同文算指 · 同文算指通編卷六

明　李之藻　撰 測量三率法第十一 凡測山嶽樓台城郭之髙川谷之深土田道里之逺舊名勾股法立表或立重表參望相直乃以開方求之今立器以代表名曰矩度而以三率代開方之算勾股者植立地上為股其影橫地上為勾今半矩木尺其制也矩度之形平方而取橫直二邊各刻為度互為勾股立為直影倒影二算義同勾股而法稍捷 制矩度法以堅木或銅版其制平方上畫甲乙丙丁四直角方形【務取極方詳具幾何原本】用甲乙邊立兩耳平對各通一竅名曰通光以便窺望以甲角為矩極系線任其垂下以權鎮之次自甲至丙斜界一線分矩面為兩平分乃並乙至丙及並丙至丁各依原邊線又平行二線俱勻分十二度其度各自其邊界望矩極分之近極為虛線外用為實線或每度更分三分五分六或分至十二皆 隨版體大小為分愈細則法愈 密矣用時甲昻乙低以目射兩 竅與所望之物參相直視其繩 之所值何度何分以算推之或 不設兩竅只立相等兩小表亦 可凡測望必以所求物與立矩度處為直角形取平【解在防何】有不平者須先准平然後測量次論直倒二景直影者繩在乙丙界內即勾影也如立表地中影落地面者是倒影者繩在丁丙界內即股影也如立表牆上影射牆面者是凡有所窺測而望者前卻其步使其繩適在甲丙是為勾股平等知勾即得股知股即得勾其不然者須將倒直互變推求且如求髙求深所求在股即權繩宜在直度而卻在倒度則當變倒為直若求逺求近所求在勾其權繩宜在倒度而卻在直度則當變直為倒各以通二度之窮其互變之術皆以矩全度為準【少者用十二多者用一百四十四】假如繩在倒影三度今欲變為直影度者法以矩度為實三度為法除之得四十八為直影度假如繩在倒影五度三分度之二欲變直度者因有三之二每度以三通之得一十七為法亦以三通其矩度得四百三十四為實以法除之得二十五度餘十七分度之七為直度也其繩在直度而欲變為倒度者亦如之【詳見徐太史測量法義】 量影測髙 已知影長若干欲測其髙者如測日影即以矩度向日目切於乙甲耳在前日光透於耳之兩竅權線與矩度相切任其垂下審值何度何分若在十二度之中正對角線丙際則影與物必正相等知影防何長即得物防何髙矣 若權線在直影邊則影小於物而直影上所值度分為第一率以矩度十二為第二率以物影度為第三率二三相乘一除之得第四率為其物髙 假如欲測己庚之髙線在直影乙戊得八度正其庚辛影長三十步即以矩度十二乘庚辛之三十得三百六十為實以乙戊八度為法除之得四十五即己庚髙四十五步 若權線在倒影邊則影大於物以矩度為第一率以倒影上所值度分為二率以物影度為三率算之得物之髙 假如欲測己庚之髙線在倒影丁戊得七度五分度之一庚辛影六十步即以丁戊七度五之一乘庚辛之六十得二千一百六十為實以矩度六十分為法除之得己庚之髙三十六步【因權值有零分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一從之為三十六分其表】 【度十二亦通作六十分】 從髙測影 若已知物髙若干欲測其影者以矩度承曰審值度分若權線在丙則影與物等若權線在直影邊即物大於影以矩度十二為第一率直影度分為第二率物髙度為第三率算之得數為影度 若權線在倒影邊即物小於影以倒影度分為第一率矩度為第二率物髙度為第三率算之得數為影度 以目測髙 已知庚辛之逺欲測己庚之髙人目在辛先量自目至足其髙防何乃以矩度向所測物頂甲耳在前目切乙後目與矩耳及髙相參直細審權線值何度分假如權線在直影乙戊以乙戊度為第一率矩度為第二率次量庚距辛之逺防何為第三率二三相乘以一除之得物 之髙 假如權線在倒影丁戊即以矩度為第一率丁戊倒影為第二率庚辛為第三率照前算之 若權線不在丙而有平地可前可卻即任意前卻至權線值丙而止不必推算既知辛庚即知己庚 若人目在辛求己庚之髙而為山水林木屋舍所隔或地非平面不欲至庚或不能至者則用兩直影之較起算其法依前以矩竅向物頂審權線在直影否如在倒影即以所值度分依法變作直影次從所立之辛依地平取直線或前或卻任意逺近至癸仍以矩竅向物頂審權線在直影否如在倒影亦以所值度分變作直影乃以兩直影度分相減之較為首率以矩度為二率辛癸大小兩矩之較為三率依法算之得己壬之髙又加自目至足乙癸之數得己庚之髙假如欲測己庚之髙如前圖先從辛立望得直影小乙戊為五度次卻立於癸得直影大乙戊為十度丙影之較五度為首率矩度為次率次量足距之較從癸至辛十步為三率依法算得二十四步加目至足之乙辛或乙癸試作一步即知己庚之髙二十五步　如後圖先於辛得直影小乙戊為十一度次退立於癸得倒影九度當如前變法作大乙 戊直影十六度得景較五度以為首率矩度為次率次量距之較癸辛二十步為三率依法算得四十八步加自目至足或一步即知己庚之髙四十九步 地平測逺 欲於已測己庚之逺先除自目至足之髙為甲己若量極逺則立樓台或山嶽之上以目下至地平為甲己【測髙法見前】次以矩極甲角切於目以乙向逺際之庚如前法稍移就之俾甲乙庚相參直細審權線值何度分 如權線在丙則髙與逺等 若權在乙丙直影邊即逺數不及髙數以矩度十二為首率直景乙丙為二率甲己為第三率算之得己庚逺 若權在丁丙倒影邊即逺過於髙以倒影丁丙為首率以矩度十二為次率甲己為三率算之此所置一率二率視前測髙之法互換雲 測深 凡從井上測深者井口或徑為己庚井面為辛壬欲測 己壬之深用矩極甲角切目以乙 從己向對面水際之辛如前法稍移 就之令目與竅與辛相參直垂下權 線假如線在直影乙戊三度為首 率矩度為次率次量己庚井口十 二尺為三率算得四十八尺為己 壬之深 若權線在倒影三度則依法變為 直影得四十八度而以矩度十二為首率變得直影度為次率井口乘之歸除數同 以上用矩度者如無矩度另有用鏡用表用尺諸法【具後】 平鏡測髙【用盂水亦同】 欲知甲乙之髙置平鏡於丙人立於丁其丙丁取平人目在戊向物頂之甲稍移就之令目見甲在鏡中心而甲影從 鏡心射目乃量自丁至丙之度為首率丁戊為次率乙丙為三率算之得甲乙髙 以表測髙【凡立表必三面垂線以取端直】 已知乙戊之逺而欲測甲乙之髙立表於丙為丁丙退立於戊置乙丙戊為極平線人目在己視表末丁至物頂甲相參直次量目至足數移置表上為辛以截取丁辛之數其辛己線與乙丙戊為平行若其表僅 與身等或小於身另立一小表為己戊而以目切之為己亦可乃以丙戊為首率丁辛為次率乙戊為三率算之得甲庚之髙加目至足之數己戊即得甲乙之髙若戊不欲至乙或不能至則用兩表之較為算如前圖立於戊目在己望丁至甲移己置辛得丁辛數乃或前或卻又立一表【或即用前表或兩表等】為癸壬目在丑王癸至甲亦移丑至寅得癸寅數此癸寅與丁辛之度相同而丑寅度必小於己辛度以相減截己辛於卯得卯辛較為首率以表目相減之較癸寅或丁辛為二率以兩目相距之較己丑或戊子為三率算之得甲庚加自目至足之數得甲乙之髙【前圖為進步立重表者後圖為退步立重表者】 以表測地平逺 欲於甲測甲乙之逺依地平立丙甲表此表稍矬於身以便窺望次卻立於戊目在丁視表末丙與逺際乙相參直次移丙度於己截取丁己之度為首率以丙己或甲戊為次率丙甲表度為三率算之得甲乙 之逺 以矩尺測逺 欲於甲測地平逺者先立一表為甲丁與地平為直角次以矩尺之內直角置表末丁上以丁戊尺向所望逺際之乙稍移就之使丁戊與乙相參直次回身從丁丙尺上亦望地平之己使丁丙與己相參直乃量己至表下甲為首率表身丁甲為次率又為第三率依法算之得甲乙逺 以重矩兼測無廣之深無深之廣 有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之廣欲測乙丙之深則用重矩法先於甲岸上依垂下直線立戊甲己勾股矩尺其甲己勾長六尺人從股尺上視勾末己與谷底 丙相參直以目截取戊甲股上之庚 庚甲之髙得五尺次又於甲上依垂 下直線取壬壬去甲一丈五尺於壬 上亦依垂直線更立一辛壬癸勾股 矩尺壬癸勾亦長六尺從股尺上視 勾末癸與谷底丙相參直而以目截 取辛壬股上之辛辛壬之髙八尺如 欲求深者以前股所得庚甲五尺與 兩勾間壬甲十五尺相乘得七十五尺為實以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法除之即得乙丙深二十五尺如欲求廣者以勾六尺與兩勾間十五尺相乘得九十尺為實以辛子三尺為法除之即得甲乙之廣三十尺【測深法與重表測逺同測逺法與重表測髙同】 移測地平逺及水廣 凡測江河谿壑之廣逺身不能至而其傍近有平地與彼相當者立表於乙際為甲乙與地平為直角次用一小尺或竹木等為丙丁斜加表上稍移就所望之戊使丙丁戊相參直次以錶帶尺旋轉向平地以目視丙丁尺端所直得己次自乙量至己即得乙戊之數　如不用 表即以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁亦便 以四表測逺【前測逺諸法不依極髙不得極逺此法能於平地測極逺】逺望一山或城或台為甲欲測其逺擇平曠處立表【前雲 依地平線必依直線取平此不必拘】為乙次 任卻後若干步更立一表 為丁望兩表與甲一直線 次從乙丁各橫行若干步 取平方為四角形其二角為丙為己就丙上更立一表又從丁己直行若干尺望丙與甲一直線此際立表為戊乃以乙丙減丁戊之較為首率乙丁為次率乙丙為三率算之得乙逺 假如丁戊三十六乙丙三十相減餘六乙丁四十以六為首率四十為次率三十為三率算之得二百四十為甲乙逺 測髙深逺近不諧布算而得其度 凡測量必先得三率而推第四率三率者其一直影度或倒影度其二所立處距所測物之底若不能至者則其影較度或兩測較度也其三表度或距較度也設如測一髙其影較八而距較十步其影較八【一率】與表十二【二率】 之比例若距較十步【三率】與其所求之 髙【四率】如不諳算法則於平面畫作甲 乙甲丙兩直線任和交於甲從甲向 乙用規作八平分為影較甲丁次用 元度從丁向乙規取十二平分為矩 度丁乙次從甲向丙規取十平分為 矩較甲戊【此用度與前兩率度任等不等】乃從戊至 丁畫一直線次從乙亦畫一直線與 戊丁平行而截甲丙線於丙次取甲戊元規度從丙向戊畫得若干分即所求之髙 又法若景較七度有半距較八度三 分度之一即物髙度十三步三分步 之二如後圖加目至足髙即得全髙 附勾股畧 測量之法専用半矩則勾股所必借也故補入勾股以顯測望原本舊法勾三股四五葢勾自乘股自乘並之即自乘數故得勾股可以求得勾可以求股得股可以求勾而引伸其義可以求勾股中容方容圓可以各較求勾求股求可以各和求勾求股求其變無窮今撮其要者十五則著於篇 句股求 甲乙股四乙丙勾三求以股自乘得十六勾自乘得九並得二十五為實開 方得甲丙五【開方法見後編】 勾求股 如前圖乙丙勾三自乘得九甲丙五自乘得二十五相減得較十六開方得甲乙股四 股求勾 如前圖甲乙股四自乘得十六甲丙五自乘得二十五相減得較九開方得乙丙勾三 勾股求容方 甲乙股三十六乙丙勾二十七求容方以勾股相乘得甲乙丙丁方形為實並勾股得甲戊長線六十三為法 除之得庚戊長方其辛乙乙癸各 邊俱一十五零六十三之二十七 約之為七之三為勾股內所容方形 余勾余股求容方求勾求股 甲丁余股七百五十戊丙余勾三十 求丁乙戊己容方邊以丙戊勾甲丁 股相乘為辛壬己庚方形得二萬二 千五百為實開方得容方乙丁丁己 各邊俱一百五十加余股得股九百加余勾得勾一百八十【辛壬己庚形與丁乙己戊方形等説見防何原本六卷其羃相同故開方即容方】 容方與余勾求余股與余股求余勾 容方丁乙己丁各邊俱一百五十戊丙余勾三十求甲 丁余股以容方邊自乘為實以余勾 為法除之得甲丁余股七百五十以 容方與余股求余勾法同【辛己方之羃既等丁 戊方之羃矣開方即容方矣加余股非全股乎加余勾非全勾乎】 勾股求容圜 甲乙股六百乙丙勾三百二十求容圜以勾股相乘得一十九萬二千為甲乙丙丁方形倍之得三十八萬四千為丙丁戊己方形以為實別以勾股求得甲丙邊 六百八十並 勾股得甲 辛長線一千 六百為法除 實得辛壬癸 甲長方形其辛壬邊相等之乙子二百四十即容圜徑半徑為圜心【於甲乙線引長之截乙庚與勾等庚辛與等得甲辛為和和為法除實即成辛壬癸甲長方形與丙丁戊己方形之羃等而壬癸邊截乙丙勾於子次作子丑寅乙小角方形此各邊名和較皆容圜徑亦皆切圜線也詳著徐太史勾股義】 又法甲乙股六百乙丙勾三百二十並得九百二十與甲丙六百八十相減亦得乙子二百四十 勾股較求股求勾 甲丙四十五甲乙股甲丙勾之 較為甲丁九求股求勾以自乘 得二千○二十五為甲戊方形倍 之得四千○五十為己丙方形較 自乘得八十一為甲庚小方形以減己丙之兩羃存三千九百六十九為實開方得勾股和六十三即丑辰大方形四邊之一也以之加較九得七十二半之得三十六為甲乙股即以減較得二十七為乙丙勾【丑辰方形內之丑寅方及卯辰方兩股羃也丙壬方癸子方兩勾羃也以比甲己方形只中心多一個較羃耳故減此開方即得勾股和矣再加較得兩股故折半得股以減較得勾】 勾較求勾求【附較和求勾求和較求勾求】 甲乙股三十六乙丙勾甲丙之較為甲丁十八求勾 求以股自乘得一千二百九十六 為甲戊方形較自乘得三百二十四 為庚丁小方形兩方形相減【於甲戊方內去 其等庚丁　方之辛癸　方即得甲壬戊之磬折形】存九百七 十二為實倍較乙寅為法除之得乙 子長方形其丙乙之邊二十七為勾以加較得四十五為甲丙【乙子方何以等於甲壬戊形之實也葢加一同較羃之乙丑形以成子卯癸之磬折形即與股羃甲戊方形等也又甲辰方形羃也內兼勾股二羃試照庚丁較羃分作庚未未午午丁三形其申未及酉戌較也庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也庚未形未午形相併勾羃也庚丁形丁午形相併股羃 也各加較羃則甲戊午之磬折形與子卯癸之磬折形　　　　　等亦與甲戊股羃等內各減較羃則乙子方形即甲壬戌磬折形矣】 又法股自乘得甲己方形一千二百 九十六為實以勾較甲丁十八【即同 乙癸】為法除之得甲壬之勾和七十二 加較得九十半之得四十五減較 得勾二十七【甲壬何以知為勾和葢羃甲丑形內既兼】 【勾股羃矣試以甲丁之度移於子卯又移於丑辰於卯寅分為三方形其丙丁寅辰形勾羃也則甲卯卯辰兩形並即股羃也亦即甲辛長方形也子卯也卯寅也甲庚也皆較也甲子也卯丑勾也故甲辛形內之甲壬線為勾和】 若以股與較和求勾求者股自乘為實次以股減較和余即勾較除實得勾和乃以加減同前若以股與和較求勾求者股自乘為實以股減和較余即勾較除實加減同前 股較求股求【附和較求股求較較求股求】 乙丙勾二十七甲乙股甲丙之較為丙丁九求股求以勾自乘得乙己方形七百二十九較自乘得丙丑 方形八十一【丙庚同】相減存乙庚己磬 折形得六百四十八為實乃倍丙丁 較為辛乙線以為法除實得辛壬方 形其乙辛邊三十六即甲乙股數以加較得甲丙四十五【羃甲癸方形內兼勾股二羃試依丙丑較羃線分作甲丑形丑癸形丑子形即丑子為股羃而余為勾羃之實也甲丑與丑癸並固與乙庚己磬折之形等亦與辛壬長方之形等而辛乙兼丁丑丑寅之兩較甲丁及寅癸均為兩股合併成乙壬之股】 又法勾自乘得丙戊方形七百二十九為實以丙丁較九為法除之得丙己方形其丙庚邊八十一為股和 加較得九十半之得四十五減 較得股三十六【丙庚線何以為股和也甲丙羃 內兼有勾股二羃試依丙丁較截作丁辛形丁癸形癸壬形即壬癸】 【方形為股羃而余為勾羃亦即丙己長方形之實也夫甲癸也壬辛也庚己也均較也而甲丁之股丙辛之並之非丙庚乎故云股和】 若勾與和較求股求者勾自乘為實次以勾減和較余即股較除實得股和乃以加減同前又勾與較較求股求者勾自乘為實以勾減較較余即股較除實加減同前 勾股和求股求勾 甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三求勾求股以自乗倍之得四千○五十勾股和作甲丁線自乘得甲己方形三千九百六十九相減得八十一開方得勾股較甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六減較得乙丙勾二十七【勾股和自乘為甲己方形此形內函甲辛及癸己之兩股羃乙寅及庚壬之兩勾羃而中間重借一癸辛小方形正其較羃若以自乘只得一勾一股羃倍之當得兩勾兩股羃今以減甲】 【己方形少一較羃之癸辛形故以癸辛開方得較也】 勾和求勾求【附和和求勾求較較求勾求】 甲乙股三十六乙丙甲丙勾和七十二求勾求以股自乘得一千二百九十六又以勾和作乙己線自乘得五千一百八十四為乙戊方形次用股羃減之【就乙戊大方內減去庚壬長方】餘三千八百八十八【即丁辛及丙己兩長方形】半之得 一千九百四十四為實以勾和 乙己為法除之得乙丙勾二十七 以減和得甲丙四十五【何以知庚壬長 方為股羃也試於乙戊方之乙己線以勾度截之取子寅二防作子】 【癸線寅丑線又照取丙庚二防作丙壬庚辛二線則一形內四隅有勾羃四中央有較羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰為勾較相乗之羃亦四也夫一勾一較相併為則卯己之方形為冪而冪之內存一午己之勾冪而此外子午辛之磬折形即為所減之股羃茲以庚未形代子午形則庚壬固所減之股羃矣此丁辛丙己兩形所以為減余形也半之即丙已形次以乙己線除之】 又法股自乗得一千二百九十六 以勾和七十二為法除之得十 八為勾較加勾和得九十半 之得四十五為減較得二十七 為勾【此與前勾較求勾求又法同理】 若以股與和和求勾求者既得股自乗之數乃以股減和和余即勾和除之得勾較加減如前因多一股故用一減 又股與較較求勾求者股自乘為實以股並較較即得勾和除實加減同前 股和求股求【附和和求股求較和求股求】 乙丙勾二十七甲乙乙丙股和八十一求股求以勾自乗得七百二十九股和自乘為乙丁方形得六千五百六十一乃以勾羃相減去戊己長方形 存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六為實以和為法除之得甲乙股三十六以減和得甲丙四十五【大方形內之戊乙句羃也餘論同前】 又法勾自乘得七百二十九以股和八十一為法除 之得九為股較加股和得 九十半之得四十五為減較 得三十六為股【此與勾較求勾求又法同理】 若以勾與和和求股求者勾自乘為實以勾減和和仍得股和除之餘如前亦因多一勾故用一減若以勾與較和求股求者勾自乗為實勾和相併即股和除之 股較勾較求勾求股求 甲乙股甲丙較二乙丙勾甲丙較九求勾求股求以二較相乘得十八倍之得三十六為實平方開之得六為和較加勾較九得甲乙股十五加股較二得乙丙勾八以勾較加勾或股較加股得十七為甲丙【此最要者在求與勾股和之較法以二九互乘是乘兩次也故倍之戊癸及子丑長方 形是也倍之而開方得六即和較矣然所以三十六開方為和 較者何也葢一之羃常兼有勾股兩羃今試於甲乙股線引之加 甲辰之亦於丙乙勾線引之加乙午之於甲丙引之加丙艮 之股艮申之勾此三線者各以自乘為三大羃則兼勾股之羃比 諸股與勾相併之羃共欠四十九數而此四十九為合減之數就 於多羃中心減之所餘三十六即開方之和較何者試取三大羃 而各以元設之勾股分之為諸小羃相當相抵其甲酉羃內多勾 股矩之形凡二其丙戌或乙亥羃內多羃一以此兩多之形又相 當抵所差者有四十九數而原設股較二勾較九相減餘七自 乗之數亦相符焉至於中心減之而餘三十六葢又有説試以股 較二自乘得四為己庚方形以勾較九自乘得八十一為辛壬方 形並得八十五而以四十九減之減去干兌形其餘形之干離離壬 及己庚形合三十六即前二九互乘戊癸子丑之數也用此開方得 六以作寅卯方形令於甲酉方減此寅卯而丙戊方亦減辛壬而乙 亥方亦減己庚則其兼勾股之羃不等於股勾之二羃乎葢 甲酉四隅四羃也乙亥四隅四股羃也丙戊四隅四勾羃也所謂 羃兼勾股羃者既相當抵而甲寅辛坎兩形並亦與寅防方形相 當中心除出干兌之四十九而干離離壬及己庚又與寅卯相當故 以寅卯開方求之而和較得焉夫丙巽即寅卯邊也在甲丙巽申 兩之間者也丙距申為勾股和則丙截巽為和較明矣已得 和較即以元設兩較相加而勾股皆可得矣加九者巽距艮也艮 申為勾而艮丙為股也加二者丙距坤也坤甲為股而巽坤為勾也】 【以巽艮益艮申以丙坤益坤申皆也】 勾和股和求勾求股求 甲丙乙丙勾和七十二甲乙甲丙股和八十一求勾求股求以兩和相乘得五千八百三十二為乙己 長方形倍之得一萬一千 六百六十四為丁戊大方 形以為實平方開之得己 庚形其邊一百○八為 和和求乙丙勾者以股 和減之得勾二十七求甲乙股者以勾和減之得股三十六欲求者以勾股和減之得四十五【己庚形與丁戊形等其開方邊為和和者葢丁戊全形內有羃二股矩形及勾矩形各二與己庚方形內諸形比各等其丁戊形內餘一羃己庚形內亦餘一句羃一股羃又相等故己庚形之各邊皆和和】 論曰勾股三合成形錯綜立義勾股相減其差曰較勾股相併其名曰和股之差曰股較勾之差曰勾較並勾股與較其差曰和較勾股之差與相減其差曰較較股相併曰股和勾相併曰勾和勾股之差並曰較和勾股並曰和和勾股各自乘並之為實故開之得勾各自乘減余為股實故開之得股股各自乘減余為勾實故開之得勾勾股和自乘倍實相減開其餘即勾股較也勾股較自乘以減倍實開其餘即勾股和也並勾以除股實得勾較若以勾較除股實即得勾和矣並股以除勾實得股較若以股較除勾實即得股和矣勾股和自乗減實除以較較得較和矣除以較和非即較較乎勾股較自乘減實除以和和則得和較矣除以和較非即和和乎勾乘股為實並勾股為法除得容方徑勾乘股倍之勾股求並之除得容圜徑容圜之徑即和較也又錯綜論之勾為主以加股較即較較以減股較即和較若加較和又即股和也股為主以加勾較即較和以減勾較即和較若加較較又即勾和也勾股較為主以加股較即勾較若減股和亦即勾和也勾股和為主以加股較復得勾和若減股和亦得勾較也至若諸較諸和法相因配連綴減半恆得所求若取勾股較以加勾股和半之得股以減勾股和半之得勾若取股較以加股和半之得以減股和半之得股取勾較者以加勾和半之得以減勾和半之得勾取和較者以加和和半之得和以減和和半之得取較較者以加較和半之得以減較和半之得較加減乘除圜變不滯神而明之存乎其人逺近髙深方圜弧矢准此而推亦在乎熟之而已 開平方法第十二 凡平方開者依除法列位先審當以幾位除盡列實自末位下防記之每隔位一防每一防即定開下一位乃從左位起用自乘開除凡防在左首位下者以一字取數自乘【如系九數則用三除三三見九除盡之類】若防在左次位下者以二字共取一數自乘各除之【如系一六則用四除四四一十六除盡之類】是為初商以紀格右亦注首防之下兩相呼除不盡者作餘數再商【如系二十者用五則廿五矣是不可也須用四自乘得十六外剩四作餘數以再商除之】倍初商為亷法注初防初商之次位若干以除上位視其可得防轉以定次商若干注次防之下為隅法亦紀于格右先與亷呼除若干再與隅呼除若干有不盡者再倍亷法商除如前若剩數僅及開數一倍以下以法命之【開者一面數也加倍又加一數乃得二面是於小平方外添一勾股為大平方若不及加倍増一總是不滿方面即以加倍増一為母餘數為子命曰幾分之防】 列式 列實二千一百一十七萬八千四百○四凡八位従末位防起每隔一位用一防共四防知用四字開盡 此首位無防而防在次位者以二一相連且作二十一數隻一字開之 初商用四除注防下亦紀格右四四乘之除一十六尚剩五　四上一變五完首段 既用四自乘除剩五矣第二段所防従五至七凡三位且只作五百八十四而商以從簡便先立亷法須倍前商數前系四則此倍作八注八於次位之下如以八而除五十一者然也乃商五十一有防個八該得六紀六于格右四字之次亦注次防下為隅法如八十六者然乃與次商相呼先呼六八除四十八剩三數八上一變三尚剩三十七又以六六相呼要見六於三十七內恰好否若可除則用六如總數不足則寧減一數以就之如前除法相似所謂商也此呼六六三十六尚剩一六上七變一完次段除實二千一百一十六萬餘實一萬八千 次於所剩之一除起因此第三防管 到四字止則自一到四作一百八十 四除之其格右四六乃四十六倍作 九十二列次下為亷法列式且讓四下 之防不填以待所商之隅法而列二 於八下列九於一下凡亷法商法冩 式皆仿此九不可除一作○于格右 四六之次以存虛位余皆抺之另商 第四防所用仍剩一萬八千四百四 竟以一數開畢 前所用四六○是四百六十仍再倍為 亷法當作九百二十數讓空四下所防 一位不填以待隅法而列九於八下列二於四下列○於○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也當用二為再商右紀二亦注於所防四下為隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二減四次○不必除次又以二乘二除四恰盡凡開方每面四千六百零二若欲還原用自 又有開方不盡者 具式於後假如列 實四億五千六百 七十八萬九千○　　　　首防左第一位下只以本 一十二數凡九位　　　　一位開之首位系四當用 從小數間防至大　　　　二蓋二之自乘四也系二 數共五防該以五　　　　於四下右紀二為初商相 位開盡　　　　　　　　呼二二除四完初段除實 四億餘實五千六百七十 八萬九千一十二俟再商 次除五六且作五十六以從簡 便倍初商二作四為亷法讓防 下一位系四於五下所商以四 除五得防轉四除五隻一轉右 紀一亦注一於防下先呼一四 如四五除四剩一四上五變一 次呼一一如一六除一剰五也 一上六變五完二段除實四億 四千一百萬餘實一千五百七 十八萬有竒另商 次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是為二十一今倍作四十二為亷法空有防之八以待隅法而系二於七下系四於五下要商四除一十五凡幾轉計得三轉即用三數為再商紀格右亦系三於有防八字之下先呼三四一十二於十五內除十二則抺五改三進抺一又呼三二是六於七內除六尚剰一則抺七改一又呼三三是九於八內除九依借法抺八改九進位一變○完三段余實三百九萬九千有竒次除三○九九 ○之一段因前用二一三是為二百一十三今又倍其 數作四二六為亷法空有防之○ 而於九下系六於進位九下系二 於○下系四先以四商上三○看 四除三十凡防轉該七轉則用七 紀七于格右亦繫於有防○下以 相呼先呼四七二十八於三十內 除二十八尚剩二數四上○變二 進抺三次呼二七一十四於廿九 內除十四二上九變五進位二變 一次呼六七四十二六上九變七進 位五變一次呼七七四十九依借法 七上○變一進位七變二完四段余 實一十一萬二千一百一十二另開 次除一一二一一二總作一段前已用二一三七是為二千一百三十七今倍之當作四二七四為亷法空有防之二而於進位一下系四於又進之一下系七於進二下系二於進一下系四先以四商上一十一看除該二轉則用二紀格右亦系二於末位防下而先呼二四為八以除一十一餘數三乃抺一改三進抺一 次呼二二為四依借法二上二 變八進位三變二又呼二七一 十四依借法七上一變七進位 八變六再呼二四為八依借法 四上一變三進位七變六又呼 二二為四依借法二上二變八 進位三變二完第五段除實四 億五千六百七十六萬二千三 百八十四餘二萬六千六百二 十八為不盡數 右開方二萬一千三百七十二以自乘得四億五千六百七十六萬二千三百八十四併入餘數二萬六千六百二十八得原數 開平竒零法第十三 凡開方法有可盡者如十六用四除盡如二十五用五除儘是也亦有必不可盡者假如列實二十者用四除去十六尚餘四此所余之四將何術以開之其法依除法立子母數倍用數為亷法外加一為隅法並為母而以餘數為子乃以原所用開之數依母數化之而並子數俱以為子乃以母自乘子亦自乘以取開方而以小數除其大數視其所得之數若干即開盡數若原數內 更有未盡者再法開之　　　　倍用數得八加一為 母共九而以餘數四 為子次以用數乘母 共三十六並子四共四十 以八十一而 除一千六百 得一十九零 八十一之 六十一為 開方之數 尚有未盡 另法具後 右法於二十數內開過一十九零八十一之六十一比前但開除一十六者所得多矣然尚餘八十一之二十未盡另立一法開焉用盈不足對稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不 足五對前四又九　　　　　　　　五內除四餘一依前 之四而以少除多　　　　　　　　法化一為九內又除 【以五為實以四又九之四為法除之】　　　　　　　四餘五是九之五也 乃以前四零九之四者而　　　　五八並得十三倍之為八零九之八併入今　　　除一九是一整餘九之五共得九零九之四　　　數尚剰九之四【其倍之為亷法也併入今余又用盈不足相併】 次取九零九之四以除前所余未盡八十一之二十依化法整九與母九相乘得八十一併入子四共八十五 是為九之八　　　　　　　　　　　兩母乘得六 十五又倒位　　　　　　　　　　　千八百八十 對相母乘母　　　　　　　　　　　五兩子乘得 子乘子　　　　　　　　　　　　　一百八十 又以母子乘　　　　　　　　　　兩母數以九乘 出之數與原　　　　　　　　　　六千八百八十五 存九之四十　　　　　　　　　　得六萬一千九百 對列而以兩　　　　　　　　　　六十五為共母其 母相乘為母　　　　　　　　　　子數以六千八百 次以子母互　　　　　　　　　　八十五乘四十得 乘各為子而　　　　　　　　　　二十七萬五千四 並之【原存盈數也今】　　　　　　　　　　百以九乘一百八 【乘出數不足也亦相併】　　　　　　　　　　十得一千六百二 九百六十五之二萬九千一百六十約 之即十七分之八也為開方零數 若欲知其已於二十數內除過防許即將四零十七分之八自乘之依法先以四各化為十七加八俱為子數而仍以十七為母母子各自乘以見開方【母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六】而以母數除子數即見 依除法已開淨一十九零二百八十九之二百八十五較前十九零八十一之六十一逺矣尚餘二百八十九 之四未盡欲盡 之再依前法開 除 又法以四開二十因用四開之不盡乃用四零二之一 數加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之【八化三十六得二百八十八併入三十四得三百二十二】為三十六之三百二十二若用約法則為八零十八之十七亦依法化之【八化十八得一百四十四併入十七共得一百六十一】為一十八之一百六十一此倍出亷數也以之倒位而對前所餘數母子俱自乘 仍對前所化 亷數求之 次以所約之母子與原亷母子相對而依法以乘母者並母次以兩子各乗總母得數對減余為實乃取所並 此為開方不足之數比前則所剩微矣欲開盡依法再推同文算指通編卷六 欽定四庫全書