數理精蘊 · 卷二十三
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷二十三
體部一
立方
立方
立方者等邊六面之體積也以形而言雖為六面十二邊之所合以積而言則為自乗再乗之數因其縱橫與髙俱相等故十二邊皆如一線得其一邊而十二邊莫不相同其積之也自線而面自面而體次第相乗而後得其全積其?之也必次第析之而後得其一邊是故古人立為方廉長廉之制每積三位而得邊之一位所謂一千商十定無疑三萬才為三十餘九十九萬不離十百萬方為一百推是也其法先從一角而剖其體以自一至九自乗再乗之數為方根與實相審量其足減者而定之是為初商初商減盡無餘則方根止一位若有餘實即初商方積外別成一缺角三面磬折體其附初商之三面者謂之方廉其附初商之三邊者謂之長廉其附初商之角者謂之隅廉有三故以三為廉法隅惟一而隅之三面即符於三長廉之端合三方廉三長廉一隅始合次商之數故商除之法以初商自乗三因為三方廉面積視初商余實足方廉面積幾倍即定為次商乃以次商乗三長廉為三長廉面積又以次商自乗為小隅面積共合三方廉三長廉及一小隅面積以次商數乗之為次商廉隅之共積所謂初商方積外別成一缺角三面磬折體者是也如次商外尚有不盡之實則初商次商方積外仍為三方廉三長廉一小隅又成一三面磬折體但較前方廉愈大長廉愈長而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照次商之例逓析之實盡而止如開至多位實仍不盡者必非自乗再乗之正數此開立方之定法也體形不一而容積皆以立方為準故立方為算諸體之本諸體必通之立方而法乃可施也
設如正方體積一百二十五尺開立方問毎一邊數幾何
法列正方體積一百二十五尺自末位起算每方積三位定方邊一位今積止有三位則於五尺上作記定單位以自一至九自乗再乗之方根數與之相審知與五尺自乗再乗之數恰合乃以五尺書於方積五尺之上而以五尺自乗再乗之一百二十五尺書於方積原數之下相減恰盡即得開方之數為五尺也如圖甲乙丙丁戊己正方體形毎邊皆五尺其中函一尺小方體一百二十五自邊計之為五尺自面計之則為五尺自乗之二十五尺自通體計之則為五尺自乗再乗之一百二十五尺以積開之則與五尺自乗再乗之數相准故商除之恰盡也蓋方積為三位是以方邊止一位方積即五尺自乗再乗之數別無廉隅故不用次商如有餘實則自成廉隅而用次商矣
設如正方體積一丈七百二十八尺開立方問每一邊數幾何
法列正方體積一丈七百二十八尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記即於八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊末位余積七百二十八尺續書於下【大凡以余積續書於下者每取方積之三位以當方邊之一位也】為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除方積七百二十八尺足二尺即定次商為二尺書於方積八尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉面積復以次商二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為廉隅共法書於余積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與余積相減恰儘是開得一丈二尺為正方體積每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方體形毎邊皆一丈二尺其中函積一丈七百二十八尺是為共積其先從一角所分戊乙庚己方體每邊一丈即初商數其中函積亦一丈即初商自乗再乗之數所余辛形壬形癸形三方體為三方廉其每邊一丈即初商數其厚二尺即次商數而子形丑形寅形三長方體為三長廉其每邊一丈亦即初商數其闊其厚皆二尺亦即次商數方廉有三故三倍初商之自乗為廉法以定次商其卯形一小正方體為隅其長與闊與厚皆同為二尺亦即次商數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三長廉夘一方隅而成一磬折體形附於初商自乗再乗之方體三面而成一甲乙丙丁之總正方體積此立方廉隅之法所由生也三商以後皆仿此逓析開之
又法列積一丈七百二十八尺自末位起算作記定位同前乃截一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合則定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡乃以方邊末位余積七百二十八尺續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積即以三方廉面積三百尺除方積七百二十八尺足二尺則定次商為二尺書於方積八尺之上合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺與原積符合相減恰盡即定立方邊為一丈二尺也此法止用三方廉面積除立方體積得次商數即並初商數自乗再乗得數與原積相減雖為省去長廉小隅一層然方邊位數少者還為簡易至於方邊位數過四位以上則累次自乗再乗反比逓析之理為煩矣
設如正方體積一十四萬八千八百七十七尺開立方問每一邊數幾何【此題正方體積之六位皆以尺命位似與前題分丈尺者不同然其取方積三位續書於下其末位即命為單位立算則與丈尺同也】
法列正方體積一十四萬八千八百七十七尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記乃於七尺上定單位八千尺上定十位其一十四萬八千尺為初商積以初商本位計之則八千尺為初商積之單位而一十四萬八千尺為一百四十八止與五自乗再乗之數相准即定初商為五書於方積八千尺之上而以五自乗再乗之一百二十五書於初商積之下相減餘二萬三千尺爰以方邊第二位余積八百七十七尺續書於下共二萬三千八百七十七尺為次商廉隅之共積乃以初商之五作五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺為次商三方廉面積以除方積二萬三千八百七十七尺足三尺即定次商為三尺書於方積七尺之上而以初商之五十尺與次商之三尺相乗得一百五十尺三因之得四百五十尺為次商三長廉面積復以次商三尺自乗得九尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得七千九百五十九尺為廉隅共法書於余積之左以次商之三尺乗之得二萬三千八百七十七尺與余積相減恰儘是開得五十三尺為正方體積每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方體形每邊五十三尺其中函積一十四萬八千八百七十七尺是為共積其從一角所分戊乙庚己方體每邊五十尺即初商邊數其中函積一十二萬五千尺即初商自乗再乗之數所余辛形壬形癸形三方體為三方廉其每邊五十尺即初商數其厚三尺即次商數而子形丑形寅形三長方體為三長廉其每邊五十尺亦即初商數其闊其厚皆三尺亦即次商數方廉有三故三倍初商之自乗為廉法以定次商其邜形一小正方體為隅其長與闊與厚皆同為三尺亦即次商數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三長廉卯一方隅而成一磬折體形附於初商自乗再乗之方體三面而成一甲乙丙丁之總正方體積也又法列積一十四萬八千八百七十七尺自末位起算作記定位同前乃截一十四萬八千尺為初商積與五十自乗再乗之數相準則定初商五十尺書於方積八千尺之上而以五十自乗再乗之一十二萬五千尺書於原積一十四萬八千之下相減餘二萬三千尺乃合第二位積八百七十七尺共二萬三千八百七十七尺為次商廉隅之共積而以初商五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺為次商三方廉面積即以三方廉面積除方積二萬三千八百七十七尺足三尺即定次商為三尺書於方積七尺之上合初商共得五十三尺自乗再乗得一十四萬八千八百七十七尺與原積符合相減恰盡即定立方邊為五十三尺也此法亦止用三方廉面積除立方體積得次商數即並初商數自乗再乗以減原積也
設如正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸開立方問每一邊數幾何
法列正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記即於七寸上定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位余積八百六十尺續書於下為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除八百六十尺足二尺即定次商為二尺書於方積空尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉面積復以次商之二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為次商廉隅共法書於余積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與次商廉隅共積相減餘一百三十二尺即一十三萬二千寸復以方邊第三位余積八百六十七寸續書於下共一十三萬二千八百六十七寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一萬四千四百寸三因之得四萬三千二百寸為三商三方廉面積以除一十三萬二千八百六十七寸足三寸即定三商為三寸書於方積七寸之上而以初商次商之一百二十寸與三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬四千二百八十九寸為三商廉隅共法書於余積之左以三商之三寸乗之得一十三萬二千八百六十七寸與三商廉隅共積相減恰儘是開得一丈二尺三寸為正方體積每一邊之數也
設如正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺?立方問每一邊數幾何
法列正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記乃於六尺上定單位八千尺上定十位四百萬尺上定百位其九千四百萬尺為初商積以初商本位計之則四百萬尺為初商積之單位而九千四百萬尺為九十四止與四自乗再乗之數相准即定初商為四書於方積四百萬尺之上而以四自乗再乗之六十四書於初商積之下相減餘三千萬尺爰以方邊第二位余積八十一萬八千尺續書於下共三十零八十一萬八千尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則八千尺為次商積之單位而三千零八十一萬八千尺為三萬零八百一十八而初商之四即為四十乃以初商之四十自乗得一千六百三因之得四千八百為次商三方廉面積以除三萬零八百一十八足五倍即定次商為五書於方積八千尺之上而以初商之四十與次商之五相乗得二百三因之得六百為次商三長廉面積復以次商之五自乗得二十五為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五千四百二十五為次商廉隅共法書於余積之左以次商之五乗之得二萬七千一百二十五與次商廉隅共積相減餘三百六十九萬三千尺復以方邊末位余積八百一十六尺續書於下共三百六十九萬三千八百一十六尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十萬零二千五百三因之得六十萬零七千五百為三商三方廉面積以除三百六十九萬三千八百一十六尺足六倍即定三商為六書於方積六尺之上而以初商次商之四百五十與三商之六相乗得二千七百三因之得八千一百為三商三長廉面積復以三商之六自乗得三十六為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六十一萬五千六百三十六為三商廉隅共法書於余積之左以三商之六乗之得三百六十九萬三千八百一十六與三商廉隅共積相減恰儘是?得四百五十六尺為正方體積毎一邊之數也
設如正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸開立方問每一邊數幾何
法列正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸自末位起算毎隔二位作記即於七寸上定寸位八尺上定尺位七丈上定丈位其三百四十七丈為初商積與七丈自乗再乗之數相准即定初商為七丈書於方積七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四十三丈書於初商積之下相減餘四丈即四千尺爰以方邊第二位余積四百二十八尺續書於下共四千四百二十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺三因之得一萬四千七百尺為次商三方廉面積以除方積四千四百二十八尺其數不足是次商為空位也乃書一空於方積八尺之上以存次商之位復以方邊末位余積九百二十七寸續書於下共四千四百二十八尺九百二十七寸即四百四十二萬八千九百二十七寸為三商廉隅之共積仍以次商三方廉面積一萬四千七百尺作一百四十七萬寸為廉法以除四百四十二萬八千九百二十七寸足三寸即定三商為三寸書於方積七寸之上又以初商之七丈為七百寸與三商之三寸相乗得二千一百寸三因之得六千三百寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一百四十七萬六千三百零九寸為三商廉隅共法書於余積之左以三商之三寸乗之得四百四十二萬八千九百二十七寸與三商廉隅共積相減恰儘是開得七丈零三寸為正方體積毎一邊之數也此法商出之方邊有空位凡廉法除余積而數不足者皆依此例推之
設如正方體積三千九百三十萬四千尺開立方問每一邊數幾何
法列正方體積三千九百三十萬四千尺補三空位以足其分自末空位起算每隔二位作記乃於空尺上定單位四千尺上定十位九百萬尺上定百位其三千九百萬尺為初商積以初商本位計之則九百萬尺為初商積之單位而三千九百為三十九止與三自乗再乗之數相准即定初商為三書於方積九百萬尺之上而以三自乗再乗之二十七書於初商積之下相減餘一千二百萬尺爰以方邊第二位余積三十萬四千尺續書於下共一千二百三十萬四千尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則四千尺為次商積之單位而一千二百三十萬四千尺為一萬二千三百零四而初商之三即為三十乃以初商之三十自乗得九百三因之得二千七百為次商三方廉面積以除余積一萬二千三百零四足四倍即定次商為四書於方積四千尺之上又以初商之三十與次商之四相乗得一百二十三因之得三百六十為次商三長廉面積復以次商之四自乗得一十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三千零七十六為次商廉隅共法書於余積之左以次商之四乗之得一萬二千三百零四與余積相減恰儘是開得三百四十尺為正方體積每一邊之數也此法方積之末有三空位故所得方邊之末亦補一空位凡設數未至單位者皆依此例補足位分然後開之
設如正方體積一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分開立方問每一邊數幾何
法列正方體積一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分自末位起算毎隔二位作記於四分上定分位空寸上定寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位余積八百七十九尺續書於下為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除八百七十九尺足二尺即定次商為二尺書於方積九尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉而積復以次商之二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為次商廉隅共法書於余積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與余積相減仍餘一百五十一尺即一十五萬一千寸又以方邊第三位余積八十寸續書於下共一十五萬一千零八十寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一萬四千四百寸三因之得四萬三千二百寸為三商三方廉面積以除一十五萬一千零八十寸足三寸即定三商為三寸書於方積空寸之上而以初商次商之一百二十寸與三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬四千二百八十九寸為三商廉隅共法書於余積之左以三商之三寸乗之得一十三萬二千八百六十七寸與余積相減仍餘一萬八千二百一十三寸即一千八百二十一萬三千分又以方邊第四位余積九百零四分續書於下共一千八百二十一萬三千九百零四分為四商廉隅之共積乃以初商次商三商之一百二十三寸作一千二百三十分自乗得一百五十一萬二千九百分三因之得四百五十三萬八千七百分為四商三方廉面積以除一千八百二十一萬三千九百零四分足四分即定四商為四分書於方積四分之上而以初商次商三商之一千二百三十分與四商之四分相乗得四千九百二十分三因之得一萬四千七百六十分為四商三長廉面積復以四商之四分自乗得一十六分為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百五十五萬三千四百七十六分為四商廉隅共法書於余積之左以四商之四分乗之得一千八百二十一萬三千九百零四分與余積相減恰儘是開得一丈二尺三寸四分為正方體積每一邊之數也
設如正方體積八十億六千零一十五萬零一百二十五尺開立方問毎一邊數幾何
法列正方體積八十億六千零一十五萬零一百二十五尺自末位起算每隔二位作記於五尺上定單位空千尺上定十位空百萬尺上定百位八十億尺上定千位其八十億尺為初商積以初商本位計之則八十億尺為初商積之單位而八十億尺為八止與二自乗再乗之數相合即定初商為二書於方積八十億尺之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位余積六千萬尺續書於下為次商廉隅之共積以次商本位計之則空百萬尺為次商之單位而六千萬尺為六十而初商之二即為二十故以初商之二十自乗得四百三因之得一千二百為次商三方廉面積以除六十其數不足是次商為空位乃書一空於方積空百萬尺之上以存次商之位復以方邊第三位余積一十五萬尺續書於下共六千零一十五萬尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則空千尺為三商之單位而六千零一十五萬尺為六萬零一百五十而初商之二即為二百次商之空即為空十故以初商次商之二空作二百自乗得四萬三因之得十二萬為三商三方廉面積以除六萬零一百五十其數仍不足是三商亦為空位乃再書一空於方積空千尺之上以存三商之位復以方邊末位余積一百二十五尺續書於下共六千零一十五萬零一百二十五尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之二千空百空十自乗得四百萬尺三因之得一千二百萬尺為四商三方廉面積以除六千零一十五萬零一百二十五尺足五尺即定四商為五尺書於方積五尺之上而以初商之二千尺與四商之五尺相乗得一萬尺三因之得三萬尺為四商三長廉面積復以四商之五尺自乗得二十五尺為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千二百零三萬零二十五尺為四商廉隅共法書於余積之左以四商之五尺乗之得六千零一十五萬零一百二十五尺與余積相減恰儘是開得二千零五尺為正方體積每一邊之數也此法商出之方邊有二空位凡開立方遇此類者皆依此例推之
設如正方體積三十二億九千四百六十四萬六千二百七十二尺開立方問每一邊數幾何
法列正方體積三十二億九千四百六十四萬六千二百七十二尺自末位起算每隔二位作記於二尺上定單位六千尺上定十位四百萬尺上定百位三十億尺上定千位其三十億尺為初商積以初商本位計之則三十億尺為初商積之單位而三十億尺為三止與一自乗再乗之數相准即定初商為一書於方積三十億尺之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減餘二十億尺爰以方邊第二位余積二億九千四百萬尺續書於下共二十二億九千四百萬尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則四百萬尺為次商積之單位而二十二億九千四百萬尺為二千二百九十四而初商之一即為一十乃以初商之一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除二千二百九十四足七倍因定次商為七而以初商之一十與次商之七相乗得七十三因之得二百一十為次商三長廉面積復以次商之七自乗得四十九為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百五十九為次商廉隅共法以次商之七乗之得三千九百一十三大於次商廉隅之共積是次商不可商七也乃改商六而以初商之一十與次商之六相乗得六十三因之得一百八十為次商三長廉面積復以次商之六自乗得三十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百一十六為次商廉隅共法以次商之六乗之得三千零九十六仍大於次商廉隅之共積是次商不可商六也又改商五而以初商之一十與次商之五相乗得五十三因之得一百五十為次商三長廉面積復以次商之五自乗得二十五為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百七十五為次商廉隅共法以次商之五乗之得二千三百七十五仍大於次商廉隅之共積是次商又不可商五也乃改商四而以初商之一十與次商之四相乗得四十三因之得一百二十為次商三長廉面積復以次商之四自乗得一十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百三十六為次商廉隅共法以次商之四乗之得一千七百四十四是小於次商廉隅之共積可減也乃以次商之四書於方積四百萬尺之上而以次商乗廉隅共法之一千七百四十四與次商廉隅之共積相減餘五億五千萬尺復以方邊第三位余積六十四萬六千尺續書於下共五億五千零六十四萬六千尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則六千尺為三商積之單位而五億五千零六十四萬六千尺為五十五萬零六百四十六而初商次商之一十四即為一百四十乃以初商之一百四十自乗得一萬九千六百三因之得五萬八千八百為三商三方廉面積以除五十五萬零六百四十六足九倍因定三商為九而以初商次商之一百四十與三商之九相乗得一千二百六十三因之得三千七百八十為三商三長廉面積復以三商之九自乗得八十一為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六萬二千六百六十一為三商廉隅共法以三商之九乗之得五十六萬三千九百四十九大於三商廉隅之共積是三商不可商九也乃改商八而以初商次商之一百四十與三商之八相乗得一千一百二十三因之得三千三百六十為三商三長廉面積復以三商之八自乗得六十四為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六萬二千二百二十四為三商廉隅共法以三商之八乗之得四十九萬七千七百九十二是小於三商廉隅之共積可減也乃以三商之八書於方積六千尺之上而以三商乗廉隅共法之四十九萬七千七百九十二與三商廉隅之共積相減餘五千二百八十五萬四千尺復以方邊末位余積二百七十二尺續書於下共五千二百八十五萬四千二百七十二尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之一千四百八十尺自乗得二百一十九萬零四百三因之得六百五十七萬一千二百為四商三方廉面積以除五千二百八十五萬四千二百七十二足八倍即定四商為八書於方積二尺之上而以初商次商三商之一千四百八十與四商之八相乗得一萬一千八百四十三因之得三萬五千五百二十為四商三長廉面積復以四商之八自乗得六十四為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六百六十萬六千七百八十四為四商廉隅共法以四商之八乗之得五千二百八十五萬四千二百七十二與余積相減恰儘是開得一千四百八十八尺為正方體積毎一邊之數也此法蓋因方邊之第三位第四位二數太大故次商廉隅之共積以次商之三方廉除得次商之邊繼而以次商之邊與次商廉隅共法相乗大於原積甚多改商三次所乗之數始與次商廉隅之共積相准而後次商之數可定凡開立方遇此類者皆依此例推之如或廉隅共法與商出之數相乗得數大於廉隅共積幾一倍者則改商必審其與廉隅共積相近小數始可為準也
設如有積一萬四千七百三十四尺開立方問每一邊數幾何
法列積一萬四千七百三十四尺自末位起算隔二位作記於四尺上定單位四千尺上定十位其一萬四千尺為初商積以初商本位計之則四千尺為初商積之單位而一萬四千為一十四止與二自乗再乗之數相准即定初商為二書於方積四千尺之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減餘六千尺爰以方邊第二位余積七百三十四尺續書於下共六千七百三十四尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則邊與積皆仍為本位而初商之二則為二十尺乃以初商之二十尺自乗得四百尺三因之得一千二百尺為次商三方廉面積以除方積六千七百三十四尺足五尺乃以初商之二十尺與次商之五尺相乗得一百尺三因之得三百尺為次商三長廉面積復以次商之五尺自乗得二十五尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共一千五百二十五尺為次商廉隅共法以次商之五尺乗之得七千六百二十五尺大於次商廉隅之共積是次商不可商五尺也乃改商四尺書於方積四尺之上而以初商之二十尺與次商之四尺相乗得八十尺三因之得二百四十尺為次商三長廉面積復以次商之四尺自乗得一十六尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千四百五十六尺為次商廉隅共法書於余積之左以次商之四尺乗之得五千八百二十四尺與余積相減仍餘九百一十尺是開得二十四尺為方體每一邊之數仍餘九百一十尺不盡也如欲以餘數再開則得方邊之寸數乃増三空於總積之後復續書三空於九百一十尺之後為幾百幾十幾寸之位是則九百一十尺作九十一萬寸為三商廉隅之共積爰以初商次商之二十四尺作二百四十寸自乗得五萬七千六百寸三因之得一十七萬二千八百寸為三商三方廉面積以除余積九十一萬寸足五寸即定三商為五寸書於余積空寸之上而以初商次商之二百四十寸與三商之五寸相乗得一千二百寸三因之得三千六百寸為三商三長廉面積復以三商之五寸自乗得二十五寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一十七萬六千四百二十五寸為三商廉隅共法書於余積之左以三商之五寸乗之得八十八萬二千一百二十五寸與余積相減仍餘二萬七千八百七十五寸不盡如再以餘數開之則得方邊之分數乃又續書三空於原積空寸之後復續書三空於二萬七千八百七十五寸之後為幾百幾十幾分之位是則二萬七千八百七十五寸作二千七百八十七萬五千分為四商廉隅之共積爰以初商次商三商之二十四尺五寸作二千四百五十分自乗得六百萬零二千五百分三因之得一千八百萬零七千五百分為四商三方廉面積以除余積二千七百八十七萬五千分足一分即定四商為一分書於余積空分之上而以初商次商三商之二千四百五十分與四商之一分相乗仍得二千四百五十分三因之得七千三百五十分為四商三長廉面積復以四商之一分自乗仍得一分為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千八百零一萬四千八百五十一分為四商廉隅共法書於余積之左以四商之一分乗之仍得一千八百零一萬四千八百五十一分與余積相減仍餘九百八十六萬零一百四十九分不儘是開得二十四尺五寸一分為方體每一邊之數也此法原積本非自乗再乗所得之數雖逓析之終不能盡凡開立方遇此類者皆以此例推之
設如有方亭幾座用方甎鋪地共用一千七百二十八塊其所鋪之座數與毎座毎行之甎數相等問亭之座數幾何
法列方甎一千七百二十八塊為立方積用開立方法開之於八塊上定單位一千塊上定十位其一千塊為初商積以初商本位計之則一千為初商積之單位與一自乗再乗之數相合即定初商為一書於方積一千之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減恰盡爰以第二位余積七百二十八塊續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除七百二十八足二倍即定次商為二書於方積八塊之上而以初商之一十與次商之二相乗得二十三因之得六十為次商三長廉面積復以次商之二自乗得四為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四書於余積之左以次商之二乗之得七百二十八與余積相減恰儘是得所鋪亭數為一十二座也此法因所鋪之亭數與每行甎數相等是每行甎一十二塊其亭亦一十二座雖非立方形而法則立方法也故用立方開之
設如有方倉一座共盛糧八百七十八石八斗問倉髙幾何
法以每石定法二尺五百寸乗八百七十八石八斗得二千一百九十七尺為立方積用開立方法開之其二千尺為初商積以初商本位計之則二千尺為初商積之單位止與一自乗再乗之數相准即定初商為一書於方積二千之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減餘一千尺爰以第二位余積一百九十七尺續書於下共一千一百九十七尺為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除一千一百九十七尺足三倍即定次商為三書於方積七尺之上而以初商之一十與次商之三相乗得三十三因之得九十為次商三長廉面積復以次商之三自乗得九為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百九十九為次商廉隅共法書於余積之左以次商之三乗之得一千一百九十七尺與余積相減恰儘是開得方倉之高為一十三尺也此法因糧是石法所問乃倉之尺數故先將石變為尺而開立方即得倉之髙也
設如有方石一塊重一二萬六千六百二十兩問每邊尺寸幾何
法以石之定率每寸重二兩五錢除二萬六千六百二十兩得一萬零六百四十八寸為立方積用開立方法開之其一萬寸為初商積以初商本位計之則空千位為初商積之單位而一萬尺為一十與二自乗再乗之數相准即定初商為二書於空千寸之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減餘二千寸爰以第二位余積六百四十八寸續書於下共二千六百四十八寸為次商廉隅之共積而以初商之二作二十自乗得四百三因之得一千二百為次商三方廉面積以除二千六百四十八寸足二倍即定次商為二書於方積八寸之上而以初商之二十與次商之二相乗得四十三因之得一百二十為次商三長廉面積復以次商之二自乗得四為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千三百二十四為次商廉隅共法書於余積之左以次商之二乗之得二千六百四十八寸與余積相減恰儘是開得二十二寸為正方石毎一邊之數也此法因石是兩數所問乃石之寸數故先將石之兩數變為寸而開立方即得石之寸數也
設如有水銀一萬六千三百四十四兩六錢八分欲作一方匣盛之問匣高几何
法先以水銀定率毎寸重一十二兩二錢八分除一萬六千三百四十四兩六錢八分得一千三百三十一寸為立方積用開立方法開之其一千寸為初商積以初商本位計之則一千為初商積之單位與一自乗再乗之數相合即定初商為一書於一千寸之上而以一自乗再乗之一書於方積一千寸之下相減恰盡爰以第二位余積三百三十一寸續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除三百三十一寸足一倍即定次商為一書於方積一寸之上而以初商之一十與次商之一相乗得一十三因之得三十為次商三長廉面積復以次商之一自乗仍得一為一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百三十一為次商廉隅共法書於余積之左以次商之一乗之仍得三百三十一與余積相減恰儘是開得一十一寸為方匣之高也
設如有方池一區其深與方相等容水四千零九十六尺問深幾何
法列四千零九十六尺為立方積用開立方法開之其四千尺為初商積以初商本位計之則四千為初商積之單位與一自乗再乗之數相准即定初商為一書於四千尺之上而以一自乗再乗之一書於方積四千尺之下相減餘三千尺爰以第二位余積九十六尺續書於下共三千零九十六尺為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除三千零九十六尺可得十尺若商十尺則合於初商之數再合方廉長廉小隅面積必大於次商廉隅之共積可知故商九尺八尺七尺皆仍大於次商廉隅之共積乃改商六尺書於方積六尺之上而以初商之一十與次商之六相乗得六十三因之得一百八十為次商三長廉面積復以次商之六自乗得三十六為次商一小隅面積合三方
廉三長廉一小隅面積共得五百一十
六為次商廉隅共法書於余積之左以
次商之六乗之得三千零九十六與余
積相減恰儘是開得一十六尺為池之
深也此法因池之深與方相等其所容
水數即正方體積故立方開之得一邊
之數即池之深也
御製數理精蘊下編卷二十三