1℃時，誤差增大為0.1℃，而溫度為7.9℃與8.4℃時，誤差減少為+0.25℃[50]。第一個降序實驗系列中，從41.5℃至19.5℃的區間內，有22個實驗試次，得到的誤差是-0.05℃，但有3個例外；在44.7°時誤差增長為-0.1℃，7°時增長為0.29℃。第二個降序實驗系列中，從41.65°至19.35°的區間內，有21個實驗試次，得到的誤差是-0.05℃，沒有例外；在44.9℃時誤差增長為-0.1℃，7.55°時增長為-0.25℃。 上述實驗與我的實驗相同的地方主要表現在，在一開始的溫度區間內誤差幾乎不存在，相比於溫度越來越溫暖的趨勢，在溫度越來越寒冷的情況下，誤差增加的速度更快且幅度更大。該實驗中的誤差，比起我的實驗和先前韋伯實驗中的最小可覺差要小得多。這裡並不存在矛盾，因為根據我提到的內容，平均誤差應該總是小於最小可覺差的。這個結果也可能部分歸結於實驗程序的不同，因為我只使用了兩個手指上的兩個骨節，而林德曼則使用了整個右手。另外一個實質性的區別是，林德曼發現在體溫附近的誤差值最小，而在我的研究中則是發現在平均參照點附近的最小可覺差最小。同時，由於林德曼實驗中的誤差從整體上看近乎穩定，所以沒有辦法證實兩種實驗結果間是否真的存在矛盾。不管怎麼說，這部分內容需要更多的實驗來進行驗證。不過我們至少可以總結說，仍可被識別的差異以及與平均參照點之間的誤差究竟能小到何種程度，想要通過精確的測量而獲得是很有難度的。 類似於我在重量判斷實驗中所使用的正誤法，或許是最適合這個實驗主題的方法。不過實際上，人類很難像感受重量和重量差別那樣感受到恆定的溫度和溫度差別。然而，似乎通過儘可能地減少導致溫度變化的因素，例如，必要時在每10次實驗觀察之後重新記錄校準溫度值，有可能幫助我們獲得有用的結果，尤其是採用基本表進行可能的數據簡化之後。 廣延感受性大小（視覺或觸覺大小的測量） 為了對韋伯定律的一般性描述進行補充，圖賓根的醫科學生哈格梅耶爾[51]，使用正誤法對韋伯定律在視覺上的適用性程度進行了近似的證明。然而他的實驗有太多值得商榷的部分，因為他的實驗試次數不足，並且由不同實驗試次組獲得的平均數不具有可比性。因此，這種結論的有效性受到限制。實際上，實驗的內容包括了對給定線段長度與其之前所呈現線段長度的比較，這些給定長度線段部分是水平呈現，部分是垂直呈現。這些線段長度均為按比例增大或減小。實驗記錄者的主要目的，是考察標準線段長度與被比較長度之間的不同呈現時間差對被試結果的影響，以及被試判斷了幾次變長，幾次變短，幾次正確，幾次錯誤，還有幾次沒有判斷。哈格梅耶爾自己也承認，實驗中正確和錯誤判斷的比率不是由線段間的絕對差異決定的，而是由相對的比例大小決定的。總之，哈格梅耶爾的研究是不正規的，因此在這裡我不會提到其中任何特殊的結論。 我的實驗和福爾克曼的實驗中均使用了平均差誤法，其中被試需要觀察兩個小點或是兩條平行線之間的間距，間距範圍在10至240毫米之間，與眼睛的距離在1英尺至800毫米範圍之間，結果發現誤差或平均誤差之和與間距幾乎是成比例的關係，這與期望相符，為定律提供了確定的證據。另外，在福爾克曼的——以及他指導了阿培爾（Appel，是一名視力極佳的學生）進行的——實驗中採用了0.2到3.6毫米的微距，但這個正常的視覺距離範圍內卻沒能發現任何成比例的結果。數據中誤差或平均誤差的總和（排除了常誤之後）可以分為兩部分。其中一部分我稱之為福爾克曼常量[52]；另一部分我稱之為韋伯變量，根據韋伯定律，它是與標準間距成比例的。可能前者在對較大的間距進行實驗時會有很好的效果，但它與另一個誤差部分組成，即與間距成比例的誤差部分相比實在太小，以至於基本可以忽略不計，另外我們一直不能獲知如何對前者進行測定，而在非常小的標準間距情況下，前者就在可變誤差總和中占據較大的部分。就如福爾克曼所認為的，在諸如0.2和0.3毫米這樣極小的間距條件下，這種誤差同樣會由於興奮的傳播而被異常放大。 可以看出在這裡，我們討論的問題同樣也是韋伯定律的適用下限問題。另外我們還會發現可能還存在著一個上限，對應無窮大的間距。 下面將列出主要的實驗結果。它們均屬於之前提到過在其他感覺實驗中曾出現的純粹可變誤差Δ的情況，並且總是得到純粹的誤差之和∑Δ；同樣我們還經常（當我對結果進行計算時）根據每個間距進行分組，每個小組中均包含m次觀察，分別計算每個小組的純粹誤差平方和∑Δ2。因此每個用於計算總和的誤差數量應為μm。μ和m的值分別是從單個實驗系列中獲得。在對每個水平行進行求和時，μ的值應該翻倍，因為這些和總是由兩個特定的和值相加得出，分別如L和R或者O和U。當一組對比長度為水平放置時，在觀察次數相等的前提下，分別統計標準間距位於左邊或右邊（L或是R）情況下的結果，當為垂直即一上一下地放置時，則也分別統計當標準長度位於上方或者是下方（O或是U）情況下的結果。 只有測微組V使用的是垂直間距，即比較水平線之間的距離；其他所有組都使用的是水平間距，即垂直線之間的距離（當使用的是線的情況下）。 通過簡單求和∑Δ的方式就可以直接得出間距的比值，而沒有必要先進行平均誤差ε=∑Δ/μm的計算。如果需要，誤差平方和可以用來計算二次平均誤差，即 通過這個值可以確定機率界限內數據的穩定性和常規關係，即 但在這裡我需要省略關於這種關係的檢驗方法。我們同樣還可以用來證明誤差平方和∑Δ2除以誤差和的平方，再乘以觀測次數的兩倍（這裡即2μm），得到的結果約等於魯道夫常數π，這可以非常容易地從先前的函數關係中推導出來，而且已經在其他研究中獲得了更加徹底的證明。但不巧的是在實驗系列Ⅰ和Ⅱ中，最小距離並不能給出這樣一個證據，這是實驗環境所導致的，在這裡尚無需注意這些問題。不管怎麼樣，我們沒有必要特別關注這些關係。 這裡提到的所有實驗系列都或多或少存在著常誤。具體情況我暫時就不說明了，在《測量方法》書中將會詳細闡述。 實驗系列Ⅰ：費希納（1856年12月9日—1857年1月17日） 實驗使用了五個水平距離。這些距離是通過兩支圓規的腳間距測量出來的，兩支圓規相鄰地放置在我前方的桌子上。圓規整個被蓋住，只露出兩個規腳。被試觀測距離約為1巴黎英尺。腳間距用帶有橫線刻度的尺子測量，刻度線的間距代表0.05個巴黎行（刻度線本身的寬度約為0.06個巴黎行）。將圓規覆蓋起來是為排除圓規張開的角度對間距估計可能造成的影響。不過實驗中仍然存在著小問題，具體表現為圓規的兩腳由於從覆蓋物中突出來，因此當間距較大時，它們的傾斜度就相比於間距較小時更大。在後續實驗中使用平行線來消除了這個問題。不過在任何實驗條件下，這個問題從本質上說都僅僅只能影響常誤，而不會對純粹的可變誤差產生影響，這在接下來的表中可以看出，可變誤差與長度之間仍正好存在比例關係。 為了使數據的解釋過程中不出現任何的誤會，我將單獨解釋表中的第一個數據；這樣大家就可以很容易理解其他數據。 當間距D＝10時，即前面提到的10個0.05巴黎行，標準間距位於左側時的純粹誤差之和∑Δ＝20.27；也就是說，將所有正的和負的絕對誤差的絕對值加在一起得到的是20.27個0.05巴黎行。表頭的m＝60，μ＝2的意思是，和其他行一樣，L和R均是由2×60＝120個獨立誤差構成。不過每個這樣的誤差和並不是正好從120次觀察中獲得的，而是根據兩組60次觀察的結果分別求和而得。之後分別確定距離的平均誤差和絕對誤差。 距離閾限值，費希納實驗系列Ⅰ　m＝60，μ＝2　單位：0.05巴黎行 實驗系列Ⅱ：福爾克曼（1857年3月22日—4月1日） 用三條每條長220毫米的平行白線來確定八種水平間距，用重物緊緊固定，放置在距離眼前大概800毫米的黑色背景板前。白線可以根據一把固定在恰當角度的水平尺的標記來進行移動，並且讀數直接精確到毫米。 我報告了兩個版本的總和∑Δ值，一個是m＝48，μ＝1，一個是m＝16，μ＝3，這樣我們就可以使用已有的程序來檢驗其中的差異。 距離閾限值，福爾克曼實驗系列Ⅱ　（1）m＝48，μ＝1　單位：1毫米 有人可能會注意到，兩種計算方法之間的差異在大部分D值水平上都非常小，但在兩個關鍵水平即D＝40R和D＝160R時卻有較大差異。當這些實驗系列被仔細複查時，就會發現這個事實是與常誤的巨大變異緊緊聯繫在一起的。[53]既然數據分組後更利於控制，那麼我們就會傾向於選擇後一種計算方法而不是第一種。 實驗系列Ⅲ：福爾克曼（1857年12月6日和17日） 採用同樣的條件對先前的實驗系列進行了重複，最小的兩個距離沒有再參與實驗。 距離閾限值，福爾克曼實驗系列Ⅲ　m＝16，μ＝3　單位：1毫米 非常有趣的是，表中最後一列數據顯示出L和R的結果非常相近。這證明了絕對可變誤差是獨立於白線位置的，無論左右都是一樣的，而這裡沒有提及的常誤則是非常依賴於位置因素的，並且在L和R原始誤差之和間存在著很大的差異。 三個實驗都充分證明了∑Δ與距離成比例。將誤差和除以距離即可明顯地看到這個結果，每個實驗都證明了商數的這種恆常性。通過這個方法（在第二個實驗系列中採用的是m＝16，υ＝3這部分數據）可以得到以下數據∑Δ/D。 距離判斷中∑Δ與D的比例值 如果需要計算每個單元距離對應的平均誤差或者需要距離的平均誤差分數，可以用以上數據的平均值，除以對應的每個實驗條件下觀察到這個數值需要的實驗次數。我們必須將每個表頭的m值和μ值的乘積再乘以2，因為μ值原本是分別對應L和R，但是在這裡需要結合到一起計算。因為相比於較短的距離，較長距離條件下較大的誤差之和能夠給我們提供更精確的值，所以將所有的誤差之和加到一起就能得到更準確的結果[54]，這個和的結果在表的最後一行中有給出。然後將得到的結果除以所有的距離之和，得到每個距離單元上的誤差和平均值，再用這個誤差值除以2μm。 最後得到如下結果： 因此可以得出我的距離估計誤差平均值約為1/60，福爾克曼在前一個實驗（Ⅱ）中的誤差約為1/90，後一個實驗（Ⅲ）中的則為1/100。這個比例在每種距離條件下都是保持一致的。如果需要的話，可以簡單地將平均誤差值乘以0.845347計算出或然誤差，所得到的值可能超過實際值，但也有同樣的可能達不到實際值。或然誤差結果一定會小於平均誤差，因為在正態分布情況下，相比於較大的誤差，較小的誤差更頻繁地出現。詳細內容在我的《測量方法》中有介紹。 讀者可能會發現福爾克曼的估計精度要比我的高。其中的原因要麼可能在於判斷三條平行線間的距離要比相鄰的圓規腳來得容易，要麼是因為他的視覺敏感性要比我好（事實上的確如此），或者可能兩種原因兼有。這需要後續實驗來進行確定。顯然這些針對大量個體和不同的觀察條件下，所開展的有關於極端值和平均敏感性值的廣延感受性實驗，將會是非常有趣的實驗。結果可能依賴於不同的因素，比如福爾克曼實驗中，橫線是否移動，中間的線是否經過調整，觀察過程使用的是單眼還是雙眼，而且兩點或兩條線之間是垂直還是水平關係抑或是存在角度差，覆蓋物是方形的還是圓形的，都會影響實驗的結果。無論條件如何，我們都必須仔細考慮常誤的大小和種類。然而，我們在這裡關注的只是定律本身而已。 福爾克曼的第二個實驗系列中得到了相當小的平均誤差，相比他的第一個實驗更加精確。這個差異可能是由於練習效應導致的，因為第一個實驗和第二個實驗系列之間還進行了很多次的距離判斷（包括所有的微距判斷），雖然第一個實驗系列被分為了兩個分系列但其內部的改善作用不夠明顯，這通過對部分實驗系列進行專門性的檢查就可以得知。 可能有人會發現，福爾克曼本人在視覺範圍內的平均誤差與視覺強度的最小可覺差非常地一致，這是個有趣的現象。然而，這樣的一致性並不總是普遍存在的。 在這裡我使用的是諸如1/60、1/90和1/100這樣的近似值，而沒有使用前面精確計算得到的類似1/62.5這樣的數字，因為後面這類數值是基於不同m得到的，同時m值也總是有限的，所以這些數據的準確性和可比性都不高。根據我的評論可以看出，誤差之和以及因此得到的平均誤差越小，其對應的用以獲取誤差值的m也越小。這種論述的證據可以在實驗系列Ⅱ的數據中獲得，如根據0.011287（1/88.6）和0.010808（1/92.5）這兩個基於單位距離獲得的平均誤差值，就是很好的說明。兩個值來自同樣的實驗過程，但是第一個數據是由分組m＝48的條件得出的，而第二個數據則是由分組m＝16的條件得出的。我們可以發現雖然差異並不是十分顯著，但這種差異確實存在並且值得考慮。 如果我們想使數據常態化，也就是使結果能夠適用於任意的觀測次數，那就需要進行校正。根據我簡要提到過的公式，以及我在《測量方法》一書中進行過的理論推導，可知校正就是通過將每個值乘以（3m+1）/3m來實現的。因此我們將60、48、16和16這些m值分別代入公式進行校正之後得到以下結果： 如果說這種校正可以提供完全補償，那麼實驗系列Ⅱ中的第一和第二個結果應當完全一致。實際大家可以注意到，這兩個值逐漸相互接近，差值的程度也逐漸可以忽略不計。也許有人傾向於認為剩下的這部分差值是因為數據校正並不是基於絕對和確定的測量基礎上，而僅僅是依賴機率論，所以會由於隨機波動而殘留一些細微的差異。然而我通過對類似的情況進行仔細的分析，發現這並不是一個隨機因素造成的結果。因為我在第八章中已經簡要提到過，可以證明這種偏差總是會往一個方向發展。[55]這種情況發生的原因是我們的校正不允許常誤中存在可變性，因此當m值較大時就會對可變誤差造成污染。所以m＝16時的校正值1/89.7相比於m＝48時的1/88.0更可取。 因為在我自己的實驗系列Ⅰ中，常誤基本可以忽略不計，而且它的變異幾乎不能對結果產生較大的影響，所以1/62.1這個校正值可以被認為是足夠精確的。因此我沒有對這個數據的有效性給予特別的關注。 下面我們應該回過頭來看一下微距實驗系列中的結果。這些實驗均使用千分尺來完成，最小距離單位為0.01毫米，該單位還可以再十等分來進行估計。後續表格中使用的單位為0.001毫米，比如距離300指的是0.300毫米的實際距離，誤差和265則等於0.265毫米。其中的小數部分——實際上它們是多餘的——是因為對原始誤差進行校正後而產生的。 設備中的距離[56]是三根0.445毫米粗、11毫米長的細平行銀線之間的距離來定義的。研究者從不同的距離觀察這三根線，距離值總是以整的毫米數據表示，觀察要麼是對著牛奶色玻璃燈罩製成的檯燈進行，要麼是對著明亮的天空進行。 福爾克曼的實驗系列中，最小距離值在括號中列出，因為這些距離並不適用於這一實驗系列，在後續計算中直接刪除。產生這種偏差的原因是因為銀線在光照下會反光，導致在實驗中被試很難看到這些線。福爾克曼發現這種問題條件下進行的估計很難與其他距離條件下的進行比較。阿培爾的視覺非常敏銳，這種反光對他來說不成問題，所以在他的實驗數據中沒有進行這種刪除的處理。 除了這裡介紹的微距實驗之外，還有兩個另外的微距實驗系列，這裡就不再進行介紹，因為實驗設計中的距離過小，兩個點或兩根線之間太過接近，同時得到的數據也非常雜亂，沒有規律可循。 實驗系列Ⅳ：福爾克曼（1857年3月22日—4月1日） 實驗內容為判斷333毫米之外的七種水平距離。 距離閾限值，福爾克曼實驗系列Ⅳ　m＝30，μ＝4 實驗系列Ⅴ：福爾克曼（1857年4月至6月的某個時間段） 實驗內容為判斷333毫米之外的六種垂直距離。 在垂直距離的實驗中，觀察者為了克服判斷時視力不清造成的困難而佩戴了眼鏡，不過在所有的水平距離實驗中觀察者均沒有佩戴眼鏡。 距離閾限值，福爾克曼實驗系列Ⅴ　m＝96，μ＝1 實驗系列Ⅵ：阿培爾（1857年5月和6月） 實驗內容為判斷370毫米之外的七種水平距離。 距離閾限值，阿培爾實驗系列Ⅵ　m＝48，μ＝2 實驗系列Ⅶ：阿培爾（1857年10月） 實驗內容為判斷300毫米之外的六種水平距離。 ∑Δ的計算進行了兩次，一次使用的是μ＝2，一次使用的是μ＝6。 距離閾限值，阿培爾實驗系列Ⅶ　m＝33，μ＝2 將這些表中的數據結合起來（除去括號中省略的數據，原因在前面已經敘述過）就會發現，一致性不僅出現在同一個觀察者的不同系列實驗結果中，在不同觀察者的結果中也同樣存在。誤差和隨著距離變大而增大，但是它們與距離之間的比值卻比預期來得小。即使是我們省略的兩個額外實驗系列中的數據，也同樣完全支持這個結論。之前曾提到過，我們可以將誤差視為由兩個主要部分構成，一部分是在不同距離之間保持不變的，稱之為福爾克曼常量。我用字母V來表示它。另一部分誤差與距離大小成比例，叫做韋伯變量，其在單位距離下的值我用W來表示。對於每個距離而言，W必須乘以相應的D值，才能給出成相同比例的WD值。 根據誤差源的結合法則，每個距離對應的誤差和∑Δ由V部分和WD部分組成，但不是簡單地將兩部分值相加。因此不能寫為 ∑Δ=V+WD 但是兩類誤差的平方和與誤差和∑Δ的平方應該是相等的，這樣我們有 （∑Δ）2=V2+（WD）2 因此可得 因為誤差和的平方（∑Δ）2相比於平方和∑Δ2有更高的優先級，根據誤差論就可以將上述等式中誤差和的平方換做是誤差的平方和。然而從生理學因素上來考慮，或許和的平方的形式更加符合，後面我會繼續提及這個問題，並且我使用這一推論作為後面內容的基礎。 通過理論推導和根據我們的實驗直接可以得出，兩個給定的獨立誤差源，其中一者產生了誤差總和A，另一者為誤差總和B，當它們組合在一起的時候，不可能簡單地認為它們的誤差總和正好就是A+B，而是會產生一個比這個加和值小一些的結果。平均來說，產生相反符號的誤差機率與相同符號的機率基本相同，但只是在後一種情況下，兩者合成產生的誤差才等於它們的總和，而在第一種情況下兩者合成產生的誤差卻等於兩者之間的差值。理論上來講，各個部分誤差平方的總和一般（嚴格來說，是在相似環境中對誤差進行無數次取值的情況下）是等於組合後結果誤差平方之和。同樣地，各部分誤差和的平方總和，一般來說也等於組合後結果誤差之和的平方。這些理論推導出的結果可以很容易地通過兩個相互獨立的實驗系列來進行檢驗，採集它們的實驗誤差作為獨立誤差源；通過代數方法我們將兩個誤差相加，再與兩個實驗合併之後獲得的誤差進行相比，看它們是否相等。我真的非常確信，根據誤差平方和與誤差和的平方都能夠達到對理論結果進行校正的目的。我做過很多實驗證明了這一點，在其他地方會詳細解釋。 只要在觀察的時候，存在一個獨立於距離的誤差源以及另一個與距離存在特定關係的誤差源，那麼接下來的推理就會與這兩個部分有關，並且可以使用先前的等式。所有關於有效性的疑問假設都可以通過觀察實驗本身來解答，因為只要它們是有效的，我們就可以反過來計算諸如V和W這樣的數值，來證明初始觀察數據可以根據這些公式來進行表示。 通過兩種距離條件下的觀察結果就已經足以計算V值和W值。分別使用實驗系列Ⅳ中D＝800和D＝1400兩種取值下的誤差和1541.5與2275.7，並將L和R的條件組合起來，根據以下方程組 V2+8002W2=1541.52 V2+14002W2=2275.72 我們可以輕鬆求得未知的V2和W2的值。之後再通過求平方根得到V和W。 如果存在兩個以上的距離值及其對應的誤差值結果，就可以基於所有的這些組合來獲得相應的V和W。但在計算V和W對應的誤差和之前需要驗證另一個假設。即組合中各種條件下的V和W的值必須高度一致，這樣剩餘的誤差值就可以被認作是實驗中無法補償的隨機變異。通過對大量此類數值進行平均，可以更準確地計算出V和W。 這種方法只有一個缺陷：雖然當觀察結果完全符合假設時，每種結合方式的最終結果之間的差異很小，以至於結果之間可以通用，但由於用以組合的數據選擇具有主觀性，不同的結合方式會得到的最終結果仍是不同的。同時，最小二乘法仍然是可取的，因為它排除了所有的主觀性，並且能夠讓我們達到最接近於真實結果的值。下表給出了按照這個方法計算出來的結果，其中L和R的結果被組合在一起，而且沒有採用相等的m值或觀察距離（這在後續內容中將補充）。[57]用正負號標記或然誤差，μ值是一個包含了L和R的有效組合——換言之，表頭觀測的μ值應該翻倍。 基於原始誤差之和根據等式V2+D2W2=（∑Δ）2計算出的V值和W值 如果想驗證我們有關福爾克曼常量和韋伯變量的假設，我們就需要首先考慮或然誤差值，這個值相比於V和W的值要小很多。其次，我們需要根據不同D值對應表中的V和W值計算（∑Δ）2或∑Δ的值，使用V2+D2W2=（∑Δ）2計算前者以及使用 計算後者。對比計算出的值與觀察值，可以得出讓人滿意的一致性。下面將給出（∑Δ）2的匯總結果，出於簡潔的考慮省去所有的距離值。所有的數據都取自前幾張表中的觀察結果，括號中的數據沒有使用。 根據前幾張表中的V和W值計算出的（∑Δ2）值與實際觀測值的對照表 觀測值與計算值之間的一致程度都比較高，除了實驗系列Ⅶ中的個別數據偏差較大。這樣我們就可以說在很小的距離範圍內，韋伯定律同樣適用於視覺距離判斷，不過這事先必須先對數據進行匯總整理。 我個人對使用大量的其他方法進行數據評估比較感興趣。雖然結果從本質上說差異並不是很大，但是這有助於根據結果來決定如何在不同方法中進行選擇。這裡採用不同方法對實驗系列Ⅳ中的數據進行了處理。 1.區別於之前將L和R相加，這裡分開進行計算，但仍然使用相同的程序。得到的結果如下： 2.有人可能認為將等式表示為 更適合作為最小二乘法計算的基礎，因為（∑Δ）和（∑Δ）2均可直接觀察到。但是專家一眼就可以看出，這個等式失去了原有的線性，並且需要更多的計算進行結果的校正。我將實驗Ⅳ中L和R的數據分別根據這種方法進行的計算，結果如下： 這些值與之前的計算結果只存在細微的差異。因此沒有必要繼續採取這種複雜的方式進行計算。 3.為了從等式V′2+D2W′2=∑Δ2中得到常量V′和W′，我採用了偏差平方和進行計算，而不是之前的誤差和平方。因此對於L和R分別有： 根據統計理論，∑Δ2和（∑Δ）2的關係為： 其中π值等於魯道夫常數。根據這個公式，可以幫助我們得到與前面的V和W近似的值。 我採用第1點中的方法對實驗Ⅵ和Ⅶ中L和R的數據進行了分別計算。實驗Ⅵ的結果如下： 實驗Ⅶ的結果如下： 之前所有表格中的V和W是根據每個實驗系列中的誤差之和計算出來的，因此與各個總和成比例。然而，不同實驗系列是基於不同的距離而獲得不同的誤差值的，所以要根據實驗結果表頭的μm乘積來進行計算，所以不同實驗系列中的數值必須分別除以誤差的個數：120、192、192、132。這樣得出的V和W才是平均值。因為每一系列的實驗基於不同的m值，所以對於有限的m值，考慮將結果同樣乘以（3m+1）/3m是一個妥當的方法。不過這個校正產生的變化值很小。最後我們必須要考慮到由於觀察距離不同，數據估計的結果並不總是相同。不過這一因素對於W沒有影響，因為W總是表現出同樣的比例誤差（雖然刺激間的距離從遠處看來會變小），但這一因素會影響V，因為V在所有距離條件下都保持同樣的絕對大小。為了使不同觀察距離條件下的誤差具有可比性，我們必須將它們統一為相同觀察距離條件下的數值，採取的處理方式就是求倒數。然而首先，我們必須將所有的觀察距離值加上7毫米來進行校正，這個7毫米正好是從角膜到光線交叉點[58]之間的距離，舉例說明，實驗系列Ⅳ中的觀察距離是333毫米，校正之後就變成了340毫米。 如果我們採用這三種縮減或校正方法，將所有的值縮減到從333+7毫米進行有限次數的觀察水平，就會得到與之前結果都不相同的下表。 根據距離眼節點340毫米條件下的誤差值進行校正縮減後的V和W值 這個表中的數據很有趣且值得注意。福爾克曼在實驗Ⅳ中使用水平微距值得出的W值為1/79.1，這與僅僅是稍早前的實驗系列Ⅱ中，使用相對更大的距離得出的1/89.7之間差異並不大。這個值沒有任何特殊的意義，只是在一個系列實驗中V造成的差異性逐漸消失後得到的W值。任何仍然存在的差異可能都是由於實驗方法的不同造成的。 另一方面，使用微距進行的兩個實驗中，採用水平距離進行的實驗Ⅳ（使用的是兩條垂直的平行線）產生的W與採用垂直距離進行的實驗Ⅴ（使用的是兩條水平的平行線）產生的W之間存在著非常明顯的差異，這令人很震驚。雖然兩個實驗間隔不是很長，但是在垂直條件下產生的W值是水平條件下的兩倍。因此在前一種條件下進行的估計要比後一種條件下的準確性要差很多。這個結果與實驗進行期間產生的直接假設一致。雖然沒有給出數據，但我可以告訴大家垂直條件下的常誤也比水平條件時要大很多。阿培爾的兩個系列觀察Ⅵ和Ⅶ中採用的均是水平距離，兩個實驗的W值差異過大，同時實驗Ⅵ中的W值過小，因此數據值得懷疑。實驗過程本身沒有能夠揭開我們懷疑或是解釋差異的證據。在對福爾克曼的結果一無所知的前提下，實驗Ⅶ中的1/85.3卻與福爾克曼的1/79.1非常接近，如果他獲知的話，結果就很可能會完全一致。我們更應該關注常量V。阿培爾的實驗系列Ⅵ中稍有偏差，因此其中的W值也不可信，除此之外，兩個完全不同的觀察者在垂直和水平距離條件下所獲得的三個不同V值非常地一致，這樣就可以下結論說我們所面對的是一個自然且絕對的常量。最後，考慮到觀察實驗的不確定性，以及常量V大小中的常誤與未校正誤差中的W[59]，綜合以上考慮，水平和垂直距離條件下分別得到的V值8.210和7.319之間的差異非常小，這種情況很可能並不是由於隨機因素造成的。阿培爾得到的8.5476與福爾克曼得到的8.210兩個值，一致程度高得驚人。為了證明我們面對的是一個常量，需要擴大我們目前正在採用的距離值範圍來對實驗進行重複，這樣才能發現個體差異，並且在不同實驗環境下對上述結論進行檢驗。 我們可能會想知道這個常量的意義是什麼。福爾克曼正在籌備的新書中對此進行了闡述，我在這裡只是簡要地告訴大家，這個問題從他發現這種常量始就促使他去進行探究並且完成了大量枯燥的實驗。對它的存在人們仍然懷有疑問，即便如此，福爾克曼仍然很希望能夠找到這個數值存在的真正證據。 如果韋伯的觀點是正確的，即物體看起來的大小取決於投射到視網膜上的影像占據了多少個單元，那麼只要它們是占據了兩個視網膜單元，無論末端是落在距離這兩個單元中最近或最遠的點，看起來都是一樣的。在某些情況下短線看起來可能會與長線一樣長。比如我在圖2中給出的案例，其中圓圈表示的是視網膜上的感覺單元。對我們來說可以很清楚地看出哪根線段更長哪根更短，但是對於一個視網膜單元來說在某些情況下卻可能是等長的。在線段或距離較大的時候，這種誤差可以忽略，因為它們覆蓋了很多視網膜單元，但是在微距的情況下卻不一樣。在使用平均差誤法進行的微距實驗中，這個問題導致在判斷等價性時出現了明顯的錯誤。因此，平均誤差的大小與視網膜單元的直徑有關。如果我們了解視網膜單元是如何相互聯繫的，那麼通過福爾克曼常量就可以進行視網膜單元尺寸的估計。 圖2　視網膜上感覺單元成像的原理圖 為了探討平均誤差是否可以使用福爾克曼常量來表示，我進行了仔細的考察，必須解決三個問題：（1）平均誤差的大小和視網膜單元直徑之間的關係有待確定；（2）需要驗證在不同的標準距離下產生的此類誤差是否確實地（或至少大致地）保證了足夠的穩定性，這樣才可以將其表示為像V值這樣的常量；（3）另外這種常量的大小在解剖學上是否與視網膜單元的尺寸存在足夠的對應關係，仍有待驗證。 前兩個問題需要靠機率論來解決。這兩個問題的解決原理很容易描述，但即便對於專業的數學人士來說，實際執行起來也是非常困難的。[60]但是，我們可以根據福爾克曼嘗試過的方法，通過複製眼結構開展實驗。第三個問題解決起來有困難，因為我們尚未準確地了解視網膜終極感覺單元的結構。這裡我不再進行更深入的討論，留待福爾克曼在他自己的書里再來論述，畢竟這個實驗的結果屬於他本人。關於這個常量，前面的討論足以吸引大家的注意了。 總結以上關於福爾克曼常量的討論，我認為這就是一種通過將其觀察到的大小程度縮減到在視網膜上表征水平的計算方法。當然，假如有人想要檢驗該常量與視網膜單元的關係，這種縮減法是必需的。 根據以340毫米為觀察距離條件下的福爾克曼常量表，基於眼節點計算後的結果為8.210（即如果單位是0.001毫米，那麼對應的常量就是0.008210毫米，在微距實驗條件下的計算依此類推）。如果假設光線交叉點到視網膜的距離為15毫米（取整後），那麼視網膜上對應的V與觀測距離對應的V的比值為15:340，換句話說，給定常量V在視網膜上的距離為0.0003621毫米。這個估計值是基於這樣的假設，即一條線段在視網膜上成像的線性範圍，是線段兩端反射的光線穿越交叉點最後允許落在視網膜的點間區域內。這是最基本的計算方式。 然而在這裡有個疑問——感謝韋伯提出了這個問題——光線的交叉點是不是決定性的因素。通常來講，距離的測量需要藉助於眼睛的運動，先將光軸聚焦在一個點上，然後移動到另一個點。相應地，似乎眼睛的中心點[61]是一個更好的點，以作為線段兩端反射的光線與眼的交叉點，以此計算出成像在視網膜上占據的距離範圍。然而這個點的位置在角膜後，距離角膜前表面有5.6巴黎行或14.224毫米。[62]這個距離對應於距離視網膜前7.778毫米的位置，這會使得之前成像大小的計算值減半。在這裡我必須保留這個問題供大家思考。 也許有人會認為福爾克曼常量可能是由於在千分尺上讀數時的估計誤差造成的。自然這種誤差不會依賴於觀察距離的大小，並因此在每種距離條件下都會造成一個穩定的平均誤差。但是我們的V值過大，千分尺的讀數可能直接取到0.01毫米即十個千分之一毫米單位；平均的V值達到0.008毫米或是八個千分之一毫米單位。這樣大的一個平均誤差是不太可能的一件事情。然而顯然，福爾克曼常量需要進行一個小調整。 如果這個常量真的是根據眼球器官結構的特點而得到的，那麼這將預示著廣延光感受中將會出現與集中感受極為一致的情況。換句話說我們在這裡驗證了韋伯定律，但僅僅局限於當前這個前提下，即我們考慮到這個常量由於內部器官的因素，必須加入外部變量導致的效應中去。 在引入平均差誤法之前，我使用最小可覺差法進行了一些關於視覺距離估計的實驗。雖然其中使用的方法已經被後來更精確的測量方法所取代，但由於目前尚未有採取這種方法獲得的其他肯定的結論，所以我在這裡還是要介紹一下這些實驗。 我對自己視覺距離估計的敏銳性進行了幾個預實驗，使用的是兩支圓規，其中一支的兩腳間距設置為1又1/12巴黎英寸，另一個設置為1又1/40巴黎英寸。然後我將兩支圓規混在一起，這樣我就不知道哪個是哪個了。接著我嘗試用肉眼分辨腳間距較大的那一個。我每次都能夠做出正確判斷，但需要消耗的時間都很長。我從可視度最好的距離觀察這兩支圓規，它們是並排放在一起的，因此規腳是水平的。當腳間距變為原來的兩倍和四倍，這樣在後一組實驗中，圓規的腳間距分別為4.0和4.1英寸，這種情況下我也能夠做出正確的判斷，但是判斷過程都一樣困難。我重複了由這三個實驗構成的小實驗組三次，並且三次被試都是我本人，兩次在同一天進行，一次在第二天進行。對於我而言，圓規和眼睛之間的距離是長是短似乎並不重要，只要不超過視力可及的範圍即可。似乎我甚至可以正確區分出比1/40更小的距離。但如同我前面曾經提到的，如果我們不把最小可覺的標準提高一點點的話，實驗就會淪為枯燥的對錯判斷，如果實驗試次的個數足夠多，結果就會更準確，但如果實驗次數很少，結果就不能得到保證了。但不管怎麼說，實驗中得到的差異已經夠小了，所以如果我再把實驗減半，判斷的結果就不再可信了。這種任務主要依賴於肉眼的極限努力，但在實驗中這種能力尚未完全發揮出來。 即使韋伯定律在視覺距離刺激判斷中的有效性已經得到了證明，但這種證明在感覺範疇中究竟意味著什麼卻並不是很清楚。就韋伯關於廣延感受性的調節方法而言，我們需要解決的有關韋伯定律在這個領域中的意義問題可以包括以下幾種。當有關感覺中心的數值以相對等量的水平變化時，空間距離之間的差異是否給人的感覺是等大的或者是等可覺的？如果是，感覺範疇內感覺中樞細胞的激活數量是否能夠替代集中感受中刺激的強度量？但是沒有視覺範疇內的實驗研究能夠澄清這些問題，因為它們全部均是存在眼睛運動影響的情況下，也就是眼睛的自然狀態下執行的實驗。在這種情況下，不同的距離產生的感覺並不是通過刺激所能覆蓋的感覺中樞細胞的數量來進行比較，而是通過將刺激移近或移遠以生成統一且最清晰的視覺感受來實現。事實上，即便眼球不運動，因為隨著眼球中央凹到邊緣神經分布密度的逐漸下降，我們也不能夠用實驗直接對韋伯定律進行證明。 因此有人會懷疑我們的證明或許和運動引起的肌肉感覺有關，從某種程度上而言，調節距離估計的可能是肌肉覺，而不是用於估計的感覺中心數量。然而即使這個解釋得到證明，對韋伯定律的驗證仍然是我們關注的重點。無論如何，它都是我們需要回答的基本問題。而且肌肉感覺與距離判斷之間的關係確定存在很多的難點，在這裡不會詳細討論。 這裡將介紹另一個研究方法，它號稱可以找到解決問題的方法。這個方法是用在我們的皮膚上的，因為韋伯在實驗中指出，皮膚可以像視覺器官一樣很好地感知距離，而且還不會受到眼球運動的影響。這個方法的唯一問題在於我們無法得知其中的神經纖維是否平均分布。這樣看來最好的解決方法似乎是在皮膚不同部位分別來測試定律是否適用。因此我在自己的前額進行了一些實驗，這是因為前額的皮膚面積很大且很平坦，另外皮膚下方的骨骼基礎結實，所以是最好的實驗區域。同時福爾克曼採用平均差誤法也進行了一些實驗，使用的是他的左手中指尖以及他的手背。所有結果均一致地顯示出在校正誤差和知覺到的距離之間，甚至連一種近似成比例的關係都不存在。總的來說平均誤差的增長是更緩慢的，在大的間隔條件下完全沒有超過一定的值。當然我們首先必須承認，這些誤差可以被表征為兩個部分的組合，一部分是與距離成比例的，另一部分是穩定的，這種論述是毫無疑問的，就和在微距條件下的視距判斷中發現的情況是類似的。但是根據我們上述實驗的結果，發現它們完全不能夠證明韋伯定律存在於這個範圍內——當使用上面所述的方法來操作時——除了神經分布的不規則性，我們所進行的這些實驗結果也不能說明太多問題。 同時一個新的問題產生了：我們是否有必要繼續使用這個方法對廣延感受進行研究？初看起來，因為我們想要證明韋伯定律在廣延感受與集中感受範圍內有著相同水平的有效性，而且這種有效性在後者中已經被發現了，所以上述問題的答案似乎很明顯。但是我們不能忽視一個事實，使用視覺或觸覺進行距離估計的行為受到既定視覺或觸覺範圍的限制。這些範圍的大小並沒有受到影響，但集中的光刺激對前一種刺激的強度施加了限制，同樣也會影響後一種刺激的強度。自然地這就產生了一個不同的情況。我在後續章節中會回來繼續討論這一點。關於之前產生負向結果的系列實驗將會在《測量方法》一書中進行敘述。 物質財富與心理財富 韋伯定律可以適用於更廣泛的領域。我們的物質占有（物質財富）作為一個惰性存在而言對我們沒有任何的價值和意義，但是卻構成了喚醒精神價值（心理財富）的環境。從這個角度而言它們取代了刺激。在這一點上，我們可以說一美元對窮人的價值比富人更大。它可以讓一個乞丐開心一整天，卻不能引起百萬富翁的注意。韋伯定律可以解釋這樣的情況。如果想在被拉普拉斯稱為心理財富的指標上增加相同的額度，那麼在物質財富上增加的額度就與現有的物質占有量成比例。 這個原理最早出現在丹尼爾·貝努利的論文中，論文名為《各種新理論的理想大小》（大意，Specimen theoriae novae de mensura sortis, inComment.Acad.scient.imp.Petropolit.T.V., 1738）。之後被拉普拉斯在他的著作《機率論分析》（Théorie analytique des probabilités, pp.187,432）中引用，並且在後續的推論中進行了發展。後來泊松在他的《機率論研究》（Recherches sur la probabilité）中提及並接納了這一觀點。 物質財富和心理財富最早並不是由貝努利而是拉普拉斯提出的。貝努利在簡要介紹了這一觀點後曾提道： 顯然不可以通過價格來估計一個物質的價值，我們必須從這個物質能帶來的利益來進行判斷。價格是物質對自身價值的估計；而利益則包含了人的心態。因此，毋庸置疑的是，1000達科特[63]相對於窮人的價值比富人來說要更高，雖然錢幣的量是相同的。 他進一步論述道： 因此非常可能的是，不論多小的終極利益增加值，都是與人的地位高低成反比例關係的。 他基於自己的微分方程和對數方程提出了上述觀點。我們之後還可以同樣使用韋伯定律來建立更加一般化的理論基礎。 拉普拉斯寫道： 我們必須區分兩種對於財富的渴望類型，一種是相對財富，一種是絕對財富：後者因為獨立的動機而更可取，前者卻會因為動機的變化而變化。對於相對財富的值沒有一般性的估計手段：很自然地會假設一個無限小的總和相對值應該與其絕對值大小成直接的比例關係，並且與一個人的總財富值成反比。顯然一法郎對於一個擁有很多錢的人來說有價值，但是很少，而且估計其相對值最自然的方法就是對人所擁有的財富值取反比。 他繼續寫道： 根據這個原則，x表示一個個體的物質財富，其增量dx表示個體得到的心理財富，它與物質財富成反比；精神財富的增長可以用kdx/x表示，k代表常數。因此建立一個精神財富y與物質財富x的關係式如下： y=klogx+logh h表示任意常量，取決於y值相對於給定x值的變化。考慮到自然規律，我們不能假設x或y為零或是負數；對於一無所有的人則將他自己的存在當作心理財富，相比於具體的物質財富所產生的價值，這種存在的價值很難定義，但我們也不能小看這種價值，因為它對於我們的生存是必需的；我們可以想像可能這個一無所有的人會不滿足於得到僅100法郎的錢，同時他也很有可能不經告知就將其花光了。 泊松寫道： 由於一個人收入的價值取決於他的財富狀況，我們因此分離了相對價值的數學期望並且將其命名為心理期望值。當它是一個無窮小的量時，我們將其與這個人當前擁有的財富之間的關係當作是心理期望值的測量指標，這個值可能正也可能負，相應地代表這種財富最後是增是減。我們通過對這一指標進行積分運算可以推導出與先前準則一致的結論，大家應該可以都直接猜測出這個結果。 * * * 注釋： [1] Delezenne inRecueil des travaux de la soc.des sc.de Lille1827 im Ausz.inBull.des sc.nat.，Ⅺ，p.275, und inFechner's Repertor.der Experimentalphysik,Leipzig, 1832, vol.Ⅰ，p.341. [2] 現制中的打蘭為盎司的1/16，此處可能是新舊制重量單位的差異。——譯者注 [3] 也稱達蓋爾照相法，指的是利用鍍有碘化銀的鋼板在暗箱裡進行曝光，然後以水銀蒸氣進行顯影，再以普通食鹽定影，得到的實際上是一個金屬負像，但十分清晰而且可以永久保存。——譯者注 [4] 19世紀30年代末，費希納為了獲得後像而注視太陽過長的時間，因而導致自己的視網膜受損。——譯者注 [5] 拉卡耶（Lacaille），法國著名的天文學家，1757年編制了包括400顆亮星的星表。——譯者注 [6] 由於我無法獲得博格本人的文章，所以這裡我引用的是馬森的文章，即Ann.de Chim.et de Phys., 1845, Vol.XIV, p.148。 [7] Ann.de Chim.et de Phys., 1845, Vol.XIV, p.150. [8] 由W.G.漢克爾編著（W.G.Hankel, T.Ⅰ，p.168）。 [9] Ann.de Chim.et de Phys., 1845, Vol.XIV, p.150. [10] 據我所知，馬森的研究從沒有刊載在德國的科學期刊上，所以我有必要在這裡逐字逐句引用他的原文。 [11] 即我們現在所說的油燈。——譯者注 [12] 將太陽或其他天體的光線反射到固定方向的光學裝置，又稱定星鏡。——譯者注 [13] 這個圓盤包含了一個隔斷的黑色扇區。 [14] 馬森在這裡指的是由若干設備組成的測光裝置，他在原作中對此裝置有所描述。該裝置包括一個快速旋轉的、被分為若干白色和黑色扇區的圓盤，以及一個用以產生照明的電火花的設備。 [15] Steinheil，Elemente der Helligkeits-Messungen am Sternenhimmel, in denAbhandl.der mathemat.phys.Kl.der kön.bair.Akad., 1837. [16] 這裡指的是費希納的關於心理物理學定理和星等估算的文章，文章刊載於Abhandl.d.Kgl.Sächs.Ges.d.Wiss., 1859, Vol.Ⅳ，pp.457-532和Berichte d.Kgl.Sächs.Ges.d.Wiss., 1859, Vol.Ⅺ，pp.58-86。——譯者注 [17] 參見這裡指的是費希納的關於心理物理學定理和星等估算的文章，文章刊載於Abhandl.d.Kgl.Sächs.Ges.d.Wiss., 1859, Vol.Ⅳ，pp.457-532和Berichte d.Kgl.Sächs.Ges.d.Wiss., 1859, Vol.Ⅺ，pp.58-86。——譯者注 [18] 在完全黑暗的環境裡，眼睛仍然能夠產生光亮的感覺，隨著時間延長這種感覺會加強。費希納稱這種光為Augenschwarz（意思是眼中的黑暗），赫爾姆霍茨稱其為Eigenlicht（眼睛的自發光），通常將其翻譯為眼睛或視網膜的自發光或者內在光。愛德華·黑林（Edward Hering）稱其為恆定的灰色，而繆勒（G.E.Müller）認為這種光是在視覺適應過程中視網膜完全無法發揮功能時大腦皮層視覺區域的副產物，因此將其命名為皮質灰。更現代的術語是視網膜自發光感或者是視覺興奮的噪音水平。——譯者注 [19] Sillim.J.1850.Ⅸ，p.443. [20] Ophthalmol.，Ⅱ，p.458. [21] Ophthalmol.，Ⅰ，p.156. [22] Ophthalmol., p.154. [23] 格萊費（Gräfe）的一篇論文《關於弱視導致的視野遮斷現象》，刊載於《格萊費的眼科學紀要》（Gräfe's Arch.f.Ophthalmol.，Ⅱ，Abth.2, p.258），這篇論文研究的結果顯示，這些暫時性退化的區域對應的視野只是變暗，而並不是真正的消失。 [24] 名為多納蒂彗星，由義大利天文學家多納蒂發現，1858年是它上一次最接近地球的時候。——譯者注 [25] Pogg.Ann., XXVII, p.494. [26] Pogg.Ann., LXXXVI, p.513. [27] 尼科爾稜鏡是一塊被切開的菱形方解石，穿過它的光會被分為兩束，其中正常的那束光被反射至另一個方向之後被吸收，而另一束透過了尼科爾稜鏡的光則直接轉換為偏振光。洛匈稜鏡由兩塊並列的楔形方解石組成；它能將一束光分成兩束光，其中一束是正常的光而另一束是特別的光，阿拉戈使用它來產生兩個影像。——譯者注 [28] 角度的測量單位之一，1角分為1/60度。——譯者注 [29] Ueber Hemeralopie, p.13. [30] 人們從很久以前就發現了運動對注意的影響，例如看或用皮膚感覺運動的物體，以及聽聲音的音高變化，這種運動甚至可能使感覺遲鈍的界限降低，使得人可以感覺到原先無法感覺到的刺激。——譯者注 [31] Arago's Werke，由漢克爾編輯。 [32] Helmholtz in denBerichten der Berl.Akad., 1855, pp.757 ff. [33] Vierordt's Arch., 1856, H.2, p.185；Pogg.Ann., XCVIII. [34] 事實上，這一結論只有當實驗是在自由活動的空間中進行之時才會成立，而該實驗是在封閉房間內進行的。 [35] Abhandl.d.baier.Akad.，Ⅶ，T.2. [36] Gehler's Wört.Art.Gehör., p.1217. [37] 如果使用木材，我無法使兩個音擺發出相同的聲音。 [38] 沙夫豪特認為聲音的強度和下落高度的平方根成正比（München.Abhandl.，Ⅶ，p.517），但是根據上面的比例我認為這一規則並不正確。 [39] 這是從下面這個著名的公式得出的，即 [40] 如第七章討論過的，這個定律可以通過本書基本表中r/n值與t=hD之間的關係來進行表達。相應地，在排除了p和q影響的前提下，如果D翻倍，那麼t也會翻倍。 [41] 另外還存在一個問題，即：空氣阻力作為一個特定值，對於皮膚造成了多大程度的影響？不過可以說，似乎這種因素已經包含在機體，即手臂的重量里了。 [42] 關於這部分內容我還有其他可用的實驗系列。 [43] 對於8hD這列而言，對應的可以說是平均為0.06P的結果。更準確地說，其實D＝0.04P和D＝0.08P對應的h值應該分開來在4hD這列中進行計算，這樣才能獲得最準確的h平均值。 [44] 從表Ⅵ中對應的4908可知這裡的4909是筆誤。——譯者注 [45] Der Tasts.und das Gemeing.，p.549. [46] 1℃＝5/4°R。費希納的這部分實驗均是採用列氏溫標進行讀數的，除非有特別註明。——譯者注 [47] 這個溫度是參考了由利希滕菲爾（Lichtenfels）與弗洛里什（Fröhlich）在《維也納學會報告》（Abhandl.Der Wien.Akad.）中提到的體溫數據而計算出來的。 [48] 這部分敘述疑有誤，應是在溫度升序實驗中總是先浸泡在較冷的水中，而在溫度降序實驗中先浸泡在較熱的水裡。——譯者注 [49] 我在這裡總是引用一對對比溫度中較低的那個值。 [50] 此數據疑有印刷錯誤。——譯者注 [51] Vierordt's Arch.，Ⅺ，pp.844, 853. [52] 就意義而言，這個誤差不能與之前提到的常誤混淆起來。它是來源於可變誤差的，就如其他誤差成分中的表現那樣，另外的這部分誤差被稱為常量的原因僅僅是在通過上述手段進行測定的情況下，當標準間距改變時這個誤差卻不會變，而且不會如韋伯實驗中的可變誤差那樣會與標準間距成函數關係變化。 [53] 這個誤差的特殊分布導致了表（1）中的一些數據比表（2）中的略小。 [54] 最小二乘法從理論上而言要更準確一些，但是實施起來更複雜。而且與已有方法獲得的結果相比，兩種方法差距並不大，所以並沒有必要改用最小二乘法。 [55] 如果還有人出於同樣的原因無法信任上述校正方法，那麼我想說的是，提到的對均方差的校正已為所有的數學家和天文學家所接受，其中的誤差產生原因和我們在這裡提到的非常相似。 [56] 更多的細節請參見Berichte de sächs.Soc., 1858, p.140。 [57] 計算方法是將數據代進線性公式V2+D2W2=（∑Δ）2，其中V2和W2是未知的。而後V和W的值可以根據V2和W2開根號得到。V和W的或然誤差，可以通過觀測而得的（∑Δ）2值分別計算出的V2和W2，開方得到V和W值，之後根據統計原理，分別除以2V和2W而得。 [58] 即眼節點。眼中的一個圓形小結節，感光用。——譯者注 [59] 未校正誤差δ是由兩個部分組成的：可變誤差Δ與常誤c。V和W因此對應的是可變誤差Δ中的組成部分。 [60] 這不是我自己的結論，我只是引用了莫比烏斯教授的觀點。 [61] 眼球旋轉的中心點。——譯者注 [62] 根據Wagner's Wörterb.Art.Sehen.，p.234。 [63] 舊時通用於歐洲的銀幣。——譯者注