數理精蘊 · 卷十六

欽定四庫全書 御製數理精蘊下編卷十六 面部 割圜【割圜八線　六宗　　三要　　二簡法八線相求　求象限內各線總法】 割圜八線 圜周定為三百六十度大而周天小而寸許皆如之葢圜有大小而度分隨之其為數則同自圜心平分圜周為四分名曰四象限每一象限九十度一象限之中設為正?余?正矢余矢正切餘切正割餘割名之曰割圜八線 設如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全圜為甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每一象限皆九十度乃自圜心戊任作一戊己半徑則將甲丁九十度之弧分為甲己己丁二?己丁為己戊丁角所對之弧甲己為甲戊己角所對之弧如命己戊丁為正角則甲戊己為餘角甲戊己為正角則己戊丁為餘角正角所對為正弧餘角所對為余弧今以己丁為正弧故甲己為余弧又自己與甲丙全徑平行作己辛線謂之通?其對己丁正弧而立於戊丁半徑者曰正?又與戊丁半徑平行作壬己線謂之餘?以其為甲己余弧之所對也於戊丁半徑內減戊庚余庚丁謂之正矢於甲戊半徑內減壬戊余甲壬謂之餘矢自圜界與甲戊半徑平行立於戊丁半徑之末作垂線仍與己戊丁角相對者曰正切將己戊半徑引長與正切相遇於癸成戊癸線謂之正割又自圜界與戊丁半徑平行作甲子線謂之餘切戊癸正割被甲子餘切截於子所分戊子謂之餘割每一角一弧即有正?余?正矢余矢己成四線於圜界之內復引出半徑於圜界之外而成正切餘切正割餘割之四線內外共為八線故曰割圜八線逐度逐分正弧之餘即為余弧之正余弧之正即為正弧之餘是以前四十五度之八線正余互相對待為用不必復求後四十五度之八線也凡此八線皆九十度以內鋭角之所成若直角九十度者則不能成八線葢因半徑即九十度之正?甲戊半徑即甲丁弧之?而切線割線為平行終無相遇之處也若鈍角過九十度以外者則於半周一百八十度內減其角度用其餘度之八線即如己庚為己丁弧之正?亦即乙己弧之正?也要之八線以正?為本有正?則諸線皆由此生故六宗三要皆系正?之法 六宗三要【二簡法附】 西洋厯算家作割圜八線表始自圜內容六邊四邊十邊三邊五邊十五邊名曰六宗葢用圜徑求各等邊形之一邊為相當弧之通?以為立表之原故謂之宗然六者實本於三如六邊形之一邊即圜之半徑不借他求數無零餘而理最易見此其一也四邊形之一邊則為半徑所作正方形之對角斜?此又其一也十邊形之一邊則為半徑所作連比例三率之中率西法謂之理分中末線此又其一也至於三邊形則出於六邊五邊形則出於十邊十五邊形則又出於三邊及五邊非別自立一法也既得此六種形之一邊各半之即得六種弧之各正?爰命此六種弧為本弧按法可求本弧之餘?可求倍本弧之正?余?亦可求半本弧之正?余?是為三要又以不等兩弧之正?余?求相加相減弧之正?又兩弧距六十度前後之度等得其兩正?之較即得距弧之正?是又名為二簡法由此錯綜之可得正?一百二十其中最小者為四十五分之?其次一度三十分又次為二度十五分又次為三度如此每越四十五分而得一?其自一分至四十四分之?則以比例求之因弧分甚微與直線所差無幾故以?求?而得之此西法立割圜八線表之大綱也爾來西法對數表內有設連比例四率以求圜內容七邊九邊二法因推廣其理於六宗之外增求圜內容十八邊形十四邊形之法俱以半徑為首率求連比例四率之第二率即十八邊形十四邊形之每一邊而七邉又因之以生亦猶三邊之出於六邊五邊之出於十邊也有此二形與六宗相叅伍可得正?三百六十其中最小者為十五分之正?又增一法求十五分之三分之一五分之正?所少者止一分至四分之正?較之四十五分為尤密可知矣今以六宗三要二簡法理分中末線並新增數法皆按類具例於左 六宗【圜內容六邊形四邊形三邊形十邊形五邊形十五邊形】 設如圜徑二十萬求內容六邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬折半得半徑十萬即圜內容六邊形之每一邊也如甲圜內容六邊形每邊之弧得圜周六分之一皆六十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙三角形則甲角所對之弧為六十度而甲乙甲丙兩腰俱為半徑既相等則乙角丙角亦必相等而各為六十度矣三角既等則三邊亦必相等故乙丙邊即與甲乙甲丙半徑相等也乙丙弧既為六十度則乙丙邊十萬為六十度之通?折半得乙丁五萬即乙戊弧三十度之正?也此即六邊起算之理前設圜徑為二兆者所以求其密合今設圜徑為二十萬所以取其便於用也 設如圜徑二十萬求內容三邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬為?自乗得四百億又以半徑十萬為勾自乗得一百億相減餘三百億開方得股一十七萬三千二百零五【小余○八○七五六八】即圜內容三邊形之每一邊也如甲圜內容三邊形毎邊之弧得圜周三分之一皆一百二十度為六邊形每邊弧之一倍試自乙角過圜心至對界作乙丁全徑線又自丁依半徑度至丙作丁丙線則成六邊形之每一邊其丙丁弧即為三邊形之每邊弧之一半而丙角立於圜界之一半必為直角故半徑為勾全徑為?求得股即三邊形之每一邊也乙丙弧既為一百二十度則乙丙邊一十七萬三千二百零五【小余○八○七五六八】為一百二十度之通?折半得乙戊八萬六千六百零二【小餘五四○三七八四】即乙己弧六十度之正?也 設如圜徑二十萬求內容四邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬折半得半徑十萬自乗得一百億倍之得二百億開方得一十四萬一千四百二十一【小餘三五六二三七三】即圜內容四邊形之每一邊也如甲圜內容四邊形每邊之弧得圜周四分之一皆九十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙勾股形若命甲乙半徑為股則甲丙半徑為勾若命甲丙半徑為股則甲乙半徑為勾因勾股皆為半徑故以半徑自乗倍之開方而得?即如勾股各自乗並之開方而得?也乙丙弧既為九十度則乙丙邊一十四萬一千四百二十一【小餘三五六二三七三】為九十度之通?折半得乙丁七萬零七百一十【小餘六七八一一八六】即乙戊弧四十五度之正?也 理分中末線【此西法名也因命一線為首率將此首率分為大小兩分大分為中率小分為末率與原線共為相連比例三率故謂之理分中末線也】 設如以十萬為首率作相連比例三率使中率末率相加與首率等求中率末率各幾何 法以十萬自乗得一百億為長方積以十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊六萬一千八百零二即相連比例之中率以中率與首率十萬相減餘三萬八千一百九十七即相連比例之末率也此法葢因連比例三率之首率末率相乗之長方積與中率自乗之正方積等而首率之中有一中率一末率之數故首率自乗之一正方積中有首率中率相乗之一長方又有首率末率相乗之一長方即如甲乙為首率丙乙為中率甲丙為末率丙乙中率自乗之正方為丁戊乙丙甲丙末率與甲乙首率相乗之長方為甲丙庚辛【甲辛與甲乙等】此一正方一長方之積等而甲乙首率自乗之正方為甲乙己辛丙乙中率與甲乙首率相乗之長方為丙乙己庚【丙庚與甲乙等】夫甲丙庚辛之長方既與丁戊乙丙之正方等則甲乙己辛之正方亦必與丁戊己庚之長方等是以丁戊己庚長方形之闊即中率其長比闊之較即首率故以首率自乗為長方積仍以首率為長比闊之較用帶縱平方法開之得闊為中率也 又法以首率十萬為股首率十萬折半得五萬為勾求得?一十一萬一千八百零三內減勾五萬餘六萬一千八百零三為相連比例之中率以中率與首率相減餘三萬八千一百九十七即為相連比例之末率也如圖甲乙與乙丙皆為首率今以甲乙為股乙丙折半得乙丁為勾求得甲丁?試依甲丁?度將乙丁勾引長至戊作丁乙戊線仍自甲至戊作一圜界則甲丁戊丁同為半徑且皆為?於戊丁?內減乙丁勾所余乙戊與己乙等即中率於甲乙首率內減去與乙戊相等之己乙中率所余甲己即末率也此法與前法理實相同帶縱較數開方法有以半較自乗與原積相加開方得半和於半和內減半較得闊者今此法以首率為股自乘得甲乙丙壬正方形即與庚戊丙辛長方形積等乙丙即長闊之較乙丁即半較戊丁即半和今以乙丁為勾自乘甲乙為股自乘相加開方得甲丁?即如乙丁半較自乘與甲乙自乘原積相加開方而得甲丁與戊丁等戊丁內減乙丁余戊乙即半和內減半較得闊為中率也 設如圜徑二十萬求內容十邊形之一邊幾何法用連比例三率有首率求中率末率使中率末率相加與首率等之法以圜徑二十萬折半得十萬為首率自乘得一百億為長方積以十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】為連比例之中率即圜內容十邊形之每一邊也如甲圜內容十邊形每邊之弧得圜周十分之一皆三十六度其通?即圜內十邊形之一邊試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界戊作一乙戊線則截甲丙線於丁又成乙丙丁三角形而乙戊遂為一百零八度之通?此乙丙丁三角形與甲乙丙三角形為同式形【乙丙丁三角形之乙角當戊丙弧為乙丙弧之倍則乙丙丁三角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等又同用丙角其餘一角亦必等故為同式形】其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙丁之比為相連比例三率而甲乙為首率乙丙為中率丙丁為末率也又甲乙丙三角形其甲角既居全圜十分之一為三十六度則乙角必比甲角大一倍為七十二度【三角形之三角共一百八十度甲角既為三十六度則乙丙兩角必為一百四十四度平分之各得七十二度比甲角為大一倍也】而乙丙丁三角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等則甲丁乙三角形之乙角亦必與甲角等是則甲丁乙三角形必兩邊相等之三角形而乙丙丁三角形亦為兩邊相等之三角形也夫甲丁既與丁乙等而丁乙又與乙丙中率等則甲丁亦必與中率等矣是以甲丁中率與丁丙末率相加與甲丙首率等故用連比例三率有首率求中率法算之得中率為十邊形之一邊也 又法以圜徑二十萬折半得半徑十萬為股自乘得一百億又以半徑十萬折半得五萬為勾自乗得二十五億相加得一百二十五億開方得?一十一萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】於?數內減去勾數餘六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】即圜內容十邊形之每一邊也如甲圜內容十邊形每邊之弧得圜周十分之一皆三十六度試自圜心甲至圜界乙作甲乙半徑線為股又自圜心甲取直角作甲丙半徑線折半得甲丁為勾求得乙丁?內減與甲丁相等之戊丁余乙戊即與乙己等為圜內容十邊形之毎一邊也乙己弧既為三十六度則乙己邊六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】為三十六度之通?折半得乙庚三萬零九百零一【小餘六九九四三七四】即乙辛弧十八度之正?也 設如圜徑二十萬求內容五邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜內容十邊形之一邊六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線五萬八千七百七十八【小餘五二五二二九二】倍之得一十一萬七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜內容五邊形之每一邊也如甲圜內容五邊形每邊之弧得圜周五分之一皆七十二度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為七十二度之通?如以乙丙弧七十二度折半於丁作乙丁線即圜內容十邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即五邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十邊形之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之為五邊形之毎一邊也 又法以半徑十萬為股自乘得一百億圜內容十邊形之一邊六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】為勾自乘得三十八億一千九百六十六萬零一百一十二【小餘四八九九九○五八五八五○○一】相加得一百三十八億一千九百六十六萬零一百一十二【小餘四八九九九○五八五八五○○一】開方得?一十一萬七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜內容五邊形之每一邊也此法葢因半徑自乘十邊形之一邊自乘兩自乘方積相併即與五邊形之一邊自乘之方積等故用勾股求?之法算之如甲圜內容五邊形將乙丙弧折半於丁作乙丁線即圜內容十邊形之一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線遂成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑於己作乙己線成乙己丁三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙為首率乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率於戊又成乙戊丁勾股形乙戊五邊形每邊之半為股丁戊末率之半為勾乙丁中率為?試依甲丁半徑度作甲庚辛丁正方形又依乙丙五邊形之一邊度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正方形內甲子丑已為乙丁?自乘之一正方【甲已既與乙丁?等故甲子丑已為?自乘之正方】已寅辛丁長方形亦與乙丁?自乘之一正方等【丁辛原與甲丁首率等己丁末率與丁辛首率相乘自與乙丁中率自乘之正方等】而子庚寅丑長方形為乙丁?自乘之一正方內少勾自乘之四正方【葢子庚辛夘長方形為首率與末率相乘之長方與乙丁中率自乘之正方等內卻少丑寅辛夘正方形而丑寅辛夘正方形實為戊丁勾自乘之四正方故子庚寅丑長方形為乙丁?自乘之一正方少勾自乘之四正方也】是則甲丁半徑自乘之甲庚辛丁正方形內有?自乘之三正方而少勾自乘之四正方再加乙丁?自乘之一正方共得?自乘之四正方而少勾自乘之四正方大凡?自乘之正方內原有勾自乘之一正方股自乘之一正方今?自乘之四正方內少勾自乘之四正方即與股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之乙丙癸壬正方形實為乙戊股自乘之四正方然則甲丁半徑自乘方與乙丁十邊形之一邊自乘方相併既與乙戊股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之正方豈不與甲丁半徑自乘乙丁十邊形之一邊自乘之兩正方等乎故以甲丁半徑為股乙丁十邊形之一邊為勾求得?而為五邊形之一邊也又法以半徑十萬自乘得一百億為長方積仍以半徑十萬為長闊之較用帶 縱較數開方　　　　　　　　　　　　　　　　　【折半得八萬】法算之得長一十六萬一【小餘三九八八七四九】千八百零三零九百零一【小餘六九九四三七四】為自圜心至五邊形每邊之垂線乃以半徑十萬為?圜心至五邊形每邊之垂線為股求得勾五萬八千七百七十八【小餘五二五二二九二】倍之得一十一萬七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜內容五邊形之每一邊也如甲圜內容五邊形將乙丙弧折半於丁作乙丁線即圜內容十邊形之一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑於己作乙己線成乙己丁三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙為首率乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率於戊是以己戊與戊丁俱為半末率而甲戊自圜心至邊之垂線則為一中率半末率之共數今以半徑首率自乘為長方積開帶縱平方得長乃首率與中率之和其內有兩中率一末率折半得一中率半末率即甲戊自圜心至邊之垂線既得甲戊垂線乃以甲乙半徑為?甲戊垂線為股求得乙戊勾倍之得乙丙即圜內容五邊形之一邊也或以乙丁中率為?戊丁半末率為勾求得乙戊股倍之亦即圜內容五邊形之一邊也乙丙弧既為七十二度則乙丙邊一十一萬七千五百五十七【次以圜內容小余○五】為七十二度之通?折半得乙戊五萬八千七百七十八【○四五八四小餘五二】即乙丁弧三十六度之正?也 設如圜徑二十萬求內容十五邊形之一邊幾何法以半徑十萬為?圜內容五邊形之半五萬八千七百七十八【五二二九二小餘五二】為勾求得股八萬零九百零一【五二二九二小 餘六九】內　　　　　　　　　　　　　　　【九四三七五】減半徑之半五萬餘三萬【小餘六九九四三七五】零九百零一為股三邊形之一邊一十七萬三千二百零五【小余○八○七五六八】內減圜內容五邊形之一邊一十一萬七千五百五十七【小余○五○四五八四】餘五萬五千六百四十八【小余○三○二九八四】折半得二萬七千八百二十四【小余○一五一四九二】為勾求得?四萬一千五百八十二【小餘三三八一六三五】即圜內容十五邊形之每一邊也如甲圜內容十五邊形每邊之弧得圜周十五分之一皆二十四度試從圜界乙作圜內容三邊形又作圜內容五邊形將三邊形之每一邊弧分五段五邊形之每一邊弧分三?即得十五邊形之每一邊弧如戊庚與己丁二段皆為十五邊形之弧故以甲丁半徑為?丁丙五邊之半為勾求得甲丙股內減甲辛自圜心至三角底邊之垂線為半徑之半余辛丙與癸丁或壬庚等復於三邊形之戊己邊內減五邊形之庚丁邊即如戊己線內減壬癸余戊壬與癸己二?折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚為股癸己或戊壬為勾求得己丁?或戊庚?即圜內容十五邊形之每一邊也己丁弧既為二十四度則己丁邊四萬一千五百八十二【小餘三三八一六三五】為二十四度之通?折半得己子二萬零七百九十一【小餘一六九○八一七】即己丑弧十二度之正?也 新增按分作相連比例四率法 設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾何法以一率十萬自乘再乘得一千兆【成一立方積】為實又以一率十萬自乘三因之得三百億【成三平面積】為法以除原實一千兆得三萬乃以三萬自乘再乘得二十七兆益於原實一千兆內得一千零二十七兆為共實按除法以所得三萬與法三百億相因得九百兆與共實相減餘一百二十七兆為第二位實以法之三百億除之得四千乃以首位所得三萬合次位所得四千共三萬四千自乘再乘得三十九兆三千零四十億仍益於原實一千兆內得一千零三十九兆三千零四十億為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆餘一十九兆三千零四十億為第三位實以法之三百億除之得六百所余太多因益積故取畧大之數為七百合前兩位所得三萬四千共三萬四千七百自乘再乘得四十一兆七千八百一十九億二千三百萬仍益於原實一千兆內得一千零四十一兆七千八百一十九億二千三百萬為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆又減三位所得七百與法三百億相因之二十一兆餘七千八百一十九億二千三百萬為第四位實以法之三百億除之得二十合前三位所得三萬四千七百共三萬四千七百二十自乘再乘得四十一兆八千五百四十二億一千零四萬八千仍益於原實一千兆內得一千零四十一兆八千五百四十二億一千零四萬八千為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆又減三位所得七百與法三百億相因之二十一兆又減四位所得二十與法三百億相因之六千億餘二千五百四十二億一千零四萬八千為末位實以法之三百億除之得八所余亦太多因益積仍取畧大之數為九合前四位所得三萬四千七百二十共三萬四千七百二十九自乘再乘得四十一兆八千八百六十七億六千六百四十萬零二千四百八十九仍益於原實一千兆內得一千零四十一兆八千八百六十七億六千六百四十萬二千四百八十九為共實按除法以五次所得之數與法相因之數遞減之仍餘一百六十七億六千六百四十萬二千四百八十九不儘是共除得三萬四千七百二十九為相連比例之二率也以二率之三萬四千七百二十九自乘得一十二億零六百一十萬三千四百四十一以一率之十萬除之得一萬二千零六十一為三率以二率之三萬四千七百二十九三倍之得十萬四千一百八十七內減去一率之十萬餘四千一百八十七為四率如以三率之一萬二千零六十一自乘以二率之三萬四千七百二十九除之亦得四千一百八十七為四率也此為益實歸除之法葢因此法止有一率之數作相連比例四率使一率與四率之共數與二率三倍等而連比例四率之理一率自乘用四率再乘與二率自乘再乘之數等今立法以一率自乘再乘為原實較之三倍二率與一率自乘之面積相乘之數卻少一二率自乘再乘之數故以累除所得之數屢次自乘再乘益入原實然後按法除之始足二率三倍之數也如圖甲乙為一率庚子子辰辰乙皆為二率庚甲為四率庚乙為一率四率之共數又為二率之三倍甲乙丙丁戊己為一率自乘再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為三倍二率與一率自乘面積相乘之長方體【一率自乘三因之得三平面如以二率乘之成三扁方體合之即成三倍二率乘一率自乘面積之一長方體】比一率自乘再乘之正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體即一率自乘用四率再乘之數與二率自乘再乘之積等若於一率自乘再乘之正方體內加入二率自乘再乘之正方體即如於甲乙丙丁戊己正方體上加一庚甲酉戊壬癸之扁方體成庚乙丙丁壬癸之長方體而以一率自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙為二率之三倍苟合乙丙丁申與辰己午未及子丑寅夘三方面除之必得庚子或子辰或辰乙為二率若不加積止以三方面除之則所得仍為一率之三分之一比二率數必小故以屢除所得之數屢次自乘再乘益入原積則積漸增而得數亦漸大遞及末位則所少之積已足而除得之數即為二率之全數焉 設如圜徑二十萬求內容十八邊形之一邊幾何法用連比例四率有一率求二率使一率與四率相加與二率三倍等之法以圜徑二十萬折半得十萬為一率自乘再乘得一千兆為實又以半徑十萬自乘三因之得三百億為法按益實歸除之法除實得三萬四千七百二十九【小餘六三五五三三四】為二率即圜內十八邊形之每一邊也如甲圜內容十八邊形每邊之弧得圜周十八分之一皆二十度其通?即圜內十八邊形之一邊試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線於戊又成乙丙戊三角形而乙庚為六十度之通?復自圜界丙按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三角形此三三角形皆為同式形【乙丙戊三角形之乙角當庚丙弧為乙丙弧之倍則乙丙戊三角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等又與甲乙丙三角形同用丙角丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半徑平行則丙丁戊三角形之丙角與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必等又與乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而為同式形也】其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之比為相連比例四率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也又乙庚為六十度之通?與甲乙一率等而乙戊丁己己庚三段皆與乙丙二率等是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率與丁戊四率相加方與乙丙二率之三倍等故用連比例四率有一率求二率法算之得二率為十八邊形之一邊也乙丙弧既為二十度乙丙邊三萬四千七百二十九【小餘六三五五三三四】為二十度之通?折半得一萬七千三百六十四【小餘八一七七六六七】即十度之正?也 設如圜徑二十萬求內容九邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜內容十八邊形之一邊三萬四千七百二十九【小餘六三五五三三四】為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線三萬四千二百零二【小余○一四三三二六】倍之得六萬八千四百零四【小余○二八六六五二】即圜內容九邊形之每一邊也如甲圜容九邊形每邊之弧得圜周九分之一皆四十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為四十度之通?如以乙丙弧四十度折半於丁作乙丁線即圜內容十八邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即九邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十八邊形之一邊為小腰求得中垂線倍之為九邊形之每一邊也乙丙弧既為四十度乙丙邊為四十度之通?其乙戊中垂線三萬四千二百零二【小余○一四三三二六】即乙丁弧二十度之正?也 按分作相連比例四率又法 設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率三率四率各幾何 法以一率十萬自乘再乘得一千兆【成一立方體】為實又以一率十萬自乘二因之得二百億【成二平面積】為法以除原實一千兆得五萬為盡數因減實大於益實故取畧小之數為四萬乃以四萬自乘再乘得六十四兆益於原實一千兆內得一千零六十四兆為益實復以所得四萬自乘得一十六億以一率十萬再乘得一百六十兆於益實內減之餘九百零四兆為正實按除法以所得四萬與法二百億相因得八百兆與正實相減餘一百零四兆為第二位實以法之二百億除之得五千仍取畧小之數為四千乃以首位所得四萬合次位所得四千共四萬四千自乘再乘得八十五兆一千八百四十億益於原實一千兆內得一千零八十五兆一千八百四十億為益實復以所得四萬四千自乘得一十九億三千六百萬以一率十萬再乘得一百九十三兆六千億於益實內減之餘八百九十一兆五千八百四十億為正實按除法減首位所得四萬與法二百億相因之八百兆又減次位所得四千與法二百億相因之八十兆餘一十一兆五千八百四十億為第三位實以法之二百億除之得五百合前兩位所得四萬四千共四萬四千五百自乗再乗得八十八兆一千二百一十一億二千五百萬益於原實一千兆內得一千零八十八兆一千二百一十一億二千五百萬為益實復以所得四萬四千五百自乗得一十九億八千零二十五萬以一率十萬再乗得一百九十八兆零二百五十億於益實內減之餘八百九十兆零九百六十一億二千五百萬為正實按除法減首位所得四萬與法二百億相因之八百兆又減次位所得四千與法二百億相因之八十兆又減三位所得五百與法二百億相因之一十兆餘九百六十一億二千五百萬為第四位實以法之二百億除之實不足法乃以第四位為空位而第五位得四故以四為末位合前四位所得四萬四千五百空十共四萬四千五百零四自乗再乗得八十八兆一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四益於原實一千兆內得一千零八十八兆一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四為益實復以所得四萬四千五百零四自乗得一十九億八千零六十萬六千零一十六以十萬再乗得一百九十八兆零六百零六億零一百六十萬於益實內減之餘八百九十兆零八百四十二億八千八百五十二萬六千零六十四為正實按除法以五次所得之數於法相因之數遞減之仍餘四十二億八千八百五十三萬六千零六十四不儘是共除得四萬四千五百零四為相連比例之二率也以二率之四萬四千五百零四自乗得一十九億八千零六十萬六千零一十六以一率之十萬除之得一萬九千八百零六為三率以二率之四萬四千五百零四二因之與三率之一萬九千八百零六相加得十萬八千八百一十四減去一率之十萬餘八千八百一十四為四率如以三率之一萬九千八百零六自乗以一率之四萬四千五百零四除之亦得八千八百一十四為四率也此為益實兼減實歸除之法葢因此法止有一率之數作相連比例四率使一率與四率之共數與二率兩倍再加一三率之數等而相連比例四率之理一率自乗用四率再乗與二率自乘再乗之數等又一率自乗用三率再乗與二率自乗用一率再乗之數等今立法以一率自乘再乗為原實較之二率加倍與一率自乗之面積相乗之數卻少一一率自乗四率再乗之數又多一一率自乗三率再乗之數故以屢除所得之數屢次自乗再乗益入原實又以屢除所得之數屢次自乗以一率再乗與益實相減然後按法除之始足二率兩倍之數也如圖甲乙為一率庚子子辰皆為二率辰乙為三率庚甲為四率庚乙為一率四率之共數又為二率兩倍再加一三率之共數甲乙丙丁戊巳為一率自乗再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為兩倍二率並一三率與一率自乗面積相乘之長方體比一率自乗再乗之正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體即一率自乗四率再乗之扁方體與二率自乗再乗之積等比兩倍二率與一率自乗面積相乗之扁方體多一辰乙丙丁午未扁方體此扁方體即一率自乗三率再乗之扁方體與二率自乗一率再乗之積等若於一率自乗再乗之正方體內加入二率自乗再乗之數再減去二率自乗一率再乗之數即如於甲乙丙丁戊己正方體內加入庚甲酉戊壬癸之扁方體減去辰乙丙丁午未之扁方體成一庚辰己午壬癸之扁方體而以一率自乗之辰己午未方面除之必得庚辰為二率之兩倍苟合辰巳午未子丑寅夘二方面除之必得庚子或子辰為二率若不益少減多而以二方面除之則所得仍為一率之二分之一比二率數必大故以屢除所得之數屢次自乗再乗益入原積復以屢除所得之數自乗用一率再乗逐層與原積相減遞及末位則所少之積漸足所多之積漸消而除得之數即為二率之全數焉 設如圜徑二十萬求內容十四邊形之一邊幾何法用連比例四率有一率求第二率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率等之法以圜徑二十萬折半得十萬為一率自乗再乗得一千兆為實又以半徑十萬自乗倍之得二百億為法按益實兼減實歸除之法除實得四萬四千五百零四【小餘一八六七九一三】為二率即圜內十四邊形之每一邊也如甲圜內容十四邊形每邊之弧得圜周十四分之一皆二十五度四十二分五十一秒有餘其通?即圜內十四邊形之一邊試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線於戊又成乙丙戊三角形復自圜界丙按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三角形此三三角形皆為同式形【乙戊丙三角形之乙角當丙庚弧為乙丙弧之倍則乙戊丙三角形之乙角與乙甲丙三角形之甲角等又與乙甲丙三角形同用丙角而丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半徑平行即丙丁戊三角形之丙角與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必等又與乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而為同式形也】其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之比為相連比例四率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也又按乙戊度作壬戊線與丁丙平行則截甲乙線於壬乃自壬與乙丙平行作壬子線復自壬與乙戊平行作壬癸線則又成甲壬子與壬戊癸丙三角形與乙丙戊三角形等成壬癸子一三角形與丙丁戊三角形等其甲子癸戊皆與乙丙二率等而癸子與丁戊四率等是甲丙一率內有兩二率一三率而少一四率也若以甲丙一率與癸子四率相加方與二率之兩倍再加一三率之數等故用連比例四率有一率求二率法算之得二率為十四邊形之每一邊也 設如圜徑二十萬求內容七邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜內容十四邊形之一邊四萬四千五百零四【小餘一八六七九一三】為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線四萬三千三百八十八【小餘三七三九一一八】倍之得八萬六千七百七十六【小餘七四七八二三六】即圜內容七邊形之每一邊也如甲圜容七邊形每邊之弧得圜周七分之一皆五十一度二十五分四十二秒有餘試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為五十一度二十五分四十二秒有餘之通?如以乙丙弧五十一度二十五分四十二秒有餘折半於丁作乙丁線即圜內容十四邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即七邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十四邊形之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之為七邊形之每一邊也 三要【八餘?八萬零九百零一有本弧之正?求本弧之餘?有本弧之正?余?求倍弧之正?余?有本弧之正?】 設如本弧三十六度之正?五萬八千七百七十八【余?求半弧之正?余】求余弧五十四度之正?幾何法以三十六度之正?五萬八千七百七十八【?小餘五二五二二九】為勾半徑十萬為?求得股八萬零九百零一【二小餘五二五二二九】為五十四度之正?即三十六度之餘?也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙正弧三十六度乙丙余弧五十四度乙丁為三十六度之正?試自乙至象限中心戊作乙戊半徑線遂成乙丁戊勾股形乙戊為?乙丁為勾求得丁戊股與乙己等為乙丙余弧五十四度之正?即甲乙正弧三十六度之餘?也 設　　　　　　　　【二小餘六九】如本弧三十六度之正【九四三七五小餘五二五二二九二】?五萬八千七百七十【小餘六九九四三七五】求倍弧七十二度之正?余?各幾何 法以半徑十萬為一率本弧之正?五萬八千七百七十八【六度之餘?與戊辛等】為二率本弧之餘?八萬零九百零一【小餘五二五二二九二】為三率求得四率四萬七千五百五十二【小餘六九九四三七五】倍之得九萬五千一百零五【小餘八二五八一四七】即倍弧七十二度之正?也求余?則以三十六度之正?五萬八千七百七十八【小餘六五一六二九四】自乘以半徑十萬除之得三萬四千五百四十九【小餘五二五二二九二】倍之得六萬九千零九十八【小餘一五○二八一二】與半徑十萬相減餘三萬零九百零一【小餘三○○五六二四】即倍弧七十二度之餘?也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之為甲丁弧七十二度乙己為三十六度之正【小餘六九九四三七六】?庚乙為三十【葢辛甲與乙己等則戊辛必與戊己等戊己即庚乙也】丁壬為七十二度之正?試與乙己平行作辛癸線遂成戊乙己戊辛癸同式兩勾股形其戊乙己勾股形之戊乙?與乙己勾之比同於戊辛癸勾股形之戊辛?與辛癸勾之比為相當比例四率而辛癸與子壬等為丁壬之半【葢辛甲為丁甲之半則辛癸亦為丁壬之半】故倍之得丁壬為甲丁七十二度之正?也又如求余?其甲辛戊甲癸辛為同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊?與甲辛勾之比同於甲癸辛勾股形之甲辛?與甲癸勾之比為相連比例三率既得甲癸倍之得甲壬【葢甲丁為甲辛之倍則甲壬亦為甲癸之倍】與甲戊半徑相減余壬戊與丁丑等即甲丁七十二度之餘?也 設如本弧四十五度之正?七萬零七百一十【小餘六七八一一八六】余?亦七萬零七百一十【小餘六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之正?幾何 法以本弧之正?七萬零七百一十【八十九小餘六七八一】為股本弧之餘?七萬零七百一十【一八六小餘六七八一】與半徑十萬相減餘二萬九千二百八十九【一八六小餘三二一八】為勾求得?七萬六千五百三十六【八一四小餘六八六四】折半得三萬八千二百六十八【七三○小餘三四三二】即半弧二十二度三十分之正?也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧二十二度三十分乙己為四十五度之正?戊己與庚乙等為四十五度之餘?於戊甲半徑內減去戊己余己甲為勾乙己為股求?得乙甲為四十五度之通?折半得乙辛即丁乙二十二度三十分之正?也 又捷法以本弧四十五度之餘?七萬零七百一十【三六五小餘六七八一】與半【一八六】徑十萬相減餘二萬九千二百【小餘三二一八?幾何】折半得一萬四千六百四十四【八一四小餘六六○九】與半徑十萬相乘開方得三萬八千二百六十八【四○七小餘三四三二】即半弧二十二度三十分之正?也葢乙己為四十五度之正?甲己為四十五度之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分之正?如與乙己平行作一辛壬線平分甲己於壬成甲辛戊甲壬辛同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊?與甲辛勾之比同於甲壬辛勾股形之甲辛?與甲壬勾之比為連比例三率故首率甲戊與末率甲壬相乘【三六五首率甲戊與末率甲壬相乘與中率甲辛自乘之】開方得甲辛為二十二度三十分之正?也 新增有本弧之餘?求倍弧之餘?及半弧之餘? 設　　　　　　【積相等】如本弧三十六度之餘?八萬零九【小餘六九九四三七五】百零一求倍弧七十二度之餘 法以本弧三十六度之餘?八萬零九百零一【小餘六九九四三七五】自乘以半徑十萬除之得六萬五千四百五十【小餘八四九七一八七】與半徑十萬相減餘三萬四千五百四十九【小餘一五○二八一三】倍之得六萬九千零九十八【小餘三○○五六二六】仍與半徑十萬相減餘三萬零九百零一【小餘六九九四三七四】即倍弧七十二度之餘?也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之為甲丁弧七十二度丁己為三十六度之正?戊己為三十六度之餘?丁庚為七十二度之正?辛丁為七十二度之餘?與戊庚等試自己至壬作己壬垂線遂成甲己戊己壬戊同式兩勾股形其甲己戊勾股形之戊甲?與戊己股之比同於己壬戊勾股形之戊己?與戊壬股之比為連比例三率故中率戊己自乘以首率戊甲除之得末率戊壬既得戊壬與戊甲半徑相減余壬甲倍之得庚甲仍與戊甲半徑相減余戊庚與辛丁等即甲丁弧七十二度之餘?也 設如本弧四十五度之餘?七萬零七百一十【小餘六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之餘?幾何法以本弧四十五度之餘?七萬零七百一十【小餘六七八一一八六】與半徑十萬相減餘二萬九千二百八十九【小餘三二一八八一四】折半得一萬四千六百四十四【小餘六六○九四○七】與本弧四十五度之餘?七萬零七百一十【小餘六七八一一八六】相加得八萬五千三百五十五【小餘三三九○五九三】與半徑十萬相乘開方得九萬二千三百八十七【小餘九五三二五一一】即半弧二十二度三十分之餘?也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧二十二度三十分乙己為四十五度之正?戊己與庚乙等為四十五度之餘?乙辛為二十二度三十分之正?戊辛為二十二度三十分之餘?戊己四十五度之餘?與戊甲半徑相減余己甲折半得己壬再與戊己相加得戊壬試自辛至壬作辛壬垂線遂成甲辛戊辛壬戊同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之戊甲?與戊辛股之比同於辛壬戊勾股形之戊辛?與戊壬股之比為連比例三率故首率戊甲與末率戊壬相乘開方得戊辛為二十二度三十分之餘?也 新增有本弧之正?求其三分之一弧之正? 設如三十六度之正?五萬八千七百七十八【小餘五二五二二九二】求其三分之一十二度之正?幾何法用連比例四率有一率求二率使一率與四率相加與二率三倍等之法以三十六度之正?五萬八千七百七十八【小餘五二五二二九二】倍之得一十一萬七千五百五十七【小余○五○四五八四】為七十二度之通?乃以半徑十萬自乘得一百億用七十二度之通?再乘得一千一百七十五兆五千七百零五億零四百五十八萬四千為實又以半徑十萬自乘三因之得三百億為法按益實歸除之法除實得四萬一千五百八十二【小餘三三八一六三四】為二十四度之通?折半得二萬零七百九十一【小餘一六九○八一七】即十二度之正?也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度甲丁為其正?倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之通?試以七十二度取其三分之一二十四度為甲庚弧其通?甲庚與甲戊庚戊兩半徑成一戊甲庚三角形又庚戊半徑截甲己通?於辛成一庚甲辛三角形又依庚辛度向辛甲邊作庚壬線成一庚辛壬三角形此兩三角形俱與戊甲庚三角形為同式形其相當各邊俱成相連比例故戊甲為一率甲庚為二率庚辛為三率辛壬為四率也今甲己七十二度之通?內有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率【葢己癸癸壬辛甲三段皆與甲庚二率等而癸壬辛甲二段內卻重辛壬一小段是甲己通?內有己癸癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也】若以甲己通?為髙與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體則比三倍二率為高與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體必少一四率為高與一率半徑自乘之方面相乘所成之扁方體此扁方體與二率自乘再乘之正方體等故以一率半徑自乘之三方面為法除實每次所得二率之數自乘再乘益入原積則積漸增與三倍二率與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體合而除得之數即為二率既得甲庚二率為二十四度之通?半之得甲子即甲丑弧十二度之正?也 二簡法【以兩四率相有兩弧之正?余?求兩弧相加相減之正?有距六十度前後相等弧之正?求】 設如四十五度之正?七萬零七百一十【距弧之正?小餘六七】余?亦七萬零七百一十【八一一八六小餘六七】又有二十四度之正?四萬零六百七十三【八一一八六小餘六六】余?九萬一千三百五十四【四三○七五小餘五四】求兩弧相加六十九度之正?及兩弧相減二十一度之正?各幾何 法以半徑十萬為一率四十五度之正?七萬零七百一十【五七六四二小餘六七】為二率二十四度之餘?九萬一千三百五十四【八一一八六小餘五四】為三率求得四率六萬四千五百九十七【五七六四二小餘四一】又以半徑十萬為一率四十五度之餘?七萬零七百一十【八八○二○小餘六七】為二率二十四度之正?四萬零六百七十三【八一 一八六小餘六六】　　　　　　　　　　　　　　　　【四三○七五】為三率求得四率二萬八【小餘六二三八四七六】千七百六十乃加得九萬三千三百五十八【小余○四二六四九六】即兩弧相加所得六十九度之正?如以兩四率相減餘三萬五千八百三十六【小餘七九四九五四五】即兩弧相減所餘二十一度之正?也如甲乙丙丁九十度之一象限其乙甲弧四十五度乙己為四十五度之正?己戊為四十五度之餘?於乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度又於乙甲弧四十五度減乙子弧二十四度餘子甲弧二十一度試自丙至子作丙子線則丙乙弧乙子弧皆為二十四度丙庚與庚子皆為二十四度之正?庚戊則為二十四度之餘?今以乙戊半徑為一率乙己四十五度之正?為二率庚戊二十四度之餘?為三率求得四率庚辛與壬癸等又以乙戊半徑為一率己戊四十五度之餘?為二率丙庚二十四度之正?為三率求得四率丙壬故以丙壬加於庚辛【庚辛原與壬癸等】共得丙癸即丙甲弧六十九度之正?如於庚辛內減與丙壬相等之庚夘余夘辛與子丑等即子甲弧二十一度之正?也葢乙己戊與庚辛戊為同式勾股形故乙戊與乙己之比同於庚戊與庚辛之比為相當比例四率又寅癸戊與乙己戊亦為同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角與丙庚寅勾股形之寅角為兩尖相對角其度等癸角與庚角俱為直角其度又等則戊角必與丙角等如作庚壬線成丙壬庚勾股形則此形之丙角既與乙己戊勾股形之戊角等而壬角又為直角與乙己戊勾股形之己角等故亦為同式勾股形而乙戊與己戊之比同於丙庚與丙壬之比為相當比例四率也 設如八十四度之弧距六十度二十四度其正?九萬九千四百五十二【相加得九萬小餘一八】又有三十六度之弧距六十度亦二十四度其正?五萬八千七百七十八【九五三六八小餘五二】求距弧二十四度之正?幾何 法以八十四度之正?九萬九千四百五十二【五二二九二小餘一八】內減三十六度之正?五萬八千七百七十八【九五三六八小餘五二】餘四萬零六百七十三【五二二九二小餘六六】即距弧二十四度之正?也如有距六十度前二十四度為三十六度其正?五萬八千七百七十八【四三○七六小餘五二】距弧二十四度之正?四萬零六百七十三【五二二九二小餘六六】求距六十度後二十四度為八十四度之正?則以三十六度之正?五萬八千七百七十八【四三○七六小 餘五二】與距弧　　　　　　　　　　　　　　　　　【五二二九二】二十四度之正?四萬零【小餘六六四三○七六】六百七十三九千四百五十二【小餘一八九五三六八】即八十四度之正?也又如有距六十度後二十四度為八十四度其正?九萬九千四百五十二【小餘一八九五三六八】距弧二十四度之正?四萬零六百七十三【小餘六六四三○七六】求距六十度前二十四度為三十六度之正?則以八十四度之正?九萬九千四百五十二【小餘一八九五三六八】與距弧二十四度之正?四萬零六百七十三【小餘六六四三○七六】相減餘五萬八千七百七十八【小餘五二五二二九二】即三十六度之正?也如甲乙丙丁九十度之一象限其己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距己二十四度乙甲弧三十六度乙距己亦二十四度丙庚為八十四度之正?乙辛為三十六度之正?與壬庚等丙壬為兩正?之較試自巳至象限中心戊作己戊線又自丙至乙作丙乙線則丙癸癸乙皆為距弧二十四度之正?與丙壬兩正?之較相等葢己戊甲角六十度則己戊丁角為三十度丙庚與丁戊平行則丙子己角與丁戊己角為二平行線上所成之內外角必相等皆為三十度丙癸子角為直角則子丙癸角必為六十度矣又自乙至子作乙子線則乙癸子與丙癸子為同形勾股形癸乙子角亦必為六十度癸子乙角亦必為三十度兩勾股形合之共成一丙乙子三角形而丙子乙角亦必為六十度矣三角度既等則三邊必相等今丙壬為丙子之半丙癸為丙乙之半丙子既與丙乙等故丙壬亦必與丙癸等也有此法凡有六十度以前各弧之正?則以各距弧之正?與之相加可得六十度以後三十度各弧之正?若有六十度以後各弧之正?則以各距弧之正?與之相減可得六十度以前三十度各弧之正?六十度前後三十度之正?用加減而即得較之勾股比例諸法甚為簡便也 八線相求 設如四十八度之正?七萬四千三百一十四【小餘四八二五四七七】余?六萬六千九百一十三【小余○六○六三五八】求正矢正切正割各幾何 法以半徑十萬內減四十八度之餘?六萬六千九百一十三【小余○六○六三五八】餘三萬三千零八十六【小餘九三九三六四二】為正矢以余?六萬六千九百一十三【小余○六○六三五八】為一率正?七萬四千三百一十四【小餘四八二五四七七】為二率半徑十萬為三率求得四率一十一萬一千零六十一【小餘二五一四八三○】為正切以余?六萬六千九百一十三【小余○六○六三五八】為一率半徑十萬為二率仍以半徑十萬為三率求得四率一十四萬九千四百四十七【小餘六五四九八六六】為正割也如圖甲乙弧四十八度甲丙為正?甲丁為余?與丙戊等乙丙為正矢故乙戊半徑內減與甲丁余?相等之丙戊余乙丙即為正矢己乙為正切巳戊為正割甲丙戊己乙戊兩勾股形為同式形故丙戊余?與甲丙正?之比同於乙戊半徑與己乙正切之比為相當比例四率又丙戊余?與甲戊半徑之比同於乙戊半徑與己戊正割之比亦為相當比例四率也 又正切求正割捷法以余弧折半得二十一度乃以二十一度之正切三萬八千三百八十六【小餘四○三三五○三六】與本弧之正切一十一萬一千零六十一【小餘二五一四八三○】相加得一十四萬九千四百四十七【小餘六五四八三三三】即為本弧之正割也如圖甲乙弧四十八度己乙為正切己戊為正割試將甲庚余弧四十二度折半得庚辛二十一度移於乙壬又作乙癸為乙壬弧二十一度之正切與己乙相加得己癸與己戊正割相等葢甲戊乙角四十八度己乙戊角為直角九十度二角並之為一百三十八度於一百八十度內減之餘四十二度為戊己乙角今於甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度遂成己戊癸角為六十九度仍與戊己乙角四十二度相加於一百八十度內減之所余亦六十九度即為戊癸己角戊癸己角既與己戊癸角相等則己戊與己癸邊亦必相等也有此法則凡有逐度逐分之切線求割線可止用加法不用四率矣又凡有本弧之正切正割相減即得半余弧之正切若有本弧之正割及半余弧之正切相減即得本弧之正切也 設如四十八度之正弧七萬四千三百一十四【小餘四八二五四七七】余?六萬六千九百一十三【小余○六○六三五八】求余矢餘切餘割各幾何 法以半徑十萬內減四十八度之正?七萬四千三百一十四【小餘四八二五四七七】餘二萬五千六百八十五【小餘五一七四五二三】為余矢以正?七萬四千三百一十四【小餘四八二五四七七】為一率余?六萬六千九百一十三【小余○六○六三五八】為二率半徑十萬為三率求得四率九萬零四十【小餘四○四四二九七】為餘切以正?七萬四千三百一十四【小餘四八二五四七七】為一率半徑十萬為二率仍以半徑十萬為三率求得四率一十三萬四千五百六十三【小餘二七二九六○七】為餘割也如圖甲乙弧四十八度甲丙為正?與丁戊等甲丁為余?巳丁為余矢故已戊半徑內減與甲丙正?相等之丁戊余己丁即為余矢庚己為餘切庚戊為餘割甲丁戊庚己戊兩勾股形為同式形故丁戊正?與甲丁余?之比同於己戊半徑與庚己餘切之比為相當比例四率又丁戊正?與甲戊半徑之比同於己戊半徑與庚戊餘割之比亦為相當比例四率也 又餘切求餘割捷法以本弧折半得二十四度乃以二十四度之正切四萬四千五百二十二【小餘六八六五三一○】與本弧之餘切九萬零四十【小餘四○四四二九七】相加得一十三萬四千五百六十三【小餘二七二九六○七】即為本弧之餘割也如圖甲乙弧四十八度庚己為其餘切庚戊為其餘割試將甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度移於壬己又作癸己為壬己弧二十四度之正切與庚己相加得庚癸與庚戊餘割相等葢甲戊己角四十二度庚己戊角為直角九十度二角相併為一百三十二度於一百八十度內減之餘四十八度為戊庚己角今於甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度遂成庚戊癸角為六十六度仍與戊庚己角四十八度相加於一百八十度內減之所余亦為六十六度即為戊癸庚角戊癸庚角既與庚戊癸角相等則庚戊與庚癸邊亦必相等也有此法則凡有逐度逐分之切線求餘割亦可止用加法不用四率矣又凡有本弧之餘切餘割相減即得半本弧之正切若有本弧之餘割及半本弧之正切相減即得本弧之餘切矣 求象限內各線總法 六宗倂新增十八邊形及九邊形之每邊各半之得八弧之正?用要法之一各求其餘?次取十二度【十五邊之半】用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正?復用新增法求其三分之一得十五分之正?復求其三分之一即得五分之正?既得五分之正?乃用簡法之一求六十度以內之正?每越五分而得一?可得七百二十又用簡法之二求六十度以外之正?亦越五分而得一?又得三百六十【如以一度之?與五十九度之?相加即六十一度之?以二度之?與五十八度之?相加即六十二度之?以至二十九度之?與三十一度之?相加即得八十九度之?也】總而計之一象限中共得正?一千零八十己居全表五分之一【象限中逐分計之共正?五千四百故一千零八十為五分之一也】再以五分之?用要法之三得二分三十秒之?復用新增法求其三分之一得五十秒之?乃以五十秒之弧為一率五十秒之?為二率一分之弧化六十秒為三率得四率為一分之?既得一分之?即用簡法之一簡法之二錯綜加減之則一象限中每度每分之正?悉得矣既得每度每分之正?則用前八線相求之法即得每度每分之切割諸線矣如於一分之中欲析為六十秒則以比例四率求之即得每秒之八線也 御製數理精蘊下編卷十六