狹義與廣義相對論淺說 · 25．高斯坐標

按照高斯的論述，這種分析方法與幾何方法結合起來的處理問題的方式可由下述途徑達成，設想我們在桌面上畫一個任意曲線系（見圖４）。 我們把這些曲線稱作ｕ曲線，並用一個數來標明每一根曲線，在圖中畫出了曲線ｕ＝１，ｕ＝２和ｕ＝３，我們必須設想在曲線ｕ＝１，ｕ＝２之間畫有無限多根曲線，所有這些曲線對應於１和２之間的實數，這樣我們就有一個ｕ曲線系，而且這個「無限稠密」曲線系布滿了整個桌面，這些ｕ曲線必須彼此不相交，並且桌面上的每一點都必須有一根而且僅有一根曲線通過。因此大理石板面上的每一個點都具有一個完全確定的ｕ值。我們設想以同樣的方式在這個石板面上畫一個ｖ曲線系。這些曲線所滿足的條件與ｕ曲線相同，並以相應的方式標以數字，而且它們也同樣可以具有任意的形狀，因此，桌面上的每一點就有一個ｕ值和一個ｖ值。我們把這兩個數稱為桌面的坐標（高斯坐標），例如圖中的Ｐ點就有高斯坐標ｕ＝３，ｖ＝１。這樣，桌面上相鄰兩點Ｐ和Ｐ』就對應於坐標： Ｐ：ｕ，ｖ； Ｐ』：ｕ＋ｄｕ，ｖ＋ｄｖ。 其中ｄｕ和ｄｖ標記很小的數。同樣，我們可以用一個很小的數ｄｓ表示Ｐ和Ｐ』之間的距離（線間隔），好象用一根小杆測量得出的一樣。於是，按照高斯的論述，我們就有： 其中ｇ１１，ｇ１２，ｇ２２是以完全確定的方式取決於ｕ和ｖ的量。量ｇ１１，ｇ１２，ｇ２２決定小杆相對於ｕ曲線和ｖ曲線的行為，因而也就決定小杆相對於桌面的行為。對於所考慮的面上的諸點相對於量杆構成一個歐幾里得連續區的情況，而且只有在這個情況下，我們才能夠簡單地按下式來畫出以及用數字標出ｕ曲線和ｖ曲線： 在這樣的條件下，ｕ曲線和ｖ曲線就是歐幾里得幾何學中的直線，並且它們是相互垂直的。在這裡，高斯坐標也就成為笛卡兒坐標。顯然，高斯坐標只不過是兩組數與所考慮的面上的諸點的一種締合，這種締合具有這樣的性質，即彼此相差很微小的數值各與「空間中」相鄰諸點相締合。 到目前為止，這些論述對於二維連續區是成立的。但是高斯的方法也可以應用到三維、四維或維數更多的連續區。例如，如果假定我們有一個四維連續區，我們就可以用下述方法來表示這個連續區，對於這個連續區的每一個點，我們任意地把四個數ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４與之相締合，這四個數就稱為「坐標」。相鄰的點對應於相鄰的坐標值。如果距離ｄｓ與相鄰點Ｐ和Ｐ』相締合，而且從物理的觀點來看這個距離是可以測量的和明確規定了的，那麼下述公式成立： 其中ｇ１１等量的值隨連續區中的位置而變。唯有當這個連續區是一個歐幾里得連續區時才有可能將坐標ｘ１ｘ４與這個連續區的點簡單地締合起來，使得我們有： 在這個情況下，與那些適用於我們的三維測量的關係相似的一些關係就能夠適用於這個四維連續區。 但是我們在上面提出的表達ｄｓ２的高 斯 方法並不是經常可能的，只有當所考慮的連續區的各個足夠小的區域被當作是歐幾里得連續區時，這種方法才有可能。例如，就大理石桌面和局部溫度變化的例子而言，這一點顯然是成立的。對於石板的一小部分面積而言，溫度在實際上可視為恆量；因而小杆的幾何行為差不多能夠符合歐幾里得幾何學的法則。因此，前節所述正方形作圖法的缺陷要到這個作圖擴展到了占桌面相當大的一部分時才會明顯地表現出來。 我們可以對此總結如下：高 斯 發明了對一般連續區作數學表述的方法，在表述中下了「大小關係」（鄰點間的「距離」）的定義。對於一個連續區的每一個點可標以若干個數（高斯坐標），這個連續區有多少維，就標多少個數。這是這樣來做的：每個點上所標的數只可能有一個意義，並且相鄰諸點應該用彼此相差一個無窮小量的數（高斯坐標）來標出。高斯坐標系是笛卡兒坐標系的一個邏輯推廣。高斯坐標系也可以適用於非歐幾里得連續區，但是只有在下述情況下才可以，即相對於既定的「大小」或「距離「的定義而言，我們所考慮的連續區的各個小的部分愈小，其表現就愈象一個真正的歐幾里得系統。