數度衍 · 卷七

欽定四庫全書 數度衍卷七 桐城　方中通　撰 測量【勾股之六】 容方與余勾求余股法 式容方徑為丁乙一百五十餘勾為丁丙三十問甲戊余股防何曰七百五十術以容方徑自乗得二萬二千五百為實以余勾為法除實 得七百五十為余股 容方與余股求余勾法 式容方徑一百五十餘股七百五十問余勾防何曰三十術容方徑自乗得二萬二千五百為實以余股為法除實得三十為余勾 又式邑方二百步四面居中開門東門外十五步有木問出南門防步見木曰六百六十六步六分步之一術半邑方為容方東門外為余勾南門外為余股 測高式欲測甲乙之高去乙二十五尺立表於丙為丁丙高一丈卻後五尺立戊戊己高四尺使目在己視表末丁與甲為一直線問甲乙高防何曰四十尺術以丁丙表高十尺減戊巳目高四尺余丁辛六尺以乗庚辛二十五尺【與乙丙等】 得一百五十尺為實以丙戊五尺為法除實得甲壬三十尺加表高十尺得四十尺為甲乙之高 通曰丁辛容長方徑也丁壬庚辛容長方形也辛巳【與丙戊等】余勾也甲壬余股也容方則徑自乗容長方則橫徑直徑相乗也 測深式甲乙丙丁井欲測其深井徑甲乙五尺立戊甲表於井口高五尺従戊視丙截甲乙徑於己甲已四寸 問井深防何曰五丈七尺五寸術以 井徑五尺減甲巳四寸余己乙四尺 六寸以乗戊甲五尺得二千三百寸為實以甲已四寸為法除實得甲丁深五丈七尺五寸 通曰己乙容長方徑也戊辛余勾也乙丙余股也測逺式欲測甲乙之逺立乙丙巳丁四表成直角方形 丁乙與甲為直線每表相去一丈 乃於己表之右戊上視丙表與甲 為直線戊巳三寸問逺幾何曰三十三丈三分丈之一術乙丙自乗得一萬寸為實以戊巳三寸為法除實得甲乙逺三十三丈三分丈之一 通曰乙丙容方徑也戊已余勾也甲乙余股也 又式欲測甲乙之逺立丙乙表高十尺目従戊過丙視甲作直線目去表末為戊巳三寸人離表為己丙十尺問逺幾何曰三十三丈三分丈之一術以人離表一百寸乗表高一百寸得一萬寸為實以目去表三寸為法除實得逺此與右法同但彼用四 表此用一表為防耳丙乙容方徑也戊巳余勾也甲乙余股也 余勾余股求容方法 式丙丁余勾三十甲戊余股七百五十問丁乙容方徑幾何曰一百五十術余勾余股相乗得二萬二千五百為容方積開平方得一百五 十為丁乙徑 又式邑不知大小四中開門北門外三十步有木出西門七百五十步見木問邑方防何曰三百步術通曰北門外為余勾西門外為余股半邑方為容方徑也 兩餘勾與股求容方法 式丙丁余勾二十戊乙余勾十四甲乙股一千七百七十五問丁戊容方徑幾何曰二百五十術以丙丁余勾乗股得三萬五千五百倍之得七萬一千為實並二餘勾得三十四為從方開之橫 得二百八十四為乙丙勾直得二百五十為丁戊容方徑 又式邑方不知大小邊東開門北門外二十步有木出南門十四步折而西行一千七百七十五步斜見木問邑方幾何曰二百五十步術通曰北門外二十步一餘勾也南門外十四步一餘勾也西行股也邑方容方徑也 小勾股與大勾求大股法 式丙丁小股一百丁戊小勾二十五乙丙大勾三百一十二五問甲乙大股防何曰一千二百五十術以大勾為實以小勾為法除實得大 股 通曰小股一百此法極便如二百三百者先以小股乗大勾為實用異乗同除法也【見九章外法】 測高式塔不知高量其影従塔心至影末長三丈一尺二寸五分別立一表高一丈影長二尺五寸問塔高防何曰十二丈五尺術通曰塔影大勾也表小股也表影小勾也塔大股 又式八尺之表以測日影表去日下六萬里表影長六尺問日高几何曰八萬里術通曰六萬里大勾也以里法三百六十步步法五尺通之得一億八百萬尺表八尺小股也表影六尺小勾也日高八萬里大股也用異乗同除法【即三累法】以小股乗大勾為實以小勾為法除之或以大勾為實以小股除小勾得每尺影七寸五分為法除實皆得日高也 又式欲測甲乙之高以平鏡依地平線置丙人依地平線立丁目在戊見甲在鏡中心丙處丙至乙十尺丙至丁二尺目高四尺問甲乙高几何曰二丈術通曰乙丙大勾也丙丁小 勾也戊丁小股也 測廣式日逺人十萬里不知日徑以徑寸長八尺竹筒對日於竹筒視之空正掩日問曰徑幾何曰一千二百五十里術通曰日逺人大勾也徑寸小勾也筒長八尺小股也 測逺式欲測甲乙之逺立一丙兩表從丙斜退至丁目望丁丙甲成一直線乃作丙丁戊直角以此測之術通 曰丁角與乙角等直角也 乙丙線與丁戊線相遇於 戊故以丙丁小勾比乙丙 大勾戊丁小股比甲乙大股也 兩餘勾兩破股小股求大勾大股法 式戊已丁丙兩餘勾各十二【相等】丙庚小破股六十己辛 火破股一百己丙小股八十問甲乙 勾幾何乙丙股幾何曰大勾三十六 大股一百二十術通曰以小股八十 乗余勾十二得九百六十為勾實以 小股八十乗小破股六十得四千八百為股實小破股六十與大破股一百相減餘四十為法以法除勾實得二十四加余勾十二得三十六為大勾以法除股實得一百二十為大股 測高逺式欲測甲乙之高乙丙之逺用重表法先立丁丙表高十尺卻後立於戊去丙五尺目在己已戊高四尺視表末丁與甲為直線次從前表丙卻後十五尺立癸壬表亦高十 尺【兩表等】又卻後立於子去壬八尺目在醜醜子亦高四尺【兩目等】從目視癸甲亦直線問甲乙高几何乙丙逺幾何曰高四十尺逺二十五丈術以表高十尺減目高四尺餘六尺即丁寅【癸辛等】與兩表相去之壬丙十五尺相乗得九十尺為高實以兩次人去表之己寅丑辛相減余卯辛三尺為法除高實得甲辰三十尺加表高十尺得甲乙高四十尺以丙戊五尺與兩表相去之壬丙十五尺相乗得七十五尺為逺實以法三尺除之得乙丙逺二十五尺 通曰丁丙癸壬兩餘勾也丙戊小破股也壬子大破股也壬丙小股也高大勾也逺大股也 測深廣式有甲乙丙丁壁立深谷欲測甲乙之廣乙丙之深用重矩法先立辛甲表與甲丁參直又立癸己表兩表甲巳相去六尺從辛甲表視己丙作直線截表於庚庚甲高五尺又従辛甲表視辛癸丙作直線兩表相較得辛壬高八尺壬甲高一丈五尺問深廣各幾何曰乙丙深二 十五尺甲乙廣三十尺術以小表一丈五尺乗兩表相去甲己六尺得九十尺為廣實庚甲與辛壬相減余辛子三尺為法除廣實得甲乙廣三十尺以小表一丈五尺乗庚甲五尺得七十五尺為深實以法三尺除之得乙丙深二十五尺 通曰甲巳癸壬兩餘勾也庚甲小破股也辛壬大破股也壬甲小股也廣大勾也深大股也 測高逺式樹二表各高八尺南北相去二千里以測日影夏至之日南表影長六尺北表影差二寸問曰高逺各幾何曰高八萬里日下去南表六萬里南表之端斜至日十萬里術 二表兩餘勾也北表影南表影兩破股也南北相去小股也日下去南表大股也日高大勾也斜至曰?也 測勾破勾兩測股求大勾大股法 式丙丁測勾四十三二丙巳破勾十丙戊小測股十四 八丙壬大測股六十四八問大勾大 股各幾何曰甲乙大勾二千五百乙 丙大股三千六百八十五二術通曰以測勾四十三二減破勾十餘三十三二乗小測股十四八得四千九百一十三六為勾實以大測股六十四八乗破勾十得六千四百八十以測勾四十三二除之得十五為景差又以大測股六十四八減景差十五餘四十九八以小測股十四八乗之得七千三百七十○四為股實以小測股減景差餘二為法以法除勾實得二千四百五十六八加測勾四十三二得二千五百為大勾以法除股實得三千六百八十五二為大股 測廣逺式方城不知大小立兩表東西相去四十三步 二分齊人目處以索連之令東表與 城東南隅東北隅參直従東表退北 行去表十四步八分遙望城西北隅入索東端十步若從東表退北行去表六十四步八分遙望城西北隅適與西表相參合問城方防何城去表幾何曰城方二千五百步城去表三千六百八十五步二分術以兩表相去減入索餘三十三步二分以乗東表退行十四步八分得四千九百一十三步六分為廣實以東表大退行六十四步八分乗入索十步得六千四百八十步以兩表相去四十三步二分除之得一十五步為景差又以大退行六十四步八分減景差十五步餘四十九步八分以退行十四步八分乗得七千三百七十步零四分為逺實以退行十四步八分減景差十五步餘二分為法以法除廣實得二千四百五十六步八分加兩表相去四十三步二分得二千五百步為城方【西至束】以法除逺實得三千六百八十五步二分為城去表也 通曰城方大勾也城去表大股也兩表相去測勾也入索破勾也小退行小測股也大退行大測股也 四餘勾兩破股小股破勾求上勾下勾大股法 式戊丁壬癸兩大余勾皆一百五十庚辛子丑兩小余勾皆四十癸丁小股四千戊已破勾五十六丁辛小破股一千五百癸丑大破股二千五百問上勾下勾大股 各防何曰甲乙上勾二百八十乙丙 下勾三百一十丙丁大股六千術通 曰以小股四千乗破勾五十六得二 十二萬四千為上勾實以大余勾一 百五十減小余勾四十及破勾五十六餘五十四乗小股四千得二十一萬六千為下勾實以小破股一千五百與大破股二千五百相減餘一千為法以法除上勾實得二百二十四加破勾五十六得二百八十為甲乙上勾以法除下勾實得二百一十六加大余勾一百五十得三百六十六減破勾五十六得三百一十為乙丙下勾又以大余勾減小余勾餘一百一十乗小股得四萬四千為大勾實以法除之得四百四十加大余勾得五百九十為甲丙大勾以小股乗小破股得六百萬為大股實以法除之得六千為丙丁大股 通曰此測兩高與逺也與前兩餘勾兩破股小股求大勾大股法相同但多上勾下勾耳兩大余勾兩表也兩小余勾兩人目至足也勾高也股逺也 兩測股兩破勾測勾求大勾法 式丙丁測勾九百丙戊小測股六百丙庚大測股一千 三百五十己丙大破勾四百零二 辛丙小破勾一百二十問大勾防 何曰甲乙大勾三萬術通曰以大 測股一千三百五十乗大破勾四百零二得五十四萬二千七百以測勾九百除之得六百零三為景差以與小測股六百相減餘三為法以小測股與大測股相減餘七百五十又乗小破勾一百二十得九萬為實以法除實得三萬為甲乙大勾 通曰此測廣也與前測勾破勾兩測股求大勾大股法相同但多乙戊直線耳丙丁兩表也戊庚兩目望也勾廣也 勾股互求高深廣逺圖説 通曰直為高深橫為廣逺勾可以為股股可以為勾以小知大以此知彼惟善測者善用之耳甲乙為股則乙丙為勾酉丙為股則甲酉為勾午丙為股則午庚為勾庚丑為股則丙丑為勾如求甲乙之高金水作表丙作目求丑丙之逺木土作表甲作目求未丙之深木火作表甲作目求甲酉之廣日月作兩表丙丁為目斜望用異乗同除三率之法高深廣逺雖分而合矣 附法 用矩尺測兩廣法 式登山臨邑邑在山南不知廣縦偃矩山上勾高三尺 五寸與邑東南隅東北隅 參合從勾端望東北隅入 下股一丈二尺隨於入股 處橫設一矩從勾端望西 北隅入橫股五尺若望東 南隅入下股一丈八尺又重設矩於上相去四丈從勾端望東南隅入上股一丈七尺五寸問邑廣縱幾何曰東西廣二萬寸南北廣二萬四千寸術以勾高戊子三十五寸乗東南隅入下股庚子一百八十寸得六千三百寸以入上股癸丑一百七十五寸除之得三十六寸與勾高戊子三十五寸相減餘一寸為法以東南隅入下股庚子一百八十寸與東北隅入下股己子一百二十寸相減餘六十寸以乗兩矩相去丑子四百寸得二萬四千寸為南北實以法除之得南北廣以西北隅入橫股辛已五十寸乗兩矩相去丑子四百寸得二萬寸為東西實以法除之得東西廣 用矩尺測逺法 式欲測甲乙之逺先於甲立丁甲表以矩尺置表末丁矩戊對乙成丁戊乙直線問甲乙逺幾何曰八尺術須視矩丙對何處今對巳為丁丙己直線乃量己甲二尺為法表高四尺自乗得十六尺為 實以除之得八尺為逺 用交表測逺法 式欲測乙戊之逺先立甲乙表後於庚斜加小表為丙丁以丁對戊為度成庚丁戊直線問乙戊逺幾何曰八尺術須丙丁小表族轉又於丁對 處已成庚丁已直線自乙至巳得八尺必與乙戊等 用表測斜高法 式欲測甲至丙從丁視甲丙作直線丁乙八尺丁甲十尺乙戊十二尺問甲丙斜高几何曰十五尺術以丁乙八尺為法以丁甲十尺與乙戊十二尺相乗得一百二十為實以法除之得十五尺為甲 至丙也 器測【勾股之八】 矩度 甲丁與甲乙等甲丙斜分乙 丙為直景丁丙為倒景以甲 乙相對測際眼穿戊己兩耳 與其際作直線視權線垂何 景何度也今止分十二度若 細分更精其兩景別有論解 測高法 權線垂丙式高如己庚景在地平上為庚辛以矩度測之甲對己兩耳與辛巳作直線權線垂丙為高防何術凡權線垂丙者景與高必等也今辛庚四十五尺則己庚亦四十五尺 權線垂直景邊式高如己庚景如庚辛權線垂乙丙邊之戊乙戊八度庚辛景三十為高防何術以表度十二與庚辛三十相乗得三百六 十為實以乙戊八度為法除之得四十五為己庚之高權線垂倒景邉式高如己庚庚辛景六十七五權線垂丁丙邊之壬丁壬八度為高防何術以庚辛與丁壬相乗得五百四十為實以表度 十二為法除之得四十五為己庚之高 通曰高大於景權線必垂直景邊高小於景權線必垂倒景邊 測逺法 權線垂丙式高如己庚景如庚辛權線垂丙為景防何 術己庚四十五則辛庚亦四十五 通曰景測高以甲對高高測景以乙對景景逺也 權線垂直景邉式己庚高四十五權線垂戊八度為庚辛景幾何術以己庚與乙戊相乗得三百六十為實以表度十二為法除之得三十為庚 辛景 權線垂倒景邉式己庚高四十五權線垂壬八度為庚辛景防何術以表度十二與己庚相乗得五百四十為實以丁壬八度為法除之得六十七五為庚辛景 以目測高法 於矩度外又用一有度分之表人目切表端矩度亦切表端穿兩耳向測處作直線為度也 權線垂丙式高如己庚表如乙辛高四尺表端人目從矩度乙甲視巳為直線權線垂丙為高几何術乙壬四十五卽巳壬加表高四尺得四 十九為己庚之高 權線垂直景邊式庚辛三十權線垂戊八度為己庚高几何術以表度十二乗庚辛得三百六十為實以乙戊八度為法除之得己壬四十 五加表高四得四十九為己庚之高 權線垂倒景邊式庚辛六十七五權線垂壬八度為己庚高防何術以庚辛乗丁壬八度得五百四十為實以表度十二為法除之得己癸四十五加表高四得四十九為己庚之高 通曰地平線上任意前後至權線直丙而止較便 以目測逺法 權線垂丙式逺如己庚表如甲巳目在甲權線垂丙為逺幾何術表高甲巳四尺則己庚亦逺四尺也 權線垂直景邊式甲已表高四尺權線垂戊九度為己庚逺防何術以乙戊九度乗表高四得三十六為實以表度十二為法除之得三尺 即己庚之逺 權線垂倒景邊式甲巳表高四尺權線垂壬八度為己庚逺防何術以表度十二乗表高四得四十八為實以丁壬八度為法除之得六尺即己庚之逺 通曰測高目在矩之乙測逺目在矩之甲 以目測深法 權線垂丙式深如己壬目在甲視甲乙己辛為直線己庚口四尺權線垂丙為深幾何術己壬與己庚等亦四尺也 通曰此不另用表而量己庚口者即口濶為表長是前用直表而此用橫表也 權線垂直景邊式己庚四尺權線垂戊六度為己壬深幾何術以表度十二乗己庚四得四十八為實以乙戊六度為法除之得八尺即己 壬之深 權線垂倒景邊式己庚四尺權線垂癸九度為己壬深幾何術以丁癸九度乗己庚四得三十六為實以表度十二為法除之得三尺即己壬之深 倒景變直景圖說 通曰十二其十二得一百四十四以矩度為準也故一度變為一百四十四度以此一百四十四度為實以所值度為法除實即得變度也 度線皆起甲端漸移至丁 至乙各分十二也 通曰倒景過丙丁邊抵丙 戊線則變為直景猶之直 景過乙丙邊抵丙巳線則 變為倒景也倒景十一度 直景則為十三度一分倒 景十度直景則為十四度四分倒景九度直景則為十六度倒景八度直景則為十八度倒景七度直景則為二十度五分七厘倒景六度直景則為二十四度倒景五度直景則為二十八度八分倒景四度直景則為三十六度倒景三度直景則為四十八度倒景二度直景則為七十二度倒景一度直景則為一百四十四度也以直景推之亦然 重矩測高法 通曰測高而不知逺此求無股之勾也法皆用直景即權線在倒景邊亦變為直景用之 皆直景式欲測己庚之高先立乙辛表目在辛上乙權 線垂戊五度又立乙癸表目在癸上 乙權線垂子十度兩表相去十尺表 高四尺為高防何術以兩度相減余 五度為法以表度十二乗兩表相去 十尺得一百二十為實以法除實得二十四尺即己至壬加表高四尺得二十八尺為己庚之高 通曰辛表為直景癸表或有倒景之時癸表為直景辛表無不直景矣 有倒景式欲測己庚之高先立乙辛表權線垂戊十一度又立乙癸表權線垂子九度乃倒景也今變作直景為十六度兩表相去二十尺表高四尺為高防何術以十六度減十一度餘五度為法以表度十二乗兩表相去 二十得二百四十為實以法除實得四十八尺即己至壬加表高四尺得五十二尺為己庚之高 數度衍卷七