狹義與廣義相對論淺說 · 附錄 一、　洛倫茲變換的簡單推導

［補充第１１節］ 按照圖２所示兩坐標系的相對取向，該兩坐標系的ｘ軸永遠是重合的。在這個情況下我們可以把問題分為幾部分，首先只考慮ｘ軸發生的 事件 。任何一個這樣的 事件 ，對於坐標系Ｋ是由橫坐標ｘ和時間ｔ來表示，對於坐標系Ｋ』則由橫坐ｘ』和時間ｔ』來表示。當給定ｘ和ｔ時，我們要求出ｘ』和ｔ』。 沿著正ｘ軸前進的一個光信號按照方程： 或ｘ＝ｃｔ。 ｘ－ｃｔ＝０ 傳播。由於同一光信號必須以速度ｃ相對於Ｋ』傳播，因此相對於坐標系Ｋ』的傳播將由類似的公式： ｘ』－ｃｔ』＝０ 表示。滿足的那些空時點（事件）必須也滿足（２），顯然這一點是成立的，只要關係： （ｘ』－ｃｔ』）＝λ（ｘ－ｃｔ）（３） 一般滿足，其中λ表示一個常數；因為，按照（３），（ｘ－ｃｔ）等於零時（ｘ』－ｃｔ』）就必然也等於零。 如果我們對向著負ｘ軸傳播的光線應用完全相同的考慮，我們就得到條件： （ｘ』－ｃｔ』）＝μ（ｘ－ｃｔ）（４） 方程（３）和（４）相加（或相減），並為方便起見引入常數ａ和ｂ代換常數λ和μ，令： ａ＝（μ＋λ）／２； 以及ｂ＝（μ－λ）／２； 我們得到方程： ｘ』＝ａｘ－ｂｃｔ； ｃｔ』＝ａｃｔ－ｂｘ（５） 因此若常數ａ和ｂ為已知，我們就得到我們的問題的解。ａ和ｂ可由下述討論確定。 以於Ｋ』的原點我們永遠有ｘ』＝０，因此按照（５）的第一個方程： ｘ＝ｂｃ／ａ×ｔ。 如果我們將Ｋ』的原點相對於Ｋ的運動的速度稱為ｖ，我們就有： ｖ＝ｂｃ／ａ＿（６） 同一量值ｖ可以從議程（５）得出，只要我們計算Ｋ』的另一點相對於Ｋ的速度，或者計算Ｋ的一點相對於Ｋ』的速度（指向負ｘ軸）。總之，我們可以指定ｖ為兩坐標系的相對速度。 還有，相對性原理告訴我們，由Ｋ判斷的相對於Ｋ』保持靜止的單位量杆的長度，必須恰好等於由Ｋ』判斷的相對於Ｋ保持靜止的單位量杆的長度。為了看一看由Ｋ觀察ｘ』軸上的諸點是什麼樣子，我們只需要從Ｋ對Ｋ』拍個「快照」；這意味著我們必須引入ｔ（Ｋ的時間）的一個特別的值，例如ｔ＝０，對於這個ｔ的值，我們從（５）的第一個方程就得到： ｘ』＝ａｘ。 因此，如果在Ｋ』坐標系中測量，ｘ』軸上兩點相隔的距離為１＝ｘ，該兩點在我們的瞬時快照中相隔的距離就是： △ｘ＝１／ａ（７） 但是如果從Ｋ』（ｔ』＝０）拍取快照，而且如果我們從方程（５）消去ｔ考慮到表示式（６），我們得到： 由此我們推斷，在ｘ軸上相隔距離１（相對於Ｋ）的兩點，在我們的快照上將由距離： （７ａ） 表示。 但是根據以上所述，這兩個快照必須是全等的；因此（７）中的必須等於（７ａ）中的，這樣我們就得到： （７ｂ） 方程（６）和（７ｂ）決定常數ａ和ｂ。在（５）中代入這兩個常數的值，我們得到第１１節所提出的第一個和第四個議程： （８） 這樣我們就得到了對於在ｘ軸上的洛倫茲變換。它滿足條件： （８ａ） 再把這個結果加以推廣，以便將發生在ｘ軸外面的事件也包括進去。此項推廣只要保留方程（８）並補充以關係式： （９） 就能得到。 這樣，無論對於坐標系Ｋ或是對於坐標系Ｋ』，我們都滿足了任意方向的光線在真空中速度不變的公設。這一點可以證明如下。 設在時間ｔ＝０時從Ｋ的原點發出一個光信號。這個光信號將按照議程： 傳播，或者，如果方程兩邊取平方，按照方程： （１０） 傳播。 光的傳播定律結合著相對性公設要求所考慮的信號（從Ｋ』去判斷）應用按照對應的公式： 或ｒ』＝ｃｔ』 （１０ａ） 傳播為了 使 方程（１０ａ）可以從方程（１０）推出，我們必須有： （１１） 由於方程（８ａ）對於ｘ軸上的點必須成立，因此我們有１＝σ，不難看出，對於１＝σ，洛倫茲變換確實滿足（１１）；因為（１１）可以由（８ａ）和（９）推出，因而也可以由（８）和（９）推出。這樣我們就導出了洛倫茲變換。 由（８）和（９）表示的洛倫茲變換仍需加以推廣。顯然，在選擇Ｋ』的軸時是否要使之與Ｋ的軸在空間中相互平行是無關重要的。同時，Ｋ』相對於Ｋ的平動速度是否沿ｘ軸的方向也是無關緊要的。通過簡單的考慮可以證明，我們能夠通過兩種變換建立這種廣義的洛倫茲變換，這兩種變換就是狹義的洛倫茲變換和純粹的空間變換，純粹的空間變換相當於用一個坐標軸指向其他方向的新的直角坐標系代換原有的直角坐標系。 我們可以用數學方法，對推廣了的洛倫茲變換的特性作如下的描述： 推廣了的洛倫茲變換就是用ｘ，ｙ，ｚ，ｔ的線性齊次函數來表示ｘ』，ｙ』，ｚ』，ｔ』，而這種線性齊次函數的性質又必須能使關係式： （１１ａ） 恆等地被滿足。也就是說：如果我們用這些ｘ，ｙ，ｚ，ｔ的線性齊次函數來代換在（１１ａ）左連所列的ｘ』，ｙ』，ｚ』，ｔ』，則（１１ａ）的左邊與其右邊完全一致。