數學鑰 · 卷六

欽定四庫全書 數學鑰卷六 柘城杜知耕撰 勾股 一則 勾股求? 設勾六尺股八尺求?法曰置勾股各自乗【勾得三十六尺股得六十四尺】兩數並【共一百尺】平方開之得十尺即所求解曰不論勾股相等與否勾上方形及股上方形並 必與?上方形等如甲乙丙 勾股形甲乙勾與丙乙股等 試作乙丁等高同底方形其 邊與甲乙等必為勾上方又 與丙乙等亦必為股上方再 作戊巳外切方形其邊與甲丙等即為?上方若於形內減去乙丁方形余甲乙戊等四三角形並之復等一乙丁方形【一卷十一則】以乙丁為勾方以等乙丁之四三角形為股方並之不等於戊巳?方乎又如庚 辛壬勾股形庚辛短辛壬長 勾與股不相等者於庚辛勾 辛壬股庚壬?上各作方形 為庚癸辛子辛丑次作辛寅 辛癸辛辰壬丑庚子五線幾 何原本雲庚辛壬與庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直線依顯庚辛辛巳亦一直線又壬庚辰與辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰與壬庚丑兩角亦等依顯辛壬癸庚壬子兩角亦等又庚 辛辰三角形之辛庚庚 辰兩邊與庚壬丑三角 形之丑庚庚壬兩邊等 辛庚辰與壬庚丑兩角 復等則對等角之辛辰 與壬丑兩邊亦等而此 兩三角形亦等矣夫辛 丑方形倍大於同庚丑底同在平行線內之庚壬丑三角形【一卷八則既謂直形等於平行線內同底之象目形則必能倍大於平行線內同底之三角形】而辰卯直形亦倍大於同庚辰底同在平行線內之庚辛辰三角形則辛丑方形不與辰卯直形等乎依顯辛子方形與癸卯直形等則癸庚一形與辛子辛丑兩形並等矣法以勾股各自乗求勾股上兩方形也兩形並則為?上之方積故平方開之得?也二則 勾?求股 設勾六尺?十尺求股法曰置勾?各自乗【勾得三十六尺?得一百尺】兩數相減【餘六十四尺】平方開之得八尺即所求解曰?上方積當一勾一股上方積於?積內減去勾積所余非股積而何故平方開之得股 三則 股?求勾 設股八尺?十尺求勾法曰置股?各自乗【股得六十四尺?得一百尺】兩數相減【餘三十六尺】平方開之得六尺即所求解曰?積內減去股積所余必勾積故平方開之得勾 四則 勾股積及勾股較求? 設勾股積二十四尺勾股較二尺求?法曰置勾股積四因之【得九十六尺】另置勾股較自乗【得四尺】兩數並【共一百尺】平方開之得十尺即所求 解曰甲乙丙 勾股形與戊 巳甲丁庚戊 乙辛丁三勾 股形等甲丙 為甲乙丙形之股甲巳為戊巳甲形之勾於甲丙截甲巳余己丙則勾股較也丙辛辛庚庚巳各與己丙等是己辛為勾股較上方形又甲乙為甲乙丙形之?而丁乙戊丁甲戊各與甲乙等是甲丁為?上方形今並五形成一甲丁方形則是一?上方形與四 勾股積一勾股較上方積並等矣 故四因勾股積併入勾股較自乗 之積平方開之得?也又如壬子 癸勾股形壬子勾與子癸股等四 形並即成一壬丑?上方形而無餘凡遇勾股相等之勾股形四因積平方開之即得?度 五則 ?及勾股較求勾股積 設?十尺勾股較二尺求勾股積法曰置?與勾股較各自乗【?得一百尺勾股較得四尺】兩數相減【餘九十六尺】以四歸之得二十四尺即所求 解曰?上方積減去勾股較上方積必餘四勾股積故四歸之得一勾股積 六則 ?及勾股積求勾股較 設?十尺勾股積二十四尺求勾股較法曰置?自乗【得一百尺】另置勾股積四因之【得九十六尺】兩數相減【餘四尺】平方開之得二尺即所求 解曰?上方積減去四勾股積所余必勾股較上方積故平方開之得勾股較 七則 ?及勾股和求勾股較 設?十尺勾股和一十四尺求勾股較法曰置?自乗 【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和 自乗【得一百九十六尺】兩數相減【餘四尺】平方開之得二尺即所求 解曰甲巳方形內凡八勾股 形而皆等乙戊為戊丁乙形 之股甲乙為乙丙甲形之勾甲乙乙戊並得甲戊乃勾股和也餘三邊皆等於甲戊是甲己為勾股和上方形又丙丁為?上方形辛壬為勾股較上方形【本卷 四則】夫?上方形內得勾股形 四及勾股較上方形一勾股 和上方形內得勾股形八及 勾股較上方形一是一勾股 和上方形當?上方形二而 少一勾股較上方形也故倍 ?羃減勾股和自乗之積平方開之得勾股較八則 勾股和及勾股積求? 設勾股和一十四尺勾股積二十四尺求?法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股積四因之【得九十六尺】兩數相減【餘一百尺】平方開之得十尺即所求 解曰勾股和上方大於?上方者四勾股積也故相減開方得? 九則 勾股和及勾股積求勾股較 設勾股和一十四尺勾股積二十四尺求勾股較法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股積八因之【得一百九十二尺】兩數相減【餘四尺】平方開之得二尺即所求解曰勾股和上方大於勾股較上方者八勾股積也故相減開方得勾股較 十則 ?及勾股較求勾股和 設?十尺勾股較二尺求勾股和法曰置?自乗【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股較自乗【得四尺】兩數相減【餘一百九十六尺】平方開之得一十四尺即所求 解曰倍?上方積大於勾股和上方積者勾股較上方積也故相減開方得勾股和 十一則 勾股積及勾股較求勾股和 設勾股積二十四尺勾股較二尺求勾股和法曰置勾股積八因之【得一百九十二尺】另置勾股較自乗【得四尺】兩數並【共一百九十六尺】平方開之得一十四尺即所求解曰即九則法反用之 十二則 ?及勾股積求勾股和 設?十尺勾股積二十四尺求勾股和法曰置?自乗【得一百尺】另置勾股積四因之【得九十六尺】兩數並【共一百九十六尺】平方開之得一十四尺即所求 解曰即八則法反用之 十三則 勾?和股?和求勾股? 設勾?和一十六尺股?和一十八尺求勾股?法曰置勾?和股?和相乗【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方開之得二十四尺為勾股?和與勾?和相減 餘八尺即股與股?和相減 餘六尺即勾與二勾一股相 減餘十尺即? 解曰甲乙直形為勾?和股 ?和矩內形乙丁乙丙皆與 ?等丁戊與勾等丙庚與股等則己乙必為?方巳戊必?勾矩內形己庚必?股矩內形甲巳必勾股矩內形辛壬方形為勾股?和上方形壬癸壬子皆與?等癸丑子寅皆與股等丑卯寅辰皆與勾等則 巳壬必為? 方午巳必為 股方辛午必 為勾方未癸 申子必皆股 ?矩內形酉 丑戌寅必皆勾?矩內形午酉午戌必皆勾股矩內形今以辛壬方形與甲乙直形較則未癸申子並倍於己庚酉丑戌寅並倍於巳戊午酉午戌並倍於甲巳又午巳股方與辛午勾方並與己壬?方等是己壬午巳辛午三形並復倍於己乙分形既倍大於分形全形亦必倍大於全形是勾股?和上方形一與勾?和股?和矩內形二並等矣故以勾?和乗股?和倍而開方得勾股?和也於勾股?和內減去一?一股所余必勾減去一?一勾所余必股減去一勾一股所余必?也 十四則 股及勾?較求勾與? 設股八尺勾?較四尺求勾?法曰置股自乗【得六十四 尺】另置勾? 較自乗【得一十六 尺】兩數相減 【餘四十八尺】折半 【得二十四尺】以勾 ?較除之得 六尺即勾加勾?較得十尺即? 解曰甲乙為?上方形丙丁為勾上方形戊巳為勾?較上方形於甲乙?方內減去丙丁勾方所余必股上方積成一辛壬癸磬折形再減去勾?較上方形所余必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁為濶丙庚庚丁為長甲丙乙丁即勾?較也丙庚庚丁為勾上方形之邊即勾也法以兩數相減所余者即二直形也折半者取二直形之一也以勾?較除之得勾者即以濶除積得長也○或以兩數相減之四十八尺為實倍勾?較除之亦得勾○或以股自乗為實以勾?較除之得數減勾?較折半亦得勾 十五則 勾及股?較求股與? 設勾六尺股?較二尺求股?法曰置勾自乗【得三十六 尺】另置股?較自乗【得四尺】兩 數相減【餘三十二尺】折半【得一十六尺】以股?較除之得八尺即股 加股?較共十尺即? 解曰甲乙?方內減去丙丁 股方戊巳股?較方所余必甲 庚庚乙兩直形折半則得一直形故以股?較除之得股十六則 股羃及勾?較求勾?和 設股羃六十四尺勾?較四尺求勾?和法曰置股 羃為實以勾?較除之 得一十六尺即所求 解曰十四則辛壬癸磬 折形其甲乙元與?等 丙丁元與勾等若移癸 於戊則成辛壬戊直形以勾?較為濶勾?和為長矣故以勾?較除股羃得勾?和 十七則 勾羃及股?較求股?和 設勾羃三十六尺股? 較二尺求股?和法曰 置勾羃為實以股?較 除之得一十八尺即所 求 解曰十五則辛壬癸磬折形其甲乙元與?等丁丙元與股等若移癸於戊亦成辛壬戊直形以股?較為濶股?和為長矣故以股?較除勾羃得股?和十八則 股羃及勾?和求勾?較 設股羃六十四尺勾?和一十六尺求勾?較法曰置股羃為實以勾?和除之得四尺即所求 解曰即十六則法反用之 十九則 勾羃及股?和求股?較 設勾羃三十六尺股?和一十八尺求股?較法曰置勾羃為實以股?和除之得二尺即所求 解曰即十七則法反用之 二十則 勾?較股?較求勾股? 設勾?較四尺股?較二尺求勾股?法曰置勾?較股?較相乗【得八尺】倍之【得一十六尺】平方開之【得四尺】加股?較得六尺即勾加勾?較得八尺即股加勾? 較股?較得十尺即? 解曰甲乙為?方丁乙為勾 方甲丙為股方以丁乙勾方 甲丙股方錯綜加於甲乙? 方之上必缺戊巳庚辛二直 形而重一丁丙方形然丁丙 方形必能補二直形之缺而與之等何也丁乙勾方甲丙股方並等於甲乙?方若丁丙方形或大或小於二直形則是勾方股方並不與?方等矣夫勾方股方並既與?方等則二直形並亦必與丁丙方形等法以兩較相乗而倍之者求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾?較為長以壬巳癸庚股?較為濶】平方開之者求丁丙方形之一邊也以一邊加股?較之癸庚得癸丁即勾加勾?較之戊壬得丙壬即股加一勾?較之戊壬一股?較之癸庚得癸丁及戊壬即? 二十一則 相連之勾股求? 設圓柱高二十尺周三尺以索繞柱七周與柱適齊 求索長法曰置柱周 三尺以索繞七周因 之【得二十一尺】自乗【得四百四 十一尺】另置柱高自乗 【得四百尺】兩數並【共八百四十一 尺】平方開之得二十 九尺即所求 解曰索繞柱七周即 七叚勾股也柱高二十尺為七股七周二十一尺為七勾索長為七?也此條元當七歸柱高取七股之一用勾股求?法得數七因之為?長然七歸二十尺乃畸零不盡之數不得不七因勾以就股也以柱高為股即並丁戊等七小股成一丙乙大股以七周為勾即並甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股並既同於大勾大股而總求一甲丙大?有不同於甲丁等七小?並乎故求甲丙大?為索長也二十二則 相連之股?求勾 設圓柱高二十尺索長二十九尺繞柱七周索與柱齊求柱周法曰置柱索各自乗【柱得四百尺索得八百四十一尺】兩數相減【餘四百四十一尺】平方開之【得二十一尺】以索繞七周歸之得三尺即所求 解同前 二十三則 相連之勾?求股 設圓柱周三尺索長二十九尺繞柱七周索與柱齊求柱高法曰置柱周七因之【得二十一尺】自乗【得四百四十一尺】另置索自乗【得八百四十一尺】兩數相減【餘四百尺】平方開之得二十尺即所求 解同二十一則 二十四則 勾股形求對角之垂線 設勾六尺股八尺?十尺求對角垂線法曰置勾股相乗【得四十八尺】以?除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乗必得丁丙直形與甲戊直形等何也丁丙直形倍大於甲乙丙勾股形甲戊直形 亦倍大於甲 乙丙勾股形 故等也以? 除積得垂線 即以長除積 得濶也 二十五則 勾股形於?上求自角至垂線之度 設勾三尺股四尺?五尺求自角至垂線之度法曰 置勾自 乗【得九尺】以?除 之得一 尺八寸 即乙角 至垂線之度與?相減得三尺二寸即甲角至垂線之度 解曰甲乙?上方形以對角戊丁線分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形與勾上方形等【本卷一則】以乙巳除之必得戊乙之度法以?除者葢甲乙?與乙巳等也○若欲先得甲戊則以?除股羃 又法曰置?為實以勾羃九尺乗之【得四十五尺】並勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸 解曰凡兩形等高形與形之比例若線與線【一卷四十五則】甲丁戊巳兩形既等高【圖同前】則其比例必若甲戊與戊乙又甲丁與股羃等戊巳與勾羃等則股羃與勾羃之比例亦若甲戊與戊乙矣此借兩羃之比例因全?以求戊乙也○若欲先得甲戊則以股羃乗?並兩羃除之 又法曰並勾股【共七尺】以勾股較乗之【仍得七尺】以?除之【得一尺四寸】與?相減【餘三尺六寸】折半亦得一尺八寸解曰此三角形求對角垂線法也【一卷三十一則】○若欲先得甲戊以一尺四寸與?相併折半即得 二十六則 勾股求容方一法 設勾六尺股一十二尺求容以角切?之方形法曰置勾股相乗【得七十二尺】以勾股相併【共一十八尺】除之得四 尺即容方之邊 解曰甲乙丙勾股形 分甲丙?於丁令丁 甲與丁丙之比例若 勾與股自丁作丁乙 線必分勾股形為甲丁乙乙丁丙兩三角形一以勾為底一以股為底又兩分形之比例亦若勾與股【防何原本雲凡兩形等高者形與形之比例若底與底反之凡形與形之比例若底與底者兩形之高必相等】令兩分形各倍積求對角之垂線【本卷二十四則】一得丁戊一得丁巳兩線必相等何也兩垂線即兩形之正高兩形之高既等故兩垂線必等也兩線既等而又為為勾及股之垂線復切?於丁則己戊形必為勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之邊也然分求之如是合求之亦必如是若並兩形之倍積為實並兩底除之亦得容方之邊與丁戊【或丁已】等夫兩形之倍積即勾與股相乗之積也兩分形之底即勾與股也故置勾股相乗並勾股除之即得容方之度也 二十七則 勾股求容方二法 設?一十五尺對角垂線五尺求容以角切勾與股之方形法曰置垂線為實以?乗之【得七十五尺】以垂線 並?除之得三尺七 寸五分即容方之邊 解曰甲乙丙勾股形 丙丁為對角垂線分 垂線於戊令丙戊與 戊丁之比例若丙丁與甲乙則戊丁即所求之方邊防何原本雲作庚戊己線與甲乙平行次作庚壬己辛兩線各與丙丁平行己庚既與甲乙平行即甲丁與丁乙若己戊與戊庚也合之即甲乙與丁乙若己庚與戊庚也又丁乙與丙丁若戊庚與丙戊平之即甲乙與丙丁若己庚與丙戊也又丙丁與甲乙若丙戊與戊丁平之即甲乙與甲乙若己庚與戊丁也甲乙與甲乙同線必等即己庚與戊丁必等而己庚與辛壬又等戊丁與己辛庚壬亦等則辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方邊之度法以?乗垂線而並?與垂線除之者借甲乙與丙丁之比例因丙丁以求戊丁也 二十八則 勾股求容圓 設勾二十七尺股三十六尺?四十五尺求容圓法曰置勾股相乗【得九百七十二尺】為實並勾股?【共一百零八尺】除之得九尺即容圓之半徑倍之得一十八尺即全徑解曰甲乙丙勾股形自三角各出一線平分各角相 遇於丁即分勾股形為甲丁 乙乙丁丙丙丁甲三三角形 一以全形之勾為底一以股 為底一以?為底各角既平 分而復有一邊同線則三形 必等高令三形各倍積求對角之垂線【本卷二十四則】一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂線必等何也三垂線即三形之正高三形既等高故垂線必等也三線既等其相遇處必容圓之心【幾何原本雲凡圓內出三線至界而皆等者其防必是圓心】而三線皆半徑也然分求之如是合求之亦必如是若並三形之倍積為實並三底除之亦得容圓之半徑與丁戊【或丁已或丁庚】等夫三分形之倍積即勾與股相乗之積也三分形之底即勾股?也故置勾股相乗並勾股?除之得容圓之半徑也 二十九則 勾股求外切圓 設勾股?長二十八尺求外切圓周法曰置?二十二乗七除得八十八尺即所求 解曰此圓徑求周法也【二卷一則】今以之求勾股外切圓 形何也凡圓內以徑為底任 作三角形皆成勾股如甲乙 丙形丙為方角甲乙丁形丁 為方角甲乙戊形戊為方角 反之以?為徑作圓必外切 勾股形之方角 三十則 容方之勾股以余勾余股求方邊及全勾全股 設容方之餘勾二尺余股八尺求方邊及全勾股法曰置余勾余股相乗【得一十六尺】平方開之得四尺即方 邊以四尺加余勾得六 尺即全勾以四尺加余 股得一十二尺即全股 解曰甲乙丙勾股形容 壬巳方形自甲作甲丁 線以丙丁線聯之成乙 丁直形復於己庚壬庚 兩線引之至戊至辛必分乙丁直形為四形其甲庚庚丙同依甲丙對角線為兩角線形其乙庚庚丁為兩餘形兩餘形之容必相等防何原本雲甲丙對角線必分乙丁全形為丁甲丙乙丙甲相等兩勾股形亦分庚丙角線形為辛庚丙巳丙庚相等兩勾股形亦分甲庚角線形為戊甲庚壬庚甲相等兩勾股形試於乙丙甲形內減去己丙庚形於丁甲丙形內減去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙兩形既等減去之己丙庚辛庚丙兩形復等則所余之甲乙庚巳甲丁庚辛兩斜方形必相等再於甲乙庚己形內減去甲庚壬形於甲丁庚辛形內減去戊甲庚形兩斜方既等減去之甲庚壬戊甲庚兩形復等所余戊辛直形與壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾減去壬巳方形之壬乙邊余甲壬即余勾丙乙股減去己乙邊余丙巳即余股辛庚與余股等戊庚與余勾等則戊辛直形之容必即余勾余股相乗之積而戊辛直形又與壬巳方形等則壬巳方形之容亦必余勾余股相乗之積也故置余勾股相乗平方開之得容方邊也 三十一則 容方之勾股以余股及方邊求余勾 設容方之餘股八尺方邊四尺求余勾法曰置方邊自乗【得　十六尺】以余股除之得二尺即所求 解曰壬己方形既等於戊辛直形【圖同前】而直形以余股為長以余勾為濶故以余股除積得余勾 三十二則 容方之勾股以余勾及方邊求余股 設容方之餘勾二尺方邊四尺求余股法曰置方邊自乗【得一十六尺】以余勾除之得八尺即所求 解同前 三十三則 日晷測高 設物不知高止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物高法曰置物景為實以表高乗之【得九十六尺】以表景除之得四十尺即所求 解曰物高與物景表高與表景各以日光聯之必皆 成勾股形而 體勢等凡兩 形體勢等者 其比例必等 物高與物景 之比例必若表高之與表影也又表影與物景之比例必若表高之與物高也今物景既五倍於表景因知物高亦必五倍於表高矣法以表高乗物景而以表景除之者借表景與物景之比例因表高以求物高也 三十四則 一表測高 設物不知高距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窺表四尺自窺表望之物末與表末相齊成一直線求物高法曰置表距高物二十五尺為實以窺表減表【餘六尺】乗之【得一百五十尺】以退行五尺除之得三十尺為表外之高加表高共四十尺即物高 解曰癸丁為物高壬子為表高乙丑為窺表乙丁對 角線為視線戊壬為表距高 物之二十五尺壬辛為窺表 減表所余之六尺乙辛為退 行之五尺也甲丙一形分為 四形其辛巳戊庚為兩角線 形其甲壬壬丙為兩餘形兩 余形之容必相等【本卷三十則】法 以窺表減表以乗距高物之 度必得甲壬余形之積甲壬 既等於壬丙則甲壬余形之積亦即壬丙余形之積矣故以退行五尺除之得庚壬庚壬與丁戊等丁戊則物高於表之度也是以加表得物之全高 三十五則 一表測逺 設物不知逺立表四尺退二尺五寸立窺表四尺五寸自窺表望之物腳與表末相齊成一直線求物逺法曰置表高為實以退二尺五寸乗之【得十尺】以表減 窺表【餘五寸】除之得二十尺 即表距逺物之度 觧曰以退二尺五寸乗表 高必得辛巳余形之積然 辛己與戊庚等則辛己余 形之積亦即戊庚余形之 積矣故以表減窺表所余 之五寸除之得壬戊壬戊與辛甲等辛甲則表距逺物之度也 三十六則 一表測廣 設邑不知廣立窺表於甲甲距邑丁角五百尺立表於壬自甲視邑之丙角與表相齊成一直線次移前表於戊令戊壬與邑平行自甲視邑之丁角亦與表相齊成一直線自甲至戊二尺戊至壬六尺求邑廣法曰置窺表距丁角五百尺為實以戊至壬六尺乗之【得三千尺】以甲至戊二尺除之得一千五百尺即邑廣解曰戊庚辛己兩餘形既等每加一辛戊角線形成 甲庚甲己兩直形兩 形之容必亦等何也 兩餘形既等所加者 復等故也法以戊壬 乗甲丁必得甲庚直 形之積甲庚直形之 積即甲己直形之積 也故以甲戊除之得 戊巳戊巳與丁丙等丁丙則邑廣也 三十七則 一表測深 設井不知深 井面濶八尺 自井邊退二 尺立表六尺 自表末視水 面甲角與壬 邊相齊成一 直線求井邊至水面之深法曰置面濶八尺為實以表高乗之【得四十八尺】以表至井邊二尺除之得二十四尺即所求 解曰以表高乗井濶即以丙己乗戊壬所得必戊庚余形之積戊庚余形之積即辛己余形之積故以表距井邊之壬己除之得壬辛壬辛即井深也 三十八則 重表測高遠 設物不知高及逺立表十尺退行五尺立窺表四尺自窺表望之物末與表末相齊成一直線自表退行一十五尺復立表十尺又退行八尺復立窺表四尺自窺表望之物末亦與表末相齊成一直線求高及逺法曰置窺表減表餘六尺為實以兩表相距一十五尺乗之【得九十尺】以前窺表距前表五尺減後窺表距後表八尺餘三尺除之得三十尺即表外之高加表高共四十尺即物高又置前窺表距前表五尺為實以兩表相距一十五尺乗之【得七十五尺】亦以兩窺表距兩表之度相減餘三尺除之得二十五尺即物逺解曰自窺表末及表末作丙丁甲乙兩平行線以戊 乙戊己兩視線聯之必 成六勾股形其丙庚戊 形為甲己戊之截形兩 形之比例必等辛己庚 形亦甲己戊之截形兩 形之比例必亦等丙庚 戊與辛巳庚兩形之比 例既皆等於甲巳戊是 辛己庚丙庚戊兩形之 比例亦等矣壬乙丁形 與丙丁戊形亦同此論 夫辛己庚形之比例既 同於丙庚戊壬乙丁形 之比例既同於丙丁戊 則丙庚與辛己必若丙 丁與壬乙又丙丁與丙 庚必若壬乙與辛己也今丙丁與丙庚之較為庚丁壬乙與辛己之較為癸乙癸乙與庚丁兩較之比例必俱等於相當各線之比例若是則丙庚與辛己戊丙與辛庚皆若庚丁與癸乙矣法置余表六尺為實以十五尺乗之三尺除之是借癸乙與庚丁之比例因辛庚以求丙戊也置窺表距表之五尺為實以十五尺乗之三尺除之是借癸乙與庚丁之比例因辛己以求丙庚也丙戊為表外之高丙庚則物逺也三十九則 重表測廣深 設谷不知深及廣自谷 邊退行六尺立窺表五 尺從窺表望之底角與 邊角相齊成一直線復 於谷邊立表一十五尺 將前窺表接高一十八 尺共二十三尺從窺表 望之底角與表末相齊 成一直線求深及廣法 曰置前窺表五尺為實以表高一十五尺乗之【得七十五尺】以表【一十五尺】並前窺表【五尺○共二十尺】減後窺表【二十三尺】餘三尺除之得二十五尺即谷深又置退行六尺為實以表高一十五尺乗之【得九十尺】亦以三尺除之得三十尺即谷廣 解曰與測高逺同但有縱衡之殊耳 四十則 測逺之逺 設甲至乙八百步甲至丙七百步今自甲向乙行七 十二步立表於丁從 甲望之乙與表齊自 甲向丙行六十三步 立表於戊從甲望之 丙與表齊俱成直線 丁至戊五十四步求 乙至丙之逺法曰置 甲至丙七百步為實以丁至戊五十四步乗之【得三萬七千八百步】以甲至戊六十三步除之得六百步即所求解曰六十三步之與七百步七十二步之與八百步其比例等因知丁戊與乙丙兩線必平行凡三角形以與底平行線分之其分形之比例必等於全形甲丁戊既為甲乙丙之分形而丁戊乙丙又平行則甲戊與戊丁必若甲丙與丙乙也又乙丙與戊丁必若甲丙與甲戊也法置七百步為實以五十四步乗之六十三步除之者借甲戊與丁戊之比例因甲丙以求丙乙也○又截法如甲丙七百步則取七步為庚甲乙八百步則取八步為己巳庚六步乙丙必六百【步與乙步之比例也數學鑰卷六】 步何也皆百