數理精蘊 · 卷三十二
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷三十二
末部二
借根方比例【開諸乘方法 諸乘方表】
開諸乘方法
借根方比例法中開各乘方爲最要其算線部借根算面部借平方算體部借立方以及多乘方雖各按其類然有法屬線類而仍須諸乘方算者故諸乘方之法宜審也葢諸乘方之形體不同開法之難易迥別總以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉較多故較難自三乘以至多乘其廉愈多則其法愈難今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以後則甚爲簡捷至於諸乘方中亦有可以用平方立方之法代開者如三乘方與平方自乘之數等故可以平方兩次開之五乘方與平方自乘再乘之數等亦與立方自乘之數等故可以平方開之繼以立方開之七乘方與平方兩次自乘之數等故可以平方三次開之八乘方與立方自乘再乘之數等故可以立方兩次開之九乘方與四乘方自乘之數等故可以平方開之繼以四乘方開之惟四乘方及六乘方與平方立方之數皆不相合故不可以平方立方之法代開也又諸乘方次商之數最難定今自立方至九乘方俱爲立根數兩位之表若根數兩位者以積數撿表即得更爲便捷至於十乘方以後並可以此法御之但其數繁衍而無所用茲故不載焉
平方
設如有平方積一萬五千一百二十九尺開平方問每一根之數幾何
法列方積一萬五千一百二十九尺自末位起算每方積二位定方根一位故隔一位作記乃於九尺上定單位一百尺上定十位一萬尺上定百位其一萬尺爲初商積與一百自乘之數相合即定初商爲一百尺書於方積一萬尺之上而以初商一百尺自乘之一萬尺書於初商積之下相減恰盡爰以方根第二位積五千一百尺續書於後爲次商廉隅之共積而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商積足二十倍即定次商爲二十尺書於方積一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一萬四千四百尺與原積相減餘七百尺爰以方根第三位積二十九尺續書於後共七百二十九尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商積足三倍即定三商爲三尺書於方積九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一萬五千一百二十九尺與原積相減恰儘是開得一百二十三尺爲平方每一根之數也此法止用廉法除余積得次商即並初商數自乘得數復與原積相減與常法不同然自三乘方以至多乘方則廉法條例甚繁難於布算用此法甚爲省便在平方立方不覺其省【平方止省小隅一層立方止省長廉小隅二層】而在多乘方所省實多葢各設一例以備體也
立方
設如有立方積四千一百零六萬三千六百二十五尺開立方問每一根之數幾何
法列方積四千一百零六萬三千六百二十五尺自末位起算每方積三位定方根一位故隔二位作記乃於五尺上定單位三千尺上定十位一百萬尺上定百位其四千一百萬尺爲初商積與三百自乘再乘之數相准即定初商爲三百尺書於方積一百萬尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百萬尺書於初商積之下相減餘一千四百萬尺爰以方根第二位余積六萬三千尺續書於後共一千四百零六萬三千尺爲次商廉隅之共積而以初商之三百尺自乘得九萬尺三因之得二十七萬尺爲次商廉法以除次商積足四十倍即定次商爲四十尺書於方積三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十萬四千尺與原積相減餘一百七十五萬九千尺爰以方邊第三位余積六百二十五尺續書於後共一百七十五萬九千六百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一萬五千六百尺三因之得三十四萬六千八百尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六萬三千六百二十五尺與原積相減恰儘是開得三百四十五尺爲立方每一根之數也
又用表開法列積四千一百零六萬三千六百二十五尺自末位起算隔二位作記定位同前乃截方根第二位以前積四一○六三爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲三九三○四【即初商次商自乘再乘之數】其所對初商根爲三次商根爲四即將三四書於初商次商之位而以三九三○四書於初商次商積之下相減餘一七五九乃以三九三○四格內三商廉法三四六除余積一七五九足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六萬三千六百二十五尺與原積相減恰盡即定立方根爲三百四十五尺也
三乘方
設如有三乘方積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺開三乘方問每一根之數幾何
法列方積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺自末位起算每方積四位定方根一位故隔三位作記乃於一尺上定單位七萬尺上定十位三億尺上定百位其一千零三十三億尺爲初商積與五百乘三次之數相准即定初商爲五百尺書於方積三億尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五億尺書於初商積之下相減餘四百零八億尺爰以方根第二位積五千五百一十七萬尺續書於後共四百零八億五千五百一十七萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之五百尺乘二次得一億二千五百萬尺四因之得五億尺爲次商廉法以除次商積足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一億六千四百九十六萬尺大於原積是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五億六千零一萬尺仍大於原積是次商不可商七也又改商六爲六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三億四千四百九十六萬尺小於原積可減也乃定次商爲六十尺書於方積七萬尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三億四千四百九十六尺與原積相減餘五十億一千零二十一萬尺爰以方根第三位積七千一百二十一尺續書於後共五十億一千零二十一萬七千一百二十一尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之五百六十尺乘二次得一億七千五百六十一萬六千尺四因之得七億零二百四十六萬四千尺爲三商亷法以除三商積足七倍即定三商爲七尺書於方積一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺與原積相減恰儘是開得五百六十七尺爲三乘方每一根之數也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四長廉一小隅既得初商乃以初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除余積得次商以初商自乘與次商相乘六因之爲六自乘廉以次商自乘與初商相乘四因之爲四長廉以次商自乘再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘三次即得應減之積也
又法用開平方法兩次開之初以原積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺開平方得三十二萬一千四百八十九尺次以三十二萬一千四百八十九尺復開平方得五百六十七尺即三乘方每一根之數也又用表開法列積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺自末位起算隔三位作記定位同前乃截方根第二位以前積一○三三五五一七爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲九八三四四九六【即初商次商乘三次之數】其所對初商根爲五次商根爲六即將五六書於初商次商之位而以九八三四四九六書於初商次商積之下相減餘五○一○二一乃以九八三四四九六格內三商廉法七○二四六除余積五○一○二一足七倍即定三商爲七書於三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺與原積相減恰盡即定三乘方根爲五百六十七尺也
四乘方
設如有四乘方積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺開四乘方問每一根之數幾何
法列方積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺自末位起算每方積五位定方根一位故隔四位作記乃於五尺上定單位九十萬尺上定十位空百億尺上定百位其二百六十二兆尺爲初商積與七百乘四次之數相准即定初商爲七百尺書於方積空百億尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百億尺書於初商積之下相減餘九十三兆九千三百億尺爰以方根第二位余積三十五億四千九百九十萬尺續書於後共九十三兆九千三百三十五億四千九百九十萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一億尺五因之得一兆二千零五億尺爲次商廉法以除次商積足七十倍因定次商爲七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四億一千五百七十萬尺大於原積是次商不可商七也乃改商六爲六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十萬尺小於原積可減也乃定次商爲六十尺書於方積九十萬尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十萬尺與原積相減餘八兆四千五百一十億一千二百三十萬尺爰以方根第三位余積七萬八千一百二十五尺續書於後共八兆四千五百一十億一千二百三十七萬八千一百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六億二千一百七十六萬尺五因之得一兆六千六百八十一億零八百八十萬尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺與原積相減恰儘是開得七百六十五尺爲四乘方每一根之數也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五長廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉爲法除余積得次商以初商自乘再乘與次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘兩數相乘十因之爲十自乘廉以次商自乘再乘與初商相乘五因之爲五長廉以次商數乘三次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘四次即得應減之積也又用表開法列積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺自末位起算隔四位作記定位同前乃截方根第二位以前積二六二○○三五四九九爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲二五三五五二五三七六【即初商次商乘四次之數】其所對初商根爲七次商根爲六即將七六書於初商次商之位而以二五三五五二五三七六書於初商次商積之下相減餘八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格內三商廉法一六六八一○八八除余積八四五一○一二三足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺與原積相減恰盡即定四乘方根爲七百六十五尺也
五乘方
設如有五乘方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺開五乘方問每一根之數幾何
法列方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺自末位起算每方積六位定方根一位故隔五位作記乃於五尺上定單位五百萬尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺爲初商積與九百乘五次之數相准即定初商爲九百尺書於方積八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺書於初商積之下相減餘三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位積三千零一十億二千五百萬尺續書於後共三十二京七千六百二十七兆三千零一十億二千五百萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百億尺六因之得三千五百四十二兆九千四百億尺爲次商廉法以除次商積足八十倍因定次商爲八十尺按法相乘大於原積乃改商七十尺書於方積五百萬尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九億二千九百萬尺與原積相減餘二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百萬尺爰以方根第三位積三十九萬零六百二十五尺續書於後共二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百三十九萬零六百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十億二千五百七十萬尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一億五千四百二十萬尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺與原積相減恰儘是開得九百七十五尺爲五乘方每一根之數也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉爲法除余積得次商以初商乘三次與次商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘兩數相乘二十乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘再乘兩數相乘十五乘之爲十五自乘廉以次商乘三次與初商相乘六因之爲六長廉以次商乘四次爲一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘五次即得應減之積也
又法用開平方開立方法開之初以原積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺開平方得九億二千六百八十五萬九千三百七十五尺又以九億二千六百八十五萬九千三百七十五尺開立方得九百七十五尺即五乘方每一根之數也
又用表開法列積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺自末位起算隔五位作記定位同前乃截方根第二位以前積八五九○六八三○一○二五爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲八三二九七二○○四九二九【即初商次商乘五次之數】其所對初商根爲九次商根爲七即將九七書於初商次商之位而以八三二九七二○○四九二九書於初商次商積之下相減餘二六○九六二九六○九六乃以八三二九七二○○四九二九格內三商廉法五一五二四○四一五四除余積二六○九六二九六○九六足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共九百七十五乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺與原積相減恰盡即定五乘方根爲九百七十五尺也
六乘方
設如有六乘方積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺開六乘方問每一根之數幾何
法列方積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺自末位起算每方積七位定方根一位故隔六位作記乃於八尺上定單位九千萬尺上定十位五百兆尺上定百位其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺爲初商積與八百乘六次之數相准即定初商爲八百尺書於方積五百兆尺之上而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺書於初商積之下相減餘一垓一千六百一十七京九千三百兆尺爰以方根第二位積九十九兆二千五百二十三億九千萬尺續書於後共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三億九千萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺爲次商廉法以除次商積足六十倍因定次商爲六十尺按法相乘大於原積乃改商五十尺書於方積九千萬尺之上合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二億五千萬尺與原積相減餘五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四千萬尺爰以方根第三位積五百九十萬零九百二十八尺續書於後共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四千五百九十萬零九百二十八尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六億二千五百萬尺七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三億七千五百萬尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積八尺之上合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺與原積相減恰儘是開得八百五十二尺爲六乘方每一根之數也葢六乘方之本法有七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七長廉一小隅既得初商即以初商乘五次七因之得七五乘廉爲法除余積得次商以初商乘四次與次商相乘二十一乘之爲二十一四乘廉以初商乘三次次商自乘兩數相乘三十五乘之爲三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘兩數相乘三十五乘之爲三十五自乘再乘廉以初商自乘次商乘三次兩數相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以次商乘四次與初商相乘七因之爲七長廉以次商乘五次爲一小隅合七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今得次商之後合初商乘六次即得應減之積也
又用表開法列積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺自末位起算隔六位作記定位同前乃截方根第二位以前積三二五八九四五九九二五二三九爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲三二○五七七○八八二八一二五【即初商次商乘六次之數】其所對初商根爲八次商根爲五即將八五書於初商次商之位而以三二○五七七○八八二八一二五書於初商次商積之下相減餘五三一七五一○九七一一四乃以三二○五七七○八八二八一二五格內三商廉法二六四○○四六六○九三七除余積五三一七五一○九七一一四足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺與原積相減恰盡即定六乘方根爲八百五十二尺也
七乘方
設如有七乘方積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺開七乘方問每一根之數幾何
法列方積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺自末位起算每方積八位定方根一位故隔七位作記乃於一尺上定單位三億尺上定十位二京尺上定百位其六百三十八垓五千一百三十二京尺爲初商積與七百乘七次之數相准即定初商爲七百尺書於方積二京尺之上而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺書於初商積之下相減餘六十二垓零三百三十一京尺爰以方根第二位積二百三十三兆九千三百八十三億尺續書於後共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三億尺爲次商廉隅之共積而以初商之七百尺乘六次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺爲次商廉法以除次商積足九倍止可商九尺是次商爲空位也乃書一空於方積三億尺之上而以九尺書於方積一尺之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺與原積相減恰儘是開得七百零九尺爲七乘方每一根之數也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八長廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉爲法除余積得次商以初商乘五次與次商相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘兩數相乘五十六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘兩數相乘七十乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次兩數相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次兩數相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次與初商相乘八因之爲八長廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘七次即得應減之積也
又法用開平方法三次開之初以原積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺開平方得二千五百二十六億八千八百一十八萬七千七百六十一尺次以二千五百二十六億八千八百一十八萬七千七百六十一尺復開平方得五十萬二千六百八十一尺又以五十萬二千六百八十一尺復開平方得七百零九尺即七乘方每一根之數也
又用表開法列積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺自末位起算隔七位作記定位同前乃截方根第二位以前積六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲五七六四八○一○○○○○○○○【即初商次商乘七次之數】其所對初商根爲七次商根爲○即將七○書於初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○書於初商次商積之下相減餘六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格內三商廉法六五八八三四四○○○○○○除余積六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九書於三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺與原積相減恰盡即定七乘方根爲七百零九尺也
八乘方
設如有八乘方積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺開八乘方問每一根之數幾何
法列方積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺自末位起算每方積九位定方根一位故隔八位作記乃於二尺上定單位四十億尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商積與四百乘八次之數相准即定初商爲四百尺書於方積五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺書於初商積之下相減餘一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位積八十四京九千一百八十五兆四千四百四十億尺續書於後共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十億尺爲次商廉隅之共積而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法以除次商積足二十倍即定次商爲二十尺書於方積四十億尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十億尺與原積相減餘一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十億尺爰以方根第三位積九億五千二百八十二萬七千二百九十二尺續書於後共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六億尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四億尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺與原積相減恰儘是開得四百二十二尺爲八乘方每一根之數也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九長廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除余積得次商以初商乘六次與次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘兩數相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘兩數相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次兩數相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次兩數相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次兩數相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次與初商相乘九因之爲九長廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘八次即得應減之積也又法用開立方法兩次開之初以原積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺開立方得七千五百一十五萬一千四百四十八尺次以七千五百一十五萬一千四百四十八尺復開立方得四百二十二尺即八乘方每一根之數也
又用表開法列積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺自末位起算隔八位作記定位同前乃截方根第二位以前積四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之積於表中取比此數相近畧小之數爲四○六六七一三八三八四九四七二【即初商次商乘八次之數】其所對初商根爲四次商根爲二即將四二書於初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二書於初商次商積之下相減餘一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格內三商廉法八七一四三八六七九六七七四除余積一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺與原積相減恰盡即定八乘方根爲四百二十二尺也
九乘方
設如有九乘方積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺開九乘方問每一根之數幾何
法列方積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺自末位起算每方積十位定方根一位故隔九位作記乃於四尺上定單位二百億尺上定十位六垓尺上定百位其八穰七千四百零六垓尺爲初商積與三百乘九次之數相准即定初商爲三百尺書於方積六垓尺之上而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺書於初商積之下相減餘二穰八千三百五十七垓尺爰以方根第二位積九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百億尺續書於後共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百億尺爲次商廉隅之共積而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺爲次商廉法以除次商積足十倍即定次商爲一十尺書於方積二百億尺之上合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百億尺與原積相減餘五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百億尺爰以方根第三位積九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺續書於後共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十億尺十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百億尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積四尺之上合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺與原積相減恰儘是開得三百一十二尺爲九乘方每一根之數也葢九乘方之本法有十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十長廉一小隅既得初商乃以初商乘八次十因之得十八乘廉爲法除余積得次商以初商乘七次與次商相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以初商乘六次次商自乘兩數相乘一百二十乘之爲一百二十六乘廉以初商乘五次次商自乘再乘兩數相乘二百一十乘之爲二百一十五乘廉以初商乘四次次商乘三次兩數相乘二百五十二乘之爲二百五十二四乘廉以初商乘三次次商乘四次兩數相乘二百一十乘之爲二百一十三乘廉以初商自乘再乘次商乗五次兩數相乘一百二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以初商自乘次商乘六次兩數相乘四十五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七次與初商相乘十因之爲十長廉以次商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘九次即得應減之積也又法用開平方開四乘方法開之初以原積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺開平方得二兆九千五百六十四億六千六百五十五萬二千八百三十二尺又以二兆九千五百六十四億六千六百五十五萬二千八百三十二尺開四乘方得三百一十二尺即九乘方每一根之數也
又用表開法列積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺自末位起算隔九位作記定位同前乃截方根第二位以前積八七四○六九四四七八○一四三二爲初商次商之積於表中取比此數相近畧小之數爲八一九六二八二八六九八○八○一【即初商次商乘九次之數】其所對初商根爲三次商根爲一即將三一書於初商次商之位而以八一九六二八二八六九八○八○一書於初商次商積之下相減餘五四四四一一六○八二○六三一乃以八一九六二八二八六九八○八○一格內三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除余積五四四四一一六○八二○六三一足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺與原積相減恰盡即定九乘方根爲三百一十二尺也
諸乘方表
凡表上橫行所列自一至九之數為初商根右直行所列自○至九之數為次商根其中每格所列細數二層上層為初商次商積【如立方表第一行第三格上層一七二八即方根一二自乘再乘之數余仿此】下層為三商亷法【如立方表第一行第三格下層四三即三商亷法乃以初商次商兩根一二自乘三因截去末一位之數葢方根既有三位則初商為百次商為十以一百二十自乘三因得四三二○○為亷法除實至三商本位止今防法止用次商余積求三商不加三商本位之積其初商仍作十用以十二自乘三因得四三二仍比次商余積多一位故截去末一位止用四三為亷法除實則法實尾位均齊定位始無誤余仿此】用表之法具見設如立方表