同文算指 · 同文算指通編卷七

明　李之藻　撰 積較和相求開平方諸法第十四 凡平方長濶不等以長濶相乗為實積以長濶相減為較以長濶相併為和 凡以積和求較者以和自乗以積四因相減開其餘得較 假如直田積八百六十四步長濶和六十步求長多濶幾步者用和自乗【得三千六百】又四因直積【得三千四百五十六】以少減多餘一百四十四平方開之得差一十二步 右開法見前不重列所以和自乗又四因直積者葢和自乗有四段直田積一段差方積故以四積減和乃剰下差方一段以取方面見步【有圖在後】比類如有金八百六十四兩數人分之只雲人數與 【得銀數共六十其】 【差幾何銀數爲濶人數爲長得三十六人毎人】【二十四兩凡以積較求和者四因實積又以差】【自乗併入開平方除之得和假如直田積八百六十四歩濶不及長一十二歩求長濶和共幾歩者以積歩四因以較自乗相併開方得長濶和六十歩右四　因積有　四長四】 【濶縱橫列之於外又較自之一段】 【居中故開方得和其用和自乗者得此圖全數外兼四積內兼較自乗故除積得較比類金八百六十四兩隻雲錠數不及兩數十二求錠與兩共若干兩數爲長錠數爲濶得錠與兩共六十得三千四百五十六一百四十四三千六百長三十六步】各 若夫積與較求濶者其長之積多於濶若非加法以帶除其長當於實積內抽減其長之積故其法有二其一以較為縱方並縱入方謂之帶縱開平方其一以較為減積以方乗減謂之減積開平方 積與較求長者其濶之積少於長若非益積以補濶則當損其法之長也求法有二其一以較為負縱乗上商以添積謂之負縱益積開平方其一以較為減縱而以負縱減方法謂之帶減縱開平方 積與和求濶者以和為縱方一為負隅和並一長一濶積得一長而少一濶故用一為負隅或益負隅於積或減負隅於縱皆可以求其濶也其益隅於積者乗負隅為方法又乗方法以益積是為帶縱益隅開平方其減隅於縱者乗負隅以減縱命余縱以除實是為帶縱負隅減縱開平方 積與和求長者原積有長濶相乗而無長自乗宜損濶以益長故以和為縱方而置一算為負隅稍贏其商以減其縱用減余者以除積而積常不足則翻以積減縱而余為負積或再商命隅以減縱而縱反不足亦翻以縱減商而余積縱三者俱負乃以負縱約余負積商命負隅開之是為帶縱負隅減縱翻法開平方 右縱方六術所以通平方之變而翻法一術又所以通縱方之窮也此外有積與二濶較及長濶較求濶者則有所謂帶縱減積開平方有以大小二方和積求徑者則有所謂減積帶縱負隅並縱開平方有以方圓二徑虛設相同及積求其實徑者則有所謂隅算開平方至於匿其積實而虛張長濶和較之數互求長濶者則又有所謂帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱開平方減積帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱益實開平方帶縱廉開平方帶縱廉負隅開平方帶縱方廉開平方帶縱廉負隅乗縱減實開平方皆以帶縱諸法錯綜為用以御開方諸積之變神明變化存乎當機初不可一途而取今每則畧著數例以便初學 帶縱開平方法【積較求濶】 有勾股積若干平方開之第雲勾不及股若干用加法帶除其股積余為開方名帶縱開平方法列實點定開位亦列所不及為縱數於下以首位隨首點下須於縱上空一橫行以容商除初商若干紀格右亦以商數並縱數列首點下【有小數者照常退位排之】次第呼乗以除實數但所商數須與帶縱相照若縱數多則減商數就之不盡之數再倍作廉法然倍方不倍縱亦併入帶縱商之假如有直田積八百六十四步濶不及長一十二步求濶幾步列實定位以帶縱【二一】隨首位列之初商二紀格 右亦列首點下以並帶縱【一】共三乃 變壹貳注三　相呼二三除六　三 上捌變二二二除四　貳上陸變二 完首段余實二百二十四步次倍二 作四為廉法挨退位下亦列帶縱以 廉四並縱一其下列五次商四紀格 右亦注末位點下為隅法以並隅二下注六乃相呼除先呼五四除二十進抺二又呼四六二十四恰盡得 濶二十四步 比類給銀八百六十四兩隻雲所得銀之兩比得分人數多一十二兩求總是幾人每人各得銀幾兩銀多為長人少為濶得銀兩數二十四人數三十六 假如二十三萬○四百為實帶縱七百二十初商可用四數因有帶縱七乃減商作二紀格右亦紀首點下為 隅以並帶縱七共九乃變二七作 九是為【二九】與右二疉呼除之　二 九一十八　九上叄變五進削貳 本位下削九　次以右二乗二除 四用借法　二上○變六　進位 五變四本位下削二次倍二作四 為廉法列次點之進位○下另列 帶縱數於廉下以待商除次商四 紀格右亦注次點四下為隅法而以帶縱及廉法併入除之四七並一十一廉下變一　進位亦加一　四二並得六隅下變六乃以右四呼首一　　一四除四　一上削四又以右四呼次一　一四除四　一上六變二又以右四乗次六四六二十四　六上除肆　進位除二恰盡因尚餘一點於右加一○ 右平方二百四十帶縱共九百六十 若實數首位寡而帶縱數多不能並累開方者雖點段在首位亦退一位列商及列帶縱而減一商 假如列實一萬六千一百卄八帶縱七十二點段該將 左首位商起因帶縱是七即減 一商置次點下　初商九紀格 右亦注次點之下並帶縱七共 一十六乃改七九作六進位置 一為方法與商九相呼　一九 除九　一上陸變七進抹一 六九五十四　六上壹變七進位七變一　二九一十八　二上貳變四進位七變五次倍九得一十八為廉法叧退一位置帶縱再商六紀右亦注末點下為隅法而並廉法帶縱呼除如前得濶九十六帶縱七十二共長一百六十八 其實首數多帶縱數少可以開除者仍照所點段位開起 假如列實三萬八千四百帶縱二百首位三自為一段初商一紀右亦紀一於首位下並帶縱二得三乃以貳變三與右一相呼一三如三徑除叄次倍一作二為廉法以注初商之次位以並帶縱得四注縱下如前再商二以紀右亦以注第二點下俱與右二相呼先呼二四如八徑除捌又呼二二如四徑除肆外尚剰一點該于格右加○ 右開方一百二十縱三百二十 若點段開位少而帶縱之位反多【如開位三點只該百而帶縱乃至千之類】以初商置首點下而以帶縱大數進位列之必首段系二位者方有此例 假如列實一十九萬八千帶縱一千五百三十隻點作三段其開數止有三位初商只是百數而所帶乃逾至千此其並縱亦須以百隨百以千進一位　初商一紀右亦注首點之下並帶縱五得六另改注其下先以右一與縱一呼之一一除壹次以右一呼並六　一六如 六六上玖變三　次以右一呼縱 三三上捌變五完首段　乃倍初 商之一作二為廉法注初商之次 其帶縱亦於次位列之【列五百於廉下二五 並得七另注七於下一千進位】再商二紀右亦注 次點下以並三得五另注五乃以 遞呼　先呼一二如二　一上三 變一　再呼二七一十四　七上 五變一　進除一　又呼二五得一十恰盡外尚餘一點右加○ 右開方一百二十縱一千六百五十 帶縱並商數有共一十者進位照式呼除【第一圖亦有此】假如列實七萬二千帶縱四百八十點在首位初商一紀右亦注點下並縱四得五注於下以呼一五除五四上防變二　再呼一八除八　八上貳變四進位二變一乃倍初商之一作二為廉法注次位其 下另列帶縱以二並四得六注於 下次商二紀右亦注次點之下以 相呼除　二六除一十二　六上 四變二進削一商二並縱八得一 十進位注一本位注○以相呼除 一二除二恰盡外餘一點加○於 右 右開方一百二十縱六百 若實數縱數商除數俱多雜糅易淆者務須先將帶並之數逐一歸併停當各注其本位之下乃以呼除大抵只據最下一字為準則不淆亂 假如列實一十六萬六千四百六十四帶縱一千○八十八先點定該開三位訖其帶縱低二行列之以便填商置初商於第二位點下以帶縱之千進一位列之【初商是百故帶縱之千進位與前法同】初商一併入為一千一百八十八以初商一紀右相呼首位呼一一如一以削壹　次 位呼一一如一　一上陸變五 三位呼一八如八　八上陸 變八　進位五變四　四位呼 一八如八　八上肆變六進位 八變七畢一段【以上甚簡】倍初商之 一作二為廉法注次位下另列 帶縱數【並得一千二百八十八】次商三紀 右亦注次點下併入以商【三】並 縱【八】得一十一注一於八下又注一於進位廉二之下以商縱【一】並廉【二】得三另注三於廉【二】之下並畢其並注數多認定最下字為主以與右相呼首位呼一三如三一上四變一次位呼三三如九三上七變八進削一第三位呼一三如三　一上六變三第四位呼三八二十四　八上陸變二進位三變一畢二段以上除過一十五萬八千三百四十餘實八千一百二十四未盡又倍前商之一三作二六為廉法空末位之點以待隅 法而以六注【二】下【右第二位】以二注 【一】下【右第三位】另列 帶縱數以相併 乃以廉六並縱 八共一十四系 四於八下一進 位又以一併廉 二共得三繫於其下乃商六紀右亦注末位下又以並縱八共一十四注四於末位下一進位四下改作五並訖以最下字與右相呼一六除六　一上八變二　三六一十八　三上一變三進除二　五六三十進除三四六二十四除恰盡 右開方一百三十六縱一千二百二十四 減積開平方法【積較求濶】 勾股積若干勾不及股亦有減積法減積者於實內減股之積以就其方也列實定位另列不足數為減積以商乗減積以所乗出之數列原積下對減視余實若干以所商依法除之有未盡者倍方為廉約得再商別置為隅亦乗減積以減余實乃倂廉隅除之 假如直田八百六十四步濶不及長一十二步求濶幾何列實點位如前另列不及一十二為減積以初商乗之初商可用三因有乗數故約用二紀右亦注首位下以乗減積得二十四隨位列之相對減原積二上捌變 六　四上陸變二餘實六百二 十四乃以方法呼除　二二除 四二上六變二餘實二百二十 四次倍二作四為廉法注退位 再商得四紀右亦紀末位為隅 法以乗減積得四十八亦相對 減余實四上二變八進位二變 一　八上肆變六進位八變七乃以方廉呼除　四四除十六　四上七變一進削一又以方隅呼除四四除一十六恰盡得濶二十四步 假如直積一千七百五十濶不及長一十五問濶幾何列實定位叧列不及為減積初商三紀右亦注首點之 下為方法以乗減積得【五四】隨方 法之位列之以減原積四上防 變三　五上伍變○　乃以方 法除之　三三除九　四上三 變四進削壹余實四百次倍三 作六為廉法注退位再商五紀 右亦注末位為隅法以乗減積 得七十五對注以減余實五上 ○變五　七上○變二　進位四變三尚餘三百二十五皆與次商相呼五六進除三　五五二十五恰盡得廣三十五 假如直積一十六萬七千四十濶不及長一百三十二求濶幾何列實定位另置不及為減積初商三紀格右亦注首點下以乗減積得三百九十六隨首點列位對減　六上○變四因有藉故進位仍七　三上陸變二餘實一十二萬七千四百四十乃以方法開之三三除九　三上二變三進削壹余實三七四四○次倍三作六為廉法注退位商實得四紀右亦注次段點下為隅法亦乗減積得五 百二十八退前積一位 列之對減八上肆變六 二上四變一五上七 變二仍餘三二一六卻 以廉隅呼除四六二十 四六上二變八進削三 四四一十六　四上 一變五進位八變六尚 餘六五六○乃倍三四 作六八為廉法挨尾點 一位列之再商得八紀 右亦注尾下為隅法又 乗減積得一千五十六 挨尾位列之對減六上 ○變四　五上六變○ 一上六變五仍餘五 五○四乃以廉隅呼除 六八四十八　六上五 變七進削五　八八六 十四　八上○變六進 削七又八八六十四恰盡得濶三百四十八 負縱益積開平方法【積較求長】 有勾股積若干勾不及股為較以積及較求股而勾少於股則益積以補勾名負縱益積開平方列實定位另置所不及數為負縱以商乗負縱虛增其積而後以方法開除不盡者倍方為廉又以再商乗負縱増積而另置一算為負隅以再商乗負隅為隅法置於廉次以商呼廉隅除盡 假如直積八百六十四濶不及長一十二求長几何列實定位叧列不及十二為負縱而初商則約所増負縱之乗命之如首位捌開法宜用二因有負縱之乗乃商三紀右亦注首位下為方法而以乗負縱得三十六注三於首位注六於次位以並原積六上陸變二　三上捌變二　進位置一益積得數一千二百二十四乃以 方法呼除三三除九　三上二變 三餘積三二四又倍三作六為廉 法另商六紀右以乗負縱得七十 二退位列之添積二上肆變六 七上二變九共積三九六而另置 一算為負隅以次商【六】乗之仍得 六為隅法乃並廉隅呼除六六三 十六　六上九變三進削三又呼六六三十六恰盡得長三十六 假如直積二十三萬四百長濶較七百二十求長几何列實亦列較為負縱初商九紀右亦注首點下為方法以乗負縱得六四八以益積　八上○變八　四上叄變七六上貳變八共八七八肆○○以方法除之九九八十一九上七變六進削八餘實六八肆○○乃倍九作【八一】為 廉法注八於次隅之進位又 注一於進位次商六亦乗負 縱得四三二以益余積二上 肆變六　三上八變一　四 上六變一　進位置一共得 一一一六○○又以次商六 乗負隅一仍得六注本段點 下為隅法乃以廉隅呼除 一六除六　一上一變五進 削一　六八四十八　八上 一變三進削五　六六三十六恰盡得長九百六十帶減縱開平方【積較求長】 凡以較及積求股者股長於勾亦有損股之長以就其方者名減縱開平方列實定位列較為減縱以減初商而以所減之餘即乗初商以開之其次商又即以初商併入為廉法而商之置隅如常 假如直積八百六十四濶不及長一十二求長若干列實叧置不及一十二為負縱初商三十【因有二點故知三十】置右另以負縱減之餘一十八挨注首位點下為方法以呼所商三八二十四　八上陸變二　進位捌變六　一三除三 一上六變三　余積三百二十肆乃 於右三加○以並方法一十八共四十八為廉法注退位再商六紀右亦注隅而併入廉法共五十四而六八並改四 進位四改五以呼次商五六三十 五上進位削三　四六二十四恰盡得 長三十六　其次商若不以隅相併亦同前法 六　　　次商六並前【八一】為四十八退位注之以 呼四六二十四　四上二變八　進位 削三　六八四十八　八上肆變六 進位八變三　又置隅法於尾位六六 三十六恰盡 只就本段積 比類以金換絹八百六十四匹 不知金一兩換絹幾匹但云原 金總兩多於絹數十二今求原 金幾何如長絹匹如濶得金三 十六兩其所換匹數即直積也 假如直積三千四百五十六濶不及長二十四求長几何列實定位另置較二十四為負縱初商七十【因有二點故知七十】紀右以負縱減之餘四十六挨注首位為方法【四多於三照例退位】與商相呼　四七二十八　四上肆變六進削叄　六七四 十二　六上伍變三進位六變二　余 實二百三十陸乃於右七加○以並四 十六共一百一十六為廉法列於下續 商得二改右○為二亦注尾位為隅法 併入廉法呼除一二為二　一上削二 又一二為二　一上三變一　二八 一十六恰盡得長七十二 又有兩方共積若干第雲以小方之一面乗大方之一面共若干問大小方面各幾何者倍乗積以減共積以所余積為實開方得較再置二方乗數為實以較為減縱開平方除之得大方面以較減之得小方面 假如大小方田二段共積六千五百二十九步以小方大方各一邊相乗得三千一百二十步求大小方面幾何者倍二方乗積【得六千二百四十步】以減共積餘二百八十九為實以開平方法除之得較一十七步再置二方乗數三千一百二十步為實以較為負縱初商六十紀右以負縱減之餘四十三注下為方法以呼所商四六二十四　四上壹變七進削叄三六一十八　三上貳變四 進位七變五餘實五百四十乃於 六右加○以並方法共得一百零 三為廉法列下續商五紀右亦注 尾位為隅法併入廉法共一百零 八以相呼　一五除五五八四十 恰盡得大方面六十五步以較一 十七減之得小方面四十八步 帶縱益隅開平方法【積和求濶】 凡積和求濶者用其和為帶縱則已兼長濶而積有長無濶故虛置一積為負隅而以負隅益積即以帶縱開之得濶數名帶縱益隅開平方列實定位另置帶縱數以初商紀右用自乗以益原積是為負隅而以所商呼縱方除之不盡者倍商為廉注退位又再商紀右亦注廉次為隅法廉隅並數以乗所商益積乃用商呼縱方若不盡須再商者則以後廉並前廉余如前法除盡得濶數 假如直積八百六十四長濶和六十求濶幾何置積為實 以和為帶縱初商二紀右亦注首 位下自乗得四以益積共一千二 百六十四乃以初商乗帶縱二六 一十二　二上削二進削一餘實 六十四倍方為廉得四注次位次 商四紀右亦注尾位為隅法以乗 廉法得一十六併入余實四上陸 變二進加二亦以乗隅法尾位肆 變○進位二變四共二百四十而 以次商呼帶縱恰盡得濶二十四 二積共一千 四百四十步 以帶縱六十 除之得濶二 十四步 假如直積二萬一千六百四十八長濶和二百九十六求濶幾何列實定位置和為帶縱初商一列右為方法亦注首位下自乗仍得一以益積首位貳變三乃以方法與帶縱相呼除實首位三變一　次位壹變二進削一退位陸變○余實二千○四十八倍方為廉得二注退位次商三紀右為方法亦注廉次為隅法共【三二】以乗方法得六十九益入本段余積三上○變九　二上二變八共得八九四八乃以方法呼帶縱除之二三除六 二上八變二　三 九二十七　三上九 變二進削二　三六 一十八退位四變六 進削二餘實六十八 又倍方法之三為六 作廉法注退位倂入 前廉【二】共二百六十【所以倂入前廉者蓋一方外必具兩廉故】為方法再商二紀右亦注尾位為隅法併入方法共　以乗所商【二】得五百二十四以並余積尾位八變二進位六變九進位加五乃以所商【二】與帶縱呼除恰盡得濶一百三十二歩 假如直積三千四百五十六步長濶和一百二十步求濶幾何列實以和為帶縱初商四紀右為方法亦注首點下自乗得一十六益積四上肆變○進位叄變五乃以方法呼帶縱一四除四首位五變一二四除八退位 ○變二進削一尚剰二百五 十六次倍方四得八為廉注 次位續商得八為方法紀右 亦注尾位為隅併入廉法得 【八八】而與方法【八】相乗共七百 四以益余實尾位陸變○進位伍變六　進位二變九乃以所商【八】呼帶縱恰盡得濶四十八步 帶縱負隅減縱開平方【積和求濶】 積濶求和若難以益隅開之者即用減隅法而減負隅於縱名帶縱負隅減縱開平方列實定位列和為帶縱置一為負隅初商紀右乗負隅以減帶縱列減余於實下而乗所商以開之不盡者倍方為廉以廉減縱次再商紀右亦減余縱而以其減余乗商除盡得濶數假如直積八百六十四長濶和六十求濶列實定位另列和為縱方初商二紀右亦紀首點下以乗負隅一仍得二為方法以減縱數陸剰四隨首位注之以呼初商 二四為八二上削捌余實二十四倍 方法之二作四為廉法注初商之次 位亦乗負隅得四以減縱剰二十注 退位次商四紀右亦注末位為隅以 減余縱之二十餘一十六附註乃與 右四相呼先呼一四除四　一上陸變二再呼四六二十四恰盡得濶二十四亦有初商除實訖即以初商再減剰縱以所余為縱方而即以再商再減為下法者【前法倍初商為廉以減原縱此即以初商減剰縱不立廉數然已將原縱再減以應兩廉之數與倍商同】 初商除實八百訖即將初商之二十 再減余縱【四十】剰二十退位列之 次商四以減余縱【二十】尚剰一十六呼 除如前 右得廣二十四以除實積得縱三十 六若欲還原以廣縱相乗 長濶和變作通 長六十 濶二十四共負 四百八十 假如列實三萬三千六百長濶和四百列實亦列和 為減縱初商一乗負隅仍得一以減 縱【四】餘三百隨首位列注以呼所商 一三除叄訖　次倍初商一作二為 廉法以減縱四仍餘二注退位再商 二亦以減縱變二○為一八而以次 商呼之　一二除二一上叄變一 又呼二八一十六恰盡　格右加○ 以結末位得濶一百二十 右法同前但減縱有借法進位故録 為式 假如列實六萬九千三百六十長濶和七百八十二列 如前初商一以乗負隅仍得一減縱 【七】餘六相呼　一六除陸　一八除 八玖變一　一二除二叄變一訖 次倍一作二為廉法以減縱仍剰五 附列而縱數多於原數無可商除則 紀○於右並初次商得一十另倍一 十作二十為廉法挨注退位以二減 縱七是為　挨尾段列之續商二以相呼　二五除一十　進削一　二八一十六除盡得濶一百二【初商除訖即以先減縱數亦然】 假如列實九萬六千長濶和六百四十 初商二以乗負隅一仍得二紀右亦 注首位以減六　餘四以相呼　二 四除八　四上玖變一又呼二四除 八　四上陸變八　進削一訖 乃倍二作四為廉法以減縱六剰二 亦隨退位注之　次商四紀右亦注 退位為隅以減縱【只剰二】乃以四變○ 以商相呼　二四除八恰盡　因有 余位　右加○得濶二百四十 右法已見因縱有重位故録備例 若以積與虛長濶共若干而欲求其濶者及欲求其長者皆以共若干為帶縱方而求濶則以濶為負隅以長乗積為實求長則以長為負隅以濶乗積為實列例如左 假如直積八百六十四步三長五濶共二百二十八步求濶幾何以三乗積步得二千五百九十二為實【三長原有 三積故以三乗】五為負隅【已用三長尚少五濶故用為負隅暗 添五段濶方之積】以共步為帶縱列實定位 初商二紀右以乗負隅【五】得【○一】以一 減縱首　貳變一　余縱一百二十 八挨注首位與商相呼一二除二二 二除四退位伍變一　二八一十六退位玖變三進削一餘實三十二再以所商【二】乗負隅得【○一】以【一】減余縱剰二十八【即前倍方為廉之法】續商【四】以乗負隅得【○二】再減余縱二十剰八以呼所商四八三十二恰盡得濶二十四步 假如直積八百六十四步三長五濶共二百二十八步求 長几何以五乗積步得四千三百二 十為實【五濶原有五積故五乗之】以三為負隅【於原 縱減去二長故】以共步為帶縱初商三以乗 負隅三得九減縱注其退位九上貳 變三　進位貳變一餘縱一三八挨 注首位以呼初商一三除三　一上 肆變一　三三除九退位叄變四 進削一　三八二十四　八上貳變八　進位四變一餘積一百八十復以初商三乗負隅【三】得九以減縱九上三變四進削一剰四十八次商六又乗負隅【三】得十八亦以減縱剰三十與商相呼恰盡得長三十六步 又有以積與虛長濶和較共若干求濶者及求長者約和得長濶幾何並濶與較得長几何而視其所求為長為濶如前法以別實積及負隅而皆以共數為帶縱 假如直積八百六十四步一長二濶三和四較共三百一 十二步求濶幾何約三和自具三 長三濶以並一長二濶共四長五 濶又以四較益濶為四長共得八 長而餘一濶應八乗積步得數六 千九百一十二為實以餘一為負 隅以共步為帶縱初商二以乗負 隅【一】仍得二【因點為二段此為二十】以置縱 次位減之二上壹變九　進位叄 變二餘縱二百九十二列原積之下以呼所商二二除四二上陸變二　二九一十八次位玖變一　進位二變 一　二二除四　二上壹變七　進位一變○　余實一○七貳復以初商二又乗負隅以減縱二上九變七　剰縱二七貳續商四又乗隅減縱四上貳變八　進位七變六是為二六八以乗所商【四】除盡得濶二十四步又有以虛長虛濶約其子母共若干與積若干求長濶若干者法以長母乗濶子為濶率以濶母乗長子為長率又兩母相乗以乗共數為帶縱而約帶縱為幾長几濶以一乗原積為實以一為負隅如前法為減縱開平方除之 假如直積二千三百五十二步只雲長取八之五濶取三之二並得六十三步求濶者兩母【三八】互乗得二十四以乗相併【六十三】共一千五百一十二為帶縱而以長母【八】乗濶子【二】得一十六為濶率以濶母【三】乗長子【五】得一十五為長率則知此帶縱數內具有長十五濶十六也以長十五乗直積得三萬五千二百八十為實以濶一十六為負隅初商四紀右【有二點即作四十】以乗負隅得六百四十以減縱四上壹變七六上伍變八　進削壹　余縱八百七十二以注實下與商呼除四八三十二　八上伍變三進 削三四七二十八七上貳變四 進削三二四除八　尾位變○ 余實四百再以初商所乗隅算 【六百四十】減余縱四上七變三　六 上八變二餘縱二百三十二續 商二紀右以乗負隅得三十二 亦以減縱尾位除貳進位三變 ○剰縱二百與續商二相呼恰 盡得濶四十二以除直積得長 五十六 帶縱負隅減縱翻法開平方法【積和求長】 凡積與勾股和求股者原積但有長乗濶數而負長自乗之數法須損濶益長求之先立一為負隅以和為縱方而以負隅減縱方初商令稍浮常法以乗負隅減縱次呼余縱開積而原積不及翻以原積減商除之積而以余負積為實復以初商乗隅以減余縱如余縱不及即以余縱翻減以為負縱而隅積縱三者俱負乃以負縱約余負積以得次商命負隅以除負積為帶縱負隅減縱翻法開平方 假如直積八百六十四長濶和六十求長几何列實以和為縱方一為負隅初商三【有二段即系三十正得長濶之平損濶益長】紀右以乗負隅【一】仍得三以減縱剰三十與商相呼三三得九【即九百】而原積不及乃翻列九百於原積之上而以原積減之尾位○變六進位○變三　首位削九得余負積三十六為實再以初商【三】命負隅【一】以減余縱【三十】減盡乃約余實得次商六紀右以乗負隅【一】仍得六注尾位呼除負實六六三十六恰盡得長三十六 假如直積三千四百五十六長濶和一百二十求長几何列實定位列和為縱方立一為負隅初商七【有二段即七十】乗負隅【一】仍得七紀右以減縱方余縱【五即五十】以呼初商合除三千五百而原積不足乃翻以原積除之列三五於原積之上反以原積除之尾位○變四進位○變四　進位削五又進位削三　剰負積四十四為實仍以初商七十乗負隅減余縱【五十】而余縱不足乃以余縱【五十】反減初商【七十】餘二十為廉法挨注次位而縱又為負次商二紀右亦注二 於尾位為隅法共二十二皆與所商之二呼除恰盡得長七十二 亦有虛立長濶和較求長者假如直積八百六十四步一長二濶三和四較共三百一十二步求長若干依前法演 得八長一濶以一濶為實 八長為負隅共步為縱方 列實初商三紀右【即三十】以 乗隅【八】得二百四十以減 縱一變七進削三餘縱七 十二以呼所商【三】除積合除二千一百六十而積反不足乃翻以積除之列二一六○於上　肆上○變六　進位六變九　進位一變二　進位二變一　尚余負積一二 九六復以初商【三】乗負隅 【八】合減縱二百四十而余 縱【七十二】不足翻以余縱減 之剰負縱一百六十八是 余縱積算俱負 次約負積商六紀右以乗負隅八又並負縱共二百一十六挨注尾位以呼所商二六一十二　二上削二進削一　一六除六　一上九變三　六六三十六恰盡得長三十六 假如直積三千四百五十六步一長二濶三和四較共六百二十四步求長几何仍前八長一濶以一為實八為負隅共步為縱方初商七紀右以乗負隅【八】得五百六十以減縱方剰六十四注首位合除四千四百八○ 列原積上以視原積不 足翻以原積減之尾位 ○變四　四上八變二 六上四變○　進位 四變一　余負一千二 十四為實再以初商【七十】乗負隅【八】得五百六十者減余縱而縱又不足則翻以縱減之餘縱四百九十六而隅法縱法積法俱負續商二紀右以乗隅【八】得一十六併入負縱共五百一十二挨尾注之與所商二相呼恰盡得長七十二步 同文算指通編卷七 欽定四庫全書