數理精蘊 · 卷二
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷二
首部二
命分
約分
通分
命分
凡歸除分至最細而可以恰盡無餘者謂之無竒零數若分至最細而屢除不盡者謂之有竒零數其竒零若畧去之則不能復還原數此命分之所以立也其法命為分母分子分母者即除數也分子者即除不盡之數也凡不盡之數得分母中之幾分者即命為幾分之幾是以命分之一法正所以濟歸除之所不逮也
設如有銀十一兩命三人分之問每人得若干法以三人分銀十一兩每人得銀三兩仍餘二兩所餘二兩再以三人分之每人得六錢六分六厘六豪如是每得六而仍餘二數不盡故立命分法以三人為分母所餘二兩為分子命為每人得三兩又三分兩之二葢將每兩剖作三分其所餘二兩則共剖作六分三人分之每人得二分故命為三分兩之二也如因三分兩之二求知原銀數則以三人與分子二分相乘得六分葢每人得二分則三人共得六分也以六分用分母三分歸之得二兩葢初分一兩為三分故終收三分為一兩也再加入三人所得整數共九兩【一人三兩三人共得九兩】則得十一兩以合原數也
設如有銀一百八十七兩命十八人分之問每人得若干
法以十八人分銀一百八十七兩每人得銀十兩仍餘七兩分之不盡則以十八人為分母所餘七兩為分子命為每人得一十兩又十八分兩之七葢將每兩剖作十八分其所餘七兩則共剖作一百二十六分十八人分之每人得七分故命為十八分兩之七也如因十八分兩之七求知原銀數則以十八人與分子七分相乘得一百二十六分葢每人得七分則十八人共得一百二十六分也以一百二十六分用分母十八分歸之得七兩葢初分一兩為十八分故終收十八分為一兩也再加入十八人所得整數共一百八十兩【一人十兩十八人共得一百八十兩】則得一百八十七兩以合原數也
約分
約分者以所命之分約之以就整分也葢命分是隨其數之多寡全而紀之而約分則即其多寡之數從而約之以求簡易焉其法以分子分母兩數輾轉相減務期減余兩數相同是為度盡兩數之一數乃以此數為一分以除分母得幾分者即約分母為幾分又除分子得幾分者即約為分母幾分中之幾凡諸法中有帶分者皆由約法而得故設例於此所以明帶分之根也
設如古厯歳實命為三百六十五日又一百分日之二十五今以法約之求相當最小數
法置日分一百以余分二十五減之餘七十五分再以二十五減之餘五十分再以二十五減之亦餘二十五分兩數齊等即以相等之數二十五轉除日分一百得四即為四分又以二十五除余分二十五得一即為一分乃百分日之二十五約為
四分之 【凡約】 【分法以分母分】一是歳實共得三百六十五【葢將一日剖作四分而得其四分之一也】日又四分日之一也子相減必得相等之數然後用之葢因此數可以度盡分母又可以度盡分子故也今以相等之數二十五為一分則日分一百有四倍二十五故為四分而余分二十五又恰足一分之數故為一分一百與二十五之比即同於四與一之比是四與一即一百與二十五之相當最小數也凡分母分子輾轉相減不得相等之數終減至於一是分母分子俱無一數可以度盡之數即不用約分用命分志之可也
設如有銀二百一十兩命一百四十七人分之每人得銀一兩仍餘六十三兩不盡以法約之求相當最小數
法置一百四十七人以余銀六十三減之餘八十四再以六十三減之餘二十一又置六十三轉以二十一減之【因減數大於原數又不得兩數齊等故以二十一轉減之】餘四十二再以二十一減之亦餘二十一則兩數齊等即以相等之數二十一轉除一百四十七人得七即為七分又以二十一除銀六十三兩得三即為三
分乃一百四十七人分余銀六十三兩約為 【也】七分之三是每人得銀一兩又七分兩之三【葢將每兩剖作七分而得其七分之三也】也此法以一百四十七人與六十三兩輾轉相減得相等之數二十一是二十一可以度盡一百四十七人又可以度盡六十三兩故也既以二十一為一分則一百四十七有七倍二十一故為七分六十三有三倍二十一故為三分一百四十七與六十三之比即同於七與三之比是七與三即一百四十七與六十三之相當最小數
通分
凡竒零數目不以十遞析者難以立算則用通分如斤通為兩宮通為度度通為分之類是也又有整數而帶零分者則必通之以從其類如化整為零收零作整之類是也或有零分而分母不同者則必通之以同其母如互乘之類是也通分之法立然後竒零數目得以歸有餘齊不足而帶分之法皆根於此故為另設加減乘除之法以明其義焉
加法
凡竒零數相加兩分母同者即並兩分子為得數若相加之數大於母數則於所得數內減去母數為一整數紀其餘為零數
設如有九分丈之七【一丈分為九分而得其七分也】與九分丈之五【一丈分為九分而得其五分也】相加求總數
法以九分之七與九分之五左右列之將兩分子七與五相加得一十二因子數大於母數乃於一十二內減去母數九為一整數餘三為零數即得整數一丈零九分丈之三為相加之數也此法因兩分母同為九分而兩分子亦同為九分中之零分故徑並兩零分之七與五得一十二又以母數九分收為一丈【葢初以一丈分為九分今滿九分即收為一丈也】其所餘三亦仍為九分中之三分故得一丈零九分丈之三為兩零分之共數此分母相同之加法也【如以真數明之九分丈之七是將一丈分為九分得其九分中之七分一丈分為九分則每一分得一尺一寸一分一厘有餘九分中之七分則為七尺七寸七分七厘有餘也九分中之五分則為五尺五寸五分五厘有餘也兩數相加共得一丈三尺三寸三分三厘有餘即一丈零九分丈之三也葢一尺一寸一分一厘有餘既為九分中之一分則三尺三寸三分三厘有餘即九分中之三分也如以九分除三分即得三尺三寸三分三厘不盡之數是九分與一丈之比即同於三分與三尺三寸三分有餘之比也】
凡竒零數相加兩分母不同者則用互乘法以兩分母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分母乘前分子以所得兩子數相加為共子數紀於共母數之下為共零數
設如有三分丈之二【例亦等一丈分為三分而得其】與五分丈之三【二分也一丈分為五分而得其】相加求總數
法以兩分母三五相乘得一十五為共母數再以前分母三乘後分子三得九又以後分母五乘前分子二得十將兩得數相加得十九為共子數因子數大於母數乃於十九內減去共母數十五為一整數餘四為零數即得整數一丈零十五分丈之四為相加之數也此法用互乘者本為齊其分母也夫以兩分母相乘得十五者乃以兩分母俱變為十五分也【三分也因分母不同難以相加故變】以前分母三乘後分子三得九者乃以後分子變為十五分中之九也又以後分母五乘前分子二得十者是又以前分子亦變為十五分中之十也葢十五分之十與三分之二其比例等【為同等俱為五】而【倍比例】十五分之九與五分之三其比【俱為三倍比例】兩分母既變為同等則兩分子亦俱為同分母之子矣故相加如第一法此分母不同之加法也【如以真數明之三分丈之二既變為十五分丈之十則每一分為六寸六分六厘有餘今得十分即六尺六寸六分六厘有餘也又五分丈之三既變為十五分丈之九則每一分亦為六寸六分六厘有餘今得九分即六尺也兩數相加共得一丈二尺六寸六分六厘有餘即一丈零十五分丈之四也葢六寸六分六厘有餘即為十五分中之一分今二尺六寸六分六厘有餘為四倍六寸六分六厘有餘即十五分中之四分也如以十五分除四分即得二尺六寸六分不盡之數是十五分與一丈之比即同於四分與二尺六寸六分有餘之比也】
又或分母不同而可以加減之使同者則變而同之可省互乘
設如有八分兩之一與十二分兩之三相加求總數法以十二分之三變為八分之二則與八分之一兩分母相同故徑並兩分子二與一得三即八分兩之三為相加之數也此法將十二分之三變為八分之二者乃分母分子各減三分之一也母數十二減三分之一餘八子數三減三分之一餘二葢十二分之三與八分之二其比例相等故變從簡易如數有參
【分】差者則當用下節之【如以真數明之八分兩之一是將一兩分為八分其一分即一錢二分五厘也又十二分兩之三是將一兩分為十二分其三分為二錢五分今變為八分兩之二是將一兩分為八分其二分亦為二錢五分也兩數相加共得三錢七分五厘即八分兩之三也葢一錢二分五厘為八分中之一分今三錢七分五厘即八分中之三分也如以八分除三分即得三錢七分五厘是八分與一兩之比即同於三分與三錢七分五厘之比也】
法設如有六分石之五與三分石之二相加求總數如依前法將六分之五折半為三分之二分半則兩分母雖同而分子卻有竒零若將三分之二加一倍作六分之四變少從多則與六分之五兩分母相同乃徑並兩分子五與四得九因子數大於母數乃於九內減去母數六為一整數餘三為零數即得整數一石零六石之三為相加之數也此法三分之二變為六分之四者乃分母分子各加一倍之比例也凡變分母分子或加或減務期所變之分數與原分數比例相同使其兩分母同而兩分子可並也此條與上條用加減雖各異而齊其分母以加之則同也【如以真數明之六分石之五是將一石分為六分則每一分得一斗六升六合六勺六撮六抄有餘今得五分即八斗三升三合三勺三撮三抄有餘也又三分石之二是將一石分為三分其二分為六斗六升六合六勺六撮六抄有餘今變為六分石之四是將一石分為六分其四分亦為六斗六升六合六勺六撮六抄有餘也兩數相加共得一石四斗九升九合九勺九撮九抄有餘收為五斗即一石零六分石之三也葢六分為一石則三分即五斗也】
凡子母數有三四種相加者其分母分子俱不同則用互乘以齊其分母按前法加之【三種者以第一數與第二數依前互乘法相加得數又與第三數依前互乘法相加四程者以第一數第二數互乘相加得數與第三數互乘相加得數復與第四數互乘相加】如兩分母相同者即並其兩分子而與所余之分母不同者用互乘以加之又或有兩分母相乘後所得之數與所余之分母相同者則直以所得之分子與所余之分子相加為得數即不用互乘矣
設如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三相加求總數
法以前兩分子分母按互乘法相加得十二分斤之十【五種相加者俱仿此以兩分母三與四相乘得十二為共母數以前分母三乘後分子二得六又以後分母四乘前分子一得四相加得一十為共子數】乃以十二分斤之十與第三子母分用互乘法相加得六十分斤之八十六【是為十二分斤之十以第三分母五與前兩分母互乘所得之十二相乘得六十為共母數以前兩分母所得十二乘第三分子三得三十六又以第三分母五乘前兩分子所得十得五十相加得八十六為共子數是為】因子數大於母數乃於共子數八十六內減去共母數六十為一整數餘二十六為零數即得一斤零六十分斤之二十六為總數也【六十分斤之八十六】凡子母分有四種【如以真數明之三分斤之一是將一斤分二十分丈之一為總數也為三分其一分即五兩三錢三分三厘有餘也四分斤之二是將一斤分為四分則每一分為四兩今得二分即八兩也五分斤之三是將一斤分為五分則每一分為三兩二錢今得三分即九兩六錢也三數相加共得二十二兩九錢三分三厘有餘內收十六兩為一斤餘六兩九錢三分三厘有餘即六十分斤之二十六也葢以十六兩分為六十分每分得二錢六分六厘有餘今六兩九錢三分三厘有餘有二十六倍二錢六分六】
設如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一相加求總數
法因五分丈之三與五分丈之一兩分母相同故直並其兩分子三與一為五分丈之四再以五分丈之四與四分丈之一依互乘法相加得二十分丈之二十一【厘有餘即為二十六分也以前分母五與後分母四相乘得二十為共母數以前分母五乘後分子一得五又以後分母四乘前分子四得十六相加得二十一】因子數大於母數乃於共子數二十一內減去共母數二十為一整數餘一為零數【是為二十分丈之二十一】即得一丈零【如以真數明之其五分丈之三即六尺也其四分丈之一即二尺五寸也其五分丈之一即二尺也三數相加得一丈零五寸即一丈零二十分丈之一葢一丈分為二十分每分得五寸也】
設如有三分兩之二又四分兩之三又十二分兩之四相加求總數
法以三分之二與四分之三用互乘法相加得十二分兩之十七【以前分母三與後分母四相乘得十二為共母數以前分母三乘後分子三得九又以後分母四乘前分子二得八相加得十七是為十二分兩之十七】此所得之十二分兩之十七與第三分母相同即以前兩分所得共子十七與後一分子四相加得二十一是為十二分兩之二十一因子數大於母數乃於共子數二十一內減去共母數十二為一整數餘九為零數即得一兩零十二分兩之九為總數也【如以真數明之其三分兩之二即六錢六分六厘有餘也其四分兩之三即七錢五分也其十二分兩之四即三錢三分三厘有餘也三數相加得一兩七錢四分九厘有餘收作七錢五分即一兩零十二分兩之九葢十二分兩之九即七錢五分也】
減法
凡竒零數相減兩分母同者即將兩分子相減為餘數
設如有十一分丈之七減十一分丈之五求餘數法以十一分丈之七與十一分丈之五左右列之將兩分子五與七相減餘二即得十一分丈之二為餘數也葢因兩分母同為十一分則兩分子亦同為十一分中之零分故徑將兩分子相減餘二亦仍為十一分中之二分是以定為
十一分丈之二此分母相同之減 【也】法【如以真數明之十一分丈之七是將一丈分為十一分則每一分得九寸零九厘零九絲有餘其中之七分即六尺三寸六分三厘六豪三絲有餘也其中之五分即四尺五寸四分五厘四豪五絲有餘也相減餘一尺八寸一分八厘一豪八絲有餘即十一分中之二分也葢九寸零九厘零九絲有餘為一分則一尺八寸一分八厘一豪八絲有餘即為二分也如以十一分除二分亦得一尺八寸一分八厘一豪八絲不盡之數是十一分與一丈之比即同於二分與一尺八寸一分八厘一豪八絲有餘之比也】
凡竒零數相減兩分母不同者則用互乘法以兩分母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分母乘前分子以所得兩子數相減為餘數
設如有三分丈之二減五分丈之三求餘數
法以兩分母三五相乘得一十五為共母數再以前分母三乘後分子三得九又以後分母五乘前分子二得一十將所得兩分子相減餘一即得十五分丈之一為餘數也此法用互乘齊其分母將三分丈之二變為十五分丈之十將五分丈之三變為十五分丈之九兩分母既同為十五分故兩分子十與九相減餘一為十五分丈之一也此分母不同之減法也如兩分母不同可以加減之使其相同者減之亦如加法中例故不重設【如以真數明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有餘也其五分丈之三即六尺也相減餘六寸六分六厘有餘即十五分丈之一也葢一丈分為十五分每一分得六寸六分六厘不盡也】
凡零數與整數相減者即以分子與分母相減為餘數
設如有米一石內減七分石之五求餘數
法以整數一石變為七分為分母與分子五相減餘二即得七分石之二為餘數也葢將一石分為七分而於此七分內減去五分則所余即七分石之二【五】此整數中減零數法【如以真數明之將一石分為七分則每一分得一斗四升二合八勺五撮七抄有餘其五分即七斗一升四合二勺八撮五抄有餘也與一石相減餘二斗八升五合七勺一撮四抄有餘即七分石之二也葢一斗四升二合八勺五撮七抄有餘為一分則二斗八升五合七勺一撮四抄有餘自為二分也】
也凡整數帶零分相減者將兩零分用互乘法變為同母然後減
之設如有銀八兩零五分兩之四內減五兩零七分兩之三求余
數法以八兩之零數五分之四與五兩之零數七分之三用互乘法兩分母七相乘得三十五為共母數再以五兩之分母七乘八兩之分子四得二十八為八兩所變之子數又以八兩之分母五乘五兩之分子三得十五為五兩所變之子數乃以八兩五兩二整數相減餘三兩以兩子數二十八與十五相減餘十三即得三兩又三十五分兩之十三為餘數也葢既將兩子數變為同母則八兩者為八兩零三十五分兩之二十八五兩者為五兩零三十五分兩之十五分母既同故以子數相減而得餘數此整數帶零分相減之法也【如以真數明之其八兩零五分兩之四即八兩八錢也其五兩零七分兩之三即五兩四錢二分八厘五豪七絲有餘也相減餘三兩三錢七分一厘四豪二絲有餘其三兩為整數其三錢七分一厘四豪二絲有餘即三十五分中之十三分也葢將一兩分為三十五分則每一分得二分八厘五豪七絲有餘其十三分即三錢七分一厘四豪二絲有餘也】
凡子母數三四種相減者其分母分子俱不同則用互乘以齊其分母按前法減之如兩分母相同者即將其兩分子相減而與所余之分母不同者用互乘以減之又或有兩分母相乘後所得之數與所余之分母相同者則直以所得之分子與所余之分子相減即得餘數其理與加法同
設如有銅九斤零八分斤之七內減二斤零四分斤之一又減八分斤之三求餘數
法以九斤內減去二斤餘七斤為整數乃以八分斤之七與四分斤之一用互乘法將八分斤之七變為三十二分斤之二十八將四分斤之一變為三十二分斤之八兩數相減餘三十二分斤之二十又以三十二分斤之二十與第三零數八分斤之三用互乘法將三十二分斤之二十變為二百五十六分斤之一百六十將八分斤之三變為二百五十六分斤之九十六兩數相減餘二百五十六分斤之六十四合前整數共得七斤又二百五十六分斤之六十四為餘數也如用約法則為七斤零四分斤之一葢二百五十六為四倍六十四今以六十四為一分則二百五十六自得四分也其餘幾種零分內有兩分母相同或兩分母乘出之數與餘一分母相同俱照同分母之例減之故不再設或零分有四種五種者亦俱仿此此幾種零分相減之法也【如以真數明之其九斤零八分斤之七即九斤十四兩也內減二斤零四分斤之一是減去二斤四兩又減去八分斤之三是又減去六兩也餘七斤零四兩即七斤零四分斤之一也葢一斤分為四分則每一分得四兩今七斤零四兩故謂七斤零四分斤之一也】
乘法
零分與零分相乘者兩分母兩分子各相乘所得之數即乘出之分也
設如有三分丈之二與五分丈之四相乘問得幾何法以兩分母三五相乘得十五分為乘出之分母又以兩分子二四相乘得八分為乘出之分子即定為十五分丈之八為所得之數也今以圖明之如甲乙為一丈而甲丁亦為一丈作一甲乙丙丁正方形將甲丁分為三分甲乙分為五分內共容十五分即共母數乃兩分母三與五乘出之數也其甲丁之三分之二為甲戊甲乙之五分之四為甲己二數相乘得甲已庚戊長方形內容八分即共子數乃兩分子二與四乘出之數也甲乙丙丁正方與甲己庚戊長方相較即知甲己庚戊長方為甲乙丙丁正方中之十五分之八矣此零分乘零分之法也【如以真數明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有餘也其五分丈之四即八尺也相乘得五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有餘即十五分丈之八也葢一丈正方內容百尺分為十五分則每一分得六尺六十六寸六十六分六十六厘有餘今得其八分即五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有餘也】
零分與整數相乘者分子乘整數而以分母歸之即所得之數也
設如有七人每人賞銀五分兩之二問共得若干法以分子二與七人相乘得十四以分母五歸之得二兩八錢即七人共得之數也葢五分兩之二是一兩分為五分而得其二分也一人得二分則七人必共得十四分既以一兩分為五分今滿五分收為一兩故以五歸十四得二兩八錢為共數此零分與整數相乘之法也
整數帶零分與整數乘者先將整數俱通為零分相乘得數以分母自乘之數除之即得
設如有整數二丈又四分丈之一與八丈相乘問得幾何
法以整數二丈用分母四通為八分加入分子一共得九分又以整數八丈用分母四通為三十二分乃與九分相乘得二百八十八分以分母四自乘之一十六除之得一十八即定為一丈正方一十八為所得之數也此法葢以一丈通為四分是四四自乘之數始合一丈自乘之數故一十六者即分母四自乘之數未乘之先既以四通之故相乘之後必以四四自乘之數收之乃得真數此整數帶零分與整數相乘之法也【如以真數明之其二丈又四分丈之一即二丈二尺五寸與八丈相乘即得一十八丈也】
整數帶零分與零分乘者先將整數通為零分相乘得數以分母自乘之數除之即得
設如有整數二丈又五分丈之四與零分五分丈之三相乘問得幾何
法以整數二丈用分母五通為十分加入分子四得十四分乃與零分分子三相乘得四十二以分母五自乘之二十五除之得一六八即定為一丈正方一又一尺正方六十八為所得之數也此法葢以一丈通為五分是五五自乘之數始合一丈自乘之數故以二十五除之又二丈之零分五分之四與所乘之零分五分之三為同母故用此法如兩零分分母不同則先將兩零分用互乘法變為同母然後用所變之分母化整為零再與彼一零分相乘得數以所變之分母自乘之數除之即得乘出之數【法見下節】此整數帶零分與零分相乘之法也【如以真數明之其二丈又五分丈之四即二丈八尺也其五分丈之三即六尺也以六尺與二丈八尺相乘即得一丈六十八尺也】
整數帶零分與整數帶零分相乘而零分之分母不同者則以兩零分之分母用互乘法齊其數然後各以相同之分母化整為零兩數相乘再以同母自乘之數除之即得【如所帶零分本為同母者可省互乘】
設如有長方田闊二丈又四分丈之三長三丈又三分丈之二求積
法以兩分母四三相乘得一十二為共母數以前分母四乘後分子二得八以後分母三乘前分子三得九為兩分子數乃以共母數十二化闊二丈為二十四分加入分子九得三十三分為闊邊所變之分數又以共母數十二化長三丈為三十六分加入分子八得四十四分為長邊所變之分數爰以闊三十三分與長四十四分相乘得一千四百五十二乃以共母數十二自乘之一百四十四除之得一○○八餘四八不盡即定為一丈正方十一尺正方八零一百四十四分尺之四十八約為三分尺之一為所得之數也此整數帶零分與整數帶零分相乘之法也【如以真數明之其闊二丈又四分丈之三即二丈七尺五寸也其長三丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六分六厘有餘也以二丈七尺五寸與三丈六尺六寸六分六厘有餘相乘即得一十丈零八尺有餘也】
大分下又帶小分相乘者其例有四【所謂大分下帶小分者是將大分之一分又分為幾分如大分五分之三又帶小分四分之一是將大分五分之三之一分又分為四分而得其一分也】有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者今以一法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然後以所變之兩母數兩子數對乘即得【總以小分母通之者葢小分母又為大分母之每一分之幾分小分不能使大大分可以變小使大分母大分子俱變為小分母一體然後可以相乘乘之即所以通之也設法中以度數明之其理自顯】
設如有甲數五分丈之三又帶此一分之四分之一與乙數五分丈之四又帶此一分之四分之二相乘問得幾何【此大小分母俱同者也】
法以甲數小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得二十分之十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子四得一十六再加入小分子二得一十八共得二十分之十八為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母二十與乙所變之分母二十相乘得四百分為乘出之分母又以甲所變之分子十三與乙所變之分子十八相乘得二百三十四分為乘出之分子即定為四百分丈之二百三十四為所得之數也【此法甲乙之小分母俱為四故將其大分母之每分亦俱化為四分又將大分子之每分亦俱化為四分使大分與小分之子母一體然後乘之今以度數明之甲之五分丈之三乃一丈內之六尺其所帶小分之四分之一乃二尺內之五寸是甲數共為六尺五寸乙之五分丈之四乃一丈內之八尺其所帶小分之四分之二乃二尺內之一尺是乙數共為九尺六尺五寸與九尺相乘得五十八尺五十寸是一丈正方為一百尺而得其五十八尺又小餘五十寸也若以分母四乘一百尺得四百分又乘得數五十八尺五十寸得二百三十四分故為四百分之二百三十四也若以尺隨寸命之則五十八尺五十寸又為五千八百五十寸以大分每一分通為小分四分則每一千寸分為四分每分得二百五十寸以二百五十寸歸五千八百五十寸得二十三寸四十分乃四十分中之二十三又小零分之四分進而命為丈則為四百分丈之二百三十四也】
設如有甲數四分丈之三又帶此一分之七分之二與乙數九分丈之五又帶此一分之三分之一相乘問得幾何【為所得之數也此大小分】
法以甲數小分母七通大分母四得二十八仍以小分母七通大分子三得二十一再加入小分子二得二十三共得二十八分之二十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母三通大分母九得二十七仍以小分母三通大分子五得一十五再加入小分子一得一十六共得二十七分之一十六為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母二十八與乙所變之分母二十七相乘得七百五十六分為乘出之分母又以甲所變之分子二十三與乙所變之分子一十六相乘得三百六十八分為乘出之分子即定為七百五十【母俱不同者也】六分丈之三百六十八【如以真數明之甲四分丈之三即一丈內之七尺五寸又帶小分七分之二即二尺五寸內之七寸一分四厘二豪有餘是甲數共為八尺二寸一分四厘二豪有餘也乙九分丈之五即一丈內之五尺五寸五分五厘五豪有餘又帶小分三分之一即一尺一寸一分一厘一豪有餘內之三寸七分零三豪有餘是乙共為五尺九寸二分五厘九豪有餘也兩數相乘得四十八尺六十七寸六十五分有餘即七百五十六分丈之三百六十八也如以七百五十六分除三百六十八分亦得四十八尺六十七寸六十五分不盡之數葢七百五十六分為一百尺則三百六十八分自得四十八尺六十七寸六十五分有餘也】
設如有甲數八分丈之三又帶此一分之四分之一與乙數八分丈之四又帶此一分之六分之五相乘問得幾何【此大分母同而小分母不同者也】
法以甲數小分母四通大分母八得三十二仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得三十二分之一十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母六通大分母八得四十八仍以小分母六通大分子四得二十四再加入小分子五得二十九共得四十八分之二十九為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母三十二與乙所變之分母四十八相乘得一千五百三十六分為乘出之分母又以甲所變之分子十三與乙所變之分子二十九相乘得三百七十七分為乘出之分子即定為一千五百三十六分丈之三百七十七為所得之數也【二相乘問得幾何如以真數明之甲八分丈之三即三尺七寸五分又帶此一分之四分之一即三寸一分二厘五豪是甲數共為四尺零六分二厘五豪也乙八分丈之四即五尺又帶此一分之六分之五即一尺零四分一厘六豪有餘是乙數共為六尺零四分一厘六豪有餘也兩數相乘得二十四尺五十四寸四十二分有餘即一千五百三十六分丈之三百七十七也如以一千五百三十六分除三百七十七分亦得二十四尺五十四寸四十二分不盡之數葢一千五百三十六分為一百尺則三百七十七分自得二十四尺五十四寸】
設如有甲數六分丈之四又帶此一分之五分之一
與乙數九分 【四十二分有餘也】丈之七又帶此一分之五分之【此大分母不同而小分母同者也】
法以甲數小分母五通大分母六得三十仍以小分母五通大分子四得二十再加入小分子一得二十一共得三十分丈之二十一為甲大小分所變之數又以乙數小分母五通大分母九得四十五仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子二得三十七共得四十五分之三十七為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母三十與乙所變之分母四十五相乘得一千三百五十分為乘出之分母又以甲所變之分子二十一與乙所變之分子三十七相乘得七百七十七分為乘出之分子即定為一千三百五十分之七百七十七為所得之數也【如以真數明之甲六分丈之四即六尺六寸六分六厘六豪有餘又帶此一分之五分之一即三寸三分三厘三豪有餘是甲數共為六尺九寸九分九厘九豪有餘也乙九分丈之七即七尺七寸七分七厘七豪有餘又帶此一分之五分之二即四寸四分四厘四豪有餘是乙數共為八尺二寸二分二厘二豪有餘也兩數相乘得五十七尺五十五寸五十五分有餘即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分除七百七十七分亦得五十七尺五十五寸五十五分不盡之數葢一千三百五十分為一百尺則七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有餘也】
除法
零分歸除零分者兩分母兩分子各自除之所得之數即除出之分也如有竒零不盡者用互乘法齊之即得分數其比例與除出之法同
設如有九分丈之二以三分丈之一除之求得幾何法以九分丈之二為實三分丈之一為法以法分母三除實分母九得三為除出之分母又以法分子一除實分子二仍得二為除出之分子即定為三分丈之二為所得之數也此法即乘法內兩分母兩分子各相乘為所得之數者轉用之耳此零分除零分之法也
又法以互乘代除以實分母九乘法分子一得九為除出之分母又以法分母三乘實分子二得六為除出之分子共得九分丈之六即所求之數也此法與前法所得之分母分子之數雖不同而理則一前法之三分之二與此法之九分之六其比例實同葢前法以法除實其得數為減分之比例此法以兩數互乘其得數為加分之比例故九分之六即三分之二也但法中不用兩分母相乘之數省去一層耳如欲明晰其故則以兩分母九與三相乘得二十七法分母三與實分子二相乘得六實分母九與法分子一相乘得九是將三分之一變為二十七分之九將九分之二變為二十七分之六其兩分母既等則其兩分子自成比例故九與六之比即同於三與二之【六以三約之非三分之二耶】比九分之【如以真數明之實九分丈之二為面積即二十二尺二十二寸二十二分二十二厘有餘也法三分丈之一為邊線即三尺三寸三分三厘有餘也除之得六尺六寸六分六厘有餘即三分丈之二也如以三分除二分亦得六尺六寸六分六厘不盡之數葢三分為一丈其二分自得六尺六寸六分六厘有餘也】
整數歸除零分者分母通整數以除分子即得所求之數
設如有五分丈之三以八丈除之求得幾何
法以分子三為實以分母五通整數八丈得四十為法除之得七寸五分即所求之數也此法以五分乘八丈者是分母通整數將每丈俱通為五分也八丈既通為四十分則五分之三之每一分即與四十分中之每一分同等然而零數三分以四十分除之而得七寸五分者則又為變分為尺寸之比例矣四十分與一丈之比即同於三分與七寸五分之比此整數除零分之法也
零分歸除整數者分母通整數而以分子除之即得所求之數
設如有六丈以三分丈之二除之求得幾何
法以分母三通整數六丈得一十八為實以分子二為法除之得九丈即所求之數也此法以三分乘六丈者是將每丈俱通為三分也六丈既通為十八分則十八分中之每一分與三分之二之每一分同等故以分子二除十八得九丈此零分除整數之法也
整數帶零分歸除整數者先將法實之兩整數俱通為零分而於法中加入分子除之即得
設如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得幾何
法以分母三通二十四丈得七十二為實又以分母三通二丈得六加入分子二得八為法除之得九丈即所求之數也此法以分母三通實二十四丈是將實之每丈俱化為三分也又以分母三通法二丈是將法之每丈亦俱化為三分也兩整數俱化為同等則法實一體故法除實而得所求之數也此整數帶零分除整數之法也
整數歸除整數帶零分者先將法實之兩整數俱通為零分而於實中加入分子以法除之即得
設如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得幾何【即以前法數目作題者取其易明也】
法以分母三通二丈得六加入分子二得八為實又以分母三通二十四丈得七十二為法除之得一尺一寸一分不盡約為九分丈之一即所求之數也此法以分母三通法實之兩整數者是將兩整數之每丈俱通為三分也一得七十二分一得八分以七十二與八之比即同於九與一之比故約為九分之一且以七十二除八得一一一不盡之數定為一尺一寸一分有餘者葢七十二分與一丈之比即同於八分與一尺一寸一分有餘之比也此整數除整數帶零分之法也
整數帶零分歸除零分者先將整數通為零分加入分子除之即得
設如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得幾何
法以五分丈之四為實以法之分母八通三丈得二十四加入分子一得二十五共得八分丈之二十五為法用兩分母兩分子各自歸除之法以法分母八除實分母五得六二五為除出之分母以法分子二五除實分子四得一六○為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得二尺五寸六分即所求之數也葢法之三丈又八分丈之一乃三丈一尺二寸五分也實之五分丈之四乃八尺也以三丈一尺二寸五分歸除八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一尺二寸五分與一丈之比即同於八尺與二尺五寸六分之比也今以分母六二五除分子一六○亦得二尺五寸六分是六二五與一丈之比即同於一六○與二尺五寸六分之比也然六二五與三丈一尺二寸五分之比又即同於一六○與八尺之比而皆為加倍之比例也此整數帶零分除零分之法也又或整數通為零分加入分子之後以法除實而數有竒零不盡者則用互乘代除之法如前數已將整數通為八分丈之二十五為法乃以實分母五乘法分子二十五得一百二十五為除出之分母又以法分母八乘實分子四得三十二為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子亦得二尺五寸六分葢一百二十五分與一丈之比即同於三十二分與二尺五寸六分之比也後法之有竒零數而用互乘代除者皆同此例
零分歸除整數帶零分者先將整數通為零分加入分子以法除之即得
設如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求得幾何
法以實之分母三通四丈得十二加入分子二得十四共得三分丈之十四為實以七分丈之四為法用互乘代除之法以實分母三乘法分子四得十二為除出之分母以法分母七乘實分子一十四得九十八為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八尺仍餘二不盡命為十二分尺之二以法約之為六分尺之一共得八尺零六分尺之一即所求之數也葢十二與一尺之比即同於九十八與八尺有餘之比也此零分除整數帶零分之法也
整數帶零分歸除整數帶零分者先各以整數通為零分加入分子而以法除實即得
設如有田五畝又三分畝之二共租銀五兩又二十七分兩之一求每畝得租銀幾何
法以銀分母二十七通五兩得一百三十五加入分子一得一百三十六共得二十七分兩之一百三十六為實又以田分母三通五畝得十五加入分子二得十七共得三分畝之十七為法用互乘代除之法以銀分母二十七乘田分子一十七得四百五十九為除出之分母以田分母三乘銀分子一百三十六得四百零八為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八錢八分八厘零四百五十九分厘之四百零八即每畝所租之銀數也葢四五九與一兩之比即同於四○八與八錢八分八厘有餘之比也此整數帶零分除整數帶零分之法也
大零分下又帶小零分相除者其例有四【有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者】今以一法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然後以所變之子母數用互乘代除之法歸之即得【如用子母各自對除亦得但恐數有竒零故用此法】
設如有甲八分丈之七又帶此一分之五分之三以乙五分丈之二又帶此一分之四分之一除之求
法以甲小分母五通大分母八得四十仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子三得三十八共得四十分丈之三十八為甲大小分所變之數以之為實又以乙小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子二得八再加入小分子一得九共得二十分丈之九為乙大小分所變之數以之為法然後用互乘代除之法以甲所變之分母四十乘乙所變之分子九得三百六十為除出之分母又以乙所變之分母二十乘甲所變之分子三十八得七百六十為除出之分子乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十得二尺一寸一分一厘零三百六十分厘之四十約為九分厘之一即所求之數也葢三六○與一尺之比即同於七六○與二尺一寸一分一厘有餘之比也此大零分下帶小零分相除之法也【其分母分子俱同及分母同而分子不同分母不同而分子同者皆用此例故不重設】
御製數理精蘊下編卷二