物理學的進化 · 第一章 力學觀的興起
1.絕妙的偵探故事
我們設想有一個完美的偵探故事。這個故事將所有重要線索都展示出來，我們不得不就事情的真相給出自己的理論。如果仔細研究故事情節，那麼不等作者在書的結尾透露實情，我們就會得到完滿的解答。與那些低劣的偵探故事不同，這個解答不會讓我們失望，而且還會在我們期待它的那一刻出現。
一代又一代的科學家持之以恆地力圖揭示自然之書的秘密。能否把他們比作這樣一本偵探小說的讀者呢？這個類比是錯誤的，以後不得不放棄。但它也有一定道理，也許可以對其加以擴展和修改，使之更符合科學揭示宇宙奧秘的努力。
這個絕妙的偵探故事至今尚未得到解答，我們甚至不能肯定它是否有一個終極答案，但閱讀這個故事已經使我們受益頗豐：它教我們學習自然的基本語言，使我們掌握了諸多線索，在科學艱難跋涉時每每會給人帶來愉悅和振奮。然而我們意識到，儘管我們閱讀和研究過的書已經不少，但如果存在著一個完滿的解答，那這個解答距離我們還很遠。在每一個階段，我們都想找到與已有線索完全符合的解釋。我們試探性地接受了各種理論，雖然它們解釋了許多事實，但與所有已知線索都相容的一般解答尚未發展出來。往往會有這樣的情況出現：一個理論看起來似乎很完美，但進一步了解就會發現它並不恰當。新的事實出現了，它們與舊理論相矛盾，或者不能用舊理論來解釋。我們讀得越多，就越能充分理解這本書的完美結構，儘管隨著我們的前進，完滿的解答似乎在離我們而去。
自從柯南·道爾（Conan Doyle）寫出那些絕妙的故事，幾乎所有偵探小說都會包含這樣一個時刻，此時偵探已將他所需的、至少是問題的某個階段所需的所有事實搜集齊備。這些事實往往看起來很奇特，支離破碎，彼此毫不相關。但這位大偵探知道此時不需要再繼續偵察了，只要靜下心來想一想就能把搜集到的事實聯繫起來。於是他拉拉小提琴，或者躺在安樂椅上抽抽菸，突然他靈機一動，答案找到了！他現在不僅能夠解釋已有的線索，還能知道其他一些事件必定已經發生。既然已經很清楚應該到哪裡去尋找，如果願意，他可以離開屋子，為其理論搜尋進一步的證據。
閱讀自然之書的科學家必須親自去尋找答案。他不能像急性子的讀者在閱讀其他故事時那樣，常常翻到書末去看結局。在這裡，他既是讀者又是偵探，至少在部分程度上要嘗試解釋各個事件與其豐富背景之間的關係。即使是想獲得問題的部分解決，科學家也必須搜集漫無秩序的事實，通過創造性的思想使之變得連貫和可以理解。
接下來，我們打算對物理學家的工作作一概述，他們的工作就相當於偵探的純粹思考。我們將主要關注思想和觀念在不畏艱險地認識大自然的過程中所起的作用。
2.第一條線索
人類從有思想以來，就一直在嘗試解讀這個絕妙的偵探故事。然而，直到三百多年前，科學家才開始理解這個故事的語言。從那時起，也就是從伽利略和牛頓的時代開始，解讀的速度就快多了。偵察技術，也就是系統地尋找和追蹤線索的方法被陸續發展出來。雖然某些自然之謎似乎已經得到解決，但進一步研究就會發現，其中許多解決方案只是暫時和表面的。
有一個非常基本的問題，那就是運動問題。幾千年來，它因為複雜而令人費解。我們在自然之中看到的所有那些運動，比如拋到空中的石頭的運動，海上航船的運動，手推車在街上的運動，其實都極為複雜。要想理解這些現象，最好是從最簡單的情況入手，然後逐漸過渡到更複雜的情形。假定有一個不作任何運動的靜止物體。要想改變這樣一個物體的位置，必須給它施加某種影響，比如推它，提它，或者讓馬、蒸汽機等物體作用於它。我們直覺上認為，運動是與推、提、拉等動作聯繫在一起的。日常經驗使我們進一步相信，要使一個物體運動得更快，必須用更大的力推它。對物體施加的作用越強，其速度也就越大，這似乎是一個自然的結論。四匹馬拉的車要比兩匹馬拉的車跑得更快。於是直覺告訴我們，速度本質上與作用有關。
讀過偵探小說的人都知道，一條錯誤的線索往往會把故事情節打亂，以致遲遲得不到解答。以直覺為主導的推理方法是靠不住的，它導致錯誤的運動觀念持續了數個世紀。亞里士多德在整個歐洲享有至高權威，這可能是人們長期相信這個直覺觀念的主要原因。在兩千年來一直被歸於他的《力學》（Mechanics）中，我們讀到：
當推一個物體運動的力不再推它時，該運動物體便歸於靜止。
伽利略的發現及其對科學推理方法的運用是人類思想史上最重要的成就之一，標誌著物理學的真正開端。這個發現告訴我們，基於直接觀察的直覺結論並不總是可靠的，因為它們有時會引向錯誤的線索。
但直覺錯在哪裡呢？說四匹馬拉的車必定比兩匹馬拉的車跑得更快，難道會有錯嗎？
讓我們更仔細地考察一下運動的基本事實，先從人類自文明之初就已經熟知的、在艱苦的生存鬥爭中獲得的簡單日常經驗開始。
假如有人推著一輛小車在平地上行走，然後突然停止推它，那麼小車不會立即靜止，而會繼續運動一小段距離。我們問：如何才能增加這段距離呢？有許多辦法，比如給車輪塗上潤滑油，使路面變光滑，等等。車輪轉動越容易，路面越光滑，小車就能繼續運動越遠。但是，給車輪塗上潤滑油和使路面變光滑究竟起了什麼作用呢？只有一種作用，即減少了外界影響。車輪內部以及車輪與路面之間的摩擦力所產生的影響減小了。這已是對觀察證據的一種理論解釋，事實上，這種解釋仍然是武斷的。再往前邁進一步，我們就將得到正確的線索。設想路面絕對光滑，車輪也毫無摩擦，那麼小車就不會受到什麼東西阻礙，它將永遠運動下去。只有藉助一個永遠無法實際做到的理想實驗才能得出這個結論，因為不可能實際消除所有外界影響。這個理想實驗顯示了真正構成運動的力學基礎的線索。
比較一下處理這個問題的兩種方法，我們可以說，直覺的觀念是：作用越大，速度也就越大。因此，速度表明了是否有外力作用於物體之上。而伽利略發現的新線索是：如果一個物體既沒有被推拉，也沒有以任何方式被作用，或者更簡單地說，如果沒有外力作用於它，那麼該物體將會沿一條直線永遠勻速運動下去。因此，速度並不表明是否有外力作用於物體之上。過了些年，牛頓把伽利略的這個正確結論當作慣性定律提了出來。通常情況下，我們在學校里學習物理學時最先記住的就是這條定律，有些人也許還記得它：
任何物體都會保持其靜止或勻速直線運動狀態，除非有外力迫使其改變這種狀態。
我們已經看到，這條慣性定律不能直接從實驗中推導出來，而只能通過與觀察相一致的思考而得出。理想實驗使我們對實際的實驗有了深刻的理解，但永遠也不可能實際做出來。
我們周圍的世界中有各種複雜的運動，我們從中選擇勻速運動作為第一個例子，這是最簡單的運動，因為沒有外力的作用。但勻速運動是永遠無法實現的。從塔上拋下的石頭，沿路推行的小車，永遠也不可能絕對勻速地運動，因為外力的影響無法完全消除。
在好的偵探故事中，最明顯的線索往往會引起錯誤的質疑。我們同樣發現，在嘗試理解自然定律的過程中，最明顯的直覺解釋往往是錯誤的。
人的思想創造出了一幅不斷變化的宇宙圖景。伽利略的貢獻就在於破壞了直覺看法，並且用新的觀點取而代之。這正是伽利略所作發現的意義。
但是關於運動，立即又產生了一個新的問題。既然速度並不能指示作用於物體的外力，那麼什麼才可以呢？伽利略發現了這個基本問題的答案，牛頓則給出了更為簡潔的回答，它成了我們偵察中的另一條線索。
為了得到正確的答案，我們需要對絕對光滑路面上的小車作更為深入的思考。在我們的理想實驗中，運動之所以勻速，是因為沒有任何外力。現在設想沿著車子的運動方向推它一下，這時會有什麼情況發生呢？顯然，它的速度會增加。同樣，如果沿相反方向推它一下，則速度會減小。在第一種情況下，小車因被推而加速；在第二種情況下，小車因被推而減速。由此可以得出結論：外力的作用會改變速度。因此，推和拉不會產生速度本身，而會導致速度的變化。這樣一個力究竟是使速度增加還是減小，全看它是沿著運動方向作用還是逆著運動方向作用。伽利略清楚地認識到了這一點，他在《兩門新科學》（Two New Sciences）中這樣寫道：
……只要引起加速或減速的外部原因不存在，運動物體將會始終保持已有的任何速度——只有在水平面上才可能實現這個條件，因為就斜面運動而言，朝下運動已經有了加速的原因，朝上運動則已經有了減速的原因。由此可知，只有水平面上的運動才是持久的，因為如果速度是均勻的，那麼速度不會減小或減弱，更不會被消滅。
循著這條正確的線索，我們就對運動問題有了更深的理解。力與速度的變化有關，而不像我們直覺地那樣與速度本身有關，這正是牛頓建立的經典力學的基礎。
我們一直在使用力和速度的變化這兩個概念，它們在經典力學中扮演著重要角色。在科學後來的發展過程中，這兩個概念都得到了擴展和推廣。因此，我們必須對其作出更細緻的考察。
力是什麼呢？我們能夠從直覺上感受到這個詞的含義。這個概念產生於推、拋、拉等努力，產生於伴隨著這些動作的肌肉感覺。但它所概括的遠遠不只是這些簡單的例子。我們可以設想一些力，它們並不像馬拉車那樣簡單。我們講的是太陽與地球之間、地球與月亮之間的引力，即造成潮汐的那些力；我們講的是地球把我們和周圍的所有物體都保持在其影響範圍之內的力，以及產生海浪和吹動樹葉的風力。只要我們在某時某地觀察到了速度的變化，在一般意義上它必定是由某種外力引起的。牛頓在其《自然哲學的數學原理》（Principia）中寫道：
作用力是施加於物體以改變其靜止或勻速直線運動狀態的一種作用。
這個力只存在於作用中，一旦作用終止，便不再存在於物體中，因為物體僅憑慣性就可以保持它所獲得的任何一種新狀態。作用力有不同的來源，比如來自撞擊、擠壓和向心力等。
從塔頂丟下的石頭的運動並非勻速，其速度會隨著石頭的下落而增加。我們斷定，有外力在沿著運動的方向起作用。換句話說，地球在吸引石頭。再舉個例子。把石頭直著向上拋，會發生什麼情況呢？它的速度會逐漸減小，到達最高點後則開始下落。上拋物體的減速和下落物體的加速是由同一個力引起的。不過在一種情況下，力是沿著運動的方向起作用，而在另一種情況下，力是逆著運動的方向起作用。力是同一個，但它根據石頭是下落還是上拋而導致加速或減速。
3.矢量
以上我們考察的所有運動都是直線的，也就是沿一條直線的運動。現在我們必須再往前走一步。要理解自然定律，應當先來分析最簡單的案例，捨去複雜情形。直線比曲線簡單。但我們不可能只滿足於了解直線運動。力學原理已經得到成功運用的月球、地球和行星的運動，都是沿著曲線軌道的運動。從直線運動過渡到曲線運動會帶來新的困難。要想理解經典力學的原理，就必須勇於克服這些困難。經典力學給了我們第一條線索，因此成為科學發展的起點。
讓我們考慮另一個理想實驗。設想有一個完美的球在光滑的桌子上勻速滾動。我們知道，假如推這個球一下，也就是對它施以外力，它的速度就會改變。現在假定與前面小車的例子不同，推的方向不是沿著運動方向，而是沿著另一個方向，比如與這條線垂直，那麼這個球會發生什麼情況呢？我們可以區分出三個運動階段：初始運動，外力的作用，以及外力停止作用後的最終運動。根據慣性定律，外力作用之前和作用之後，速度都是絕對均勻的。但是，外力作用之前的勻速運動不同於外力作用之後的勻速運動，因為方向發生了改變。球的初始路徑垂直於外力的方向。最終的運動不會依循這兩條直線中的任何一條，而會介於二者之間：如果推得重而初速小，它就靠近力的方向；如果推得輕而初速大，它就靠近初始運動的路線。於是，我們根據慣性定律得到的新結論是：一般說來，外力的作用不僅會改變速率，而且會改變運動方向。理解了這個事實，就為我們在物理學中引入矢量這個概念做好了準備。
我們可以運用我們直接的推理方法，出發點仍然是伽利略的慣性定律，繼續從解決運動難題的這個極有價值的線索中推導出許多結論。
設想在光滑的桌面上朝不同方向運動的兩個球。為了形成明確的圖像，可以假定這兩個方向相互垂直。由於沒有外力作用，球的運動是完全勻速的。再假定它們的速率也相等，也就是說，它們在相同的時間間隔內走過相同的距離。但如果說這兩個球有相同的速度，這是否正確呢？回答可以是是或否！倘若兩輛汽車的示速器上都顯示40英里每小時，我們通常會說它們有相同的速率或速度，無論它們朝哪個方向開。但科學必須創造出自己的語言和概念以供己用。科學概念的出發點往往是日常語言中用於日常生活事務的那些概念，但其發展則完全不同：它們發生了轉變，失去了日常語言中與之相關聯的模糊性而獲得了嚴格性，從而可以用於科學思想。
物理學家會說，朝不同方向運動的兩個球的速度是不同的。雖然這純屬約定，但這樣說要更為方便：從同一地點沿不同道路行駛的四輛汽車，即使示速器上記錄的速率都是40英里每小時，其速度也是不同的。速率與速度的這種區分表明了物理學如何從日常概念出發，然後加以改變，使之在科學的未來發展中富有成果。
在測量長度的時候，我們可以用若干個單位來表達結果。一根棍子的長度也許是3英尺7英寸；某個物體的重量也許是2磅3盎司；一段時間間隔可以是多少分多少秒。在每一種情況下，測量結果都是用一個數來表達的。然而，單憑一個數還不足以描述某些物理概念。認識到這一點乃是科學研究的一大進步。例如，要想刻畫速度，方向和數值都是至關重要的。像這樣一個既有大小又有方向的量被稱為矢量，表示它的符號通常是一個箭頭。速度就可以用一個箭頭或矢量來表示，其長度是以某種選定的單位來衡量的速率，其方向則是運動的方向。
如圖所示，如果四輛汽車從同一地點以相同的速率朝四個方向開出，則它們的速度可以用四個等長的矢量來表示。圖中使用的比例尺為1英寸代表40英里每小時。這樣一來，任何速度都可以用一個矢量來表示。反過來，如果比例尺已知，那麼根據這種矢量圖就可以確定速度。
假定兩輛汽車在路上彼此經過，且示速器上都顯示40英里每小時，則我們可以用箭頭指向相反方向的兩個矢量來表示它們的速度，正如地鐵列車指示「上行」、「下行」的箭頭必須指向
相反的方向。不過所有上行列車，無論經過哪個車站，或者在哪條線路上行駛，只要速率相同，都有相同的速度，這個速度可以用一個矢量來表示。矢量並沒有說明列車經過哪一個車站或者沿著平行軌道中的哪一條在行駛。換句話說，根據習慣，圖中所
有這些矢量都可以認為是相等的；它們處於相同或平行的直線上，長度相等，箭頭指向同一方向。接下來一幅圖顯示的矢量各不相同，因為它們要麼長度不同，要麼方向不同，要麼長度和方
向都不同。還可以用另一種方式來畫這四個矢量，使之從同一點岔開。由於出發點並不重要，所以這些矢量既可以表示從同一地點開出的四輛汽車的速度，也可以表示在不同地點以指定的速率和方向行駛的四輛汽車的速度。
現在可以用這種矢量圖示來描述前面討論的直線運動的情況。我們曾經談到，沿直線作勻速運動的小車，只要沿著它的運動方向推一下，它的速度就會增加。這可以用圖表示成兩個矢量：短矢量表示推之前的速度，長矢量表示推之後的速度，與前者方向相同。虛線矢量的含義很清楚，它表示因推而產生的速度
變化。如果力的方向與運動方向相反，運動慢了下來，那麼圖會稍有不同。虛線矢量同樣表示速度的變化，但此時它的方向卻是
不同的。顯然，速度本身和速度的變化都是矢量。但速度的任何變化都是由於外力的作用，因此力必須用矢量來表示。為了刻畫一個力，只說我們使了多大勁來推小車是不夠的，還應當說明我們朝哪個方向來推。力，就像速度和速度的變化一樣，必須用一個矢量而不能單用數值來表示。因此，外力也是一個矢量，而且必須與速度變化的方向相同。在上兩幅圖中，虛線矢量既顯示了速度的變化，又表明了力的方向。
這裡懷疑論者也許會說，他看不出引入矢量有什麼好處。以上所做的只是把業已知道的事實翻譯成一種陌生而複雜的語言而已。在目前這個階段，的確很難說服他相信自己是錯的。事實上，他暫時是對的。但我們將會看到，正是這種奇怪的語言引出了重要的推廣，矢量在其中似乎是必不可少的。
4.運動之謎
如果只考察直線運動，我們就遠不能理解自然界中的許多運動。我們必須考慮曲線運動，下一步就是要確定出支配這些運動的定律。這絕非易事。事實證明，在直線運動的情況下，速度、速度的變化、力等概念是很有用的，但如何把它們應用於曲線運動，卻並非一目了然。我們甚至可以設想，舊概念已經不適合描述一般運動，必須創造出新的概念。我們應當儘量循著舊路走，還是另尋一條新路呢？
在科學中，我們常常會把概念加以推廣。推廣的方法並非只有一種，通常會有很多方式來實現。不過，無論是哪一種推廣，都必須嚴格滿足一個要求：如果原有的條件得到了滿足，任何推廣的概念都必須歸於原有的概念。
利用目前正在討論的例子，我們可以很好地說明這一點。我們可以試著把速度、速度的變化和力等舊概念推廣到曲線運動。從專業上講，在談到曲線時，我們已經把直線包含了進去。直線是曲線的一個平凡特例。因此，如果把速度、速度的變化和力用於曲線運動，它們就自動被用於直線運動。但這個結果不應與之前得到的結果相矛盾。如果曲線變成了直線，那麼所有推廣的概念都必須歸於描述直線運動的舊概念。但這樣一個限制不足以唯一地決定如何推廣，而是還留有多種可能性。科學史表明，即使連最簡單的推廣也是有時成功，有時失敗。我們必須首先作出猜測。就目前這個例子而言，很容易猜出正確的推廣方法。事實證明，新的概念非常成功，它既能幫助我們理解行星的運動，又能幫助我們理解拋出石頭的運動。
在曲線運動的一般情形中，「速度」、「速度的變化」和「力」這些詞是什麼意思呢？先談談「速度」。假定有一個很小的物體沿著曲線從左向右運動，這樣一個小物體通常被稱為「質點」。在下圖中，曲線上的點表示質點在某一時刻的位置。對應於這個時刻和位置的速度是什麼呢？伽利略的線索再次暗示了引入速度的方法。我們必須再次運用想像力去設想一個理想實驗。在外力的影響下，質點沿曲線從左到右運動。假定某一時刻在圖中的點上，所有這些力都突然停止作用，那麼根據慣性定律，運動必定是勻速的。當然，我們實際上永遠也不可能使物體完全擺脫外界的影響。我們只能推測「如果……，那麼會發生什麼情況？」，再根據由此得出的結論以及它們是否與實驗相一致來判斷我們的推測是否恰當。
接下來一幅圖中的矢量表示所有外力都消失時所猜測的勻速運動方向，那就是所謂的切線方向。如果透過顯微鏡來看一個運動著的質點，我們會看到一個非常小的曲線部分，它顯現為一小段弦。切線就是它的延長線。於是，所畫的矢量表示給定時刻的速度。速度矢量就在切線上，它的長度表示速度的大小，比如汽車示速器上顯示的速率。
我們不能把破壞運動以尋求速度矢量的這個理想實驗看得太認真。它只是為了幫助我們理解應把什麼東西稱作速度矢量，以及就給定的時刻和地點確定速度矢量。
下一幅圖中繪出的三個速度矢量對應於一個質點沿曲線運動時的三個不同位置。這裡，速度的方向和大小（如矢量的長度所示）都是隨運動而變化的。
這個新的速度概念是否滿足針對一切推廣所提出的要求呢？換句話說，倘若曲線變成了直線，它是否也能歸於我們所熟悉的速度概念呢？顯然是這樣。直線的切線就是這條線本身。速度矢量位於運動的線上，運動的小車或滾動的球體的情況就是如此。
接下來要引入作曲線運動的質點的速度變化。這同樣有各種方式，我們選擇其中最為簡單和方便的。上一幅圖中的幾個速度矢量表示路上各個點處的運動。可以把前兩個矢量畫成有一個共同的起點，我們已經知道，對於矢量來說是可以這樣做的。
我們把虛線矢量稱為「速度的變化」。它的起點是第一個矢量的末端，終點則是第二個矢量的末端。初看起來，對速度變化的這個定義不僅人為，而且沒有意義。在矢量１和矢量2方向相同的特殊情況下，這個定義要清楚得多。當然，這意味著回到了直線運動的情形。如果這兩個矢量有相同的起點，那麼虛線矢量仍然是把它們的終點連接起來。現在，此圖與前面那幅圖完全相同，以前的概念重新成為新概念的一種特殊情形。需要指出的是，在圖中我們不得不把兩條線分開，因為否則它們就重合在一起無法區分了。
現在我們來做最後一步推廣，也是我們迄今所作猜測中最重要的一個。必須建立起力與速度變化之間的關聯，以找到一條線索來理解一般的運動問題。
用來解釋直線運動的線索很簡單：外力使速度發生了變化，力矢量與速度變化的方向相同。那麼，曲線運動的線索是什麼呢？完全一樣！僅有的差別是，現在速度變化的意義比以前更寬泛了。只要看一下前兩幅圖中的虛線矢量，就能清楚地顯示這一點。如果曲線上每一點的速度都已知，那麼每一點的力的方向就立即可以推導出來。必須取相距時間極短的兩個時刻（因而相應的兩個位置也非常近）畫出速度矢量，從前一矢量終點引向後一矢量終點的矢量即表示作用力的方向。但重要的是，這兩個速度矢量的時間間隔必須「極短」。對「極近」、「極短」這類詞作出嚴格的分析絕非易事。事實上，正是這種分析使牛頓和萊布尼茨發明了微積分。
推廣伽利略線索的過程漫長而曲折，這裡我們無法講述這種推廣是多麼富有成果。應用它之後，以前互不關聯和無法理解的許多事實都得到了簡單而令人信服的解釋。
從紛繁複雜、各式各樣的運動中，我們只取最簡單的運動，並且用剛才表述的定律來解釋它們。
槍管里射出的子彈，斜著拋出的石頭，水管里射出的水流，它們所走過的路徑都是我們所熟知的拋物線。想像在石頭上附加一個示速器，使石頭在任何時刻的速度矢量都可以畫出來。
如圖所示，作用於石頭的力的方向正是速度變化的方向，我們已經知道如何來確定它。下圖顯示了作用力垂直向下的情形，這和讓石頭從塔頂落下來時的情形完全一樣。路徑和速度雖然完全不同，但速度變化的方向卻是相同的，它們都朝向地球的中心。
將一塊石頭縛在一根繩子末端，在水平面上揮動它，它將作圓周運動。如果速率恆定，那麼圖中表示這種運動的所有矢量長度都相等。然而，運動並不是勻速的，因為路徑並非直線。只有
勻速直線運動才不涉及外力。但這裡存在著外力，發生變化的不是速度的大小，而是速度的方向。根據運動定律，這種變化必定由某個外力引起，這裡的力存在於石頭與握繩的手之間。於是立刻又產生了一個問題：力是沿著哪個方向起作用的呢？我們還用矢量圖來回答。畫出距離非常近的兩個點的速度矢量，找到速度的變化。可以看到，後一矢量沿繩子指向圓心，而且總是與速度矢量或切線垂直。換句話說，手通過繩子對石頭施加了一個力。
月球圍繞地球的運轉這個更重要的例子與此非常類似。可以近似認為它是勻速圓周運動。作用於月球的力是指向地球的，就像上一個例子中的力指向手一樣。地月之間並無繩索連接，但我們可以想像這兩個物體的中心之間有一根線，力就位於這根線上，並且指向地心，就像石頭拋向空中或者從塔頂落下時受到的力那樣。
我們之前就運動所說的都可以歸結為一句話：力和速度的變化是方向相同的矢量。這是解決運動問題的初始線索，但它肯定不足以徹底解釋所觀察到的一切運動。從亞里士多德的思路過渡到伽利略的思路是科學基礎的一塊非常重要的基石。一旦取得這一突破，進一步發展的思路就很明確了。這裡我們感興趣的是發展的最初階段，即根據初始的線索表明，在與舊觀念的艱苦鬥爭中如何產生了新的物理概念。我們只關注科學中的開創性工作，即如何尋找新的、未曾預料的發展道路，只關注科學思想的冒險如何創造出一幅不斷變化的宇宙圖景。最初的基本步驟總是革命性的，科學想像發覺舊的概念過於狹窄，遂用新的概念取而代之。沿任何既定思路的持續發展都帶有演進性，直至到達下一個轉折點，需要征服新的領域為止。然而，要想理解是什麼原因和什麼困難迫使我們改變重要的概念，我們不僅要知道初始線索，還要知道從中可以推出什麼結論。
從初始線索中推出的結論不僅是定性的，而且是定量的，這是現代物理學最重要的特徵之一。我們再次考慮從塔上落下的石頭。我們已經看到，石頭的速度將會隨著下落而增加。但我們還想知道得更多一些，比如這個變化究竟有多大？開始下落後，石頭在任一時刻的位置和速度是多少？我們希望能對事件作出預言，並且用實驗來確定觀察結果能否證實這些預言，從而證實初始假設。
要想得出定量結論，必須使用數學語言。科學的基本觀念本質上大都簡單，一般都可以用人人都能理解的語言來表達。但是，要把這些觀念探究到底，卻需要了解非常複雜的研究技巧。要想得出能與實驗相比較的結論，必須把數學當作推理工具。如果只關注基本的物理學觀念，數學語言也許是可以避免的。由於本書一貫如此，所以為了理解進一步產生的重要線索，我們有時必須未加證明地引用一些結果。放棄數學語言必然會帶來一些代價，比如精確性有所喪失，有時引用一些結果卻不能說明它們的由來。
地球圍繞太陽的運轉是運動的一個非常重要的例子。眾所周知，其路徑是一條被稱為橢圓的閉合曲線。速度變化的矢量圖表明，作用於地球的力指向太陽。但僅有這點信識畢竟不夠。我們希望能夠預測地球和其他行星在任一時刻的位置，預測下一次日食的日期和持續時間以及其他許多天文學事件。這些事情是可以做到的，但並非只靠我們的初始線索，因為現在不僅要知道力的方向，而且要知道它的絕對值或大小。在這一點上，牛頓作了富有啟發的猜測。根據他的萬有引力定律，兩個物體之間的引力與它們彼此之間的距離有一種很簡單的關係：距離增加時，力就減小。具體說來，當距離增加到2倍時，力就減小到2×2＝4倍；當距離增加到3倍，力就減小到3×3＝9倍。
於是我們看到，就萬有引力而言，我們已經成功地把運動物體之間的力與距離的關係表示為一種簡單的形式。對於其他情形，比如電力、磁力等不同種類的力在起作用時，我們也以類似的方法進行處理。對於力，我們試圖使用一種簡單的表達。這種表達是否恰當，要看從它推出的結論能否為實驗所證實。
然而，單憑這種對引力的認識還不足以描述行星的運動。我們已經看到，表示力和很短時間間隔內速度變化的矢量，其方向是相同的，但我們必須進一步追隨牛頓，認為其長度之間存在著一種簡單關係。假定所有其他條件都相同，也就是說，運動物體相同，考察速度變化的時間間隔相同，那麼按照牛頓的說法，速度的變化正比於力。
因此，要想得出關於行星運動的定量結論，需要補充兩個猜測：一個是一般性的，陳述力與速度變化之間的關係；另一個是特殊性的，陳述這種特殊類型的力與物體距離之間的關係。前者是牛頓一般的運動定律，後者則是他的萬有引力定律，這兩條定律共同決定了運動。通過下面聽起來似乎有些笨拙的推理，我們可以說清楚這一點。假定行星在某一時刻的位置和速度能夠測量出來，力也是已知的，那麼根據牛頓定律，我們就能知道很短時間間隔內的速度變化。知道了初速度和速度變化，我們就能得到行星在時間間隔結束時的速度和位置。持續重複這個過程，我們不必再求助於觀測數據就能追溯出整個運動路徑。原則上講，力學就是如此預測物體運動軌跡的，但這種方法用在此處很不實際。實際上，這種次第進行的程序極為冗長且不準確。幸好這種方法完全不必要，數學給我們提供了一條捷徑，能夠極為簡潔地描述運動。由此得出的結論可以用觀察來證明或否證。
無論是石頭在空中的下落，還是月球繞其軌道的運轉，我們都可以看出同一種類型的外力，那就是地球對物體的吸引力。牛頓認識到，石頭的下落以及月球和行星的運轉僅僅是作用於任何兩個物體之間的萬有引力的特殊顯現。簡單情況下的運動可以藉助於數學來描述和預測。而極為複雜的情況，如果涉及多個物體彼此之間的作用，數學描述就不那麼簡單了，但基本原理是一樣的。
我們發現，在石頭的拋射運動以及月球、地球和行星的運動中，我們從初始線索中推導出來的結論變成了現實。
事實上，實驗能夠證明或否證的乃是我們的整個猜測系統。沒有一個假設能被孤立出來作單獨的檢驗。在行星圍繞太陽運轉的例子中，力學體系表現得非常成功。但我們很容易設想另一個體系，它基於不同的假設，但同樣很管用。
物理概念是人類心靈的自由創造，而不是完全由外在世界所決定（無論看起來有多像）。我們試圖理解實在，就像一個人想知道一塊表的內部機制。他看到表面和正在走動的錶針，甚至聽到滴答聲，但卻打不開表殼。心靈手巧的他可以將機制畫出來，以解釋他觀察到的所有事物，但他永遠無法完全肯定，只有他的圖才能解釋觀察到的東西。他永遠也不能把這幅圖與實際的機制加以比較，甚至無法想像這種比較的可能性或意義。但隨著知識的增長，他肯定相信他對實在的描繪將會越來越簡單，所能解釋的感覺印象的範圍也會越來越廣。他也可以相信，知識有一個理想的極限，而人類的心靈正在接近這個極限。這個理想的極限或可稱之為客觀真理。
5.還有一條線索
我們最初研究力學時會有一種印象，認為在這門科學分支中，一切都是簡單、基本和一成不變的。但我們很難想到，一條重要的線索近三百年來未曾有人注意過。這條被忽視的線索與力學的一個基本概念有關，那就是質量。
讓我們回到那個簡單的理想實驗，即小車在絕對光滑的路上運動。小車起初靜止，然後推它一下，它將以一定的速度勻速運動。假定力的作用可以隨意重複，推的機制每次都以同樣的方式起作用，並且給同一輛車施加同樣的力，那麼無論把這個實驗重複多少次，小車最後的速度總是一樣的。但如果把實驗變一下，車上原先是空的，現在給它裝上東西，結果會怎樣呢？裝上東西的車的末速度會比空車小些。結論是：如果同樣的力作用於原本靜止的兩個不同物體，所產生的速度將會不同。因此我們說，速度與物體的質量有關，質量越大，速度越小。
因此，我們至少在理論上知道如何測定物體的質量，或者更確切地說，知道如何測定一個質量比另一個質量大多少倍。我們把同樣的力作用於兩個靜止的質量，若發現第一個質量的速度比第二個質量的速度大3倍，我們就可以斷言，第一個質量比第二個質量小3倍。當然，對於測定兩個質量之比來說，這種方法並不很實用。不過，以慣性定律的運用為基礎，我們完全可以設想已經以諸如此類的方法做到了這一點。
我們實際上是如何測定質量的呢？當然，不是以剛才描述的那種方法。人人都知道正確的答案，我們把物體放在天平上稱一下就測定出了它的質量。
讓我們更仔細地討論一下測定質量的這兩種方法。
第一個實驗與重力即地球引力毫無關係。被推之後，小車沿著絕對光滑的水平面運動。使小車停留在平面上的重力並不改變，對於測定質量完全不起作用。而稱量則完全不同。如果地球不吸引物體，或者說如果不存在重力，那麼永遠也無法使用天平。測定質量的這兩種方法的差異在於：第一種方法與重力毫無關係，第二種則本質上依賴於重力的存在。
我們問：如果用上述兩種方法來測定兩個質量之比，我們會得到同一結果嗎？實驗給出的回答很清楚：結果是一樣的。我們不可能預先知道這個結論，因為它並非基於理性，而是基於觀察。為了簡潔，我們把用第一種方法測出的質量稱為「慣性質量」，而把用第二種方法測出的質量稱為「引力質量」。在我們的世界中，它們碰巧相等，但我們完全可以設想它們並不相等。這樣就立即產生了另一個問題：這兩種質量的相等是純屬偶然呢，還是有更深的意義？從經典物理學的觀點來看，回答是：這兩種質量的相等是偶然的，再無更深的意義可以賦予它。現代物理學的回答卻恰恰相反：這兩種質量的相等具有根本性的意義，它是一個新的至關重要的線索，引導我們走向更深刻的理解。事實上，它是發展出所謂廣義相對論的最重要的線索之一。
如果一個偵探故事把奇特的事件解釋成偶然的，那它似乎就不是一個好故事。讓故事遵循理性模式，肯定會更讓人滿意。同樣，只要能與觀察到的事實相一致，那麼能對引力質量和慣性質量的相等作出解釋的理論要比把這種相等解釋成偶然的理論更好。
既然慣性質量和引力質量的這種相等對於相對論的提出具有根本意義，這裡我們就應對它作出更為細緻的考察。何種實驗令人信服地證明了這兩種質量是相等的？答案其實已經存在於伽利略從塔上丟下不同質量的物體那個古老實驗裡了。他發現不同質量的物體下落時間總是相同的，落體的運動與質量無關。要把這個簡單但又極為重要的實驗結果與這兩種質量的相等聯繫起來，還需要相當複雜的推理。
一個靜止的物體在外力的作用下開始運動，並獲得一定的速度。它就範的難易程度依賴於它的慣性質量。質量越大，對運動的抵抗就越強。不那麼嚴格地說：一個物體對外力的感召作出回應的難易程度依賴於它的慣性質量。倘若地球真以同樣的力來吸引所有物體，那麼慣性質量最大的物體將比其他物體下落更慢。但事實並非如此，所有物體都以同樣的方式下落。這意味著地球吸引不同質量的力必定是不同的。而地球以重力來吸引石頭，對於石頭的慣性質量一無所知。地球的「感召」力依賴於引力質量，石頭的「回應」運動則依賴於慣性質量。既然「回應」運動總是相同的，也就是說，從同一高度丟下的所有物體都以同樣的方式下落，由此可以推斷：引力質量與慣性質量相等。
物理學家會把這一結論更加學究地表述為：落體的加速度與其引力質量成正比，與其慣性質量成反比。既然所有落體都有相同的恆定的加速度，所以這兩種質量必定相等。
在我們這個絕妙的偵探故事中，沒有什麼問題已被一勞永逸地徹底解決。300年後，我們不得不重新回到初始的運動問題，修改研究程序，尋找曾被忽視的線索，從而得到一幅不同的宇宙圖景。
6.熱是實體嗎？
現在我們開始追溯一條起源於熱現象領域的新線索。不過，我們不能把科學分成幾個獨立的、不相關的部分。事實上，我們很快就會看到，這裡介紹的新概念是與我們所熟知的、將來還會遇到的那些概念交織在一起的。在一個科學分支中發展起來的思路往往可以用來描述似乎完全不同的事件。在這一過程中，原先的概念往往會被修改，以幫助理解這些概念所源出的以及現在所用於的那些現象。
描述熱現象的最基本的概念是溫度和熱。在科學史上，將這兩個概念區分開來經歷了漫長的時間。然而，一旦作出這種區分，科學就獲得了突飛猛進的發展。這些概念現已眾所周知，但我們仍將作出認真考察，並且側重於兩者的區別。
我們的觸覺會非常清楚地告訴我們，一個物體是熱的，另一個物體是冷的。但這種標準是純粹定性的，不足以作出定量描述，有時甚至模糊不清。有一個著名的實驗可以表明這一點：假定有三個容器，分別裝有冷水、溫水和熱水。如果把一隻手浸入冷水，而把另一隻手浸入熱水，那麼我們的感覺是：第一個容器里的水是冷的，第二個容器里的水是熱的。如果隨後我們把兩隻手同時浸入溫水，那麼兩隻手會得到相互矛盾的感覺。同樣道理，愛斯基摩人和某個赤道國家的居民如果於春季在紐約見面，他們對於天氣的冷熱也會有不同的看法。我們用溫度計來解決所有這些問題。原始形式的溫度計是伽利略（又是那個熟悉的名字！）設計的。溫度計的使用基於一些明顯的物理假設。這裡我們不妨引用大約一個半世紀以前布萊克（Black）講義中的幾句話來回想一下這些假設，在消除與熱和溫度這兩個概念相關的困難方面，布萊克貢獻甚大：
通過使用這種儀器，我們發現，如果取1000種甚至更多種不同的物質，例如金屬、石頭、鹽、木頭、羽毛、羊毛、水以及其他各種流體，將其一起放在一個沒有火也沒有陽光照射的房間裡，雖然起初它們的熱各有不同，但放入房間之後，熱會從較熱的物體傳到較冷的物體，經過幾個小時或者一天，如果把一個溫度計依次用於所有這些物體，那麼溫度計將會精確指示同一度數。
按照今天的名稱，文中的「熱」應當用「溫度」來代替。
一個醫生把溫度計從病人口中取出來，可能會作這樣的推理：「溫度計通過其水銀柱長度來指示自己的溫度。假設水銀柱的長度與溫度的增加成正比，但溫度計和我的病人接觸了幾分鐘，所以病人和溫度計有同樣的溫度。由此推斷，這位病人的溫度就是溫度計記錄的那個溫度。」醫生的行為也許是無意識的，但他無意中已經運用了物理學原理。
但溫度計是否包含著與人體同樣多的熱量呢？當然不是。正如布萊克所指出的，僅僅因為兩個物體溫度相等就以為它們包含的熱量也相等，
這種看法過於倉促了。它將不同物體中的熱量與熱的一般強度混淆了起來。顯然，這是不同的兩種事物，在思考熱的分布時總是應當予以區分。
為了理解這種區分，我們不妨考察一個很簡單的實驗。將1磅水放在火焰上加熱，使其溫度從室溫升至沸點，這需要一段時間。若用同樣的火焰來煮沸同一容器中的12磅水，則需要更長的時間。在我們看來，這個事實表明，現在還需要另外「某種東西」，我們稱之為熱。
由以下實驗可以得出另一個重要概念——比熱。假定一個容器中裝有1磅水，另一個容器中裝有1磅水銀，用同樣的方式加熱它們。水銀變熱要比水快得多，這表明把水銀的溫度提高1度所需的「熱」更少。一般來說，要把相同質量的水、水銀、鐵、銅、木頭等不同物質的溫度改變1度，比如從40攝氏度升到41攝氏度，所需的「熱」量是不同的。我們說，每一種物質都有它自己獨特的熱容或比熱。
一旦有了熱的概念，我們就可以更仔細地研究它的本性了。假定有兩個物體，一個熱，一個冷，或者更確切地說，一個物體的溫度比另一個更高。現在使之接觸，並且不受任何外在影響。我們知道，它們最終會達到同樣的溫度。但這是如何發生的呢？從它們開始接觸到獲得相同的溫度，在此期間到底發生了什麼？我們的腦海中會浮現出這樣一幅畫面：熱從一個物體「流」向另一個物體，就像水從高位流向低位一樣。這幅畫面雖然原始，卻似乎符合許多事實，遂有這樣的類比：
水－熱
較高的水位－較高的溫度
較低的水位－較低的溫度
流動一直要進行到兩個水位即兩個溫度相等時才會停止。通過定量考慮，這個樸素的看法可以變得更有用處。如果把特定質量和溫度的水與酒精混合起來，那麼只要知道比熱就能預言混合物的最後溫度。反過來，只要觀察到最後的溫度，再加上一點代數知識，我們就能求出這兩個比熱之比。
我們意識到，這裡出現的熱的概念與其他物理概念有相似之處。在我們看來，熱是一種實體（substance），就像力學中的質量一樣。它的量可以改變，也可以不變，就像錢一樣，可以存在保險箱裡，也可以花掉。只要保險箱始終鎖著，箱子裡錢的總數就會保持不變。同樣，一個孤立物體中質量的總量和熱的總量也是不變的。理想的保溫瓶就類似於這樣一個保險箱。此外，一個孤立系統即使發生了化學變化，它的質量也保持不變；同樣，即使熱從一個物體流向另一個物體，一個孤立系統的熱量也是守恆的。即使不是用熱來提高物體的溫度，而是用它來熔化冰或者把水變成蒸汽，我們仍然可以把熱想像為實體。只要把水結成冰，或者把蒸汽液化為水，又可以重新得到熱。熔化潛熱或汽化潛熱這類舊稱都表明，這些概念源於把熱想像成一種實體。潛熱是暫時隱藏著的，就像如果有人知道開鎖的方法，就可以把保險箱裡的錢拿出來用。
但熱肯定不是一種與質量有同樣意義的實體。質量可以用天平來測定，那熱呢？鐵在熾熱狀態下是否要比在冰冷狀態下更重呢？實驗表明並非如此。即使熱是實體，它也是一種無重量的實體。「熱質」通常被稱為卡路里，這是一系列無重量的實體中我們最先熟識的一種。以後我們還會追溯這一系列實體的興衰歷史，現在只需注意這一種實體的誕生就夠了。
任何物理理論都希望解釋範圍儘可能廣的現象。就它的確使事件變得可以理解而言，它是有道理的。我們已經看到，熱質說解釋了許多熱現象。但我們很快就會意識到，這同樣是一條錯誤的線索。不能把熱看成一種實體，哪怕是無重量的實體。只要回想一下標誌著文明開端的幾個簡單實驗，我們就能明白這一點。
我們認為實體既不能創造，也不能毀滅。但原始人用摩擦的方法創造出了足夠的熱來點燃木頭。事實上，摩擦生熱的例子太多、太熟悉了，這裡無須詳述。在所有這些例子中都有一些熱量被創造出來，這一事實很難用熱質說來解釋。誠然，支持這個理論的人會發明出各種論證來解釋它。其推理可能是這樣的：「熱質說可以解釋表觀上熱的產生。舉一個最簡單的例子：拿兩塊木頭相互摩擦，摩擦影響了木頭，改變了木頭的性質。這種性質改變很可能導致不變的熱量產生了比以前更高的溫度。畢竟，我們只看到了溫度的升高。也許摩擦改變的是木頭的比熱，而不是總的熱量。」
在目前的討論階段，同熱質說的支持者進行爭辯是沒有用處的，因為這件事只能通過實驗來解決。設想有兩塊相同的木頭，用不同方法使之發生相同的溫度改變，比如一種用摩擦，另一種通過與散熱器接觸。如果兩塊木頭在新的溫度下有相同的比熱，那麼整個熱質說就被推翻了。我們有非常簡單的方法來測定比熱，熱質說的命運取決於這些測量的結果。在物理學史上，經常有一些檢驗能夠宣判一個理論的生死，這種檢驗被稱為「判決性實驗」。一個實驗的判決價值只有通過提問方式才能得到揭示，而且只有一種關於現象的理論才能交由它判決。同一類型的兩個物體的比熱測定，即分別通過摩擦和傳熱使之達到相同的溫度，就是判決性實驗的一個典型例子。大約150年前，倫福德（Rumford）做了這個實驗，它給了熱質說以致命一擊。
讓我們看看倫福德本人是怎麼說的：
在人們的日常工作和生活中，往往會有機會思索一些最奇妙的自然運作；利用純粹為技術製造的目的而設計出來的機械，幾乎不必花多少精力和錢就可以做非常有趣的哲學實驗。
我常常有機會作這種觀察。我確信，只要習慣於留心日常生活中發生的事情，就往往會引出有益的懷疑，有助於制定合理的研究與改進方案。這些情況有的像是偶然發生的，有的則是在思索司空見慣的現象時讓想像力盡情馳騁而發生的。與之相比，那些專門坐在書房裡冥思苦想的哲學家倒沒有這麼多機會。……
不久前，我去慕尼黑兵工廠監管大炮的鑽制。我發現，銅炮在鑽制很短時間之後就會獲得大量的熱，而鑽頭從炮上鑽下來的金屬屑則要更熱（我用實驗發現，它們比沸水還要熱得多）。……
在上述機械操作中實際產生出來的熱是從哪裡來的呢？
是鑽頭在堅固的金屬塊中鑽出來的金屬屑提供的嗎？
如果真是這樣，那麼根據潛熱和熱質的現代學說，它們的熱容不僅要變，而且要變得足夠大，才能解釋所產生的全部的熱。
但這樣的變化並沒有發生。取相等重量的這種金屬屑和用細齒鋸從同一塊金屬上鋸下來的金屬薄片，把它們在相同溫度（沸水的溫度）下分別放入等量的冷水（比如溫度為華氏59.5度），我發現，放金屬屑的水似乎並不比放金屬片的水更熱或更冷。
最後，我們來看看倫福德的結論：
在對這個主題進行推理時，我們不要忘記考慮那個最引人注目的狀況：在這些實驗中，由摩擦產生的熱的來源似乎明顯不可耗盡。
不消說，與外界隔絕的任何物體或物體系統所能無限持續提供的任何東西不可能是物質實體（material substance），而且在我看來，任何能像這些實驗中的熱一樣被激發和傳播的東西，除非認為是「運動」，否則我們很難對其形成任何明確的觀念。
於是，我們看到舊理論被推翻了，或者更確切地說，我們看到熱質說不適用於熱流問題。正如倫福德所暗示的，我們需要尋找新的線索。為此，我們暫時離開熱的問題，回到力學。
7.過山車
讓我們研究一下遊樂場中過山車的運動。把一輛小車提升到或駕駛到軌道的最高點，然後自由釋放。在重力的作用下，它將開始朝下滑動，隨後沿著一條古怪的曲線上升下降，其速度的突然改變會使乘客感到緊張刺激。每一個過山車都有一個最高點作為起點。在整個運動過程中，小車再也無法到達同一高度。完整地描述運動會非常複雜：一方面是問題的力學方面，即速度和位置隨時間的改變；另一方面有摩擦，因此軌道和車輪上會產生熱。之所以把這個物理過程分成這兩個方面，主要是為了使用前面討論過的那些概念。這種劃分使我們得到了一個理想實驗，因為一個只顯示力學方面的物理過程只能設想，而不能實現。
對於這個理想實驗，我們可以設想有人能夠完全消除一直伴隨著運動的摩擦。他決定用這一發現來建造一個過山車，並親自研究如何建造。從起點（比如距地面100英尺）開始，小車將會跑上跑下。通過試錯法，他很快就發現必須遵循一個非常簡單的規則：他可以把軌道建成任意形狀，只要軌道上任何一點都不高於起點。如果小車自始至終能夠沒有摩擦地運動，那麼在整個行程中，他想讓小車的高度達到100英尺多少次就可以多少次，但絕不能超過這個高度。在實際的軌道上，由於摩擦的作用，小車永遠也達不到起點的高度，但我們這位假想的工程師並不需要考慮這一點。
讓我們考察一下這輛理想小車從理想過山車的起點開始向下滑的運動。它在運動的時候，距離地面的高度減小了，但速率卻增加了。初看起來，這句話也許會讓我們想起語文課上的句子：「我沒有鉛筆，但你有六個橘子。」但事實上，這句話並不那麼幼稚可笑。我沒有鉛筆和你有六個橘子之間並沒有關係，但小車距離地面的高度和它的速率之間卻有著非常實際的關係。只要知道小車在某一時刻距離地面的高度，我們就可以算出它在這一時刻的速率。不過這涉及定量的數學公式，這裡我們姑且不談。
在過山車的最高點，小車的速度為零，距離地面的高度為100英尺。而在可能的最低點，小車距離地面的高度是零，速度達到最大。這些事實可以用另一些術語來表達：在最高點，小車有勢能而沒有動能；在最低點，小車有最大的動能而沒有任何勢能。在既有速度又有高度的所有中間位置，小車既有動能又有勢能。勢能隨高度的增加而增大，動能則隨著速度的增加而增大。力學原理足以解釋這種運動。這兩種能量的表達式出現在數學描述中，它們各自都可以改變，而總和保持不變。這樣一來，我們就可以在數學上嚴格引入與位置有關的勢能概念和與速度有關的動能概念。當然，引入這兩個名稱是隨意的，只是為了方便。這兩個量之和保持不變，被稱為運動恆量。動能加勢能所構成的總能量就類似於一筆總數不變的錢，根據固定的兌換率，我們可以持續地將一種貨幣兌換成另一種，比如從英鎊兌換成美元，然後再兌換回來，但錢的總數不變。
對實際的過山車而言，在摩擦力的作用下，小車無法重新達到起點的高度，但動能與勢能之間仍在不斷轉換。不過在這裡，動能與勢能的總和並非保持不變，而是逐漸減小。現在需要再邁出重要而大膽的一步，才能將運動的力學方面與熱的方面聯繫在一起。後面我們會看到邁出這一步所得出的豐碩成果。
現在，某種不同於動能和勢能的東西被牽涉進來，那就是摩擦產生的熱。這種熱是否對應於機械能的減少即動能和勢能的減少呢？我們立刻會產生一個新的猜測。如果熱可以被看成一種能量，那麼也許熱、動能和勢能這三種能量的總和是恆定不變的。不是單獨的熱，而是熱與其他形式的能量合在一起，會像實體一樣不可消滅。這就像一個人在把美元兌換成英鎊時，本來要付一筆法郎作為手續費，但這筆手續費省下來了，因此根據固定的兌換率，美元、英鎊和法郎的總和是一個固定值。
科學的進步推翻了把熱看成實體的舊觀念。我們試圖創造出能量這種新實體，而把熱看成能量的一種形式。
8.轉化率
不到100年前，邁耶（Mayer）猜測了一條新的線索，引出了熱是一種能量的概念。焦耳（Joule）後來用實驗作了驗證。可巧的是，幾乎所有與熱的本性有關的基礎工作都是非專業的物理學家做的，他們僅僅把物理學看成自己的一大愛好，比如多才多藝的蘇格蘭人布萊克、德國醫生邁耶、美國冒險家倫福德（他後來在歐洲生活，擔任巴伐利亞軍政大臣等職務），還有英國的釀酒師焦耳，他在工作之餘做了有關能量守恆的幾個最重要的實驗。
焦耳用實驗證實了熱是一種能量的猜測，並且測定了轉化率。我們不妨看看他的成果。
某個系統的動能和勢能合起來構成了它的機械能。在過山車的例子中，我們猜測有些機械能轉化成了熱。如果是這樣，那麼在這裡以及所有其他類似的物理過程中，兩者之間必定存在著明確的轉化率。嚴格來說，這是一個定量的問題，但一定數量的機械能可以轉變成一定數量的熱，這個事實非常重要。我們想知道用什麼數來表示轉化率，也就是說，從一定數量的機械能中可以得到多少熱。
焦耳的研究正是為了測定這個數值。他有一個實驗的機械裝置很像重錘驅動的鐘表。給這個鐘上發條，兩個重錘就升高，從而給系統增加了勢能。如果這個鐘不再受到干擾，便可以視之為一個封閉系統。重錘逐漸下降，發條逐漸走完。一段時間之後，重錘將到達其最低位置，鍾也停了下來。能量發生了什麼呢？重錘的勢能轉化為機械裝置的動能，然後以熱的形式逐漸消散。
焦耳巧妙地改變了這種機械裝置，從而能夠測量熱的損耗以及轉化率。在他的儀器中，兩個重錘使一個浸在水中的葉輪轉動。重錘的勢能轉化為運動部件的動能，然後轉化為熱，從而提高了水的溫度。焦耳測量了溫度的改變，並利用已知的水的比熱計算出所吸收的熱量。他把多次實驗的結果總結如下：
1.無論是固體還是液體，物體摩擦所產生的熱量總是正比於所消耗的力（焦耳所說的力是指能量）。
2.要產生可以把（在55華氏度到60華氏度之間的真空中稱量的）1磅水的溫度升高1華氏度的熱量，所需要花費的機械力［能量］可以用772磅的物體在空中下降1英尺來表示。
換句話說，被提升到地面之上1英尺的772磅物體的勢能，等於把1磅水從55華氏度提升到56華氏度所需要的熱量。雖然後來的實驗者做得更精確，但熱功當量本質上是焦耳在其先驅性工作中發現的。
這項重要的工作一旦完成，後來的進步就很快了。人們很快就認識到，機械能和熱能只不過是很多種能量形式中的兩種。任何可以轉化為機械能或熱能的東西也是一種能量。太陽發出的輻射是能量，因為其中一部分變成了地球上的熱。電流有能量，是因為它可以使導線發熱，使發動機的輪子轉動。煤包含著化學能，煤燃燒時，化學能以熱的形式被釋放出來。在每一個自然事件中，都有一種形式的能量以某種確定的轉化率轉化為另一種形式的能量。在一個不受外界影響的封閉系統中，能量是守恆的，因此表現得很像一種實體。在這樣一個系統中，雖然任何一種能量的總量可能在變化，但所有可能形式的能量的總和是恆定的。倘若把整個宇宙看成一個封閉系統，我們就可以和19世紀的物理學家們一道自豪地宣布：宇宙的能量是不變的，它的任何一部分都既不能創生也不能毀滅。
這樣一來，我們就有了兩個實體概念，即物質和能量。兩者都遵從守恆定律：一個孤立系統的質量和總能量都不會改變。物質有重量，而能量沒有重量。因此，我們有兩個不同的概念和兩條守恆定律。現在我們還能認真看待這些觀念嗎？或者說，按照最新的發展，這幅看似有著牢固基礎的圖景是否已經改變了？的確變了！這兩個概念的進一步改變與相對論有關。以後我們還會回到這個問題上來。
9.哲學背景
科學研究成果往往會迫使人們改變對有限科學領域以外的問題的哲學看法。科學的目的是什麼？一個試圖描述自然的理論應該滿足什麼條件呢？這些問題雖然超越了物理學的界限，但與物理學密切相關，因為正是科學提供了素材，使這些問題得以產生。哲學概括必須以科學成果為基礎。而哲學概括一旦形成並且被廣泛接受，又常常會指出諸多可能道路中的某一條路，從而影響科學思想的進一步發展。等到業已接受的觀點被成功地推翻，又會出現意想不到的全新發展，從這些發展中又會產生新的哲學觀點。若不能從物理學史上引用一些例子來加以說明，這些話聽起來一定是模糊不清和不得要領的。
現在我們就來談談最早的哲學家是如何設想科學的目的的。這些思想極大地影響了物理學的發展，直到近100年前才因為新的事實和理論證據而被拋棄，而這些新的事實和理論證據又成了新的科學背景。
從希臘哲學到現代物理學的整個歷史中，一直有人嘗試把看起來複雜的自然現象歸結為幾個簡單的基本觀念和關係。這正是整個自然哲學的基本原則。它甚至表現在原子論者的著作中。2300年前，德謨克利特（Democritus）寫道：
甜是約定的，苦是約定的，熱是約定的，冷是約定的，顏色也是約定的。但實際上只有原子和虛空。也就是說，我們通常以為感官的對象是實在的，但其實並非如此。只有原子和虛空才是實在的。
在古代哲學中，這種觀念只不過是別出心裁的想像罷了。將陸續發生的事件聯繫在一起的自然定律，希臘人是不知道的。事實上，從伽利略開始，科學才把理論與實驗聯繫在一起。我們已經追溯了導向運動定律的初始線索。在200年的科學研究中，力和物質始終是理解自然的所有努力中的基本概念。我們想到其中一個概念就必定會想到另一個概念，因為物質通過作用於其他物質而證明自己是力的來源。
讓我們考慮最簡單的例子：兩個粒子，彼此之間有力作用著。最容易設想的力是引力和斥力。在這兩種情況中，力矢量都在質點的連線上。為了滿足簡單性，我們只能設想粒子相互之間吸引或排斥，因為關於作用力方向的任何其他假設都會導致複雜得多的圖像。關於力矢量的長度，我們也能作出同樣簡單的假設嗎？即使想避免過於特殊的假設，我們也仍然可以說：任何兩個已知粒子之間的力就像萬有引力一樣，只與它們之間的距離有關。這看起來已經足夠簡單了。我們還可以把力設想得更為複雜，比如不僅與距離有關，而且與兩個粒子的速度有關。倘若把物質和力當成基本概念，我們幾乎無法設想還有什麼假設能比力沿著粒子的連線作用並且只與距離有關更簡單。但僅憑這種力能否描述所有物理現象呢？
力學在其各個分支中所取得的偉大成就，在天文學發展中的驚人成功，以及力學觀念在那些非力學的、明顯不同的問題中的應用，所有這些都使我們相信，可以通過固定不變的對象之間簡單的力來解釋所有自然現象。在伽利略之後的兩個世紀裡，這樣一種努力有意無意地表現在幾乎所有科學創造中。大約在19世紀中葉，亥姆霍茲（Helmholtz）明確表達了這一點：
因此我們發現，物理科學的問題在於把自然現象歸結為強度只依賴於距離的不變的引力和斥力。要想完全理解自然，就得解決這個問題。
因此，按照亥姆霍茲的說法，科學發展的路線是已經決定了的，它嚴格遵循著這樣一條固定的路徑：
一旦把自然現象完全歸結為簡單的力，並且證明自然現象只能這樣來歸結，科學的使命就完成了。
在20世紀的物理學家看來，這種觀點是單調而幼稚的。想到偉大的研究工作可能很快就會結束，一幅絕對可靠但卻單調乏味的宇宙圖景被一勞永逸地建立起來，他一定會感到恐懼。
即使這些信條能把對所有事件的描述歸結為簡單的力，也還有一個問題沒有解決，那就是力與距離是什麼關係。對於不同的現象來說，這種關係可能是不同的。從哲學的觀點來看，必須為不同的事件引入多種不同類型的力，這肯定不能讓人滿意。儘管如此，亥姆霍茲清晰表述的這種所謂力學觀在當時起了重要作用。物質運動論的發展就是直接受到力學觀影響的最偉大的成就之一。
在敘述力學觀的衰落之前，我們暫且接受19世紀物理學家所持的觀點，看看從他們的外在世界圖景中可以得出什麼結論。
10.物質的運動論
是否可以通過有簡單的力相互作用著的粒子的運動來解釋熱現象呢？密閉容器里裝著一定質量和溫度的氣體，比如空氣。加熱使氣體的溫度升高，氣體的能量也由此增加。但這種熱與運動是如何關聯的呢？我們嘗試接受的哲學觀點以及運動產生熱的方式都暗示，熱可能與運動有關。如果每一個問題都是力學問題，那麼熱必定是機械能。運動論（kinetic theory）的目標就是用這種方式來表達物質概念。根據這種理論，氣體是無數粒子或分子的聚集。這些分子朝四面八方運動，相互碰撞，每次碰撞之後都會改變運動方向。分子必定有一個平均速度，就像人類社會有平均年齡和平均財富一樣。因此，必定存在著每一個粒子的平均動能。容器中的熱越多，平均動能就越大。根據這幅圖像，熱並不是一種與機械能不同的特殊形式的能量，而就是分子運動的動能。任何特定的溫度都對應著每個分子確定的平均動能。事實上，這並不是一個隨隨便便的假設。要想就物質建立一幅前後一致的力學圖景，就必須把一個分子的動能看成氣體溫度的量度。
這個理論不僅僅是想像力的娛樂。可以表明，氣體運動論不但與實驗相符，而且使我們對事實有了更深刻的理解。這可以用幾個例子來說明。
假定有一個容器，用一個能自由移動的活塞將它封住。容器中有一定量的氣體，保持溫度恆定。起初活塞靜止在某個位置，可以通過減重或加重而使之上升或下降。要把活塞下推，必須用力來抵抗氣體的內壓力。根據運動論，這種內壓力的機制是怎樣的呢？構成氣體的數目極大的粒子正在朝四面八方運動。它們撞擊容器壁和活塞，像擲到牆上的球一樣彈回來。大量粒子的這種持續撞擊反抗著向下作用於活塞和重物的重力，使活塞保持在一定高度。在一個方向上是恆定的重力，在另一個方向上則是分子的大量不規則碰撞。如果達成平衡，所有這些小的不規則的力對活塞的淨作用必須等於重力的作用。
假定把活塞推下去，把氣體壓縮到比如原來體積的1/2，而溫度保持不變，那麼根據運動論，我們可以預料發生什麼？撞擊力會比以前更有效或更無效嗎？現在粒子擠得更緊密了。雖然平均動能和以前一樣，但粒子與活塞的碰撞更頻繁了，因此總的力要更大。從運動論所呈現的這幅圖景中可以清楚地看出，要使活塞保持在這個更低的位置，需要更大的重量。這個簡單的實驗事實是眾所周知的，但其預測卻可以從物質的運動論中邏輯地推導出來。
再看另一個實驗。取兩個容器，裝有相同體積的不同氣體，比如氫與氮，兩者溫度相同。用同樣的活塞將兩個容器封住，活塞上放置的重量也相等，簡而言之，兩種氣體具有相同的體積、溫度和壓力。既然溫度相同，那麼根據運動論，粒子的平均動能也相等。既然壓力相同，那麼兩個活塞都受到同樣的總的力撞擊。平均而言，每一個粒子都攜有相同的能量，兩個容器有相同的體積。因此，雖然兩種氣體在化學上有所不同，但每個容器中的分子數必定相等。這個結果對於理解許多化學現象非常重要。它表明，在一定的溫度和壓力下，既定體積內的分子數並非某一種氣體所特有，而是所有氣體都有的。令人驚訝的是，運動論不僅預言存在著這樣一個普遍的數，而且還能幫助我們確定它。我們很快還會回到這一點。
無論在定性方面還是在定量方面，物質的運動論都能解釋由實驗確定的氣體定律。而且，雖然這個理論的最大成就在氣體領域，但並不限於氣體。
我們可以通過降低溫度而使氣體液化。物質溫度的降低意味著其粒子平均動能的減小。因此，液體粒子的平均動能顯然要小於相應氣體粒子的平均動能。
最早揭示液體粒子運動的是所謂的布朗運動。假如沒有物質的運動論，這個奇異的現象會始終保持神秘和無法理解。植物學家布朗（Brown）第一次觀察到它，直到80年後即20世紀初，它才得到解釋。只要有一架質量不太差的顯微鏡就可以觀察到布朗運動。
當時布朗正在研究某些植物的花粉顆粒，他說：
尺寸極大的花粉粒子或顆粒長0.004英寸至0.005英寸。
他又說：
我在考察浸在水中的這些粒子的形態時，發現其中許多粒子都明顯在運動……經過多次反覆觀察，我確信這些運動既非緣於液體的流動，亦非緣於液體的逐漸蒸發，而是屬於粒子本身。
布朗透過顯微鏡觀察到的是水中懸浮顆粒的持續擾動。他看到的景象真是讓人印象深刻！
這種現象是否與選擇某些特殊的植物有關呢？為了回答這個問題，布朗用多種不同植物重複做了這個實驗。他發現所有顆粒只要足夠小，懸浮在水中時都會顯示這樣的運動。此外他還發現，無論是有機物還是無機物，其微粒都會作同樣不規則的無休止的運動。他甚至把蛾子磨成粉末來做實驗，也觀察到同樣的現象。
如何解釋這種運動呢？它似乎與之前的所有經驗都矛盾。比如每隔30秒對一個懸浮粒子的位置作一次觀察，我們看到它所走的路徑很奇特。令人驚訝的是，這種運動似乎是永無休止的。將一個擺動的鐘擺放入水中，如果沒有外力推動，它很快就會靜止。存在著一種永不減弱的運動，這似乎與所有經驗相矛盾。物質的運動論出色地澄清了這個難題。
即使透過最強大的顯微鏡來觀察水，我們也看不到分子和物質運動論所描述的運動。可以斷定，假如把水看成粒子的聚集的理論是正確的，那麼這些粒子的尺寸必定超出了哪怕最好的顯微鏡的可見範圍。不過，我們還是信守這個理論，認為它描繪了一幅一致的實在圖景。透過顯微鏡看到的布朗粒子受到了更小的水粒子的撞擊。如果被撞的粒子足夠小，布朗運動就會發生。它之所以會發生，是因為來自各個方向的碰撞並不均勻，因其不規則性和偶然性而無法達到平衡。因此，觀察到的運動乃是觀察不到的運動的結果。大粒子的行為在某種意義上反映了分子的行為，可以說是把分子的行為放大到透過顯微鏡可見的程度。布朗粒子不規則和偶然的路徑反映了構成物質的較小粒子類似的不規則路徑。因此我們看到，對布朗運動進行定量研究可以使我們更深刻地理解物質的運動論。顯然，可見的布朗運動取決於不可見的碰撞分子的尺寸。如果碰撞分子沒有一定的能量，或者換句話說，沒有一定的質量和速度，就不會有布朗運動。因此，研究布朗運動可以確定分子的質量，這是不足為奇的。
通過理論與實驗方面的艱苦研究，運動論的定量特徵已經形成。源於布朗運動現象的線索是導向定量數據的諸多線索之一。從完全不同的線索出發，可以通過不同的方法得到同樣的數據。所有這些方法都支持同一種觀點，這個事實非常重要，因為它表明物質的運動論具有內在的一致性。
這裡只能提及由實驗和理論得出的許多定量結果中的一個。假定有1克最輕的元素氫，我們問：在這1克氫之中有多少粒子呢？這個問題的答案不僅適用於氫，而且也適用於所有其他氣體，因為我們已經知道，在何種條件下兩種氣體具有相同數目的粒子。
根據對懸浮粒子的布朗運動的某些測量結果，理論使我們能夠回答這個問題。答案是一個大得驚人的數：3後面跟23個數字。1克氫中的分子數是：
3.03×1023。
假定1克氫的各個分子的尺寸增大到可以用顯微鏡看到，比如說直徑變成5/1000英寸，亦即和布朗粒子的直徑一樣大。要想把它們緊密地包裝起來，我們需要一個邊長約為1/4英里的箱子！
拿1去除上面這個數，就可以計算出一個氫分子的質量。答案是一個小得出奇的數：
3.3×10-24克，
這個數代表一個氫分子的質量。
這個數在物理學上發揮著重要作用，布朗運動的實驗只不過是確定這個數的許多獨立實驗中的一個。
從物質的運動論及其所有重要成就中可以看出，那個一般的哲學綱領已經得以實現：對一切現象的解釋都可以歸結為物質粒子之間的相互作用。
總結：
在力學中，如果知道運動物體現在的狀況和作用於它的力，就可以預言它未來的路徑，揭示它的過去。例如，所有行星未來的路徑都是可以預見的，作用於行星的是只依賴於距離的牛頓萬有引力。經典力學的偉大成果暗示，力學觀可以一致地應用於物理學的所有分支，所有現象都可以用引力或斥力的作用來解釋，這些力只依賴於距離，並且作用於不變的粒子之間。
我們從物質的運動論中看到，這種產生於力學問題的觀點把熱現象也包含了進去，形成了一幅成功的物質結構圖景。