神秘主義與邏輯及其他論文 · 第四章 數學學科

對於每一種形式的人類活動，我們都必需不時地問一問，它的目的和目標是什麼？它在什麼方面促進人類存在的美？關於那些通過提供生命機理而只是遠距離地產生促進作用的研究活動，提醒人們注意以下這一點是合適的：在思考重要的事物時，並非活單純的活著的事實而是關於如何活著的藝術才是值得我們想望的。對於那些在自身之外沒有目的的業餘活動，以及那些因實際增加了這個世界永久財富之總量而將得到正當性證明——假如終究能被證明——的業餘活動，則更需要始終以某種方式知悉它們的目標，而此種知悉即在於清晰地預見創造性想像體現於其中的殿堂。 很遺憾，在與形成那種慣常決定用來訓練年輕人頭腦的材料的學科有關的東西中，這種要求的滿足實際上幾乎是不可能的，甚至於單純陳述這樣一種主張都顯得荒謬。一些偉大的人物充分意識到沉思活動之美，畢生致力於提供此種美的服務，並希望其他人可以分享他們的快樂；他們說服人類向後代傳授機械性的知識，沒有這種知識就不可能跨過門檻。乾癟的學究自身占有灌輸這種知識的特權：他們忘記了這種知識只能用作打開殿堂之門的鑰匙；雖然他們把生命都耗在向上通往那些神聖之門的台階上，但他們掉頭不顧這座殿堂，並且態度堅決，以至於完全忘記了其真正的存在，而那些肯奮力向前並初步看到其屋頂及拱門的熱切的年輕人，則被吩咐轉過身來去數這些台階。 數學已遭遇這種它在文明中的應有地位被人遺忘的情形，而且它的這種處境甚至也許比希臘與羅馬學科還糟糕。儘管傳統要求絕大多數受過教育的人至少要知道這門學科的基本原理，但傳統因之產生的理由卻被人遺忘了，並被埋葬在一個由迂腐和淺薄之物構成的巨大的垃圾堆下。對於那些追問數學目的的人來說，通常的答案將是它促進了機器的製造、從一地到另一地的旅行，以及不管在戰爭中還是在貿易中針對外邦的勝利。假如有人反對說，這些目標——它們全都具有不明確的價值——沒有受到那些並未成為專業數學家的人所不得不接受的純粹基礎課程的促進，那麼答覆確實很可能在於數學訓練推理能力。然而，恰恰是作出這種答覆的人多半不願意放棄某些明確的謬誤推理的傳授，而每一個聰明的學習者的樸素思維都知道那些謬誤推理，並會本能地拒絕它們。那些強調培養推理能力的人通常把這種能力本身構想為單純的避免陷阱的手段以及發現實際生活指導準則的幫手。不可否認，所有這些都是可歸於數學名下的重要成就；然而，這些當中無一能讓數學有資格在每一種自由教育中占有一席之地。我們知道，柏拉圖認為人們若思考數學真理就擁有了神性；而且，關於人類生活中在天國擁有一席之地的那些成份是什麼，他或許比任何其他個人都有更多的認識。柏拉圖說，在數學中「有某種必然的且不能棄之不問的東西……，假如我沒有弄錯的話，那就是具有神的必然性的東西；因為，至於許多人在這方面所談及的人的必然性，再沒有比這樣應用這些詞更可笑不過了。【克列尼亞斯】那麼，陌生人，知識中這些神的而非人的必然性是什麼呢？【雅典人】對於有些東西，一個人若不以某種方式使用或知曉它們，他就不能成為世界的一個神，也不能成為一個精靈，甚至不能成為一個英雄，不能熱切思考並關心人類；所謂神的必然性就是這樣的一些東西」（《法律篇》第818頁）注23。這就是柏拉圖對數學的判斷；但是，數學家們不讀柏拉圖，而那些讀柏拉圖的人又不懂數學，並認為他在這個問題上的意見只是一種離奇的偏離常軌的東西。 從正確的角度看，數學不僅擁有真理，還擁有至上的美；有如雕塑之美，這是一種冷靜的、簡樸的美。這種美無須訴諸我們較弱的天性的任何部分；而且它雖沒有繪畫或音樂的那種絢麗裝飾，卻有一種令人崇敬的純粹，並能表現出一種唯有偉大的藝術才能顯示出來的嚴格意義上的完美。作為最卓越的東西的試金石，真正的快樂心境、興奮及超出人的存在的感覺，肯定都會在數學中發現；這與在詩中的情形是一樣的。數學中最好的東西不僅值得作為一種任務來學習，而且亦值得作為日常思想的一部分來吸收，並通過持續不斷的鼓勵時時記於心間。對於絕大多數人來說，真實的生活是一種長久的居第二位的東西；它是理想與可能之間的一種連續不斷的妥協的產物。但是，純粹理性的世界並不知道什麼是妥協，並不知道什麼是實際的限度，並不知道什麼是創造性活動的障礙；創造性活動把人們對完美的熱情追求都具體化為一座座輝煌的大廈，而一切偉大的作品都是從此種追求中產生的。遠離人的熱情，甚至遠離大自然的可憐的事實，一代又一代的人已逐漸創造一個有序的宇宙。在這個宇宙中，純粹的思想，就像在其天然之家一樣，能夠棲息下來；而且在這裡，我們的高貴衝動中至少有一種可以逃避現實世界的令人沮喪的放逐。 然而，數學家們極少追求美，以至於他們的工作中幾乎沒有什麼東西具有這種自覺的意圖。由於一些不可抗拒的本能（這些本能曾比被公開聲稱的信念更有效），許多工作都已被一種不自覺的趣味模型化了，但亦有許多工作已為在什麼是適當的這個問題上的錯誤觀念所損害。僅在出現嚴格意義上的邏輯推理的地方，數學特有的卓越之處才會被發現；邏輯規則之於數學正如構造規則之於建築學。在最出色的工作中，會呈現出一個證明的鏈條；在此鏈條中，每一個環節從其自身來說就是重要的，並且整個鏈條自始至終都有一種自然而又清晰的外觀。此外，在證明中，通過一些看似自然而又不可不用的方法，從前提中引出的東西將比原先認為可能會得到的東西更多。文學把一般的東西具體化於特殊的事實，而這些特殊事實的普遍意義顯露並貫穿於其個體化的外觀中；但是，數學努力呈現任何一種純粹意義上的極其一般的東西，而無任何不相關的裝飾。 應該如何進行數學教學，以便向學習者傳授盡可多的這種高級理想呢？這裡，經驗必須在很大程度上作為我們的指南；但是，一些基本原理可以從我們對將要獲得的終極意圖的思考中產生。 當以正確的方式傳授時，數學所服務的主要目標之一，就在於喚醒學習者對理性的信念和他對被證明之物的真理性及證明之價值的確信。現行的教育活動並沒有滿足這種意圖；但是，我們容易看到它在其中可能被滿足的一些方面。當前，在涉及算術的教學中，兒童被給予一組規則；這些規則自身既未表現為對的東西，亦未表現為錯的東西，而只表現為教師的意志，即表現為教師因某種難以理解的理由而偏愛遊戲得以開展的方式。從某種程度上講，在具有這樣的明確的實際功用的課程中，這種情況無疑是不可避免的；但是，應該儘早通過任何一種最容易對兒童產生吸引力的方法來闡述關於規則的理由。在幾何學中，不應再有以靠不住的方式證明顯而易見的自明之理時所出現的那種冗長乏味的裝置；這些自明之理構成歐幾里得幾何學的開端。學習者應該首先被允許去假定一切顯而易見的東西的真理性，並應該在對某些定理的證明中得到訓練；所說的那些定理，指的是會立即讓人感到吃驚並容易通過實際畫圖而得以證實的定理，比如可以表明三條線或更多條線相交於一點的那些定理。通過這種方式，信念就產生了；我們看到，推理可以導致一些令人吃驚的結論，然而事實又將證實它們。因此，對任何抽象的或理性的東西的本能上的不信任，就逐漸地被克服了。在出現深奧定理的地方，那些定理應該首先在幾何畫圖時作為習題教給學習者，直至他們徹底熟悉圖形；然後，教之以所出現的各種線或圓的邏輯聯繫就會是一種令人愉快的進步。同樣值得期望的是，闡明一個定理的圖形應該畫在所有可能的例子與形態中，而且幾何學所關心的抽象關係，因此可自動作為如此巨大而又明顯的差異中的相似性之殘餘而出現。通過這種方式，抽象證明應該只形成教學活動的一小部分，而且當學習者通過熟悉具體的例子而意識到抽象證明是可見事實的自然體現時，我們就應該給出這樣的證明了。在此早期階段，當進行證明時，我們不應該追求學究式的完美。一些明顯錯誤的方法，比如疊加法，應該嚴格地從第一階段排除；但是，當因為沒有這樣的方法而導致證明將會非常困難時，我們應該通過與證明形成清晰對比的論證和說明來讓結論變得可接受。 在代數學的開端，連最聰明的兒童通常也會感到有很大的困難。字母的使用是一種神秘；除了使其神秘化外，這種使用沒有任何目的。起初，兒童幾乎不可能不這樣想：每一個字母都代表某個特殊的數目，但願老師會泄露它代表什麼數目。事實上，在代數學中，心靈首先被教導去思考一般真理，即被斷言不只對於這種或那種特殊事物而是對整個一組事物中任何一個都有效的真理。正是理解並發現這樣的真理的能力，才體現著智力對由現實的或可能的事物所構成的整個世界的掌控；而且處理一般本身的能力是數學教育應該贈予的禮物之一。但是，代數學老師對把代數學從算術中分離出來的裂縫所能做出的解釋通常少得可憐，而且學習者在探索性地尋求理解時所得到的幫助也是少得可憐。一般說來，算術中已被採納的方法會被繼續使用：一些規則是在其根據未得到充分解釋的情況下被陳述的；小學生們盲目地學習使用這些規則，而且不久，當他們能夠獲得老師想要的答案時，他們覺得自己已征服了這門學科的困難。但是，在如何內在地理解所使用的這些步驟的問題上，他很可能幾乎什麼也沒有習得。 當既已學習代數學時，在我們開始接觸那些運用無窮概念的課程即微積分和整個高等數學之前，一切都將很順利。針對圍繞在數學上的無窮概念周圍的困難而提出的解決方案，很可能是我們自己這個時代引以為自豪的最偉大成就。從希臘思想的開端，這些困難就已被人認識到了；每一個時代具有最非凡才智的人，都在徒勞地嘗試回答由愛利亞的芝諾所提出的那些顯然回答不了的問題。最後，格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）發現了問題的答案，並為智力征服了一片原已交給混亂及古老黑夜的新的巨大領域。假如從任意事物集合中拿走一些事物，那麼剩餘事物的數目一定總是少於原先的事物的數目；在康托爾和戴德金（Dedekind）確立相反的命題之前，這一點曾被假定為自明的。事實上，這個假定只對有限的集合有效；而且人們已經表明，在涉及無限的地方，若擯棄這個假定，就將清除在這個問題上迄今一直讓人類理性感到困惑的所有困難，並使得創造一種精確的關於無限的科學成為可能。這一令人驚嘆的事實應該在高級數學教學中引起一場革命；它已將自身不可估量地添加到了這門科目的教育價值中，並且最終為用邏輯的精確性處理許多課程提供了手段，而那些課程直到不久前還籠罩在謬誤與晦暗之中。那些依據舊的思路接受教育的人認為，這項新的工作是極其費力的、難解的、模糊的，以至於讓人覺得害怕。此外，我們必須承認，發現者自己常常也幾乎沒有從他的才智之光正在驅散的霧靄中現身。但本質上，對於所有坦誠而又愛探究的心靈來說，新的無限學說已經促進了對高等數學的掌控，這是因為，迄今為止，對於有些論證，我們雖在初次接觸時就正確地判斷它們是混亂和錯誤的，但一直都必須通過一個長期的複雜過程，去學習如何同意它們。既然如此，我們遠未產生一種對理性的無畏的信念，即遠不能勇敢地拒絕任何不能滿足最嚴格的邏輯要求的東西；由於這一點，在過去的兩個世紀中，數學訓練助長了這樣的信念，即對於許多東西，一種嚴格的探究會把它們作為謬誤加以拒絕，但因為它們在數學家所謂的「實踐」中起作用，所以仍然必須被接受。通過這種方法，一種膽小的妥協的精神，要不就是一種為俗人所無法理解的對神跡的神父式信念，已經在單獨由理性主宰的地方得到了培育。現在是清除掉所有這一切的時候了；讓我們立即把真實的理論教給那些希望洞察數學秘密的人，而且這種教學要在相關實際存在物的真正本質所確立的連結中進行，並完全只關心所涉及的理論的邏輯性質。 假如我們認為數學自身就是一種目標，而非是對工程師的一種技術訓練，那麼保持其推理的純粹性與嚴格性就是非常可取的。因而，我們應該讓那些已充分了解其相對容易的部分的人，從已作為自明之理而得到他們同意的命題，回到先前作為前提出現的東西可以從中演繹出來的一些越來越基本的原理。我們應該教導他們的是，許多命題對未經訓練的心靈而言似乎是自明的，但在近距離的審查之下仍被表明是錯誤的；無限理論很容易闡明這一點。通過這種方法，他們將被引導著去對最先的原理作一種懷疑式的探究，即考察整個推理大廈建立於其上的基礎，或者說考察——作一個也許更恰當的比喻——擴展的樹枝由之長出的樹幹。在這個階段，如果重新學習數學的基礎部分，且不再只問一個特定的命題是否為真，也要問它是如何由中心邏輯原理演繹出來的，那將是合適的。現在我們能夠準確並有把握地回答這種性質的問題了，而如果放在以前，這些問題完全不可能得到回答；並且，在這種回答所依賴的推理鏈條中，全部數學門類之間的那種統一性最終也將展現自身。 在絕大多數的數學課本中，完全缺少一種方法上的統一性以及對中心論題的一種系統的展開。不同種類的命題通過任意一種被認為最容易理解的方法而得到證明，而且大量的證明空間被給予了對主要論證不起一點作用的單純求知慾。但在最偉大的作品中，統一性和必然性是在一齣戲劇的展開中被人感覺到的；在前提中，一個主題被提出來供人思考，而且就對其性質的把握而言，在隨後的每一個步驟中，我們都會取得某種明確的進步。對體系的愛，或者說，對相互聯繫的愛，也許是知識衝動的最秘密的本質；這種愛能夠在數學中發現自由的空間，而在其他地方是發現不了的。感受到這種衝動的學習者不可因一連串無意義的例子而產生厭惡，也不可因一些令人開心的怪異之物而分心，但我們必須鼓勵他們常常去思考中心原理，去熟悉放在他面前的各種不同主題的結構，去輕鬆完成更重要的演繹步驟。通過這種方式，一種好的心境就養成了，並且選擇性注意力就習慣於先去思考重要和必要的東西。 當分門別類的數學課程中的每一門都被已看作一個邏輯上的整體以及一種從構成其原理的命題中自然生長出來的東西時，學習者將有能力理解統一整個演繹推理並使其成為一體的基本科學，即符號邏輯。這門學科雖由亞里士多德所開創，然而就其諸多更廣泛的發展結果而言，它幾乎完全是十九世紀的產物，而且在今天，它實際上還在極快速地成長著。符號邏輯中真實的發現方法，就在於著眼於發現所使用的原理，來分析演繹推理的實際例子；而且，這種分析很可能也是把這門學科介紹給熟悉數學中其他部分的學習者的最好方法。這些原理多半都深入到了我們的推理本能中，從而導致我們完全意識不到我們使用了它們，並且只能通過許多耐心的努力才能使它們暴露出來。但是，當它們最終被發現時，我們看到它們在數目上是很少的，而且是純數學中一切東西的唯一來源。發現所有數學都不可避免地產生於一個由少量幾條基本法則所構成的集合，無限提升了整體所具有的知識上的美；對於那些被當前絕大多數演繹鏈條的不連續性及不完全性所壓制的人，這種發現是帶著一種啟示所具有的全部勢不可擋的力量而到來的；就像隨著旅行者沿義大利的一座小山腰向上攀登時而從秋霧中浮現的一座宮殿一樣，數學大廈的那些宏偉樓層依其應有的順序和比例出現了，並且該大廈的每一部分都體現著一種新的完美。 直到符號邏輯發展到其當前的階段，數學所依賴的原理才總被設想為是哲學的，並且只有通過哲學家們迄今所使用的那些不確定的、保守的方法才能被發現。只要持有這樣的看法，數學似乎就不是獨立的，而是依賴於另一門學科；與數學自身的方法相比，這門學科擁有一些完全不同的方法。此外，由於算術、分析學及幾何學將會由之演繹出來的那些假定的性質被籠罩在一切傳統的形上學討論的晦暗之中，建立在這樣的可疑的基礎上的大廈實際上開始只被看作空中樓閣。就此而言，由於發現真實的原理就如其任何一種推論一樣也是數學的一部分，我們已在很大程度上提升了將要獲得的理智上的滿足。那些不能分享此種滿足的學習者不應該拒絕它，因為它會提升我們對人的力量及關於抽象世界的美的知識的尊重。 哲學家們通常認為，數學背後的邏輯法則就是思維法則，即調節我們頭腦運行的法則。這種看法在很大程度上降低了理性的真正的尊貴；它不再是對所有實際的及可能的事物的真正核心和不變本質的研究，相反倒成了對某種或多或少與人相關並受制於我們自身的局限的事物的探究。思考與人無關的東西，發現我們的心靈有能力處理並非由其創造的物質，尤其是認識到美既為內在事物所擁有也為外在事物所擁有，是克服令人恐怖的無力感、脆弱感及身陷諸多不友好力量中間的被放逐感的主要手段，這些感覺極容易因承認幾乎無所不能的異己力量而產生。通過展示其令人敬畏的美而讓我們甘心於命運的統治，是悲劇的任務；而所謂命運，只是這些力量在文學作品中的擬人化表達。但是，數學把我們帶到了離與人相關的東西更遠的地方，並進入絕對必然性領域；對於這種領域，不僅實際的世界，而且每一種可能的世界，都要與其相一致。而且，它甚至在這個領域中建立了一個住所，或者說發現了一個永久存在的住所；我們的理想在這個住所中得到了充分的滿足，而且我們最好的希望沒有遇挫。僅當我們完全理解了我們自己的全部獨立性時，我們才能充分認識到數學之美的根本重要性。 不僅數學獨立於我們及我們的思想，而且在另外一種意義上，我們以及由全部現存事物所構成的整個宇宙則又獨立於數學。假如我們要正確地理解作為藝術門類之一的數學的地位，對這種純粹理想的特徵的領會是必不可少的。人們先前設想，純粹理性能在某些方面對實際世界的性質作出判定：至少，幾何學曾被認為是處理我們居住於其中的空間的。但我們現在知道，純數學完全不能對關於實際存在之物的問題發表意見：在某種意義上，理性世界控制事實世界，但絕不創造事實；而且在把結果應用於處在時間和空間中的世界時，其確定性與精確性就將消失在一些近似的東西及作業假說中。在過去，數學思考的對象主要是現象所讓人想到的那一種；但是，抽象的想像應該完全擺脫這樣的限制。因而，理性與事實之間一定有一種相互授予的自由：理性不能對事實世界發號施令，但是，當理性對美的愛使得一些對象似乎值得人們的思考時，事實亦不能限制理性處理任意一種這樣的對象的特權。在這裡，像在其他地方一樣，我們將從所發現世界的碎片中逐步建立起我們自己的理想，而且到頭來難說結果是一種創造，擬或是一種發現。 在教學中，一種非常可取的做法是，既讓學生相信重要原理的準確性，又在所有可能的方式中以擁有最多的美的那一種做到這一點。像傳統的闡述方式所表明的那樣，對一種證明的真正興趣並不完全集中在結果上；當這種情況確實發生時，必須把它看作一種缺陷，並且如果可能的話，要對這種缺陷進行糾正，而糾正的方式則在於對證明的步驟進行概括，並讓每一個步驟就其自身而言且對其自身而言都變得重要。只用來證明一個結論的論證類似於一個以某種寓意為中心思想的故事，而此種寓意則是人們所要傳授的東西：對於美的完善性而言，整體的任何部分都不應該僅僅是一種手段。某種講究實際的精神，或者說，一種快速取得進步與征服新的領域的願望，應對數學教學中盛行的那種過分強調結果的行為負責。比較恰當的方式是提出某個題目以供思考；這樣的題目，在幾何學中是一種擁有若干重要性質的圖形，而在分析學中則是一種若加以研究就會給人以啟發的函數，如此等等。每當證明僅僅依賴於我們用來定義所要研究的對象的某些標誌時，這些標誌應該被分離出來加以單獨審查；這是因為，在論證中，使用比結論所需更多的前提是一種缺陷：僅僅使用論點由之得到證實的必要的原理，才會產生數學家們所謂的優美。歐幾里得的一個優點就在於，他能儘量在不使用平行公理注24的情況下往前推進。這並非如通常所說的那樣是因為這條公理本質上是會引起反對的，而是因為在數學中，每一條新的公理都會降低它所產生的定理的一般性，而最高的可能的一般性出現在一切被尋求的東西面前。 關於數學在其自身範圍以外的影響，人們已寫下了一些東西；這些東西比在數學自身的固有理想這一主題上的著述還要多。過去，數學對哲學的影響是最顯著的，但又是最具多樣性的；十七世紀的唯心論與唯理論，以及十八世紀的唯物論和感覺論，似乎都是這種影響的產物。關於數學在未來可能會產生的影響，如果說得很多，那就太性急了；但從一個方面看，似乎很可能出現一種好的結果。針對因道路是艱辛的且目標並非一定是可獲得的而放棄理想之追求的那種懷疑論，數學在其自身的範圍內就是一個完全的答覆。人們老是說：沒有絕對真理，而只有意見和私人判斷；在觀察世界時，我們每一個人都受到其自己的個性、偏好及偏見的制約；不存在我們最終可以通過堅忍和訓練而被獲准進入的外在真理王國，而只存在我的真理、你的真理以及每一個不同的人的真理。人類勉力嘗試的主要目標之一就被這些習慣性想法否決了，而且真誠及對存在之物的無畏承認的至上美德，都從我們的道德視野中消失了。對於這樣的懷疑論來說，數學是一種永久的責備，因為在面對懷疑的悲觀情緒所擁有的一切武器時，其真理大廈依然是不可動搖且固若金湯的。 數學對實際生活的影響儘管不應被看作我們的研究動機，但可以用來答覆孤獨的學生必定始終容易產生的疑問。在一個如此充滿罪惡與苦難的世界中，隱居於沉思的修道院並享受雖高貴卻必定總是只為少數人所擁有的快樂，不能不等於多少有點自私地拒絕分擔某種重擔，即正義未能對其起作用的偶然因素所強加於他人身上的重擔。我們問，我們任何人有權從當前的罪惡中抽身並讓我們的同伴變得無助，而我們自己卻過著一種雖艱難和簡樸然而就其自身性質來說卻顯然令人滿意的生活嗎？當這些問題出現時，真實的答案無疑在於：一些人必須讓神聖之火繼續存在，或者說，每一代都必須有一些人去保護那縈繞心頭且暗示著這麼多的努力所指目標的幻想。但是，當這樣的答案顯得過分冷酷時（有時一定是這樣的），當我們被無法對其提供幫助的悲傷場面折磨得幾近發瘋時，那麼我們可以想到，比起在實踐中更活躍的同時代人，數學家時常間接地為人類幸福做了更多的事情。科學史充分證明，大量的抽象命題，即使就像在關於二次曲線部分的情形中那樣存在兩千年卻沒有對日常生活產生影響，仍然可以在任何時刻被用來在每一個公民的習慣性思想和日常事務中引起一場革命。蒸汽和電——舉一些突出的例子——的使用只是因為有了數學才成為可能。在抽象思維的結果中，世界擁有一種資本；迄今為止，為使這個共同的地球富裕起來而對這種資本所進行的使用並沒有可發現的限度。經驗也沒有提供什麼方法來判定數學中哪些部分將會被發現是有用的。因此，實用只能是灰心時刻的一種安慰，而非指導我們研究的一個準則。 對於道德生活的健康化，對於一個時代或一個民族的格調的高貴化，更嚴謹的美德擁有一種奇特的力量；此種力量超過未被思想滲透和淨化過的那些美德的力量。在這些更嚴謹的美德中，對真理的愛是首要的；而且在數學中，這種愛比在其他地方更可以為變弱的信念找到鼓勵。每一門重要的學科不僅自身就是一種目標，而且是創造並支撐一種高尚的心靈習性的手段。在整個數學的教與學中，我們都應該牢記這樣的目的。