我的思想與觀念 · 第五部分 科學貢獻

理論物理學的原理[112] 各位先生： 首先要衷心感謝你們，這是像我這樣的人所能得到的最大恩惠。當選為科學院院士使我可以不必為職業生活而發愁操心，全身心地致力於科學研究。即使我的努力沒有換來你們所期望的成果，也請相信我的感激之情和勤勉努力。 接下來，請允許我談談我的研究領域，即理論物理學與實驗物理學的關係。最近，一位數學家朋友半開玩笑地對我說：「數學家能做許多事情，但肯定做不到你當時想讓他做的那些事情。」實驗物理學家求教於理論物理學家的時候，情況也往往如此。是什麼導致了這種獨特的適應性缺乏呢？ 理論家的方法是把一般假設或原理用作基礎，並從中推導出結論。於是，他的工作可以分成兩部分：首先他必須發現那些原理，然後由這些原理推導出結論。他在學校里已經得到了很好的知識和訓練，能夠順利完成第二項任務。因此，如果在某個領域或者對於一組相互聯繫的現象，他的第一個問題已經解決，那麼只要他足夠勤奮和聰明，就一定能夠成功。但上述第一項任務，即確立可以作為推導基礎的原理，卻與此完全不同。這裡並沒有什麼可以學習和系統運用的方法來達到目標。研究者必須從龐雜的經驗事實中覺察出一些可以精確表述的一般特徵，才能從自然中獲得那些一般原理。 一旦成功作出這種表述，便可得出一連串推論，它們往往會揭示出一些意想不到的關係，遠遠超出了這些原理所出自的事實領域。然而，只要作為推導基礎的原理尚未找到，個別經驗事實對於理論家來說就幾乎毫無用處。事實上，單靠一些從經驗中抽象出來的孤立的一般定律，他什麼也做不成。面對著經驗研究的個別結果，他將始終無能為力，直至找到那些能夠作為演繹推理基礎的原理。 關於低溫下的熱輻射和分子運動定律，目前理論的情況就是這樣。大約15年前，還沒有人會懷疑，只要把伽利略——牛頓力學應用於分子運動，並且根據麥克斯韋的電磁場理論，就可以正確地解釋物體的電學、光學和熱學性質。然而普朗克表明，要想建立同經驗一致的熱輻射定律，就必須使用一種計算方法，它與經典物理學的原理變得越來越不相容。為了使用這種計算方法，普朗克將所謂的量子假說引入了物理學，自那以後，該假說得到了完美地證實。他把這種量子假說應用於以足夠低的速度和足夠高的加速度運動著的足夠小的物體，從而推翻了經典物理學，因此在今天，伽利略和牛頓所提出的運動定律只能被視作極限定律。理論家們儘管已經付出了艱苦的努力，但迄今為止仍然未能用一些滿足普朗克的熱輻射定律或量子假說的原理來取代力學原理。雖然我們已經確定地表明，熱需要由分子運動來解釋，但必須承認，我們今天對於這種運動的基本定律的了解，就如同牛頓之前的天文學家對於行星運動的了解一樣粗淺。 我剛才提到的一組事實，還沒有什麼原理能對其做理論處理。但還可能有另外一種情況：由明確表述的原理推導出的結論，完全或幾乎完全超出了我們目前經驗所及的事實領域。在那種情況下，可能需要多年的經驗研究，才能查明這些理論原理是否符合實在。在相對論中就有這樣的情況。 對空間和時間這兩個基本概念的分析已經表明，由運動物體的光學所給出的真空中的光速不變原理絕不能迫使我們接受靜止的光以太理論。恰恰相反，有可能提出一種一般理論來解釋這樣一個事實：在地球上所做的實驗永遠也無法揭示地球的任何平移運動。這便會用到相對性原理：從原先的（合理的）坐標系過渡到相對於它做勻速平移運動的新坐標系時，自然定律並不改變形式。該理論已經得到了大量經驗驗證，也簡化了對一組已經有所關聯的事實的理論描述。 但另一方面，從理論觀點來看，該理論還不能完全令人滿意，因為方才表述的相對性原理偏愛勻速運動。如果說勻速運動在物理學上沒有絕對意義，那麼我們就要問，這種說法是否也應擴展到非勻速運動？事實表明，如果在這種擴展的意義上建立相對性原理，就可以對相對論做出明確的推廣。由此引出了一種包括動力學的廣義引力論。但我們暫時還缺乏必要的事實來檢驗引入這個假設的原理是否正當。 業已查明，歸納物理學會向演繹物理學提出問題，演繹物理學也會向歸納物理學提出問題，回答這些問題需要我們全力以赴。願我們團結起來，群策群力，不用多久就能取得重大突破！ [112]1914年在普魯士科學院的就職演說。愛因斯坦於1913年成為普魯士科學院院士，希特勒上台後，他便辭去了這一職位（參見本書《與普魯士科學院的通信》一文）。本文發表在《普魯士科學院學報》（Proceedings of the Prussian Academy of Sciences, 1914）。 研究的原則[113] 科學的聖殿是一座多層樓閣，住在裡面的人真是各種各樣，引導其進入的動機也各不相同。有些人喜歡科學是因為他們出眾的智力能夠帶來愉快的感受，科學是一項與之相稱的活動，可以帶來生動而強烈的體驗，並使其雄心壯志得到滿足。還有不少人僅僅出於功利目的而把智力成果供奉到這座聖殿里。倘若上帝的天使跑來把這兩類人都趕出聖殿，那裡就有被清空的可能，但仍有一些人會留在聖殿里，古人和今人都有。我們的普朗克就是其中之一，這正是我們愛戴他的原因。 我當然知道，方才在想像中會把許多卓越的人掃地出門，他們為建造這座科學聖殿做出了很大貢獻甚至是主要貢獻；在許多情況下，我們的天使也會難以定奪。但有一點我可以肯定，倘若聖殿里只有被驅逐的那兩類人，那麼這座聖殿就永遠不可能建成，正如只有蔓草就長不成森林。對於這些人來說，其實從事任何人類活動都行，他們最終成為工程師、官員、商人還是科學家，完全取決於外在環境。 現在我們再來看看那些受天使寵愛的人。他們大都有些特立獨行和不善交際，但除了這些共同特徵，他們彼此之間的相似之處卻不及被趕走的那群人。是什麼東西把他們引入了這座聖殿呢？回答這個問題並不容易，而且肯定不能一言以蔽之。首先，我同意叔本華所說，把人引向藝術和科學的最強烈的動機之一，是逃離日常生活中令人痛苦的粗俗和令人絕望的空虛，擺脫變化無常的欲望的束縛。與世無爭者渴望逃離個人生活，進入客觀現象和思想的世界。這種動機就如同城市裡的人不由自主地渴望逃離喧鬧擁擠的環境，躲進幽靜的高山，透過清澄純淨的空氣舉目遠眺，沉醉於似乎為永恆而造的寧靜景致。 不過，除了這種消極的動機，還有一種積極的動機。人們總想以某種適合自己的方式建立一幅簡化的、可理解的世界圖像，並試圖用這幅圖像來取代和克服經驗世界。這就是畫家、詩人、思辨哲學家和自然科學家以各自的方式去做的事情。每個人都把這幅圖像及其構造當作其感情生活的中心，在狹窄而混亂的個人經驗領域找到那份久違的平和與安定。 在所有這些可能的世界圖像中，理論物理學家的世界圖像占據著什麼位置呢？它要求以最大的嚴密性和精確性來描述各種關係，而這隻有用數學語言才能達到。為此，物理學家必須嚴格限制自己的主題：他必須滿足於描述我們經驗所能給出的最簡單的事件；企圖以理論物理學家所要求的那種精密性和邏輯性把一切更為複雜的事件重構出來，超出了人類理智的能力。要想得到高度的純粹性、清晰性和確定性，就要犧牲完備性。但如果畏縮而膽怯地把一切較為微妙複雜的東西都撇開不管，那麼徹底認識自然界的一小部分還有什麼吸引力呢？這種謙卑的努力成果配得上「世界圖像」這個高貴的名號嗎？ 我認為是配得上的，因為理論物理學的思想大廈所基於的一般定律聲稱對任何自然現象都有效。有了它們，就可以通過純粹的思想推導來描述包括生命過程在內的一切自然過程，也就是得出關於這些過程的理論，除非這種推導過程遠遠超出了人類的理智能力。因此，放棄物理世界圖像的完備性倒不是什麼原則性的問題。 因此，物理學家的最高使命是尋求那些最一般的基本定律，由它們推導出世界圖像。這些定律的發現並無邏輯途徑可循，只有通過建立在經驗同感基礎上的直覺才能得到這些定律。由於這種方法論上的不確定性，人們可能以為這樣就會有任意多個理論物理學體系具有同樣的合理性。從理論上講，這種看法無疑也是正確的。但物理學的發展已經表明，在任何時候，在所有可能設想的構造中，總有一個遠遠優於所有其他構造。凡是真正深入研究過這個問題的人都不會否認，其實，現象世界唯一決定了理論體系的是現象世界，儘管現象與理論原理之間並無邏輯橋樑。這就是萊布尼茨欣然說的「前定和諧」。物理學家們常常指責研究認識論的人對此不夠重視。在我看來，幾年前馬赫和普朗克之間的論戰，其根源就在這裡。 渴望看到這種前定和諧乃是無窮的耐心與毅力的源泉。我們看到，普朗克正是懷著這種渴望而致力於這門科學中最一般的問題，而不是讓自己分心於那些更能取悅人和更容易達到的目標。我的同事們常常把他的這種態度歸功於非凡的意志力和磨鍊，我認為這是完全錯誤的。促使人去從事這種工作的情感狀態類似於宗教信徒或談戀愛的人，他們每天的努力並非源於事先的意圖或計劃，而是源於一種直接的需求。 我們敬愛的普朗克就坐在這裡，內心在笑我像孩子一樣提著第歐根尼的燈籠鬧著玩。我們對他的愛戴無須做俗套乏味的說明。希望對科學的愛能繼續照亮他的道路，引領他去解決今天最重要的物理學問題。他本人提出了這個問題，並已朝著問題的解決推進了一大步。祝願他能把量子論同電動力學和力學成功地統一在一個邏輯一致的體系中。 [113]1918年在柏林物理學會所作的馬克斯·普朗克六十歲生日宴會上的講話，收錄於1934年《我的世界觀》。普朗克曾任柏林大學理論物理學教授多年，他對物理學所作的最傑出的貢獻是1900年提出的量子論，這為現代原子物理學的整個發展奠定了基礎。普朗克之後，愛因斯坦在這個新的領域做出先驅性的工作，特別是他的光量子或光子理論（1905年）以及比熱理論（1907年）。愛因斯坦比其他任何人更能覺察到，量子概念在物理學的各個分支都發揮著基礎性作用。 什麼是相對論？[114] 我很高興應你們的同事之邀，為《泰晤士報》寫點關於相對論的東西。在學者之間曾經活躍的交往令人惋惜地中斷之後，很高興藉此機會來表達我的喜悅和對英國天文學家和物理學家的感激之情。貴國著名科學家花費了大量時間和精力，科研機構也耗費了大量財力，以檢驗戰爭期間在你們敵國發表和完善的一種理論，這充分彰顯了貴國偉大而光榮的科學研究傳統。雖然太陽引力場對光線的影響是一個純粹客觀的研究主題，但我還是忍不住要以我個人的名義對英國同事們的工作表示感謝。正因為這項工作，我才得以在有生之年看到我的理論蘊含的最重要結論得到驗證。 我們可以把物理學理論分成不同種類。大多數理論是構造性的，它們試圖從相對簡單的形式體系出發，在此基礎上構造出更複雜現象的圖像。氣體運動論就試圖把機械的、熱的擴散過程還原為分子運動，即由分子運動假說構造出這些過程。當我們說理解了一組自然過程時，我們的意思永遠是，已經找到了一種構造性的理論來描述這些過程。 除了這一類重要的理論，還有第二類理論，我稱之為「原理性理論」。它們使用的是分析法，而非綜合法。構成其基礎和出發點的要素不是由假說構造出來的，而是在經驗中發現的自然過程的一般特徵。這些原理給出了自然過程或其理論描述所必須滿足的用數學表達的標準。熱力學就試圖運用分析法，從永恆運動不可能這一普遍的經驗事實出發，推導出各個事件必須滿足的必要條件。 構造性理論的優點在於完整性、適應性和清晰性，原理性理論的優點則在於邏輯的完美性和基礎的可靠性。 相對論屬於原理性理論。為了理解它的本質，首先要理解它所基於的原理。但在講這些之前，必須指出，相對論就像一座由狹義相對論和廣義相對論組成的雙層建築。作為廣義相對論之基礎的狹義相對論適用於除引力以外的一切物理現象，廣義相對論則給出了引力定律以及引力與其他自然力的關係。 當然，自古希臘時代起，人們就已經知道，要想描述一個物體的運動，需要有另一個物體作為前一物體運動的參照。車子的運動是參照地面來說的，行星的運動則是參照所有可見恆星來說的。在物理學中，諸事件在空間上參照的東西被稱為坐標系。例如，伽利略和牛頓的力學定律只有藉助於坐標系才能表述出來。 然而，要使力學定律有效，坐標系的運動狀態不能任意選取（它必須沒有轉動和加速）。力學中所容許的坐標系被稱為「慣性系」。按照力學，慣性系的運動狀態並非由自然界唯一決定。恰恰相反，以下定義是成立的：相對於慣性系做勻速直線運動的坐標系同樣是慣性系。所謂「狹義相對性原理」是指把這個定義推廣到包含一切自然事件。於是，凡是對坐標系C有效的普遍自然定律，對於相對C做勻速平移運動的坐標系C'也必定有效。 狹義相對論所基於的第二條原理是「真空中光速不變原理」。這條原理斷言，光在真空中總有一個確定的傳播速度，同觀測者或光源的運動狀態無關。物理學家對這條原理的信任源於麥克斯韋和洛倫茲的電動力學所取得的成功。 上述兩條原理都得到了經驗的強有力支持，但在邏輯上似乎並不相容。通過修改運動學，即（從物理學的觀點）與空間和時間有關的定律的學說，狹義相對論最終成功地使它們在邏輯上協調了起來。於是，除非相對於某個給定的坐標系，否則說兩個事件是同時的就沒有意義，測量工具的形狀和時鐘的快慢都必定依賴於它們相對於坐標系的運動狀態。 然而，包括伽利略和牛頓的運動定律在內的舊物理學並不符合新的相對論運動學。如果上述兩條原理真的適用，那麼自然定律就必須服從由相對論運動學得出的一般數學條件。物理學不得不適應這些條件。特別是，科學家們得到了一條關於高速運動質點的新運動定律，它在帶電粒子的情況下已經得到了美妙的證實。狹義相對論最重要的結論與物體系統的慣性質量有關，該結論是，系統的慣性必然依賴於它所含的能量。由此立即可以得出，慣性質量不過是潛在的能量罷了。質量守恆原理失去了它的獨立性，同能量守恆原理融合在一起。 狹義相對論不過是對麥克斯韋和洛倫茲電動力學的系統發展罷了，但又指向它自身之外。難道物理定律與坐標系的運動狀態無關僅限於坐標系彼此之間的勻速平移運動嗎？大自然與我們的坐標系及其運動狀態有什麼關係呢？如果為了描述自然界而必須使用一個由我們隨意引入的坐標系，那麼對這個坐標系運動狀態的選擇就不應受到任何限制。定律應與這種選擇完全無關（廣義相對性原理）。 人們早已知曉的一個經驗事實能使這條廣義相對性原理更容易建立起來，那就是：物體的重量和慣性受制於同一個常數（慣性質量與引力質量相等）。設想有一個坐標系相對於另一個牛頓意義上的慣性系做勻速轉動。根據牛頓的教導，相對於這個坐標系所顯示出來的離心力應被視為慣性的效應。但就像重力一樣，這些離心力與物體的質量成正比。在這種情況下，我們為什麼不能把這個坐標系看成靜止的，而把離心力看成引力呢？這種觀點似乎是顯而易見的，卻不為經典力學所容。 以上簡短的思考暗示，廣義相對論必須給出引力定律，而對這種想法的持續探索已經證明我們的希望是合理的。 不過，這條道路的困難程度超出了我們的預想，因為它要求放棄歐幾里得幾何學。也就是說，物體在空間中的排列所遵循的定律，並不完全符合歐幾里得幾何學為物體指定的空間定律。這就是我們所謂「空間彎曲」的意思。「直線」「平面」等基本概念也因此失去了在物理學中的精確含義。 在廣義相對論中，關於空間和時間的學說即運動學已不再與物理學的其餘部分無關。物體的幾何行為和時鐘的運轉都依賴於引力場，而引力場又是由物質產生的。 從原理上看，新的引力論與牛頓理論相去甚遠，但實際結果卻與牛頓理論的結果非常接近，以至於很難找到經驗判據來區分它們。迄今為止，我們找到的這種判據有： 1.行星橢圓軌道的繞日旋轉（在水星的例子中已經得到證實）。 2.引力場所引起的光線彎曲（已為英國人的日食照片所證實）。 3.從大質量的恆星發射到我們這裡的光，其譜線朝著光譜的紅端移動（尚未證實）。[115] 該理論的最吸引人之處在於邏輯的完備性。只要有一個它所推出的結論被證明是錯誤的，它就必須被放棄。不摧毀其整個結構而對它進行修改，似乎是不可能的。 然而，不要以為牛頓的偉大工作果真能被這種理論或任何其他理論所取代。作為整個近代自然哲學概念結構的基礎，他那些偉大而明晰的觀念將永葆其獨特意義。 [114]應《倫敦時報》（The London Times）之邀撰寫，發表於1919年11月28日。 [115]此判據後來已被證實。 幾何學與經驗[116] 數學之所以比其他一切科學享有特殊的聲譽，一個原因在於，它的命題是絕對確定和不容置疑的，而其他所有科學的命題在某種程度上都是有爭議的，而且總有被新發現的事實推翻的危險。不過，其他科學領域的研究者也沒有必要羨慕數學家，因為數學命題只涉及我們想像中的對象，而不涉及實在對象。如果已就基本命題（公理）以及由此推導出其他命題的方法達成一致，那麼得出一致的邏輯結論不足為奇。但數學之所以有這麼高聲譽，還因為數學賦予了精確自然科學以某種程度的確定性，如果沒有數學，這些科學是達不到這種確定性的。 這裡有一個謎激起了古往今來研究者的興趣。數學既然是人類思想的產物，而不依賴於經驗，它為何能夠如此成功地符合實在對象呢？那麼，是不是不要經驗只靠思想，人的理性就能徹底了解實際事物的性質呢？ 我認為，對這個問題的回答簡要說來就是：數學命題只要涉及實在，就不是確定的；只要是確定的，就不涉及實在。在我看來，只有通過數學中所謂的「公理學」傾向，這種事態才能完全清晰起來。公理學取得的進步在於把「邏輯的–形式的」東西同事實的或直觀的內容清楚地分離開來。根據公理學的說法，數學對象僅僅是「邏輯的–形式的」東西，而不涉及直觀的或與「邏輯的–形式的」東西有關的其他內容。 我們暫且從這個觀點來考察任何幾何學公理，比如：過空間中的兩點總有一條而且只有一條直線。如何在較早的意義和較為現代的意義上來解釋這條公理呢？ 較早的解釋：人人都知道什麼是直線，什麼是點。這種知識究竟來自人的心靈能力還是來自經驗，來自這兩者的共同作用還是來自其他來源，無須由數學家來決定，他把這個問題留給了哲學家去探討。上面那條公理以這種先於一切數學的知識為依據，它和其他一切公理一樣是自明的，也就是說，它所表達的是這種先驗知識的一部分。 較為現代的解釋：幾何學處理的對象由「直線」「點」等一些詞來稱呼。這些對象並不預設任何知識或直觀，而只以公理（比如上面那條公理）的有效性為前提，這些公理需要在缺乏一切直觀或經驗內容的純形式意義上來理解。這些公理是人類心靈的自由創造。其他一切幾何學命題都是這些（從唯名論意義上來理解的）公理的邏輯推論。公理定義了幾何學處理的對象。因此，石里克在他的一本認識論著作中非常恰當地將公理稱為「隱定義」。 現代公理學所倡導的這種公理觀清除了數學的一切外在要素，從而也驅散了以前籠罩著數學基礎的神秘疑雲。但這樣一種經過刪減的闡釋也清楚地表明，數學本身對於直觀想像的對象或實在對象不能作出任何斷言。在公理幾何學中，只能把「點」「直線」等詞理解成沒有內容的概念框架。至於是什麼東西賦予了它們內容，則與數學無關。 但另一方面，一般的數學尤其是幾何學之所以產生，肯定是為了了解實際物體的行為。「幾何學」一詞的原義「土地測量」已經證明了這一點，因為土地測量涉及某些自然物（即土地的部分、量線、量杆等）彼此之間排列的可能性。僅有公理幾何學的概念體系顯然無法對這種實際對象（我們將稱之為「准剛體」）的行為作出任何斷言。為了能夠作出這種斷言，幾何學必須把實際的可經驗對象與公理幾何學空的概念框架協調起來，從而去掉其純邏輯–形式特徵。為了做到這一點，我們只需加上這樣一個命題：剛體之間可能的排列關係就像三維歐幾里得幾何學中的形體一樣。這樣一來，歐幾里得幾何學的命題就包含了關於准剛體行為的斷言。 這樣補充的幾何學顯然是一門自然科學，我們甚至可以把它看成最古老的物理學分支。它的斷言實質上基於經驗歸納，而不僅僅基於邏輯推理。我們把這樣補充的幾何學稱為「實用幾何學」，並把它同「純公理幾何學」區分開來。宇宙的實用幾何學究竟是不是歐幾里得幾何學，這個問題有著明確的意義，其答案只能由經驗來提供。如果採用光沿直線傳播這條經驗定律，即光在實用幾何學的意義上沿直線傳播，那麼物理學中的一切長度測量都屬於這種意義上的實用幾何學，測地學和天文學中的長度測量也是如此。 這種對幾何學的看法對我有特殊的意義，因為沒有它我就提不出相對論。也就是說沒有它，以下考慮就不可能：在一個相對於慣性系轉動的參照系中，由於洛倫茲收縮，剛體的排列定律不再符合歐幾里得幾何學的規則；於是，如果承認非慣性系也有同等地位，就必須放棄歐幾里得幾何學。如果沒有上述解釋，就一定不會採取通往廣義協變方程的決定性步驟。如果拒絕承認歐幾里得公理幾何學的形體與實際的准剛體之間的關係，我們就很容易得出敏銳而深刻的思想家彭加勒所主張的觀點：歐幾里得幾何學以其簡單性勝過了所有其他可以設想的公理幾何學。現在，由於僅憑公理幾何學並不能對可經驗的實在做出斷言，而只有結合物理定律才能做到這一點，因此無論實在的本性如何，保留歐幾里得幾何學應當是可能的，而且也是合理的。因為一旦理論與經驗之間出現矛盾，我們寧可改變物理定律，也不願改變歐幾里得的公理幾何學。事實上，如果拒絕承認準剛體與幾何學之間的關係，我們就難免會約定，應把歐幾里得幾何學當作最簡單的幾何學予以保留。 彭加勒等研究者為何拒不承認準剛體與幾何形體之間如此明顯的等價性呢？那是因為經過進一步考察可以發現，自然之中的實際固體並不是剛性的，因為它們的幾何行為（即它們相對排列的各種可能性）依賴於溫度、外力，等等。於是，幾何學與物理實在之間原初的直接關係似乎遭到了破壞，我們不得不傾向於以下更一般的觀點，這也是彭加勒觀點的典型特徵：幾何學（G）並不斷言實際物體的行為，只有幾何學加上全部物理定律（P）才能做到這一點。如果用符號來表示，我們可以說：只有（G）+（P）才能得到實驗驗證。於是，（G）可以任意選取，（P）的某些部分也可以任意選取，所有這些定律都是約定。為了避免矛盾，需要注意的是如何選取（P）的其餘部分，使得（G）與全部（P）合起來能夠符合經驗。根據這種理解，公理幾何學和已經約定的那部分自然定律在認識論上似乎是等價的。 我認為，從永恆的觀點來看，彭加勒是正確的。量杆的觀念以及在相對論中與之協調的時鐘的觀念在現實世界中是找不到與之完全對應的東西的。同樣明顯的是，在物理學的概念大廈中，固體和時鐘並非不可還原的要素，而是有著複合的結構，它們在理論物理學中不能扮演任何獨立角色。但我相信，在現階段的理論物理學中，這些概念仍要作為獨立概念來使用，因為我們還不夠了解原子結構的理論原理，使我們能從理論上由基本概念構造出固體和時鐘。 此外，有人反駁說，自然之中沒有真正的剛體，因此所講的剛體性質並不適用於物理實在。初看起來，這種反駁似乎很深刻，但其實不然。因為我們不難精確地確定測量物體的物理狀態，使之相對於其他測量物體的行為清晰到足以用它來代替「剛」體。關於剛體的陳述正是相對於這種測量物體而言的。 整個實用幾何學都基於一條為經驗所能及的原理，我們現在就來回想一下。假設在一個準剛體上標出兩個記號，並把這樣一對記號稱為一個截段。我們設想有兩個准剛體，在每一個上面都標出一個截段。如果一個截段的兩個記號能與另一個截段的兩個記號永遠重合，那麼就說這兩個截段「彼此相等」。我們現在假定： 如果兩個截段在某時某地相等，那麼不論在何時何地都永遠相等。 不僅歐幾里得的實用幾何學，而且它最近的推廣即黎曼的實用幾何學以及廣義相對論，也都以這一假定為基礎。我只講一個實驗根據來證明這一假定是正確的。光在真空中的傳播為每一段局域時間都指定了一個截段，即相應的光程，反之亦然。因此，上述關於截段的假定在相對論中也必定適用於時鐘的時間間隔。因此可以作如下表述：如果兩個理想時鐘在某時某地走得同樣快慢（那時它們相互緊靠），那麼無論何時何地，當它們再在同一地點進行比較時，它們都將走得同樣快慢。如果這條定律對於自然時鐘無效，那麼同一種化學元素的各個原子的本徵頻率就不會像經驗顯示的那樣完全一致。銳譜線的存在是對上述實用幾何學原理的令人信服的實驗證明。歸根結底，這個理由使我們能夠有意義地談論四維空–時連續體的黎曼度規。 根據這裡主張的觀點，這個連續體的結構究竟是歐幾里得的、黎曼的還是其他的，是一個必須由經驗來回答的物理學問題，而不是一個為求方便而進行選擇的約定問題。如果所考察的空–時區域越小，准剛體的排列定律就越接近於歐幾里得幾何形體的定律，那麼黎曼幾何學就是適用的。 這裡提出的對幾何學的物理解釋雖然在直接應用於亞分子量級的空間時失敗了，但即使在那些關於基本粒子構成的問題中，它也仍然有部分意義。因為即使是對構成物質的帶電基本粒子進行描述，也仍然可以嘗試把物理意義賦予那些原本為了描述比分子大的物體的幾何行為而進行物理定義的場的概念。要求黎曼幾何的基本概念在其物理定義的範圍之外仍然有物理實在性，這種嘗試是否正當，只有靠成功與否來判斷。也許結果會表明，這種外推並不比把溫度概念外推到分子量級的物體部分上去更恰當。 把實用幾何學的概念擴展到宇宙量級的空間上去似乎不太成問題。也許有人會反駁說，由固體杆組成的結構的空間範圍越大，它距離剛性理想就越遠。但這種反駁大概很難有什麼根本意義。在我看來，宇宙在空間上是否有限，是完全有意義的實用幾何學問題。我甚至認為，天文學可能不用多久就能回答這個問題。讓我們回憶一下廣義相對論在這方面的教導。它提供了兩種可能性： 1.宇宙在空間上是無限的。這隻有當宇宙中集中在星體裡的物質的平均空間密度等於零時才有可能，也就是說，只有讓所考察的空間變得越來越大，使得星體的總質量與散布著星體的空間體積之比無限地趨近於零時，才有可能。 2.宇宙在空間上是有限的。如果宇宙空間中有重物質的平均密度不等於零，則這種可能性必然成立。平均密度越小，宇宙的體積就越大。 必須指出，支持有限宇宙假說有一個理論根據。廣義相對論告訴我們，物體近旁的有重物質越多，它的慣性就越大。因此，將一個物體總的慣性歸結為它與宇宙中其他物體的相互作用似乎是很自然的，事實上，自牛頓以來，重力已被完全歸結為物體之間的相互作用。由廣義相對論的方程可以推出，只有當宇宙在空間上有限時，才能把慣性完全歸結為質量之間的相互作用（如馬赫所要求的）。 許多物理學家和天文學家並不看好這種論證。歸根結底，只有經驗才能決定這兩種可能性中哪一種在自然界中得到了實現。經驗如何能夠提供答案呢？初看起來，似乎可以通過可觀察的那部分宇宙來測定物質的平均密度。這種希望是不現實的。可見星體的分布是極不均勻的，沒有理由認為，宇宙中星體物質的平均密度等於比如說銀河系中的平均密度。無論如何，不論所考察的空間有多大，都不能確定在這個空間之外沒有更多的星體。因此，估算平均密度似乎是不可能的。 但還有一條道路在我看來是更加可行的，儘管它也存在著很大困難。如果研究廣義相對論的可由經驗驗證的推論與牛頓理論的推論之間的偏差，那麼我們首先會在引力物質附近發現偏差，這已在水星的例子中得到了確證。但如果宇宙在空間上是有限的，那麼就會與牛頓理論有第二個偏差，用牛頓理論的語言可以這樣表述：引力場似乎不僅由有重物質產生，還由均勻分布於空間中的帶負號的質量密度產生。由於這個虛設的質量密度必定極小，只有在非常巨大的引力系統中才覺察得到。 假定已知星體在銀河系中的統計分布和質量，然後根據牛頓定律，就可以計算出引力場，以及為使銀河系在其各個星體的相互吸引下不會坍塌而是保持其實際大小，這些星體所必須具有的平均速度。如果星體實際的平均速度——它們能被測量出來——小於計算出來的速度，我們就能證明，在遠距離處的實際吸引力小於根據牛頓定律計算出來的結果。由這樣一個偏差就可以間接證明宇宙是有限的，甚至可以估計它的空間大小。 我們能否想像一個有限但無界的三維宇宙呢？ 對於這個問題，通常的回答是「不能」，但這是錯誤的。接下來我要向大家說明，回答應該是「能」。我們不難用一種心靈圖像來說明有限宇宙的理論，經過一些練習，我們很快就能習慣。 首先要考察一下認識論的性質。幾何–物理理論本身是無法直接描繪的，它僅僅是一組概念。但這些概念能將心靈中各種實際的或想像的感覺經驗聯繫起來。因此，「想像」一種理論，就意味著想起理論為之提供示意排列的大量感覺經驗。就目前的例子而言，我們必須問，如何描述固體相互排列（接觸）的行為，才能符合有限宇宙的理論。對此我要說的其實並沒有什麼新東西，但向我提出的無數問題都表明，對這些事情有興趣的人的好奇心尚未完全得到滿足。因此，對於我所要講的眾所周知的內容，還望內行諒解。 當我們說空間是無限的時候，我們是想表達什麼呢？這僅僅是說，我們可以一個挨一個地擺放任意數量的同樣大小的物體，而永遠填不滿空間。假定我們有許許多多同樣大小的方盒。按照歐幾里得幾何學，我們可以把它們上下、左右、前後地堆放起來，以填滿空間的任意大小的部分。但這樣的構造永遠不會結束。無論我們添加多少個方盒，都有地方再放。這就是我們說空間是無限的意思。更好的說法是，假定這些物體的排列定律是由歐幾里得幾何學所規定的，那麼空間對於准剛體就是無限的。 平面是無限連續體的另一個例子。我們可以在一個平面上擺放許多方卡片，使任一張卡片的每一邊都是另一張與之相鄰的卡片的邊。這種構造永無止境。我們可以一直擺放卡片，只要其排列定律符合歐幾里得幾何學的平面圖形的排列定律。因此，對於這些方卡片來說，平面是無限的。相應地可以說，平面是二維的無限連續體，空間是三維的無限連續體。至於這裡所說的維數是什麼意思，我想大家都是知道的。 現在我們舉一個有限但無邊界的二維連續體的例子。我們設想有一個大球的表面和一些大小相同的小圓紙片。將一張紙片放在球面上的任何地方。如果在球面上隨意移動紙片，那麼在此過程中是碰不到邊界的，因此我們說，球面是一個無界的連續體。同時，球面又是一個有限的連續體，因為如果將紙片貼在球上，使各個紙片不互相重疊，則球面最後會被貼滿，無法再多貼一張紙片。這正意味著球面對於紙片來說是有限的。此外，球面還是一個二維的非歐幾里得連續體，也就是說，球面上的剛性圖形所依據的排列定律並不符合歐幾里得平面的那些定律。這可以用以下方式來說明。用六張紙片圍住一張紙片，其中每一張再用六張紙片圍住，這樣繼續下去。如果在平面上進行這種構造，則這個過程沒有盡頭，除了最外圈，每一張紙片都與六張紙片相接觸。而在球面上，這種構造起初似乎也有成功的希望，紙片半徑相對於球的半徑越小，這種希望似乎就越大。但隨著構造的進行，情況變得越來越明顯，不可能沒有間斷地按照上述方式將紙片排列下去。然而按照歐幾里得的平面幾何學，這種構造應當是可能的。這樣一來，那些無法離開球面、甚至也無法從球面窺入三維空間的生物，只要用紙片來做實驗，就能發現自己的二維「空間」不是歐幾里得空間，而是球面空間。 根據相對論的最新研究成果，我們的三維空間或許也近似於球面空間。也就是說在這個空間裡，剛體的排列定律不是由歐幾里得幾何學規定的，而是近似地由球面幾何規定，只要我們考察的那部分空間足夠大。到了這裡，讀者可能會難以接受。「沒有人能想像這種東西，」他會憤怒地喊道，「它可以這樣說，但不能這樣想。我完全可以想像一個球面，但想不出三維的與球面類似的東西。」 圖1 我們必須嘗試克服這種心理障礙。耐心的讀者會發現，做到這一點並非特別困難。為此，我們再來看看二維球面的幾何學。在附圖中，設K是球面，它在S處與平面E相接觸。為方便起見，這裡把平面E畫成一個有邊界的表面。設L是球面上的一個圓紙片，想像球面上與S徑向相對的點N有一個發光點，它在平面E上投下紙片L的影子L'。球上每一點在平面上都有影子。球K上的紙片如果移動，則平面E上的影子L'也會移動。當紙片L移動到S時，它幾乎與影子完全重合。如果紙片L在球面上從S向外移動，則平面上紙片的影子L'也會從S向外移動，並且變得越來越大。隨著紙片L接近發光點N，影子將移向無窮遠的地方，變得無限大。 圖2 現在我們提出這樣一個問題：紙片在平面E上的影子L'的排列定律是怎樣的呢？顯然，它們與紙片L在球面上的排列定律是完全一樣的。因為對於K的每一個圖形，E上都有一個對應的影子圖形。如果K上的兩張紙片彼此接觸，則它們在E上的影子也彼此接觸。平面上的影子幾何學與球面上的紙片幾何學完全一致。如果把紙片影子稱為剛性圖形，那麼對於這些剛性圖形，球面幾何同樣適用於平面E。特別是，平面對於紙片影子是有限的，因為只有有限個數的紙片影子可以在平面上占到位置。 這裡，有人會說：「那是胡說。紙片影子不是剛性圖形。只要拿一根尺子在平面E上移動，就能使我們確信，當影子在平面上從S移向無窮遠時，影子的大小一直在增長。」但如果這根尺子也和紙片影子L'一樣可以在平面上伸縮，那又將怎樣呢？那樣一來，就不可能表明影子離開S時大小會增長，這種斷言將不再有任何意義。事實上，關於紙片影子只能作這樣一個客觀斷言：紙片影子的相互關係與歐幾里得幾何學意義上的球面上的剛性紙片完全相同。 我們必須謹記，只要無法把紙片影子與那些能在平面E上運動的歐幾里得剛體做比較，關於紙片影子增長（隨著它們從S移向無窮遠處）的陳述本身就沒有客觀意義。無論認為S點在平面上還是在球面上，都不會影響影子L'的排列定律。 將球面幾何在平面上表示，對我們來說很重要，因為很容易把它轉換到三維的情況。 想像空間中有一個點和很多小球L'，所有這些小球都能彼此重合。但這些球並不是歐幾里得幾何學意義上的剛性球，當它們從S移向無窮遠處時，其半徑會增長（在歐幾里得幾何學的意義上），這種增長所遵循的定律與平面上紙片影子L'的半徑增長定律完全一樣。 在對我們這些L'球的幾何行為獲得一幅生動的心理圖像之後，讓我們假定這個空間裡根本不存在歐幾里得幾何學意義上的剛體，而只存在具有這種L'球的行為的形體。於是，我們將得到一幅關於三維球面空間的清晰圖像，或者說關於三維球面幾何的清晰圖像。這裡必須把我們這些球稱為「剛性」球。當它們離開S時，其大小的增長無法用量杆量度出來，就像平面E上紙片影子的情況一樣，因為量度標準的行為與這些球是相同的。空間是均勻的，也就是說，每一點的附近可以有同樣的球的排列。[117]我們的空間是有限的，因為由於球的「增長」，只有有限個球能在空間中占到位置。 於是，藉助於歐幾里得幾何學所賦予的思考和想像，我們獲得了一幅關於球面幾何的心理圖像。通過特殊的想像構造，不難使這些觀念更富深度和活力。同樣，也不難描述所謂橢圓幾何的情形。我今天唯一的目的就是表明，人的想像能力對於非歐幾里得幾何學絕非無能為力。 [116]1921年1月27日在普魯士科學院的演講。 [117]如果再次回到球面上圓紙片的情況，那麼這一點無須計算就能理解——不過只限於二維情形。——作者注 關於相對論[118] 有幸在貴國首都發表演講，我感到特別高興。貴國是理論物理學許多最重要基本概念的發源地，比如牛頓關於物體運動和引力的理論，還有法拉第和麥克斯韋的電磁場概念，都把物理學置於新的基礎之上。事實上，可以說相對論為麥克斯韋和洛倫茲宏偉的思想大廈畫上了最後一筆，因為它試圖把場物理學擴展到包括引力在內的一切現象。 回到相對論本身，我想請大家注意，這個理論並非起源於思辨，發明它完全是為了讓物理學理論儘可能地符合觀察到的事實。相對論並無革命之舉，而只是自然地延續了一條可以往前追溯幾個世紀的線索。放棄與空間、時間和運動有關的某些既定的基本概念絕非武斷隨意，而是由觀察事實決定的。 電動力學和光學的發展確證了真空中的光速不變定律，邁克爾孫的著名實驗則以特別精確的方式證明，所有慣性系都有平等的合理性（狹義相對性原理）。這兩者使時間概念必須成為相對的，每一個慣性系都要有自己的特殊時間。隨著這一觀念的發展，我們已經看得很清楚，直接經驗與坐標和時間之間的關聯此前從未得到足夠精確的思考。 總體而言，相對論的本質特點之一在於更清楚地揭示一般概念與經驗事實之間的關係。這裡的基本原則是，一個物理概念是否正當，完全取決於它與所經驗的事實之間是否有清晰明確的關係。根據狹義相對論，空間坐標和時間仍然有一種絕對性，因為它們都可以用靜止的時鐘和物體來直接測量，但就其依賴於所選擇慣性系的運動狀態而言，則是相對的。根據狹義相對論，由空間和時間結合而成的四維連續體（閔可夫斯基）仍然保持著絕對性，而根據之前的理論，這種絕對性分別屬於空間和時間。（相對於坐標系的）運動對物體形狀和時鐘運轉的影響，以及能量與慣性質量的等價性，都源於把坐標和時間解釋成測量的產物。 廣義相對論之所以產生，首先是因為物體的慣性質量與引力質量在數值上相等，而這個經驗事實是經典力學所無法解釋的。把相對性原理擴展到彼此相對加速的坐標系，就可以得到這樣的解釋。引入相對於慣性系加速的坐標系，就會出現相對於慣性系的引力場。其結果是，以慣性與重量相等為基礎的廣義相對論提供了一種引力場理論。 正如慣性與重量相等所決定的那樣，將彼此相對加速的坐標系作為同樣合法的坐標系引入進來，並與狹義相對論的結論相結合，便可得到以下結論：有引力場存在時，支配固體在空間中排列的定律並不符合歐幾里得幾何學的定律。對於時鐘的運轉也可得到類似的結果。於是，我們不得不對空間和時間理論做另一種推廣，因為通過用量杆和時鐘而獲得的測量結果來直接解釋空間和時間坐標現在站不住腳了。對度規的這種推廣——高斯和黎曼的研究已經在純粹數學領域實現了這一點——本質上基於以下事實：在一般情況下仍然可以聲稱，狹義相對論的度規對於小區域是有效的。 這裡概述的發展過程剝奪了空間–時間坐標的一切獨立實在性。現在，只有把空間–時間坐標與描述引力場的數學量相結合，才能給出實際度規。 廣義相對論的演進背後還有另一個因素。正如恩斯特·馬赫所強調的，牛頓理論在以下方面不能讓人滿意：如果從純粹描述的觀點而不是從因果的觀點來考察運動，那麼就只存在物體彼此之間的相對運動。但如果從相對運動的概念出發，那麼出現在牛頓運動方程中的加速度就無法理解了。它迫使牛頓構想出一種物理空間，據說加速度是相對於它而存在的。這種對絕對空間概念的特設性引入雖然在邏輯上無可指摘，但似乎無法令人滿意。於是，馬赫曾試圖修改力學方程，使得物體的慣性不是追溯到這些物體相對於絕對空間的運動，而是追溯到它們相對於所有其他有重物體的運動。在當時的認識情況下，馬赫的努力必定會失敗。 但提出這個問題似乎是完全合理的。這條論證線索因廣義相對論而大大增強了自己的力量，因為根據廣義相對論，空間的物理性質會受到有重物質的影響。在我看來，只有認為宇宙在空間上是封閉的，廣義相對論才能令人滿意地解決這個問題。如果相信宇宙中有重物質的平均密度有一個有限的值，那麼無論這個值有多小，廣義相對論的數學結果也會迫使我們接受這種觀點。 [118]1921年在倫敦國王學院的演講，收錄於1934年《我的世界觀》。 河道蜿蜒的成因和所謂拜爾定律[119] 眾所周知，水流往往會彎彎曲曲地前進，而不是沿著坡度最大的線下降。地理學家也都知道，北半球的河道右側往往侵蝕得比較厲害，而南半球的河道則相反，這就是所謂的拜爾定律。許多人都曾嘗試解釋這種現象，我不知道我接下來要講的東西對於專家來說是否新鮮。其中一些思考前人肯定已經知道，但大家可能還不太清楚這其中涉及的因果關係，所以在此給出一個簡短的定性解釋。 首先，水流在觸碰河堤的地方速度越大，或者說在河堤的某個位置更陡峭地趨近於零，侵蝕顯然就越強。無論這種侵蝕依賴於力學因素還是物理–化學因素（地表的溶解），情況都是如此。因此，我們必須專注於影響河堤處流速梯度的因素。 在這兩種情況下，相關速度下降的不對稱性間接緣於形成了一種圓周運動，我們接下來就來討論這種圓周運動。 我先談一個很容易重複的小實驗。想像一個裝滿茶水的平底杯。杯底有茶葉沉澱，因為它們比被其擠走的液體更重。如果用勺子攪拌茶水，則茶葉很快會聚集在杯底中心。這種現象的原因如下：液體的旋轉會造成一個離心力作用於它。如果液體像固體一樣旋轉，則離心力不會對液體的流動產生任何影響。但液體在杯壁附近受到摩擦的阻礙，因此它的旋轉角速度會比中心附近更小。特別是，底部附近的旋轉角速度和離心力會比高處更小。結果，液體會做圖1所示的那種圓周運動。它會繼續增加，直到在杯壁摩擦的影響下趨於停止。茶葉會被圓周運動掃到杯子中心，可以證明這種圓周運動的存在。 圖1 彎曲的水流也會發生類似的事情（圖2）。在彎曲河道的任一橫截面處，都有一個離心力朝著曲線外側的方向（從A到B）起作用。這個力在底部附近要小於高處，因為底部附近的水流速度因摩擦而減小。這便產生了圖2所示的那種圓周運動。但由於地球的旋轉，即使河道沒有彎曲，圖2所示的那種圓周運動也仍然會發生，只不過是小規模的。地球的旋轉會產生一個與水流方向垂直的科里奧利力，其向右的水平分量是每單位流體質量2vΩsin，其中v是水流的速度，Ω是地球旋轉的速度，是地理緯度。由於河底摩擦導致這個力朝底部減小，所以這個力也產生了圖2所示的那種圓周運動。 圖2 經過以上初步討論，我們又回到了水流橫截面的速度分布問題，它對於侵蝕起著決定性的作用。為此，我們必須先知道河流中的（湍流）速度分布是如何產生和得到維持的。如果河道中此前靜止的水突然被一個均勻分布的加速力所發動，那麼橫截面上的速度分布起初將是均勻的。在河堤摩擦的影響下，將會逐漸形成一個從河堤朝著橫截面中心逐漸增加的速度分布。橫截面上（大體上）定態的速度分布只會在河流摩擦的影響下逐漸重新攪亂。 流體動力學以如下方式描述了這個靜態速度分布的建立過程：在平面流（勢流）的情況下，所有渦線都集中在河堤上。它們分離開來，朝著水流的橫截面中心慢慢移動，分布於一個厚度不斷增加的層上。河堤處的速度梯度因而逐漸減小。在液體內摩擦的作用下，水流橫截面內部的渦絲被逐漸消耗，並且被河堤處形成的新的渦絲所取代，這樣便產生了一種准靜態的速度分布。對我們來說重要的是，獲得靜態速度分布是一個緩慢的過程。這就是為什麼不太明顯的、一直在起作用的因素能對橫截面上的速度分布產生很大影響。現在我們考慮一下，圖2所示的因河道彎曲或科里奧利力所引起的圓周運動會對河流橫截面上的速度分布產生什麼樣的影響。運動最快的液體微粒距離河堤將會最遠，也就是說在底部中心的上方。圓周運動將會驅策著河水速度最快的部分朝右堤移動，而左堤則會接收來自底部附近的速度特別低的水。因此在圖2所示的情況下，對右側的侵蝕必然比對左側更強。應當注意，這種解釋本質上基於這樣一個事實，即河水緩慢的圓周運動會對速度分布產生相當大的影響，因為通過內摩擦（抵消了這種圓周運動的後果）所做的速度調整也是一個緩慢的過程。 我們現在已經揭示了河道蜿蜒的成因。由這些事實不難推出一些細節。侵蝕不僅在右堤較強，而且在底部右半邊也比較強，因此往往會形成圖3所示的輪廓。 圖3 此外，由於表面的河水將來自左堤，因此尤其在左側，河水移動得不會像更深的河水那樣快。事實上，這個現象已經被觀察到了。還應注意，圓周運動具有慣性。因此，它只有在彎曲最大的地方以外才能達到最大，當然，這也適用於侵蝕的不對稱。因此在侵蝕過程中，河道彎曲形成的波浪線必定沿著水流的方向前進。最後，河流的橫截面越大，圓周運動被摩擦消耗得就越慢，因此，河道彎曲形成的波浪線會隨著河流橫截面的增加而增加。 [119]1926年1月7日在普魯士科學院宣讀，發表於德文期刊《自然科學》（Die Naturwissenschaften, Vol. 14, 1926）。 牛頓力學及其對理論物理學發展的影響[120] 二百年前的今天，牛頓與世長辭。此時此刻，我們緬懷這位卓越的天才，他空前絕後地決定著西方思想、研究和實踐的走向。他不僅天才地發明了一些關鍵的方法，而且善於掌握當時已知的經驗材料，在發明詳細的數學物理證明方法上更是極富創造性。因此，他理應得到我們最高的尊敬。然而，牛頓的重要性不僅在於他的天才，更在於命運把他置於人類思想發展史的一個轉折點上。為了看清楚這一點，我們需要意識到，在牛頓以前並沒有一個完備的物理因果性系統，能夠描述經驗世界更深的特徵。 雖然古希臘那些偉大的唯物論者主張，一切物質事件都應歸因於有嚴格規律的原子運動過程，而不允許將任何生物的意志當作獨立的原因。笛卡爾也曾以自己的方式重新研究過這個問題，但它始終只是一種大膽的願望、一派哲學家的可疑理想。在牛頓以前，支持人們相信存在著完整的物理因果鏈條的實際成果還幾乎不存在。 牛頓旨在回答這樣一個問題：是否存在著一條簡單的規則，當所有天體在某一時刻的運動狀態皆為已知時，能用這條規則完全計算出我們行星體系中天體的運動？擺在他面前的是由克卜勒、第谷·布拉赫的觀測結果推導出來的關於行星運動的經驗定律，而這是需要解釋的。[121]雖然這些定律已經完整地回答了行星如何繞太陽運轉：軌道的橢圓形，半徑在相等時間掃過相等的面積，半長軸與旋轉周期之間的關係，但這些規則並不滿足因果解釋的要求。這三條規則在邏輯上彼此獨立，沒有顯示出內在關聯。如果中心星體不是太陽，第三定律就不再定量地適用。（例如，行星圍繞太陽運轉的周期與衛星圍繞行星運轉的周期之間就毫無關係。）但最重要的是，這些定律關心的是整體的運動，而不是一個系統在這一時刻的運動狀態如何產生下一時刻的運動狀態。用現在的話來說，它們是積分定律而不是微分定律。 只有微分形式的定律才能完全滿足現代物理學家對因果性的要求。牛頓最偉大的思想成就之一就在於清晰地構想了微分定律。所需要的不僅是這種觀念，還有一種數學的形式體系，它當時還很初步，但需要獲得一種系統形式。牛頓在微積分中也找到了這種形式體系。這裡我們不必考察萊布尼茨是否獨立於牛頓發現了這種數學方法。無論如何，對牛頓來說，發展出這種方法是絕對必要的，因為只有藉助於這種方法才能表達他的思想。 伽利略已經朝著認識運動定律邁出了重要一步。他發現了慣性定律以及地球引力場中的自由落體定律：一個質量（或者更精確地說是一個質點）在不受其他質量影響時做勻速直線運動。自由落體在引力場中的豎直速度隨時間而均勻增加。今天我們也許會以為，從伽利略的認識到牛頓的運動定律只有一步之遙。但要注意，上面這兩則陳述都只與整個運動有關，而牛頓的運動定律則回答了這樣一個問題：在外力的影響下，一個質點的運動狀態在無限短的時間內是如何變化的？只有考慮了無限短的時間內發生了什麼（微分定律），牛頓才能得到一個適用於任何運動的公式。他從當時已經相當成熟的靜力學中借用了力的概念。只有引入新的質量概念，他才能把力與加速度聯繫起來。說來也奇怪，支撐這個新概念的竟然是一個虛構的定義。今天我們已經非常習慣於形成那些對應於微商的概念，以至於我們已經很難理解，通過二次極限過程得到普遍的微分定律需要怎樣非凡的抽象能力了，而且在這個過程中，還必須發明出質量概念。 然而，對於運動的因果理解還遠未達成。因為只有當力已經給定時，才能由運動方程確定運動。大概是受到了行星運動定律的啟發，牛頓設想，作用於一個質量上的力，由與該質量距離足夠近的所有質量的位置來決定。只有知道了這種關聯，才能完全從因果上理解運動。大家都知道，牛頓從克卜勒的行星運動定律出發解決了引力問題，從而發現作用於星體的推動力和引力本質上是相同的。正是「運動定律與引力定律的結合」才形成了一個美妙的思想結構，它使我們可以根據系統在某一時刻的狀態計算出它在過去和未來的狀態，只要一切事件只在引力的作用下發生。牛頓概念體系的邏輯完備性就在於，一個系統中各個質量的加速度僅僅由這些質量本身所引起。 根據這裡概述的基礎，牛頓成功地解釋了行星、衛星和彗星的運動，直至最小的細節，還有潮汐和地球的進動——這是無比輝煌的演繹成就。認識到天體運動的原因就是我們日常經驗中非常熟悉的重力，這一發現必然令人驚嘆不已。 但牛頓成就的重要性並不只是為實際的力學創造出一種邏輯上令人滿意的切實可行的基礎。在19世紀末以前，它一直是所有理論物理學家的綱領。所有物理事件都應追溯到那些服從牛頓運動定律的物體。只需擴展力的定律，使之適用於所考察的那類事件就可以了。牛頓本人曾試圖把這一綱領用於光學，他預先假定光由慣性微粒所組成。當牛頓運動定律被用於連續分布的質量之後，光的波動說也利用了牛頓運動定律。牛頓的運動方程也是熱的運動論的唯一基礎，這種理論不僅為發現能量守恆定律做了思想上的準備，還給出了一種直至最終細節都能得到確證的氣體理論，以及關於熱力學第二定律本質的一種更深刻的看法。電學和磁學也一直沿著牛頓的基本思想發展到現代（電性物質、磁性物質、超距作用力）。甚至連法拉第和麥克斯韋的電動力學和光學革命也完全是在牛頓思想的引導下發生的，這是牛頓以後理論物理學基礎的第一次重大根本進展。麥克斯韋、玻耳茲曼和開爾文勳爵不厭其煩地把電磁場及其動力學相互作用歸因於假想的連續分布質量的機械作用。但由於這些努力沒有成效或至少是沒有顯著成效，所以自19世紀末以來，我們的基本觀念逐漸發生了轉變。理論物理學的發展超出了牛頓的框架，在將近二百年的時間裡，此框架一直使科學穩定發展並且給予思想上的引領。 從邏輯的觀點看，牛頓的基本原理是如此令人滿意，以致更新它們的動力只能源自經驗事實的要求。在討論這一點之前，我必須強調，牛頓本人比他之後的幾代學者更清楚自己思想結構中固有的弱點。這總是讓我對他懷有深深的敬意，因此我想花點時間談談這個問題： 1．儘管牛頓處處竭力把他的思想體系表現為由經驗必然決定，並且儘可能少地引入不直接指涉經驗對象的概念，但他還是提出了絕對空間和絕對時間的概念。為此，近年來他常常受到批評。但恰恰在這一點上，牛頓特別前後一致。他已經認識到，可觀察的幾何量（質點的間距）及其時間進程並不能在物理上完全刻畫運動。他以著名的水桶實驗來證明這一點。因此，除了質量及其隨時間而變化的距離，還要有另一種東西來決定運動。他認為，這種「東西」就是與「絕對空間」的關係。他認識到，要想讓他的運動定律有任何意義，空間就必須擁有一種物理實在性，就像質點及其距離的實在性一樣。 這種清楚的認識既顯示了牛頓的智慧，也暴露了他理論的弱點。因為如果沒有這個模糊的概念，其理論的邏輯結構必定會更令人滿意；在那種情況下，只有同知覺的關係完全清晰的東西（質點、距離）才會進入定律。 2．引入不需要中介、瞬時傳遞的超距作用力來表示引力的作用，並不符合我們日常經驗中所熟知的大多數過程的特徵。對於這種反駁，牛頓指出，他的引力相互作用定律不應被視為最終的解釋，而應視作一條從經驗中歸納出來的規則。 3．物體的重量和慣性是由同一個量（質量）來決定的。對於這個極為引人注目的事實，牛頓的理論並沒有給出解釋。牛頓也意識到了這一事實的不同尋常。 以上三點都不構成對於理論的邏輯反駁。在某種意義上，它們只是代表著科學家在努力從概念上完整和統一地把握自然現象的過程中那些未能滿足的願望。 被視為整個理論物理學綱領的牛頓運動學說，從麥克斯韋的電學理論那裡遭受了第一次打擊。事實表明，物體之間的電磁相互作用並非由瞬時傳遞的超距作用力所引起，而是由一種以有限速度穿過空間傳播的過程所引起。根據法拉第的構想，除了質點及其運動，還有一種新的物理實在，那就是「場」。起初人們依照力學的思維方式，試圖把場解釋為一種充滿空間的假想介質（以太）的力學狀態（運動狀態或應力狀態）。然而經過頑強的努力，這種力學解釋依然不管用，此時人們便漸漸習慣於把「電磁場」看成物理實在的最終不可還原的組分。我們要感謝海因里希·赫茲有意使場的概念擺脫了來自力學概念庫的一切附屬物，還應感謝洛倫茲使場的概念擺脫了物質載體。按照洛倫茲的說法，唯一能夠充當場之載體的東西就是物理真空（或以太），而真空即使在牛頓力學中也不是完全沒有物理功能的。等到認識了這一點，就再也沒有人相信直接而瞬時的超距作用了，甚至在引力領域也是如此，雖然由於缺乏足夠的事實知識，關於引力的場論還沒有清晰地勾勒出來。牛頓的超距作用力假說一旦被拋棄，電磁場理論的發展就會引導人們嘗試用電磁方式來解釋牛頓的運動定律，或者說用一種建立在場論基礎上的更加精確的運動定律來取代牛頓運動定律。雖然這種努力尚未完全成功，但力學的基本概念已經不再被視為物理世界觀的基本組分。 麥克斯韋和洛倫茲的理論必然會導向狹義相對論，而狹義相對論既然放棄了絕對同時性概念，也就排除了超距作用力的存在。由狹義相對論可知，質量並非不變，而是依賴於（事實上是等價於）能量含量。它也表明，牛頓的運動定律只能被視為對低速有效的極限定律；它確立了一條以真空中的光速為極限速度的新運動定律來取代牛頓定律。 廣義相對論構成了場論綱領發展中的最後一步。從量上來說，它對牛頓的理論只做了很小的修改，但在質上卻要深刻得多。慣性、引力以及物體和時鐘的度規行為都被歸結為場的性質，而這個場本身又被認為依賴於物體（推廣了牛頓的引力定律，或如泊松所表述的那樣，推廣了對應於牛頓引力定律的場定律）。由此空間和時間雖然未被剝奪實在性，但卻被剝奪了因果絕對性（所謂因果絕對性，是指產生影響但不受影響），為了能夠表述當時已知的定律，牛頓不得不把這種絕對性歸於空間和時間。廣義的慣性定律接管了牛頓運動定律的角色。這一簡短論述足以表明，牛頓理論的要素如何逐漸變成了克服上述三個缺點的廣義相對論。在廣義相對論的框架中，運動定律似乎能夠從對應於牛頓力定律的場定律中推導出來。只有完全達到了這個目標，我們才能談及純粹的場論。 在一種更加形式的意義上，牛頓力學也為場論開闢了道路。將牛頓力學應用於連續分布的質量，必然會導向偏微分方程的發現和應用，而這些方程第一次提供了場論定律的語言。在這種形式方面，牛頓的微分定律觀念構成了後來發展的第一個決定性步驟。 到目前為止，我們談論的都是我們關於自然過程的觀念的整個發展，它可以被視為對牛頓思想的一種系統發展。然而，正當對場論的完善還在如火如荼地進行的時候，熱輻射、光譜、放射性等事實卻揭示出整個思想體系適用性的限度。雖然該體系在許多情況下都已經取得巨大成就，但在我們今天看來，這種限度似乎仍然無法克服。許多物理學家斷言（這有不少有力的論據），在這些事實面前，不僅微分定律，甚至是因果律本身（迄今為止它一直是所有自然科學最終的基本假定）也已經失效。甚至連建立一個能與物理事件明確對應的時空結構的可能性也被否定了。力學體系只能有分立的穩定能量值或穩定狀態（正如經驗幾乎直接表明的那樣），初看起來，這似乎很難從場論的微分方程中推導出來。基於一組考慮了共振條件的微分方程，具有場論特徵的德布羅意–薛定諤方法的確推出了只存在分立的狀態，這與經驗事實驚人地一致，但它必須放棄質點的定域性和嚴格的因果律。牛頓自然觀的兩條最終前提，即因果律和微分定律，是否一定要明確放棄？我們現在還不得而知。 [120]牛頓逝世二百周年紀念演講，發表於德文期刊《自然科學》（Die Naturwissenschaften, Vol. 15, 1927）。 [121]今天人人都知道，要由這種經驗確定的軌道來發現這些定律需要何種辛勞。但很少有人認真思考過，克卜勒使用了什麼天才方法才根據從地球上觀測的視軌道推導出了真軌道。——作者注 論科學真理[122] 一、很難賦予「科學真理」一詞以確切的含義。「真理」一詞的含義根據我們處理的是經驗事實、數學命題還是科學理論而有所不同。對我來說，「宗教真理」根本沒有什麼清楚的意思。 二、通過鼓勵人們從因果的角度來思考和看待事物，科學研究可以減少迷信。所有高階的科學工作背後都有一種類似於宗教感情的信念，即相信世界是合理的或可理解的。 三、我堅信有一個高超的心靈在經驗世界裡展現出來，這種與深摯的感情密切相關的堅定信念代表著我的上帝觀。按照通常的說法，或可稱之為「泛神論」（斯賓諾莎）。 四、至於教派傳統，我只能從歷史和心理上加以考量，對我別無意義。 [122]回答一位日本學者的問題，收錄於1929年紀念愛因斯坦五十壽辰的限量版文集。 約翰內斯·克卜勒[123] 在這個焦慮不安的時代，人世沉浮中難尋樂趣，此時想起克卜勒這般卓越而寧靜的人，特別感到欣慰。在克卜勒生活的時代，還不能確定自然受定律的支配。在無人支持和極少有人了解的情況下，他數十年如一日，孤獨地投身於艱苦繁重的工作，對行星的運動及其數學定律進行經驗研究。他對自然定律的存在該是懷有多麼堅定的信念，才能獲得這種力量啊！若想好好緬懷他，我們應儘可能地看清楚他的問題以及解決問題的各個步驟。 哥白尼已經讓最有才智的人看到，要想清楚地把握行星在天空中的視運動，最好的辦法是把這些運動看成行星圍繞靜止的太陽所做的轉動。倘若行星圍繞一個以太陽為中心的圓做勻速運動，那麼查明這些運動從地球上看是怎樣的就比較容易了。然而，所要處理的現象遠比這複雜，任務也就艱巨得多。首先要根據第谷·布拉赫的行星觀測結果從經驗上確定這些運動，然後才能發現這些運動所滿足的一般定律。 要想了解確定圍繞太陽的實際運轉有多麼困難，需要弄清楚以下這些事情：我們永遠也看不到行星在某一時刻實際所處的位置，而只能從地球上看到它那時在什麼方向，而地球本身又以未知的方式圍繞太陽運動。於是，這些困難幾乎顯得無法克服。 為了給這種混亂帶來秩序，克卜勒不得不另闢蹊徑。他意識到，必須首先設法確定地球本身的運動。倘若只有太陽、地球和恆星，而沒有別的行星，這根本是做不到的。因為在那種情況下，除了日地連線方向在一年中的變化情況（太陽相對於恆星的視運動），我們無法從經驗上確定任何別的東西。即使當時還沒有望遠鏡，肉眼的觀測精度已經能夠發現，日地連線的這些方向全都位於一個相對於恆星靜止的平面上。由此也能確定日地連線是以何種方式圍繞太陽旋轉的。他發現，這種運動的角速度在一年中呈現出規律性的變化。但這沒有多大用處，因為我們還不知道日地距離在一年中是如何變化的。只有知道這個變化，才能確定地球軌道的真實形狀及其運行方式。 克卜勒找到了一個奇妙的方法來擺脫這種困境。首先，對太陽的觀測表明，在一年的不同時間裡，太陽在相對於恆星背景的視路徑上的速度各不相同，然而在天文年的同一時間，這種運動的角速度卻總是相同。也就是說，當日地連線指向同一恆星區域時，該直線的轉動角速度也總是相同。因此應當假定地球軌道是封閉的，地球每年都沿著它做相同的運轉，這絕非理所當然。對於哥白尼體系的追隨者來說，幾乎可以肯定，其他行星軌道也有同樣的性質。 這無疑使問題變得更容易了。但如何確定地球軌道的真實形狀呢？設想在軌道平面的某處有一盞明亮的燈M。我們知道，若是這盞燈永遠固定在這個位置上，它就能成為對地球軌道進行三角測量的一個定點，地球上的人在每年的任何時候都能看到它。假設這盞燈M距離太陽比地球距離太陽還要遠，藉助這盞燈就能按照以下方式確定地球軌道： 首先，每年都有這樣一個時刻，地球E恰好處於太陽S與燈M的連線上。如果此時從地球E看燈M，我們的視線就會與SM（太陽–燈）這條線重合。想像把後者在天穹上標記下來，再設想地球處在不同的時間和位置上。既然太陽S和燈M從地球上都可以看見，三角形SEM中的角E便是已知的。然而通過對太陽的直接觀測，也可以知道SE相對於恆星的方向，而此前SM連線相對於恆星的方向也已經確定。我們也知道三角形SEM在S處的角度。於是，我們在紙上隨意畫出底邊SM，憑藉我們對角E和角S的認識，就可以作出三角形SEM。我們可以在一年中重複這樣做，每一次都在紙上畫出地球E相對於那條永遠固定的底邊SM的位置，並且給它註上日期，由此便可以從經驗上確定地球的軌道，當然，這還不是它的絕對尺寸。 但你們會說，克卜勒到哪裡去找這盞燈M呢？他的天才以及此時仁慈的大自然給予了他這盞燈。他注意到，火星年即火星圍繞太陽走一圈的時間是已知的。太陽、地球和火星有可能在某一時刻恰好排成一條直線。由於火星沿一個封閉的軌道運轉，所以每過一個火星年，火星就會出現在這個位置上。因此，在這些已知時刻，SM總是固定的底邊，而地球總是處在軌道的不同位置上。於是在這些時刻，火星就起著我們前面設想的那盞燈的作用，可以通過觀測太陽和火星來確定地球的真軌道。就這樣，克卜勒發現了地球軌道的真實形狀以及地球的運轉方式。我們這些後來者——歐洲人、德國人甚至是我故鄉的施瓦本人——都因此而欽佩和尊敬他。 地球軌道既已由經驗確定下來，SE直線在任一時刻的真實位置和長度也就知道了。現在克卜勒要從行星觀測結果計算出其他行星的軌道和運動已經不再過於困難，至少原則上是如此。但這仍然是一項極為艱巨的工作，尤其是考慮到當時的數學狀況。 現在我們來談談克卜勒人生中第二項同等艱巨的工作。行星軌道已經從經驗中知曉，但其定律還必須從經驗數據中猜測出來。他必須首先猜測軌道曲線的數學性質，然後用一大堆圖形去試驗。如果不合適，就必須再想出一種假說去試驗。經過無數次嘗試，他終於發現符合事實的假定是：行星軌道是一個橢圓，而太陽位於它的一個焦點上。克卜勒也發現了行星在運轉過程中速度變化的定律，即太陽與行星的連線在相等時間內掃過相等的面積。最後他還發現，行星運轉周期的平方與橢圓長軸的立方成正比。 我們在讚嘆這位卓越人物的同時，另一種讚嘆和敬畏也油然而生。不過這種感情的對象不是人，而是孕育我們的那個神秘和諧的大自然。古人已經設計出一些曲線來表示可以設想的最簡單的規律性。其中除了直線和圓，最重要的就是橢圓和雙曲線。我們看到，最後這兩種曲線在天體的軌道中得到了實現，至少近乎得到實現。 看來，在事物中找到形式之前，人的心靈應當先把形式獨立地構造出來。克卜勒的驚人成就特別彰顯了一個真理：知識不可能單純來源於經驗，而只能將理智的發明與觀察到的事實相比較才能得到。 [123]為紀念克卜勒逝世三百周年所寫的文章，發表於1939年11月9日德國《法蘭克福日報》（Frankfurter Zeitung）。 麥克斯韋對物理實在觀念發展的影響[124] 相信有一個外在世界獨立於知覺主體而存在，這是一切自然科學的基礎。然而，由於感官知覺只能間接提供關於這個外在世界或「物理實在」的信息，我們只能通過思辨的方式來把握它。由此可知，我們關於物理實在的觀念永遠也不可能是最終的。為了以邏輯上最完美的方式來正確處理知覺到的事實，我們必須隨時準備改變這些觀念，也就是說，改變物理學的公理基礎。事實上，從物理學的發展就可以看出，其公理基礎在歷史進程中已經發生了深遠的改變。 自從牛頓奠定了理論物理學的基礎以來，物理學的公理基礎——亦即我們對實在結構的構想——發生的最大變化源於法拉第和麥克斯韋對電磁現象的研究。接下來，我們將同時關注物理學早期和後來的發展，以使這一點變得更加清楚。 根據牛頓的體系，物理實在由空間、時間、質點和力（質點的相互作用）等概念來刻畫。在牛頓看來，物理事件應被視為受不變的定律支配的質點在空間中所做的運動。在處理實在中發生的變化時，我們只能以質點的方式來表示實在，質點是實在的唯一代表。質點概念顯然源於可感知的物體。人們將質點設想成類似於運動物體，但剝奪了它們的廣延、形狀、空間方位等特徵以及一切「內在」性質，只保留了慣性、位移，並且添加了力的概念。物體曾引導我們在心理上形成「質點」概念，而現在卻不得不把物體本身看成質點系。應當注意，這種理論框架本質上是原子論和機械論的。一切事件都應做純粹機械的解釋，也就是說，按照牛頓運動定律把它們完全解釋成質點的運動。 除了最近被再次提出的「絕對空間」概念所涉及的困難，這個體系最不能讓人滿意的地方在於它對光的描述，在牛頓體系中，光也被設想為由質點組成。那麼當光被吸收時，組成光的質點會變成什麼呢？這個問題甚至在當時就已經亟待解決了。不僅如此，為了分別描述有重物質和光，不得不假定有兩種完全不同的質點並把它們引入討論，這無論如何不能令人滿意。後來又加入了第三種質點即帶電粒子，它同樣具有完全不同的特徵。此外，決定事件的相互作用力必須以完全任意的方式進行假定，這也是一個根本弱點。這就是為何雖然牛頓的實在觀取得了很大成就，人們還是感到不得不拋棄它的原因。 為了用數學形式來表達自己的體系，牛頓必須發明微商概念，並以全微分方程的形式來表述運動定律，這也許是一個人在思想領域所能做出的最大貢獻。偏微分方程對於這個目的並不是必需的，牛頓也沒有系統地使用過它們，但對於表述可變形物體的力學卻是必需的，這是因為物體如何由質點組成的問題起初並不重要。 因此，偏微分方程進入理論物理學時還是婢女，但漸漸變成了主婦。這始於19世紀，那時觀察到的事實已經迫使光的波動說建立起來。真空中的光被解釋為以太的振動，當然在這一階段，把以太看成質點的聚集體似乎毫無用處。微分方程在這裡第一次顯示為對物理學基本實在的自然表達。於是，在理論物理學的一個特殊分支中，連續的場和質點都被視為物理實在的代表。這種二元論至今仍然存在，任何講求條理的人都必定會對此感到不安。 即使物理實在的觀念已經不再是純粹原子論的，它在當時也仍然是純粹機械論的。人們仍然試圖把一切事件都解釋成慣性質量的運動。的確，似乎也想不出其他方式來看待事物了。然後發生了一場偉大變革，它將永遠與法拉第、麥克斯韋和赫茲的名字聯繫在一起。這場革命主要歸功於麥克斯韋。他表明，當時關於光和電磁現象的所有知識都可以用他那兩組著名的微分方程來表示，在這些方程中，電場和磁場作為因變量出現。 麥克斯韋的確曾試圖用理智構造的一種機械論模型來解釋這些方程或為之辯護。但他同時使用了若干種這樣的構造，而沒有認真對待其中任何一種。因此只有這些方程才顯得是本質性的，方程中出現的場是最終實體，不能還原為任何其他東西。到了世紀之交，人們已經普遍把電磁場看成最終實體，嚴肅的思想家也不再相信有理由或者有可能對麥克斯韋方程做出機械論解釋。沒過多久，他們反倒藉助於麥克斯韋理論，試圖以場論來解釋質點及其慣性，雖然沒有完全成功。 如果不考慮麥克斯韋的工作在重要的物理學分支所產生的個別重要結果，而是集中於他給我們的物理實在觀所帶來的變革，那麼也許可以說：在麥克斯韋之前，人們設想物理實在（指自然中的事件）是質點，質點的變化完全歸因於那些服從全微分方程的運動；而在麥克斯韋之後，人們認為物理實在由不能作機械論解釋的、服從偏微分方程的連續場來代表。實在觀的這一變革乃是自牛頓以來物理學發生的最為深刻和最富有成果的變革。但同時必須承認，這一綱領還遠未完全實現。毋寧說，自那以後發展起來的成功的物理學體系都是這兩個綱領的折中，因此這些體系都有一種過渡性的、邏輯上不完備的特徵，儘管在某些細節上也許已經取得了很大進展。 這其中首先要提到洛倫茲的電子論，在這種理論中，場和帶電粒子一起被視為對於理解實在有同等價值的要素。後來又出現了狹義相對論和廣義相對論，它們雖然完全基於與場論有關的觀念，但迄今為止還無法避免獨立引入質點和全微分方程。 量子力學是理論物理學最新與最成功的創造，它從根本上不同於我們所謂的牛頓綱領和麥克斯韋綱領。因為出現在量子力學定律中的各種量並不必然描述物理實在本身，而只是描述了我們所考察的物理實在出現的機率。在我看來，對這種理論所作的邏輯上最完備的解釋要歸功於狄拉克。他正確地指出，比如要對光子作一種理論描述，使它提供的信息足以決定光子是否會通過斜放在其通路上的偏振器，這大概很困難。 我仍然傾向於認為，物理學家不會長期滿足於對實在做出這種間接描述，即使這種理論最終能以令人滿意的方式符合廣義相對論的假設。我相信，到頭來我們必將回到所謂的麥克斯韋綱領，即通過滿足偏微分方程而不帶有奇點的場來描述物理實在。 [124]紀念麥克斯韋一百周年誕辰，收錄於1931年《麥克斯韋紀念文集》（James Clerk Maxwell: A Commemoration Volume, Cambridge University Press）。 論理論物理學的方法[125] 若想從理論物理學家那裡了解他們使用什麼方法，我建議堅持這樣一條原則：不要聽其言，而要觀其行。對於這個領域的發現者而言，其想像力的產物是如此必然和自然，以至於他會認為並且希望別人也認為，它們不是思想的創造，而是既定的實在。 這些話聽起來像是讓大家離開這個講堂。因為你們可能會心想，這個人是從事實際工作的物理學家，因此應把理論科學的結構問題留給認識論者去研究。 針對這種批評，我可以從個人觀點為自己辯護，向大家保證我不是自己要來的，而是應別人的友好邀請才登上這個為紀念一個畢生追求知識統一性的人而設立的講壇。但事實上，我站在這裡是有正當理由的：了解一個畢生致力于澄清和改進科學基礎的人是如何思考他的科學的，也許會讓人感興趣。他對這門科學的過去與現在的看法，也許太過依賴於他對未來的期待和目前的追求，但這是任何一個深深地沉浸在思想世界中的人所不可避免的命運。類似的情況也發生在歷史學家身上，歷史學家也以同樣的方式——儘管可能是無意識地——根據自己對人類社會所形成的理想把實際事件組織起來。 現在讓我們瀏覽一下理論體系的發展，同時特別注意理論內容與經驗事實總和之間的關係。它涉及這個領域裡兩個不可分割的知識的組成部分，即經驗與理性之間的永恆對立。 古希臘被譽為西方科學的搖籃。這裡第一次見證了歐幾里得幾何學這個邏輯系統的奇蹟，該體系一步步地精確產生出來，以至於它的每一個命題都是絕對不容置疑的。理性的這項驚人成功使人的理智有信心做出後來的成就。倘若歐幾里得未能激起你少年時代的熱情，你就不是一個天生的科學思想者。 但科學要想成熟到能將整個實在包含在內，還需要另一種基本認識，這種認識直到克卜勒和伽利略的出現才成為哲學家的共識。單憑邏輯思維無法使我們獲得關於經驗世界的知識，一切關於實在的知識都是從經驗出發，以經驗結束。通過純邏輯手段得到的命題對於實在來說是完全空洞的。伽利略認識到了這一點，尤其是因為他向科學界反覆灌輸這一點，他才成為近代物理學之父，事實上也是整個近代科學之父。 然而，如果經驗是我們關於實在的一切知識的起點和終點，那麼純粹理性在科學中又起什麼作用呢？ 完整的理論物理學體系是由概念、對這些概念有效的基本定律以及通過邏輯演繹而導出的結論所組成的。這些結論必須符合我們單獨的經驗。在任何理論著作中，對它們的邏輯推導幾乎要占據全部篇幅。 在歐幾里得幾何學中，情況正是如此，只不過那裡的基本定律被稱為公理，而且也沒有結論必須符合經驗的問題。但如果認為歐幾里得幾何學研究的是准剛體在空間中可能的相互關係，也就是將它看成一門物理科學，而不是抽出它原初的經驗內容，那麼幾何學與理論物理學在邏輯上的同質性就完整無缺了。 這樣我們就指定了理性和經驗在一個理論物理學系統中的位置。理性給出了該系統的結構，而經驗內容及其相互關係則應在理論的結論中得到表達。整個系統，尤其是它的基本概念和基本原理，其唯一的價值和理由就在於這樣一種表達的可能性。此外，這些基本概念和基本原理都是人類理智的自由發明，既不能通過人類理智的本性、也不能以任何先驗的方式來證明。 這些在邏輯上無法進一步還原的基本概念和假設構成了理論不可或缺的部分，它們是理性所無法把握的。所有理論的崇高目標都在於讓這些不可還原的基本要素儘可能簡單，數量儘可能少，同時不必放棄對任何經驗內容的恰當表達。 我剛才概述的關於科學理論基礎具體純虛構性的觀點在18-19世紀絕不占主導地位，然而它目前卻日漸流行，因為邏輯結構越簡單，也就是支撐整個結構所需的邏輯上獨立的概念要素越少，基本概念和定律與必須同我們的經驗相聯繫的那些結論在思想上的距離就越大。 牛頓第一次創造出一個全面可行的理論物理學系統，他仍然相信其系統的基本概念和定律可以從經驗中推導出來。這無疑就是他所說的「我不杜撰假說」的意思。 事實上，時間和空間概念在那時似乎還沒有什麼問題。質量、慣性和力的概念以及把它們聯繫起來的定律似乎都直接來自經驗。然而，一旦接受這個基礎，引力的表達式似乎就可以從經驗中推導出來，而且可以合理地期待別的力也是如此。 從牛頓的表述中可以看出，包含著絕對靜止概念的絕對空間概念使他感到不安。他意識到，絕對靜止概念在經驗中似乎沒有對應。對於引入超距作用力，他也感到不安。但他的學說在實踐上取得的巨大成功很可能阻礙了他和18-19世紀的物理學家認識到其系統基礎的虛構性。 恰恰相反，當時的自然哲學家大都認為，物理學的基本概念和假設並非人的心靈在邏輯意義上的自由發明，而是可以通過「抽象」——即通過邏輯方式——從經驗中推導出來。事實上，直到廣義相對論出現，人們才清楚地認識到這種看法是錯誤的。廣義相對論表明，可以在完全不同於牛頓的基礎上，以更加令人滿意和更加完備的方式來解釋更廣的經驗事實。然而，撇開理論的優越性問題不談，基本原理的虛構性是非常明顯的，因為我們可以指出兩條與經驗大體符合但本質上不同的原理。由此可以證明，任何以邏輯方式從基本經驗中導出力學的基本概念和假設的努力都註定要失敗。 如果理論物理學的公理基礎不能從經驗中抽取出來，而必須是自由發明，那麼還是否有希望找到正確的道路呢？這條正確的道路難道僅存於我們的幻想嗎？如果一些理論（比如經典力學）能在很大程度上恰當地處理經驗，但沒有從深層次把握事物，那麼我們還能否指望把經驗當作我們可靠的嚮導呢？對此我會毫不猶豫地回答：我認為的確存在著這樣一條正確的道路，並且有能力找到它。根據已有的經驗，我們有理由相信，大自然是可以設想的最簡單數學觀念的實現。我深信，通過純粹的數學構造，我們能夠發現那些概念以及把它們聯繫起來的定律，它們為理解自然現象提供了鑰匙。經驗也許可以暗示恰當的數學概念，但數學概念絕不可能從經驗中推導出來。當然，經驗始終是判斷數學構造是否有物理用處的唯一標準，但創造性原則卻在數學之中。因此在某種意義上我認為，純粹思維能夠把握實在，就像古代人所夢想的那樣。 為了證明這種信念是正當的，我不得不使用一個數學概念。物理世界被表示為一個四維連續體。若假定其中有一種黎曼度規，並探究這種度規可以滿足哪些最簡單的定律，那麼我就得到了真空中的相對論性引力論。若假定從空間中可以導出一個矢量場或反對稱張量場，並探究這種場可以滿足哪些最簡單的定律，那麼我就得到了真空中的麥克斯韋方程。 在這裡，我們仍然缺少理論來描述空間中電荷密度不為零的那些部分。德布羅意曾推測有一種波場存在，可以解釋物質的某些量子性質。狄拉克發現旋量是一種新的場量，其最簡單的方程使人能基本上推出電子的性質。現在，我與我的同事瓦爾特·邁爾博士合作發現，這些旋量構成了一種在數學上與四維相聯繫的新的場的特例，我們稱之為「半矢量」。這種半矢量可能服從的最簡單方程為理解具有不同靜止質量和相反等量電荷的兩種基本粒子的存在提供了鑰匙。除了通常的矢量，這些半矢量就是四維度規連續體裡數學上最簡單的場，它們似乎能夠自然地描述帶電粒子的某些根本性質。 對我們來說重要的是，所有這些構造以及把它們聯繫起來的定律都可以通過尋求數學上最簡單的概念及其聯繫這一原則來得到。在數學上存在的簡單的場的類型以及它們之間可能存在的簡單方程，兩者的數目都很有限，這正是理論家們深入把握實在的希望所在。 同時，這種場論最大的困難在於理解物質和能量的原子結構。因為該理論只使用空間的連續函數，所以就其基礎而言是非原子的，這與經典力學相反，經典力學最重要的要素是質點，它本身就已經恰當地處理了物質的原子結構。 現代量子論與德布羅意、薛定諤和狄拉克等人的名字聯繫在一起，並且使用連續函數，它用一種由馬克斯·玻恩最早清晰給出的大膽解釋克服了這些困難：方程中出現的空間函數並不是原子結構的數學模型。這些函數據說只決定了測量時這種結構處於特定地點或特定運動狀態下的數學機率。這種想法在邏輯上是無可非議的，而且已經取得了重大成功。但不幸的是，它迫使人們使用一種連續體，其維數並不是迄今為止物理學的空間維數（即四維），而是隨著組成系統的粒子數目而無限增加。必須承認，我認為這種解釋只有一種暫時的意義。我仍然相信可能有一種實在模型，即這樣一種理論：它描述的是事物本身，而不僅僅是它們出現的機率。 另一方面，我認為必須放棄理論模型中粒子完全定域的想法。在我看來，這是海森伯不確定性原理的最終結果。但完全可以設想一種真正意義上的原子理論（而不僅僅是基於一種解釋），不賦予粒子在數學模型中的定域性。例如，為了解釋電荷的原子特徵，只需使場方程導出以下結論：邊界上電荷密度處處為零的三維空間區域永遠包含總量為整數的總電荷。在連續體理論中，原子特徵可以由積分定律令人滿意地表示出來，而不必確定組成原子結構的那些東西的位置。 直到以這種方式將原子結構成功地表示出來，我才會認為量子之謎得到了解決。 [125]1933年6月10日在牛津所作的斯賓塞講座，收錄於1934年《我的世界觀》。 物理學中空間、以太和場的問題[126] 科學思想是對前科學思想的發展。由於空間概念在前科學思想中已經起著基礎作用，所以我們必須從前科學思想中的空間概念開始。有兩種考察概念的方式，對於理解概念是不可或缺的。首先是邏輯分析。它回答這樣一個問題：概念與判斷是如何相互依存的？回答這個問題將使我們站在較為可靠的基礎上。數學之所以備受尊敬，就是因為這種可靠性。但這種可靠性是以空無內容為代價而獲得的。概念只有與感覺經驗相聯繫才能獲得內容，無論這種聯繫是多麼間接。但這種聯繫無法被邏輯研究所揭示，而只能被經驗揭示。然而，正是這種聯繫決定了概念體系的認知價值。 舉例來說，假定未來的考古學家發現了一本沒有圖形的歐幾里得幾何學教科書，他會看到「點」「直線」「平面」等詞項是如何在命題中使用的，也會看到這些命題是如何相互推導的，甚至還能按照他所了解的規則構造出新的命題。但只要「點」「直線」「平面」等詞項沒有向他傳達某種東西，那麼對他來說，構造出這些命題仍然只是一種空洞的文字遊戲。只有當這些詞項傳達了某種東西時，幾何學對他來說才會有實際內容。對於分析力學來說也是如此，事實上對於任何邏輯演繹科學都是如此。 說「直線」「點」「相交」等詞項傳達了某種東西，這是什麼意思呢？它的意思是，我們能夠指出這些詞項所涉及的感覺經驗內容。這個超出邏輯的問題正是幾何學的本質問題，這位考古學家只能憑直觀來解決它，即對他的經驗進行考察，看能否發現某種東西對應於理論中的原始詞項以及為這些詞項所設定的公理。只有在這個意義上，才能合理地討論概念系統的本質。 如果使用前科學概念，我們就和這位考古學家一樣要面臨本體論問題。可以說，我們已經忘記了是經驗世界中的哪些特徵使我們能夠提出這些概念，而且如果不戴上舊有概念解釋的眼鏡，我們很難回想起經驗世界。此外還有一個困難：我們的語言不得不使用那些與原始概念密不可分地聯繫在一起的詞項，這使我們很難闡明前科學的空間概念究竟是什麼。 在轉到空間問題之前，我們先一般地談談對概念的看法。概念與感覺經驗有關，但永遠不可能在邏輯意義上從感覺經驗推導出來。因此，我始終未能理解對康德意義上先驗之物的追求。對於任何本體論問題，我們永遠只能在複雜的感覺經驗中尋求與概念有關的那些特徵。 現在回到空間概念：它似乎預設了物體的概念。人們常常描述大概能引起物體概念的那些複雜的感覺經驗和感覺印象的本質。其中一些特徵包括，某些視覺印象和觸覺印象之間有對應，這些印象（觸覺、視覺）可以在時間中持續追隨下去，在任何時候都可以重複，等等。一旦藉助上述經驗形成物體概念（物體概念絕沒有預設空間或空間關係概念），從思想上把握這些物體之間關係的願望就必然會引起一些同它們的空間關係相對應的概念。兩個物體可以相互接觸，也可以彼此遠離。在後一種情況下，兩者之間可以插進第三個物體而絲毫不會改變它們，而在前一種情況下卻不可能如此。這些空間關係顯然和物體本身一樣實在。如果兩個物體對於填滿一個這樣的間隔是等效的，那麼它們對於填滿其他間隔也會是等效的。由此可見，間隔與選擇何種特殊物體來填滿它無關，這對於空間關係來說也是普遍正確的。顯然，這種無關性（這是構造純粹幾何概念之所以有用的一個主要條件）不一定是先驗的。在我看來，這種與選擇何種特殊物體來填滿它無關的間隔概念乃是整個空間概念的出發點。 於是，從感覺經驗的觀點來看，空間概念的發展似乎遵循以下圖式：物體→物體的排列關係→間隔→空間。這樣看來，空間似乎和物體一樣是某種真實的東西。 顯然，作為一種真實事物的空間概念已經存在於科學以外的概念世界中。但歐幾里得的數學卻不訴諸這種概念，它只限於討論對象以及對象之間的排列關係。點、平面、直線、線段都是理想化的物體。一切排列關係都可以歸結為接觸關係（直線與平面相交，點在直線上，等等）。作為連續體的空間根本沒有出現在這個概念體系中。這個概念最早是笛卡爾用空間坐標來描述空間中的點時引入的。這裡，幾何圖形第一次顯示為被理解成三維連續體的無限空間的一部分。 笛卡爾對空間處理的卓越之處絕不只是把分析應用於幾何學，更重要的一點在於，希臘人在幾何描述中偏愛一些特殊對象（直線、平面），若要對別的對象（如橢圓）做這種描述，只能藉助於點、直線和平面進行構造或定義。而在笛卡爾的處理中，所有表面似乎都具有同等地位，建立幾何學時不會隨意地偏愛平直構造。 若把幾何學看成關於支配准剛體彼此之間排列關係的定律的科學，則它可以被視為最古老的物理學分支。正如我所指出的，這門科學可以沒有空間概念本身，點、直線、平面、線段等理想的物質形式已經足以滿足它的需要。而笛卡爾所設想的整個空間卻是牛頓物理學所絕對必需的，因為單憑質點以及質點之間隨時間可變的距離，是無法建立動力學的。在牛頓的運動方程中，加速度概念發揮著基礎作用，它不能只靠質點之間隨時間可變的距離來定義。只有相對於整個空間，牛頓的加速度才能被設想或定義。於是，除了空間概念的幾何實在性，空間又有了一種確定慣性的新功能。當牛頓說空間是絕對的時候，他無疑是指空間的這種實在意義，這使他必須賦予空間一種非常明確的運動狀態，而這種運動狀態似乎不能由力學現象完全決定。這種空間在另一種意義上也被認為是絕對的：空間確定慣性的作用被認為是自主的，也就是說不受任何物理環境的影響；它影響物體，但沒有什麼東西能夠影響它。 但直到不久以前，物理學家仍然認為空間只不過是所有事件的被動容器，本身並不參與物理事件。直到光的波動說以及法拉第和麥克斯韋的電磁場理論出現，這種思想才開始發生改變。人們漸漸發現，真空中不僅存在著以波的形式傳播的狀態，而且存在著定域的場，能對移到那裡的帶電質量或磁極施加力的作用。在19世紀的物理學家看來，把物理功能或物理狀態賦予空間本身是完全荒謬的，於是他們就以有重物質為模型，設想有一種以太介質充滿了整個空間，它充當著電磁現象的載體，因此也是光現象的載體。這種介質被認為構成了電磁場，其狀態起初是以固體的彈性變形為模型而機械地想像的。但以太的這種機械理論一直不太成功，所以人們漸漸不再嘗試對以太場的本性做更詳細的解釋。於是，以太就成了這樣一種物質，它的唯一功能就是充當電場的基質，而不能做進一步分析。由此得到了以下圖像：空間被以太所充滿，有重物質的微粒或原子浸游其中。而物質的原子結構在世紀之交的時候已經牢固確立了。 既然物體之間的相互作用據說是通過場來實現的，那麼以太中也一定有引力場，但當時引力場的定律還沒有確切的形式。以太僅僅被看成所有跨越空間起作用的力的場所。人們認識到，運動中的帶電質量會產生磁場，磁場的能量為慣性提供了一種模型，因此慣性顯得像是一種位於以太中的場作用。 以太的力學性質起初讓人琢磨不透，然後出現了洛倫茲的偉大發現。當時所有已知的電磁現象都可以基於以下兩條假定來解釋：以太牢牢地固定在空間中，也就是說完全不能運動，而電牢牢地固定在可運動的基本粒子中。今天，洛倫茲的發現可以表述如下：物理空間和以太只不過是對同一個東西的兩種不同表達罷了，而場則是空間的物理狀態。如果不能把特殊的運動狀態賦予以太，似乎就沒有理由把它當作一種與空間並列的特殊之物引入進來。但這種思路與當時的物理學家還相距甚遠。在他們看來，空間仍然是一種剛性的、同質的東西，不會變化，也沒有各種不同的狀態。只有像黎曼這種不世出的孤獨天才，才在19世紀中葉提出了一種新的空間觀，這種空間觀剝奪了空間的剛性，而且認識到空間有可能參與物理事件。更值得欽佩的是，這項思想成就出現在法拉第和麥克斯韋的電場理論之前。然後出現了狹義相對論，它認為一切慣性系都在物理上等價。時間與空間變得不可分離，並與電動力學或者光的傳播定律相聯繫。此前人們一直暗中假定，事件的四維連續體能以客觀的方式分成空間和時間，也就是說在事件的世界裡，「現在」被賦予了絕對意義。隨著「同時」的相對性被發現，空間和時間融合成一個連續體，就像空間的三維曾經融合成一個連續體一樣。就這樣，物理空間被擴展為一個包含著時間維度的四維空間。狹義相對論的四維空間就像牛頓的空間一樣嚴格和絕對。 相對論是一個很好的例子，可以說明現代理論科學發展的基本特徵。理論科學的初始假說變得越來越抽象，離經驗也越來越遠。而另一方面，它又離一切科學的偉大目標越來越近，即通過邏輯演繹，用儘可能少的假說或公理來涵蓋儘可能多的經驗事實。與此同時，從公理導向經驗事實或可證實結論的思路也變得越來越冗長和複雜。理論科學家在尋求理論時，只能越來越仰賴純粹數學的形式思考，因為實驗家的物理經驗無法把他引到最抽象的領域。適用於科學幼年的以歸納為主的方法正在讓位於試探性的演繹法。在推導出那些可與經驗做比較的結論之前，需要對這種理論結構做出非常詳盡的闡述。這裡，觀察到的事實無疑也是最高的仲裁者，但只有通過緊張而艱巨的思考將公理與可證實的結論之間的寬闊鴻溝彌合起來，它才能做出裁決。理論家在從事這項艱巨的工作時應當充分意識到，他的努力也許只會使他的理論受到致命打擊。對於承擔這項工作的理論家，不應指責其「異想天開」，而應使他有權去自由幻想，因為達到目標別無他途。他的幻想並非徒勞的白日夢，而是在尋求邏輯上最簡單的可能性及其推論。為使聽眾或讀者更願意追溯由此產生的一連串想法，需要做這樣一個辯解。正是這條思路將我們從狹義相對論引到了廣義相對論，再從廣義相對論引到了它的最近分支，即統一場論。在做這種闡釋時不可避免要用到數學符號。 讓我們從狹義相對論開始講起。該理論仍然直接基於光速不變這條經驗定律。設P是空間中的一點，P'是無限接近的一點，與它相距dσ。假定在時刻t從P發出一道閃光，在時刻t+dt到達P'，那麼 如果dx₁、dx₂和dx₃是dσ的正交投影，並且引入虛時間坐標，則上述光速不變定律有如下形式： 由於這個公式表達了一種實際情況，我們可以賦予ds這個量以一種實在的意義，只要對四維連續體中兩個鄰近點的選擇使得相應的ds不等於零。這可以表達為：狹義相對論的四維空間（帶有虛時間坐標）擁有一種歐幾里得度規。 之所以把這種度規稱為歐幾里得度規，與下面這件事情有關。在三維連續體中假定這樣一種度規，與假定歐幾里得幾何學的公理完全等價。於是，定義度規的方程不過是應用於坐標微分的畢達哥拉斯定理罷了。 狹義相對論所容許的坐標改變（通過變換）是這樣的：在新坐標系中，ds²這個量（基本不變量）也等於坐標微分的平方和。這種變換被稱為洛倫茲變換。 狹義相對論的啟發性方法可由以下原理來刻畫：自然定律的方程在洛倫茲變換下必須保持形式不變（方程對洛倫茲變換的協變性）。 這種方法使我們發現了動量與能量之間、電場強度與磁場強度之間、靜電力與動電力之間以及慣性質量與能量之間的必然聯繫，物理學中獨立概念和基本方程的數目因此減少了。 這種方法影響深遠。表達自然定律的方程真的只對洛倫茲變換協變，而對其他變換不協變嗎？如果這樣表述，那麼這個問題實在沒有意義，因為任何方程組都能用廣義坐標來表示。我們應當問：自然定律是不是要求所有坐標系都等價，而不會讓某個特殊坐標系中的方程有實質性的簡化？ 對此我們只是簡略提一下，慣性質量與引力質量相等的經驗定律告訴我們，這個問題的答案是肯定的。如果將所有坐標系對於表述自然定律都等價提升為一條原理，我們就得到了廣義相對論，只要保留光速不變定律，或者說假定歐幾里得度規至少對於四維空間的無窮小部分仍然有客觀意義。 這意味著對於有限的空間區域，假定存在著一種廣義黎曼度規（具有物理意義），其形式如下： 其中的求和要擴展到從1, 1到4, 4的全部指標組合。 這種空間的結構在一個方面與歐幾里得空間的結構有根本不同。係數gμν是坐標x₁到x₄的任何函數，實際知道這些gμν函數之後才能實際確定空間的結構。我們也可以說，空間的結構本身完全沒有確定。只有指明了gμν的度規場所滿足的定律，空間的結構才能進一步確定下來。基於物理上的理由可以認為，度規場同時就是引力場。 既然引力場取決於質量的分布，並且隨之而變化，那麼空間的幾何結構也取決於物理因素。於是按照這種理論，正如黎曼所猜測的那樣，空間不再是絕對的，其結構依賴於物理影響。（物理）幾何學不再像歐幾里得幾何學那樣是一門孤立而自足的科學。 這樣一來，引力問題就歸結為一個數學問題：找到最簡單的基本方程，使之對於任何坐標變換都是協變的。這是一個非常明確的問題，至少是可以解決的。 這裡我不想討論對廣義相對論的實驗證實，但想解釋一下為什麼這種理論不能因此而自我滿足。引力固然已從空間結構中推導出來，但除了引力場還有電磁場。首先，必須把電磁場作為一種獨立於引力的東西引入該理論。解釋電磁場存在的項必須加入基本的場方程。但認為存在著兩種彼此獨立的空間結構，即度規–引力結構和電磁結構，這種想法對於理論家來說是無法容忍的。我們相信，這兩種場必定對應於統一的空間結構。 [126]收錄於1934年《我的世界觀》。 論廣義相對論的起源[127] 我很高興應你們之邀，講講我自己科學工作的歷史。這倒不是因為我覺得自己的研究有什麼了不起，而是因為書寫別人工作的歷史需要吸收別人的想法，這更多是訓練有素的歷史學家擅長的事情，而要說明自己的思想歷程，顯然會容易得多。既然有得天獨厚的優勢，我不應出於謙虛而放棄這個機會。 在狹義相對論（1905年）中，我得出一切慣性系對於表述自然定律都等價，於是自然產生了一個問題：是否各個坐標系也是等價的？換句話說，如果速度概念只有相對的意義，為什麼還要堅持把加速度當成絕對概念呢？ 從純粹運動學的觀點來看，所有運動無疑都是相對的。但從物理學上說，慣性系似乎具有一種優越地位，使用以其他方式運動的坐標系都會顯得不自然。 我當然很熟悉馬赫的觀點，他認為，慣性阻力所反抗的並不是加速度本身，而是相對於所有其他物體質量的加速度。對我來說，這個想法頗為迷人，但它並沒有為新的理論提供切實可行的基礎。 當我試圖在狹義相對論的框架內處理引力定律時，我第一次朝著這個問題的解決邁進了一步。和當時大多數物理學家一樣，我也試圖給出引力的場定律。由於絕對同時性的概念已經廢除，直接的超距作用已不再可能引入，或至少是不能以任何自然的方式引入。 最簡單的辦法當然是保留拉普拉斯的引力標量勢，在泊松方程中引入一個時間微分項，以滿足狹義相對論。引力場中質點的運動定律也必須根據狹義相對論調整。這裡並沒有明確無誤地標示出道路，因為物體的慣性質量也許依賴於引力勢能。事實上，由於能量也有慣性，這是可以預料的。 然而，這些研究所得到的結果卻讓我大為懷疑。根據經典力學，物體在豎直引力場中的豎直加速度與速度的水平分量無關。因此，在這樣的引力場中，一個力學系統或其重心的豎直加速度與它內部的動能無關。然而在我提出的理論中，落體的加速度卻與它的水平速度或系統的內能有關。 這不符合一個古老的實驗事實，即引力場中的物體皆有同樣的加速度。這條定律或許也可以表述為慣性質量與引力質量相等，現在我認識到了它的深刻意義。對於它的存在，我感到極度驚異，猜想其中必定隱藏著更深入理解慣性和引力的關鍵。我從未懷疑過這條定律的嚴格有效性，儘管當時我還不知道厄缶[128]那些令人讚嘆的實驗結果（如果沒有記錯，我是後來才知道的）。如今，我已經不再嘗試按照上述方式在狹義相對論的框架內處理引力問題了，它顯然沒有正確處理引力最基本的性質。慣性質量與引力質量相等這一原理現在可以清楚地表述如下：在均勻引力場中，所有運動的發生方式與沒有引力場時相對於勻加速坐標系的運動方式完全相同。如果這條原理對於所有事件都成立（「等效原理」），那麼這就表明，要想得到自然的引力場理論，需要把相對性原理擴展到相對做非勻速運動的坐標系。從1908年到1911年，我一直在思索，試圖從中推出一些特定的結論，這裡不去多談。當時一件重要的事情是認識到，只有把相對性原理加以擴展，才可能得到合理的引力論。 因此，需要建立一種理論，使它的方程在非線性的坐標變換下保持形式不變。至於它適用於任何（連續的）坐標變換，還是只適用於某些坐標變換，那時我還不清楚。 我很快就發現，將等效原理所要求的非線性變換包括進來，比如會使對坐標的簡單物理解釋出現致命困難。也就是說，我們不再能把坐標差解釋為用理想標尺或理想時鐘所得到的直接測量結果。這種認識使我深感不安，我花了很長時間才明白坐標在物理學中究竟有什麼意義。直到1912年，我才通過以下思考找到了擺脫困境的出路： 必須重新表述慣性定律，使得在沒有「實際的引力場」並且把慣性系用作坐標系的情況下，該表述會變成伽利略對慣性原理的表述。伽利略的表述相當於說：不受力的質點在四維空間中的軌跡是一條直線，也就是最短的線，或者更準確地說是極值線。這個概念預先假定了線元長度的概念，亦即度規概念。正如閔可夫斯基所表明的，在狹義相對論中，此度規是一種准歐幾里得度規，也就是說，線元「長度」ds的平方是坐標微分的某個二次函數。 如果通過非線性變換引入其他坐標，那麼ds²仍然是坐標微分的一個齊次函數，但這個函數的係數（gμν）不再是常數，而是成了坐標的某些函數。用數學語言來說，這意味著物理（四維）空間有一種黎曼度規。只受引力作用的質點，其軌跡是一條類時的極值線。與此同時，此度規的係數（gμν）相對於所選的坐標系描述了引力場。這樣便找到了一種對等效原理的自然表述，將它擴展到任何引力場就構成了一個完全自然的假說。 於是，上述難題的解決方案是：坐標的微分沒有物理意義，只有與之對應的黎曼度規才有物理意義。這樣便找到了廣義相對論的一個可行的基礎。但還有兩個問題沒有解決： 1.如果場定律是用狹義相對論的語言來表述的，如何將它轉換到黎曼度規？ 2.決定黎曼度規（即gμν）本身的微分定律是什麼？ 從1912年到1914年，我和我的朋友格羅斯曼一起研究這些問題。我們發現，里奇和列維–契維塔的絕對微分學已經給出了解決問題1的數學方法。 問題2的解決則顯然要求（由gμν）構造二階的微分不變量。我們很快就發現，黎曼已經給出了這些東西（曲率張量）。在廣義相對論發表的兩年前，我們已經考慮了正確的引力場方程，但那時我們還不知道如何把它們運用於物理學。當時我堅信它們不能正確地處理經驗。我甚至還相信，在任何坐標變換下都不變的引力定律必然違反因果律。這些錯誤想法讓我多花了兩年苦工，直到1915年底我才最終醒悟，重新回到黎曼曲率，並成功地把理論與天文學的經驗事實聯繫在一起。 從最終結果來看，廣義相對論幾乎是理所當然的，任何聰明學生不用費很大氣力就能掌握它。但是，在黑暗中焦急探索的歲月里，懷著熱烈的渴望，時而充滿自信，時而精疲力竭，最後終於看到了光明，所有這些只有親身經歷過的人才能體會。 [127]收錄於1934年《我的世界觀》。 [128]厄缶（Loránd Eötvös，1848-1919），匈牙利物理學家，主要貢獻是關於重力和表面張力的研究，以及扭轉擺的發明。——譯者注 物理學與實在[129] 一、科學方法總論 人們常說，科學家是蹩腳的哲學家，這句話肯定不是沒有道理的。那麼，物理學家是不是乾脆把哲學思考留給哲學家就好了？當物理學家相信他可以自行支配一套無可置疑的嚴格的基本定律和基本概念時，這樣說也許是對的，但是像現在這樣，物理學本身的基礎已經問題重重，經驗迫使我們去尋求更新、更可靠的基礎，此時物理學家就不能將認真考察理論基礎的任務拱手讓給哲學家了，因為穿鞋的人自己最清楚哪裡不合腳。在尋找新的基礎時，物理學家必須盡力弄清楚，他使用的概念有多少根據和有多大的必要性。 整個科學不過是對日常思維的一種改進。正因如此，物理學家的批判性思考就不能只限於考察他自己特殊領域的概念。他必須認真思考一個困難得多的問題，即分析日常思維的本性。 我們的心理經驗包括感覺經驗、對它們的記憶、意象和感情等一連串事物。與心理學不同，物理學只直接處理感覺經驗以及對其關聯的「理解」。但即使是日常思維中的「實際外在世界」概念，也完全基於感覺印象。 首先要指出，感覺印象和意象是無法區分的，或者說，至少不可能絕對確定地區分。這個問題也涉及實在概念，這裡我們不去討論，而會把感覺經驗的存在當作既定的，也就是說，把它當作一種特殊的心理經驗。 我認為，建立「實際外在世界」的第一步就是形成物體和各種物體的概念。我們從諸多感覺經驗當中任意取出某些反覆出現的感覺印象的複合體（部分是與被解釋為別人感覺經驗之標記的感覺印象結合在一起），並把「物體」概念與之相關聯。從邏輯上講，這個概念並不等同於上述感覺印象的總和，但卻是人類（或動物）心靈的自由創造。另一方面，這個概念的意義和根據則要完全歸於與之相關聯的感覺印象的總和。 第二步可見於這樣一個事實：我們在思維中（它決定著我們的期望）賦予物體概念以一種意義，它在很大程度上獨立於那些起初產生它的感覺印象。這就是我們把「實際存在性」賦予物體時所指的意思。這樣一種處置的理由完全在於，憑藉這些概念及其之間的心理關係，我們得以在感覺印象的迷宮中找到方向。這些概念和關係雖然都是心靈的自由創造，但對我們來說，卻比個體感覺經驗本身更強大、更不可改變，個體感覺經驗永遠都有可能是幻覺或錯覺的產物。另一方面，這些概念和關係，以及假定實際物體和「實際世界」的存在性，其根據僅僅在於與感覺印象相關聯，而它們則構成了感覺印象之間的心靈聯繫。 我們永遠也無法理解的一個令人驚嘆的事實是：藉助于思維（運用概念，創造並使用概念之間明確的函數關係，並把感覺經驗與概念對應起來），我們所有的感覺經驗就能得到整理。可以說，「世界的永恆秘密就在於世界的可理解性」。如果沒有這種可理解性，假定有一個實際的外在世界就是毫無意義的，這正是康德的偉大認識之一。 這裡所說的「可理解性」是在最謙虛的意義上用的，其含義是：在感覺印象之間產生某種秩序，這種秩序是通過創造一般概念、這些概念之間的關係，以及概念與感覺經驗之間的某種確定關係而產生的。正是在這個意義上，我們的感覺經驗世界才是可理解的。它是可理解的，這是一個奇蹟。 在我看來，概念的形成和關聯方式，以及如何將概念與感覺經驗對應起來，都不是先驗的。在引導我們創造這種感覺經驗的秩序時，全看理論是否成功。我們只需定下一套規則，倘若沒有這樣的規則，就不可能獲得想要的知識。這些規則與遊戲規則類似，雖然遊戲規則本身是任意的，但正是其嚴格性才使遊戲成為可能。然而，對規則的固定永遠也不會是最終的，它只有對於一個特殊的應用領域才能有效（也就是不存在康德意義上的終極範疇）。 日常思維的基本概念與感覺經驗複合體之間的關聯只通過直覺來把握，而不能由科學邏輯來規定。正是這些關聯（所有關聯都不能用概念術語來表達）將科學大廈與空洞的邏輯概念框架區分開來。藉助於這些關聯，科學的純粹概念命題就成了描述感覺經驗複合體的一般陳述。 我們將那些與典型的感覺經驗複合體直接直覺地聯繫在一起的概念稱為「原始概念」。從物理的觀點看，所有其他概念只有通過命題與原始觀念聯繫在一起時才有意義。這些命題，部分是對概念的定義（以及按照邏輯由定義推出的陳述），部分是無法由定義導出的命題，後者至少表達了「原始概念」之間的間接關係，這樣一來也表達了感覺經驗之間的間接關係。後一種命題乃是「關於實在的陳述」或自然定律，當它們被用於原始概念所涵蓋的感覺經驗時，必須顯示出有效性。至於哪些命題應被看作定義，哪些應被看作自然定律，則主要取決於所選擇的表示法。只有從物理學的觀點來考察整個概念系統在多大程度上並非空洞時，做這種區分才變得絕對必要。 科學體系的分層 科學的目標一方面是儘可能完整地理解所有感覺經驗之間的關聯，另一方面則是用最少的原始概念和關係來達到這個目標。（儘可能地尋求世界圖像中的邏輯統一性，即邏輯要素最少。） 科學使用所有原始概念（即與感覺經驗直接關聯的那些概念）以及將它們聯繫起來的命題。在第一個發展階段，科學並不包含任何別的東西。對我們的日常思維來說，這種水平大體上已經足夠。但這種情況無法滿足真正有科學頭腦的人，因為這樣得到的所有概念和關係完全缺乏邏輯統一性。為了彌補這一缺陷，人們發明了一個概念和關係較少的體系，該體系保留著「第一層」的原始概念和關係，作為可由邏輯導出的概念和關係。這個新的「第二層體系」因為有基本概念（第二層的概念）而具有更高的邏輯統一性，但不再與感覺經驗複合體有直接關聯。如果進一步追求邏輯統一性，就會得到第三層體系，為了導出第二層（以及間接導出第一層）概念和關係，該體系的概念和關係數目就更少。如此繼續下去，直到我們得到這樣一個體系，它擁有可能設想的最大統一性和最少的邏輯基礎概念，但仍然與我們的感覺經驗相容。我們不知道，這種志向最終能否讓我們得到一個明確的體系。科學家的回答往往是否定的。不過，在與這些問題角力時，他們決不輕言放棄希望，相信這個最高目標在很大程度上的確能夠實現。 抽象理論或歸納理論的擁護者也許會把各個層次稱為「不同程度的抽象」，但我並不認為掩蓋概念對於感覺經驗的邏輯獨立性是合理的。這種關係並不像湯與肉的關係，而是像點寄存牌上的數字與大衣的關係。 而且，層與層之間也沒有清楚地分開，甚至哪些概念屬於第一層也不是絕對清楚的。事實上，我們處理的是自由形成的概念，這些概念與感覺經驗複合體有直覺上的聯繫，對於實際應用有足夠的確定性，以至於在任何既定的經驗情況下，結果的有效性都是確定的。關鍵在於，要把許多與經驗接近的概念和命題表示成由儘可能窄的基礎通過邏輯推導出來的命題，而構成此基礎的正是自由選擇的基本概念和基本關係（公理）。但這種選擇的自由很特別，它完全不同於小說家的自由，倒更像是猜一個設計巧妙的字謎時的自由。猜謎者固然可以嘗試任何字作為謎底，但只有一個字才能真正解開整個字謎。相信我們的五種感官所知覺的大自然具有這樣一種巧妙字謎的特徵，這是信念問題。不過，迄今為止科學取得的成功的確給了這種信念以某種激勵。 前面所講的幾個層次對應於科學發展過程中尋求統一性的幾個階段。就終極目標而言，中間層次僅僅是暫時的，它們最終會消失。然而在我們今天的科學中，這些層次代表著問題的部分成功，它們既相互支持，又相互威脅，因為今天的概念體系包含著根深蒂固的不協調，這一點我們後面會講到。 接下來的內容旨在表明，為了達到邏輯上儘可能一致的物理學基礎，構造性的人類心靈走上了哪些道路。 二、力學以及將全部物理學基於力學的嘗試 我們的感覺經驗，以及更一般地，我們的一切經驗都有一個重要性質，那就是都有時間秩序。這種秩序引出了主觀時間的心理概念，對我們的經驗加以整理。然後，主觀時間又經由物體和空間的概念引出了客觀時間概念。我們後面會討論這些內容。 然而在客觀時間概念之前，必須先有空間概念；而在空間概念之前，又要先有物體概念。物體概念直接與感覺經驗複合體相關聯。我們已經說過，「物體」概念的典型特徵是這樣一種性質，它使我們將一種既不依賴於（主觀）時間，也不依賴於是否被我們的感官知覺到的存在性賦予物體，儘管我們覺察到它會隨時間變化。彭加勒曾經正確地強調，可以區分物體的「狀態變化」和「位置變化」，位置變化可以通過我們身體的主動運動而反過來。 有這樣一些物體，在某種知覺範圍內，我們不能把狀態變化而只能把位置變化歸於它們。這個事實對於空間概念的形成（甚至對於物體概念本身的根據）至關重要。我們稱這種物體為「准剛性的」。 如果把兩個准剛性的物體當作我們的知覺對象一同（也就是當成一個單元）考慮，那麼這個整體就有一些改變是不可能被看成整體位置的變化的，儘管這兩個組分中的每一個都發生了位置變化。這就引出了兩個物體「相對位置的變化」這個概念，由此也引出了兩個物體的「相對位置」概念。我們還發現，在不同的相對位置當中有一種特殊的相對位置，我們稱之為「接觸」。[130]兩個物體在三個或三個以上的「點」上永久接觸，就意味著它們結合成了一個準剛性的複合體。可以說，第二個物體由此形成了第一個物體的（准剛性）延展，而第二個物體又可以繼續做准剛性的延展。物體的准剛性延展可以無限繼續下去。物體B₀的所有這種可以設想的准剛性延展的全體，就是該物體所決定的無限「空間」。 在我看來，處於任意狀況的每一個物體都能與某個給定的物體B₀（參照體）的准剛性延展相接觸，這個事實就是我們空間概念的經驗基礎。在前科學思維中，堅固的地殼起著B₀及其延展的作用。「幾何學」（geometry）[131]這個名稱就暗示，空間概念與作為始終存在的參照體的地球有著心理上的聯繫。 「空間」這個大膽的概念先於一切科學上的幾何學，它把我們關於物體位置關係的心理概念轉變為這些物體在「空間」中的位置的觀念。這個概念本身代表著形式上的極大簡化。通過這個空間概念還可以得到一種態度：任何對位置的描述都隱含地是一種對接觸的描述。說物體的一個點位於空間的P點，意思是該物體在P點與標準參照體B₀（假定做了適當延展）的P點相接觸。 在希臘人的幾何學中，空間只扮演定性的角色，因為物體相對於空間的位置雖然被視為既定的，但並不是用數來描述的。笛卡爾最早引入了這種方法。用他的話說，歐幾里得幾何學的全部內容都可以公理化地建立在以下陳述的基礎上：（1）剛體上兩個定點確定一個截段。（2）可以把三個數X₁，X₂，X₃與空間的點聯繫起來，對於所考察的任何一個截段P'–P''，其端點的坐標X₁'、X₂'、X₃'，X₁''、X₂''、X₃''，表達式為： 與該物體的位置無關，也與任何其他物體的位置無關。 （正）數s被稱為截段的長度，或者空間的兩點P'和P''（這兩點與截段的點P'和P''重合）之間的距離。 我們有意選擇這樣的表述，使它不僅清楚地表達了歐幾里得幾何學的邏輯和公理的內容，而且也表達了經驗內容。對歐幾里得幾何學的純邏輯的（公理的）表示固然更為簡單清晰，但也因此而失去了概念構造與感覺經驗之間的聯繫，而幾何學對於物理學的意義完全建立在這種聯繫之上。認為先於一切經驗的邏輯必然性是歐幾里得幾何學以及屬於它的空間概念的基礎，這是一個致命的錯誤，它源於歐幾里得幾何學的公理構造的經驗基礎已經遭到遺忘。 只要能說自然中存在著剛體，歐幾里得幾何學就是一門必須由感覺經驗來證實的物理科學。它關係到一些對於剛體之間的相對位置必定永遠成立的定律的全體。可以看到，物理學中原先使用的那種物理的空間概念也與剛體的存在密切相關。 從物理學家的觀點來看，歐幾里得幾何學的核心要點在於，其定律與物體的特定性質無關，它所討論的是物體的相對位置。其形式上的簡單性由同質性和各向同性（以及諸如此類的事物的存在）來刻畫。 空間概念固然有用，但對於幾何學本身，即對於表述剛體之間相對位置的規則，卻並非不可或缺。而客觀時間的概念卻是與空間連續體的概念聯繫在一起的，沒有客觀時間的概念，就不可能表述經典力學的基礎。 客觀時間的引入涉及兩個彼此獨立的假設： 1.將經驗的時間序列與「時鐘」（即周期性重現的封閉系統）的讀數聯繫起來，引入客觀的當地時間。 2.對於整個空間中的各個事件引入客觀時間概念，只要通過這個概念，就可以把當地時間的概念擴展成物理學中的時間概念。 先來討論1。在我看來，它並不意味著一種「乞題」[132]，只要在澄清時間概念的起源和經驗內容時，把周期性重現這個概念放在時間概念之前就可以了。這種觀念恰恰對應於剛性（或准剛性）物體的概念在空間概念解釋中的優先地位。 再來討論2。相對論問世之前流行著一種錯覺，認為從經驗的觀點看，空間上分離的事件的同時性的意義，從而物理時間的意義，都是先驗自明的。這種錯覺來源於在日常經驗中可以忽略光的傳播時間。因此，我們習慣於不去區分「同時看見」和「同時發生」，結果導致時間與當地時間之間的差別被模糊了。 從經驗意義的觀點來看，這種明確性的缺乏是與經典力學的時間觀分不開的。以公理化的方式來表示與感覺經驗無關的空間和時間，掩蓋了這種不明確性。獨立於概念賴以存在的經驗基礎來使用概念並不必然會損害科學。但這很容易使人錯誤地相信，這些被遺忘了來源的概念在邏輯上是必然的，因此是不可變動的。這種錯誤可能會嚴重威脅科學的進步。 以前的哲學家始終沒有看到，客觀時間概念就其經驗解釋而言是缺乏明確性的。這對於力學的發展，因此對於一般物理學的發展是幸運的。他們完全相信空間–時間構造的實在意義，並且發展了力學的基礎，這些基礎可以扼要地表示如下： （a）質點概念：可以足夠準確地將物體——就其位置和運動而言——描述成一個點，其坐標為X₁，X₂，X₃，它（相對於「空間」B₀）的運動由作為時間函數的X₁，X₂，X₃來描述。 （b）慣性定律：一個質點距離所有其他質點足夠遠時，其加速度的各個分量就消失了。 （c）（質點的）運動定律：力=質量×加速度。 （d）力（質點之間的相互作用）的定律。 這裡，（b）僅僅是（c）的一個重要特例。只有給出了力的定律，實際的理論才能存在。為了讓一個通過力彼此關聯的質點系可以像一個質點那樣行為，這些力必須首先只服從作用與反作用相等的定律。 這些基本定律和牛頓的引力定律共同構成了天體力學的基礎。在牛頓力學中，空間B₀並不像上文所述是由剛體的延展所導出，而是包含著新的想法。對於給定的力的定律，（b）和（c）並非對於任何B₀都有效，而是只對一種具有特定運動狀態的B₀（慣性系）才有效。坐標空間由此獲得了一種獨立的物理性質，這種性質並不包含在純粹幾何的空間概念中，這又讓牛頓有了全新的想法（旋轉水桶實驗）。[133] 經典力學僅僅是一般性的方案，只有明確給出力的定律（d）才能成為一種理論，就像牛頓在天體力學方面非常成功地做到的那樣。科學家總是希望使基礎達到最大的邏輯簡單性，從這個目標來看，這種理論方法是有缺陷的，因為力的定律無法邏輯地推導出來，對力的定律的選擇是先驗的，在很大程度上甚至是任意的。牛頓的引力定律與其他可設想的力的定律的唯一區別就在於它的成功。 雖然我們今天知道，經典力學無法充當整個物理學的基礎，但它在我們的物理思考中仍然占據著核心地位。這是因為，無論自牛頓時代以來取得了什麼重大進展，我們仍然沒有找到物理學的最終基礎，由它可以邏輯地推導出所有已知現象，以及成功的部分理論體系。接下來我想簡要描述一下事情是怎樣的。 首先我們要釐清，經典力學體系在多大程度上能夠充當整個物理學的基礎。由於這裡只討論物理學的基礎和發展，我們無須關注力學在純形式方面的進展（拉格朗日方程、正則方程等）。但有一點似乎是不可或缺的。「質點」這個概念對於力學是非常基本的。對於不能當作質點來處理的物體（嚴格說來，任何「可以用感官感知的」對象都屬於這個範疇），應當如何提出一種力學呢？我們如何設想物體由質點構成以及質點之間的作用力呢？要使力學完備地描述物體，提出這個問題就是不可避免的。 在力學中，我們常常假定質點以及在質點之間起作用的力的定律是不變的，因為它們隨時間的變化無法做力學解釋。由此可以看出，經典力學必定會引入物質由原子構成這一觀念。我們現在特別清楚地意識到，相信理論是從經驗中歸納出來的，這是多麼錯誤的想法。甚至連偉大的牛頓也未能擺脫這種錯誤（「我不杜撰假說」）。 為了避免無望地專注於這種思路（原子論），科學首先以如下的方式發展。如果一個系統的勢能是其位形的函數，則該系統的力學就確定了。現在，如果作用力可以保證系統位形的某些結構性質得以維持，那麼這種位形就可以用少數幾個位形變量qr來足夠準確地描述。在這種情況下，勢能被認為只同這些變量有關（比如用六個變量來描述准剛體的位形）。 力學應用的另一種方法同樣不把物質再分為「實在的」質點，那就是所謂的連續介質力學。這種力學的典型特徵是，假想物質的密度和速度都連續地依賴於坐標和時間，而沒有明確給出的那部分相互作用可以被視為表面力（壓力），後者亦為位置的連續函數。流體動力學理論和固體彈性理論就是這樣。這些理論避免直接引入質點，而是代之以從經典力學的基礎來看只可能有近似意義的虛構。 除了有應用方面的偉大意義之外，這些科學範疇還提出了新的數學概念，創造出偏微分方程，這種形式工具對於日後尋求整個物理學的新基礎是必不可少的。 力學應用的這兩種方式都屬於所謂「唯象的」物理學。這種物理學的典型特徵是儘量使用與經驗接近的概念，但也不得不因此而犧牲基礎的統一性。熱、電和光都要用不同的狀態變量和物質常數來描述，而不能用力學量。至於這些變量的相互關係和時間關係，則主要只能由經驗來確定。麥克斯韋的許多同時代人都把這種表述方式看成物理學的終極目標，並認為物理學應當使用與經驗接近的概念，再從經驗中歸納出定律。從知識論的觀點來看，密爾和馬赫的立場大體如此。 在我看來，牛頓力學最偉大的成就在於，其一致的應用已經超越了這種唯象的觀點，特別是在熱現象方面。氣體運動論和一般的統計力學都很成功。氣體運動論將理想氣體的狀態方程、黏性、擴散、熱傳導和輻射度觀象從邏輯上聯繫起來，而從直接經驗的觀點來看，這些現象似乎毫不相干。統計力學則對熱力學的觀念和定律給出了力學解釋，由此發現了經典熱理論的概念和定律的適用範圍。這種運動論不僅在基礎的邏輯統一性上遠遠超出了唯象的物理學，而且還得出了原子和分子的明確大小。這些數值是由幾種獨立的方法分別得到的，因此是無可懷疑的。這些重大成就所付出的代價是把原子與質點對應起來，而這些東西顯然具有高度的臆測性。沒有人會指望「直接感知」原子。那些與實驗事實有更直接關係的變量（如溫度、壓力、速率）的各種定律，都是通過複雜的計算從這些基本觀念中推導出來的。這樣一來，原先更多是唯象地構造的物理學（至少是其中一部分），通過基於原子和分子的牛頓力學，都被歸結到雖然遠離直接實驗但性質上更加一致的基礎上。 三、場的概念 在解釋光和電的現象時，牛頓力學遠不如在上述領域那樣成功。誠然，牛頓試圖在其光的微粒說中把光歸結為質點的運動。但是後來，隨著光的偏振、衍射和干涉等現象的發現，微粒說不得不做出越來越多不自然的修改，惠更斯的光的波動說漸漸占了上風。當時晶體光學和聲學已經發展到一定程度，光的波動說可能本質上起源於此。應當承認，惠更斯的理論起初也是基於經典力學，無處不在的以太被視為波的載體，但任何已知現象都無法暗示以太是如何由質點構成的。支配以太的內力，以及以太與「有重」物質之間的作用力，始終沒有得到清晰認識。因此，這種理論的基礎一直模糊不清。它所依據的偏微分方程，似乎無法歸結為力學要素。 在電磁現象方面，人們再次引入了一種特殊的物質，並且假定這些物質之間存在著一種類似於牛頓引力的超距作用力。但這種特殊的物質似乎缺乏慣性這種基本性質，而且與有重物質之間的作用力仍然模糊不清。除了這些困難，這些物質的極性特徵也無法納入經典力學的框架。電動力學現象發現之後，磁現象可以用電動力學現象來解釋，於是不再需要假設磁性物質。但該理論的基礎變得更不能讓人滿意，因為現在，運動的帶電物質之間被認為存在著非常複雜的相互作用力。 法拉第和麥克斯韋的電場理論使人擺脫了這種讓人不滿意的狀況，這也許是自牛頓時代以來物理學的基礎發生的最深刻轉變。此外，這種轉變還朝著構造上的思辨邁出了一步，增加了理論基礎與感覺經驗之間的距離。事實上，只有當帶電物體出現時，場的存在才會顯示出來。麥克斯韋的微分方程把電場和磁場的空間、時間微分係數聯繫在一起。帶電物體不過是電場中散度不為零的地方罷了，而光波則是電磁場在空間中的振盪。 誠然，麥克斯韋仍然試圖用機械的以太模型來機械地解釋他的場論。但隨著赫茲對這種理論做出新的表示，清除了一切多餘的附加物，這些嘗試逐漸銷聲匿跡了。在這種理論中，場最終獲得了基礎地位，就像牛頓力學中的質點那樣。然而，這主要只適用於真空中的電磁場。 起初，物質內部的電磁場理論是非常不能令人滿意的，因為在那裡必須引入兩個電矢量，而兩種的關係依賴於介質的本性，無法做任何理論分析。關於磁場，以及電流密度與磁場之間的關係，也有類似的問題。 在這方面，洛倫茲找到了一條通往運動物體的電動力學理論的出路，或多或少避免了隨意的假定。他的理論基於以下幾個基本假說： 無論在什麼地方，包括在有重物體內部，場的載體都是真空。物質之所以參與電磁現象，僅僅是因為物質的基本粒子帶有不變的電荷，因此一方面受到有質動力的作用，另一方面又會產生場。基本粒子服從牛頓的質點運動定律。 正是以此為基礎，洛倫茲綜合了牛頓力學和麥克斯韋的場論。這個理論的缺點在於，它試圖結合偏微分方程（真空中的麥克斯韋場方程）和全微分方程（質點的運動方程）來描述現象，這種做法顯然是不自然的。其不恰當性表現在，它必須假定粒子的大小有限，以防粒子表面的電磁場變成無窮大，而且無法解釋將各個粒子上的電荷保持在一起的巨大的力。洛倫茲清楚並接受自己理論中的這些缺點，不過至少可以大體上正確地解釋各種電磁現象。 此外，還有一種考慮超出了洛倫茲的理論框架。帶電物體周圍有一個對它的慣性做出（明顯的）貢獻的磁場，難道不可能以電磁作用來解釋粒子的總慣性嗎？顯然，只有把這些粒子解釋成電磁偏微分方程的正則解，才能令人滿意地解決這個問題。然而，原有的麥克斯韋方程並不允許對粒子做這樣一種描述，因為與之對應的解包含一個奇點。理論物理學家一直試圖修改麥克斯韋方程來達到這個目標，但並沒有成功。於是，我們至今仍然無法建立物質的純電磁場理論，儘管沒有理由達不到這個目標。由於缺乏解決問題的系統方法，人們不再有勇氣朝這個方向繼續努力。不過在我看來，可以肯定的是，在任何自恰的場論的基礎中，除了場這個概念以外，粒子概念不能被額外加入。整個理論必須完全基於偏微分方程，而且它的解不能帶奇點。 四、相對論 任何歸納法都導不出物理學的基本概念。不理解這個事實是19世紀的許多研究者犯下的基本哲學錯誤。也許正是由於這個緣故，分子理論和麥克斯韋理論直到較晚的時候才確立起來。邏輯思維必然是演繹的，它基於假設的概念和公理。應當如何選擇這些概念和公理，才能確證由它們導出來的推論呢？ 最理想的情況顯然是，新的基本假說能夠由經驗世界本身暗示出來。作為熱力學的基本假說，「永動機不存在」便是由經驗暗示出來的。伽利略的慣性原理也是如此。而且，相對論的基本假說也是出於同一範疇。相對論使場論得到了意想不到的推廣，也使經典力學的基礎被取代。 麥克斯韋–洛倫茲理論的成功使人們對真空中電磁學方程的有效性深信不疑，因此特別相信光以恆定的速度c「在空間中」行進。這個光速不變的斷言是否對於任何慣性系都有效呢？如果不是這樣，那麼一個特殊的慣性系，或者更準確地說，（一個參照體的）一種特殊的運動狀態就應區別於所有其他運動狀態。然而，這似乎與所有力學的和電磁學–光學的實驗事實相矛盾。 因此，我們必須把光速不變定律對一切慣性系都有效提升為原理。由此，空間坐標x₁、x₂、x₃和時間x₄必須按照「洛倫茲變換」來變換，它由以下表達式的不變性來刻畫： （如果時間單位的選擇使光速c=1）。 通過這種程序，時間便失去了絕對性，而與「空間」坐標結合在一起，在代數上具有（近乎）類似的特徵。時間的絕對性，特別是同時的絕對性被破壞了，四維描述作為唯一恰當的描述被引入進來。 同樣，為了解釋所有慣性系對於所有自然現象都等價，必須假設所有表達一般定律的物理方程組對於洛倫茲變換都是不變的。對這個要求作出詳細闡述，正是狹義相對論的內容。 這個理論與麥克斯韋方程相容，但與經典力學的基礎不相容。雖然可以修改質點的運動方程（以及質點動量和動能的表達式），使之滿足這個理論，但相互作用力的概念以及系統的勢能概念卻失去了基礎，因為這些概念都基於絕對同時性的觀念。由微分方程決定的場取代了力。 由於上述理論只允許相互作用由場來產生，因此需要一種引力場論。事實上，提出一種能像牛頓理論那樣把引力場歸結成一個偏微分方程的標量解的理論並不困難。然而，牛頓的引力理論所表達的實驗事實卻引向了另一個方向，即廣義相對論的方向。 經典力學有一個不能讓人滿意的特徵，那就是在它的基本定律中，同一個質量常數以兩個不同的角色出現，即作為運動定律中的「慣性質量」和作為引力定律中的「引力質量」。結果，物體在純引力場中的加速度與它的材料無關；或者說，在勻加速的坐標系中（相對於一個「慣性系」加速），運動就像在一個均勻的引力場（相對於一個「不動的」坐標系）中一樣。如果假定這兩種情況完全等效，我們的理論思考就符合了引力質量等於慣性質量這一事實。 由此可知，我們原則上不再有任何理由偏愛慣性系，而且必須承認，坐標（x₁，x₂，x₃，x₄）的非線性變換也有同等地位。如果我們對狹義相對論的坐標系作這樣的變換，那麼度規 就轉換成具有如下形式的廣義（黎曼）度規： 其中gμν對於μ和ν是對稱的，是x₁，x₂，x₃，x₄的某些函數，它們既描述度規性質，又描述相對於新坐標系的引力場。 這是對力學基礎進行解釋的重大改進，但經過更加細緻的考察就會發現，它所付出的代價是，我們不再能像在原先的坐標系（沒有引力場的慣性系）中那樣，將新坐標解釋成剛體和時鐘量度的結果。 廣義相對論之路是通過以下假設實現的：這樣一種用函數gμν（即用黎曼度規）來表示空間場性質的做法也適合於一般情況，即相對於任何坐標系，度規都不會有狹義相對論的簡單的准歐幾里得形式。 現在，坐標本身不再表示度規關係，而僅僅表示坐標彼此略有不同的物體「附近」。只要沒有奇點，一切坐標變換都是容許的。只有用那些對於這個意義上的任意變換都協變的方程來表達，一般自然定律才有意義（廣義協變假設）。 廣義相對論的第一個目標是提出一個初步版本，它雖然構不成一個封閉體系，卻能以儘可能簡單的方式與「可直接觀察的事實」相聯繫。如果這種理論只限於純粹的引力力學，則牛頓的引力理論就能充當模型。這個初步版本可以這樣刻畫： 1.保留質點及其質量的概念，給出它的運動定律，也就是把慣性定律翻譯成廣義相對論的語言。該定律是一個具有測地學性質的全微分方程組。 2.牛頓的引力相互作用定律被一組能由gμν張量組成的最簡單的廣義協變微分方程組所取代。此方程組是讓縮並一次之後的黎曼曲率張量等於零（Rμν=0）而形成的。 這種表述使我們可以處理行星問題，更準確地說，它使我們能夠處理質量幾乎可以忽略不計的質點在（中心對稱的）引力場中的運動問題，這種引力場是由一個假定「靜止」的質點所產生的。它不考慮「運動的」質點對引力場的反作用，也不考慮中心質量是如何產生這個引力場的。 與經典力學的類比表明，下面的做法可以使理論完整。我們這樣來構造場方程： 其中R是黎曼曲率的標量，Tik是以唯象方式表示的物質的能量張量。選擇方程左邊，使它的散度恆等於零，於是右邊的散度也等於零，這樣便產生了偏微分方程形式的物質的「運動方程」。用來描述物質的Tik只引入了另外四個獨立的函數（比如密度、壓力和速度分量，其中速度分量之間有一個恆等式，而壓力與密度之間有一個狀態方程）。 通過這種表述，我們將整個引力力學歸結成求一個協變的偏微分方程組的解。這種理論避免了經典力學基礎的所有那些缺點。據我們所知，它足以表示天體力學觀察到的事實。然而，它就像一幢左右不對稱的建築，一側是用精緻的大理石砌成的（方程的左邊），另一側則是用劣質的木材製成的（方程的右邊）。事實上，對物質的唯象表示僅僅是一種粗糙的代用品，無法正確處理物質的所有已知性質。 在沒有有重物質和電密度的空間中，把麥克斯韋的電磁場理論與引力場理論聯繫起來並不困難。只要把真空中電磁場的能量張量代入上述方程右邊的Tik，並把真空中的麥克斯韋場方程改寫成廣義協變形式即可。在這些條件下，所有這些方程之間會有足夠多的微分恆等式，以確保它們的一致性。還要補充一句，整個方程組的這種必然的形式性質使Tik的符號可以任意選擇，這一點後來變得很重要。 人們希望理論的基礎儘可能達到最大的統一性，遂多次嘗試把引力場和電磁場納入同一幅統一的圖像。這裡必須特別提到卡魯扎和克萊因的五維理論。我認真考慮過這種可能性，覺得寧可接受原有理論的內在不一致，因為構成五維理論基礎的全部假說所包含的任意性並不比原有的理論更少。同樣的意見也可用於這種理論的投影形式，馮·丹奇克和泡利對此曾作過精心闡述。 以上討論只涉及沒有物質的場的理論。如何從這一點出發，得到關於物質原子構成的完整理論呢？這種理論必須把奇點排除在外，否則微分方程就無法完全決定總的場。廣義相對論的場論在這方面的問題與純粹的麥克斯韋理論對物質的場論表示所面臨的問題相同。 這裡，對粒子的場論構造似乎再次導致了奇點。人們同樣試圖通過引入新的場變量以及精心闡述和擴展場方程組來克服這個缺點。然而近來，我與羅森博士合作發現，上述引力場方程與電場方程最簡單的結合產生了可以表示為不帶奇點的中心對稱解（施瓦茨希爾德關於純粹引力場的著名中心對稱解，以及萊斯納關於電場及其引力作用的解）。我將在第六節簡要討論它。這樣似乎就能得到沒有附加假說的關於物質及其相互作用的純粹場論，而且除了純粹數學上的困難（儘管非常嚴重），對它作經驗檢驗不會導致別的什麼困難。 五、量子理論和物理學的基礎 我們這一代的理論物理學家正期待為物理學建立新的理論基礎，它所使用的基本概念會與迄今考察的場論概念大相徑庭。這是因為人們發現，對所謂量子現象的數學表示必須採用全新的方法。 正如相對論所揭示的，經典力學的失敗與光的有限速度（它不是無窮大）有關，另一方面，在20世紀初又發現了力學推論與實驗事實之間的其他各種不一致，這些不一致與普朗克常數h的有限大小（它不是零）有關。特別是，分子力學要求固體的熱量和（單色的）輻射密度應當隨著絕對溫度的下降而成比例地減少，然而經驗卻表明，它們的減少要比絕對溫度的下降快得多。要想對這種現象作出理論解釋，必須假定力學系統的能量不能取任意值，而只能取某些分立的值，其數學表示式總與普朗克常數h有關。而且，這種觀念對於原子論（玻爾的理論）是至關重要的。無論是否有輻射的發射或吸收，關於這些狀態彼此之間的躍遷無法給出因果定律，而只能給出統計定律。對於大約在同一時間得到認真研究的原子的放射性衰變，也可得出類似的結論。物理學家曾花了20多年時間，試圖對系統和現象的這種「量子特性」作出統一解釋，但沒有成功。大約10年前，物理學家終於用兩種完全不同的理論方法取得了成功。第一種方法歸功于海森伯和狄拉克，另一種歸功於德布羅意和薛定諤。沒過多久，薛定諤就認識到，這兩種方法在數學上是等價的。這裡我將嘗試概括出德布羅意和薛定諤的思路，因為它比較接近物理學家的思想方法，並附上一些一般思考。 首先，對於一個在經典力學意義上被指定的系統（能量函數是坐標qr以及對應動量pr的給定函數），如何為之指定一系列分立的能量值Hσ呢？普朗克常數h將頻率Hσ/h與能量值Hσ聯繫起來。因此，它足以為該系統指定一系列分立的頻率值。這讓我們想起一個事實：在聲學中，一系列分立的頻率值是與一個線性偏微分方程（對於給定的邊界條件），即與正弦的周期解相對應的。相應地，薛定諤認為自己的任務是把一個關於標量函數ψ的偏微分方程與給定的能量函數ε（qr，pr）對應起來，其中qr和時間t都是獨立變量。這樣一來，他便成功地由（對於複函數ψ）方程的周期解實際得出了統計理論所要求的能量Hσ的理論值。 誠然，不可能把薛定諤方程的一個明確解ψ（qr，t）與質點力學意義上的一種明確的運動聯繫起來。這意味著ψ函數並不能精確地決定qr與時間t的關係。然而依照玻恩的看法，ψ函數的物理意義可以解釋如下：（複函數ψ的絕對值的平方）是系統在時刻t位於qr的位形空間中所考察的那個點上的機率密度。因此，薛定諤方程的內容可以簡單但不十分精確地概括如下：它決定著系統的統計系綜的機率密度在位形空間中隨時間的變化。簡而言之，薛定諤方程決定著qr的ψ函數隨時間的變化。 必須提到，該理論在極限值會回到粒子力學的結果。若薛定諤問題的解所涉及的波長處處都很小，以至於在位形空間中一個波長的距離內，勢能的變化幾乎無限小，我們就可以在位形空間中選取一個區域G₀，雖然在任何方向都比波長大，但卻比位形空間的相關尺寸小。在這些條件下，對於初始時刻t₀，可選擇函數ψ，使它在區域G₀之外為零，並且按照薛定諤方程以如下方式變化：在以後的一段時間裡至少近似保持著這種性質，但在時刻t，區域G₀移動到另一個區域G。這樣就能近似地談論整個區域G的運動，並且用位形空間中一個點的運動來近似這種運動。於是，這種運動就與經典力學方程所要求的運動相符了。 以粒子射線進行的干涉實驗出色地證明，理論所假定的運動現象的波動特徵的確符合事實。此外，該理論還輕而易舉地證明了一個系統在外力作用下從一個量子態躍遷到另一個量子態的統計定律，而這在經典力學看來仿佛是奇蹟。這裡的外力由勢能的一些與時間有關的微小附加項來表示。在經典力學中，這些附加項只能產生微小的系統改變，而在量子力學中卻能產生任何量級的變化，無論這些變化有多大，但相應的機率卻很小，這種結果與經驗完全符合。甚至是放射性衰變的定律，該理論也能提供至少是概括性的解釋。 也許從來沒有一種理論像量子理論那樣，能為解釋和計算如此紛繁複雜的經驗現象提供一把鑰匙。但儘管如此，在尋求物理學的統一基礎時，我認為這種理論容易誘使我們誤入歧途，因為雖然只有量子理論能用力和質點這些基本概念建構出來（對經典力學的量子修正），但我相信它是對實在事物的一種不完備的描述。這種描述的不完備性必然導致定律的統計性（不完備性）。接下來我就來談談這種觀點的理由。 首先要問，ψ函數能在多大程度上描述力學系統的實際狀態？假定ψr是薛定諤方程的一系列周期解（按照能量值遞增的順序排列）。至於單個ψr在多大程度上是對物理狀態的完備描述，這個問題我暫不考慮。一個系統先是處於狀態ψ₁，對應於最低的能量ε₁，然後在有限的時間內受到小的外力擾動，那麼在稍後的某個時刻，由薛定諤方程可以得到如下形式的ψ函數： 其中cr是（復）常數。如果ψr是「歸一化的」，那麼|c₁|近乎等於1，|c₂|等等則遠小於1。我們現在會問：ψ描述了系統的真實狀態嗎？如果答案為是，我們就不得不賦予這個狀態以確定的能量ε[134]，且此能量略大於ε₁（在任何情況下都有ε₁＜ε＜ε₂）。然而，如果考慮到密立根對電荷分立本性的證明，這個假定與弗蘭克和赫茲所做的電子碰撞實驗是矛盾的。事實上，這些實驗引出了這樣的結論：介於量子值之間的能量值是不存在的。由此得知，函數ψ無法描述系統的同質狀態，而只能代表一種統計描述，其中cr表示單個能量值出現的機率。因此，情況似乎很清楚，玻恩關於量子理論的統計詮釋是唯一可能的詮釋。ψ函數不可能描述單個系統的狀態，而是涉及多個系統，或者說統計力學意義上的「系綜」。如果說除了某些特殊情形，ψ函數隻提供關於可測量量的統計數據，這不僅是因為測量操作引入了只能在統計上把握的未知要素，而且也因為ψ函數在任何意義上都不描述單個系統的狀態。不論單個系統是否受到外界的作用，薛定諤方程都決定著系綜所經歷的時間變化。 這種詮釋也消除了我和兩位同事最近證明的那個悖論，它與下面這個問題有關。 考慮由兩部分系統A和B所組成的力學系統，這兩部分系統只在有限時間內發生相互作用。假設發生相互作用前的ψ函數是已知的，則相互作用後的ψ函數由薛定諤方程決定。現在讓我們通過測量來儘可能完備地確定部分系統A的物理狀態，則根據量子力學，我們可以由所做的測量和整個系統的ψ函數來確定部分系統B的ψ函數。然而，這種確定所給出的結果卻要依賴於被測量的是A的哪個（可觀測的）物理量（比如是坐標還是動量）。既然相互作用後B只可能有一個物理狀態，而且不能認為它依賴於我們對與B分隔開的系統A所做的測量，因此可以斷言，ψ函數與物理狀態並非明確對應。幾個ψ函數與系統B的同一物理狀態的這種對應再次表明，不能把ψ函數解釋成對單個系統物理狀態的（完備）描述。這裡同樣是ψ函數與系綜的對應消除了所有困難。[135] 量子力學以這種簡單的方式提供了從一個狀態（表觀上）不連續地躍遷到另一個狀態的陳述，卻不實際描述具體過程，這與該理論不能描述單個系統而只能描述多個系統的總和有關。我們第一個例子中的係數cr在外力作用下其實變動很小。根據對量子力學的這種詮釋，我們就可以理解，為什麼這種理論很容易說明，微弱的擾動力就能使一個系統的物理狀態發生任意大小的改變。事實上，這種擾動力只會使系綜中的統計密度發生相應的微小變化，因此只會使ψ函數發生無限微弱的變化，對它的數學描述要比對單個系統所經歷的有限變化進行數學描述容易得多。當然，這種思考方式完全弄不清楚單個系統發生了什麼事情，統計進路的描述完全消除了這個謎一樣的事件。 近年來，威爾遜雲室和蓋革計數器等令人驚異的發明已經把這些單個事件帶到我們眼前。現在我要問，在這種情況下，難道真有哪位物理學家會相信，我們永遠也無法理解單個系統的這些重要變化、結構和因果關係嗎？這在邏輯上不僅可能，而且無矛盾，但與我的科學本能格格不入，我無法放棄追求更完備的觀念。 除了這些考慮，還有另一種思考也表明，量子力學所引入的方法不大可能為整個物理學提供有用的基礎。在薛定諤方程中，絕對時間和勢能扮演著決定性的角色，而由相對論已經認識到，這兩個概念在原則上是不能容許的。要想擺脫這種困難，就需要把理論建立在場和場定律而不是相互作用力的基礎上。這引導我們把量子力學的統計方法應用於場，也就是說，應用於有無窮多自由度的系統。雖然迄今為止所做的嘗試僅限於線性方程，從廣義相對論的結果可以知道這是不夠的，但即使是這樣，目前面臨的複雜性已經非常驚人。若要服從廣義相對論的要求（原則上沒有人會懷疑這種要求的合理性），複雜性肯定還會增加。 誠然，有人已經指出，鑒於一切在小尺度上出現的東西都有分子結構，可以認為引入空間–時間連續體是違反自然的。他們主張，海森伯方法的成功也許暗示，可以用一種純代數方法來描述自然，也就是從物理學中取消連續函數。但那樣一來，我們也必須原則上放棄空間–時間連續體。可以設想，人類的聰明才智有朝一日真能找到這樣的方法，不過目前，這種綱領還像空中樓閣。 毫無疑問，量子力學已經把握住了許多真理，對於未來的任何理論基礎來說，它都是一塊試金石，因為它必須能作為極限情況從那個基礎中推導出來，就像靜電學能從麥克斯韋電磁場方程中推導出來，或者熱力學能從經典力學中推導出來一樣。但我不相信量子力學能作為尋求這種基礎的出發點，就像不能相反地從熱力學（關係到統計力學）出發找到力學的基礎一樣。 考慮到這種情況，認真考慮場物理學的基礎是否無論如何都無法與量子現象協調起來，就顯得完全合理了。採用目前的數學工具，難道不是只有以場論為基礎，才能適應廣義相對論的要求嗎？今天的物理學家往往認為，這種嘗試是沒有希望的，這種信念也許來源於一個沒有根據的看法，即認為這種理論在一級近似中必須導出粒子運動的經典力學方程，或者至少要導出全微分方程。事實上，到目前為止，所有以場來描述粒子的理論都含有奇點，我們無法就這些粒子的行為先驗地說出任何東西。但有一件事情是確定的：如果一種場論可以不帶奇點地描述粒子，那麼這些粒子隨時間的行為就完全由場的微分方程來決定了。 六、相對論與粒子 我現在要表明，根據廣義相對論，場方程存在著不帶奇點的解，可以解釋為代表粒子。這裡我只限於中性粒子，因為在最近發表的與羅森博士合作的另一篇論文中，我已經詳細討論了這個問題，而且因為在這種情況下，問題的實質可以完整地顯示出來。 引力場完全由張量gμν描述。在三指標符號Γσμν中也出現了逆變張量gμν，它被定義為gμν的子行列式除以行列式g(=|gαβ|)。要使Rik能被定義且有限，不僅連續體每一點的鄰近都要有一個坐標系，在這個坐標系中，gμν及其一階微分係數是連續和可微的，而且行列式g必須處處不為零。但如果用g²Rik=0來代替微分方程Rik=0，那麼最後一個限制就不再需要，因為方程左邊是gik及其導數的有理整函數。 這些方程有施瓦茨希爾德給出的中心對稱解： 這個解在r=2m處有一個奇點，因為dr²的係數（即g11）在這個超曲面上變成無限大。但如果用下列方程定義的ρ來代替變量r： 我們就得到 這個解對於ρ的所有值都是正則的。對於ρ=0，dr²的係數（即g44）也等於零，由此固然可以推出行列式g等於零，但根據我們實際採用的場方程的寫法，這並不構成奇點。 如果ρ從－∞變到＋∞，則r就從＋∞變到r=2m，然後又回到＋∞。而當r＜2m時，並沒有對應的ρ的實數值。因此，通過把物理空間表示成沿著超曲面ρ=0（也就是r=2m）相接觸的兩個相同的「薄片」，在這個超曲面上，行列式g等於零，施瓦茨希爾德解就成了一個正則解。我們把兩個（相同的）薄片之間的這種連接稱為「橋」。於是，有限區域內兩個薄片之間的這種橋的存在就對應於物質中性粒子的存在，這種粒子可以用不帶奇點的方式來描述。 解決中性粒子的運動問題，顯然就相當於發現引力方程（寫成不帶分母的形式）的包含多個橋的解。 由於「橋」本質上是分立的，因此，上述觀念先驗地對應於物質的原子論結構。我們還看到，中性粒子的質量常數m必然為正，因為沒有一個不帶奇點的解能與m是負值的施瓦茨希爾德解相對應。只有考察多橋問題才能表明，這種理論方法能否解釋為什麼自然界的粒子具有相等的質量，以及能否說明量子力學已經如此美妙地理解的那些事實。 以類似的方式也可以表明，引力方程與電方程相結合（在引力方程中恰當選取電的部分的正負號）會產生對帶電粒子的不帶奇點的橋表示。在這種解當中，最簡單的是無引力質量的帶電粒子的解。 只要沒有克服與多橋問題的解相關的巨大的數學困難，從物理學家的觀點來看，就不能說這種理論有什麼用處。但事實上，它第一次嘗試以場論對物質的性質作出一致的解釋。這種嘗試的另一個優點是，它所基於的是今天已知最簡單的相對論性場方程。 總結 物理學構成了一個不斷演化的邏輯思想系統，它的基礎無法用歸納法從經驗中提取出來，而只能靠自由發明而得到。這種系統的正當性（真理內容）在於導出的命題可以用感覺經驗來證實，而感覺經驗與基礎的關係只能直覺地把握。物理學的演化使邏輯基礎變得越來越簡單。為了進一步接近這個目標，我們必須容許邏輯基礎越來越遠離經驗事實，而從基礎到那些與感覺經驗相關聯的導出命題的思想道路，也變得越來越艱難和漫長了。 我們的目標是儘可能簡要地概述基本概念的發展及其與經驗事實的關係，以及為達到系統的內在完美性而付出的努力。這些考慮旨在闡明在我看來目前的事態。（扼要的歷史闡述難免會有主觀色彩。） 我試圖表明，物體、空間、主觀時間和客觀時間這些概念是如何彼此關聯以及與我們的經驗相關聯的。在經典力學中，空間和時間概念是相互獨立的。在這個基礎中，物體概念被質點概念所取代，從而使力學從根本上成為原子論的。在試圖使力學成為整個物理學的基礎時，光和電產生了無法克服的困難。由此我們被引到電的場論，隨後又嘗試把物理學完全建立在場的概念的基礎上。這種嘗試引出了相對論（空間和時間概念演化成有度規結構的連續體的概念）。 此外我還試圖表明，為什麼我認為量子理論似乎無法為物理學提供恰當的基礎：若把理論的量子描述當成對單個物理系統或事件的完備描述，就會陷入矛盾。 另一方面，場論尚不能解釋物質的分子結構和量子現象。但我已經表明，相信用場論的方法無法解決這些問題，這乃是基於偏見。 [129]載《富蘭克林研究所學報》（The Journal of the Franklin Institute, Vol. 221, No. 3. March, 1936）。 [130]事物的本性決定我們只能通過自己創造的概念來談論這些物體，而這些概念本身是無法定義的。然而重要的是，我們使用的概念與我們的經驗無疑是對應的。——作者注 [131]「geometry」一詞的字面意思是測地術。——譯者注 [132]「乞題」（petitio principii），即「以假定作為論據來辯論」，它與循環論證高度相關但並不完全一樣。——譯者注 [133]只有找到一種對所有B₀都有效的力學，才能消除該理論的這個缺陷。這是通向廣義相對論的一個步驟。第二個缺陷在於，牛頓力學本身解釋不了質點的引力質量與慣性質量相等，這同樣要通過引入廣義相對論才能消除。——作者注 [134]因為根據相對論的一個已經充分證實的結論，一個靜止的完整系統的能量等於它的整個慣性，而這必須有確定的值。——作者注 [135]例如，對A的測量會涉及向較小系綜的躍遷。後者（因此它的ψ函數）依賴於對系綜的這種縮小所根據的是哪種觀點。——作者注 理論物理學的基礎[136] 科學試圖將我們雜亂無章的感覺經驗與邏輯一致的思想體系對應起來。在這種體系中，個別經驗與理論結構的對應關係必須是唯一且令人信服的。 感覺經驗是給定的，而解釋感覺經驗的理論卻是人為的，是極其艱苦費力的適應過程的結果：假設性的，永遠不會有最終結論，始終受到質疑和挑戰。 形成概念的科學方法與我們日常生活中使用的方法之間的區別不是根本上的，而只在於概念和結論有更精確的定義，實驗材料的選擇更加謹慎和有系統性，以及邏輯上更加經濟。最後這一點指的是，努力將所有概念和關係都歸結為儘可能少的邏輯上獨立的基本概念和公理。 我們所說的物理學包括這樣一組自然科學，它們的概念建立在測量的基礎上，其概念和命題可以作數學表述。相應地，我們全部知識中能用數學方式來表達的部分就被界定為物理學的領域。隨著科學的進步，物理學領域已經大大擴張，似乎只受方法本身界限的限制。 物理學有很大一部分研究是致力於發展物理學的各個分支，每一個分支都旨在對有限範圍的經驗做理論上的理解，而且每個分支的定律和概念都儘可能與經驗保持密切的聯繫。這門科學不斷地專門化，在過去幾個世紀裡使實際生活發生了革命，使人類有可能從辛苦勞動的重負中解放出來。 另一方面，從一開始就一直有人試圖找到所有這些學科的統一的理論基礎，它由最少的概念和基本關係所組成，使各門學科的所有概念和關係都能邏輯地推導出來。這就是我們尋求整個物理學基礎的意義所在。深信這個終極目標可以達到，是鼓舞研究者熱情投入的主要源泉。因此，下面專門來討論物理學的基礎。 由前所述可以清楚地看到，這裡所謂的「基礎」與建築物的基礎並不相似。當然，從邏輯上看，物理學的各個定律都建立在這種基礎上。建築物會被風暴或洪水嚴重毀壞，而基礎卻安然無恙，然而在科學中，邏輯基礎受到的來自新經驗或新知識的威脅卻總是大於與實驗接觸更為密切的分支。理論基礎的重大意義就在於它與各個部分都有聯繫，但其最大的危險也正在於面臨任何新因素。然而，在所謂物理學的革命時代，其基礎的改變並沒有那麼頻繁和徹底，這是為什麼呢？ 牛頓的工作第一次試圖奠定統一的理論基礎。他的體系可以歸結為以下幾個概念：（1）具有不變質量的質點；（2）任何兩個質點之間的超距作用；（3）質點的運動定律。嚴格說來，並不存在包含一切的基礎，因為它所列出的明確定律只針對引力的超距作用，而對於別的超距作用，除了作用與反作用相等這條定律，並沒有先驗地確立任何東西。此外，牛頓本人也充分意識到，空間和時間作為具有物理效力的因素，是其體系的關鍵要素，但他對此並未明說。 事實證明，這種牛頓基礎是卓有成效的，直到19世紀末一直被視為最終的。它不僅給出了天體運動最詳細的細節，還給出了關於分立質量和連續質量的力學理論、對能量守恆原理的簡單解釋，以及完整而出色的熱理論。在牛頓體系中，對電動力學事實的解釋是比較勉強的，而自始至終最不能讓人信服的就是光的理論。 牛頓不相信光的波動說是不足為奇的，因為這種理論極不適合他的理論基礎。假定空間中充滿了一種由質點組成的介質，傳播光波卻不顯示任何其他力學性質，這在牛頓看來必定非常不自然。恆定的傳播速度、干涉、衍射、偏振等支持光的波動性的最有力的經驗證據，當時要麼還不知道，要麼還未整理清楚。因此他堅持光的微粒說是有道理的。 在19世紀，這場爭論以波動說的勝利而告終。但人們並未對物理學的力學基礎產生認真的懷疑，這首先是因為沒有人知道到哪裡還能找到另一種基礎。只是在無法抗拒的事實壓力下，才慢慢發展出一種新的物理學基礎，即場物理學。 從牛頓時代起，超距作用理論就一直被認為是不自然的。不少人曾力圖通過一種運動論，即基於假設質點的碰撞力來解釋引力。但這些嘗試都淺嘗輒止，無果而終。空間（或慣性系）在力學基礎中扮演的奇特角色已被清晰地認識到，並且受到了馬赫的犀利批判。 法拉第、麥克斯韋和赫茲帶來了偉大的變革，事實上這種變革多半是在不自覺的甚至違反當事人意願的情況下實現的。這三個人終其一生都認為自己是力學理論的信徒。赫茲發現了電磁場方程的最簡單形式，並宣稱任何導出這些方程的理論都是麥克斯韋理論。然而在他短暫的一生即將結束時，他寫了一篇論文，提出物理學的基礎是一種擺脫了力的概念的力學理論。 法拉第的思想可以說是我們從小就在攝取的養料食糧，它的偉大和大膽是怎樣形容都不為過的。對於要把電磁現象歸結為帶電粒子之間超距作用的種種嘗試，法拉第必定以準確無誤的直覺看出了它們的人為性。散布在一張紙上的許多鐵屑，怎麼會知道附近導體中有帶電粒子在到處跑呢？所有這些帶電粒子似乎共同在周圍空間中創造了一種狀態，讓鐵屑排成某種秩序。這些空間狀態今天被稱為場，他深信，如果正確掌握了它們的幾何結構和相互依存的作用，就可以找出神秘的電磁相互作用的線索。他把這些場設想為一種充滿空間的介質中的機械應力狀態，類似於彈性膨脹體中的應力狀態。因為在當時，這是設想空間中連續分布狀態的唯一可能的方式。從法拉第時代的力學傳統來看，在背後為這些場保留獨特的力學解釋，這是對科學良知的某種安慰。藉助於這些新的場概念，法拉第成功地對他和前人發現的全部電磁效應形成了定性的概念。麥克斯韋對這些場的時間–空間定律給出了精確的表述。當他用自己建立的微分方程，證明電磁場以偏振波的形式以光速傳播的時候，該是怎樣的感覺啊！世上很少有人有如此幸運。在那個激動人心的時刻，他肯定猜不到，光的謎一般的本性似乎已經完全解決，竟還會繼續困擾以後好幾代人。與此同時，物理學家花了好幾十年時間才理解了麥克斯韋發現的全部意義，他的天才迫使其同行必須在觀念上做出大膽的跳躍。直到赫茲用實驗證明了麥克斯韋電磁波的存在之後，對新理論的抗拒才告一段落。 但如果電磁場可以作為一種波獨立於物質源而存在，那麼就再也不能把靜電的相互作用解釋成超距作用了。既然電的作用是如此，那麼引力的情況也是如此。牛頓的超距作用處處都讓位於以有限速度傳播的場。 現在，牛頓的基礎只剩下受運動定律支配的質點了。但湯姆遜指出，按照麥克斯韋的理論，運動的帶電物體必定具有磁場，磁場能量正好是物體增加的動能。既然一部分動能是由場能組成的，難道全部動能就不能由場能組成嗎？作為物質的基本屬性，慣性或許能用場論來解釋呢？這就引出了用場論來解釋物質的問題，其解答可望提供對物質原子結構的解釋。人們很快就意識到，麥克斯韋的理論無法實現這個綱領。從那以來，許多科學家都曾熱情地試圖通過某種推廣，來尋求一種包含物質理論的完整場論。但迄今為止，這些努力都沒有成功。要想構造一種理論，僅僅目標明確是不夠的，還必須有一種形式觀點，對無窮多種可能性加以充分限制。到目前為止，這種觀點還沒有找到，因此場論還沒有成功地為整個物理學提供基礎。 數十年來，大多數物理學家都堅信可以找到麥克斯韋理論的力學基礎。但由於他們的努力沒有獲得令人滿意的結果，人們漸漸承認，新的場概念是不可還原的基本要素。換句話說，物理學家不得不放棄力學基礎的想法。 於是，物理學家持一種場論綱領。但它不再能被稱為基礎，因為誰也不敢說是否有一種一致的場論既能解釋引力，又能解釋物質的基本組分。在這種情況下，有必要把物質粒子看成服從牛頓運動定律的質點。洛倫茲在創建其電子理論和運動物體電磁現象理論時，使用的就是這種方法。 這就是世紀之交時基本概念的情況。當時，對於全部新現象的理論洞察和認識取得了巨大進展，但物理學統一基礎的建立卻似乎遙遙無期。這種事態又因為隨後的發展而更加惡化。20世紀物理學的發展可以由相對論和量子論這兩個本質上相互獨立的理論體系來刻畫。這兩個體系並不直接相牴觸，但似乎很難融合成統一的理論。接下來我想簡要討論這兩個體系的基本觀念。 相對論是在世紀之交時，為了在邏輯經濟性上改進物理學的基礎而產生的。所謂的狹義相對論基於一個事實，即在洛倫茲變換下，麥克斯韋方程（因此真空中光的傳播定律）變換成同一形式的方程。麥克斯韋方程的這種形式上的性質可由一項十分可靠的經驗知識來佐證：物理定律對於一切慣性系都相同。由此引出結論，洛倫茲變換（用於空間和時間坐標）必定支配著慣性系之間的轉換。因此，狹義相對論的內容可以用一句話來總結：所有自然定律都必須對於洛倫茲變換協變。由此得知，兩個相隔事件的同時性並不是固定不變的概念，剛體的大小和時鐘的快慢都與運動狀態有關。另一個推論是，一旦物體速度接近光速，就需要修改牛頓運動定律。它還導出了質能等效原理，質量守恆與能量守恆合為一個定律。一旦表明同時性是相對的，與參照系有關，物理學的基礎就不再可能保留超距作用了，因為這個概念是以同時的絕對性為前提的（即必須能夠說出兩個相互作用的質點「在同一時刻」所處的位置）。 廣義相對論的起源是，試圖解釋一個從伽利略和牛頓時代就已知曉，但一直無法做任何理論解釋的事實：物體的慣性和重量本身是兩種完全不同的東西，卻用同一個常數（質量）去度量。由這種對應性可以得知，不可能通過實驗來發現某個坐標系究竟是在加速，還是在做勻速直線運動，而觀察到的結果是由引力場引起的（這就是廣義相對論的等效原理）。一旦引力進入，它就粉碎了慣性系的概念。這裡需要指出的是，慣性系是伽利略–牛頓力學的一個弱點，因為它預先假定物理空間有一種神秘的性質，限制著慣性定律和牛頓運動定律在其中成立的那種坐標系。 這些困難可以通過以下假設來避免：對自然定律的表述須使其形式對於任何運動狀態的坐標系都相同。做到這一點正是廣義相對論的任務。另一方面，由狹義相對論可以推出，時間–空間連續體中存在著黎曼度規，按照等效原理，它既描述了引力場，又描述了空間的度規性質。若假定引力的場方程是二階微分方程，場定律就可以確定下來。 和牛頓力學一樣，場物理學也把獨立的物理性質賦予了空間，這些性質一直因為使用慣性系而被掩蓋起來。廣義相對論使場物理學擺脫了無能為力的狀態。但還不能宣稱，廣義相對論的那些今天可被視為定論的部分，已為物理學提供了完整而令人滿意的基礎。首先，理論中出現的場是由兩個邏輯上無關的部分組成的。其次，和以前的場論一樣，該理論尚未提出關於物質原子結構的解釋。這種失敗或許與它至今無法理解量子現象有些關係。為了理解量子現象，物理學家被迫採用了全新的方法，現在我們就來討論這些方法的基本特徵。 1900年，在純理論研究的進程中，普朗克做出了一項非常引人注目的發現：作為溫度函數的物體輻射定律，不能只由麥克斯韋的電動力學定律推導出來。為了得到與有關實驗相一致的結果，必須把特定頻率的輻射當成由一些能量原子所組成，單個能量原子的能量為hν，其中h是普朗克的普適常數。隨後幾年又發現，光處處都以這種能量子的形式被產生和吸收。特別是，尼爾斯·玻爾大體上理解了原子的結構，他假定原子只能有分立的能量值，原子之間不連續的躍遷與這種能量子的發射或吸收有關。這有助於說明，元素及其化合物在氣態時為什麼只輻射和吸收某些特定頻率的光。所有這些現象都無法在先前的理論框架中得到解釋。至少在原子論現象的領域中，任何事物的特徵顯然都由分立狀態以及它們之間不連續的躍遷所決定，普朗克常數h扮演著決定性的角色。 下一步則是德布羅意邁出的。他問自己，藉助於現有的概念，如何來理解分立的狀態呢？他想起了與駐波的類比，比如在聲學中，風琴管和弦的固有頻率就是如此。誠然，這裡要求的波動作用類型是未知的，但用普朗克常數h可以把它們構造出來，提出它們的數學定律。德布羅意設想，電子圍繞原子核旋轉與這種假想的波列有關，並通過對應波的停駐特徵來理解玻爾「容許」軌道的分立特徵。 既然力學中質點的運動是由作用於它們的力或力場來決定的，因此可以預期，那些力場也會以類似的方式來影響德布羅意的波場。薛定諤表明了如何解釋這種影響，他用一種巧妙的方法重新解釋了經典力學的某些公式。他甚至成功地拓展了波動力學理論，以至於無須引入任何附加假說，它就能運用於由任意多個質點（即擁有任意多個自由度）組成的任何力學系統。這之所以可能，是因為由n個質點組成的力學系統在數學上基本等價於一個在3n維空間中運動的單個質點。 基於這種理論，用其他理論似乎完全無法理解的大量事實都得到了很好的解釋。但奇怪的是，事實證明，這些薛定諤波竟然無法與質點的明確運動聯繫起來，而這畢竟是整個構造原本的目標。 這個困難似乎是無法克服的，直到玻恩以意想不到的簡單方式克服了它。不能把德布羅意–薛定諤的波場解釋成對一個事件如何在時間和空間中實際發生的數學描述，儘管它們與這個事件當然是有關係的。毋寧說，它們是對我們關於該系統實際上所能知道的東西的數學描述，它們只能用來在統計上陳述和預測我們對該系統所能做的所有測量的結果。 讓我用一個簡單的例子來說明量子力學的這些一般特徵。考慮一個質點，它被有限強度的力限制在一個有限的區域G內。若質點的動能低於某一界限，那麼根據經典力學，質點永遠也無法離開區域G。然而根據量子力學，一段無法直接預測的時間過後，該質點卻能沿一個不可預測的方向離開區域G，逃入周圍的空間。按照伽莫夫的說法，這個例子就是放射性蛻變的簡化模型。 對這個例子的量子理論處理如下：在時刻t₀，薛定諤的波系統完全在區域G內。但從時刻t₀往後，這些波沿四面八方離開區域G內部，離開波的波幅要小於G內波系統的初始波幅。外面的波越是擴散，G內的波幅就越是減小，後來從G發出的波的強度也相應地減小。只有經過無限的時間，G內的波才耗盡，而外面的波則擴散到越來越大的空間中。 但這種波動過程與我們原本關心的對象，即起初包圍在G內的粒子有什麼關係呢？要回答這個問題，必須設想某種裝置，讓我們能對該粒子進行測量。例如，設想周圍空間的某處有一塊螢幕，粒子一碰到它就會粘住。於是，根據撞擊屏上某一點的波的強度，就能推斷粒子當時撞擊屏上那一點的機率。粒子一撞擊屏上某一點，整個波場就失去了全部的物理意義。它的唯一目的就是對粒子撞擊螢幕的位置和時間（或者撞擊螢幕時的動量）作出機率預測。 其他例子也是類似。該理論的目標是確定某一時刻對系統進行測量所得結果的機率。但它並不試圖對空間和時間中實際存在或發生的事情作出數學描述。在這一點上，今天的量子理論與之前的所有物理學理論都有根本不同，無論是機械論的理論還是場的理論。它不對實際的空間–時間事件作出模型描述，而是對可能的測量給出作為時間函數的機率分布。 必須承認，新的理論構想並非憑空杜撰，而是源於經驗事實的強迫力。迄今為止，所有通過直接訴諸空間–時間模型來描述光和物質現象中顯示的粒子特徵和波動特徵的努力都以失敗而告終。海森伯已經令人信服地表明，從經驗的觀點看，由於實驗儀器的原子論結構，我們不可能對自然的嚴格決定論結構做出判斷。因此，希望未來的知識能迫使物理學再度放棄目前的統計性理論基礎，而支持能直接處理物理實在的決定論的理論基礎，也許是做不到的。從邏輯上講，這個問題似乎提供了兩種可能性，我們原則上必須在兩者之間進行選擇。最終的選擇取決於哪種描述的邏輯基礎最簡單。目前，我們完全沒有任何決定論的理論既能直接描述事件本身，又能與事實符合。 我們暫時不得不承認，物理學還沒有任何一般的理論基礎可以被當作其邏輯基礎。到目前為止，場論在分子領域已經失敗。各方都同意，唯一可能充當量子理論基礎的原理將能把場論翻譯成量子統計學的形式。至於這最終能否讓人滿意，現在誰也不敢說。 包括我自己在內的一些物理學家都不相信，我們必須永遠放棄那種直接描述空間和時間中的物理實在的想法，或者說必須接受這樣一種觀點，認為自然中的事件就像靠碰運氣取勝的遊戲。每個人都可以自由選擇努力的方向，每個人也都可以從萊辛的一句名言中得到慰藉：追尋真理比占有真理更可貴。 [136]載《科學》（Science, Washington, D. C. May 24, 1940）。 科學的共同語言[137] 通向語言的第一步是將聲音或其他可交流的符號與感覺印象聯繫起來。至少在一定程度上，所有群居的動物很可能已經實現了這種原始的交往。語言發展的更高階段是引入另一些符號，在表示感覺印象的符號之間建立起關係，並為人所理解。在這個階段已經可以表達一連串較為複雜的印象，可以說語言已經產生了。如果說語言要讓大家理解，那麼一方面符號之間的關係必須有規則，另一方面，符號與印象之間必須有穩定的對應。使用同一種語言的人在童年時期主要靠直覺來把握這些規則和關係。當人們意識到符號之間的規則時，所謂的語法就建立起來了。 在早期階段，詞可以直接對應於印象。在後來的階段，由於某些詞只有與其他詞連用時才能表達知覺之間的關係（比如「是」「或」「事物」這樣的詞），這種直接的關聯就消失了。此時，指稱知覺的是詞組，而不是單詞。當語言由此變得部分獨立於印象背景時，其內在的融貫性就變得更大了。 只有進一步發展，經常使用所謂的抽象概念時，語言才成為真正意義上的推理工具。但也正是這種發展，使語言成為錯誤和欺騙的危險來源。詞和詞的組合在多大程度上對應於印象世界，能完全決定語言的效果。 語言為什麼與思維有這樣一種密切關聯呢？是不是不使用語言就沒有思維，也就是說，在不一定需要想到詞的概念和概念組合中，是不是就沒有思維呢？我們每個人不是都有過這樣的經歷，雖然「事物」之間的關係已經清楚，但還是要絞盡腦汁琢磨詞的使用嗎？ 如果一個人不受周圍語言的指引就能形成自己的概念，我們就可能傾向於認為，思維活動是完全獨立於語言的。然而，在這種情況下成長起來的人的心智能力很可能非常貧乏。因此可以斷言，一個人的心智發展和形成概念的方式在很大程度上取決於語言。這使我們意識到，語言相同多多少少就意味著心智相同。在這個意義上，思維和語言是聯繫在一起的。 科學語言和我們通常理解的語言有何不同呢？科學語言為何是國際性的呢？科學追求儘可能清晰敏銳地描述概念之間的關係以及概念與感覺材料的對應。讓我們以歐幾里得幾何和代數的語言為例來說明這一點。它們以少數獨立引入的概念和符號進行操作，比如整數、直線、點，以及表示基本運算的符號，也就是那些基本概念之間的關聯。這是構造或定義所有其他陳述和概念的基礎。概念和陳述與感覺材料之間的關聯是通過足夠完善的計數和測量活動而建立的。 科學概念和科學語言的超國家性，緣於它們是由一切國家、一切時代最優秀的人建立起來的。他們獨自進行著研究，但從最後的結果來看又像是通力合作，為技術革命創造了精神工具，在過去的幾個世紀改變了人類的生活。他們的概念體系在雜亂無章的知覺中充當著嚮導，使我們學會從特殊觀察中把握一般真理。 科學方法帶給人類哪些希望和恐懼呢？我並不認為這是正確的提問方式。這種工具在人類手中會產生什麼，完全取決於人類追求什麼樣的目標。一旦有了這些目標，科學方法就會提供實現目標的手段。但它提供不了目標本身。科學方法本身不會把我們引到任何地方，若不是熱忱地追求清晰的理解，科學方法甚至根本就不會產生。 在我看來，完美的手段和混亂的目標似乎是這個時代的典型特徵。如果我們真誠熱情地追求安全、幸福，希望所有人的才能都能得到自由發展，那麼我們並不缺少實現這個目標的手段。這樣的目標即使只有一小部分人追求，最後也會證明比別的目標更好。 [137]1941年9月28日為倫敦科學大會錄製的廣播，發表於《科學的進展》（Advancement of Science, London, Vol. 2, No.5）。 E=MC2[138] 為了理解質能等效定律，我們必須回到在相對論之前的物理學中占有很高地位的兩條彼此獨立的守恆原理或「平衡」原理，那就是能量守恆原理和質量守恆原理。前者早在17世紀就由萊布尼茨提出，到了19世紀則本質上作為力學原理的推論發展起來。 以單擺為例，擺錘在A、B兩點之間來回擺動。質量為m的擺錘在這兩點比路程中最低的點C高出h（見圖1）。另一方面，雖然在C點，升起的高度消失了，但擺錘卻有了速度v。就好像升起的高度可以完全轉變成速度似的，反之亦然。兩者之間的精確關係可以表示成，其中g代表重力加速度。有趣的是，這個關係與擺長以及擺錘運動路徑的形狀都無關。 圖1 愛因斯坦博士手繪圖 重要的是，在整個過程中有某種東西保持不變，那就是能量。在A處和B處，它是位置的能量或「勢」能，在C處，它是運動的能量或「動」能。如果這個概念是正確的，那麼無論擺處於什麼位置，都應具有同樣的值，其中h是超過C的高度，v是在擺的路徑上那一點上的速度。實際情況也的確如此。將這條原理推廣即得到機械能守恆定律。但如果摩擦使擺停下來呢？ 答案是在研究熱現象時找到的。這項研究假定熱是一種從較熱物體流向較冷物體的不可毀滅的物質，由此似乎引出了一條「熱守恆」原理。但另一方面，自古以來人們就知道摩擦可以生熱，比如印第安人就懂得鑽木取火。物理學家曾經長期無法說明這種熱的「產生」，直到後來得知，由摩擦產生的熱必須消耗同等數量的能量時，困難才得以克服。這樣我們就得到了「功熱相當」原理。拿擺這個例子來說，機械能逐漸由摩擦轉化成熱。 這樣一來，機械能守恆原理與熱能守恆原理就合二為一了。於是物理學家相信，守恆原理能進一步擴充，將化學過程和電磁過程也包括進去，簡而言之，將守恆原理應用於一切領域。我們的物理系統似乎有一個能量總和，無論經歷什麼變化都保持不變。 現在談談質量守恆原理。質量被定義為物體對其加速度的反抗（慣性質量）。它也可以由物體的重量來量度（重力質量）。這兩個完全不同的定義卻導出物體有相同的質量，這真是令人驚訝。根據質量守恆原理，即無論發生任何物理變化或化學變化，物體的質量都保持不變，質量似乎是物質的根本（因為固定不變）性質。加熱、融化、汽化或結合成化合物，都不會改變總質量。 直到數十年前，物理學家都還接受這條原理。但在面對狹義相對論時，它卻顯得不再恰當，因此它與能量守恆原理合併，就像大約60年前，機械能守恆原理與熱守恆原理合併一樣。也許可以說，能量守恆原理曾經吞併了熱守恆原理，現在又吞併了質量守恆原理，從而獨占整個領域。 我們習慣上用公式E=mc²來表示質能等效（儘管不太精確），其中c代表光速，約為每秒300000公里，E是靜止物體所含的能量，m是它的質量。質量m所含的能量等於這個質量乘以光的巨大速度的平方，也就是說，每單位的質量都含有巨大的能量。 但如果每一克物質都含有這樣巨大的能量，為什麼長期以來沒有人注意到呢？答案非常簡單：只要沒有能量向外釋放，就不會觀察到。就好比一個非常有錢的人，他從來不花錢也不捐錢，就沒有人知道他究竟多有錢。 現在可以把這種關係反過來，說能量增加E，必定伴隨著質量增加。很容易把能量給物體，比如把它加熱10度，那為什麼不去測量與這種變化相關的質量增加或重量增加呢？這裡的麻煩在於，在質量增加中，分數分母里出現了巨大的因子c²。在這種情況下，質量的增加太小了，無法直接測量，即使最靈敏的天平也測不出來。 要使質量增加到能被測量出來，每單位質量的能量變化必須非常巨大。我們只知道有一個領域，每單位質量會釋放出這麼多能量，那就是放射性蛻變。簡要地說，這個過程如下：質量為M的原子分裂成質量分別為M'和M"的兩個原子，它們分開時各自具有巨大的動能。如果設想讓這兩個原子靜止下來，也就是將動能取走，那麼合起來看，它們的能量會比原來的原子少得多。根據質能等效原理，蛻變產物的質量之和M' + M"必定也小於原來的質量M，這與舊的質量守恆原理相矛盾，兩者的相對差值約在千分之一的數量級。 雖然我們無法實際稱量出單個原子的重量，但卻有間接方法可以精確測量出它們的重量。我們同樣也能測定傳給蛻變產物M'和M"的動能，這樣就有可能檢驗和確證質能等效公式。而且，這條定律也能使我們從精確測定的原子量，預先計算出任何原子蛻變會釋放出多少能量。當然，這條定律並沒有告訴我們蛻變反應能否發生或者如何發生。 藉助於那個有錢人的例子可以說明上述情況。原子M是一個有錢的守財奴，終其一生都不花一分錢（能量）。但在遺囑中，他將財產留給了兩個兒子M'和M"，條件是回饋給社會少量的錢，數目不超過全部財產（能量或質量）的千分之一。兩個兒子的錢加在一起要比父親少些（質量之和M'+M"比放射性原子的質量略小）。回饋社會的那部分雖然相對較小，但也已經非常巨大（作為動能來看），以致帶來了嚴重的禍害威脅。避免這種威脅已經成為我們這個時代最緊迫的問題。 [138]載《科學畫刊》（Science Illustrated, New York, April, 1946）。 論廣義引力論[139] 《科學美國人》的編輯要我談談最近發表的工作成果，就是關於場物理學基礎的數學研究。 有些讀者可能會納悶，我們在學校里不是已經學過物理學的基礎嗎？根據解釋的不同，可以回答「是」或「不是」。我們熟知的概念和一般關係使我們能夠理解很大範圍的經驗，並且用數學來處理這些經驗。在某種意義上，這些概念和關係甚至可能是最終的，比如光的折射定律，建立在壓力、體積、溫度、熱和功等概念基礎上的經典熱力學關係，以及永動機不存在的假說，都是如此。 那麼，是什麼迫使我們設計出一個又一個理論呢？我們究竟為什麼要設計理論呢？後一問題的答案簡單說來就是：因為我們喜歡「理解」，即通過邏輯過程把現象歸結為某種已知的或（看起來）明顯的東西。當我們碰到不能用現有的理論「解釋」的新事實時，首先就需要新理論。但這種建立新理論的動機可以說是平凡的，是從外面強加的。還有一種更加微妙的動機也同樣重要，那就是追求整個理論前提的統一和簡化（即馬赫的經濟原理，它被視為一條邏輯原則）。 對理解的熱情就像對音樂的熱情一樣。許多小孩子都有那種熱情，但多數人長大後就失去了。如果沒有這種熱情，就不會有數學和自然科學。對理解的熱情一再導致一種幻覺，以為人無須任何經驗基礎，就可以通過純粹的思想——簡而言之通過形上學——來理性地理解客觀世界。我相信每一位真正的理論家都是一種溫順的形上學家，無論他自認為是多麼純粹的實證主義者。形上學家相信，邏輯上簡單的東西也是實在的東西。溫順的形上學家相信，並非所有邏輯上簡單的東西都能在經驗到的實在中體現出來，但基於一個建立在最簡單前提之上的概念體系，所有感覺經驗都能得到「理解」。懷疑論者會說這是「奇蹟信條」，但科學的發展已經有力地證實了這個「奇蹟信條」。 原子論的興起是一個很好的例子。留基伯是如何想出這個大膽觀念的呢？水結成冰時，看起來與水完全不同，然而冰融化之後，又成了與原來的水一模一樣的東西，這是為什麼呢？留基伯對此感到困惑，並尋求「解釋」。他不得不得出結論：在這些轉變中，事物的「本質」沒有任何變化。也許事物是由不變的粒子組成的，變化只是它們在空間上的重新排列罷了。所有以近乎相同的性質反覆出現的物體，難道不也是這樣的嗎？ 這個觀念在西方思想的漫長休眠中並未完全消失。留基伯之後兩千年，伯努利好奇為什麼氣體會對容器壁施加壓力。這應當用牛頓力學意義上氣體各部分的相互排斥來「解釋」嗎？這個假說看起來很荒謬，因為在其他情況不變時，氣體壓力與溫度有關。而假定牛頓的相互作用力與溫度有關，這違反了牛頓力學的精神。既然伯努利知道原子論概念，他必然會斷言，原子（或分子）與容器壁碰撞，從而產生了壓力。畢竟，必須假定原子在運動，否則如何解釋氣體的溫度變化呢？ 簡單的力學考察表明，這種壓力只依賴於粒子的動能和它們在空間中的密度。這應當使當時的物理學家得出結論：熱是由原子的無規則運動造成的。倘若真能認真對待這種考慮，熱理論的發展本應大大加快，特別是發現熱與機械能的等效。 這個例子可以說明兩點。理論觀念（這裡是原子論）並非脫離經驗而獨立產生；它也不能靠純邏輯的程序從經驗中推導出來，而是創造性活動的產物。一旦獲得理論觀念，不妨堅持它，直到引出站不住腳的結論為止。 至於我最近的理論工作，我認為尚不適合向對科學有興趣的廣大讀者作詳細說明。只有那些已經得到經驗充分確證的理論才應當那樣做。到目前為止，有利於這個理論的主要是其前提的簡單性以及與已知事實（即純引力場定律）的密切關聯。不過，廣大讀者也許有興趣了解這種極富思辨性的努力是經由何種思路導出的。此外還將表明，我們碰到了什麼類型的困難，這些困難在何種意義上得到了克服。 在牛頓物理學中，對物體的理論描述所基於的基本理論概念是質點或粒子。於是，物質被先驗地看作是不連續的，質點彼此之間的作用也就必然被視為「超距作用」。由於「超距作用」的概念顯得與日常經驗格格不入，與牛頓同時代的人（也包括牛頓自己）自然覺得很難接受它。然而，由於牛頓體系取得了驚人的成功，接下來幾代物理學家已經習慣於超距作用的觀念。久而久之，任何懷疑都被淹沒了。 但在19世紀後半葉，人們知道了電動力學定律，結果無法將這些定律令人滿意地納入牛頓體系。這不禁引人深思：倘若法拉第受過正規的大學教育，他會發現電磁感應定律嗎？他不受傳統思維方式的拖累，覺得把「場」當作一個獨立的實在要素引入進來，可以幫助他整理經驗事實。麥克斯韋完全理解了場概念的意義，他做出了一項基本發現，即電動力學定律可以在電磁場的微分方程中得到自然表達。這些方程暗示著波的存在，其特性對應於當時已知的光的特性。 像這樣把光學納入電磁理論是物理學的基礎邁向統一的重大勝利。早在被赫茲的實驗工作確證之前很久，麥克斯韋就通過純粹的理論論證而達到了這種統一。這種新的看法使人們有可能拋棄超距作用的假說，至少是在電磁現象領域。居間的場現在像是物體之間電磁相互作用的唯一載體，而場的行為則完全取決於用微分方程來表達的鄰近過程。 現在問題來了：既然場即使在真空中也存在，那麼應當把場理解成「載體」的一種狀態，還是應當賦予它一種不能歸結為任何別的東西的獨立存在性呢？換句話說，是否存在一種負載著場的「以太」呢？例如，以太在負載光波時，被認為處於波動狀態。 這個問題有一個自然的答案：既然場的概念不可或缺，所以最好不要另外引入帶有假說性質的載體。然而，最早認識到場概念不可或缺的那些開拓者，仍然深陷機械論的思想傳統，無法毅然決然地接受這種簡單的觀點。不過在接下來的幾十年里，這種觀點不知不覺被採納了。 把場作為基本概念引入進來，使整個理論產生了不一致性。麥克斯韋理論雖然能恰當描述帶電粒子之間的相互作用，卻不能解釋電密度的行為，也就是說，無法提供粒子本身的理論。因此，必須基於舊理論把這些粒子當作質點來處理。連續場的觀念與在空間中不連續的質點的觀念相結合，似乎是不一致的。一致的場論要求所有理論要素都是連續的，不僅在時間上，而且在空間上，以及在空間的所有點上。因此，物質粒子無法作為場論的基本概念。因此，即使不考慮引力尚未包括進來，也不能認為麥克斯韋的電動力學是完備的理論。 如果空間坐標和時間都服從一種特殊的線性變換——洛倫茲變換，那麼真空的麥克斯韋方程就保持不變（對於洛倫茲變換的「協變性」）。當然，對於由兩個或兩個以上這種變換所組成的變換，協變性也成立，這被稱為洛倫茲變換的「群」性質。 麥克斯韋方程蘊涵著「洛倫茲群」，但洛倫茲群並不蘊涵麥克斯韋方程。事實上，可以獨立於麥克斯韋方程，將洛倫茲群定義成使某個特殊速度——光速——的值保持不變的線性變換群。這些變換適用於從一個「慣性系」向另一個相對於它作勻速運動的慣性系的過渡。此變換群最明顯的新奇特性在於，它拋棄了空間上彼此分離的事件的同時性概念的絕對性。因此可以期待，所有物理方程對於洛倫茲變換都是協變的（狹義相對論）。於是，由麥克斯韋方程引出了一條啟發性原理，其有效性遠遠超出了這些方程本身的適用範圍甚至是有效範圍。 狹義相對論與牛頓力學有一個共同點，兩種理論的定律據信都只適用於某些坐標系，即所謂的「慣性系」。慣性系的運動狀態使得「不受力」的質點相對於這個坐標系沒有加速度。然而，如果沒有獨立的方法來確認力不存在，這個定義就是空洞的。但如果把引力看作一種「場」，這種確認方法就不存在了。 設A是一個相對於「慣性系」I做勻加速運動的系統。但凡相對於I不是加速的質點，相對於A都是加速的，所有質點的加速度的大小和方向都相同。其行為就好像相對於A存在著一個引力場，因為引力場的一個典型特徵就是，加速度與物體的特性無關。沒有理由不將這種行為解釋成「真」引力場的作用（等效原理）。這種解釋意味著A是一個「慣性系」，即使它相對於另一個慣性系是加速的。（對這個論證來說至關重要的是，引入獨立的引力場被認為是合理的，即使產生這個場的質量並未得到界定。因此，這個論證對牛頓來說不會有什麼說服力。）於是，慣性系、慣性定律和運動定律等概念都失去了具體意義，不僅在經典力學中，在狹義相對論中也一樣。而且，循著這個思路走下去就會看到，相對於A，時間不能用相同的時鐘來測量，甚至連坐標差也失去了直接的物理意義。考慮到所有這些困難，人們難道不應堅持慣性系概念，不再嘗試對引力現象的基本特徵（在牛頓體系中表現為慣性質量與引力質量等效）作出解釋嗎？凡是相信自然可以理解的人，一定會回答：不。 這正是等效原理的要點：為了說明慣性質量與引力質量的相等，理論中必須允許四個坐標的非線性變換。也就是說，洛倫茲變換群和因此「容許的」坐標系集，必須加以擴展。 那麼，什麼樣的坐標變換群能夠替代洛倫茲變換群呢？根據高斯和黎曼的基礎研究，數學提供了一個答案：合適的替代者是坐標的一切連續（解析的）變換群。在這些變換下，保持不變的僅僅是，鄰近的點有近乎相同的坐標；坐標系只表達了點在空間中的拓撲秩序（包括它的四維特徵）。表示自然定律的方程，對於坐標的一切連續變換都必須是協變的。這就是廣義相對性原理。 剛才講的這套做法克服了力學基礎的一個缺陷。牛頓已經注意到了這個缺陷，萊布尼茨和兩百年後的馬赫都曾批評過，那就是：慣性抵抗加速度。但這是相對於什麼的加速度呢？在經典力學的框架中，唯一的回答是：慣性抵抗相對於空間的加速度。這是空間的一種物理性質——空間作用於物體，物體卻不作用於空間。這也許就是牛頓主張「空間是絕對的」的更深含義。但這種觀念引起了一些人特別是萊布尼茨的不安，他並不認為空間是獨立存在的，而是認為，空間僅僅是「事物」的一種性質（物體的鄰近性）。即使他的這些合理懷疑當時能夠勝出，也很難說就有益於物理學，因為把他的觀念探究到底所需的經驗基礎和理論基礎在17世紀尚不存在。 根據廣義相對論，抽掉任何物理內容的空間概念並不存在。空間的物理實在由一個場來表示，場的分量是四個獨立變量——空間和時間的坐標——的連續函數。正是這種特殊的依賴性表達了物理實在的空間特徵。 既然廣義相對論意味著用一個連續的場來表示物理實在，粒子或質點概念甚至是運動概念就不能起基礎作用了。粒子只能表現為空間中場強或能量密度特別高的有限區域。 相對性理論必須回答兩個問題：（1）場的數學特徵是什麼？（2）適用於這種場的方程是什麼？ 關於第一個問題：從數學的觀點來看，坐標變換時場的各個分量的變換方式本質上決定了場的特徵。關於第二個問題：在滿足廣義相對論假設的同時，這些方程必須充分決定場。至於這種要求能否得到滿足，取決於選擇何種類型的場。 初看起來，試圖基於這種高度抽象的綱領來理解經驗材料之間的關聯幾乎毫無希望。事實上，這種做法等於問：在堅持廣義相對性原理的情況下，什麼最簡單的對象（場）必須具有什麼最簡單的性質？從形式邏輯的立場來看，且不說「簡單」這個概念的模糊性，問題的雙重性就已經像是災難。而從物理學的立場來看，沒有什麼東西可以保證「邏輯簡單的」理論便是「真的」。 然而，任何理論都有思辨性。當理論的基本概念比較「接近於經驗」時（比如力、壓力、質量等概念），其思辨性不大容易識別出來。但如果某種理論需要運用複雜的邏輯過程，才能從前提中推出可觀察的結論，那麼任何人都能意識到這種理論的思辨性。在這種情況下，那些對認識論分析沒有經驗的人，以及在熟知的領域覺察不到理論思維的不可靠性的人，幾乎不可避免會感到厭惡。 另一方面也必須承認，如果理論的基本概念和基本假說「接近於經驗」，則該理論就有重大優勢，對它懷有更大信心就是理所當然的。完全走錯路的危險比較小，因為由經驗來否證這種理論所花的時間精力要少得多。但隨著知識深度的增加，在追求物理理論基礎的邏輯簡單性和統一性時，我們必須放棄這種優勢。必須承認，在放棄「接近於經驗」的基本概念來獲得邏輯簡單性方面，廣義相對論已經超出了之前的物理理論。引力理論已經是如此，試圖包括所有場性質的新的推廣就更是如此了。在這個廣義的理論中，從理論前提導出可與經驗材料對應的結論，其中的程序非常困難，至今還沒有得出這樣的結果。目前支持該理論的是它的邏輯簡單性和「剛性」，這裡的「剛性」是指該理論非對即錯，且不可修改。 妨礙相對論發展的最大內在困難是問題的雙重性，就像剛才問的兩個問題所指明的那樣。這種雙重性說明了為什麼這種理論分兩個階段發展，而且相隔那麼久。第一個階段是引力理論，它基於前面討論的等效原理，並且依賴於以下考慮：根據狹義相對論，光有恆定的傳播速度。如果光從真空中的一點出發，該點由三維坐標系中的坐標x₁，x₂，x₃表示，它在時刻x₄以球面波傳播，在時刻x₄+dx₄到達鄰近點（x₁+dx₁，x₂+dx₂，x₃+dx₃）。引入光速c，可以寫出表示式： 它也可寫成這樣的形式： 這個表示式代表四維時空里兩個鄰近點之間的一種客觀關係。只要坐標變換僅限於狹義相對論，它就對一切慣性系都有效。但根據廣義相對性原理，如果允許坐標任意連續變換，這種關係就有了更一般的形式： 其中gik是坐標的某種函數，若進行連續的坐標變換，它們會以確定的方式變換。依據等效原理，這些gik函數描述一種特殊的引力場，一種可以通過「無場」空間的變換而得到的場。gik滿足特殊的變換法則，從數學上被稱為一個「張量」的分量，張量擁有在一切變換中都保持的對稱性。這種對稱性可以表達如下： gik=gki 這引起了如下想法：即使場不能僅僅通過坐標變換得自於狹義相對論的真空，我們難道就不能賦予這樣一個對稱張量以客觀意義嗎？雖然不能指望這種對稱張量能夠描述最一般的場，但它完全可以描述「純引力場」這種特殊情況。於是，至少對一個特殊情況而言，廣義相對論顯然必須假設一個對稱張量場。 因此還剩下第二個問題：對於一個對稱張量場，能夠假定何種廣義協變的場定律呢？ 在我們這個時代，這個問題並不難回答，因為必要的數學概念是現成的，那就是一個世紀前由高斯創立的曲面的度規理論，後來被黎曼擴展到任意維數的流形上。這種純形式研究有許多驚人的成果。對於gik，能被假定為場定律的微分方程不能低於二階，也就是說，它們必須至少包含gik對於坐標的二階導數。假定場定律中沒有出現高於二階的導數，那麼廣義相對性原理在數學上就決定了場定律。這個方程組可以寫成如下形式： Rik=0 Rik的變換方式和gik一樣，也會形成一個對稱張量。 只要將物體表示為場的奇點，這些微分方程就完全取代了牛頓的天體運動理論。換句話說，它們既包含運動定律，又包含力的定律，同時消除了「慣性系」。 物體以奇點形式出現，暗示物體本身不能由對稱的gik場或「引力場」來解釋。甚至連只存在正引力物體這個事實，也無法從這個理論中推導出來。顯然，完備的相對論性場論必須基於更複雜的場，也就是對稱張量場的一種推廣。 在考察這種推廣之前，有兩點與引力理論有關的看法對於接下來的解釋至關重要。 第一點看法是，廣義相對性原理對理論的可能性施加了極為嚴格的限制。如果沒有這條限制性的原理，幾乎不可能有人找到引力方程，甚至用狹義相對性原理也找不到，即使知道必須用對稱張量來描述場。除非採用廣義相對性原理，否則無論積累多少事實也導不出這些方程。這就是為什麼在我看來，若非從一開始就讓基本概念符合廣義相對性，任何更深入認識物理學基礎的努力都註定沒有希望。這種情況使我們很難用經驗知識（無論多麼全面）來尋找物理學的基本概念和關係，它迫使我們大量運用自由思辨，遠超目前大多數物理學家所能接受的程度。我看不出有任何理由要假定廣義相對性原理只對引力有啟發意義，而物理學的其餘部分可以基於狹義相對論來分開處理，並希望日後整個物理學可以被一致地納入廣義相對論的方案。我不認為這種態度有客觀的合理性，儘管從歷史上看是可以理解的。我們今天已知的引力效應比較小，但這絕非在基礎理論研究中可以忽視廣義相對性原理的決定性理由。換句話說，我不認為提出這樣的問題是正當的：如果沒有引力，物理學會是什麼樣子？ 我們必須注意的第二點是，引力方程是對稱張量gik的十個分量的十個微分方程。在非廣義相對論的理論中，若方程的數目等於未知函數的數目，則系統通常不會被過度決定。這些解使得在通解中，有一定數目的三變量函數可以任意選取。在廣義相對論的理論中，這不能被視作理所當然。坐標系的自由選取意味著，在一個解的十個函數（或場的分量）中，能通過適當選取坐標系而讓四個函數有規定的值。換句話說，廣義相對性原理意味著，由微分方程決定的函數數目不是10，而是10–4=6。對於這六個函數，只能假定有六個獨立的微分方程。在引力場的十個微分方程中，應當只有六個是彼此獨立的，其餘四個必須通過四個關係（恆等式）與那六個相聯繫。在十個引力方程的左邊Rik當中，的確存在著四個恆等式——「畢安基恆等式」——保證了這十個方程的「相容性」。 當場變量的數目等於微分方程的數目時，如果方程可由變分原理得到，那麼相容性總是可以保證的。引力方程的情況就是如此。 然而，十個微分方程不能完全由六個微分方程所取代。這個方程組的確被「過度決定」了，但由於這些恆等式的存在，這種過度決定並不會使它的相容性消失，也就是說，這些解不會受到嚴格限制。引力方程蘊含著物體的運動定律，這與這種（允許的）過度決定密切相關。 做了這番準備之後，不必深入數學細節就可以理解目前研究的本質了。問題在於建立關於總場的相對論性理論。解決它的最重要的線索是，對於純引力場這種特殊情況，解已經存在了。因此，我們正在尋求的理論必定是引力場理論的推廣。第一個問題是：什麼是對稱張量場的自然推廣？ 這個問題不能單獨回答，而必須同另一個問題一起回答，那就是：要對這種場做怎樣的推廣，才能提供最自然的理論體系？目前討論的理論所基於的回答是：對稱張量場必須由一個非對稱張量場來取代。這就意味著，場分量必須放棄gik=gki的條件。在那種情況下，場就有十六個而不是十個獨立分量了。 餘下的任務是建立非對稱張量場的相對論性微分方程。在嘗試解決這個問題時，我們碰到了對稱場所沒有的困難。廣義相對性原理並不足以完全確定場方程，這主要是因為，場的對稱部分的變換定律並不包含反對稱部分的分量，反之亦然。也許這就是以前幾乎沒有嘗試過場的這種推廣的原因。只有在這個理論的形式體系中總場起作用，而不是對稱部分和反對稱部分分別起作用，才能表明將場的這兩部分結合起來是自然程序。 結果是，這個要求的確能以自然的方式得到滿足。但即使是這個要求與廣義相對性原理合起來，仍然不足以唯一地確定場方程。我們還記得，這個方程組必須滿足另一個條件，即方程必須相容。前面提到，如果這些方程能由變分原理推導出來，這個條件就得到了滿足。 這的確已經做到了，儘管不像對稱場的情況那麼自然。發現能以兩種不同方式做到這一點，讓人感到不安。這些變分原理提供了兩個方程組，讓我們記作E₁和E₂，它們彼此不同（儘管相差甚微），各自都有不完美之處。結果，甚至連相容性條件也不足以唯一地確定這個方程組。 事實上，正是E₁和E₂這兩個方程組的形式缺陷暗示了一條可能的出路。存在著第三個方程組E₃，它沒有E₁和E₂這兩個方程組的形式缺陷。E₃代表兩者的結合，E₃的每一個解也都是E₁和E₂的解。這暗示，E₃也許就是我們一直在尋找的方程組。那麼，為什麼不假設E₃就是這個方程組呢？如果不做進一步的分析，這種做法並不妥當，因為E₁的相容性和E₂的相容性並不蘊涵較強的方程組E₃的相容性，E₃的方程數目比場的分量多四個。 撇開相容性問題不談，獨立的考量表明，較強的方程組E₃是引力方程唯一真正自然的推廣。 但E₃並不是一個相容的方程組，E₁和E₂這兩個方程組的相容性由足夠數目的恆等式來保證，這意味著，每一個對明確的時間值滿足這些方程的場都有一個連續的廣延，代表四維空間中的一個解。然而，E₃方程組卻不能以同樣方式擴展開。用經典力學的語言來說，在方程組E₃的情況下，「初始條件」不能自由選擇。真正重要的是回答這樣一個問題：方程組E₃的解是否必須和對物理理論的要求同廣延呢？這個純數學問題至今尚未解決。 懷疑論者會說：「從邏輯的觀點看，這個方程組也許是合理的。但這並不能證明它符合自然。」親愛的懷疑論者，您是對的。唯有經驗才能判定真理。但如果我們已經成功地提出一個有意義的嚴謹問題，我們就算有所成就了。無論已知的經驗事實有多麼豐富，證實或駁斥都不會容易。從方程中導出可與經驗對應的結論需要艱苦的努力，也許還需要新的數學方法。 [139]發表於《科學美國人》（Scientific American, Vol. 182, No.4. April,1950）。 致義大利科學促進會的賀信[140] 首先，衷心感謝你們邀請我參加「科學促進會」的會議。倘若健康允許，我很樂意接受這次邀請。在目前的情況下，我只能遠隔重洋從家裡發來一封簡短的賀信。我這樣做，並非幻想我有什麼真知灼見，能夠增進大家的見解。但我們生活在一個內外交困、紛亂不安的時代，它是如此缺乏明確目標，僅是表白信念或許就有意義，儘管和所有價值判斷一樣，這些信念無法通過邏輯演繹來證明。 這裡立刻就出現了一個問題：追求真理，或者更謙虛地說，通過構造性的邏輯思想去理解這個可以認識的宇宙，是否應當作為我們工作的獨立目標？抑或，追求真理是否應當從屬於其他目標，比如從屬於某個「實用的」目標？這個問題不能基於邏輯來決定。然而，只要此決定出自深摯而堅定的信念，就會對我們的思想和道德判斷產生很大影響。那麼就讓我作一告白：對我自身而言，努力獲得更深入的見識和理解是一些獨立目標之一，倘若沒有這些目標，有思想的人就不會秉持積極自覺的生活態度。 我們追求理解的本質就在於：一方面，它試圖包含紛繁複雜的人類經驗；另一方面，它又尋求基本假設的簡單和經濟。考慮到我們的科學知識還處於原始狀態，認為這兩個目標可以並存只是出於信念。倘若沒有這種信念，我就不可能堅信知識的獨立價值。 從事科學工作的人所秉持的這種類似宗教的態度，對其整個人格也會產生影響。對於科學人來說，除了積累的經驗和邏輯思維的規則所提供的知識，原則上沒有什麼權威可以把自己的決定和說法宣稱為「真理」。這便導致了悖謬的狀況：科學家致力於研究客觀事物，但從社會的觀點來看，他卻淪為極端的個人主義者，至少在原則上，他除了自己的判斷什麼也不信。幾乎可以斷言，思想上的個人主義與科學時代在歷史上是同時出現的，而且至今形影不離。 也許有人會說，就像古典經濟學中的「經濟人」一樣，這裡描繪的「科學人」只不過是一種抽象，實際上並不存在於這個世界上。但在我看來，要不是古往今來有許多人已經非常接近這種理想，今天的科學就不可能出現並持續下去了。 當然，並不是每一個學會使用似乎是「科學的」工具和方法的人，都是我心目中的科學人。我僅指心中真正持有科學精神的人。 那麼，今天的科學人作為社會成員的地位如何呢？顯然，他非常自豪科學家的工作幾乎完全淘汰了體力勞動，徹底改變了人類的經濟生活。但另一方面，他又感到憂慮，因為科學研究成果已經落入盲目追求政治權力的人手裡，從而對人類構成了威脅。他意識到，他的工作所造就的技術方法已經導致政治經濟權力集中在少數人手中，他們漸漸完全支配了日益渙散的大眾的生活。更糟糕的是，政治經濟權力集中在少數人手中不僅使科學人產生經濟依附，而且也威脅他的精神獨立。在思想和精神上施加種種不當影響，會阻礙真正獨立人格的發展。 因此，正如我們親眼所見，科學人遭遇到一種真正悲慘的命運。他通過超乎尋常的努力，真心誠意地追求思想的清晰和內心的獨立，結果卻造出了被用來奴役他、又從內心毀滅他的工具。那些掌握著政治權力的人使他不得不噤若寒蟬。作為士兵，他不得不犧牲自己的生命和消滅別人的生命，儘管他確信這種犧牲是荒謬愚蠢的。他清楚地知道，普遍的毀滅不可避免，因為歷史的發展已經使經濟、政治和軍事的全部權力都集中在國家手中。他也認識到，只有創建一種基於法律的超國家制度來永久消滅武力手段，人類才能獲得拯救。但科學人卻自甘墮落，居然把國家強加給他的奴役當作不可避免的命運接受下來，甚至俯首帖耳地幫助完善註定會毀滅全人類的工具。 難道科學家真的無法逃脫嗎？他真的必須容忍和遭受所有這些侮辱嗎？他以內心的自由和思想研究的獨立所喚醒的時代，那個曾經使他有機會啟迪同胞、豐富生命的時代，難道真的一去不復返了嗎？把工作過分置於理智的基礎上，豈不是忘記了他的責任和尊嚴嗎？我的回答是：一個天生自由和嚴謹的人固然可以被消滅，但這樣的人絕不可能被奴役，或者被用作盲目的工具。 如果今天的科學人能有時間和勇氣，誠懇認真地思考自己的處境和面臨的任務，並相應地採取行動，那麼目前危險的國際局勢就可望找到合理妥善的解決辦法。 [140]致1950年在盧卡舉辦的義大利科學促進會第42屆會議的賀信，以英文發表於聯合國教科文組織的期刊《影響》（Impact，Autumn，1950）。 在哥白尼逝世410周年紀念會上的講話[141] 今天，我們懷著愉快和感激之情來紀念一個人，對於使西方從教權和學術統治的枷鎖中解放出來，他的貢獻也許比任何人都要大。 誠然，在古希臘時期就已經有一些學者相信，地球不是世界的自然中心。但這種對宇宙的理解在古代並未得到真正認可。亞里士多德和希臘天文學派繼續堅持地心觀念，幾乎沒有人提出過質疑。 要想令人信服地闡明日心觀念的優越性，不僅要掌握在那個時代不易得到的天文學事實，還必須擁有罕見的思想獨立性和直覺。哥白尼的這項偉大成就不僅鋪平了通往近代天文學的道路，也使人類的宇宙觀發生了重大變革。一旦認識到地球不是世界的中心，而只是一顆小小的行星，以人類為中心的幻覺也就站不住腳了。因此，哥白尼通過他的工作和偉大的人格教導人類要謙卑。 沒有一個民族可以為他們中間出了這樣一個人而驕傲。因為民族驕傲是一種非常狹隘的癖好，在哥白尼這樣內心獨立的人面前是毫無道理的。 [141]1953年12月在紐約哥倫比亞大學紀念會上的講話。 相對性和空間問題[142] 牛頓物理學的典型特徵是，除了物質，空間和時間也有獨立的實際存在性，這是因為牛頓的運動定律中出現了加速度的概念。但是在這種理論中，加速度只可能指「相對於空間的加速度」。因此，要使牛頓運動定律中出現的加速度能被看成一個有意義的量，就必須把牛頓的空間看成「靜止的」或至少是「非加速的」。對於同樣進入加速度概念的時間而言，情況也是類似。牛頓本人以及當時最具批判性的人都感到，認為空間本身和空間的運動狀態都具有物理實在性是令人不安的；但為使力學具有明確的意義，當時沒有其他出路。 把物理實在性一般地歸於空間尤其是空的空間，的確是一種過分的要求。自古以來的哲學家已經一再拒絕做這樣的苛求。笛卡爾大體上是這樣論證的：空間與廣延本質上是同一的，但廣延是與物體相聯繫的，因此沒有物體就沒有空間，亦即沒有空的空間。這個論證的弱點主要在於：他認為廣延概念起源於我們放置固體或使固體接觸的經驗，這一點固然是對的，但不能由此推出，廣延概念在不能形成廣延概念的情況下就是不合理的。對概念的這樣一種推廣的合理性也可以通過它對於理解經驗的價值來間接證明。因此，斷言廣延與物體相聯繫本身肯定是沒有根據的。不過我們後面會看到，廣義相對論迂迴地確證了笛卡爾的看法。笛卡爾之所以能夠得出他那非同尋常的看法，必定是由於感覺到，除非迫不得已，我們不應認為像空間這樣無法「直接體驗」[143]的東西具有實在性。 空間概念的心理起源或這一概念的必然性絕非我們通常認為的那樣明顯。古代幾何學家處理的是思想對象（直線、點、面），而沒有像解析幾何後來所做的那樣真正處理空間本身。不過經由某些原始經驗，空間概念仍然容易被人想到。假定我們造了一個箱子。我們可以按照某種方式把物體排列在箱子裡，將它裝滿。這種排列的可能性是箱子這個物體的屬性，這是某種隨箱子而給定的東西，是被箱子「包圍的空間」。這個「被包圍的空間」因不同的箱子而異，我們很自然地認為它在任何時候都不依賴於箱子裡面是否有物體存在。當箱子裡面沒有物體時，箱子的空間似乎就是「空的」。 到目前為止，我們的空間概念是與箱子聯繫在一起的。然而，構成箱子空間的存放可能性並不依賴於箱壁的厚薄。難道不能把箱壁厚度縮減為零而又不使這個「空間」消失嗎？這樣一種極限過程當然是很自然的。於是我們的思想中就有了一個沒有箱子的空間，一種自存的東西；雖然如果我們忘記這個概念的起源的話，它會顯得很不實在。我們看到，認為空間不依賴於物體而且可以沒有物質而存在，這與笛卡爾是格格不入的。[144]（但這並沒有妨礙他在其解析幾何中把空間作為基本概念來處理。）當人們指出水銀氣壓計中的真空時，肯定已經消除了最後一批笛卡爾主義者的疑慮。但不可否認，即使在這個原始階段，空間概念或者被視為獨立的實在之物的空間就已經不太令人滿意了。 用何種方式能把物體置於空間（箱子）之中是三維歐幾里得幾何學的研究對象，後者的公理結構很容易使人忘記它所涉及的仍然是可以實現的情況。 如果空間概念是按照上述方式形成的，並且從「填滿」箱子的經驗推論下去，那麼這個空間首先是一個有界的空間。但這種有界性似乎是無關緊要的，因為我們似乎總能用一個較大的箱子把較小的箱子包含進去。這樣看來，空間又像是某種無界的東西。 這裡我不準備討論關於空間的三維性和「歐幾里得性」的觀念如何能夠追溯到（較為原始的）經驗，而是先從其他角度考察一下空間概念在物理思想發展過程中所起的作用。 當一個小箱子s在一個大箱子S空的空間內部處於相對靜止時，s的空的空間就是S的空的空間的一部分，把這兩個空的空間包括進去的同一個「空間」屬於這兩個箱子。然而，當s相對於S運動時，這個概念就不那麼簡單了。那樣一來，人們就傾向於認為s總是包圍著同一空間，不過是空間S的一個可變部分。這樣就需要為每一個箱子分配其特殊的（被認為無界的）空間，並且假定這兩個空間彼此做相對運動。 在這種複雜狀況引起注意之前，空間就像是物體在其中游來游去的一種有界的介質（容器）。但現在必須認為，有無限多個空間彼此做相對運動。認為空間是一種不依賴於物質的客觀存在，這種概念已經屬於前科學思想，而認為存在著無限多個做相對運動的空間卻並非如此。後一觀念雖然在邏輯上是不可避免的，但在科學思想中遠未起過重要作用。 那麼，關於時間概念的心理起源又是什麼情況呢？時間概念無疑是與「回憶」聯繫在一起的，而且也與感覺經驗和對這些感覺經驗的回憶之間的區分相聯繫。感覺經驗與回憶（或純粹的想像）之間的區分是否在心理上被我們直接把握到，這一點本身就是有疑問的。每一個人都有過這樣一種體驗，即懷疑某件事是真正通過感官經驗到的，抑或僅僅是一個夢。這種區分的產生可能最初緣於創造秩序的心靈的一種活動。 「回憶」是與一個經驗聯繫在一起的，此經驗與「當下經驗」相比是「較早的」。這是一種關於（被思想的）經驗的概念排序原則，而實現這個原則的可能性就產生了主觀的時間概念，即關於個人經驗秩序的時間概念。 那麼，時間概念是如何變得客觀的呢？讓我們思考一個例子，甲（「我」）有一個「打閃了」的經驗，同時甲還體驗到乙的這樣一種行為，它將乙的行為與他本人的經驗「打閃了」聯繫起來。這樣甲就把「打閃了」的經驗歸於乙。甲會認為其他人也參與了「打閃了」的經驗。現在，「打閃了」不再被理解成完全個人的經驗，而是理解成其他人的經驗（或者最終僅僅理解成一種「潛在經驗」）。這樣就產生了這樣一種理解：「打閃了」原本是作為「經驗」進入意識的，現在也被理解成一個（客觀的）「事件」了。當我們談到「實在的外部世界」時，所指的就是所有事件的總和。 我們已經看到，我們感到必須為經驗規定這樣一種時間次序：如果β遲於α，而γ又遲於β，則γ也遲於α（「經驗次序」）。在這方面，我們已經與經驗聯繫起來的「事件」的情況又如何呢？初看起來，似乎顯然可以假定事件的時間次序是存在的，它與經驗的時間次序是一致的。人們一般已經不自覺地作出了這個假定，直到產生懷疑為止。[145] 為使世界客觀化，還需要有一種建設性的觀念：事件不僅位於時間中，而且也位於空間中。 前面我們試圖描述空間、時間和事件諸概念如何能在心理上與經驗聯繫起來。從邏輯上說，這些概念都是人類理智的自由創造，是思維的工具，它們能把經驗聯繫在一起，以便更好地看清楚這些經驗。嘗試認識這些基本概念的經驗起源，應當表明我們實際上在多大程度上受這些概念的約束。這樣我們就可以意識到我們的自由，在必要的情況下理智地運用這種自由總是一件困難的事情。 關於空間－時間－事件諸概念（我們將把它們簡稱為「類空」概念，以有別於心理學領域的概念）的心理起源，我們還要補充一些重要內容。我們曾用箱子和在箱內排列物體的例子把空間概念與經驗聯繫起來。因此，這種概念形成已經預設了物體（如「箱子」）的概念。同樣，在這方面人也起著物體的作用，要想形成客觀時間概念就必須引入人。因此在我看來，物體概念的形成必須先於我們的時間空間概念。 與痛苦、目標和目的等心理學領域的概念一樣，所有這些類空概念已經屬於前科學思想。和一般自然科學思想一樣，現在物理思想的特點是力求原則上只用「類空」概念來說明事物，努力用這些概念來表達一切具有定律形式的關係。物理學家試圖把顏色和音調還原為振動，生理學家試圖把思想和疼痛還原為神經過程。這樣心理因素就從事物的因果聯繫中消除了，因此從不構成因果聯繫中的一個獨立環節。目前「唯物主義」（在「物質」已經失去了作為基本概念的地位之後）無疑指的正是這種觀點，即認為只用「類空」概念來把握一切關係在原則上是可能的。 為什麼必須把自然科學思想的基本概念從柏拉圖的奧林匹斯上拖下來，試圖揭示它們的塵世來源呢？回答是，為了使這些概念從與之相聯繫的禁令中解放出來，從而在概念形成方面獲得更大的自由。休謨和馬赫最先提出這種批判性的思考，這是他們的不朽功績。 科學將空間、時間和物體（尤其是重要的特殊情形「固體」）的概念從前科學思想中接過來加以修正和精確化。這方面的第一項重要成就是歐幾里得幾何學的發展。我們絕不能只看到歐幾里得幾何學的公理表述而看不到它的經驗起源（固體的存放可能性）。特別是，空間的三維性和歐幾里得特徵都起源於經驗（空間可以用結構相同的「立方體」完全填滿）。 由於發現完全剛性的物體是不存在的，空間概念變得更加微妙了。一切物體都可以發生彈性形變，溫度變化時體積會發生改變。因此不能脫離物理內容來表示形體（其可能的存放由歐幾里得幾何學來描述）。但由於物理學必須利用幾何學來確立其概念，因此幾何學的經驗內容只有在整個物理學的框架中才能陳述和檢驗。 在這方面還必須考慮原子論及其對物質有限可分性的看法，因為亞原子廣延的空間是無法量度的。原子論還迫使我們原則上不再認為可以靜態地清晰確定固體的界面。嚴格說來，甚至在宏觀領域也沒有關於固體存放可能性的獨立定律。 儘管如此，沒有人想過要放棄空間概念。因為在極為有效的整個自然科學體系中，空間概念似乎是不可或缺的。在19世紀，只有馬赫認真思考過消除空間概念，他試圖用所有質點當前距離的總和的概念來代替它。（他這樣做是為了獲得對慣性的令人滿意的理解。） 場 在牛頓力學中，空間和時間起著雙重作用。首先，空間和時間是物理事件發生的框架，相對於此框架，事件由空間坐標和時間來描述。物質原則上被視為由「質點」所構成，質點的運動構成了物理事件。如果物質被看成連續的，我們只能在不願或不能描述不連續結構的情況下暫時這樣做。在這種情況下，物質的微小部分（體積元）可以像質點一樣做類似的處理，至少在只涉及運動、而不涉及暫時不可能或者沒有必要追溯到運動的那些事件（例如溫度變化、化學過程）時是如此。空間和時間的第二個作用是作為「慣性系」。在所有可設想的參照系中，慣性系被認為具有優先性，因為慣性定律相對於慣性系是有效的。 這裡重要的是，不依賴於經驗主體而被設想的「物理實在」曾經被認為由兩方面所構成，一方面是空間和時間，另一方面則是相對於空間和時間運動的持續存在的質點，至少原則上是如此。這種關於空間和時間獨立存在的觀念可以毫不掩飾地表達如下：如果物質消失了，餘下的將只有空間和時間（作為物理事件的一種舞台）。 理論的發展克服了這種觀點，這種發展最初似乎與空間時間問題毫不相干，那就是場的概念的出現以及它最終要求原則上取代粒子（質點）概念。在經典物理學的框架中，場的概念是在物質被看成連續體的情況下作為輔助概念出現的。例如在考察固體的熱傳導時，物體的狀態是由物體每一點在每一個確定時刻的溫度來描述的。在數學上這意味著將溫度T表示為空間坐標與時間t的一個數學表達式（函數），即溫度場。熱傳導定律被表示成一種局部關係（微分方程），其中包括熱傳導的所有特殊情況。這裡，溫度就是場的概念的一個簡單例子。這樣一個量（或量的複合體）是坐標和時間的函數。另一個例子是對流體運動的描述。在每一點上每一時刻都有一個速度，它由該速度相對於一個坐標系的軸的三個「分量」來作定量描述（矢量）。這裡，每一個點的速度分量（場分量）也是坐標（x, y, z）和時間（t）的函數。 上面所提到的場的特性是它們只存在於有質之中；它們僅僅用來描述這種物質的狀態。按照場概念的歷史發展看來，沒有物質的地方就不可能有場存在。但是，在19世紀的前25年里，人們證明，如果把光看作一種波動場——與彈性固件的機械振動場完全相似，那麼光的干涉和運動現象就能夠解釋得極為清楚。因此人們就感到有必要引進一種在沒有物質的情況下也能存在於「空的空間」中的場。 這一情況產生了一個自相矛盾的局面。因為，按照其起源，場概念似乎僅限於描述有質體內部的狀態。由於人們確信每一種場都應看作此場概念只應限於描述有質體內部的狀態這一點就顯得更加確切了。因此人們感到不得不假定，甚至在一向被認為是一無所有的空間中也到處存在著某種形式的物質，這種物質稱為「以太」。 將場概念從場必須有一個機械載體與之相聯繫的假定中解放出來，這在物理思想發展中是在心理方面最令人感興趣的事件之一。19世紀下半葉，從法拉第和麥克斯韋的研究成果中越來越清楚地看到，用場描述電磁過程大大勝過了以質點的力學概念為基礎的處理方法。由於在電動力學中引進場的概念，麥克斯韋成功地預言了電磁波的存在，由於電磁波與光波在傳播速度方面是相等的，它們在本質上的同一性也是無可懷疑的了。因此，光學在原則上就成為電動力學的一部分，這個巨大成就的一個心理效果是，與經典物理學的機械唯物論體制相對立的場概念逐漸贏得了更大的獨立性。 但是最初人們還是認為理所當然地必須把電磁場解釋為以太的狀態，並且極力設法把這種狀態解釋為機械性的狀態。由於這種努力總是遭到失敗，科學界才逐漸接受了放棄此種機械解釋的主張。然而人們仍然確信電磁場必然是以太的狀態，19世紀和20世紀之交，情況就是這樣。 以太學說帶來了一個問題：相對於有質體而言，以太的行為從力學觀點看來是怎樣的呢？以太參與物體的運動呢？還是以太各個部分彼此相對地保持靜止狀態呢？為了解決這個問題，人們曾經做了許多巧妙的實驗，這方面應提到下列兩個重要事實：由於地球周年運動而產生的恆星的「光行差」和「都卜勒效應」——即恆星相對運動對其發射到地球上的光的頻率上的影響（對已知的發射頻率而言）。對於所有這些事實和實驗的結果，除了邁克耳孫－莫雷實驗以外，洛倫茲根據下述假定都作出了解釋。這個假定就是以太不參與有質體的運動，以太各個部分相互之間完全沒有相對運動。這樣，以太看來好像就體現一個絕對靜止的空間。但是洛倫茲的研究工作還取得了更多的成就。洛倫茲根據下述假定解釋了當時所知道的在有質體內部發生的所有電磁和光學過程。這就是，有質物質對於電場的影響以及電場對於有質物質的影響完全是由於：物質的組成粒子帶有電荷，而這些電荷也參與了粒子的運動，洛倫茲證明了，邁克耳孫－莫雷實驗所得出的結果至少與以太處於靜止狀態的學說並不矛盾。 儘管有這些輝煌的成就，以太學說的這種光景仍然不能完全令人滿意，其理由有如下述：經典力學（無可懷疑，經典力學在很高的近似程度上是成立的）告訴我們，一切慣性系或慣性「空間」對於自然律的表達方式都是等效的；亦即從一慣性系過渡到另一慣性系，自然律是不變的。電磁學和光學實驗也以相當高的準確度告訴我們同樣的事實。但是，電磁理論基礎卻告訴我們，必須優先選取一個特別的慣性系，這個特別的慣性系就是靜止的光以太，電磁理論基礎的這一種觀點實在非常不能令人滿意，難道不會有像經典力學那樣去支持慣性系的等效性（狹義相對性原理）的修正理論嗎？ 狹義相對論回答了這個問題。狹義相對論從麥克斯韋－洛倫茲理論中採用了關於在真空中光速保持恆定的假定。為了使這個假定與慣性系的等效性（狹義相對性原理）相一致，必須放棄「同時性」的絕對特性的觀念；此外，對於從一個慣性系過渡到另一個慣性系，必須引用時間和全向坐標的洛倫茲變換。狹義相對論的全部內容包括在下述假設中：自然定律對於洛倫茲變換是不變的。這個要求的重要實質在於它用一種確定的方式限定了所有的自然律。 狹義相對論對於空間問題的觀點如何？首先我們必須注意不要認為實在世界的四維性是狹義相對論第一次提出的新看法。甚至早在經典物理學中，事件就由四個數來確定，即三個空間坐標和一個時間坐標。因此全部物理「事件」被認為是存在於一個四維連續流形中的。但是，根據經典力學，這個四維連續體客觀地分割為一維的時間和三維的空間兩部分，而只有三維空間才存在著同時的事件。一切慣性系都做了同樣的分割。兩個確定的事件相對於一個慣性系的同時性也就含有多個事件相對於一切慣性系的同時性。我們說經典力學的時間是絕對的就是這個意思。狹義相對論的法則與此不同。所有與一個選定的事件同時的諸事件就一個特定的慣性系而言確實是存在的，但是這不再能說成為與慣性系的選擇無關的了的了。於是四維連續體不再能夠客觀地分割為兩個部分，而是整個連續體包含了所有同時事件；所以「此刻」對於具有空間廣延性的世界失去了它的客觀意義。由於這一點，如果要表述客觀關係的意義而不帶有不必要的任意性的話，那麼空間和時間必須看作是具有客觀上不可分割性的一個四維連續體。 狹義相對論揭示了一切慣性系的物理等效性，因而也就證明了關於靜止的以太的假設是不能成立的、因此必須放棄將電磁場看作物質載體的一種狀態的觀點。這樣，場就成為物理描述中不能再加以分解的基本概念，正如在牛頓的理論中物質概念不能再加以分解一樣。 到目前為止，我們一直把注意力放在探討狹義相對論在哪一方面修改了空時概念，現在我們來看看狹義相對論從經典力學中吸取了哪些基本觀念。在狹義相對論中，自然律也是僅在引用慣性系作為空時描述的基礎時才是有效的。慣性原理和光速恆定原理只有對於一個慣性系才是有效的。場定律也是只有對於慣性系才能說是有意義和有效的。因此，如同在經典力學中一樣，在狹義相對論中，空間也是表述物理實在的一個獨立部分。如果我們設想把物質和場移走，那麼慣性空間（或者說得更確切些，這個空間連同聯繫在一起的時間）依然存在。這個四維結構（閔可夫斯基空間）被看作是物質和場的載體。各慣性空間連同聯繫在一起的時間，只是由線性的洛倫茲變換聯繫在一起的一種特選的四維坐標系。由於在這個四維結構中不再存在著客觀地代表「此刻」的部分，事物的發生和生成的概念並不是完全用不著了，而是更為複雜化了。因此，將物理實在看作一個四維存在，而不是像直到目前為止那樣，將它看作一個三維存在的進化，似乎更加自然些。 狹義相對論的這個剛性四維空間，在某種程度上類似於洛倫茲的剛性三維以太，只不過它是四維的罷了。對於狹義相對論而言，下述陳述也是合適的：物理狀態的描述假設了空間是原來就已經給定的，而且是獨立存在的。因此，連狹義相對論也沒有消除笛卡爾對「空虛空間」是獨立存在的、或者竟然是先驗性存在的這種見解所表示的懷疑。這裡做初步討論的真正目的，就是要說明廣義相對論在多大的程度上解決了這些疑問。 廣義相對論的空間概念 廣義相對論的起因主要是力圖對慣性質量和引力質量的同等性有所了解。我們從一個慣性系S₁來說起，這個慣性系的空間從物理的觀點看來是空虛的。換句話說，在所考慮的這部分空間中，既沒有物質（按照通常的意義），也沒有場（按照狹義相對論的意義）。設有另一個參照系S₂相對於S₁做勻加速運動。這時候S₂就不是一個慣性系。對於S₂來說，每一個試驗物體的運動都具有一個加速度，這個加速度與試驗物體的物理性質和化學性質無關。因此，相對於S₂，最少就第一級近似而言，就存在著一種與引力場無法區分的狀態。因此，下述概念是與可觀察的事實相符的：S₂也可以相當於一個「慣性系」；不過相對於S₂又存在一個（均勻的）引力場（關於這個引力場的起源，這裡不必去管它）。因此，當討論的體系中包括引力場時，慣性系就失去了它本身的客觀意義（假定這個「等效原理」可以推廣到參照系的任何相對運動）。如果在這些基本觀念的基礎上能夠建立起一個合理的理論，那麼這個理論本身將滿足慣性質量與引力質量相等的事實，而這個事實是已被經驗所充分證實的。 從四維的觀點來考慮，四個坐標的一種非線性變換對應於從S₁到S₂的過渡。這裡產生了一個問題：哪一種非線性變換是可能的，或者說，洛倫茲變換是怎樣推廣的？下述考慮對於回答這個問題具有決定性的意義。 設早先的理論中的慣性系具有這個性質：坐標差由固定不移的「剛性」量杆測量，時間差由靜止的鐘測量。對第一個假定還須補充以另一個假定，即對於靜止的量杆的相對展開和並接而言，歐幾里得幾何學關於「長度」的諸定理是成立的。這樣，經過初步的考慮，就可以從狹義相對論的結果得出下述結論：對於相對於慣性系（S₁）做加速運動的參照系（S₂）而言，對坐標做此種直接的物理解釋不再是可能的了，但是，如果情況是這個的話，坐標現在就只能表示「鄰接」的級或秩，也就是只能表示空意願維級，但一點也不能表示空意願度規性質。這樣我們就意識到從已有的變換推廣到任意連續變換的可能性。[146]而這裡就已具有廣義相對性原理的含義：「自然律對於任意連續的坐標變換必須是協變的。」這個要求（連帶著自然律應具有最大可能的邏輯簡單性的要求）遠比狹義相對性原理更為有力地限制了一切自然律。 這一系列的觀念主要是以場作為一個獨立的要領為基礎的。因為，對於S₂有效的情況被解釋為一種引力場，而並不問其是否存在著產生這個引力場的質量。藉助於這一系列的觀念，還可以理解到為什麼純引力場定律比起一般的場（例如在有電磁場存在的時候）的定律來，它與廣義相對論有更為直接的聯繫。也就是說，我們有充分的理由假定，「沒有場」的閔可夫斯基空間表示自然律中可能有的一種特殊情況，事實上這是可以設想的最簡單的特殊情況。就其度規性質而言，這樣的空間的特性可由下述的方式表示：等於一個三維「類空」截面上無限接近的兩點的空間間隔的實測值（用單位標準長度量度）的平方（畢達哥拉斯定律）；而是指用適當的計時標準量度測出的具有共同的（x₁, x₂, x₃）的兩個事件的時間間隔。這一切只不過是意味著將一種客觀的度規意義賦予下面這個量： 這點也不難藉助於洛倫茲變換來予以證明。從數學的觀點來看，這個事實對應於這個條件：ds²對於洛倫茲變換是不變的。 如果按照廣義相對性原理的意義，令這個空間［參照方程（1）］作一任意連續的坐標變換，那麼這個具有客觀意義的量ds在新的坐標系中即以下列關係式表示： 此式的右邊要對指標i和k從11，12，……直到44的全部組合求和。這裡諸gik項也並不是新坐標的任意函數，而是必須正好使形式（1a）經過四個坐標的連續的變換仍能還原為形式（1）的這樣一類函數。為了使這一點成為可能，諸函數gik必須滿足某些普遍協變條件方程，這些方程是在廣義相對論建立半個多世紀以前由黎曼導出的（「黎曼條件」）。按照等效原理，當諸函數gik滿足黎曼條件時，（1a）就以普遍協變形式描述了一種特殊的引力場。 由此推論，當黎曼條件被滿足時，一般的純引力場的定律即必然被滿足；但這個定律必然比黎曼條件弱或限制得較少。這樣，純引力的場定律實際上即可完全確定。這個結果不想在這裡詳加論證。 現在我們已有可能來考察一下，對空間概念要做多麼大的修改才能過渡到廣義相對論去。按照經典力學以及按照狹義相對論，空間（空時）的存在不依賴於物質或場。為了能夠描述充滿空間並依賴於坐標的東西，必須首先設想空時或慣性系連同其度規性質是已經存在的，否則，對於「充滿空間的東西」的描述就沒有意義。[147]而根據廣義相對論，與依賴於坐標的「充滿空間的東西」相對立的空間是不能脫離此種「充滿空間的東西」而獨立存在的。這樣，我們知道，一個純引力場是可以用從解引力方程而得到的gik（作為坐標的函數）來描述的。如果我們設想將引力場亦即諸函數gik除去，剩下的就不是（1）型的空間，而是絕對的一無所有，而且也不是「拓撲空間」，因為諸函數gik不僅描述場，而且同時也描述這個流形的拓撲和度規結構性質。由廣義相對論的觀點判斷，（1）型的空間並不是一個沒有場的空間，而是gik場的一種特殊情況，對於這種特殊情況，諸函數gik——指對於所使用的坐標系而言（坐標系本身並無客觀意義）——具有不領帶於坐標的值。一無所有的空間，亦即沒有場的空間，是不存在的。空時是不能獨立存在的，只能作為場的結構性質而存在。 因此，笛卡爾認為一無所有的空間並不存在的見解與真理相去並不遠。如果僅僅從有質物體來理解物理實在，那麼上述觀念看來的確是荒謬的。將場視為物理實在的表象的這種觀念，再把廣義相對性原理結合在一起，才能說明笛卡爾觀念的真義所在；「沒有場」的空間是不存在的。 廣義引力論 根據以上所述，以廣義相對論為基礎的純引力場論已不難獲得，因為我們可以確信，「沒有場」的閔可夫斯基空間的度規若與（1）一致，一定會滿足場的普遍定律。而從這個特殊情況出發，加以推廣，就能導出引力定律，並且在此推廣過程中，實際上可以避免任意性。至於理論上進一步的發展，則廣義相對性原理並沒有十分明確地做出決定；在過去幾十年中，人們曾經朝著各個不同方向進行探索。所有這些努力的共同點是將物理實在看成一個場，而且是作為由引力場推廣出來的一個場，因而這個場的場定律是純引力場定律的一種推廣。經過長期探索之後，對於這一推廣我認為我現在已經找到了最自然的形式，但是我還不能判明這個推廣的定律能否經得起經驗事實的考驗。 在前面的一般論述中，場定律的個別形式問題還是次要的。目前的問題主要是這裡所設想的這種場論究竟能否達到其本身的目標。也就是說，這樣的場論能否用場來透徹地描述物理實在，包括四維空間在內。目前這一代的物理學家對這個問題傾向於作否定的回答。依照目前形式的量子論，這一代的物理學家認為，一個體系的狀態是不能直接確定的，只能對從該體系中所能獲得的測量結果給予統計學的陳述而作間接的確定。目前流行的看法是，只有物理實在的概念被這樣削弱之後，才能體現已由實驗證實了的自然界的二重性（粒子性和波性）。我認為，我們現有的實際知識還不能作出如此深遠的理論否定；在相對論性場論的道路上，我們不應半途而廢。 [142]選自《狹義與廣義相對論淺說》（Relativity, the Special and the General Theory: A Popular Exposition.Translated by Robert W. Lawson. London: Methuen, 1954）修訂版。 [143]對於這一表述需要持一種懷疑態度。——作者注 [144]康德曾試圖通過否認空間的客觀性來消除這個困難，但這種努力幾乎無法認真對待。由箱內空間所體現的存放可能性是客觀的，正如箱子本身以及可放入箱子的物體是客觀的一樣。——作者注 [145]例如，通過聲音獲得的經驗的時間次序與通過視覺獲得的時間次序可以不一致，因此我們不能把事件的時間次序簡單等同於經驗的時間次序。——作者注 [146]這種不精確的表述方式在這裡也許已經足夠了。——作者注 [147]如果考慮將充滿空間的東西（比如場）移除，那麼仍然會留下符合（1）的度規空間，它還將決定所引入的檢驗物體的慣性行為。——作者注