物理學的進化 · 第三章 場，相對論
1.場的圖示
在19世紀下半葉，革命性的新觀念被引入了物理學，它們為一種不同於舊力學觀的新哲學觀開闢了道路。法拉第（Faraday）、麥克斯韋（Maxwell）和赫茲（Hertz）的研究成果發展了現代物理學，創造了新的概念，形成了一幅新的實在圖景。
現在我們就來闡述這些新概念給科學帶來的突破，以及它們是如何逐漸清晰起來並獲得力量的。我們將對發展線索進行邏輯重構，而不太在意時間上的先後。
這些新概念的起源與電現象有關，但第一次介紹它們時，從力學入手要更簡單。我們知道，兩個粒子會相互吸引，這種吸引力與距離的平方成反比。我們可以用一種新的方法來描述這個事實，儘管這樣做的好處一時還不清楚。下圖中的小圓代表一個吸引體，比如太陽。實際上，應該把這幅圖想像成空間中的一個模型，而不是一張平面圖。於是，圖中的小圓其實代表空間中的一個球體，比如太陽。把一個被稱為檢驗體的物體置於太陽附近，它將被太陽吸引，引力沿著兩個物體中心的連線。因此，圖中的線表示太陽對檢驗體各個位置的引力。每條線的箭頭表明這個力指向太陽，也就是說這個力是引力。這些線都是引力場的力線。這暫時還只是個名稱，無須進一步強調。這幅圖有一個典型特徵，我們將在以後強調。力線是在沒有物質的空間中構造的。所有力線，或者說場，目前只表明一個被置於球體（場就是為它構造的）附近的檢驗體會如何行為。
在我們的空間模型中，力線總是與球面垂直的。它們都是從一點發散出去的，因此在球體附近最密，越遠越疏。如果與球體的距離增加到2倍或3倍，那麼在我們的空間模型中，力線的密度將會減小到1/4或1/9。因此力線有兩重目的：一方面顯示了球體（例如太陽）附近的物體所受力的方向；另一方面，空間中力線的密度又顯示了力如何隨距離而變化。場的圖案描繪了引力的方向及其與距離的關係。由這樣一幅圖可以領會引力定律的含義，就像從對引力作用的語言描述或者精確簡潔的數學語言中可以領會引力定律的含義一樣。這種場的圖示也許顯得清晰而有趣，但沒有理由認為它標誌著任何實際進展。很難證明它對引力有什麼用處。也許有人覺得，不妨認為這些線不僅僅是畫，而是有真實的力的作用沿著它們通過。這樣想像當然可以，但那樣一來，必須假定沿著這些力線的作用速度是無窮大！根據牛頓定律，兩個物體之間的力只與距離有關，與時間無關。力從一個物體傳到另一個物體竟然不需要時間！但凡明白事理的人都不會相信速度無窮大的運動，因此，認為我們的圖不僅僅是模型不會有什麼結果。
不過，我們並不準備討論引力問題。我們介紹這些，只是為了對電學理論中類似的推理方法作出簡化的解釋而已。
我們先來討論一個很難作力學解釋的實驗。假定電流通過一個線圈，線圈中央有一根磁針。電流通過的瞬間會產生一個新的力，這個力作用於磁極，並且垂直於線圈與磁極的任何連線。如果這個力是由一個作迴轉運動的電荷產生的，那么正如羅蘭的實驗所表明的，這個力與電荷的速度有關。這些實驗事實違反了一個哲學觀點，即所有力都必須沿著粒子的連線起作用，且只能與距離有關。
精確表達電流作用於磁極的力是非常複雜的，事實上比表達引力複雜得多。然而，就像對引力那樣，我們也可以嘗試把這種作用視覺化。我們的問題是：電流以什麼樣的力作用於被放置在它附近的磁極呢？要想用語言來描述這種力是相當困難的，即使用數學公式也一定非常複雜和彆扭。最好是用繪有力線的圖或空間模型把我們關於作用力的一切認識都表示出來。困難之一在於，一個磁極總是與另一個磁極關聯著存在，它們共同形成了偶極子。不過我們總是可以設想磁針很長，只須考慮作用於距離電流較近的那個磁極的力，另一極距離太遠，作用於它的力可以忽略。為避免混淆，我們假定距離導線較近的磁極是正的。
作用於正磁極的力的特性可以從下圖看出來。
如圖所示，導線旁邊的箭頭表示電流從高電勢流向低電勢的方向。所有其他線都是屬於這個電流的力線，都處在某個平面上。表示電流對正磁極的作用的力矢量的方向和長度都可以從圖上看出來。我們知道，力是矢量，確定力必須知道它的方向和長度。我們主要關注作用於磁極的力的方向問題，這個問題是：如何從圖中找到空間中任一點的力的方向？
要在這樣一個模型中看出力的方向，不像之前的例子那麼簡單，因為在前面那個例子中力線是直線。為了澄清步驟，下圖中只畫了一條力線。如圖所示，力矢量位於力線的切線上，力矢量的箭頭和力線上的箭頭指著同一方向，即在這一點上力作用於磁極的方向。一張好圖，或者說一個好的模型，也能把任一點上力矢量的長度表示出來。在力線較密亦即靠近導線的地方，力矢量必須較長，而在力線較疏亦即遠離導線的地方，力矢量必須較短。
這樣一來，力線或場就能使我們確定在空間中任一點作用於磁極的力。眼下，這乃是對我們精心建構的場的唯一辯護。知道了場表示什麼，我們會帶著更濃厚的興趣來考察對應於電流的力線。這些力線都是圍繞著導線的一些圓圈，所處的平面垂直於導線所在平面。從圖中領會到力的特徵之後，我們再次得出結論：力的作用方向垂直於導線與磁極之間的任何連線，因為圓的切線總與半徑垂直。我們對作用力的全部了解都可以在場的構造中得到概括。為了簡單地描述作用力，我們把場的概念置於電流概念與磁極概念之間。
任何電流都與一個磁場相聯繫，也就是說，通電導線附近的磁極總是受到一個力的作用。順便提及，這種性質使我們能夠製作一種靈敏的儀器來探測電流的存在。一旦知道如何從電流的場模型來看磁力的特性，我們就能畫出通電導線周圍的場，以表示磁力在空間任一點的作用。我們的第一個例子是所謂的螺線管。事實上，它就是下圖所示的一卷導線。我們希望通過實驗來了解與流經螺線管的電流有關的磁場的知識，並把這些知識融入場的構造中。該圖已經把結果描繪出來了。彎曲的力線是閉合的，它們以電流磁場特有的方式包圍著螺線管。
我們也可以用描繪電流磁場的方式來描繪磁棒的磁場。如下圖所示，力線從正極指向負極。力矢量總是處於力線的切線上，且在磁極附近最長，因為這些地方力線的密度最大。力矢量表示磁棒對正磁極的作用。這裡場「源」是磁棒而不是電流。
這兩幅圖應當認真比較一下。第一幅圖是流經螺線管的電流的磁場，第二幅圖則是磁棒的場。我們忽略螺線管和磁棒，只看它們外面的兩個場，就會立刻注意到，它們的性質是完全一樣的，兩者的力線都是從螺線管或磁棒的一端指向另一端。
場的圖示結出了它的第一個果實！倘若不通過場的構造來揭示，我們就很難看出流經螺線管的電流與磁棒之間有這麼大的相似性。
現在我們可以對場的概念進行更嚴格的檢驗。我們很快會看到，場並不只是一種關於作用力的新圖示。讓我們暫時假定場以一種獨特的方式刻畫了場源所規定的一切作用。這僅僅是個猜測。它的意思是，如果螺線管與磁棒有同樣的場，則它們所有的影響也必定相同。也就是說，兩個通電的螺線管會和兩根磁棒一樣彼此吸引或排斥，引力或斥力只依賴於它們的相對距離，這與兩根磁棒的情況完全相同。它還意指，螺線管與磁棒之間也會像兩根磁棒那樣相互吸引或排斥。簡而言之，通電螺線管的所有作用都與相應磁棒的作用一樣，因為只有場能起這些作用，而場在這兩種情況下有相同的性質。實驗完全證實了我們的猜測！
倘若沒有場的概念，發現這些事實將會多麼困難！要把通電導線與磁極之間的作用力表示出來是非常複雜的。如果是兩個螺線管，我們就不得不研究兩個電流的相互作用力。但如果藉助於場的概念來研究，既已發現螺線管的場類似於磁棒的場，我們便立即可以注意到所有這些作用的特性。
我們現在更有理由把場看成某種東西了。就描述現象而言，似乎只有場的性質是最重要的，場源的差異並不重要。場的概念的重要性在於能夠引出新的實驗事實。
事實證明，場是一個非常有用的概念。起初，它只是為了描述作用力而被置於場源與磁針之間的某種東西。它被視為電流的「代理者」，電流的一切作用都通過它來完成。但是現在，代理者也充當詮釋者，它把定律翻譯成一種簡單易懂的清晰語言。
場的描述的首獲成功暗示著，藉助於場這個詮釋者來間接考察電流、磁棒和電荷的所有作用也許很方便。可以認為，場總與電流聯繫在一起。即使沒有磁極去檢驗場是否存在，場也總在那裡。讓我們沿這條新的線索追溯下去。
我們可以像介紹引力場、電流或磁棒的場那樣來介紹帶電導體的場。再舉一個最簡單的例子。要想繪製一個帶正電球體的場，必須知道一個帶正電的小檢驗體被置於作為場源的帶電球體附近時會受到什麼力的作用。我們使用帶正電的檢驗體而不用帶負電的，僅僅是出於習慣，表明力線的箭頭應該朝哪個方向畫。這個模型之所以類似於前面引力場的模型，是因為庫侖定律與牛頓定律相似。兩個模型的唯一差別就是箭頭的方向相反。的確，兩個正電荷相互排斥，兩個質量則相互吸引。然而，帶負電球體的場與引力場相同，因為帶正電的小檢驗體會被場源吸引。
假如電極和磁極都靜止，它們之間就不會有作用，既沒有吸引，也沒有排斥。如果用場的語言來表達這一事實，我們可以說：靜電場並不影響靜磁場，反之亦然。「靜場」是指不依時間變化的場。如果沒有外力干擾，磁棒和電荷可以靠得很近而永不發生作用。靜電場、靜磁場和引力場的性質各有不同。它們不會混合，而會各自保持個性，無論是否有其他場存在。
讓我們回到帶電球體。它一直靜止著，現在假設在某個外力的作用下開始運動。帶電球體在運動，這句話用場的語言來表達就是：電荷的場隨時間而變化。但羅蘭的實驗告訴我們，帶電球體的運動相當於電流，而任何電流必定伴隨著磁場，因此我們的推理鏈條是：
電荷的運動→電場的變化
↓
電流→伴隨的磁場
由此我們斷定：電荷運動所產生的電場變化總是伴隨著磁場。
我們的結論建立在奧斯特實驗的基礎上，但其意涵遠不止於此。它包含著這樣一種認識：把隨時間變化的電場與磁場聯繫起來對於接下來的事情至關重要。
只要電荷靜止，就只有靜電場。一旦電荷開始運動，磁場就出現了。而且電荷越大，運動越快，電荷運動所產生的磁場就越強。這也是羅蘭實驗的一個推論。用場的語言來說：電場變化越快，伴隨的磁場就越強。
這裡我們試圖把熟知的事實從按照舊力學觀構造的電流體語言翻譯為場的新語言。稍後我們會看到，這種新的語言是多麼清晰、有益和深刻。
2.場論的兩個支柱
「電場的變化總是伴隨著磁場」。若把「電」與「磁」互換一下，這句話就成了「磁場的變化總是伴隨著電場」。這種說法是否正確，只有實驗才能判定。然而，正是由於使用了場的語言，我們才會想到提出這個問題。
一百多年前，法拉第做實驗發現了感生電流。
這個實驗演示起來很簡單。我們只需一個螺線管或其他某個電路，一根磁棒以及檢驗電流是否存在的儀器。起初，形成閉合電路的螺線管附近有一根靜止的磁棒。由於沒有源，導線中沒有電流通過，只存在磁棒的不隨時間變化的靜磁場。現在，我們迅速改變磁棒的位置，使之遠離或靠近螺線管。這時導線內會出現極短時間的電流，然後又消失了。每當磁棒位置改變，電流就會重新出現，這可以用足夠靈敏的儀器檢測出來。但從場論的觀點來看，電流意味著電場的存在，這個電場迫使電流體在導線中流動。當磁棒再次靜止時，電流便消失了，因而電場也消失了。
假定我們現在還不知道場的語言，而要用舊力學觀的語言對這些實驗結果進行定性和定量的描述，則這個實驗可以表達成：磁偶極子的運動產生了一個新的力，這個力推動導線中的電流體流動。接下來的問題是：這個力與什麼有關？這很難回答。我們不得不研究這種力與磁棒速度的關係、與磁棒形狀的關係以及與線圈形狀的關係。不僅如此，如果用舊語言來解釋，那麼這個實驗無法告訴我們，用另一個通電電路的運動來代替磁棒的運動是否也能產生感生電流。
如果使用場的語言，並再次相信作用由場決定，情況就完全不同了。我們立刻可以看到，通電的螺線管會起到和磁棒一樣的作用。下圖中有兩個螺線管：一個較小，其中有電流通過，另一個較大，其中的感生電流可以檢驗出來。像前面移動磁棒那樣移動小螺線管，大螺線管中便會產生感生電流。此外，為了產生和消除磁場，我們不必移動小螺線管，而只需通過斷開和閉合電路來產生和消除電流。我們再次看到，場論提出的新事實又被實驗證實了！
再舉一個簡單點的例子。取一個沒有任何電流源的閉合導線，它的附近有一個磁場。至於這個磁場的源是另一個通電電路還是一根磁棒，這並不重要。下圖顯示了閉合電路和磁力線。用場的語言很容易對感應現象作出定性和定量的描述。如圖所示，一些力線穿過了導線圍成的表面。我們需要考察的是穿過導線圍成的那部分平面的力線。無論場多強，只要場不變，就不會有電流。然而，只要穿過導線圍成的表面的力線數目發生變化，導線中就立刻會有電流流過。電流由穿過該表面的力線數目的變化來決定，無論這種變化是如何引起的。對於感生電流的定性和定量描述，力線數目的變化是唯一重要的概念。「力線數目的變化」意指力線的密度在變化，我們還記得，這意味著場強在變化。
於是，我們推理鏈條中的幾個關鍵點是：磁場的變化→感生電流→電荷的運動→電場的存在。
因此，變化的磁場總是伴隨著電場。
這樣我們就找到了支撐電場和磁場理論的兩個最重要的支柱。第一個支柱是變化的電場與磁場有關聯，它源於奧斯特的磁針偏轉實驗，並且導出了這樣一個結論：變化的電場總是伴隨著磁場。
第二個支柱則把變化的磁場與感生電流關聯起來，它源於法拉第的實驗。兩者成為定量描述的基礎。
同樣，與變化磁場相伴隨的電場似乎亦是某種真實的東西。此前我們必須設想，即使沒有磁極作檢驗，電流的磁場也依然存在。同樣，這裡必須認為，即使沒有導線來檢驗感生電流是否存在，電場也依然存在。
事實上，這兩個支柱可以歸結為一個，即以奧斯特實驗為根據的那個支柱。法拉第的實驗結果可以由這個支柱和能量守恆定律推導出來。我們說有兩個支柱只是為了清晰和簡潔。
場的描述還有另一個結果需要提及。假設有一個以伏打電池為電流源的通電電路。導線與電流源之間的連接突然斷開，當然現在不再有電流。然而在電流中斷的一瞬間卻發生了一個複雜的過程，這個過程同樣只有用場論才能預見到。在電流中斷之前，導線周圍有一個磁場。電流中斷的一瞬間，這個磁場便不復存在。因此，正是由於電流的中斷，磁場才消失。穿過導線圍成的表面的磁力線數目變化極快。但這種迅速變化無論是怎樣產生的，必定會產生感生電流。真正重要的是，磁場的變化越大，感生電流就越強。這個結果是對場論的又一個檢驗。電流的斷開必定伴隨著強烈而短暫的感生電流的出現。實驗再次證實了這個預言。斷開過電流的人都會注意到有火花產生，火花顯示了磁場的迅速變化所引起的強大電勢差。
這個過程也可以從能量的觀點去看。磁場消失，火花產生。火花代表能量，因此磁場也必定代表能量。為了前後一致地使用場的概念及其語言，我們必須把磁場看成能量的儲藏所。只有這樣，我們對電現象和磁現象的描述才能符合能量守恆定律。
起初，場只不過是一個有用的模型，而現在卻變得越來越真實了。它幫助我們理解了舊事實，並引導我們認識新事實。把能量歸於場是物理學發展中的一大步，場的概念越來越被強調，對力學觀不可或缺的實體概念越來越被抑制。
3.場的實在性
所謂的麥克斯韋方程總結了對場的定律的定量數學描述。迄今為止我們所提到的事實都導向了這些方程，但方程的內容卻比我們所能指出的豐富得多。在麥克斯韋方程簡單的形式之下隱藏著深刻的內容，只有通過認真研究才能將其揭示出來。
麥克斯韋方程的提出是自牛頓時代以來物理學中最重要的事件，不僅因為它內容豐富，而且也因為它成了一種新型定律的典範。
麥克斯韋方程的典型特徵可見於現代物理學的所有其他方程，我們可以用一句話來概括它：麥克斯韋方程是描述場的結構的定律。
為什麼麥克斯韋方程在形式和特徵上都不同於經典力學方程呢？說這些方程描述了場的結構，這是什麼意思呢？如何根據奧斯特和法拉第的實驗結果提出一種對物理學的未來發展至關重要的新型定律呢？
從奧斯特的實驗中我們已經看到，磁場圍繞一個變化的電場盤捲起來。從法拉第的實驗中我們又看到，電場圍繞一個變化的磁場盤捲起來。為了概述麥克斯韋理論的一些典型特徵，我們暫時只關注這兩個實驗中的一個，比如法拉第的實驗。再看看變化的磁場產生感生電流的那幅圖。我們知道，如果穿過導線所圍成的表面的力線數目發生變化，就會產生感生電流。因此，無論是磁場變化還是電路發生變形或移動，都會出現電流。也就是說，只要穿過表面的磁力線數目發生了變化，無論是由什麼引起的，都會出現電流。若把所有這些可能性都考慮進來以討論它們的特殊影響，勢必會引出一種非常複雜的理論。但能否把這個問題簡化呢？讓我們試著不去考慮與電路的形狀、長度以及導線圍成的表面有關的一切因素，想像這幅圖中的電路變得越來越小，漸漸收縮成一個極小的線圈，只包含空間的某一點。這樣一來，與形狀和大小有關的因素就完全不相干了。在閉合曲線收縮成一點的這個極限過程中，我們自然而然不再考慮線圈的大小和形狀，由此得到的定律把磁場和電場在任一時刻和空間中任何一點的變化聯繫在一起。
這是通向麥克斯韋方程的主要步驟之一。它同樣是想像出來的理想實驗，即用一個縮成一點的電路來重複法拉第的實驗。
我們其實應當稱它為半步，而不是一整步。到目前為止，我們的注意力一直集中在法拉第的實驗上，但建立在奧斯特實驗基礎上的場論的另一個支柱也必須同樣認真地加以考察。在這個實驗中，磁力線在電流周圍盤捲起來。把環形的磁力線縮成一點，就邁出了剩餘半步。而整個這一步給出了磁場和電場在任一時刻和空間中任何一點的變化之間的關聯。
此外，還有重要的一步需要邁出。根據法拉第的實驗，必須有導線來檢驗電場是否存在，正如在奧斯特的實驗中必須有磁極或磁針來檢驗磁場是否存在一樣。但麥克斯韋的新理論觀念超越了這些實驗事實。在麥克斯韋的理論中，電場和磁場，或者簡單地說電磁場，是某種實在的東西。變化的磁場總會產生電場，不論是否有導線去檢驗電場的存在；變化的電場也總會產生磁場，不論是否有磁極去檢驗磁場的存在。
因此，提出麥克斯韋方程需要兩個關鍵步驟。第一，在思考奧斯特的實驗和羅蘭的實驗時，必須把圍繞電流和變化的電場盤捲起來的磁場的環形力線縮成一點；在思考法拉第的實驗時，必須把圍繞變化的磁場盤捲起來的電場的環形力線縮成一點。第二，認識到場是某種實在的東西；電磁場一旦產生出來，就會按照麥克斯韋的定律而存在、作用和變化。
麥克斯韋方程描述了電磁場的結構。這些定律的適用場所是整個空間，而不像力學定律那樣，只適用於有物質或電荷存在的一些點。
我們還記得，在力學中，如果知道一個粒子在某一時刻的位置和速度，又知道作用力，就可以預知這個粒子的整個未來路經。在麥克斯韋的理論中，如果知道場在某一時刻的情況，就可以由理論方程推出整個場在空間和時間中如何變化。就像力學方程使我們能夠追溯物質粒子的歷史，麥克斯韋方程亦能使我們追溯場的歷史。
但力學定律與麥克斯韋定律之間仍然有一個重要區別。比較一下牛頓的引力定律與麥克斯韋的場定律，就能顯示出這些方程所表達的一些典型特徵。
藉助於牛頓定律，我們可以由太陽與地球之間的作用力推出地球的運動。牛頓定律把地球的運動與太陽的作用聯繫在一起。地球和太陽雖然相距甚遠，但都是力的演出中的演員。
在麥克斯韋的理論中，根本沒有物質演員。該理論的數學方程表達了支配電磁場的定律。它們不像牛頓定律那樣把兩個相隔很遠的事件聯繫在一起，不是把此地發生的事情與彼地的條件聯繫在一起。此時此地的場只與剛剛過去那個時刻直接鄰域的場有關。如果知道此時此地發生的事情，我們就可以藉助於這些方程預測空間上稍遠的位置以及時間上稍遲的時刻會發生什麼，進而一步步增加對場的了解。把這些很小的步驟加起來，就可以從遠處發生的事情推出此處發生的事情。而牛頓理論則恰恰相反，它只容許一些把遙遠的事件聯繫起來的大步驟。奧斯特和法拉第的實驗都可以從麥克斯韋的理論中重新獲得，但要想做到這一點，只能把受麥克斯韋方程支配的各個小步驟加起來。
若對麥克斯韋方程進行更深入的數學研究，我們便可以得出一些新的出乎意料的結論，從而能在更高的層次上檢驗整個理論，因為理論的推論現已定量，可以通過一連串邏輯論證揭示出來。
我們再來設想一個理想實驗。假定在外界影響下，一個帶電小球像鐘擺一樣有節奏地快速振盪起來。根據我們關於場的變化所掌握的知識，如何用場的語言來描述這裡正在發生的事情呢？
電荷的振蕩產生了變化的電場，而變化的電場又總是伴隨著變化的磁場。如果把閉合電路放在附近，那麼這個變化的磁場又會伴隨著電路中的電流。所有這些都只是重複已知的事實，但研究麥克斯韋方程可以使我們更深地理解振盪電荷的問題。從麥克斯韋方程出發進行數學推導，我們可以查明振盪電荷周圍場的性質、在場源近處和遠處的結構以及隨時間的變化。這樣推理出來的結果就是電磁波。振盪的電荷輻射出能量，能量以一定的速度穿越空間；但能量的轉移——一種狀態的運動——乃是一切波動現象的特性。
我們已經考察過幾種不同類型的波：既有球體的振動所產生的縱波，密度變化經由介質傳播出去；又有在一種膠狀介質中傳播的橫波，球體轉動所導致的膠狀物的形變經由介質傳播出去。那麼電磁波傳播的是什麼種類的變化呢？正是電磁場的變化！電場的每一次變化都會產生磁場，這個磁場的每一次變化又會產生電場，……，電場和磁場就這樣相互產生下去。由於場代表能量，以特定速度在空間中傳播的所有這些變化就形成了一個波。從理論中可以推出，電力線和磁力線總處於與傳播方向垂直的平面上，因此形成的波是橫波。我們根據奧斯特和法拉第的實驗而形成的場的圖像仍然保持著原有的特徵，但我們現在認識到，它有著更深的意義。
電磁波是在空蕩蕩的空間中傳播的，這同樣是麥克斯韋理論的一個推論。如果振盪電荷突然停止運動，它的場就成了靜電場。但電荷振盪所產生的一系列波繼續在傳播。這些波獨立存在著，其變化的歷史可以追溯，就像追溯任何其他物質對象的歷史一樣。
麥克斯韋方程描述了電磁場在空間中任一點和任一時刻的結構，由這些方程可以推出，電磁波在空間中以一定的速度傳播著，並且隨時間變化。
還有一個非常重要的問題：電磁波是以多大的速度在空間中傳播的呢？藉助於與波的實際傳播無關的一些簡單實驗的數據，麥克斯韋的理論給出了明確回答：電磁波的速度等於光速。
奧斯特和法拉第的實驗是麥克斯韋定律的基礎。這些定律是用場的語言表達的。我們前面談到的所有結果都來自於對這些定律的認真研究。電磁波以光速傳播，這一理論發現是科學史上最偉大的成就之一。
實驗證實了理論的預言。50年前，赫茲第一次證明了電磁波的存在，並且用實驗證實了它的速度等於光速。今天，千千萬萬的人都在見證電磁波的發送和接收。他們的儀器遠比赫茲的儀器複雜，這些儀器能夠探測到距離波源數千英里以外波的存在，而不是只有幾米開外。
4.場和以太
電磁波是以光速在空間中傳播的橫波。光速等於電磁波的速度，這暗示光學現象與電磁現象之間有密切的關係。
如果不得不在微粒說與波動說之間作出抉擇，那麼我們決定支持波動說。光的衍射是影響我們作出這一決定的最有力論據。但假定光波是一種電磁波不僅不會違反任何對光學事實的解釋，相反還會得出其他結論。假如真是這樣，那麼物質的光學性質與電學性質之間必定存在著某種聯繫，這種聯繫可以從麥克斯韋的理論中推導出來。事實上，我們的確可以推出這樣的結論，而且禁得起實驗的檢驗，這是支持光的電磁說的關鍵論據。
這個重大成果歸功於場論。兩個看似無關的科學分支被同一個理論統一了起來。同一套麥克斯韋方程既可以描述電磁感應，又可以描述光的折射。如果我們的目標是用一個理論來描述業已發生或可能發生的一切現象，那麼光學與電學的結合無疑是向前邁進了一大步。從物理學的觀點來看，普通電磁波與光波的唯一區別是波長：光波的波長很短，肉眼就可以檢測到，而普通電磁波的波長很長，需要無線電接收器才能檢測出來。
舊力學觀試圖把自然之中的所有事件都歸結為物質粒子之間的作用力。電流體理論就是建立在這種力學觀基礎上的第一種樸素理論。在19世紀初的物理學家看來，場並不存在，只有實體和實體的變化才是真實的。他試圖只用直接涉及兩個電荷的概念來描述兩個電荷之間的作用。
起初，場的概念僅僅是方便我們從力學觀去理解現象的一種工具。而在新的場語言中，對於理解電荷的作用至關重要的不是電荷本身，而是對電荷之間場的描述。人們對新概念的認識逐漸加深，以至於後來場的重要性超過了實體。大家意識到，物理學中發生了非常重要的事情。一種新的實在被創造出來，這是一個在力學描述中沒有地位的新概念。經過一番努力，場的概念在物理學中漸漸取得了領導地位，直到今天也仍然是一個基本的物理概念。在現代物理學家看來，電磁場就和他所坐的椅子一樣實在。
但是，如果認為新的場論已經使科學擺脫了舊的電流體理論的錯誤，或者說新理論摧毀了舊理論的成就，那是不公平的。新理論既顯示了舊理論的局限性，也顯示了它的優點，使我們能從一個更高的層次上重新獲得舊概念。不僅電流體和場的理論是如此，任何物理理論的變化，無論看起來多麼具有革命性，都是如此。例如，我們仍然可以在麥克斯韋的理論中看到電荷概念，儘管這裡的電荷僅僅是電場的一個源。庫侖定律仍然有效，作為諸多推論之一包含在麥克斯韋方程中。我們仍然可以應用舊理論，只要研究的事實處於該理論的有效範圍之內。但我們也可以應用新理論，因為一切已知事實都包含在新理論的有效範圍之內了。
借用一個比喻，我們可以說，創立新理論與其說像摧毀一個舊倉庫，在那裡建起一座摩天大樓，倒不如說更像在爬山，隨著視野變得越來越寬廣，會發現我們的出發點與周圍的廣大區域之間有著意想不到的關聯。但我們的出發點還在那裡，仍然可見，只不過顯得更小了，成為我們克服種種阻礙爬上山峰之後獲得的寬廣視野中一個極小的部分。
的確，人們很久才認識到麥克斯韋理論的全部內容。起初，大家都以為藉助於以太，最後總可以用力學方法來解釋場。後來漸漸意識到，這種綱領是行不通的，場論的成果已經太顯著和重要，以致不可能用力學教條來替換它。另一方面，為以太設計力學模型的問題似乎變得越來越沒有意義，那些假設的牽強與人為愈發令人沮喪。
現在唯一的出路似乎是理所當然地認為空間具有傳送電磁波的物理屬性，而不去過分在意這句話的含義。我們仍然可以使用「以太」這個詞，但只是為了表達空間的某種物理屬性。在科學的發展過程中，「以太」這個詞的含義已經屢次改變。此時它已不再是一種由粒子構成的介質。它的故事還沒有結束，相對論將它繼續了下去。
5.力學框架
故事進行到這個階段，我們必須回到開頭，即伽利略的慣性定律。我們再次引用它：
任何物體都會保持其靜止或勻速直線運動狀態，除非有外力迫使其改變這種狀態。
一旦理解了慣性概念，我們對它似乎已經沒有更多可說的了。雖然我們已經詳細討論過這個問題，但並沒有窮盡。
設想有一位嚴肅的科學家，他相信可以用實際的實驗來證明或否證慣性定律。他沿著水平的桌面推動小球，並儘可能地消除摩擦。他注意到，桌面和小球越光滑，運動就越均勻。正當他要宣布慣性原理時，有人突然給他開了一個玩笑。我們的物理學家在一個與外界完全隔絕的無窗房間裡工作。開玩笑之人安裝了某種機械裝置，使整個房間可以圍繞一根穿過其中心的軸迅速旋轉。旋轉一經開始，這位物理學家便得到了出乎預料的新體驗。一直在勻速運動的小球試圖遠離房屋中心，儘可能地靠近房間牆壁。他本人亦感到有一種奇特的力把他推到牆上。他的感覺與轉急彎的火車或汽車中的人的感覺很相似，與旋轉木馬上的人的感覺更相似。他之前得到的所有成果於此毀於一旦。
我們這位物理學家不得不連同慣性定律放棄所有力學定律。慣性定律是他的出發點，倘若這個出發點改變了，他所有進一步的結論也就改變了。一個觀察者如果註定要在這個轉動的房間度過一生，並且在裡面做所有實驗，那麼他將得到與我們不同的力學定律。另一方面，如果他進入房間時對物理學的原理已經有了深刻的認識和堅定的信念，那麼他會解釋說，力學之所以看起來出了毛病，是因為房間在旋轉。藉助於力學實驗，他甚至可以查明房間是如何旋轉的。
我們為什麼對旋轉房間中的這位觀察者這麼感興趣？這是因為在我們的地球上，在某種程度上我們也處於同樣的狀況。自哥白尼時代以來我們已經知道，地球在繞軸自轉並且繞太陽運轉。在科學的發展中，即使是這個大家都很清楚的簡單觀念也並非未受觸動。不過讓我們暫時拋開這個問題，接受哥白尼的觀點。如果這位旋轉的觀察者無法驗證力學定律，那麼我們在地球上也應當無法驗證。不過地球旋轉得較慢，因此影響並不很明顯。儘管如此，許多實驗都顯示與力學定律有微小偏差，可以認為，這些偏差的一致性證明了地球在轉動。
可惜我們無法置身於太陽與地球之間，在那裡證明慣性定律的嚴格有效性，並且觀察一下旋轉的地球。只有在想像中才能做到這些。所有實驗都只能在我們居住的地球上進行。這一事實常常被更科學地說成：地球是我們的坐標系。
為了更清楚地表明這些詞的意思，不妨舉一個簡單的例子。我們可以預言從塔上丟下的石頭在任一時刻的位置，並通過觀察來驗證我們的預言。將一根量杆置於塔旁，我們便可以預言落體在任一時刻會與量杆上的哪個標記重合。顯然，我們不能用橡膠或實驗時會發生變化的其他任何材料來製作塔和量杆。事實上，我們的實驗原則上只需要一把與地球剛性連接的刻度不變的標尺以及一個走時準確的鐘。有了這兩件東西，我們不僅可以忽視塔的建築設計，甚至可以忽視塔的存在。上述假設都很平凡，描述這些實驗時通常不會提到。但這種分析表明，我們的每一句陳述背後都隱藏著許多假設。這裡我們假定存在著一根剛性的量杆和一個理想的鐘，否則我們就無法檢驗伽利略的落體定律。有了這些簡單而基本的物理儀器，一根量杆和一個鍾，我們就能在一定的準確度上驗證這個力學定律。認真做這個實驗，就會發現理論與實驗之間有些偏差，這是因為地球在旋轉，或者換句話說，因為這裡表述的力學定律在與地球剛性連接的坐標系中並非嚴格有效。
在所有力學實驗中，無論是什麼類型，我們都必須確定質點在某一時刻的位置，就像在上述實驗中確定落體的位置一樣。但位置必須相對於某種東西來描述，比如在上述實驗中相對於塔和標尺來描述位置。我們需要某個所謂的參照系，這是一個用來確定物體位置的力學框架。若要描述物體和人在城市中的位置，大街小巷就是我們的參照系。迄今為止，我們引用力學定律時從未關注過參照系，因為我們碰巧生活在地球上，在任何情況下都不難固定一個與地球剛性連接的參照系。我們的所有觀察都參照的這個由剛性的不變物體構成的參照系被稱為坐標系。
迄今為止，我們所有的物理陳述都缺少某種東西。我們沒有注意到，一切觀察都必須在某個坐標系中進行。我們沒有描述這個坐標系的結構，而是徑直忽視了它的存在。例如我們曾說「一個物體在勻速運動……」，其實我們應該這樣說：「一個物體相對於某個選定的坐標系在勻速運動……。」那個旋轉房屋的實驗告訴我們，力學實驗的結果也許依賴於我們選擇的坐標系。
如果兩個坐標系作相對轉動，那麼力學定律不可能在兩者中都有效。若把一個游泳池當作其中一個坐標系，而且它的水面是平的，那麼在另一個坐標系來看，這類游泳池中的水面就是彎的，這是用茶匙攪動咖啡的人所熟知的現象。
在表述力學的主要線索時，我們忽略了很重要的一點。我們並沒有說它們相對於哪一個坐標系有效。於是，整個經典力學都懸在半空中，因為我們不知道它是相對於哪一個坐標系而言的。不過，這個困難我們暫且不去考慮。我們要做一個略有不確的假設，即在任何與地球剛性連接的坐標系中，經典力學的定律都有效。這樣做是為了把坐標系固定下來，使我們的陳述明確起來。雖然說地球是一個合適的參照系並不完全正確，但我們暫且接受它。
因此，我們假定存在著一個力學定律在其中有效的坐標系。這樣的坐標系只有一個嗎？假定有一個相對於地球在運動的坐標系，比如一列火車、一艘船或一架飛機，在這些新的坐標系中，力學定律都有效嗎？我們確實知道它們並非總是有效，比如火車轉彎，船在風暴中顛簸，飛機在尾旋下降時。我們先看一個簡單的例子。假定有一個坐標系在相對於我們的「好」坐標系（即力學定律在其中有效的坐標系）勻速運動，比如一列沿直線勻速行駛的理想火車或一艘平穩航行的輪船。我們從日常經驗中得知，這兩個坐標系都是「好的」，在勻速行駛的火車或輪船中所做的物理學實驗和在地面上做的實驗將會給出完全相同的結果。但如果火車突然停止或加速，或者海面起了風浪，就會發生奇怪的事情。在火車裡，箱子從行李架上掉下來；在船上，桌椅東歪西倒，乘客也暈船了。從物理學的觀點來看，這隻表明力學定律不適用於這些坐標系，它們是「壞」坐標系。
這個結果可以表達為所謂的伽利略相對性原理：如果力學定律在一個坐標系中有效，那麼它們在相對於這個坐標系作勻速直線運動的任何其他坐標系中也有效。
假定有兩個相對作非勻速運動的坐標系，則力學定律不可能在兩者中都有效。「好」坐標系就是力學定律在其中有效的坐標系，稱為慣性系。至於慣性系是否存在，這個問題直到現在也沒有解決。但只要有這樣一個系統，就會有無數個這樣的系統。任何相對於初始慣性系作勻速直線運動的坐標系都是慣性系。
考慮這樣一種情形：兩個坐標系從已知位置出發，以已知的速度相對作勻速直線運動。喜歡具象思維的人可以設想是一艘船或一列火車相對於地面在運動。無論在地面上還是在相對地面作勻速直線運動的火車或船上，都能以同樣的精確度對力學定律進行實驗驗證。但是，假如兩個系統的觀察者分別站在各自系統的立場上開始討論對同一事件的觀察，便會出現某種困難。每個人都想把對方的觀察翻譯成自己的語言。再舉一個簡單的例子：從地球和作勻速直線運動的火車這兩個坐標系來觀察一個粒子的同樣運動。這兩個坐標系都是慣性系。如果兩個坐標系在某一時刻的相對速度和相對位置均為已知，那麼是否只要知道了在一個坐標系中的觀察結果，就可以查明在另一個坐標系中的觀察結果呢？描述事件時，必須知道如何從一個坐標系過渡到另一個坐標系，因為這兩個坐標系是等價的，同樣適合於描述自然事件。事實上，只要知道一個坐標系中的觀察者獲得的結果，就可以知道另一個坐標系中的觀察者所獲得的結果。
讓我們更抽象地考慮這個問題，不用船或火車。為簡便起見，我們只研究直線運動。假定有一根帶有刻度的剛性量杆和一個準時的鐘。在直線運動的簡單情形中，剛性量杆就像伽利略實驗中塔上的標尺一樣代表一個坐標系。在直線運動的情形中，把坐標系想像成一根剛性量杆，在任意運動的情形中，把坐標系想像成一個由相互平行和垂直的量杆所組成的剛性框架，總要更簡單、更好，塔、牆、街道等則不必考慮。假定在這種最簡單的情形中有兩個坐標系，即兩根剛性量杆，我們把一根畫在另一根上面，分別稱之為「上」坐標系和「下」坐標系。假定這兩個坐標系以某個速度作相對運動，一根沿著另一根滑動。還可以假定兩根量杆均為無限長，只有起點沒有終點。這兩個坐標系只用一個鍾就夠了，因為時間的流逝對這兩個坐標系是一樣的。觀察開始時，兩根量杆的起點是重合的。此時質點的位置在兩個坐標系中是用同一個數來刻畫的。這個質點與量杆刻度上的某一點重合，這樣就給出了確定該質點位置的數。但假如兩根量杆相對作勻速運動，那麼過了一段時間，比如1秒鐘，則與位置相應的數將會不同。考慮靜止於上量杆的一個質點，確定它在上坐標系中位置的數不隨時間而改變，但下量杆上相應的數卻隨時間而改變。我們不說「質點位置對應的數」，而會簡要地說「質點的坐標」。於是我們從圖上看到，下面這句話雖然聽起來很複雜，卻是正確的，而且表達的意思非常簡單。質點在下坐標系的坐標等於它在上坐標系的坐標加上上坐標系的原點在下坐標系的坐標。重要的是，只要我們知道質點在一個坐標系中的位置，就能計算出它在另一個坐標系中的位置。為此，我們必須知道這兩個坐標系在每一個時刻的相對位置。這些內容雖然聽起來很學術，其實很簡單，若不是後面還會用到，幾乎不值得作這些詳細討論。
這裡要注意確定質點的位置與確定事件的時間之間的差別。每一個觀察者都有他自己的量杆作為他的坐標系，但他們所有人都只有一個鍾。時間是某種「絕對的」東西，對於所有坐標系中的所有觀察者來說都以相同的方式流逝。
再舉一個例子。一個人以每小時3英里的速度在一艘大船的甲板上散步。這是他相對於船的速度，或者說是他相對於一個與船剛性連接的坐標系的速度。假定船相對於岸的速度是每小時30英里，而且人與船沿同一方向作勻速運動，那麼這個散步的人相對於岸上一位觀察者的速度將是每小時33英里，相對於船是每小時3英里。我們可以把這個事實說得更抽象一些：一個運動質點相對於下坐標系的速度等於它相對於上坐標系的速度加上或減去上坐標系相對於下坐標系的速度，是加是減要看速度方向相同還是相反。因此，如果知道兩個坐標系的相對速度，我們可以把位置和速度從一個坐標系變換到另一個坐標系。位置（或坐標）和速度都是這樣一些量的例子，它們在不同的坐標系中有所不同，並且由一些（在這個例子中非常簡單的）變換定律聯繫在一起。
然而，有些量在兩個坐標系中是相同的，所以無須變換定律。比如在上量杆上取兩個固定點，考察它們之間的距離。這個距離便是兩點的坐標之差。為了找到這兩個點相對於不同坐標系的位置，我們不得不使用變換定律。但如圖所示，在構造兩個位置的差異時，不同坐標系所產生的影響相互抵消了。我們得先加上再減去兩個坐標系原點之間的距離。因此，兩點之間的距離是不變的，也就是與坐標系的選擇無關。
下一個與坐標系無關的量的例子是速度的變化，這個概念我們在力學中已經很熟悉了。假定從兩個坐標系去觀察一個沿直線運動的質點。在每一個坐標系中的觀察者看來，質點的速度變化是兩個速度之差，而兩個坐標系的相對勻速運動所產生的影響在計算兩者之差時消去了，因此速度的變化是一個不變量，當然，只有當兩個坐標系相對作勻速直線運動時才是如此。否則，速度變化在每一個坐標系中也會不同，這種不同是由代表我們坐標系的兩根量杆的相對運動的速度變化帶來的。
現在舉最後一個例子。假定有兩個質點，其間的作用力只與距離有關。在直線運動的情況下，距離是不變量，因而力也是不變量。因此，把力與速度的變化聯繫起來的牛頓定律在兩個坐標系中都有效。我們再次得到了一個被日常經驗所確證的結論：如果力學定律在一個坐標系中有效，那麼它們在相對於該坐標系作勻速直線運動的一切坐標系中都有效。當然，我們的例子非常簡單，是坐標系可以用一根剛性量杆來代表的直線運動的例子。但我們的結論卻普遍有效，可以將它們概括為以下幾條：
1.我們不知道有什麼規則能夠找到一個慣性系。但只要給出一個慣性系，就能找到無數個，因為所有相對作勻速直線運動的坐標系，只要其中一個是慣性系，就全都是慣性系。
2.與一個事件相對應的時間在所有坐標系中都相同。而坐標和速度卻並非如此，它們依照變換定律而改變。
3.雖然從一個坐標系過渡到另一個坐標系時坐標和速度會改變，但力和速度變化相對於變換定律卻是不變的，因此力學定律相對於變換定律也是不變的。
我們把這裡針對坐標和速度而提出的變換定律稱為經典力學的變換定律，或者簡稱經典變換。
6.以太和運動
伽利略相對性原理對於力學現象是有效的。同樣的力學定律適用於一切作相對運動的慣性系。那麼對於非力學現象，尤其是場的概念被證明非常重要的那些現象，這條原理也是有效的嗎？與這個問題有關的一切問題立刻把我們帶到了相對論的出發點。
我們還記得，光在真空或者說以太中的速度是3×108米每秒，光是一種在以太中傳播的電磁波。電磁場攜帶著能量，這種能量一旦從它的源輻射出去，就有了獨立的存在性。雖然我們已經深知以太在力學結構上有許多困難，但我們暫時還是繼續認為電磁波和光波在以太介質中傳播。
設想我們坐在一個與外界完全隔絕的封閉房間裡，空氣既不能進來也不能出去。如果我們坐著說話，那麼從物理的觀點來看，我們是在製造聲波，它以聲音在空氣中的速度從靜止的聲源傳播出去。倘若口耳之間沒有空氣或其他物質介質，我們就聽不到聲音。實驗表明，如果沒有風，而且空氣在我們所擇定的坐標系中是靜止的，那麼聲音在空氣中的速度沿各個方向都是一樣的。
現在想像我們的房間勻速穿過空間。屋外的人可以透過運動房間（如果你願意，也可以說火車）的玻璃牆看到裡面發生的一切。他可以根據屋內觀察者的測量結果推導出聲音相對於與他那個環境相連的坐標系的速度，房間正是相對於這個坐標系運動的。這又是前面已經討論很多的那個老問題，即已知在一個坐標系中的速度，如何確定在另一個坐標系中的速度。
屋內的觀察者宣稱：在我看來，聲音沿各個方向的速度都是一樣的。
屋外的觀察者則宣稱：在我的坐標系中確定的、在運動的房間中傳播的聲音速度沿各個方向並不相等。沿著房間運動方向的聲速比標準聲速大，逆著房間運動方向的聲速比標準聲速小。
這些結論都是從經典變換中得出的，可以通過實驗來驗證。房間攜帶著它裡面傳播聲音的空氣介質一起運動，因此聲速對於屋內和屋外的觀察者是不同的。
根據把聲音看成在物質介質中傳播的波的理論，我們還可以推出其他結論。要想聽不到某個人的聲音，我們可以（儘管這絕非最簡單的方法）相對於他周圍的空氣以大於聲速的速度向前奔跑，這樣一來，產生的聲波就永遠也到達不了我們的耳朵了。另一方面，如果我們錯過了一個永遠也不會重複的重要的詞，我們必須以大於聲速的速度追趕聲波去捕捉那個詞。這兩個例子並沒有什麼不合理的地方，只不過我們都必須以大約400碼每秒的速度奔跑。但我們可以想像，隨著未來技術的進一步發展，這樣的速度是可以實現的。大炮射出的炮彈的速度其實要大於聲速，因此騎在這樣一顆炮彈上的人永遠也聽不到發射炮彈的聲音。
所有這些例子都是純力學性的，現在我們可以提出一些重要的問題：我們剛才就聲波所說的內容是否也適用於光波呢？伽利略相對性原理和經典變換是否既適用於力學現象，又適用於光學和電學現象呢？對於這些問題，如果只是簡單地回答「是」或「否」而不深究它們的含義，那是很危險的。
在相對於屋外觀察者作勻速直線運動的房間中的聲波的情形中，以下兩個中間步驟對於我們的結論是必不可少的：
運動的房間攜帶著傳播聲波的空氣一起運動。
在相對作勻速直線運動的兩個坐標系中觀察到的速度通過經典變換聯繫起來。
至於光的相應問題則要表述得略有不同：屋內的觀察者不再是說話，而是朝各個方向發出光信號或光波。我們進一步假定，發出光信號的光源永遠靜止在房間裡。光波在以太中運動，就像聲波在空氣中運動一樣。
房間是否會像帶著空氣一起運動那樣帶著以太一起運動呢？我們沒有以太的力學圖像，所以很難回答這個問題。如果房間是封閉的，裡面的空氣就不得不隨它運動。想像以太也是如此，這顯然沒有意義，因為所有物質都浸在以太之中，以太是無處不在的。任何門都關不住以太。所謂「運動的房間」現在僅僅指與光源剛性連接的一個運動的坐標系。但我們並非不能設想與光源一起運動的房間帶著以太一起運動，就像封閉的房間帶著聲源和空氣一起運動一樣。但我們同樣可以設想相反的情形：房間穿過以太，就像船穿過絕對平靜的大海一樣，不把介質的任何部分帶走而只是穿過它而已。在我們的第一幅圖像中，房間帶著光源和以太一起運動。在這種情況下，我們可以與聲波做類比，得出完全相似的結論。在我們的第二幅圖像中，房間帶著光源運動，但不帶著以太運動。在這種情況下就不能與聲波做類比了，在聲波的情況下得出的結論並不適用於光波。這是兩種極端的可能性。我們還可以設想更複雜的可能性，比如隨光源一起運動的房間只攜帶部分以太。但在我們查明實驗支持這兩種較為簡單的極限情形中的哪一種之前，沒有理由討論更為複雜的假設。
我們先講第一幅圖像，假定房間帶著與之剛性連接的光源和以太一起運動。如果我們相信那個應用於聲波速度的簡單的變換原理，那麼現在也可以把結論應用於光波。我們沒有理由懷疑這條簡單的力學變換定律，它不過是說，某些情況下速度必須相加，某些情況下速度必須相減。我們暫時假定隨光源一起運動的房間帶著以太走，並且假定經典變換成立。
如果我打開燈，光源與我的房間剛性地連接在一起，那麼光信號的速度將是那個著名的實驗值3×108米每秒。但屋外的觀察者會注意到房間的運動，因此也會注意到光源的運動。既然以太被帶著一起走，他一定會得出這樣的結論：在我的屋外坐標系中，沿不同方向的光速是不同的。沿著房間運動方向的光速比標準光速大，逆著房間運動方向的光速比標準光速小。我們的結論是：如果隨光源一起運動的房間帶著以太走，而且力學定律是有效的，那麼光速必定與光源的速度有關。如果光源朝著我們運動，從運動光源到達我們眼睛的光的速度就會較大，如果光源背離我們運動，光速就會較小。
倘若我們的速度大於光速，我們就應當可以逃開光信號。我們可以追上此前發送的光波，從而看到過去發生的事件。我們追上它們的順序與它們被發送的順序相反，地球上發生的一連串事件看起來會像從後往前放映電影一樣，先講故事的結局。這些結論都源於一個假設，即運動的坐標系帶著以太一起走，以及力學變換定律是有效的。倘若如此，光與聲音的類比就是完美的。
然而，沒有跡象表明這些結論是真的。恰恰相反，為證明這些結論而作的所有觀測都與之相違背。由於光速極大，會造成很多技術上的困難，所以這個裁定是從非常間接的實驗中得到的，但其明確性沒有任何疑問。無論光源是否在運動以及如何運動，光速在所有坐標系中都相同。
這個重要的結論可以從許多實驗中得出來。我們不準備詳細描述這些實驗，但可以作一些非常簡單的論證。這些論證雖然並未證明光速與光源的運動無關，但能讓這個事實令人信服和可以理解。
在我們的太陽系中，地球和其他行星都圍繞太陽運轉。我們不知道是否還有其他行星系與太陽系相似。不過，存在著許多由兩顆恆星組成的雙星系，兩顆恆星圍繞著它們的引力中心轉動。通過觀察這種雙星的運動，我們發現牛頓的引力定律是有效的。現在假定光的速度依賴於發射體的速度，那麼恆星發出的光線是更快還是更慢就要看恆星發光時的速度。在這種情況下，整個運動將會非常混亂，我們不可能通過遙遠的雙星來確證支配我們整個行星系運動的同一個引力定律的有效性。
我們再來考察一個實驗，它所依據的觀念非常簡單。想像有一個飛速旋轉的輪子。根據我們的假設，以太被輪子的運動所攜帶，並且參與運動。輪子靜止或運動時，經過輪子附近的光波的速度會有所不同。靜止以太中的光速不同於被輪子迅速帶動的以太中的光速，正如聲波的速度在無風和有風的日子會有所不同。但這種差異根本檢測不到！無論從哪一個角度切入這個主題，無論設計出什麼樣的判決性實驗，結果總是與運動會帶動以太這一假設相矛盾。於是，在一些更詳細的專業論證的支持下，我們得出了以下結論：
光速並不依賴於光源的運動。
運動物體不會帶動周圍的以太。
因此，我們必須放棄聲波與光波的類比，轉而研究第二種可能性：所有物質都在以太中運動，而以太不參與任何運動。這意味著我們要假定存在著一個以太海，所有坐標系都靜止其中或者相對於它運動。我們暫且不談實驗能否證明這個理論，先來熟悉一下這個新假設的含義以及從中能夠推出什麼結論。
有這樣一個坐標系，它相對於以太海是靜止的。在力學中有許多相對作勻速直線運動的坐標系，但沒有一個坐標系可以被區分出來。所有這些坐標系都同樣「好」或同樣「壞」。如果有兩個相對作勻速直線運動的坐標系，在力學中問其中哪一個運動、哪一個靜止是毫無意義的。我們只能觀察到相對的勻速直線運動。伽利略相對性原理使我們無法談及絕對的勻速直線運動。不僅存在著相對的勻速直線運動，而且存在著絕對的勻速直線運動，這句話是什麼意思呢？它不過是說，有這樣一個坐標系，一些自然定律在它之中不同於在所有其他坐標系之中。此外，每一個觀察者都可以把在自己坐標系中有效的定律與在那個唯一的標準坐標系中有效的定律加以比較，以判定他自己的坐標系究竟是靜止還是運動。這裡的情況與經典力學不同，在經典力學中，伽利略的慣性定律使得絕對的勻速直線運動是毫無意義的。
如果假設運動是穿過以太的，那麼在場的現象領域中可以得出什麼結論呢？這意味著有一個坐標系與所有其他坐標系都迥然不同，它相對於以太海是靜止的。顯然，在這個坐標系中有些自然定律必定是不同的，否則說「運動穿過以太」就沒有意義了。如果伽利略相對性原理是有效的，那麼運動穿過以太將毫無意義。這兩種觀念是無法調和的。然而，倘若存在一個由以太確定的特殊坐標系，那麼說「絕對運動」或「絕對靜止」就有了明確的意義。
其實我們沒有選擇的餘地。為了拯救伽利略相對性原理，我們曾假定坐標系在運動時帶著以太一起走，但發現與實驗不符。唯一出路就是放棄伽利略相對性原理，嘗試假定一切物體都在平靜的以太海中運動。
下一步就是考察一些結論，它們違反伽利略相對性原理，支持運動穿過以太，並付諸實驗檢驗。這樣的實驗容易設想，但很難做。由於我們這裡只關注思想，所以不必操心技術上的困難。
我們再回到前述的運動房間和屋內屋外的兩位觀察者。屋外的觀察者代表由以太海指定的標準坐標系，在這個與眾不同的坐標系中，光速總是具有同樣的標準值。以太海中的所有光源，無論是靜止還是運動，傳播出來的光速都是一樣的。房間和它的觀察者都穿過以太而運動。設想房間中央的燈忽然發出閃光，隨即熄滅，並設想房間的牆是透明的，因此屋內屋外的兩位觀察者都能測量光速。假如問這兩位觀察者期待得到什麼樣的結果，他們的回答大概會是這樣：
屋外的觀察者：我的坐標系由以太海指定，我的坐標系中的光速總是那個標準值。我不必理會光源或其他物體是否在運動，因為它們絕不會把我的以太海帶走。我的坐標系區別於所有其他坐標系。在這個坐標系中，無論光束的方向或光源的運動如何，光速必定是其標準值。
屋內的觀察者：我的房間穿過以太海而運動。房間的一面牆在遠離光，另一面牆在靠近光。倘若我的房間相對於以太海以光速運動，那麼從房間中央發出的光永遠也到不了以光速遠離它的那面牆。假如房間的運動速度小於光速，那麼從房間中央發出的光波將先到達某一面牆。它將先到達朝著光波運動的牆，再到達遠離光波運動的牆。因此，雖然光源與我的坐標系剛性連接，但沿各個方向的光速卻不會相同。在相對於以太海運動的方向上光速較小，因為牆在遠離；在相反的方向上光速較大，因為牆在朝著光波運動，所以遇到光波早些。
因此，只有在以太海所指定的那個坐標系中，各個方向上的光速才是相等的。而在相對於以太海運動的其他坐標系中，光速與我們的測量方向有關。
憑藉剛才考察的判決性實驗，我們可以檢驗運動穿過以太海的理論。事實上，大自然為我們提供了一個高速運動的系統——每年繞太陽運轉一周的地球。如果我們的假設是正確的，那麼沿著地球運動方向的光速將會不同於逆著地球運動方向的光速。這種差異可以計算出來，並且可以設計出恰當的實驗加以驗證。由於該理論預言的時間差很小，所以必須有非常精巧的實驗安排。著名的邁克耳孫－莫雷實驗（Michelson-Morley experiment）實現了這個目的，它未能發現光速與方向有什麼關係，從而宣判了所有物質都在平靜的以太海中穿行的理論死刑。倘若假設以太海理論，那麼不僅光速，而且其他與場有關的現象也會顯示出與運動坐標系的方向有關。每一個實驗都與邁克耳孫－莫雷實驗一樣給出了否定的結果，從未表明與地球的運動方向有任何關係。
局面變得越來越嚴重了。兩條假設我們都已經試驗過了。第一個是說運動物體帶著以太走，它違反了光速與光源的運動無關這個事實。第二個是說存在著一個獨特的坐標系，運動物體不是帶著以太走，而是在永遠平靜的以太海中穿行。如果是這樣，那麼伽利略相對性原理就是無效的，光速不可能在每一個坐標系中都相等。這同樣與實驗相矛盾。
還有更加人為的理論被試驗過，認為真理介於這兩個極限情形之間，運動物體只攜帶一部分以太。但這些理論都失敗了。事實證明，藉助於以太的運動，穿過以太的運動，或者同時用這兩種運動來解釋運動坐標系中的電磁現象的所有努力均以失敗而告終。
這樣便出現了科學史上最富戲劇性的局面之一。所有關於以太的假設都行不通！實驗的判決總是否定的。回顧物理學的發展我們可以看到，以太自出生之日起便是物理實體家族中「令人難堪的孩子」。首先，我們構造不出簡單的以太力學模型，只好作罷，這在很大程度上導致了力學觀的崩潰。其次，我們不再指望通過以太海的存在來區分出一個坐標系，使我們既能識別相對運動又能識別絕對運動。除了帶著波一起走，這將是以太顯示和證明自己存在的唯一方式。我們想讓以太變得實在的一切努力都失敗了。它既顯示不出其力學結構，又顯示不出絕對運動。除了發明以太時賦予它的性質，即傳播電磁波的能力，所有其他性質都沒有留下來。我們試圖發現以太的性質，卻導致了困難和矛盾。有過這麼多糟糕的經歷，現在是徹底忘掉以太，再也不提它名字的時候了。我們說：空間具有傳播波的物理屬性，這樣便省去了那個我們決定避開的詞。
當然，從我們的詞彙中刪去一個詞是於事無補的。我們遇到的麻煩太大了，根本無法以這種方式來解決！
我們現在把已經被實驗充分驗證的事實寫下來，不再操心「以太」問題。
1. 光在真空中的速度永遠為標準值，與光源或光的接受者的運動無關。
2. 在兩個相對作勻速直線運動的坐標系中，所有自然定律都完全等同，無法區分出絕對的勻速直線運動。
有許多實驗確證了這兩點，沒有一個實驗與其中任何一點相矛盾。第一點表達了光速的不變性，第二點則把為力學現象提出的伽利略相對性原理推廣到一切自然現象。
在力學中，我們已經看到：如果一個質點相對於一個坐標系有某個速度，那麼它在相對於前一坐標系作勻速直線運動的另一個坐標系中的速度將會有所不同。這一結論源於簡單的力學變換原理。這些原理是從我們的直覺（人相對於船和岸運動的例子）中直接得來的，似乎不會有什麼錯誤。但這個變換定律與光速不變性是矛盾的。或者換句話說，我們需要補充第三條原理。
3. 位置和速度是根據經典變換從一個慣性系變換到另一個慣性系的。
矛盾是顯而易見的。我們不能把（1）（2）（3）結合在一起。
經典變換看起來極為自明和簡單，似乎無法加以改變。我們已經嘗試改變過（1）和（2），但與實驗結果不一致。所有關於「以太」運動的理論都要求修改（1）和（2），但這毫無用處。我們再次意識到困難的嚴重性。我們需要一條新的線索，那就是接受（1）和（2）這兩條基本假設，而放棄（3），儘管這看起來很奇怪。這條新線索始於對最基本、最原始概念的分析，我們這就來說明這種分析如何迫使我們改變了舊觀點，從而消除了所有困難。
7.時間、距離、相對論
我們的新假設是：
（1）在所有相對作勻速直線運動的坐標系中，光在真空中的速度都相同。
（2）在所有相對作勻速直線運動的坐標系中，一切自然定律都相同。
相對論就是以這兩條假設為出發點的。從現在開始，我們不再使用經典變換了，因為我們知道它與這兩條假設相矛盾。
就像科學中向來所做的那樣，這裡需要把我們那些常常未經評判便加以接受的根深蒂固的偏見除去。既然我們已經看到，改變（1）和（2）會與實驗相矛盾，我們就必須勇於承認它們是有效的，轉而處理那個可能的弱點，即如何把位置和速度從一個坐標系變換到另一個坐標系。我們打算從（1）和（2）中推出結論，看看這兩條假設與經典變換矛盾在何處，是怎樣矛盾的，並且找到這些結論的物理意義。
我們再次使用屋內屋外有兩位觀察者的運動房間的例子。從房間中央發出一個光信號，我們再問這兩個人期待觀察到什麼。此時他們只接受上述兩條原理，忘卻了以前所說的關於光在介質中穿行的內容。他們回答如下：
屋內的觀察者：從房間中央發出的光信號將同時到達房間的各面牆，因為各面牆與光源距離相等，光沿各個方向傳播的速度又相等。
屋外的觀察者：光在我坐標系中的速度與隨房間運動的觀察者的坐標系中完全一樣。在我看來，光源是否在我的坐標系中運動並不重要，因為光源的運動不會影響光速。我看到光信號以標準速度朝各個方向行進。一面牆試圖遠離光信號，另一面牆則試圖靠近光信號。因此，光信號碰到遠離的牆要比碰到靠近的牆稍遲一些。如果房間的速度比光速小很多，那麼這個時間差會極小，但光信號依然不會同時碰到這兩面與運動方向垂直的相對的牆。
比較了這兩位觀察者的預言之後，我們發現了一個非常驚人的結果，它與一些有著牢固基礎的經典物理學概念明顯相矛盾。在屋內的觀察者看來，兩束光到達兩面牆這兩個事件是同時的，而在屋外的觀察者看來卻並非同時。在經典物理學中，對於所有坐標系中的所有觀察者，我們都只有一個鍾，時間的流逝是一樣的。時間以及像「同時」、「較早」、「較晚」這樣的詞都有一種絕對的意義，與任何坐標系都沒有關係。在一個坐標系中同時的兩個事件，在所有其他坐標系中也必定同時。
（1）和（2）這兩條假設，也就是相對論，迫使我們放棄這種觀點。我們已經描述過，在一個坐標系中同時的兩個事件在另一個坐標系中卻不是同時的。我們的任務就是要理解這個結果，理解「在一個坐標系中同時的兩個事件，在另一個坐標系中可能不是同時的」這句話的意思。
「在一個坐標系中同時的兩個事件」是什麼意思呢？每個人從直覺上似乎都知道這句話的意思。但我們必須謹慎，力求給出嚴格的定義，因為我們知道過分重視直覺有多麼危險。我們先來回答一個簡單的問題。
什麼是鍾？
對於時間的流逝，原始的主觀感受使我們能夠排列出印象的次序，判定一件事發生得較早，另一件事發生得較晚。但要表明兩個事件的時間間隔為10秒鐘，就需要一個鍾。鐘的使用使時間概念成了客觀的。只要能夠精確重複任意多次，任何物理現象都可以當作一個鍾來使用。若把這樣一個事件的首尾時間間隔取作時間單位，那麼重複這個物理過程就可以測量任何時間間隔。所有的鐘，從最簡單的沙漏到最精密的儀器，都是以這個想法為基礎的。比如沙漏的時間單位就是沙從上面玻璃瓶流入下面玻璃瓶的時間間隔，倒轉玻璃瓶則可以重複這個物理過程。
兩個離得很遠的點上有兩個完美的鐘，所指示的時刻完全相同。如果不考慮作出驗證，這句話總該是正確的。但它到底是什麼意思呢？我們如何才能確信兩個相距很遠的鐘總是指示完全相同的時刻呢？一個可能的辦法是使用電視。需要注意的是，電視只是作為一個例子，對於我們的論證並不重要。我可以站在一個鐘的旁邊看著另一個鍾在電視上的圖像，然後可以判斷它們是否同時指示著相同的時刻。但這並不是一個好的證明。電視圖像是電磁波傳遞的，因此是以光速傳播的。我們在電視上看到的圖像是很短時間以前發出的，而我們在實際的鐘上所看到的卻是現在發生的。這個困難很容易避免。我必須在兩個鐘的中點處取這兩個鐘的電視圖像，在這個中點上觀察它們。於是，如果信號是同時發出的，則它們將同時到達我。如果從中點處觀察的兩個好鍾總是指示相同的時刻，則它們就很適合指示在距離很遠的兩點發生的事件的時間。
在力學中我們只用了一個鍾。但這並不很方便，因為我們必須在這個鐘附近來進行所有測量。若從遠處看鐘，比如通過電視去看，我們就必須牢記：我們現在看到的事情其實是以前發生的，一如我們是在日落髮生以後8分鐘才看到日落的。我們必須根據我們與鐘的距離對時間讀數作出修正。
因此，只有一個鍾是不方便的。但是現在，既然我們已經知道如何判斷兩個或更多個鐘是否同時指示相同的時刻，是否走得同樣快慢，我們完全可以在給定的坐標系中設想任意多個鐘，其中每一個都能幫助我們確定在它附近發生的事件的時間。所有這些鍾都相對於坐標系靜止，它們都是「好」鍾，都是同步的，就是說同時指示相同的時刻。
關於鐘的這種安排並沒有什麼特別奇怪的。我們現在使用很多個同步的鐘，而不是只使用一個，因此很容易判斷在給定的坐標系中，兩個遙遠的事件是否同時發生。兩個事件發生時，如果它們附近同步的鐘指示同樣的時刻，則它們就是同時的。「兩個相距遙遠的事件，其中一個比另一個發生得更早」，這一說法現在有了明確的意義。所有這些都可以用靜止在我們坐標系中的同步的鐘來判斷。
這與經典物理學是一致的，也沒有出現與經典變換相矛盾的地方。
為了定義什麼是同時的事件，我們藉助於信號來使鍾同步。我們在安排時，務必使信號以光速傳播，光速在相對論中發揮著非常根本的作用。
既然要討論兩個相對作勻速直線運動的坐標系的重要問題，我們就需要考察兩根量杆，每一根都配有一些鍾。兩個坐標系相對作勻速直線運動，每一個坐標系中的觀察者現在都有他自己的量杆和牢牢固定在量杆上的一組鍾。
在經典力學中討論測量時，我們把一個鍾用於所有坐標系。而在這裡，每一個坐標系都有多個鐘。這個差別並不重要。一個鍾足夠用了，但只要能精確同步，沒有人會反對使用多個鐘。
我們正在接近一個關鍵點，表明經典變換在哪裡違反了相對論。當兩組鐘相對作勻速直線運動時會發生什麼？經典物理學家會回答說：什麼也沒有發生，它們仍然會走得一樣快，我們既可以用靜止的鐘也可以用運動的鐘來指示時間。按照經典物理學的看法，在一個坐標系中同時的兩個事件，在任何其他坐標系中也是同時的。
但這並非唯一可能的答案。我們同樣可以設想運動的鐘與靜止的鐘有不同的快慢。我們現在來討論這種可能性，暫時不去判斷鍾在運動時是否真的會改變快慢。說「運動的鐘會改變快慢」，這是什麼意思呢？為簡單起見，假定上面的坐標系只有一個鍾，下面的坐標系則有許多個鐘。所有鐘的構造都相同，下面幾個鍾是同步的，亦即同時指示相同的時刻。在下面三幅圖中，我們畫出了作相對運動的兩個坐標系的三個相繼位置。在第一幅圖中，我們約定上下幾個鐘的指針指向相同的位置。在第二幅圖中我們看到，一段時間以後，兩個坐標系有了相對位置。在下面的坐標系中，所有鍾都指示著相同的時刻，而在上面的坐標系中，鐘的快慢卻改變了。之所以有這種快慢改變和時間差異，是因為這個鐘正在相對於下面的坐標系運動。在第三幅圖中，我們看到指針位置的差異隨時間而增大了。
靜止在下面坐標系中的觀察者會發現，運動的鐘改變了快慢。如果這個鐘相對於上面坐標系中靜止的觀察者而運動，當然也會發現同樣的結果；在這種情況下，上面的坐標系中必須有許多個鐘，而下面的坐標系中則只要一個。在兩個作相對運動的坐標系中，自然定律必定是相同的。
在經典力學中，我們默認運動的鐘不會改變快慢。這似乎太過明顯，幾乎不值得提及。但如果真想認真，沒有任何東西是太過明顯的，我們應當對物理學中一直被視為理所當然的假設進行分析。
不能因為某個假設只是跟經典物理學的假設不同就認為它是不合理的。我們完全可以設想運動的鐘會改變快慢，只要這種變化定律對於所有慣性系都相同。
再舉一例。取一根米尺，這意味著只要它靜止在某個坐標系中，它的長度就是1米。現在它作勻速直線運動，沿著代表坐標系的量杆滑動。它的長度看起來還是1米嗎？我們必須預先知道如何確定它的長度。只要米尺靜止，它的兩端就會與坐標系上相隔1米的兩個刻度重合。由此我們斷定，靜止米尺的長度是1米。而當這根尺子運動時，我們如何來測量它的長度呢？可以這樣做：兩位觀察者在某一時刻同時拍快照，一個人拍運動尺子的始端，另一個人拍它的末端。由於照片是同時拍的，我們可以通過比較運動尺子的始端和末端與坐標系量杆重合的那兩個刻度來確定它的長度。必須有兩位觀察者來留意在該坐標系的不同位置同時發生的事件。沒有任何理由認為這樣的測量結果會與米尺靜止時相同。既然照片必須同時拍，而我們知道，「同時」是一個與坐標系有關的相對概念，因此在彼此作相對運動的不同坐標系中，這種測量似乎很可能會得出不同的結果。
我們完全可以設想，如果變化定律對於所有慣性坐標系都相同，那麼不僅運動的鐘會改變快慢，運動的尺子也會改變長度。
到目前為止，我們只討論了一些新的可能性，而沒有為認定這些可能性給出任何理由。
我們還記得，在所有慣性坐標系中光速都相同。這一事實與經典變換是無法調和的。這個結必須在某處打破，難道不能在這裡嗎？我們難道不能假定運動鐘的快慢和運動量杆的長度會發生改變，以致由這些假定可以直接推出光速不變嗎？的確可以！這就是相對論徹底不同於經典物理學的第一個實例。我們的論證可以顛倒過來：如果光速在所有坐標系中都相同，那麼運動的量杆必須改變長度，運動的鐘也必須改變快慢，這些變化所遵從的定律是嚴格確定的。
所有這些並沒有什麼神秘或不合理的地方。在經典物理學中，我們總是假定運動的鐘和靜止的鐘有相同的快慢，運動量杆和靜止量杆有相同的長度。如果光速在所有坐標系中都相同，如果相對論是有效的，我們就必須犧牲掉這個假設。這些根深蒂固的偏見很難去除，但我們別無他法。從相對論的觀點來看，舊概念顯得很武斷。為什麼要相信對於所有坐標系中的所有觀察者，絕對時間都以同樣的方式流逝呢？為什麼要相信距離不可改變呢？時間由鍾來測定，空間坐標由量杆來測定，測定結果也許會依賴於這些鍾和量杆在運動時的行為。沒有理由認為它們會按照我們希望的方式來行為。經由電磁場現象，觀測結果間接地表明，運動的鐘會改變快慢，運動的量杆會改變長度，而根據力學現象，我們想不到會有這種事情發生。在每一個坐標系中我們都必須接受相對時間的概念，因為這是解決困難的最佳出路。從相對論中發展出來的進一步的科學進展表明，不應把這個新觀點看成「必然的惡」（malumnecessarium），因為它的功績太過顯著。
迄今為止，我們一直在試圖說明是什麼東西讓我們作出了相對論的基本假設，以及相對論如何迫使我們修改經典變換，以新的方式來處理時間和空間。我們的目標是指出新物理哲學觀的那些基本觀念。這些觀念都很簡單，但以這裡表述的形式還不足以得出任何定性或定量的結論。我們必須重新啟用那種老辦法，即只解釋主要觀念，對於其他一些觀念則只作陳述而不給出證明。
為了說清楚相信經典變換的舊物理學家（下面稱之為「古」）與懂得相對論的現代物理學家（下面稱之為「今」）在觀點上的區別，設想他們作了以下對話：
古：我相信力學中的伽利略相對性原理，因為我知道在兩個相對作勻速直線運動的坐標系中，力學定律是相同的。或者換句話說，這些定律對於經典變換是不變的。
今：但相對性原理必須適用於我們外界的所有事件。在相對作勻速直線運動的坐標系中，不僅力學定律必須相同，所有自然定律都必須相同。
古：但是在相對運動的坐標系中，怎麼可能所有自然定律都相同呢？場方程即麥克斯韋方程對於經典變換並不是不變的。光速的例子清楚地表明了這一點。根據經典變換，這個速度在兩個相對運動的坐標系中不應相同。
今：這隻表明經典變換是不適用的，兩個坐標系之間的關聯必須有所不同；我們也許不能依照這些變換定律把不同坐標系中的坐標和速度聯繫起來，而是必須代之以新的定律，從相對論的基本假設中將其推導出來。我們暫不去管這種新變換定律的數學表述，只要知道它與經典變換不同就夠了。我們將它簡稱為洛倫茲變換。可以證明，麥克斯韋方程即場定律對於洛倫茲變換是不變的，就像力學定律對於經典變換是不變的一樣。讓我們回憶一下經典物理學中的情形。坐標有坐標的變換定律，速度有速度的變換定律，但兩個相對作勻速直線運動的坐標系中的力學定律卻是相同的。我們有空間的變換定律，卻沒有時間的變換定律，因為時間在所有坐標系中都相同。而在相對論中卻不同了，空間、時間和速度都有跟經典變換不同的變換定律。但同樣，自然定律在所有相對作勻速直線運動的坐標系中都必須相同。自然定律必須是不變的，但不是像前面那樣對於經典變換不變，而是對於一種新的變換即所謂的洛倫茲變換不變。在所有的慣性坐標系中，自然定律都是有效的，從一個坐標繫到另一個坐標系的過渡是由洛倫茲變換給出的。
古：我相信你的話，但我很想知道經典變換與洛倫茲變換的差別。
今：你的問題最好通過以下方式來回答。你且說出經典變換的一些典型特徵，我試著解釋一下它們是否已經保存在洛倫茲變換中，如果沒有，我再解釋它們如何發生了改變。
古：假定我的坐標系中有某個事件發生在某一點、某一時刻，那麼相對於我的坐標系作勻速直線運動的另一個坐標系中的觀察者會為這個事件的發生位置指定不同的數，但時間當然是相同的。我們在所有坐標系中都使用同一個鍾，鍾是否運動無關緊要。在你看來也是這樣嗎？
今：不，不是這樣的。每一個坐標系都必須配備它自己靜止的鐘，因為運動會改變鐘的快慢。兩個不同坐標系中的兩位觀察者不僅會為位置指定不同的數，而且會為這個事件發生的時刻指定不同的數。
古：這意味著時間不再是不變量。在經典變換中，所有坐標系中的時間都相同。而在洛倫茲變換中則並非如此，時間變得和經典變換中的坐標有點相似。我想知道，長度的情況是怎樣的？根據經典力學的看法，剛性量杆無論靜止還是運動都不會改變長度。現在還是如此嗎？
今：不是了。事實上，根據洛倫茲變換，運動的量杆會沿運動方向收縮，如果速度增加，收縮也會增加。量杆運動得越快，看起來就越短。但這種收縮只發生在運動方向上。在下圖中我們可以看到，一根量杆在運動速度接近光速的90％時，其長度會收縮到原來的一半，但在垂直於運動的方向上卻沒有收縮。
古：這意味著運動鐘的快慢和運動量杆的長度都與速度有關，但關係是什麼呢？
今：隨著速度的增加，改變愈發明顯。根據洛倫茲變換，一根尺子的速度若是達到光速，其長度會收縮為零。同樣，與它沿著量杆經過的各個鐘相比，運動的鐘會漸漸慢下來，倘若以光速運動，它就會停住。
古：這似乎與我們所有的經驗都不相符。我們知道，汽車運動時並不會變短。我們也知道，汽車司機可以把他的「好」鍾與沿途經過的各個鐘加以比較，發現它們總是很一致。這與你的說法相反。
今：這當然是對的，但這些力學速度都遠遠小於光速，因此把相對論用於這些現象是荒謬的。每一個汽車司機即使把速度增加幾十萬倍，也能放心地使用經典物理學。只有在速度接近光速時，才能期望實驗結果與經典變換之間有不一致。只有在速度很大時才能檢驗洛倫茲變換的有效性。
古：但還有另一個困難。根據力學，我可以想像物體的速度甚至大於光速。一個物體如果相對於漂浮的船以光速運動，則它相對於岸的速度就應比光速更大。一根尺子的速度若是等於光速，其長度會收縮為零，那麼當它的速度大於光速時會出現什麼情況呢？我們無法期望有一種負的長度。
今：你實在沒有理由作這樣的諷刺！根據相對論的觀點，物體的速度不可能大於光速，光速構成了所有物體速度的上限。倘若一個物體相對於船的速度等於光速，那麼它相對於岸的速度也等於光速。加減速度的簡單力學定律不再有效，或者更確切地說，對於小的速度近似有效，對於接近光速的速度則不再有效。表示光速的數明確出現在洛倫茲變換中，和經典力學中的無限大速度一樣扮演著極限情形的角色。這個更一般的理論與經典變換和經典力學並不矛盾。恰恰相反，當速度很小時，作為極限情形，我們又得到了舊概念。從新理論的觀點可以看得很清楚，經典物理學在哪些情況下有效，它的極限在哪裡。把相對論用於汽車、輪船和火車的運動，就像把計算機用於只用乘法表便可解決的問題一樣可笑。
8.相對論與力學
相對論產生於迫切需要，產生於舊理論中似乎無法擺脫的嚴重而深刻的矛盾。新理論的長處在於解決所有這些困難時非常一致和簡單，只用了很少幾條令人信服的假設。
雖然這種理論源於場的問題，但它必須包含所有物理定律。這裡似乎有一個困難。場的定律和力學定律屬於完全不同的類型。電磁場方程對於洛倫茲變換是不變的，力學方程對於經典變換是不變的。但相對論聲稱，所有自然定律都必須對於洛倫茲變換不變，而不是對於經典變換不變。經典變換僅僅是兩個坐標系的相對速度很小時洛倫茲變換的一個特殊的極限情況。如果是這樣，就必須改變經典力學，以滿足對於洛倫茲變換的不變性要求。或者換句話說，速度接近光速時，經典力學就不再有效了。從一個坐標系過渡到另一個坐標系只有一種變換，那就是洛倫茲變換。
我們只需把經典力學加以改造，使之既不違反相對論，又不違反經典力學所解釋的大量觀測材料。舊力學適用於小速度，是新力學的極限情況。
我們不妨考慮相對論使經典力學發生改變的一個實例，也許能夠引出某些可用實驗加以證明或否證的結論。
假定某個具有一定質量的物體在沿直線運動，一個外力沿著它的運動方向作用於它。我們知道，力正比於速度的變化。或者說得更明確些，某個物體在1秒鐘內速度是從100英尺每秒增加到101英尺每秒，或者從100英里每秒增加到（100英里＋1英尺）每秒，還是從180000英里每秒增加到（180000英里＋1英尺）每秒，都是無關緊要的。只要一個物體在相同時間內獲得相同的速度改變，作用於該物體的力就總是相同的。
這句話從相對論的觀點來看對嗎？不對！這條定律只對小速度有效。根據相對論，接近光速的大速度的定律是怎樣的呢？如果速度很大，再要增加速度就需要極大的力。把100英尺每秒的速度增加1英尺每秒和把接近光速的速度增加1英尺每秒根本不可同日而語。速度越接近光速，增加它就越難。速度等於光速時，就不可能再增加了。因此，相對論所引起的這些改變是不足為奇的。光速是所有速度的上限。一個有限的力，無論多麼大，都不能使速度增加到超過這個極限。一種更複雜的力學定律出現了，它取代了聯繫力與速度變化的舊力學定律。從我們的新觀點來看，經典力學很簡單，因為幾乎在所有觀察中，我們處理的速度都遠小於光速。
靜止的物體具有一定的質量，被稱為靜止質量。力學告訴我們，任何物體都會抵抗其運動的變化；質量越大，抵抗越大，質量越小，抵抗也越小。但在相對論中卻不僅如此。不僅靜止質量越大，物體對運動變化的抵抗就越大，而且速度越大，抵抗也越大。在經典力學中，既定物體的抵抗是不變的，僅由物體的質量來刻畫。而在相對論中，它既與靜止質量有關，也與速度有關。當速度接近光速時，抵抗就成為無限大。
剛才引述的結果使我們能用實驗來檢驗這個理論。速度接近光速的拋射體對外力作用的抵抗會符合理論預測嗎？由於相對論在這方面的陳述具有定量性，所以倘若速度接近光速的拋射體能夠實現，我們就能證明或否證這個理論。
我們在自然之中的確可以找到具有這種速度的拋射體。放射性物質的原子，比如鐳原子，能像大炮一樣發射速度極高的炮彈。我們不去深入細節，只引用現代物理學和化學中一個非常重要的觀點。宇宙萬物都是由少數幾種基本粒子構成的，就像一座城市中有尺寸不一、結構不同和建築各異的房屋，但無論是簡陋的棚子還是摩天大樓，都是用少數幾種磚塊建成的。同樣，我們物質世界中所有已知的化學元素，從最輕的氫到最重的鈾，都是由同樣幾種基本粒子構成的。最重的元素或最複雜的建築是不穩定的，它們會衰變，或者說具有放射性。構成放射性原子的某些基本粒子有時會以接近光速的速度被拋射出來。根據現在已被大量實驗確證的看法，元素的原子（比如鐳原子）結構非常複雜，放射性衰變等諸多現象表明，原子是由更加簡單的磚塊即基本粒子所構成的。
通過巧妙而複雜的實驗，我們可以查明粒子是如何抵抗外力作用的。實驗表明，這些粒子的抵抗與速度有關，這正是相對論所預言的。在可以表明抵抗與速度有關的其他許多事例中，理論與實驗也完全一致。我們再次看到了創造性科學工作的本質特徵：理論預言某些事實，然後實驗加以確證。
這個結果暗示著另一個重要推廣。靜止物體有質量，但沒有動能（即運動的能量）。運動物體既有質量又有動能。它比靜止物體更強烈地抵抗速度的改變，運動物體的動能就好像增加了它的抵抗似的。如果兩個物體有相同的靜止質量，則動能較大的物體對外力作用的抵抗較強。
設想有一個裝著許多球的箱子，箱子和球在我們的坐標系中都是靜止的。要使箱子運動，增加它的速度，需要某個力。但如果各個球在箱子裡像氣體分子一樣以接近光速的平均速度朝各個方向運動，那麼同樣的力在相同時間內能否使速度增加相同的量呢？由於球增加的動能加強了箱子的抵抗，所以現在需要更大的力。能量，至少是動能，會像有重量的質量一樣抵抗運動。那麼，一切種類的能量都是如此嗎？
對於這個問題，相對論由自己的基本假設給出了一個清晰而令人信服的回答，而且是定量性的：所有能量都會抵抗運動的改變；所有能量都像物質一樣行為；熾熱的鐵塊要比冰冷時更重；太陽發出的穿過空間的輻射包含能量，因此也有質量；太陽和所有輻射星體都因為發出輻射而損失質量。這個非常一般的結論是相對論的一項重要成就，與檢驗它的所有事實都符合。
經典物理學引入了兩種實體，即物質和能量。物質有重量，能量沒有重量。經典物理學中有兩個守恆定律，一個是物質守恆，另一個是能量守恆。我們曾經追問，現代物理學是否仍然秉持著這種對兩種實體和兩個守恆定律的看法。回答是：「否」。根據相對論，質量與能量之間沒有本質區別。能量有質量，質量代表能量。我們現在不是有兩個而是只有一個守恆定律，即質量-能量守恆。事實證明，這種新觀點在物理學的進一步發展中非常成功，富有成效。
能量有質量，質量代表能量，人們為什麼一直沒有發現這個事實呢？熱鐵塊要比冷鐵塊更重嗎？現在對這個問題的回答是「是」，而過去（見「熱是實體嗎」一節）則是「否」。其間的內容肯定還不足以講清楚這個矛盾。
我們這裡遇到的困難與前面遇到的是同一種類型。相對論預言的質量變化小到無法測量，哪怕最靈敏的天平也無法直接檢測出來。有很多令人信服但間接的方式可以證明能量有重量。
之所以缺乏直接證據，是因為物質與能量之間的兌換率太小。能量之於質量，就如同貶值貨幣之於高值貨幣。為了說清楚這一點，讓我們舉一個例子。能把3萬噸水變成蒸汽的熱量稱起來大約只有1克重。之所以一直認為能量沒有重量，僅僅是因為它所代表的質量太小了。
舊的能量-實體是相對論的第二個犧牲品，第一個犧牲品是傳播光波的介質。
相對論的影響遠遠超出了產生相對論的那個問題。它消除了場論的困難和矛盾，提出了更一般的力學定律，用一個守恆定律取代了兩個守恆定律，改變了我們經典的絕對時間概念。其有效性並不限於物理學領域，它所形成的一般框架包含一切自然現象。
9.時-空連續區
「1789年7月14日，法國大革命開始於巴黎」。這句話陳述了一個事件的地點和時間。如果一個人初次聽到這句話，並且不懂「巴黎」是什麼意思，你可以告訴他：這是我們地球上的一座城市，位於北緯49度東經2度。於是，這兩個數刻畫了事件發生的地點，「1789年7月14日」則刻畫了事件發生的時間。在物理學中，精確刻畫事件發生的地點和時間遠比在歷史學中更重要，因為這些數據是定量描述的基礎。
為簡單起見，我們前面只考慮了直線運動。我們的坐標系是一根有原點無終點的剛性量杆，這一限制我們還保留。在量杆上取不同的點，其位置只能用一個數即該點的坐標來刻畫。說一個點的坐標是7.586英尺，意思是它與量杆原點的距離為7.586英尺。反過來，如果有人給我任何一個數和一個單位，我總能在量杆上找到一個點與這個數對應。可以說，量杆上任何一個明確的點都與一個數對應，任何一個數都與量杆上一個明確的點對應。數學家將這個事實表述為：量杆上所有的點構成了一個一維連續區。距離量杆上每一個點任意近的地方都有一個點。我們可以用任意小的步距將量杆上兩個相距遙遠的點連接起來。將相距遙遠的兩點連接起來的步距可以任意小，這就是連續區的典型特徵。
還有一例。假定有一個平面，或者你如果喜歡，假定它是一個長方形桌面。桌面上某一點的位置可以用兩個數來刻畫，而不像前面那樣只用一個數來刻畫。這兩個數就是該點與桌面兩條垂直邊的距離。平面上每一點對應於兩個數而不是一個數，任何兩個數都有一個確定的點跟它對應。換句話說，平面是一個二維連續區。與平面上每一點距離任意近的地方都有別的點。可以用分成任意小步距的一條曲線將兩個相距遙遠的點連接起來。將相距遙遠的兩點連接起來的步距可以任意小，每一點都可以用兩個數來表示，這就是二維連續區的典型特徵。
再舉一個例子。假定你要把自己的房間看成你的坐標系，也就是說，你想藉助於房間的牆來描述所有位置。如果一盞燈是靜止的，那麼這盞燈的位置可以用三個數來描述：其中兩個數決定它與兩個垂直牆面的距離，第三個數決定它與天花板或地板的距離。空間中每一點都對應於三個確定的數，任何三個數都對應於空間中某個確定的點。用一句話來說就是：我們的空間是一個三維連續區。與空間中每一點距離任意近的地方都有別的點。將相距遙遠的兩點連接起來的步距可以任意小，每一點都可以用三個數來表示，這就是三維連續區的典型特徵。
但以上所談還不是物理學。現在回到物理學，我們必須考察物質粒子的運動。要想觀察和預言自然之中的事件，不僅要考慮物理事件的位置，還要考慮它發生的時間。我們再舉一個非常簡單的例子。
假定一個小石頭（可以看成一個粒子）從256英尺高的塔上落下來。自伽利略的時代起，我們就能預言石頭開始下落後在任何時刻的坐標。以下是描述石頭在0、1、2、3、4秒後所在位置的「時間表」。
我們的「時間表」中記錄著五個事件，每一個事件都用兩個數即它的時間和空間坐標來表示。第一個事件是石頭在0秒時從距地面256英尺處下落。第二個事件是石頭經過我們的剛性量杆（塔）距地面240英尺處，這發生在下落1秒之後。最後的事件是石頭碰到地面。
我們可以用另一種方式來表示從這張「時間表」中得到的知識，比如可以把「時間表」中的五對數字表示成平面上的五個點。我們先來確定比例尺。如圖所示，一個線段表示100英尺，另一個線段表示1秒。
然後畫兩條垂直的線，稱水平線為時間軸，稱豎直線為空間軸。我們立刻發現，我們的「時間表」可以用時-空平面中的五個點來表示。
點與空間軸的距離代表「時間表」第一列中記錄的時間坐標，與時間軸的距離則代表空間坐標。
「時間表」和平面上的點，方式雖然不同，表達的事物卻完全一樣。每一種方式都可以由另一種方式構造出來。這兩種方式中選擇哪一種取決於人的愛好，因為它們其實是等價的。
現在我們再前進一步。假定有一張更好的「時間表」，它給出的不是每1秒的位置，而是每1/100秒或1/1000秒的位置。這樣一來，我們的時-空平面上就會有很多點。最後，如果對每一時刻都給出位置，或如數學家所說，把空間坐標表示成時間的函數，這些點就成了一條連續的線。於是，下圖描繪的並非以前那種知識片段，而是關於運動的全部知識。
沿著剛性量杆（塔）的運動，也就是一維空間中的運動，在這裡表示為二維時-空連續區中的一條曲線。我們時-空連續區中的每一點都對應於兩個數，一個是時間坐標，另一個是空間坐標。反過來，對事件進行刻畫的任意兩個數都對應於我們時-空連續區中的某個點。相鄰的兩個點代表在略為不同的時間和位置發生的兩個事件。
你或許會這樣來反對我們的圖示：用線段來代表時間單位，將它機械地與空間結合在一起，兩個一維連續區結合成一個二維連續區，這是毫無意義的。但這樣一來，你就必須同樣強烈地反對許多圖示，比如表示去年夏天紐約溫度變化的圖，表示近年來生活費用變化的圖，等等，因為這些例子使用的都是同樣的方法。在溫度圖中，一維的溫度連續區與一維的時間連續區結合成二維的溫度－時間連續區。
讓我們回到從256英尺高塔上落下的粒子。我們對運動的常用圖示刻畫了粒子在任一時刻的位置。知道了粒子是如何運動的，我們就能再次把它的運動畫下來。這有兩種方式。
我們還記得粒子在一維空間中位置隨時間變化的圖，運動被看成一維連續區中發生的一系列事件。我們並未把時間和空間混在一起，而是使用了位置隨時間變化的動態圖。
但我們也可以用另一種方式來畫同一運動，把它看成二維時-空連續區中的曲線，構成一張靜態圖。現在運動被畫成了二維時-空連續區中的某種東西，而不是某種在一維空間連續區中變化的東西。
這兩種圖完全等價，偏愛哪一種取決於人的習慣和愛好。
關於運動的這兩種圖示，這裡所說的一切都與相對論無關。兩種圖示可以平等地使用，不過經典物理學更偏愛動態圖，把運動描繪成空間中發生的事件，而不是存在於時-空中的東西。但相對論改變了這種看法。它明確支持靜態圖，發現把運動表示成時-空中的某種東西，更加客觀和方便地描繪了實在。我們還要回答一個問題：為什麼這兩種圖從經典物理學的觀點來看是等價的，而從相對論的觀點來看卻不等價呢？
要想知道這個問題的答案，需要重新考慮相對作勻速直線運動的兩個坐標系。
根據經典物理學，兩個相對作勻速直線運動的坐標系中的觀察者將為同一個事件指定不同的空間坐標和相同的時間坐標。所以在上述例子中，在我們選定的坐標系中，石頭碰到地面是用時間坐標「4」和空間坐標「0」來刻畫的。根據經典力學，相對於我們的坐標系作勻速直線運動的觀察者也會認為石頭在4秒之後到達地面。但這位觀察者會把距離與他的坐標系相參照，而且一般來說會把不同的空間坐標與石頭碰到地面這件事聯繫起來，儘管對於他和所有其他相對作勻速直線運動的觀察者來說，時間坐標都相同。經典物理學只知道，對於所有觀察者來說，有一個「絕對」時間在流動。對於每一個坐標系，都可以把二維連續區分成兩個一維連續區：時間與空間。由於時間是「絕對的」，所以在經典物理學中，從運動的「靜態」圖到「動態」圖的過渡就有了一種客觀意義。
但是我們已經確信，不能把經典變換普遍用於物理學。從實用的角度來看，對於小速度來說它還可以用，但不能用來解決基本的物理問題。
根據相對論，石頭碰到地面的時間不會在所有觀察者看來都一樣。在兩個不同的坐標系中，時間坐標和空間坐標都會不同。倘若相對速度接近光速，時間坐標的變化將會非常明顯。我們不能像在經典物理學中那樣把二維連續區分解成兩個一維連續區。在確定另一個坐標系中的時-空坐標時，我們絕不能把空間和時間分開來考慮。從相對論的觀點來看，把二維連續區分解成兩個一維連續區似乎是一種沒有客觀意義的武斷做法。
不難把我們剛才講的一切推廣到非直線運動的情況。事實上，描述自然之中的事件需要用四個數而不是兩個數。通過物體及其運動來構想的我們的物理空間有三個維度，位置由三個數來刻畫。事件的時刻是第四個數。每一個事件都對應於四個確定的數，任何四個數都對應於一個確定的事件。於是，事件世界就成了一個四維連續區。這一點並無神秘之處，這句話對於經典物理學和相對論都是同樣正確的。但是當我們考察兩個相對作勻速直線運動的坐標系時又會發現差異。假定房間在運動，屋內屋外的觀察者要確定同一個事件的時-空坐標。經典物理學家們會把這個四維連續區分解成三維空間和一維時間連續區。舊物理學家只關心空間變換，因為對他來說，時間是絕對的。他認為把四維世界連續區分解成空間和時間是方便而自然的。但是從相對論的觀點來看，從一個坐標系過渡到另一個坐標系時，時間和空間都會改變。洛倫茲變換考察的正是我們四維事件世界的四維時-空連續區的變換性質。
事件世界可以用一幅投射到三維空間背景上的隨時間變化的動態圖來描述，但也可以用一幅投射到四維時－空連續區背景上的靜態圖來描述。從經典物理學的觀點來看，這一動一靜的兩幅圖是等價的。不過從相對論的觀點來看，靜態圖要更方便、更客觀。
如果願意，即使在相對論中我們也仍然可以使用動態圖。但我們必須記住，這種對時間和空間的劃分並無客觀意義，因為時間不再是「絕對」的。接下來我們仍然會用「動態」而非「靜態」的語言，請記住它的局限性。
10.廣義相對論
還有一點需要澄清。有一個最基本的問題尚未解決：慣性系存在嗎？對於自然定律，自然定律對洛倫茲變換的不變性，以及它們在相對作勻速直線運動的所有慣性系中的有效性，我們已經有所了解。我們有了定律，但不知道它們屬於哪個參照系。
為了把這個問題看得更清楚，我們採訪一位經典物理學家，向他提出幾個簡單的問題：
「什麼是慣性系？」
「是力學定律在其中有效的坐標系。在這樣一個坐標系中，不受外力作用的物體總是作勻速直線運動。憑藉這個性質，我們可以把慣性坐標系和其他坐標系區分開來。」
「但是說『沒有力作用於物體上』，這話是什麼意思呢？」
「這只是說物體在慣性坐標系中作勻速直線運動。」
這裡我們可以再問一次：「什麼是慣性坐標系？」但由於得到與前面不同的回答希望渺茫，我們不妨把問題改變一下，看看能否得到一些具體的信息。
「與地球剛性連接的坐標系是慣性坐標系嗎？」
「不是，因為由於地球的轉動，力學定律在地球上並非嚴格有效。在許多問題上，我們可以把與太陽剛性連接的坐標系看成一個慣性坐標系，但在談論太陽的轉動時，同樣不能把一個與太陽剛性連接的坐標系看成慣性坐標系。」
「那麼你所說的慣性坐標系究竟是什麼呢？它的運動狀態如何選擇？」
「它只是一個有用的虛構，我不知道如何實現它。倘若我能遠離所有物體，並且不受任何外界影響，我的坐標系就是慣性的。」
「但你所說的不受任何外界影響的坐標系是什麼意思呢？」
「我的意思是那個坐標系是慣性的。」
於是我們又回到了最初那個問題！
我們的採訪揭示了經典物理學中的一個嚴重困難。我們有定律，但不知道它們屬於哪一個參照系，我們的整座物理學大廈似乎都建在沙子上。
我們可以從另一種觀點來考察這個困難。想像在整個宇宙中只有一個物體，它成了我們的坐標系。這個物體開始轉動。根據經典力學，轉動物體的物理定律不同於不轉動物體的物理定律。慣性原理若在一種情況下有效，在另一種情況下就無效了。但這聽起來很讓人懷疑。倘若整個宇宙中只有一個物體，我們可能考察它的運動嗎？所謂物體的運動，我們總是指它相對於另一個物體的位置改變。因此，談論唯一一個物體的運動是違反常識的。在這一點上，經典物理學與常識嚴重不一致。牛頓的說法是：如果慣性定律有效，那麼這個坐標系要麼靜止，要麼作勻速直線運動。如果慣性定律無效，那麼物體作的是非勻速運動。因此，我們對運動或靜止的判斷依賴於是否所有物理定律都適用於某個給定的坐標系。
取兩個物體，比如太陽和地球。我們觀察到的運動同樣是相對的。為了描述它，我們既可以把坐標系與地球相連，也可以與太陽相連。從這個觀點來看，哥白尼的偉大成就在於把坐標系從地球轉到了太陽。但由於運動是相對的，任何參照系都可以用，所以似乎沒有理由更偏愛某個坐標系。
物理學再次干涉和改變了我們的常識觀點。與太陽相連的坐標系比與地球相連的坐標系更像慣性系，物理定律應當適用於哥白尼的坐標系而不是托勒密的坐標系。只有從物理學的觀點出發才能認識到哥白尼的發現有多麼偉大。它表明，使用與太陽剛性連接的坐標系來描述行星的運動有莫大的好處。
在經典物理學中，絕對的勻速直線運動並不存在。如果兩個坐標系相對作勻速直線運動，那麼說「這個坐標系靜止，那個坐標系運動」是沒有意義的。但如果兩個坐標系相對作非勻速直線運動，那麼就完全有理由說：「這個物體運動，那個物體靜止（或勻速直線運動）。」絕對運動在這裡有著非常明確的意義。在這一點上，常識與經典物理學之間有一條寬闊的鴻溝。剛才提到的慣性系的困難與絕對運動的困難是密切相關的。正是因為有了自然定律在其中有效的慣性系的觀念，絕對運動才是可能的。
這些困難似乎是無法避免的，就好像任何物理理論都無法避免它們一樣。其根源在於，自然定律只對慣性系這一種特殊的坐標系才有效。這個困難能否解決，取決於如何回答以下問題。我們表達的物理定律能否對所有坐標系都有效，亦即不僅對相對作勻速直線運動的坐標系有效，而且對相對作任何運動的坐標系也有效呢？如果可以做到，我們的困難也就解決了。那樣一來，我們就可以把自然定律應用於任何一個坐標系，以前托勒密與哥白尼觀點之間的激烈鬥爭也就變得沒有意義了。對每一個坐標系的使用都是平權的。「太陽靜止，地球運動」或「太陽運動，地球靜止」這兩句話僅僅是涉及兩個不同坐標系的兩種不同約定而已。
我們能否建立一種在所有坐標系中都有效的真正的相對論物理學呢？或者說，能否建立一種只有相對運動而沒有絕對運動的物理學呢？這的確是可能的！
關於如何建立這種新物理學，我們至少已經有一條線索，儘管這條線索非常弱。真正的相對論物理學必須適用於一切坐標系，因此也適用於慣性坐標系這個特例。我們已經知道適用於這個慣性坐標系的一些定律。在慣性系的特例中，對一切坐標系有效的新的一般定律必須歸於舊的已知定律。
為一切坐標系提出物理定律的問題已經被所謂的廣義相對論解決了。前面所講的理論被稱為狹義相對論，只適用於慣性系。當然，這兩種理論不能彼此矛盾，因為我們必須總是把舊的狹義相對論定律納入一個慣性系的一般定律。但是，正因為以前物理定律僅僅是針對慣性坐標系而提出的，所以現在慣性坐標系將成為特殊的極限情形，因為在廣義相對論中，一切相對作任意運動的坐標系都是允許的。
這就是廣義相對論的綱領。但要概述這個綱領是如何實施的，我們必須說得比以前更模糊些。科學發展過程中產生的新困難迫使我們的理論變得越來越抽象。異乎尋常的意外經歷仍然在等待著我們。但我們的最終目標永遠是更好地理解實在。聯繫理論與觀察的邏輯鏈條又增加了新的環節。為把理論到實驗的道路上不必要的人為假設清除掉，使理論涵蓋越來越廣的事實，就必須使這個鏈條越來越長。我們的假設變得越簡單、越基本，數學推理工具越複雜，從理論到觀察的道路就越長、越複雜、越難以描述。雖然聽起來很悖謬，但我們依然可以說：新物理學比舊物理學更簡單，因此也似乎更困難、更複雜。我們關於外在世界的圖像越簡單，包含的事實越多，就越能在我們的心靈中反映出宇宙的和諧。
我們的新觀念很簡單：建立一種對於所有坐標系都有效的物理學。這種觀念的實現使形式變得更加複雜，我們不得不使用一些物理學尚未用過的數學工具。這裡我們只闡述這個綱領的實現與兩個主要問題（引力和幾何學）的關係。
11.升降機內外
慣性定律標誌著物理學中的第一項偉大進展，事實上是物理學的真正開端。它是通過思索一個理想實驗而得到的，即一個物體在既無摩擦又無任何外力作用的情況下永遠運動下去。從這個例子以及後來許多其他例子中，我們認識到由思想創造的理想實驗的重要性。這裡同樣要討論理想實驗。這些理想實驗聽起來也許很荒唐，卻能像簡單方法一樣幫助我們理解相對論。
前面講過作勻速直線運動的房間的理想實驗。這裡我們要講一個下落升降機的理想實驗。
想像有一個大升降機位於摩天大樓的樓頂，這座摩天大樓比任何實際的摩天大樓都要高得多。突然，升降機的鋼纜斷了，於是升降機朝著地面自由下落。下落過程中，升降機里的觀察者正在做實驗。描述這些實驗的時候，我們不必考慮空氣的阻力或摩擦力，因為在理想條件下可以不考慮它們的存在。一位觀察者從口袋裡拿出一塊手帕和一塊表，然後丟開它們。這兩個物體會怎樣呢？正在從升降機的窗戶外面朝里望的觀察者會發現，手帕和表都以同樣的加速度落向地面。我們還記得，落體的加速度與它的質量無關，正是這個事實揭示了引力質量與慣性質量的相等。我們也記得，從經典力學觀點來看，引力質量與慣性質量的相等是完全偶然的，在經典力學的結構中不起任何作用。然而在這裡，從所有落體都有相同的加速度這一事實中反映出來的兩種質量的相等是至關重要的，它構成了我們全部論證的基礎。
讓我們回到那塊下落的手帕和表。在升降機外面的觀察者看來，這兩個物體都以同樣的加速度下落。但升降機連同它的四壁、天花板和地板也都以同樣的加速度下落，因此兩個物體與地板之間的距離並不改變。而在升降機裡面的觀察者看來，這兩個物體一直停在鬆手丟開它們的那個地方。裡面的觀察者可以不考慮引力場，因為場源在他的坐標系外面。他發現升降機內部沒有任何力作用於這兩個物體，因此它們是靜止的，就像在一個慣性坐標系中似的。奇怪的事情在升降機中發生了！如果這位觀察者朝任何方向（比如朝上或朝下）推動一個物體，那麼只要沒有碰到升降機的天花板或地板，這個物體將一直作勻速直線運動。簡而言之，對於升降機裡面的觀察者來說，經典力學的定律是有效的。所有物體都按照慣性定律來運動。這個與自由下落的升降機剛性連接的新坐標系只在一個方面不同於慣性坐標系。在慣性坐標系中，不受任何力作用的運動物體會永遠作勻速直線運動。經典物理學中描述的慣性坐標系在空間和時間上都沒有限制。而我們升降機中的觀察者的情形就不同了，其坐標系的慣性性質在空間和時間上都有限制。這個勻速直線運動的物體遲早會碰到升降機的壁，從而破壞勻速直線運動。整個升降機也遲早會撞到地面，從而破壞裡面的觀察者及其實驗。這個坐標系僅僅是實際慣性坐標系的「袖珍版」罷了。
坐標系的這種局域性很重要。如果想像升降機一端在北極，一端在赤道，而手帕放在北極，表放在赤道，那麼在外面的觀察者看來，這兩個物體不會有相同的加速度，也不會相對於彼此靜止。我們的整個論證就失敗了！升降機的體積必須有一定的限制，這樣才能認為在升降機外面的觀察者看來所有物體的加速度都相等。
有了這種限制，這個坐標系在裡面的觀察者看來就有了一種慣性。我們至少可以指出一個所有物理定律在其中都有效的坐標系，儘管它在時間和空間上受到了限制。如果設想另一個坐標系，即相對這個自由下落的升降機作勻速直線運動的升降機，那麼這兩個坐標系都將是局域慣性的。在這兩個坐標系中，所有定律都完全相同。從一個坐標繫到另一個坐標系的過渡由洛倫茲變換給出。
讓我們看看升降機內外的兩位觀察者用什麼方式來描述升降機中發生的事情。
外面的觀察者注意到了升降機及其內部所有物體的運動，發現它們符合牛頓的引力定律。在他看來，由於地球引力場的作用，此運動不是勻速的，而是加速的。
然而，在升降機內出生和長大的一代物理學家卻有完全不同的推理。他們相信自己擁有一個慣性系，會把所有自然定律都與他們的升降機相參照，並且自信地說，在他們的坐標系中，定律都有一種特別簡單的形式。他們會自然認為自己的升降機是靜止的，其坐標系是慣性的。
升降機內外觀察者的分歧是不可能化解的。他們都有權把所有事件與自己的坐標系相參照，兩者對事件的描述都能自圓其說。
由這個例子我們可以看到，即使兩個坐標系相對於彼此不作勻速直線運動，對其中的物理現象作出一致的描述也是可能的。但要作這樣的描述，必須考慮引力，這是從一個坐標系過渡到另一個坐標系的「橋樑」。外面的觀察者認為引力場存在，裡面的觀察者卻認為不存在。外面的觀察者認為存在著升降機在引力場中的加速運動，裡面的觀察者卻認為升降機是靜止的，引力場不存在。然而，使兩個坐標系中的描述成為可能的引力場——這座「橋樑」——有一個非常重要的支柱，那就是引力質量等於慣性質量。倘若沒有經典力學未曾注意的這條線索，我們現在的論證就會完全失敗。
現在再講一個略為不同的理想實驗。假定有一個慣性坐標系，慣性定律在其中是有效的。我們已經描述過靜止於這樣一個慣性坐標系的升降機中發生的事情。現在把圖像改變一下，假定有人在升降機外面把一根繩索固定在升降機上，並以恆定的力沿著如圖所示的方向牽拉。至於如何做到這些是無關重要的。既然力學定律在這個坐標系中有效，整個升降機將以恆定的加速度沿著運動的方向運動。我們再來聽聽升降機內外的觀察者是如何解釋升降機中的現象的。
外面的觀察者：我的坐標系是一個慣性坐標系。升降機以恆定的加速度運動，這是因為有一個恆定的力在起作用。裡面的觀察者在作絕對運動，力學定律對他是無效的。他看不出不受力作用的物體是靜止的。如果釋放一個物體，它很快就會碰在升降機的地板，因為地板在朝著這個物體向上運動。表和手帕也是如此。我覺得很奇怪，升降機裡面的觀察者必須總在「地板」上，因為他一跳起來，地板就會重新碰到他。
裡面的觀察者：我看不出有什麼理由可以認為我的升降機在作絕對運動。我同意，與我的升降機剛性連接的坐標系其實不是慣性系，但我並不認為它與絕對運動有什麼關係。我的表、手帕以及所有物體之所以下落，是因為整個升降機都在引力場中。我和地面上的人觀察到的是完全相同的運動。地面上的人對物體下落的解釋很簡單，那就是引力場的作用。我也是如此。
升降機內外的觀察者所作的這兩種描述都很能自圓其說，我們無法判定誰是正確的。我們可以採用其中任何一種來描述升降機中的現象：要麼按照外面的觀察者所主張的，物體作非勻速運動，沒有引力場；要麼按照裡面的觀察者所主張的，物體靜止，存在引力場。
外面的觀察者也許認為升降機在作「絕對的」非勻速直線運動，但一種能被引力場假設取消掉的運動不能被視為絕對運動。
我們也許能找到一種辦法從這兩種如此不同的描述中走出來，決定支持哪一種，反對哪一種。設想有一束光經由側面窗戶水平地射入升降機，極短時間之後射到對面的牆上。我們再看看這兩位觀察者如何預言光的路徑。
外面的觀察者認為升降機在作加速運動，他會說：光線射入窗戶之後將沿直線以恆定的速度水平地射向對面的牆。但升降機正在上升，在光朝著牆壁運動的時間裡，升降機已經改變了位置。因此，光線射到牆壁上的點不會與入射點截然相對，而會稍微低一點。這個差異將會很小，但總是存在的，於是相對於升降機，光線不是沿直線，而是沿著略為彎曲的曲線行進。這是因為在光線穿過升降機內部期間，升降機已經移動了一段距離。
裡面的觀察者則認為升降機中的一切物體都受到引力場的作用，他會說：不存在升降機的加速運動，只存在引力場的作用。光束沒有重量，因此不會受到引力場的影響。如果沿水平方向發射，它將射到與入射點截然相對的那個點上。
從這種討論來看，似乎可以在這兩種相反觀點中作出判定，因為兩位觀察者看到的現象是不同的。如果剛才引述的兩種解釋並非不合理，那麼我們之前的整個論證都會被推翻。我們不能用有引力場和無引力場這兩種一致的方式來描述所有現象。
但幸運的是，裡面的觀察者的推理中有一個嚴重的錯誤，它挽救了我們前面的結論。他說「光束沒有重量，因此不會受到引力場的影響」，這是不正確的！光束攜帶著能量，而能量有質量。但任何慣性質量都被引力場所吸引，因為慣性質量和引力質量是等效的。光束在引力場中會彎曲，就像以光速水平拋出的物體會偏折路線一樣。倘若裡面的觀察者推理正確，考慮了光線在引力場中的彎曲，他的結果就會與外面觀察者的結果完全一致。
當然，地球的引力場太弱了，以至於無法用實驗來直接證明光線在地球引力場中的彎曲。但在日食期間所做的著名實驗卻決定性地間接證明了引力場對光線路徑的影響。
從這些例子中可以看出，提出一種相對論物理學是很有希望和有充分根據的。但為此我們必須先來處理引力問題。
我們從升降機的例子中可以看出這兩種描述的一致性。既可以假定非勻速運動，也可以不假定。我們可以通過引力場把「絕對」運動從這些例子中消除。但那樣一來，非勻速運動中就沒有任何絕對的東西了。引力場能將其徹底消除。
我們可以把絕對運動和慣性坐標系的幽靈從物理學中趕出去，建立一種新的相對論物理學。我們的理想實驗表明廣義相對論的問題與引力問題是密切相關的，並且顯示了引力質量與慣性質量的等效為什麼對這種關聯至關重要。顯然，廣義相對論中引力問題的解必定不同於牛頓引力問題的解。和所有自然定律一樣，引力定律必須在所有可能的坐標系中都有效，而牛頓提出的經典力學定律只在慣性坐標系中才有效。
12.幾何學與實驗
我們的下一個例子甚至比下落的升降機的例子還要奇特。我們必須討論一個新問題，即廣義相對論與幾何學之間的關聯。我們先來描述一個生活著二維生物而非三維生物的世界。電影已經使我們習慣於在二維銀幕上表演的二維生物。現在讓我們設想銀幕上的這些「影人」是實際存在的，他們有思維能力，能夠創建自己的科學，二維銀幕就是他們的幾何空間。這些生物無法具體想像三維空間，就像我們無法想像四維世界一樣。他們可以折彎直線，知道圓是什麼，但卻造不出球體，因為這意味著捨棄了他們的二維銀幕。我們的處境也是類似的。我們能把線和面折彎，卻很難想像一個折彎的三維空間。
通過生活、思考和實驗，這些「影人」最終可以精通二維的歐幾里得幾何學知識。例如，他們可以證明三角形的內角之和等於180度，可以作兩個同心圓。他們會發現，這樣兩個圓的周長之比等於它們的半徑之比，這個結果正是歐幾里得幾何學的典型特徵。倘若銀幕無限大，這些「影人」會發現，一旦開始筆直前行，他們就永遠回不到起點。
現在我們設想這些二維生物的生活環境改變了。有人從外面即「第三維」把他們從銀幕移到了半徑很大的球面上。如果這些「影人」與整個球面相比極小，無法作遠距離通信，又不能移動很遠，則他們將感覺不到有任何變化。小三角形的內角之和仍然等於180度。兩個同心圓的半徑之比仍然等於周長之比。他們沿著直線旅行仍然回不到起點。
但假定這些「影人」漸漸發展出他們的理論知識和技術知識。他們發明了交通工具，能夠快速通過遙遠的距離。他們將會發現，筆直前行最終還是會回到起點。「筆直前行」意指沿著球體的大圓移動。他們也會發現，兩個同心圓的周長之比不等於半徑之比。
如果我們的二維生物很保守，而且過去幾代學的都是歐幾里得幾何學（那時他們還不能遠行，這種幾何學與觀測事實相符），那麼即使其測量結果有一定誤差，他們也肯定會盡一切努力去維護這種幾何學。他們可能會儘量用物理學來解釋這些不一致，比如尋找一些像溫差這樣的物理學理由來解釋線的變形，從而導致與歐幾里得幾何學的偏離。但他們遲早會發現，可以用一種更合乎邏輯和更令人信服的方法來描述這些事件。他們終將懂得自己的世界是有限的，其幾何學原理與他們學到的有很大區別。他們會知道自己的世界是一個球體的二維表面，儘管無法去想像這一點。他們很快就會學習新的幾何學原理，這些原理雖然不同於歐幾里得的，但可以針對其二維世界以同樣一致和邏輯的方式表述出來。對於學過球面幾何學知識的下一代二維生物而言，舊的歐幾里得幾何學會顯得更為複雜和人為，因為它並不符合觀察到的事實。
讓我們回到我們世界中的三維生物。
說我們的三維空間有一種歐幾里得特徵，這是什麼意思呢？它的意思是，所有得到邏輯證明的歐幾里得幾何學命題也能用實際的實驗加以確證。藉助於剛性物體或光線，我們可以構造出與歐幾里得幾何學的理想化對象相對應的物體。尺子的邊緣或一束光都對應於一條線；用剛性細杆構成的三角形的內角之和等於180度；用堅韌的金屬絲圍成的同心圓的半徑之比等於其周長之比。以這種方式來解釋，歐幾里得幾何學就成了物理學的一章，儘管是非常簡單的一章。
但我們可以設想差異已經被發現了：例如，由剛性量杆構成的大三角形的內角之和不再等於180度。由於我們已經習慣於用剛性物體來具體表示歐幾里得幾何學的對象，我們也許應當尋找某種物理的力來解釋我們量杆的這種出乎預料的形變。我們應當力求發現這種力的物理性質及其對其他現象的影響。為了挽救歐幾里得幾何學，我們可以指責物體並非剛性，與歐幾里得幾何學中的形體並不完全符合。我們應當努力找到更好的物體，其表現與歐幾里得幾何學所期望的完全一致。然而，倘若我們未能把歐幾里得幾何學與物理學結合成一幅簡單一致的圖景，我們就不得不放棄我們的空間是歐幾里得空間這一觀念，並按照關於我們空間幾何性質的更一般假設尋求一種更令人信服的實在圖景。
我們可以用一個理想實驗來說明這種必要性。這個實驗表明，真正的相對論物理學不可能建立在歐幾里得幾何學的基礎上。我們的論點將會蘊含著我們已經了解的關於慣性坐標系和狹義相對論的結果。
設想有一個大圓盤，上面畫著兩個同心圓，一個很小，另一個很大。圓盤飛快地旋轉。圓盤是相對於外面的觀察者轉動的，圓盤上還有一個觀察者。我們進一步假定，外面觀察者的坐標系是慣性坐標系，他也可以在自己的慣性坐標系中畫出同樣一大一小的兩個圓，這兩個圓在他的坐標系中是靜止的，但與旋轉圓盤上的圓重合。他的坐標系是慣性的，因此歐幾里得幾何學在他的坐標系中是有效的，他將發現兩圓的周長之比等於半徑之比。但圓盤上的觀察者發現了什麼呢？從經典物理學和狹義相對論的觀點來看，他的坐標系是禁用的。但要想為物理定律找到在任何坐標系中都有效的新形式，就必須同樣嚴肅地對待圓盤上和圓盤外的觀察者。現在我們從外面注視圓盤上的觀察者，看他如何通過測量來查明旋轉圓盤上的周長和半徑。他和外面的觀察者使用的是同樣的小量杆。所謂「同樣」，要麼是指實實在在地相同，就是說它是由外面的觀察者遞給圓盤上的觀察者的；要麼是指在一個坐標系中靜止時具有相同長度的兩根量杆中的一根。
圓盤上的觀察者開始在圓盤上測量小圓的半徑和周長，他的測量結果必定與外面的觀察者完全相同。圓盤的旋轉軸通過圓盤的中心，圓盤中心附近的部分速度很小。如果圓足夠小，我們就可以放心地使用經典物理學而不必考慮狹義相對論。這意味著，對於圓盤上和外面的觀察者來說，量杆的長度是一樣的，因此兩人的測量結果也將相同。現在圓盤上的觀察者又來測量大圓的半徑。在外面的觀察者看來，放在半徑上的量杆在運動。但由於運動方向與量杆垂直，所以這根量杆並不收縮，在兩位觀察者看來長度相同。於是，對這兩位觀察者來說，三種測量結果都相同：兩個半徑和一個小圓周長。而第四種測量卻不然！兩位觀察者測得的大圓周長並不相同。在外面的觀察者看來，沿著運動方向放在圓周上的量杆與靜止時相比顯得收縮了。外圓的速度比內圓大得多，所以必須考慮這種收縮。因此，運用狹義相對論的結果，我們的結論是：兩位觀察者測出的大圓周長一定是不同的。由於兩位觀察者測量的四種長度中只有一種是不同的，所以圓盤上的觀察者不會像外面的觀察者那樣認為兩半徑之比等於兩周長之比。這意味著，圓盤上的觀察者無法在他的坐標系中確證歐幾里得幾何學的有效性。
得到這個結果之後，圓盤上的觀察者可以說，他不想考慮歐幾里得幾何學在其中無效的坐標系。歐幾里得幾何學之所以不成立是因為絕對轉動，是因為他的坐標系是壞的和被禁用的。但在以這種方式論證時，他已經拒斥了廣義相對論中的主要觀念。另一方面，如果我們想拒斥絕對運動，保留廣義相對論的觀念，就必須把物理學建立在一種比歐幾里得幾何學更一般的幾何學的基礎上。只要所有坐標系都可以允許，就無法擺脫這個結局。
廣義相對論所帶來的變化不能僅限於空間。在狹義相對論中，靜止在一個坐標系中的各個鐘是同步的，亦即同時指示相同的時刻。那麼，非慣性坐標系中的鐘會怎樣呢？我們還用那個關於圓盤的理想實驗。外面的觀察者在其慣性坐標系中有許多同步的完美的鐘。圓盤上的觀察者從中拿出兩個，一個放在小的內圓上，另一個放在大的外圓上。內圓上的鐘相對於外面的觀察者速度很小。於是我們可以放心地斷定，它的快慢與圓盤外面的鐘相同。但大圓上的鐘速度很大，與外面觀察者的鐘相比快慢變了，因此與放在小圓上的鐘相比快慢也變了。於是，兩個旋轉的鐘將會有不同的快慢。運用狹義相對論的結果，我們再次發現在我們的旋轉坐標系中做不出類似於慣性坐標系中那樣的安排。
為了說明從這個以及前面描述的理想實驗中可以得出怎樣的結論，我們再次引述相信經典物理學的舊物理學家（「古」）和懂得廣義相對論的現代物理學家（「今」）之間的一段對話。舊物理學家是處於慣性坐標系中的外面的觀察者，而現代物理學家則是處於旋轉圓盤上的觀察者。
古：在你的坐標系中，歐幾里得幾何學是無效的。我觀察了你的測量，我承認在你的坐標系中，兩個圓的周長之比並不等於半徑之比。但這表明你的坐標系是被禁用的。可我的坐標系是慣性的，我可以放心地使用歐幾里得幾何學。你的圓盤在作絕對運動，從經典物理學的觀點來看，它是一個被禁用的坐標系，在其中力學定律是無效的。
今：我不想聽任何關於絕對運動的說法。我的坐標系和你的一樣好。我看到你相對我的圓盤在旋轉。沒有人能禁止我把所有運動都與我的圓盤相關聯。
古：但你不覺得有一種奇怪的力使你遠離圓盤中央嗎？假如你的圓盤不是一個快速轉動的旋轉木馬，你所觀察到的兩種情況就不可能發生。你不會感到有一種力把你向外推，也不會注意到歐幾里得幾何學在你的坐標系中不能用。這些事實難道不足以讓你相信你的坐標系在作絕對運動嗎？
今：絕非如此！我當然注意到了你所提到的兩個事實，但我認為它們之所以發生，是因為有一個奇特的引力場作用於我的圓盤。指向圓盤外面的這個引力場使我的剛性量杆發生形變，使我的鐘改變快慢。在我看來，引力場、非歐幾何和不同快慢的鐘是密切相關的。採用任何坐標系，我必須同時假定存在著一個適當的引力場及其對剛性量杆和鐘的影響。
古：但是，你知道你的廣義相對論所引起的困難嗎？我想用一個簡單的非物理學的例子來澄清我的觀點。想像一座理想的美國城市，它由一條條南北街和與之垂直的東西路所組成。街與街的距離、路與路的距離是相同的。如果這些假設得到滿足，那麼每一個街區都是同樣大小。用這種方法很容易描述任一街區的位置。但如果沒有歐幾里得幾何學，這樣一種構圖是不可能的。例如，我們不能用一個很大的理想美國城市把整個地球覆蓋起來。這一點只要看看地球就知道了。但我們也不能用這樣一幅「美國城市圖」把你的圓盤覆蓋起來。你說引力場已經使你的量杆發生了形變。你無法確證關於半徑之比等於周長之比的歐幾里得定理，這就清楚地表明，如果你把這樣一種街道圖帶到足夠遠的地方，便遲早會陷入困難，而發現這在你的圓盤上是不可能的。你旋轉圓盤上的幾何學類似於曲面上的幾何學，而在足夠大的曲面上，這樣的街道圖當然是不可能的。再舉一個更物理的例子。假定把一個平面的各個部分不規則地加熱到不同溫度。你能用長度隨溫度而膨脹的小鐵桿作出下面這幅「平行－垂直」圖嗎？當然不能！你的「引力場」對你的量杆所起的作用和溫度改變對小鐵桿所起的作用是一樣的。
今：所有這些都嚇不倒我。需要用街道圖來確定點的位置，用鍾來確定事件的次序。但城市未必是美國的，它也可以是古代歐洲的。想像你的理想城市是由塑料做成的，然後發生了形變。雖然街道已經不再筆直和等距，但我仍然可以數出街區，認出街道。同樣，我們在地球上用經緯度來標明點的位置，儘管不是「美國城市」的構圖。
古：但我還是看到一個困難。你不得不用你的「歐洲城市圖」。我承認你能確定點或事件的次序，但這種圖會把一切距離測量弄亂。它無法像我的圖那樣給出空間的度規性質。舉例來說，我知道在我的美國城市中，要想走十個街區，我必須經過五個街區距離的兩倍。我知道所有街區都相等，所以我能立即確定距離。
今：你說的不錯。在我的「歐洲城市」圖中，我無法通過變形街區的數目立即確定距離。我必須知道更多的東西，必須知道我的表面的幾何性質。眾所周知，同樣是從經度0度到10度的距離，在赤道上和在北極附近是不等的。但每一位航海家都知道如何在地球上確定這樣兩點之間的距離，因為他知道地球的幾何性質。他要麼根據球面三角學知識來計算，要麼把他的船以相同的速度駛過這兩段距離，用實驗方法來計算。在你的例子中，整個問題很簡單，因為所有街和路都是等距的。而在我們的地球上，情況要更為複雜，0度與10度的兩條經線在地球兩極相遇，在赤道上則相距最遠。同樣，為了在我的「歐洲城市圖」中確定距離，我必須比你在「美國城市圖」中多知道一些東西。為了得到這種額外的知識，我可以在每一種特殊情況下研究我的連續區的幾何性質。
古：但所有這些都只不過表明，放棄歐幾里得幾何學的簡單結構，啟用你決心使用的複雜框架是如何的不便和複雜罷了。難道這真是必需的嗎？
今：如果想把物理學應用到任何坐標系，而不是神秘的慣性坐標系，我想這是不可避免的。我承認我的數學工具比你的更複雜，但我的物理假設卻更加簡單自然。
這個討論只限於二維連續區。廣義相對論中的爭論要更為複雜，因為那裡不是二維連續區而是四維時－空連續區，但想法與二維情形一樣。在廣義相對論中，我們不能像在狹義相對論中那樣使用由平行和垂直的量杆以及同步的鐘所組成的力學框架。在一個任意的坐標系中，我們無法用剛性量杆和同步的鐘來確定一個事件發生的地點和時刻，就像在狹義相對論的慣性坐標系中那樣。我們仍然可以用非歐幾里得的量杆和快慢不同的鐘來確定事件。但需要用剛性量杆和完全同步的鐘來做的實際測量只能在局域的慣性坐標系中進行。在這種坐標系中，整個狹義相對論都是有效的。但我們的「好」坐標系只是局域的，其慣性受空間和時間的限制。甚至在我們的任意坐標系中，我們也能預見到局域慣性坐標系中的測量結果。但為此我們必須知道我們時－空連續區的幾何學特徵。
我們的理想實驗僅僅指出了新的相對論物理學的一般特徵。這些實驗表明，我們的基本問題是引力問題。它們還表明，廣義相對論進一步推廣了時間和空間概念。
13.廣義相對論及其驗證
廣義相對論試圖為所有坐標系提出物理定律。該理論的基本問題是引力問題。自牛頓時代以來，它第一次嘗試重新表述引力定律。這真是必需的嗎？我們已經了解過牛頓理論的偉大成就以及建立在牛頓引力定律基礎上的偉大天文學進展。直至今日，牛頓定律仍然是所有天文學計算的基礎。但我們也聽說過對於舊理論的一些反駁。牛頓定律只在經典物理學的慣性坐標系中有效，我們還記得，所謂慣性坐標系是指力學定律在其中有效的坐標系。兩個質量之間的力與兩者之間的距離有關。我們知道，力與距離的關係對於經典變換是不變的。但這個定律並不符合狹義相對論的框架。該距離對於洛倫茲變換並非不變。就像對運動定律一樣，我們可以設法把引力定律加以推廣，使之符合狹義相對論，或者換句話說，使引力定律的表述對於洛倫茲變換不變，而不是對於經典變換不變。但無論我們如何努力，也無法把牛頓的引力定律簡化，把它納入狹義相對論的框架。即使在這方面取得成功，我們也仍然需要更進一步，從狹義相對論的慣性坐標系邁向廣義相對論的任意坐標系。另一方面，關於下落升降機的理想實驗清楚地表明，除非解決了引力問題，否則不可能提出廣義相對論。由此我們可以看到，為什麼引力問題的解決在經典物理學和廣義相對論中是不同的。
我們曾試圖說明通往廣義相對論的道路以及迫使我們再次改變舊觀點的理由。我們不去深入廣義相對論的形式結構，而只是刻畫新的引力理論與舊理論相比有什麼特徵。根據以上所述，掌握這些差別的實質應當並不困難。
（1）廣義相對論的引力方程可以應用於任何坐標系。在某一情形中選擇某個特定的坐標系僅僅是出於方便。從理論上講，所有坐標系都是允許的。如果不考慮引力，我們會自動回到狹義相對論的慣性坐標系。
（2）牛頓的引力定律把此時此地的一個物體的運動與同一時刻遠處某一物體的作用聯繫在一起。此定律已經成為我們整個力學觀的一個典範。但力學觀崩潰了。在麥克斯韋方程中，我們看到了自然定律的一個新的典範。麥克斯韋方程是結構定律。它們把此時此地發生的事件與稍後附近發生的事件聯繫起來，是描述電磁場變化的定律。我們新的引力方程也是描述引力場變化的結構定律。扼要地講，我們可以說：從牛頓的引力定律過渡到廣義相對論，有些類似於從庫侖定律的電流體理論過渡到麥克斯韋理論。
（3）我們的世界並不是歐幾里得式的。我們世界的幾何本性由質量及其速度來決定。廣義相對論的引力方程試圖揭示我們世界的幾何本性。
暫且假定我們已經成功實現了廣義相對論的綱領。但我們的猜想是否有過分脫離實在的危險呢？我們知道，舊理論很好地解釋了天文學觀測。是否有可能在新理論與觀測之間建起一座橋樑呢？任何猜想都必須接受實驗的檢驗，任何結果，無論多麼吸引人，倘若不符合事實，都必須拒斥。新的引力理論能否經受實驗檢驗呢？對於這個問題，我們可以用一句話來回答：舊理論是新理論的一種特殊的極限情形。如果引力較弱，舊牛頓定律就會是新引力定律的很好近似。因此，所有支持經典理論的觀測也支持廣義相對論。我們從新理論的更高層次上重新獲得了舊理論。
即使我們無法引用額外的觀測來支持新理論，即使它的解釋與舊理論不相上下，倘若在兩種理論中自由選擇，我們也應當支持新的。從形式上看，新理論的方程要更為複雜，但從基本原理上看，它卻簡單得多。絕對時間與慣性系這兩個可怕的幽靈已經消失了。引力質量與慣性質量的等效這一線索也沒有被忽視。關於引力及其與距離的關係，我們無須作任何假設。引力方程有著結構定律的形式，這是自場論取得偉大成就以來所有物理定律都必須具有的形式。
由新的引力定律可以引出不包含在牛頓引力定律中的一些新推論。我們曾經引述過一個推論，即光線在引力場中的彎曲。現在我們要提到另外兩個推論。
如果引力較弱時舊定律可以從新定律中推出來，那麼只有在引力較強時才能發現與牛頓引力定律的偏差。以我們的太陽係為例，包括地球在內的所有行星都沿著橢圓軌道圍繞太陽運轉。水星是距離太陽最近的行星。太陽與水星之間的引力要強於太陽與任何其他行星之間的引力，因為水星與太陽的距離較小。倘若有任何希望能夠發現與牛頓定律的偏差，最大的機會就是水星。由經典理論可知，水星的運行軌道與任何其他行星是相同類型，只不過它離太陽更近。根據廣義相對論，它的運動應該略有不同。水星不僅要圍繞太陽運轉，它的橢圓軌道也應相對於與太陽相連的坐標系緩慢轉動。橢圓軌道的這種轉動體現了廣義相對論的新效應。新理論還預言了這個效應的大小，水星的橢圓軌道將在300萬年後完成整個轉動。由此可見，這種效應非常之小，距離太陽更遠的行星更沒有希望發現這個效應。
在提出廣義相對論之前，人們已經知道水星軌道與橢圓的偏差，但無法作出解釋。另一方面，廣義相對論是在完全沒有注意到這個特殊問題的情況下而發展起來的。只是後來才從新的引力方程中推出了行星圍繞太陽運轉的橢圓軌道本身也在轉動的結論。就水星而言，理論成功地解釋了水星的運動與牛頓定律預言的運動之間的偏離。
但從廣義相對論中還可以推出一個結論可與實驗進行比較。我們已經看到，放在旋轉圓盤大圓上的鐘與放在小圓上的鐘快慢不同。同樣，由相對論可以推出，放在太陽上的鐘與放在地球上的鐘快慢不同，因為引力場在太陽上比在地球上要強得多。
前面說過，熾熱的鈉會發出一定波長的單色黃光。在這種輻射中，原子顯示了它的一種快慢；可以說，原子代表鍾，發射的波長則代表鐘的快慢。根據廣義相對論，太陽上鈉原子發出光的波長應當略長於地球上鈉原子發出光的波長。
通過觀測來檢驗廣義相對論的推論是一個非常複雜的問題，而且絕沒有得到明確無疑的解決。由於我們只關注主要觀念，所以不打算作深入討論，但可以說，迄今為止的實驗判決似乎確證了廣義相對論的結論。
14.場與物質
我們已經看到了力學觀崩潰的過程和原因。不可能通過假定不變的粒子之間有簡單的作用力來解釋一切現象。事實證明，我們超越力學觀、引入場的概念的最初嘗試在電磁現象領域最為成功。電磁場的結構定律得以確立，它們把空間和時間中彼此非常接近的事件聯繫起來。這些定律符合狹義相對論的框架，因為它們對於洛倫茲變換是不變的。後來，廣義相對論提出了引力定律，它們同樣是描述物質粒子之間引力場的結構定律。就像廣義相對論的引力定律那樣，我們同樣很容易對麥克斯韋的定律進行推廣，使之適用於任何坐標系。
我們有兩種實在：物質和場。毫無疑問，我們現在不能像19世紀初的物理學家那樣想像把整個物理學都建立在物質概念的基礎上。我們現在把物質和場這兩個概念都接受下來。我們能把物質和場看成兩種不同的實在嗎？給定一個物質粒子，我們對它可以作這樣一種樸素的刻畫：該粒子有一個明確的表面，在那裡物質不再存在，其引力場也在那裡出現。在我們的圖景中，場定律有效的區域和物質存在的區域是突然分開的。但區分物質與場的物理標準是什麼呢？在了解相對論之前，我們可能會這樣來嘗試回答這個問題：物質有質量而場沒有質量。場代表能量，物質代表質量。但獲得更多知識以後，我們已經知道這樣的回答是不夠的。從相對論中我們得知，物質儲藏著大量能量，而能量又代表物質。我們不能以這種方式對物質與場進行定性的區分，因為質量與能量之間的區分並不是定性的。物質之中集中著最大部分的能量，但微粒周圍的場也代表能量，儘管量要小得多。因此我們可以說：物質是能量最為集中的地方，場則是能量較少集中的地方。但如果是這樣，那麼物質與場之間的區別就是定量的而不是定性的。把物質和場看成兩種性質完全不同的東西是沒有道理的。我們無法想像有一個明確的表面把場與物質截然分開。
電荷和它的場也有同樣的困難。我們似乎給不出明顯的定性標準來區分物質和場或者電荷和場。
在能量非常集中的地方，或者說在電荷或物質等場源存在的地方，我們的結構定律，即麥克斯韋定律和引力定律就失效了。但我們難道不能對這些方程略作修改，使之到處有效，甚至在能量非常集中的地方也能有效嗎？
我們不能僅僅基於物質概念來建立物理學。但在認識到質量與能量等效之後，物質與場的劃分就顯得有些人為和模糊了。我們能否拒斥物質概念，建立起一種純粹的場物理學呢？我們感覺到的物質其實只是能量大大集中在一個較小的空間中而已。我們可以把物質看成空間中場特彆強的一些區域，由此來創建一種新的哲學背景。其最終目標就是用隨時隨地都有效的結構定律來解釋自然之中的一切事件。從這種觀點來看，拋出的石頭就是一個變化著的場，在這個場中，場強最大的狀態以石頭的速度穿過空間。在我們這種新物理學中，場與物質不能都是實在，場是唯一的實在。場物理學取得了偉大的成就，把電、磁和引力的定律成功地表達為結構定律的形式，還有質量與能量的等效，所有這些都暗示了這種新的觀點。我們最後的問題便是改變我們的場定律，使之在能量非常集中的地方也不失效。
但迄今為止，我們仍然沒有令人信服和前後一致地成功實現這個綱領。究竟能否實現，現在還不好說。目前我們在所有實際的理論構建中仍然要假定兩種實在：場與物質。
基本問題仍然擺在我們眼前。我們知道，所有物質都是由少數幾種粒子構成的。各式各樣的物質是如何由這些基本粒子構成的呢？這些基本粒子與場是如何相互作用的呢？為了尋求這些問題的答案，物理學中又引入了新的觀念，即量子理論的觀念。
總結：
物理學中出現了一個新的概念——場，這是自牛頓時代以來最重要的發明。對於描述物理現象必不可少的不是電荷，也不是粒子，而是電荷之間與粒子之間的場，這需要很大的科學想像力才能認識到。事實證明，場的概念非常成功，由這個概念引出了描述電磁場結構以及支配電現象和光現象的麥克斯韋方程。
相對論源於場的問題。舊理論的矛盾和不一致迫使我們把新的性質歸於時-空連續區，歸於我們物理世界中所有事件的舞台。
相對論的發展有兩步。第一步產生了所謂的狹義相對論，它只適用於慣性坐標系，即牛頓表述的慣性定律在其中有效的系統。狹義相對論基於兩條基本假設：在所有相對作勻速直線運動的坐標系中物理定律都相同；光速總有相同的值。由這些已被實驗充分確證的假設可以推出，運動量杆的長度以及鐘的快慢隨速度而改變。相對論改變了力學定律。如果運動粒子的速度接近光速，舊的定律就失效了。實驗出色地確證了相對論為運動物體重新提出的定律。（狹義）相對論的另一個推論便是質能關係。質量是能量，能量有質量。相對論把質量守恆定律與能量守恆定律結合成一個質-能守恆定律。
廣義相對論對時-空連續區作了更深入的分析，其有效性不再局限於慣性坐標系。它處理了引力問題，為引力場提出了新的結構定律。廣義相對論迫使我們分析幾何學對於描述物理世界的作用。它把引力質量與慣性質量的相等看得至關重要，而不像經典力學那樣把它看成純粹偶然。廣義相對論的實驗結果與經典力學的結果只有略微不同。只要是有可能進行比較的地方，它都經受住了實驗的檢驗。然而，廣義相對論的長處在於它內在的一致性和基本假設的簡單性。
相對論強調了場的概念在物理學中的重要性，但我們尚不能成功地提出一種純粹的場物理學。目前我們仍然要假定場和物質都存在。