數學鑰 · 卷二

欽定四庫全書 數學鑰卷二 柘城杜知耕撰 方田下【曲線類】 一則 圓徑求周 設圓田徑二十八步求周法曰置徑為實以周法二十二乘之【得六百一十六步】以徑法七除之得八十八步即所求 解曰徑法七周法二十二者徑與周 之比例若七與二十二也何也西洋 亞奇黙德雲圓徑與圓周三倍又七 十之十則朒【謂周不及此數也】三倍又七十 一之十則盈【謂周過於此數也】先論三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊為心從甲作午子切線從乙從丁作乙己壬丁線各與乙戊半徑等設乙戊己角六十度己戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則午子為等角形之邊設甲午股一百五十三 步則戊午?必三百零六步【戊午元與午子 等午子既倍大於甲午則戊午亦必倍大於甲午】各自乘甲 午股得二萬三千四百零九步戊午 ?得九萬三千六百三十六步兩數 相減餘七萬零二百二十七步平方 開之得二百六十五步有奇為戊甲 勾【即半徑】則戊甲與甲午之比例為二 百六十五步有奇與一百五十三步 次平分午戊甲角作戊庚線任分甲午於庚【庚戊線割圜界於酉己酉甲酉兩弧等兩弧既等則酉戊己酉戊甲兩角必等故曰平分甲庚庚午兩線不等故曰任分】則午戊與戊甲若午庚與甲庚合之戊午偕戊甲而與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午並戊甲而與甲午【甲午即午庚偕甲庚】若戊甲與甲庚先定戊午戊甲並為五百七十一步有奇午甲為一百五十三步則戊午並戊甲與甲午之比例若五百七十一步有奇與一百五十三步則戊甲與甲庚之比例亦若五百七十一步有奇與一百五十三步矣即以兩數各自乘並而開方得五百九十一步又八之一不盡為庚戊線【戊甲為勾甲庚為股庚戊為?】則庚戊與甲庚之比例若五百九十一步又八之一不盡與一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛線則戊庚並戊甲一千一百六十二步又八之一與庚甲一百五十三步若戊甲與甲辛若設甲辛為一百五十三步則戊甲為一千一百六十二步又八之一有奇兩數各自乘並而開方得一千一百七十二步又八之一為辛戊線【甲戊為勾甲辛為股辛戊為?】則辛戊與辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一與一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅線則辛戊並戊甲二千三百三十四步又四之一與辛甲一百五十三步若戊甲與甲寅設甲寅為一百五十三步則戊甲為二千三百三十四步又四之一兩數各自乘並而開方得二千三百三十九步又四之一有奇為寅戊線【戊甲為勾甲寅為股寅戊為?】則寅戊與寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有奇與一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊並戊甲四千六百七十三步五分有奇與寅甲一百五十三步若戊甲與甲未若設甲未為一百五十三步則戊甲為四千六百七十三步五分有奇子戊午為半圜三分之一即為全圜六分之一甲戊午為十二分之一甲戊庚為二十四分之一甲戊辛為四十八分之一甲戊寅為九十六分之一甲戊未為一百九十二分之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切線也為九十六邊形之一邊此邊與全徑之比例若一百五十三步與四千六百七十三步五分【未申倍大於未甲乙丁全徑亦倍大於甲戊半徑】以一百五十三步乘九十六邊得一萬四千六百八十八步則全邊與全徑之比例為一萬四千六百八十八步與四千六百七十三步五分約之為三又七之一不足夫形外切線尚不及三又七之一況圜周乎　次論三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙徑戊心從丙作丙甲與半徑戊丙等【甲丙即六邊形之一邊】從乙作乙甲線成乙甲丙勾股形而甲為方角設甲丙勾為七百八十步乙丙?為一千五百六十步兩數各自乘相減開方得一千三百五十一步不足為乙甲股則乙甲與甲丙之比例為一千三百五十一步與七百 八十步次平分甲乙丙角作乙丁線 以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己兩勾 股形自相似葢同用丁方角在半圜 內甲丁丁丙兩線所乘之弧等則丁 丙己丁乙丙兩弧之角必等凡兩形 有兩角等者各腰俱相似則乙丁【大股】與丙丁【大勾】若丁丙【小股】與丁己【小勾】又乙 丙【大?】與丁丙【大勾】若己丙【小?】與丁己【小勾】 更之乙丙與己丙【兩?】若丁丙與丁己【兩勾】是乙丁與丁丙【兩股】丁丙與丁己【兩勾】乙丙與己丙【兩?】三比例皆等又乙丙與己丙【兩?】若乙丙並甲乙【兩腰】與甲丙底之兩分則乙丁與丁丙亦若乙丙並乙甲與甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙並為二千九百一十一步弱甲丙先設七百八十步則乙丁與丁丙亦為二千九百一十一步弱與七百八十步各自乘並而開方得三千零一十三步又四之一弱為乙丙線【乙丁丙形之?】則乙丙與丁丙之比例為三千零一十三步又四之一弱與七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙線依前論丁乙並乙丙與丙丁若乙辛與辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱並為五千九百二十四步又四之一弱今丙丁為七百八十步則乙辛與辛丙為五千九百二十四步又四之一弱與七百八十步欲省數改設辛丙二百四十步改設乙辛一千八百二十三步弱兩數各自乘並而開方得一千八百三十八步又十一之九弱為乙丙線【乙辛丙形之?】則二百四十步與一千八百三十八步又十一之九弱為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬線以壬丙線聨之辛乙乙丙兩數並三千六百六十一步又十一之九弱與辛丙二百四十步為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六十六步改設乙壬一千零七步弱兩數各自乘並而開方得一千零九步弱則六十六步與一千零九步弱為壬丙與乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚線以庚丙線聨之乙庚與庚丙若壬乙並乙丙二千零一十六步又六之一與丙壬六十六步兩數各自乘並而開方得二千零一十七步又四之一弱為乙丙線【乙庚丙形之?】則庚丙與乙丙之比例為六十六步與二千零一十七步又四之一弱丙甲弧為全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚為九十六邊內切圜形之一邊也以六十六步乘九十六邊得六千三百三十六步為九十六邊內切形之周乙丙徑為二千零一十七步又四之一弱約之徑一周三又七十一之十強夫圜內切線為三又七十一之十尚強況圜周乎○按三又七十一之十設徑一則周三一四零八四五零七零四二二有奇設周一則徑三一八三八五六五零二二再約之徑七十一步周二百二十三步三又七十之十設徑一則周三一四二八五七一四二八五七有奇設周一則徑三一八一八一八一八一八有奇再約之徑七步周二十二步兩數皆不能與周徑脗合但徑七周二十二其數少整姑從之 二則 圓周求徑 設圓田周八十八步求徑法曰置周為實以徑法七因之【得六百一十六步】以周法二十二除之得二十八步即所求 解曰即前法反用之 三則 圓周徑求積 設圓田周八十八步徑二十八步求積法曰置周折半【得四十四步】為實以徑折半【得一十四步】為法乘之得六百 一十六步即所求 解曰圓形與半徑為高全周為底之 三角形等何也測量全義雲甲乙丙 丁圜自戊心百分之必皆成三角形 而己戊甲其百分之一也次依甲戊半徑作庚戊辛三角形令庚辛底與圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬兩分形己甲甲壬兩底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲為甲乙丙丁全圜百倍甲 戊壬為庚戊辛三角形兩分形既等 兩全形有不等乎故法以半徑乘半 周得庚戊辛三角形之積即得甲乙 丙丁圜之積也○或雲己戊甲雖全 圜百分之一其底終屬曲線不可與 直線三角形為比不知甲戊壬角大 於己戊甲角而己戊甲中垂線大於 甲戊壬中垂線兩相折准即謂之無 差亦可 四則 圓徑求積 設圓田徑二十八步求積法曰置徑自乘【得七百八十四步】再以十一乘之【得八千六百二十四步】以十四除之得六百一十六步即所求 解曰測量全義雲甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半徑為高以圜周為底己壬為圜徑上方形己丁直形以全徑為濶以半徑為高而為己壬方形之半己戊癸三角形亦以全徑為濶半徑為高而為己丁直形 之半己戊癸形既為己丁直形之半 必為倍大於己丁之己壬方形四之 一又己戊癸與庚戊辛兩形同以半 徑為高凡兩形等高者形與形之比 例若線與線【兩線即兩底○一卷四十五則】今庚辛 底與圜周等己癸底與圜徑等是己 戊癸庚戊辛兩形之比例若圜徑七 與圜周二十二若以四倍大於己戊 癸之己壬方形與庚戊辛三角形較 其比例必若二十八與二十二矣各以二約之為十四與十一夫庚戊辛三角形與圓形等【本卷三則】故方圓之比例亦若十四與十一法以圓徑自乘求己壬方形之積也以十一乘十四除取方積十四分之十一以為圓積也 五則 圓周求積 設圓田周八十八步求積法曰置周自乘【得七千七百四十四步】以七因之【得五萬四千二百零八步】以八十八除之得六百一 十六步即所求 解曰戊己庚辛圜 戊己徑與甲乙丙 丁圜周等則兩圜 之比例為其徑與 徑再加之比例再 加雲者以兩徑各 自乘之數以為比 例也設甲乙徑七 戊己徑二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是兩圜之比例若四十九與四百八十四又壬癸方形與戊己庚辛圜元若十四與十一【本卷四則】今戊己庚辛圜既為四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形與甲乙丙丁圜必若六百一十六與四十九矣各以七約之為八十八與七法以圜周自乘即壬癸方形之積也以七乘八十八除取方積八十八分之七以為甲乙丙丁圜積也 六則 圓積求徑 設圓田積六百一十六步求徑法曰置積為實以十四乘之【得八千六百二十四步】以十一除之【得七百八十四步】平方開 之得二十八步即所求 解曰以十四乘十一除者因圜積以 求戊己方積也平方開之得方邊即 得圜徑者方邊與圜徑等也 七則 圓積求周 設圓田積六百一十六步求周法曰置積為實以八十八乘之【得五萬四千二百零八步】以七除之【得七千七百四十四步】平方開之得八十八步即所求 解曰以八十八乘七除者因圜積以求圜周上方積也【本卷五則】故平方開之得圜周 八則 圓環求積 設環田外周六十六步內周一十一步求積法曰置內外兩周各自乘【外周得四千三百五十六步內周得一百二十一步】兩數相減【餘四千二百三十五步】以七乘之【得二萬九千六百四十五步】以八十八 除之得三百三十六步八分七厘五 毫即所求 解曰與方環求積同【一卷三十三則及本卷五則】 九則 圓環以積及內周求外周 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫內周一十一步求外周法曰置積為實以八十八乘之【得二萬九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】另置內周自乘【得一百二十一步】兩數並【共四千三百五十六步】平方開之得六十六步即所求 解曰兩數並共成周上方積故平方開之得外周十則 圓環以積及外周求內周 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步求內周法曰置外周自乘【得四千三百五十六步】另置環積以八十八乘之【得二萬九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】兩數相減【余百二十一步】平方開之得一十一步即所求 解曰外周上方積減去八十八乘七除之環積所余即內周上方積也故平方開之得內周 十一則 圓環以積及內外周求環濶 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步內周一十一步求環濶法曰置積為實以兩周相併【共七十七步】折半【得三十八步五分】為法除之得八步七分五厘即所求 解曰全圓既同三角形則圓環必同梯形圓環之兩周猶梯形之兩濶也圓環之濶猶梯形之中長也故用梯形求長法【一卷四十八則】即得環濶 十二則 圓環以兩周求環濶 設圓環田外周六十六步內周一十一步求環濶法曰置兩周各以七乘之【外周得四百六十二步內周得七十七步】各以二十二除之【外周得二十一步內周得三步五分】兩數相減【餘一十七步五分】折半得八步七分五厘即所求 解曰外周所得者圓之全徑也內周所得者環內虛徑也全徑減虛徑所余即環之兩濶故折半得一濶也 十三則 圓環以積及濶求兩周 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求兩周法曰置積為實以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之【得一百九十二步五分】以七除之【得二十七步五分】與三十八步五分相併得六十六步即外周與三十八步五分相減得一十一步即內周解曰此亦梯形求濶法也法以環濶除積所得之三十八步五分即兩環周之中度也環濶為全徑與虛徑相差之半以二十二乘七除則為內外兩周相差之半矣故以之增減兩周之中度得兩周也 十四則 圓環以積及濶求徑 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求全徑及虛徑法曰置積以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】另置濶自乘【得七十六步五分六厘二毫五絲】以四因之【得三百零六步二分五厘】兩數相減【餘一百二十二步五分】為實以四因濶【得三十五步】為法除之得三步五分即虛徑倍濶【得一十七步五分】加之得二十一步即全徑 解曰置積以十四乘十一除者令圓環積化為方環積也余即方環求內方法【一卷五十六則】 十五則 圓環以全徑及虛徑求積 設圓環田全徑二十一步虛徑三步五分求積法曰置兩徑各自乘【全徑得四百四十一步虛徑得一十二步二分五厘】兩數相減【餘四百二十八步七分五厘】以十一乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十四除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰兩徑各自乘相減者求方環積也十一乘十四除者因方環積以求圓環積也 十六則 撱圓求積 設撱圓田大徑九十步小徑四十步求積法曰置兩徑相乘【得三千六百步】以十一乘之【得三萬九千六百步】以十四除之得二千八百二十八步五分七厘有奇即所求 解曰西洋亞奇黙德雲取撱 圓兩徑之中率為徑作圓其 容與撱圓等【四九之中率為六謂四之與六 猶六之與九也】夫求中率之法以兩 徑相乘平方開之即得然中率自乘之數實即兩徑相乘之數故法以兩徑相乘十一乘十四除為撱圓積也【撱圓形狀不同恐不能無小差】 十七則 弧矢求積 設弧矢田矢濶五步?長一十七步三分二厘有奇背二十步零九分五厘二毫有奇離徑五步求積法 曰置背以離徑並矢【共十步】乘 之【得二百零九步五分二厘三毫有奇】另置? 以離徑乘之【得八十六步六分有奇】兩 數相減【餘一百二十二步九分二厘三毫有奇】 折半得六十一步四分六厘一毫有奇即所求解曰甲乙丙弧矢形戊為圜心自甲自乙作甲戊乙戊兩線成甲戊乙丙雜線形其丙丁矢與丁戊離徑並即全圓之半徑甲丙乙背又為圓周之分線求積之法當與圓同夫圓以半徑乘周折半得積【本卷三則】則雜線形亦必以半徑乘背折半得積矣又雜線形內以甲乙線分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙?為濶以丁戊離徑為高若以高乘濶折半必得三角形之積【一卷五則】於雜線形內減去三角積所余非弧矢積而何故法以半徑乘背離徑乘?相減折半得積也【相減而後折半與各折半而後相減得數同】十八則 弧矢形以積矢?及離徑求背 設弧矢田積六十一步四分六厘一毫有奇矢五步 ?一十七步三分二厘有奇離徑五 步求背法曰置積倍之【得一百二十二步九分二 厘三毫有奇】另置?以離徑乘之【得八十六步六 分有奇】兩數並【得二百零九步五分二厘三毫有奇】以矢 並離徑【共十步】除之得二十步零九分五厘二毫有奇即所求 解曰即前則求積法反用之 十九則 弧矢形以矢?求余徑【求全徑離徑半徑附】 設弧矢田矢五步?一十七步三分二厘有奇求余徑法曰置?折半【得八步六分六厘有奇】自乘【得七十五步】以矢除之得一十五步即所求 解曰甲乙丙弧矢形丙丁為矢丁戊為離徑丁己為 余徑自圓心戊作 戊乙線成丁戊乙 勾股形丁乙半? 為股丁戊離徑為 勾戊乙半徑為? 另作辛夘形為丁 戊勾上方形庚壬形為戊乙?上方形夫庚壬之大於辛夘者為癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等於乙丁股上方形何也?上方形與勾股上兩方形並等故也【六卷一則】若移子於寅則成癸丑寅直形必以勾?較為濶勾?和為長今戊乙?等於戊丙戊丙之大於丁戊勾者為丙丁是丙丁矢即勾?較也故以矢除丁乙半?【弧矢形之?】自乘之積即得勾?和又乙戊?【勾股形之?】既半徑必與戊己等戊己合丁戊非丁己余徑而何○求得余徑加矢即全徑減矢折半即離徑加矢折半即半徑 二十則 弧矢形以矢徑求? 設弧矢田矢五步徑二十步求?法曰以矢減徑【餘一十五步】以矢乘之【得七十五步】平方開之【得八步六分六厘有奇】倍之得一十七步三分二厘有奇即所求 解曰依前解矢與余徑相乘之數即半?自乘之數故平方開之得半?倍之得全?也 二十一則 弧矢形以離徑半徑求? 設弧矢田半徑十步離徑五步求?法曰置半徑離徑各自乘【半徑得一百步離徑得二十五步】兩數相減【餘七十五步】平方 開之【得八步六分六厘有奇】倍之得一十七步 三分二厘有奇即所求 解曰半徑乙戊為?【勾股形之?】離徑丁 戊為勾求得乙丁股即半?也【弧矢形之】 【?】故倍之得全? 二十二則 弧矢形以?及余徑求矢 設弧矢田?一十七步三分二厘有奇余徑一十五步求矢法曰置?折半【得八步六分六厘有奇】自乘【得七十五步】以余徑除之得五步即所求 解曰依十九則解半?自乘之數即矢偕余徑相乘之數故以余徑除之得矢 二十三則 弧矢形以?及全徑求矢 設弧矢田?一十七步三分二厘有奇全徑二十步求矢法曰置?徑各自乘【?得三百步徑得四百步】兩數相減【餘一百步】平方開之【得十步】以減全徑【餘十步】折半得五步即所求 解曰全徑上方形當矢偕余徑矩內形四及矢與余徑之較線上方形一【一卷十三則】全?上方形當半?上方形四又半?上方形與矢偕余徑矩內形等【本卷十九則】於全徑上方積內減去全?上方積即減去矢偕余徑矩內積四也則所余必矢與余徑之較線上方積平方開之即得矢與余徑之較線故以之減徑折半得矢也 二十四則 弧矢形以半?半徑求矢 設弧矢田半?八步六分六厘有奇半徑十步求矢法曰置半?半徑各自乘【半?得七十五步半徑得一百步】兩數相 減【餘二十五步】平方開之【得五步】以減半徑 得五步即所求 解曰半?丁乙為股戊乙半徑為? 求得丁戊勾即離徑也故以之減半 徑得矢 二十五則 弧矢形以半?及離徑求矢 設弧矢田半?八步六分六厘有奇離徑五步求矢法曰置半?離徑各自乘【半?得七十五步離徑得二十五步】兩數並【得一百步】平方開之【得十步】減去離徑得五步即所求解曰半?丁乙【圖同前則】為股離徑丁戊為勾求得乙戊?即徑也故減去離徑得矢 二十六則 弧矢形以半徑半?較及半?離徑較求矢與?設弧矢田半徑多半?一步三分四厘弱半?多離徑三步六分六厘強求矢及?法曰並兩數【共五步】以半徑多半?之數乘之【得六步七分】倍之【得一十三步四分】平方開之【得三步六分六厘】以加半徑多半?之數得五步即離徑再加半?多離徑之數得八步六分六厘即半?再加半徑多半?之數得十步即半徑半徑減去離徑餘五步即矢 解曰戊乙半徑【圖同二十四則】多於丁乙半?之數即股?較丁乙半?多於丁戊離徑之數即勾股較勾股較並股?較即勾?較此即勾?較股?較求勾股?法也【六卷二十則】 二十七則 舊弧矢法以矢?求積 設弧矢田矢十步?二十步求積法曰置矢?相併【共三十步】折半【得一十五步】以矢乘之得一百五十步即所求解曰舊説圓徑一周三甲乙丙丁圓徑二十步周六 十步甲乙丙弧矢形為全圓之半其 背為全周之半必三十步法以矢? 相併即與弧背等折半以矢乘之猶 圓法以半徑乘周折半得積之義也 【本卷三則】以舊法論全圓得積三百步而半圓之弧得積一百五十步與圍三徑一之數脗合無差過此以往其矢漸短弧形漸細其差漸多甚至百步之積有差至二十餘步者即如十七則弧矢田?一十七步三分二厘有奇矢五步依舊法求之止得積五十五步八分較前法所求之積則少五步六分六厘有奇前法雖密於舊法然必背矢?皆具方可起算舊法有矢有?即可得積故並存之 二十八則 舊弧矢法以積矢求? 設弧矢田積五十五步八分矢五步求?法曰置積倍之【得一百　十一步六分】以矢除之【得二十二步三分二厘】減去矢余 一十七步三分二厘即所求 解曰舊法以矢乘半?半矢得弧矢 積若以矢除弧矢積必仍得半?半 矢以矢除弧矢積既得半?半矢以 矢除弧矢之倍積不得一?一矢乎一?一矢內減去一矢所余非?而何 二十九則 舊弧矢法以積?求矢 設弧矢田積五十五步八分?一十七步三分二厘求矢法曰置積八因之【得四百四十六步四分】另置?自乘【得二 百九十九步九分八厘二毫四絲】兩數並【共七百四十六步三 分八厘二毫四絲】平方開之【得二十七步三分二厘】減 去?【餘十步】折半得五步即所求 解曰甲丁方形邊與一?二矢等甲 戊乙己丁庚丙辛各與矢等其戊己 等四直形即矢偕一?一矢矩內形壬子即?上方形也又弧矢形以矢乘半?半矢得積【本卷二十七則】而當一直形之半則四直形必當八弧矢積矣是一?二矢上方形與?上方積一及弧矢積八並等反之則?上方積一及弧矢積八並為一方其邊必一?二矢也法並兩數以平方開之所得即一?二矢之度故減?折半得矢也○舊弧矢法?背積及徑輾轉相求共三百二十六法實亦不出十七則以下十法之外其不能該者止以上三法耳故存之 三十則 增弧矢法以矢?求積 設甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙?一十七步三分二厘有奇求積法曰有矢與?可得丁壬余徑余徑加矢可得丙壬全徑【本卷十九則】甲己與丙壬等即以 甲己為?甲乙為股求乙巳勾得十 步【六卷三則】為乙巳庚余弧之?又將乙 己折半得巳辛復為勾戊巳半徑為 ?求戊辛股以減半徑【戊庚與戊巳等】余庚 辛一步三分四厘為乙己庚余弧之矢另求甲己徑上半圓積【得一百五十七步一分四厘二毫八絲○本卷三則】次求甲乙己勾股積【得八十六步六分○一卷四則】與半圓積相減【餘七十步零五分四厘二毫八絲】為甲乙丙與乙己庚兩弧之共積置為實兩弧各以三?一矢相併以矢乘之【甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得四十一步九分九厘五毫六絲】以甲乙丙弧數乘實【得二萬零九十步零五分八厘九毫四絲四忽】並兩弧數【共三百二十六步七分九厘五毫六絲】除之得六十一步四分七厘七毫五絲有奇即所求 解曰此借兩弧三?一矢以矢乘之之數為比例以分共積也此法較舊法為密然大弧既盈則小弧必朒較十七則未免有千一之差如必欲得弧積真數密量弧背從十七則可也 三十一則 圓截圓 設圓田徑二十一步依外周截積三 百三十六步八分七厘五毫求余圓 徑法曰置徑自乘【得四百四十一步】另置截 積以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十 一除之【得四百二十八步七分五厘】兩數相減【餘一十二步二分五厘】平方開之得三步五分即所求 解曰此與方環截積同【一卷五十六則】 三十二則 圓截弧矢【舊法】 設圓田徑一十三步截弧矢積三十 二步求矢法曰置截積自乘【得一千零二十 四步】為實用商法商矢四步即以所商 之矢乘截積【得一百二十八步】為上亷另以 矢每步加負隅二分五厘【得五步】與徑相減餘八步為余徑又以所商之矢自乘【得一十六步】以乘余徑【得一百二十八步】為下亷並兩亷【共二百五十六步】為法除實得四步即所求 解曰弧矢之積元以矢乘半?半矢而得【本卷二十七則】若以半?半矢相併除積必得矢法置截積自乘是倍截積為三十二若以三十二半?與三十二半矢並除倍積必亦得矢法以矢乘截積得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半?若以半?大於半矢 之數三十二倍之與三十二全矢並 即與三十二半?三十二半矢相併 之數同今無半?數須以矢乘余徑 以為半?自乘之方【本卷十九則】如甲乙 方形甲己為半?甲丁為半矢丁己為半矢?較【即半?大於半矢之度】則丁己乙戊直形必半矢?較以半?為倍數者也庚辛等於丁己庚丙等於甲丁則庚丙戊辛直形必半矢?較以半矢為倍數者也兩直形並再以矢乘之必半矢?較以截積三十二為倍數者也何也弧矢之積元以矢乘半?半矢而得故也甲乙大方形減去丁己乙戊與庚丙戊辛兩直形余甲丙小方形為甲丁半矢之冪法所謂負隅也負隅既為半矢之冪必為全矢冪四分之一故法以二分五厘為負隅也法用矢自乘以乘余徑與用矢乘余徑再以矢乘之得數同也○按元注云所得之矢過於所商之矢為約矢太短不及所商之矢為約矢太長宜更商之商約之法既無一定惟以意斟酌之若整齊之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人於此條實無善法姑以此考驗所商之合否耳若止欲考驗所商之合否又何如以所商之矢求半?【本卷二十則】再加半矢以矢乘之【本卷二十七則】合積為準過積為約矢太長不及積為約矢太短不較捷乎 三十三則 弧矢截雜線三角形 設半圓弧矢田?二十步自心截雜線三角形背長一十步零四分七厘六毫一絲六忽求截積法曰置 截背以?折半【得十步】乘之【得一百零四步七分 六厘一毫六絲】折半得五十二步三分八厘 零八絲即所求 解曰雜線三角形為圓之分形故求 積之法同圓【本卷三則】 三十四則 方內減圓以余積求圓積 設方田減去內切圓田四隅余積一百六十八步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之【得一千八百四十八步】 以圓法十一與方法十四相減餘三 為法除之得六百一十六步即所求 解曰圓既為方十四分之十一則方 內減圓之餘積必為方十四分之三 圓十一分之三矣故十一乘三歸得圓積也 三十五則 方內減圓以余積求方積【求方邊圓徑附】 設方田減去內切圓田四隅余積一百六十八步求方積法曰置積為實以十四乘之【得二千三百五十二步】以圓法十一與方法十四相減餘三為法歸之得七百八十四步即所求 解同前○置方積平方開之即方邊亦即圓徑三十六則 圓內減方以余積求方積【求方邊圓徑附】 設圓田減去內切方田余積二百二 十四步求方積法曰置積為實以七 乘之【得一千五百六十八步】以七與圓法十一 相減餘四為法歸之得三百九十二 步即所求 解曰內切方形之?與外切方形之邊等則內切方形必倍小於外切方形而若七之與十四夫圓既為外方十四分之十一而內方不為圓十一分之七乎圓內減方之餘積為圓十一分之四即為內方七分之四故七乘四除得內切方積也○置方積平方開之即得方邊倍方積平方開之即得圓徑 三十七則 圓內減方以余積求圓積 設圓田減去內切方田余積二百二十四步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之【得二千四百六十四步】以圓法十一與七相減餘四為法歸之得六百一十六步即所求 解同前 三十八則 方內減不相切之圓以余積求方邊及圓徑 設方田內減圓田方邊至圓周五步余積一千七百二十五步求方邊及圓徑法曰置五步自乘【得二十五步】以三因之【得七十五步】與余積並【共一千八百步】另置五步以六因之【得三十步】為縱方以平方帶縱開之【得九十步　一卷十三則】減 去縱方餘六十步即方邊再 減兩邊各五步【共十步】餘五十 步即圓徑 解曰依圖分之成甲乙等方 形四子丑等直形八干坎等 雜線三角形四其甲乙等四形即方邊至圓周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步為濶其長 則圓之半徑也干坎等四形 為方減內切圓形之餘積以 方四圓三推之【舊法謂方內容圓圓居方 四分之三】四形並必當方四分之 一干坎艮三形並必足以補 癸形之闕而與一小方二直 形一雜形並共湊成一坤震 方形矣次移甲於丁移乙於 戊移丙於己移子於午移醜於未移寅於申移夘於酉移辰於戌移巳於亥尚闕庚辛壬三形故法取方邊至圓周之五步自乘以三因之加入積內也自壬至丁凡六形每形濶五步共計三十步故法取方邊至圓周之五步以六因之為縱方也帶縱開方法置積四因之縱方自乘兩數並平方開之得長濶相和之度【即兌巽與巽震並】減去縱方【即兌坤】余兩濶【即坤巽與巽震並】即方邊方邊之大於圓徑者為兩邊之各五步故減之得圓徑【本則及下則皆用周三徑一法】 三十九則 圓內減不相切之方以余積求圓徑及方? 設圓田內減方田圓周至方角一步余積四十三步 求圓徑及方?法曰置一步 自乘【仍得一步】以二因之【得二步】與 余積並【並四十五步】另置一步以 四因之【得四步】為縱方以平方 帶縱開之【得一十四步】減去縱方 即圓徑再減圓周至方角各一步【共二步】餘八步即方? 解曰依內方角作一圓線此圓線偕外圓周必成一圓環形次依環濶改作方環圓環當方環四分之三 故止作方環之三隅即與圓 環等依圖分之成甲乙丙三 方形丁戊己庚辛壬六直形 尚余癸子丑寅四弧矢形為 圓減內切方形之餘積以圓 三方二推之【舊法謂圓內容方方居圓三分 之二】四弧矢形並當圓三分之 一必當內方二分之一而夘癸辰方形亦當內方二分之一則四弧矢形必能補夘癸辰方形之闕而與辛壬丙三形並共輳成一震坎方形矣次移甲於巳移乙於午移丁於酉移戊於戌移己於亥移庚於干尚闕未申二形故法取圓周至方角一步自乘二因之補入積內也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圓周至方角之一步四因之為縱方也以平方帶縱開之得巽艮艮坎長濶相和之度減去縱方巽震餘震艮艮坎兩濶即圓徑圓徑之大於方?者為兩邊之各一步故減之得方? 四十則 諸雜線形求積 第一圖可作一弧矢形而減一弧矢形第二圖可作半弧矢形而減半弧矢形第三圖可作兩弧矢形第四圖移甲丙實形補乙丁虛形成戊三角形又移己實形補庚虛形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形內成三角形五弧矢形一第五圖甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移 戊實形補 己虛形庚 亦成三角 形癸借壬 虛形亦成 三角形【得積 減去壬圓形】此 一大形內 成弧矢形二三角形五而減一圓形凡屬雜線形者【裁之數學鑰卷二】 皆依五形例