數學鑰 · 卷一

欽定四庫全書 數學鑰卷一 柘城杜知耕撰 方田上【直線類】 一則 實積求畝 設田積二萬九千五百二十步求畝法曰置積為實以畝法二四除之得一百二十三畝即所求 解曰五尺為步二百四十步為畝如自甲至乙濶一 步【即五尺】餘三邊各與甲乙等則甲丙 方形為積一步二百四十倍之則為 一畝故畝法用二四也本卷及二卷 皆言求積之法得積以此法求之即 得畝數 二則 直形求積 設直田長十步濶八步求積法曰置長為實以濶乘之得八十步即所求 解曰直田長濶不等求積之法任取 一邊為此一邊之倍數【或以濶乘長或以長乘濶】如甲戊形之戊乙己甲各二步則二 倍甲乙邊八步之數而甲戊形得積 一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙邊八步之數故得積八十步也 三則 方形求積 設方田方八步求積法曰置八步自乘得六十四步 即所求 解曰方田四邊皆等以此邊為此邊 之倍數與以他邊為此邊之倍數同 故法用自乘也 四則 勾股求積 設勾股田股長十二步勾濶八步求積法曰置股為實以勾乘之【得九十六步】折半得四十八步即所求解曰勾股形當等高等濶直形之半如甲乙丙勾股 形另作丁己直形 與之等高【謂丁庚與甲丙 等】等濶【謂丁戊與甲乙等】以庚戊線分之則 成丁戊庚庚己戊兩勾股形皆與甲乙丙勾股形等夫丁己一直形當甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不當丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形積也故半之得勾股積又法置股為實以半勾【四步】乘之所得同前【半股為實以勾乘之亦得】 解曰丁己直形再以壬辛線中分之成丁壬辛己兩分形法以半勾乘股所得即分形積也勾股既為丁己直形之半而分形亦為丁己直形之半故分形積即勾股積也 五則 三角形求積 設三角田中長一十二步底濶八步求積法同勾股田 解曰甲乙丙三角形依底線作甲丁直形從角以丙 己線分之則三角 形內成甲己丙乙 己丙兩勾股形直 形內成甲丙己丁 兩分形從前解推 之甲己丙勾股形 當甲丙分形之半 乙己丙勾股形當 己丁直形之半兩勾股形既當兩分形之半而三角全形不為甲丁全形之半乎故求積之法與勾股同也　或兩邊等【如第一圖】或三邊等【如第二圖】或三邊俱不等【如第三圖】法皆同 六則 斜方形求積 設斜方田長一十 五步上濶六步下 濶十步求積法曰 置長為實以兩濶 相併【共一十六步】折半【得八步】為法乘之得一百二十步即所求 解曰甲乙丁庚斜方形減去辛丁直形所余必甲庚辛勾股形勾股形既為等高等濶直形之半【本卷四則】則己庚直形必與甲庚辛勾股形等又己庚直形與辛丁直形並亦必與甲庚辛勾股形與辛丁直形並等法並兩濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁兩形並也安得不與甲乙丁庚斜方形等乎 七則 梯形求積 設梯田長一十五步上濶六步下濶十步求積法同斜方田 解曰甲乙丙丁梯形減去戊丁直形余甲丙戊乙丁 己兩勾股形必與 辛丙己庚兩分形 等今戊丁直形與 兩分形並則與全 梯形等矣故並兩濶折半乘長得積也 八則 象目形求積 設象目田濶八步正長一十二步求積法曰置正長 為實以濶乘之得 九十六步即所求 解曰幾何原本雲 甲乙丙丁象目形 甲戊為正長自乙 作乙己線與甲戊平行次於丁丙線引長之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙兩形在平行線內【等高即在平行線內】而同底【等濶即同底】則兩形必相等何也甲戊乙己兩線既平行則戊己必與甲乙等而丙丁元等於甲乙則丙丁與戊己必亦等丙丁既與甲乙等則甲丙乙丁兩線必平行而亦相等因顯甲丙戊乙丁己兩三角形亦等於兩形內每減一己丙庚三角形所余甲庚己戊庚乙丙丁兩無法四邊形亦等次於兩無法形每加一甲庚乙三角形則成甲乙丙丁甲乙戊己兩形安得不等法以濶乘正長得甲己直形之積即甲乙丙丁象目形之積 又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步兩數相乘亦得九十六步與前同 解曰象目田以甲丁線分之則成相 等之兩三角形甲丁即底丙戊即中 長也故以底乘長得全積也【三角法以底乘 長折半得積今不折故得兩形之共積】 九則 諸直線形求積 第一圖 可作三 三角形 第二圖 可作一 斜方形 一三角 形第三圖可作一三角形而減一小三角形第四圖可作一方形而減一勾股形第五圖可作一直形一勾股形第六圖可作兩三角形其餘千形萬狀凡屬直線邊者皆依方直三角勾股裁之 十則 積求方邊【即開平方】 設方田積三萬六千一百步求方邊法曰置積於中為實初商一百步於實左亦置一百步於實右為方法左右對呼除實一萬步【餘二萬六千一百步】倍方法【得二百步】為 亷法次商九十步於左初商 之次【共一百九十步】亦置九十步於 右亷法之次為隅法【共二百九十步】以左次商與亷法對呼除實 一萬八千步【餘八千一百步】又以左 次商與隅法對呼除實八千 一百步恰盡於左得一百九十步即所求方邊之數解曰初商與方法對呼所除者己辛方形也【即大方積】次商與亷法對呼所除者甲壬壬丁兩直形也【即兩亷】必倍方法為亷法者以亷有二也次商與隅法對呼所除者庚戊方形也【即隅方】四形恰盡實積則初次兩商 之數為方田邊無疑矣 又設方田積七萬一千八百 二十四步求方邊法曰置積 於中為實初商二百步於左 亦置二百步於右為方法左 右對呼除實四萬步【餘三萬一千八 百二十四步】倍方法【得四百步】為亷法 次商六十步於左初商之次亦置六十步於亷法之次為隅法先以次商與亷法對呼除實二萬四千步再以次商與隅法對呼除實三千六百步【余實四千二百二十四步】又倍次商【得一百二十步】並右亷法【共五百二十步】復為亷法三商八步於左初商次商之次【共二百六十八步】亦置八步於右亷法之次復為隅法先以三商與亷法對呼除實四千一百六十步再以三商與隅法對呼除實六十四步恰盡於左初次三三商共得二百六十八步即所求方邊之數 解曰此與前條無異但前二位此三位耳初商次商不能盡故三商之如三商又不盡則四商五商仿此十一則 方邊求斜? 設方田方五十步求?法曰置方數自乘【得二千五百步】倍 之【得五千步】平方開之【本卷十則】得七十步零 七分有奇即所求 解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙? 線次作己庚辛壬方形令方邊與甲 丁方形之?線等則庚壬方形必倍大於甲丁方形何也甲丁形內丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形當一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各與甲丁形內四三角形等是形外四三角形又當一甲丁方形矣因知斜?自乘之方形【即庚壬方形】倍大於方邊自乘之方形【即甲丁方形】法置方邊自乘即甲丁方積也倍之即庚壬方積也平方開之得庚壬方形之邊即得甲丁方形之?也 十二則 斜?求方邊 設方田?長七十步零七分有奇求方邊法曰置?自乘【得五千步】折半【得二千五百步】平方開之得五十步即所求解曰置?自乘求庚壬方積也【圖同上則】折半即甲丁方積也故平方開之得甲乙 十三則 直積求長與濶【即帶縱開平方】 設直田積九百七十二步長濶差九步求長與濶法 曰置積四因之【得三千八百八十八步】又長濶 差自乘【得八十一步】兩數並【共三千九百六十九步】平方開之得六十三步加長濶差【共七 十二步】折半得三十六步即長以長濶 差減長餘二十七步即濶 解曰一線任兩分之兩分線矩內形四及兩分線之較線上方形一併與元線上方形等如圖甲乙線兩分於丙丙子庚癸己壬辛丑四線各與乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四線各與甲丙等則丙庚庚己己辛辛丙四形必兩分線矩內形也辛丑既等於丙乙壬辛又等於甲丙則丑壬必兩分線之較線壬癸癸子子丑又各等於丑壬則癸丑形必較線上方形矣甲乙元線上方形不與五形並等乎直田積即兩分線矩內形也四因之者矩內形四也長濶差自乘即較線上方形也五形並等於元線上方形故平方開之得甲乙元線即長濶相和之度也【開方所得之六十三步】長濶和增一長濶差即兩長兩長折半非一長而何以長濶差減長非濶而何 十四則 直形以長求濶 設直田積九百七十二步長三十六 步求濶法曰置積為實以長除之得 二十七步即所求 解曰濶為長之倍數故以長除積得 濶【本卷二則】 十五則 直形以濶求長 設直田積九百七十二步濶二十七步求長法曰置積為實以濶除之得三十六步即所求 解曰長亦為濶之倍數故以濶除實得長【本卷二則】十六則 直形長濶求? 設直田濶二十七步長三十六步求 ?法曰長濶各自乘【長得一千二百九十六步濶得 七百二十九步】兩數並【共二千零二十五步】平方開之 得四十五步即所求 解曰此即勾股求?【六卷一則】 十七則 直形濶?求長 設直田濶二十七步?四十五步求長法曰?濶各自乘【?得二千零二十五步濶得七百二十九步】兩數相減【餘一千二百九十六】平方開之得三十六步即所求 解曰此即勾?求股【六卷二則】 十八則 直形長?求濶 設直田長三十六步?四十五步求濶法曰?長各自乘【?得二千零二十五步長得一千二百九十六步】兩數相減【餘七百二十九步】平方開之得二十七步即所求 解曰此即股?求勾【六卷三則】 十九則 直形長及?濶差求濶 設直田長三十六步?濶差一十八步求濶法曰長與?濶差各自乘【長得一千二百九十六步?濶差得三百二十四步】兩數相減【餘九百七十二步】折半【得四百八十六步】以?濶差為法除之得二十七步即所求 解曰此即股與勾?較求勾【六卷十四則】 二十則 直形濶及?長差求長 設直田濶二十七步?長差九步求長法曰置濶自乘【得七百二十九步】以?長差為法除之【得八十一步】減?長差【餘七十二步】折半得三十六步即所求 解曰此即勾與股?較求股【六卷十五則】 二十一則 直形?及長濶和求長濶差 設直田長濶和六十三步?四十五步求長濶差法曰置?自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置長濶和自乘【得三千九百六十九步】兩數相減【餘八十一步】平方開之得九步即長濶差以減長濶和【餘五十四步】折半得二十七步即濶加長濶差得三十六步即長 解曰此即?與勾股和求勾股較【六卷七則】 二十二則 直形長及?濶和求濶 設直田?濶和七十二步長三十六步求濶法曰置長自乘【得一千二百九十六步】以?濶和為法除之得一十八步即?濶差以減?濶和【餘五十四步】折半得二十七步即所求 解曰此即股與勾?和求勾?較【六卷十八則】 二十三則 直形濶及?長和求長 設直田?長和八十一步濶二十七步求長法曰置濶自乘【得七百二十九步】以?長和為法除之得九步即?長差以減?長和【餘七十二步】折半得三十六步即所求解曰此即勾與股?和求股?較【六卷十九則】 二十四則 直形?及長濶差求長與濶 設直田長濶差九步?四十五步求長與濶法曰置?自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置長濶差自乘【得八十一步】兩數相減【餘三千九百六十九步】平方開之得六十三步即長濶和加長濶差【共七十二步】折半得三十六步即長減長濶差餘二十七步即濶 解曰此即?與勾股較求勾股和【六卷十則】 二十五則 直形長?和及濶?和求長與濶 設直田長?和八十一步濶?和七十二步求長與濶法曰置長?和以濶?和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一萬一千六百六十四步】平方開之得一百零八步與長?和相減餘二十七步即濶與濶?和相減餘三十六步即長 解曰此即勾?和股?和求勾與股【六卷十三則】 二十六則 直形長?差及濶?差求長與濶 設直田長?差九步濶?差一十八步求長與濶法曰置長?差以濶?差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方開之得一十八步加濶?差得三十六步即長加長?差得二十七步即濶 解曰此勾?較股?較求勾與股【六卷二十則】 二十七則 直形積及長濶和求長濶差 設直田長濶和六十三步積九百七十二步求長濶差法曰置長濶和自乘【得三千九百六十九步】另置積四因之【得三千八百八十八步】兩數相減【餘八十一步】平方開之得九步即所求 解曰長濶和自乘之方積當直田積四長濶差自乘之方積一故以長濶和自乘減去四直田積余以平方開之得長濶差也【本卷十三則】 二十八則 直形積及長濶和求? 設直田積九百七十二步長濶和六十三步求?法曰置長濶和自乘【得三千九百六十九步】另置積倍之【得一千九百四十四步】兩數相減【餘二千零二十五步】平方開之得四十五步即所求 解曰甲戊形長濶和自乘之方也庚 辛形?自乘之方也甲戊形內勾股 八及長濶差自乘之方一庚辛形內 勾股四及長濶差自乘之方一每二 勾股當一直形【如一丙乙丑辛直形內有乙丙辛丑辛丙】 【兩勾股形】是長濶和上方形大於?上方形之較為二直田積也故法以長濶和自乘減去二直田積平方開之即得?度也 二十九則 兩邊等之三角形求對角之垂線 設三角田底濶六步兩餘邊各五步 求中長法曰置底折半【得三自步】乘【得九 步】余邊亦自乘【得二十五步】兩數相減【餘一 十六步】平方開之得四步即所求 解曰丙乙作?乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾?求股法也【六卷二則】甲乙邊折半即得勾者以乙丙丙甲兩邊等也設兩邊不等此法不行矣則有下法在 三十則 有一方角之三角形求對角之垂線 設不等邊三角田有一方角【丙為方角即勾股田】底濶十步乙丙邊六步甲丙邊八步求中長法曰置乙丙邊自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾?求股法】又自乘 【得一十二步九分六厘】與丙乙邊自乘之數相 減【餘二十三步零四厘】平方開之得四步八分 即所求 解曰此勾股求對角垂線法也【六卷二十 五則】因有方角故用之若無方角此法 又窮矣更有一法不問等邊方角與否皆可求如下則 三十一則 不等邊而無方角之三角形求對角之垂線 設三角田底濶一十五步乙丙邊八 步甲丙邊十步求中長法曰置乙丙 甲丙兩邊各自乘【乙丙得六十四步甲丙得一百步】兩數相減【餘三十六步】為實以底除之【得二 步四分】以減底【餘一十二步六分】折半【得六步三分】 【即乙丁之度以下勾?求股法】又自乘【得三十九步六分九厘】另置乙丙自乘【得六十四步】兩數相減【餘二十四步三分一厘】平方開之得四步九分三厘有奇即所求 解曰甲乙丙三角形丁為對角防另作庚辛為乙丙 邊上方壬癸為甲 丙邊上方壬癸大 於庚辛之較為夘 子丑磬折形若移 醜於寅則成夘子 寅直形又作辰巳 為丁乙上方午未 為甲丁上方午未 大於辰巳之較為申酉戌磬折形若移戌於亥則成申酉亥直形申酉亥與夘子寅兩直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁線分之則成丁乙丙丁甲丙兩勾股形既皆勾股形則丙乙?上方形必與丙丁股乙丁勾上兩方形並等甲丙?上方形必與丙丁股甲丁勾上兩方形並等【六卷一則】從此推之則甲丙上方形大於丙乙上方形之容必與丙丁甲丁上兩方形大於丙丁乙丁上兩方形之容等試減去同用之丙丁上方形則甲丙上方形大於乙丙上方形之夘子寅直形與甲丁上方形大於乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上兩方形相減余即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底為長【以甲丁乙丁兩線並為長即以甲乙全線為長】以甲丁乙丁之較線甲己為濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既為甲丁乙丁之較線於甲乙線減去甲己則己丁乙丁兩線等矣故折半得乙丁余仍勾?求股法【六卷二則】同前則 三十二則 方周求積 設方田周二百步求積法曰置周自乘【得四萬步】以方法十六除之得二千五百步即所求 解曰假如一步以 四面計之則周四 步四步自乘得一 十六步是周自乘 之十六步止得實積一步故以十六為方法也然此法止可施於方田至於直田則不可用如下圖直田長六十步濶四十步周亦得二百步實積止得二千四百步如以前法求之則多積百步矣 三十三則 方環以周求積 設方環田外周二百八十步內周一百二十步求積法曰二周各自乘【外周得七萬八千四百步內周得一萬四千四百步】兩數相 減【餘六萬四千步】以方法十六除之得四千 步即所求 解曰此方內減方法也○如知環濶 則用梯田法置兩周相併折半以濶 乘之即得環積 三十四則 方環以積及濶求邊 設方環田積四千步濶二十步求內外邊法曰置濶自乘【得四百步】以四因之【得一千六百步】以減環積【餘二千四百步】余積 以四歸之【得六百步】以濶除之得三十步 即內邊倍濶【得四十步】加之得七十步即 外邊 解曰法以環濶自乘者求環之隅方 也【即甲等】以四因之者環之隅有四也【即甲乙丙丁四方形】以減環積所余必四直形也【即戊己庚辛四直形】四歸之者取四直形之一也以濶除之即得內邊者其直形以環之濶為濶以內邊之度為長也加兩濶即得外邊者外邊大於內邊之較為兩濶也○或四因環濶除積得五十步【即直方兩形並之共長】加濶得外邊減濶得內邊 三十五則 直形依長截濶 設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步 求截濶法曰置積為實以元長除之 得三十二步即所求 解曰即以長求濶法【本卷十四則】 三十六則 直形依濶截長 設直田濶六十四步依元濶截積二千七百二十步求截長法曰置積為實以元濶除之得四十二步五分即所求 解曰即以濶求長法【本卷十五則】 三十七則 直形截勾股 設直田長八十五步依元長截積一千三百六十步成勾股形法曰置積倍之【得二千七百二十步】以元長除之得三十二步即所求 解曰勾股形當等高等濶直形之半 法倍勾股積即乙丙直形積也乙丙 直形既倍勾股積則必與勾股等高 等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股 之濶也 三十八則 直形截三角 設直田濶六十四步依元濶截積一千三百六十步成三角形求長法曰置積倍之【得二千七百二十步】以元濶除 之得四十二步五分即所求 解曰三角形亦當等高等濶直形之 半法倍三角積即甲乙直形積也甲 乙直形既倍三角積則必與三角形 等高等濶矣故求甲乙直形之長即三角形之長也三十九則 直形截斜方 設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步成斜方形兩濶相差五步求兩濶法曰置積為實以 元長除之【得三十二步】另置相差五步折 半【得二步五分】並三十二步得三十四步 五分即大邊減三十二步得二十九 步五分即小邊 解曰以元長除積者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶為斜方兩濶之中度【謂小於大邊二步五分大於小邊亦二步五分】故置差折半增減之即得兩濶 四十則 直形截梯形 設直田濶六十步依元濶截積三千七百八十步成梯形兩濶相差一十二步求長法曰置積為實倍元濶【得一百二十步】減相差一十二步【餘一百零八步】折半【得五十四步】為 法除之得七十步即所求 解曰倍濶減差折半者求甲乙直形 之濶也甲乙直形濶為梯形兩邊之 中度【謂小於大邊六步大於小邊亦六步】則直形之容 必與梯形等故求直形之長即得梯形之長 四十一則 三角形以截積截濶求截長【勾股截積同】 設三角田依角截積一千三百六十 步截濶六十四步求截長法曰置積 倍之【得二千七百二十步】以濶除之得四十二 步五分即所求 解曰此與直田截三角同【本卷三十八則】 四十二則 三角形以截積截長求截濶 設三角田依角截積一千三百六十步截長四十二步五分求截濶法曰置積倍之【得二千七百二十步】以長除之得六十四步即所求 解曰此與直田截勾股同【本卷三十七則】 四十三則 三角形以截長求截濶 設三角田元長二百步濶一百五十步自角截長一百五十步求截濶法曰置截長為實以元濶乘之【得二萬二千五百步】以元長除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一線分之分線若與底線平行則分形之比例必各與全形等謂丙丁與丁戊若丙甲與甲乙丁戊與丙庚若甲乙與丙己又丁戊與甲乙若丙丁與甲丙丙庚與丙己也【泰西幾何原本】甲乙丙即元形丁戊丙即截形也則截長與截濶之比例必若元長與元濶矣截濶與元濶之比例亦必若截長與 元長矣【謂截長大於截濶幾 分之幾則元長亦大於元濶幾分之 幾截濶小於元濶幾分之幾則截長 亦小於元長几分之幾】法以 元濶乘截長以元長除之者借元長及元濶之比例因截長以求截濶也【求比例用異乘同除法詳三卷五則】 四十四則 三角形以截濶求截長 設三角田元長二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截長法曰置截濶為實以元長乘之【得二萬二千五百步】以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元長之比例因截濶以求截長也四十五則 三角形以截積求截長 設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八千四百三十七步五分求截長法曰置積倍之【得一萬六千八百七十五步】為實以元長乘之【得三百三十七萬五千步】以元濶除之【得二萬二千五百步】平方開之得一百五十步即所求 解曰甲乙丙即元 形丁戊丙即截形 丁壬為截形等高 等濶之直形辛壬 為截長丙庚線上方形丁壬辛壬兩形之高必相等兩形既等高則其比例必若丁戊與辛戊【幾何原本雲凡兩形等高形與形之比例若線與線】辛戊與截長丙庚等而丁戊即截濶是丁壬與辛壬之比例若截濶與截長也分形之比例元與全形等【本卷四十三則】則丁壬與辛壬之比例又若元濶與元長矣法倍截積者求丁壬直形也以元長乘元濶除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬為截長丙庚上方形故平方開之得截長也 四十六則 三角形以截積求截濶 設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八千四百三十七步五分求截濶法曰置截積倍之【得一萬六千八百七十五步】為實以元濶乘之【得二百五十三萬一千二百五十步】以 元長除之【得一萬二千六 百五十六步二分五厘】平方 開之得一百一十 二步五分即所求 解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬為截形等高等濶之直形丁辛為截濶丁戊上方形丁壬丁辛兩形之濶必相等兩形既等濶則其比例必若戊壬與戊辛戊辛與截濶等戊壬與截長等是丁壬與丁辛之比例若截長與截濶亦若元長與元濶矣法倍截積者求丁壬直形也以元濶乘元長除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛為截濶丁戊上方形故平方開之得截濶也○以上皆自角截積法若自底截積則以截積減元積余積亦以上法求之得濶即截濶得長減元長余為截長四十七則 斜方形以截積截長求截濶【梯形截積同】 設斜方田元長九十步大邊 濶三十八步小邊濶二十步 依小邊截積八百二十二步 五分截長三十五步求截濶 法曰置積為實以截長除之 【得二十三步五分】倍之【得四十七步】減小 邊元濶餘二十七步即所求 解曰以截長除積者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙為小邊及截濶之中度倍之則與小邊及截濶並等矣故減小邊即得截濶也 四十八則 斜方形以截積截濶求截長 設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步依小邊截積八百二十二步五分截濶二十七步求截長法曰置積為實以截濶與小邊元濶並【得四十七步】折半【得二十三步五分】為法除之得三十五步即所求解曰以截濶與小邊相併折半者求兩濶之中度甲乙也【同前圖】故以除積得截長 四十九則 斜方形以截濶求截長 設斜方田元長九十步大邊 濶三十八步小邊濶二十步 截濶二十七步求截長法曰 置小邊元濶與截濶相減【餘七】 【步】為實以元長乘之【得六百三十步】另以兩元濶相減【餘一十八步】除之得三十五步即所求 解曰小邊與截濶相減所余必庚己兩元濶相減所余必甲戊庚己與截長之比例若甲戊與元長也與三角形同【本卷四十三則】 五十則 斜方形以截長求截濶 設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自小邊截長三十五步求截濶法曰置截長為實以兩元濶相減【餘一十八步】乘之【得六百三十步】以元長除之【得七步】並小邊元濶得二十七步即所求 解曰七步即己庚之度也【圖同前】故加小邊元濶得截濶余同前解 五十一則 斜方形依小邊截積求截濶 設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自小邊截積八百二十二步五分求截濶法曰置積為實以兩元濶相減【餘一十八步】乘之【得一萬四千八百零五步】以元長除之【得一百六十四步五分】倍之【得三百二十九步】另以小邊元濶自乘【得四百步】兩數並【共七百二十九步】平方開之得二十七步即所求 解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁與甲乙為兩元濶辛己為截濶丙戊為元長丙庚為截長庚己 為小邊與截濶之較線甲戊 為兩元濶之較線癸辛為截 濶上方形子辛為小邊上方 形【庚辛與丙丁等】癸辛之大於子辛 者為丑寅兩亷與夘一隅夘隅即較線庚己上方形也截形以丙庚線分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截長丙庚除直形必得辛庚線再以較線己庚乘之必成一亷【兩亷俱以小邊為長以較線為濶】若以截長丙庚除勾股必得庚壬線庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形與勾股兩形實一截形之分也若以己庚乘截積以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例與截形等【本卷四十九則】丙戊之與甲戊必若丙庚之與己庚故置截積以元長丙戊除之以兩邊較線甲戊乘之亦得一亷半隅與前同倍之則成兩亷一隅夫小邊上方形之小於截濶上方形者此兩亷一隅也並之則成截濶上方形矣故平方開之得截濶 五十二則 斜方形依大邊截積求截濶 設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自大邊截積一千七百八十七步五分求截濶法曰置積為實以兩元濶相減【餘一十八步】乘之【得三萬二千一百七十五步】以元長除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大邊元濶自乘【得一千四百四十四步】兩數相減【餘七百二十九步】平方開之得二十七步即所求 解曰既自大邊截積則 元形之大邊亦即截形 之大邊而截濶為小邊 小邊上方形之小於大 邊上方形者兩亷一隅也故於大邊上方形內減去兩亷一隅平方開之即得截濶○若並求長得濶用本卷四十八則法求之 五十三則 梯形截勾股 設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步自一角截勾股積三百四十八步四分八厘求 截濶法曰置積倍之【得六百九十六 步九分六厘】以兩元濶相減【餘六十步】折半【得三十步】乘之【得二萬零九百零八步八 分】以元長除之【得一百七十四步二分四】 【厘】平方開之得一十三步二分即所求 解曰甲乙丙丁梯形減去甲戊丙丁斜方所余必戊丁乙勾股形截積亦勾股形則是勾股截勾股也故法同勾股【本卷四十六則】○若求長則倍截積以截濶除之即得【本卷三十八則】 五十四則 梯形截斜方 設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步截斜方積三千六百步求截濶法曰置積為實 以元長除之【得三十步】另以兩元 濶相減【餘六十步】四歸之【得一十五步】兩數並得四十五步即所求 解曰元長除截積得己戊甲 庚為大邊大於小邊之半甲己又為甲庚之半則甲己為大邊大於小邊四分之一矣故四歸兩濶之較並己戊得截濶 五十五則 梯形截無法五邊形 設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步截五邊形【即甲戊己丁丙】積五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全積【本卷七則】減去截積【餘三 百四十八步四分八厘】以梯田截勾股 法求之【本卷五十三則】得濶【一十三步二分】以減大邊元濶餘六十六步 八分即所求 解曰一十三步二分者乙己戊余形之濶乙戊也大邊元濶甲乙減去乙戊余甲戊即截濶 五十六則 方環截外周 設方環田外方七十步自外截積二千四百步求截 環內方法曰置元方自乘【得四千九百步】減 去截積【餘二千五百步】平方開之得五十步 即所求 解曰余環外方即截環內方 五十七則 方環截內周 設方環田內方三十步自內截積一千六百步求截環外方法曰置內方自乘【得九百步】與截積並【得二千五百步】平方開之得五十步即所求 解曰內方自乘者補環內虛形以便開方也 數學鑰卷一