夢溪筆談 · 技藝

沈括《夢溪筆談》

算術求積尺之法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽馬之類，物形備矣，獨未有隙積一術，古法：凡算方積之物，有立方，謂六冪皆方者。其法再自乘則得之。有塹堵，謂如土牆者，兩邊殺，兩頭齊。其法並上下廣，折半以為之廣以直高乘之，以直高以股，以上廣減下廣，余者半之為勾。勾股求弦，以為斜高。有芻童，謂如覆斗者，四面皆殺。其法倍上長加入下長，以上廣乘之；倍下長加入上長，以下廣乘之；並二位，以高乘之，六而一。隙積者，謂積之有隙者，如累棋、層壇及洒家積罌之類。雖似覆斗，四面皆殺，緣有刻缺及虛隙之處，用芻童法求之，常失於數少。餘思而得之，用爭童法為上位；下位別列：下廣以上廣減之，余者以高乘之，六而一，併入上位。假令積罌：最上行縱橫各二罌，最下行各十二罌，行行相次。先以上二行相次，率至十二，當十一行也。以芻童法求之，倍上行長得四，併入下長得十六，以上廣乘之，得之三十二；又倍下行長得二十四，併入上長，得二十六，以下廣乘之，得三百一十二；並二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下廣十二，以上廣減之，餘十，以高乘之，得一百一十，併入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此為罌數也。芻童求見實方之積，隙積求見合角不盡，益出羨積也。履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會圓之術。凡圓田，既能拆之，須使會之復圓。古法惟以中破圓法拆之，其失有及三倍者。余別為拆會之術，置圓田，徑半之以為弦，又以半徑減去所割數，余者為股；各自乘，以股除弦，余者開方除為勾，倍之為割田之直徑。以所割之數自乘倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧。再割亦如之，減去已割之弧，則再割之弧也。假令有圓田，徑十步，欲割二步。以半徑為弦，五步自乘得二十五；又以半徑減去所割二步，餘三步為股，自乘得九；用減弦外，有十六，開平方，除得四步為勾，倍之為所割直徑。以所割之數二步自乘為四，倍之得為八，退上一位為四尺，以圓徑除。今圓徑十，已足盈數，無可除。只用四尺加入直徑，為所割之孤，凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法。如圓徑二十步求弧數，則當折半，乃所謂以圓徑除之也。此二類皆造微之術，古書所不到者，漫志於此。造舍之法，謂之《木經》，或雲喻皓所撰。凡屋有三分：去聲。自梁以上為上分，地以上為中分，階為下分。凡梁長几何，則配極幾何，以為榱等。如梁長八尺，配極三尺五寸，則廳堂法也，此謂之上分。楹若干尺，則配堂基若干尺，以為榱等。若楹一丈一尺，則階基四尺五寸之類。以至承拱榱桷，皆有定法，謂之中分。階級有峻、平、慢三等，宮中則以御輦為法：凡自下而登，前竿垂盡臂，後竿展盡臂為峻道；荷輦十二人：前二人曰前竿，次二人曰前絛，又次曰前脅；後一人曰後脅，又後曰後絛，未後曰後竿。輦前隊長一人，曰傳倡；後一人，曰報賽。前竿平肘，後竿平肩，為慢道；前竿垂手，後竿平肩，為平道；此之謂下分。其書三卷。近歳土木之工，益為嚴善，舊《木經》多不用，未有人重為之，亦良工之一業也。版印書籍，唐人尚未盛為之，自馮瀛王始印五經，已後典籍，皆為版本。慶曆中，有布衣畢昇，又為活版。其法用膠泥刻字，薄如錢唇，每字為一印，火燒令堅。先設一鐵版，其上以松脂臘和紙灰之類冒之。欲印則以一鐵范置鐵板上，乃密布字印。滿鐵范為一板，持就火煬之，藥稍鎔，則以一平板按其面，則字平如砥。若止印三、二本，未為簡易；若印數十百千本，則極為神速。常作二鐵板，一板印刷，一板已自布字。此印者才畢，則第二板已具。更互用之，瞬息可就。每一字皆有數印，如之、也等字，每字有二十餘印，以備一板內有重復者。不用則以紙貼之，每韻為一貼，木格貯之。有奇字素無備者，旋刻之，以草火燒，瞬息可成。不以木為之者，木理有疏密，沾水則高下不平，兼與藥相粘，不可取。不若燔土，用訖再火令藥熔，以手拂之，其印自落，殊不沾污。昇死，其印為余群從所得，至今保藏。淮南人衛朴精於歷術，一行之流也。《春秋》日蝕三十六，諸歷通驗，密者不過得二十六、七，唯一行得二十九；朴乃得三十五，唯莊公十八年一蝕，今古算皆不入蝕法，疑前史誤耳。自夏仲康五年癸巳歳，至熙寧六年癸丑，凡三千二百一年，書傳所載日食，凡四百七十五。眾歷考驗，雖各有得失，而朴所得為多。朴能不用算，推古今日月蝕，但口誦乘除，不差一算。凡大曆悉是算數，令人就耳一讀，即能暗誦；傍通曆則縱橫誦之。嘗令人寫曆書，寫訖，令附耳讀之，有差一算者，讀至其處，則曰：「此誤某字。」其精如此。大乘除皆不下照位，運籌如飛，人眼不能逐。人有故移其一算者，朴自上至下，手循一遍，至移算處，則撥正而去。熙寧中撰《奉元歷》，以無候簿，未能盡其術。自言得六七而已，然已密於他歷。錢氏據兩浙時，於杭州梵天寺建一木塔，方兩三級，錢帥登之，患其塔動。匠師云：「未布瓦，上輕，故如此。」方以瓦布之，而動如初。無可奈何，密使其妻見喻皓之妻，賂以金釵，問塔動之因。皓笑日：「此易耳。但逐層布板訖，便實釘之，則不動矣。」匠師如其言，塔遂定。蓋釘板上下彌束，六幕相聯如胠篋。人履其板，六幕相持，自不能動。人皆伏其精練。

譯文

算術中求物體體積的方法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽馬等，各種形狀的物體都具備了，只是沒有隙積術。古代的算法：凡計算物體的體積，有立方體，是指六個面都是正方形的物體，其計算方法是把一條邊自乘兩次就可以求得了。有塹堵，是指有點像土牆形狀的物體，兩邊是斜的，兩頭的面是垂直的。它的截面面積的算法是：先把上、下底的寬相加，除以二，作為截面的寬，用直高與它相乘就求得了一個值；再將直高作為股，用上底面的寬減去下底面的寬，所得之差除以二作為勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜邊長。有芻童，是指有點像翻過來的方斗形狀，四側都是斜面。它的計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數值相加，與高相乘，再取其六分之一（就求得了它的體積）。隙積，是指堆累起來而其中有空隙的物體，像堆疊起來的棋子、分層建造起來的土壇以及酒館裡堆累起來的酒罈子一類的物體。它們雖像倒扣著的斗，四側都是斜面，但是由於邊緣存在著一定的殘缺或空隙，如果用芻童法計算，所得數量往往比實際的要少。我想出了一種計算方法：用芻童法算出它的上位、下位數值，另外單獨列出它的下底寬，減去上底寬，將所得之差乘高，取其六分之一，再併入前面的數目就可以了。假設有用酒罈子累成的堆垛，最上層的長、寬都是兩隻罈子，最下層的長、寬都是十二隻罈子，一層層交錯堆垛好。先從最上層數起，數到有十二隻罈子的地方，正好是十一層。用芻童法來計算，把上層的長乘二得四，與下層的長相加得十六，與上層的寬相乘，得三十二；再把下層的長乘二得二十四，與上層的長相加得二十六，與下層的寬相乘，得三百一十二；上、下兩數相加，得三百四十四，乘高得三千七百八十四。另外將下層的寬十二減去上層的寬，得十，與高相乘，得一百一十，與前面的數字相加，得三千八百九十四；取它的六分之一，得六百四十九。這就是這堆酒罈的數量。運用芻童法算出的是實方的體積，運用隙積法算出的是空缺部分拼合成的體積，也就可以算出多餘的體積。丈量土地的方法，方、圓、曲、直的算法都有，不過沒有會圓的算法。凡是圓形的土地，既能夠拆開來，也應該能讓它拼合起來恢復圓形。古代的算法，只用中破圓法把圓形拆開來計算，它的誤差有達三倍之多的。我另外設計了一種拆開、會合的計算方法。假設有一塊圓形的土地，用它的直徑的一半作為弦，再以半徑減去所割下的弧形的高，用它們的差作為股；弦、股各自平方，用弦的平方減去股的平方，將它們的差開平方後作為勾，再乘二，就是所割弧形田的弦長。把所割的弧形田的高平方，乘二，再除以圓的直徑，所得的商加上弧形的弦長，便是所割弧形田的弧長。再割一塊田也像這樣計算，用總的弧長減去已割部分的弧長，就是再割之田的弧長了。假如有塊圓形的土地，直徑是十步，想使割出的圓弧高二步，就用圓半徑五步作為弦，五步自乘得二十五；又用半徑減去弧形的高二步，它們的差三步作為股，自乘得九；用它與弦二十五相減得十六，開平方得四，這就是勾，再乘二，就是弧的弦長。把圓弧的高二步自乘，得四，再乘二得八，退上一位為四尺，用圓的直徑相除。現今圓的直徑為十，已經滿了整十數，不可除。只用四尺加下圓弧直徑，就是所割圓的弧長，共得圓弧直徑八步四尺。再割一塊圓田，也依照這種方法。如果圓直徑是二十步，要求弧長，就應當折半，也就是所說的要用圓弧的半徑來除它。這兩種方法都涉及精確的算法，是古書里沒有說到的，隨筆記錄於此。關於屋舍的營造技術，有一部專門討論的書籍叫做《木經》，有的說是喻皓所撰。此書將屋舍建築概括為「三分」：自梁以上為「上分」，梁以下、地面以上為「中分」，台階為「下分」。凡是梁長多少，則梁到屋頂的垂直高度就相應地配多少，以此定出比例。如梁長八尺，梁到屋頂的高度就配三尺五寸，這是廳堂的規格。這叫做「上分」。柱子高若干尺，則堂基就相應地配若干尺，也以此定出比例。如柱子高一丈一尺，則堂前大門台階的寬度就配四尺五寸之類，以至於斗拱、椽子等都有固定的尺寸，這叫做「中分」。台階則有「峻」、「平」、「慢」三種；皇宮內是以御輦的出入為標準的：凡是抬御輦自下而上登台階，前竿下垂盡手臂之長，後竿上舉也盡手臂之長，這樣才能保持平衡的台階叫做「峻道」；（抬輦的共有十二人：前二人稱前竿，其次二人稱前絛；又其次二人稱前脅，其後二人稱後脅；再後二人稱後絛，最後二人稱後竿。御輦的前面有隊長一人稱傳唱，御輦的後面有一人稱報賽。）前竿與肘部相平，後竿與肩部相平，這樣才能保持平衡的台階叫做「慢道」；前竿下垂盡手臂之長，後竿與肩部相平，這樣就能保持平衡的台階叫做「平道」。這些叫做「下分」。其書共有三卷。近年土木建築的技術更為嚴謹完善了，已多不用舊時的《木經》，然而還沒有人重新編寫一部這樣的書，這也應該是優秀的木工信得留意的一項業內之事。畢昇用雕版印刷書籍，唐朝人還沒有大規模採用。至五代時的馮瀛王才開始用雕版印製五經，從那以後的各種典籍和圖書都是雕版印刷本了。慶曆年間，有位叫畢昇的平民又創造了活字印版。他的方法是用膠泥刻字，字的厚薄像銅錢的邊緣一般，每個字製成一個字模，用火燒烤使它變得堅硬。先設置一塊鐵板，上面用松脂、蠟混合紙灰這一類東西覆蓋住。想要印刷時，就拿一個鐵框子放在鐵板上，然後密密地排列好字模。排滿一鐵框就作為一個印版，拿著它靠近火烘烤；等松脂等物開始熔化時，就拿一塊平板按壓它的表面，於是，排在板上的字模就平整得像磨刀石一樣。如果只印製三兩本書，（這種方法）不能算很簡便；如果印刷幾十乃至成百上千本書，（這種方法）就顯得特別快捷。印刷時通常製作兩塊鐵板，一塊正在印刷，另一塊已經另外排字模；這一塊剛印完，另一塊已經準備好了。兩塊交替使用，極短的時間就可以完成。每一個字都有好多個字模，像「之」、「也」等字，每個字有二十多個字模，用來防備一塊板裡面有重複出現的字。（字模）不用時，就用紙條做的標籤分類加以標示，每個韻部做一個標籤，用木格把它們儲存起來。遇到平時沒有準備的生冷之字，隨即把它刻出來，用草火燒烤，很快可以製成。不拿木頭製作活字模，是因為木頭的紋理有疏有密，沾了水就會變得高低不平，加上容易與藥物互相粘連，不能（重新把字模）取下來。不如用膠泥燒制字模，使用完畢後，再次用火烘烤，使藥物熔化，用手一抹，那些字模就會自行脫落，一點也不會被藥物弄髒。畢昇死後，他的字模被我的堂房兄弟和侄子們得到了，到現在還珍藏著。淮南人衛朴精通曆法，在這方面是不亞於唐僧一行的人物。《春秋》一書中記載了三十六次日食，歷代曆法學者通加驗證，一般認為所記與實際天象密合的不過有二十六七次，只有一行證明有二十九次；而衛朴則證明有三十五次，只有莊公十八年的一次日食，與古今學者對日食發生日期的推算都不合，懷疑是《春秋》記錯了。從夏代仲康五年癸巳歲到宋代熙寧六年癸丑歲，凡三千二百零一年，各種書籍所記載的日食共有四百七十五次，以往各種曆法的推考檢驗雖各有得失，而衛朴所得出的合乎實際的結論要較前人為多。衛朴不用計算工具就能夠推算古今的日月食，加減乘除都只用口算，卻一個數都不會錯。凡是正式制定的曆法書，全都是一大堆計算程序和數字，衛朴叫人在耳邊讀一遍，就能夠背下來；對於歷表和各種年表，他也都能縱橫背誦。他曾讓人抄寫曆書，抄寫完畢後，叫抄寫的人貼著他的耳朵讀一遍，有哪個地方錯了一個數，讀到那地方時，他就說「某字抄錯了」，他的學問竟能精湛到這樣的程度。他用算籌運算時，很大數字的乘除都不用一步一步擺下去，只照著數位運籌如飛，人的眼睛都跟不上。有人曾故意移動了他的一隻算籌，他從上到下用手摸了一遍，到被移動的地方，又隨手撥正而離開。熙寧年間制定《奉元歷》，因為沒有實際的觀測記錄，衛朴未能全部發揮他的才能和知識，他自己也說這部曆法的可靠性大約只有六七成，然而已比其他曆法要精密一些。錢氏王朝統治兩浙時，在杭州梵天寺修建一座木塔，才建了兩三層時，錢帥登上木塔，嫌它晃動。工匠說：「還沒有蓋瓦，上面輕，所以才會這樣。」於是在上面蓋了瓦，但是木塔還是像當初一樣晃動。實在沒有辦法了，工匠就暗地裡讓妻子去見喻皓的妻子，給她送了金釵，求她向喻皓打聽木塔晃動的原因。喻皓笑著說：「這個容易啊，只要逐層鋪上木板，用釘子釘牢，就不會晃動了。」工匠按他說的（去做），塔身於是穩定了。因為釘牢木板以後，各層上下更加緊密連接，上、下、左、右、前、後六面互相連接，就像一隻箱子。人踩上去，上下及周邊四面互相支撐，當然不會晃動。人們都佩服喻皓技藝精熟。