數學鑰 · 卷五下之下
欽定四庫全書
數學鑰卷五下之下
柘城杜知耕撰
方程
一則
二色方程
設稻三石菽二石共價銀八兩二錢四分又稻四石菽五石共價銀一十二兩二錢求二色價法曰列稻三石菽二石價八兩二錢四分於右列稻四石菽五
石價一十二兩二
錢於左先以右稻
遍乗左行【菽得一十五石
價得三十六兩六錢】次以左
稻遍乗右行【菽得八石】
【價得三十二兩九錢六分】以兩價得數對減【餘三兩六錢四分】為實以兩菽得數相減【餘七石】為法除之得五錢二分為菽每石價以右行菽二石因之【或用左行菽五石亦可】得一兩零四分為菽二石價以減右共價餘七兩二錢為稻三石價以稻三石歸之得二兩四錢為稻每石價
解曰欲得稻菽二色價須先求菽一色價欲求菽一色價須先減去稻數及稻價欲減去稻數及稻價必先齊兩行稻數稻價而使之等今左價一十二兩二錢為稻四石菽五石之共價以右稻三石遍乗之價得三十六兩六錢是三倍元價矣既三倍元價則必為三倍稻數十二石三倍菽數十五石之共價右價八兩二錢四分為稻三石菽二石之共價以左稻四石遍乗之價得三十二兩九錢六分是四倍元價矣既四倍元價則必為四倍稻數十二石四倍菽數八石之共價兩行稻數既各十二石是稻數齊矣稻數齊而稻價因之亦齊矣於稻十二石菽十五石價內減去稻十二石菽八石之價所余非菽七石之價而何故以兩菽對減之七石除之得菽價菽價既得求稻價不須解矣○如欲先得稻價則列兩菽數於兩稻數之上以右菽二石遍乗左行以左菽五石遍乗右行兩價得數相減餘十六兩八錢為實兩稻得數對減餘七石為法除之得稻價此與前法同
前齊稻數故先得
菽價此齊菽數故
先得稻價也○前
稻數齊以十二石
後菽數齊以十石
法中不曽明言十二石十石乃暗用數也後仿此二則
三色方程一法
設稻五石麥七石菽四石共價銀二十六兩六錢八分又稻四石麥二石菽三石共價銀一十四兩七錢六分又稻七石麥五石菽七石共價銀二十九兩四
錢四分求
三色價前
法曰列稻
五石麥七
石菽四石
價二十六
兩六錢八
分於左列稻四石麥二石菽三石價一十四兩七錢六分於中列稻七石麥五石菽七石價二十九兩四錢四分於左先以中稻四石遍乗右行【麥得二十八石菽得一十六石價得一百零六兩七錢二分】以右稻五石遍乗中行【麥得一十石菽得一十五石價得七十三兩八錢】兩行對減麥餘一十八石菽餘一石價餘三十二兩九錢二分次以中稻四石遍乗左行【麥得二十石菽得二十八石價得一百一十七兩七錢六分】以左稻七石遍乗中行【麥得一十四石菽得二十一石價得一百零三兩三錢二分】兩行對減麥餘六石菽餘七石價餘一十四兩四錢四分
解曰二色方程減去一色即得餘一色之價三色方程必減去二色方得一色之價然無一算並減二色之法故前法互乗對減先減去一色也
後法曰列余麥一十八石余菽一石余價三十二兩九錢二分於右列余麥六石余菽七石余價一十四兩四錢四分於左先以右麥一十八石遍乗左行【菽得一百二十六石價得二百五十九兩九錢二分】次以左麥六石遍乗右行【菽得六石價得一百九十七兩五錢二分】以兩價得數對減【餘六十二兩四錢】為實以兩菽得數對減【餘一百二十石】為法除之得五錢二分為
菽價以左菽七石
因之【得三兩六錢四分】以
減左價【餘十兩零八錢】以
左麥六石除之得
一兩八錢為麥價
取前圖中行麥二石因麥價【得三兩六錢】菽三石因菽價【得一兩五錢六分】並兩數【共五兩一錢六分】減中價【餘九兩六錢】以中稻四石除之得二兩四錢為稻價
解曰減去稻數稻價余麥菽二色故用二色方程法得菽價
三則
三色方程二法
設稻五石麥七石菽四石共價銀二十六兩六錢八
分又稻四
石麥二石
菽三石共
價銀一十
四兩七錢
六分又麥五石菽七石共價銀一十二兩六錢四分求三色價前法曰列稻五石麥七石菽四石價二十六兩六錢八分於右列稻四石麥二石菽三石價一十四兩七錢六分於左先以右稻五石遍乗左行【麥得十石菽得一十五石價得七十三兩八錢】次以左稻四石遍乗右行【麥得二十八石菽得一十六石價得一百零六兩七錢二分】兩行對減麥餘一十八石菽餘一石價餘三十二兩九錢二分
解曰麥五石菽七石價十二兩六錢四分不與兩行並列何也葢前法元為減去稻價稻數取麥菽二色今此率本無稻數稻價故直與余麥余菽余價並列為後法也
後法曰列麥五石菽七石價一十二兩六錢四分於右列余麥一十八石余菽一石余價三十二兩九錢
二分於左先以右
麥五石遍乗左行
【菽得五石價得一百六十四兩六錢】次以左麥一十八
石遍乗右行【菽得一百】
【二十六石價得二百二十七兩五錢二分】以兩價得數相減【餘六十二兩九錢二分】為實以兩菽得數對減【餘一百二十一石】為法除之得五錢二分為菽價【求麥價稻價同前】
四則
正負同異加減一法
設麥七石稷五石共價銀一十六兩二錢五分今以麥二石増銀二兩二錢四分換稷八石求二色價法曰列正麥七石正稷五石正價一十六兩二錢五分於右列負麥二石正稷八石正價二兩二錢四分於
左先以右正麥七
石遍乗左行【稷得五十
六石價得一十五兩六錢八分】次
以左負麥二石遍
乗右行【稷得十石價得三十】
【二兩五錢】兩價得數同名相加【共四十八兩一錢八分】為實兩稷得數同名相加【共六十六石】為法除之得七錢三分為稷價【求麥價同一則】
解曰左行價二兩二錢四分増二石麥價方與稷八石之價等麥二石乃倒欠之數故謂之負余皆謂之正者所以別於負也左右兩麥相乘各得一十四石為正負之齊數以負麥遍乗右行價得三十二兩五錢為麥一十四石稷十石之共價以正麥遍乗左行價得一十五兩六錢八分尚欠一十四石麥價不足稷五十六石之價若將右行麥一十四石之價移於左行則右銀必為稷十石之價左銀必為稷五十六石之價故並之為稷六十六石之價○以正加正以負加負謂之同名相加以正減正以負減負謂之同名相減以正加負以負加正謂之異名相加以正減負以負減正謂之異名相減
五則
正負同異加減二法
設稻四石黍七石共價銀一十五兩五錢五分今以黍三石増銀九兩四錢五分換稻五石求二色價法曰列正稻四石正黍七石正價一十五兩五錢五分於右列正稻五石負黍三石正價九兩四錢五分於左先以右正稻四石遍乗左行【黍得一十二石價得三十七兩八錢】次
以左正稻五石遍
乗右行【黍得三十五石價得
七十七兩七錢五分】兩價得
數同名相減【餘三十九
兩九錢五分】為實兩黍
得數異名相加【共四十七石】為法除之得八錢五分為黍價【求稻價同一則】
解曰以右稻遍乗左行價得三十七兩八錢尚欠一十二石黍價不足稻二十石之價以左稻遍乗右行價得七十七兩七錢五分為稻二十石黍三十五石之共價若以稻二十石全價減之必余黍三十五石之價今以左行尚欠一十二石黍價不足稻二十石之價減之故餘四十七石黍價也
六則
正負同異加減三法
設麥五石稷八石共價銀一十四兩八錢四分又麥四石黍二石共價銀八兩九錢又黍五石稷三石共價銀六兩四錢四分求三色價前法曰列麥五石黍
空稷八石
價一十四
兩八錢四
分於右列
麥四石黍
二石稷空價八兩九錢於左先以右麥五石遍乗左行【黍得十石價得四十四兩五錢】次以左麥四石遍乗右行【稷得三十二石價得五十九兩三錢六分】兩行對減右行黍空取左黍十石為本位負數左行稷空右稷無減仍得三十二石價餘一十四兩八錢六分
解曰以右麥遍乗左行價得四十四兩五錢為麥二十石黍十石之共價以左麥遍乗右行價得五十九兩三錢六分為麥二十石稷三十二石之共價兩價對減必余右稷三十二石與左黍十石兩價相差之數於右立負黍十石者謂余價一十四兩八錢六分再増黍十石之價方足稷三十二石之價猶以黍十石増銀一十四兩八錢六分換稷三十二石也或問右行黍空左行稷空不立負於左而必立負於右者何也葢前法原於多內減少以取二色之價今右稷三十二石價多於左黍十石價若於左立負稷亦須立負價矣是以立負於右而不立於左也
後法曰列正黍五石正稷三石正價六兩四錢四分
於右列余負黍十
石余正稷三十二
石余正價一十四
兩八錢六分於左
先以右正黍五石
遍乗左行【稷得一百六十石價得七十四兩三錢】次以左負黍十石遍乗右行【稷得三十石價得六十四兩四錢】兩價得數同名相加【共一百三十八兩七錢】為實兩稷得數同名相加【共一百九十石】為法除之得七兩三錢為稷價【求麥價黍價同二則】
解曰後法同四則
七則
正負同異加減四法
設麥四石黍五石價銀一十一兩四錢五分又麥五石稷二石價銀一十兩零四錢六分又黍四石稷七
石價銀八
兩五錢一
分求三色
價前法曰
列麥四石
黍五石稷空價一十一兩四錢五分於右列麥五石黍空稷二石價一十兩零四錢六分於左先以右麥四石遍乗左行【稷得八石價得四十一兩八錢四分】次以左麥五石遍乗右行【黍得二十五石價得五十七兩二錢五分】兩行對減左行黍空右黍無減仍得二十五石右行稷空取左稷八石為本位負數價餘一十五兩四錢一分
解曰右價得五十七兩二錢五分為麥二十石黍二十五石之共價左價得四十一兩八錢四分為麥二十石稷八石之共價兩價對減餘一十五兩四錢一分即二十五石黍價多於八石稷價之數是以余銀並八石稷價方足黍二十五石之價故立負稷八石也余同前則
後法曰列正黍四石正稷七石正價八兩五錢一分
於右列余正黍二
十五石余負稷八
石余正價一十五
兩四錢一分於左
先以右正黍四石
遍乗左行【稷得三十二石價得六十一兩六錢四分】次以左正黍二十五石遍乗右行【稷得一百七十五石價得二百一十二兩七錢五分】兩價得數同名相減【餘一百五十一兩一錢一分】為實兩稷得數異名相加【共二百零七石】為法除之得七錢三分為稷價【求黍價麥價同二則】解曰後法同五則
八則
正負同異加減五法
設以稷七石増銀四兩零七分換麥二石粟九石又以麥三石換稷四石粟四石適平又以麥一石稷一石増銀四兩九錢一分換粟一十二石求三色價前法曰列正麥二石負稷七石正粟九石正價四兩零七分於右列負麥三石正稷四石正粟四石價空於中列負麥一石負稷一石正粟一十二石正價四兩
九錢一分
於左先以
右正麥二
石遍乗中
行【稷得八石粟得
八石價空】以中
負麥三石
遍乗右行【稷得二十一石粟得二十七石價得一十二兩二錢一分】兩稷得數異名相減餘一十三石兩粟得數同名相加共三十五石中價空無加仍得一十二兩二錢一分
解曰右價得一十二兩二錢一分是尚欠稷二十一石價不足麥六石粟二十七石之價中價空是稷八石粟八石適等於麥六石之價若減右麥六石即以稷粟各八石補之其價不須増減必相均平矣然右稷乃倒欠之數不可相加故減之減倒欠猶之加正數也
次以左負麥一石遍乗中行【稷仍得四石粟仍得四石價空】以中負麥三石遍乗左行【稷得三石粟得三十六石價得一十四兩七錢三分】兩稷得數異名相加共七石兩粟得數同名相減餘三十二石中價空無減仍得一十四兩七錢三分
解曰左價得一十四兩七錢三分是尚欠麥稷各三石價不足粟三十六石之價中價空是麥三石適等於稷粟各四石之價若減左負麥三石復減正稷正粟各四石其價不須増減必相均平然左非正稷乃倒欠之數不可相減故加之加倒欠猶之減正數也後法曰列余負稷一十三石余正粟三十五石余正價一十二兩二錢一分於右列余負稷七石余正粟
三十二石余正價
一十四兩七錢三
分於左先以右負
稷一十三石遍乗
左行【粟得四百一十六石價得】
【一百九十一兩四錢九分】次以左負稷七石遍乗右行【粟得二百四十五石價得八十五兩四錢七分】兩價得數同名相減【餘一百零六而零二分】為實兩粟得數同名相減【餘一百七十一石】為法除之得六錢二分為粟價【求麥價稷價同二則】
解曰兩稷皆負兩粟兩價皆正左右相等故法同二色方程
九則
四色方程
設稻一石麥五石黍三石稷七石共價銀一十九兩零六分又稻八石麥四石黍七石稷六石共價銀三十六兩七錢三分又稻三石麥二石黍五石稷七石共價銀二十兩零一錢六分又稻四石麥二石黍六石稷四石共價銀二十一兩二錢二分求四色價前
法曰列稻一石麥五石黍三石稷七石價一十九兩零六分於右列稻八石麥四石黍七石稷六石價三十六兩七錢三分於次右列稻三石麥二石黍五石稷七石價二十兩零一錢六分於次左列稻四石麥二石黍六石稷四石價二十一兩二錢二分於左先以右稻一石遍乗次右行【仍得元數】以次右稻八石遍乗右行【麥得四十石黍得二十四石稷得五十六石價得一百五十二兩四錢八分】兩行對減麥餘三十六石黍餘一十七石稷餘五十石價餘一百一十五兩七錢五分次以次右稻八石遍乗次左行【麥得十六石黍得四十石稷得五十六石價得一百六十一兩二錢八分】以次左稻三石遍乗次右行【麥得十二石黍得二十一石稷得十八石價得一百一十兩零一錢九分】兩行對減麥餘四石黍餘一十九石稷餘三十八石價餘五十一兩零九分末以次左稻三石遍乗左行【麥得六石黍得一十八石稷得一十二石價得六十三兩六錢六分】以左稻四石遍乗次左行【麥得八石黍得二十石稷得二十八石價得八十兩零六錢四分】兩行對減麥餘二石黍餘二石稷餘一十六石價餘一十六兩九錢八分
解曰前法減稻一色余麥黍稷三色
次法曰列余麥三十六石余黍一十七石余稷五十石余價一百一十五兩七錢五分於右列余麥四石余黍一十九石余稷三十八石余價五十一兩零九分於中列余麥二石余黍二石余稷一十六石余價一十六兩九錢八分於左先以右麥三十六石遍乗中行【黍得六百八十四石稷得一千三百六十八石價得一千八百三十九兩二錢四分】以中麥四石遍乗右行【黍得六十八石稷得二百石價得四百六十三兩】兩行對減黍餘六百一十六石稷餘一千一百六十八石價餘一千三百七十六兩二錢四分次以中麥四石遍
乗左行【黍得
八石稷得六十四石
價得六十七兩九錢
二分】以左麥
二石遍乗
中行【黍得三十
八石稷得七十六石】
【價得一百零二兩一錢八分】兩行對減黍餘三十石稷餘一十二石價餘三十四兩二錢六分
觧曰次法減麥一色余黍稷二色
後法曰列余黍六百一十六石余稷一千一百六十八石余價一千三百七十六兩二錢四分於右列余黍三十石余稷一十二石余價三十四兩二
錢六分於左以右
黍六百一十六石
遍乗左行【稷得七千三百
九十二石價得二萬一千一百零四
兩一錢六分】以左黍三
十石遍乗右行【稷得三萬五千零四十石價得四萬一千二百八十七兩二錢】兩價得數對減【餘二萬零一百八十三兩零四分】為實兩稷得數對減【餘二萬七千六百四十八石】為法除之得七錢三分為稷價【求黍麥稻價同二則】
解曰後法同二色方程五色六色以上仿此○按方程之要在加減加減之闗鍵在首位【謂第一橫行】首位同名則異名相加同名相減首位異名則同名相加異名相減然大略如是亦有不盡然者有應減者無可減而反加之有應加者無可加而反減之變化無窮【數學鑰卷五下之下】
亦存乎人之自悟耳