蒙台梭利兒童教育手冊 · 第10章 算術

如果不通過書寫語言和數字對所有這些幫助孩子理清了意識的初期收穫加以鞏固的話，它們就有可能被荒廢。一旦它們藉助語言和數字這兩個工具確定和鞏固下來，這些經驗就能為未來教育展開一個無限廣闊的前景。 對於計算，孩子們擁有所有必要的本能知識，這使他們對此具有一個清楚的概念，這可以作為進行計算的一個準備。數量的概念存在於感知教育配用的所有教學用具中：長、短、明、暗等。「一致」和「區別」的概念構成了感知教育目前所用技術的一個部分，孩子們從識別相同的物體開始，然後再進行相似物體的次序擺放練習。在這裡，我特別講一下孩子們用立體插件開始做的第一個練習，這個練習甚至兩歲半大點兒的孩子都可以做。如果孩子把一個圓柱體放進一個對其而言顯得過大的插孔，那麼最後就有一個圓柱體找不到自己的位置，孩子本能地就會從一系列的連續練習中理解為什麼總有一個圓柱體找不到自己的位置。孩子們的大腦對老師過早地就教他們用「某些初步的概念」進行算術還沒有做好準備，但通過一個形成過程，一個緩慢的自我培養過程，孩子的大腦就準備成熟了。 要直接開始算術的教學，我們必須藉助於感知教育所採用的同樣的教學用具。 讓我們來看一看立體插孔練習後我們展示給孩子們的三套工具，它們分別是：教孩子們區分大小的工具（粉紅色立方體）、教孩子們認識厚度的工具（棕色稜柱）和教孩子們認識長度的工具（綠色的木板）。每個系列的十個工具之間都有一定的聯繫。在教孩子們認識長度的那一組工具中，最短的那塊木板就是其餘所有木板的衡量單位；第二塊木板是第一塊的兩倍，第三塊是第一塊的三倍，而長度增長的比例是每塊板10厘米，其他的尺寸都保持不變（也就是說，所有的木板截面都相同）。 十件工具互相之間保持著一定的聯繫，這種聯繫與1、2、3、4、5、6、7、8、9、10等計數的自然序列完全相同。 在第二組工具也就是教孩子們認識厚度的工具中，稜柱的長度保持不變，但稜柱的方截面有變化。結果就是方截面的邊長隨著自然計數的序列變化，也就是說，第一個稜柱的正方形截面邊長為1厘米，第二個則為2厘米，第三個則為3厘米，依此類推直到第十個稜柱，它的正方形截面邊長就是10厘米。因此，稜柱相互之間的比例與平方數序列相同（1、4、9等），第一個稜柱的邊長為1厘米，那麼四個的這樣的稜柱能構成邊長為2厘米的第二個稜柱，九個這樣的稜柱才能構成邊長為3厘米的第三個稜柱，等等依此類推。因此，教孩子們認識厚度的十件工具是成如下比例的：1:4:9:16:25:36:49:64:81:100。 圖57　彩色計數木棒 圖58　孩子在用彩色計數木棒做練習 圖59　孩子在用同期的彩色計數木棒做練習 粉紅色立方體的邊長根據數字順序依次遞增，即第一個立方體的邊長為1厘米，第二個立方體的邊長為2厘米，第三個為3厘米，依此類推至第十個立方體，它的邊長也就是10厘米。因此，這些立方體的體積之間的聯繫就是從1～10這個數列的立方乘積之比，也就是1:8:27:64:125:216:343:512:729:1000。事實上，要湊足邊長為2厘米的「第二個」粉紅色立方體就需要8個邊長為1厘米的「第一個」粉紅色立方體；要湊足邊長為3厘米的「第三個」粉紅色立方體則需要27個邊長為1厘米的「第一個」粉紅色立方體，等等依此類推。 孩子們對這種區別有著直覺性的認識，因為他們意識到粉紅色立方體的練習是三套練習中最容易的，而綠色木棒的練習是最難的。當我們直接教孩子算術時，我們要選用長棒，然而我們需要把它們改進一下，將它們分成十部分，每部分長度均為10厘米，並且要把它們分別漆成紅色和藍色。比如，比第一個木棒長4倍的木棒顯然可以看出是由四個相同長度的木棒組成的，它們呈現出紅藍相間色，並且與所有其他的木棒相似。 我們把木棒按順序擺好後就可以教孩子們計數了：1、2、3等，數數的時候用手一個一個點著它們，從1一直數到10。為了幫助孩子樹立一個清晰的計數概念，我們還利用慣常的三階段方法讓孩子們識別單個的小木棒。 用以說明計數木棒用法的圖表 我們把頭三個木棒放在孩子面前，指著它們或把它們依次握在手中，為了把它們出示給孩子，我們這樣說道：「這是1個」，「這是2個」，「這是3個」。我們用手指著每個木棒的分割線來計數以確定：「1、2，這是2」，「1、2、3，這是3」。然後，我們對孩子說：「給我2」，「給我1」，「給我3」。最後，我們指著一個木棒問孩子：「這是幾？」孩子回答：「3」。然後，我們和孩子一起數：「1、2、3」。 我們用同樣的方式繼續按順序教孩子們計數，根據孩子的反應，我們每次都在原有基礎上添加一個或兩個木棒。 這套教學用具的重要性在於它能夠給孩子一個清楚的計數概念。當孩子叫出一個數時，這個數就像是一個具體的物體那樣存在著，就像是一個數與實物相結合的聯合體。當我們說一個人擁有一百萬時，我們是說他擁有的財富值那麼多的價值衡量單位，並且這些價值單位都屬於一個人。 所以，如果我們給7加上8（7＋8），我們給一個數加上另一個數，這些數量很明確地代表著同類單位的集合。 當孩子給我們展示9的時候，他手裡拿的是一根不易彎曲的木棒，這根木棒本身是完整的，只不過它由可以計數的9個相等的部分組成的。當孩子做加法8＋2時，他會把兩個木棒連接擺放在一起，這兩個木棒其中一個是由8個長度相等的小木棒構成，另一個則是由兩個長度相等的小木棒構成。但是，在一般的學校中，教孩子們計算時，為了讓課程顯得輕鬆和簡單些，老師們讓孩子們用各種各樣的小物體來幫助計算，比如，豆子、彈球等等，在進行我前面提到的8＋2的計算時，孩子先拿出8個彈球，然後再添加兩個，那麼，孩子腦中正常的印象和感覺就不是做了8＋2的運算，而是做了1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1然後再1＋1。結果並不是那麼清晰，而且孩子還必須努力在腦中牢記這樣一個概念：8個彈球作為一個聯合整體是與一個單個的數字8相對應的。 這種努力常常會使孩子倒退，使他對算術的理解力推遲幾個月甚至幾年。 使用教孩子們認識長度的教學用具來教孩子們進行10以內數字的加法和減法運算會簡單得多。通過讓孩子擺放木棒可以使這個問題更有趣：他先把木棒按正確順序（擺放長樓梯的順序）擺好，接著拿起最後一根木棒（1）放到9旁邊，同樣把（2）放到8旁邊，等等，直到5為止。 這個簡單的遊戲演示了10以內的加法：9＋1、8＋2、7＋3、6＋4。當孩子要把木棒放回原處時，他必須先拿走4並把它放到5的下面，接著依次拿走3、2、1。在這個過程中，他把木棒按順序正確放回原處，同時也進行了一系列的減法：10-4、10-3、10-2、10-1。 向孩子教授實際數字標誌著從木棒向使用獨立的單位進行計算的一個飛躍。孩子們了解了數字後就可以將其用於抽象概念，而木棒則用於具體概念。也就是說，數字代表了一定數量的獨立單位可以結合成的一個整體。 我們可以這樣說，語言的綜合功能以及它向人類腦力勞動展現出的廣闊領域可以通過數字的功能來論證，數字現在可以代替具體的小木棒了。 只使用現有的木棒會把算術限制在只能進行10以內或稍多一點數字內的簡單運算，在意識的建立過程中，這些運算只比那些簡單的初級的感知教育向前進了一點點。 數字，是單詞，是圖形符號，它能使人類的數學思維在其進化過程中取得無限的進步。 在教學用具中有一盒光面卡片，上面粘著從砂紙上剪下的從1到9的數字。這和粘著砂紙字母的卡片類似。教學方法是這樣的：讓孩子觸摸數字同時說出它們是幾。 比起學習字母，孩子在認識數字的這個過程中做得要更多些。老師給他們示範該如何把每個數字放在對應的木棒上。當用這種方式學完所有的數字後，接下來的一個練習就是按大小順序把數字卡片放在木棒上。之所以這樣設計是因為它們形成了一個充滿快樂的擺放卡片的連續步驟，在以後的很長一段時間，孩子們都很樂意重複這個智力遊戲。 這個練習過後，我們可以稱為「孩子解放」的時期就到來了。他掌握這些數字了，這些數字現在是他的了，他知道如何利用它們將這些最小的整數組合到一起。 為此，我的教學用具中還準備了一套木釘，除此之外，我們還給孩子們提供各種各樣的小工具：小棒、小積木、籌碼等等。 練習內容就是在數字下面放上相應數目的東西。孩子可以利用教學用具中的盒子（圖61），盒子裡面設有若干小格間，每個小格間上面印著數字，孩子在格間內放入相應數目的木釘。另一個練習是把所有的數字卡片放在桌子上，然後在數字下面擺放相應數目的積木、籌碼等。 這僅僅是第一步，這兒不可能涉及到接下來的關於零、幾十或其他數學運算的課程，要開展這些課程可以參考我撰寫的更詳細的作品。但教學用具本身可以說明一點問題。在盛著木釘的盒子內有一個印著0的格間，這個格間內「什麼都不能放」，我們從1開始。 0就是沒有，它安排在1旁邊可以使我們數過9的時候繼續數下去——10。 如果我們不使用1，而使用像木棒10一樣長的工具，那我們就可以數10、20、30、40、50、60、70、80、90。在教學用具中有這樣的框架，它上面嵌著印有諸如10到90的卡片，這些數字就這樣固定在框架上，數字1到9可以滑移同時遮蓋住0。當數字10的0被1遮住時，那結果就是11，如果被2遮住，結果變成了12，等等，直到最後一個數字9。接著我們轉到20（第二個10），諸如此類，從10到10（見圖64）。 剛開始用卡片練習組合幾十這些數字的時候，我們可以使用小木棒。我們先從框架的第一個10開始，我們先拿木棒10，接著我們把木棒1放到木棒10旁邊，同時滑移數字1遮住10的0。接著我們把木棒1和數字1從框架拿走，在它們的位置放上木棒2和數字2，諸如此類，直到9。進一步我們要用兩個木棒10來組合成20。 圖60　同期的砂紙數字卡片 圖61　計數盒 圖62　孩子在做計數練習 圖63　孩子在做計數練習 圖64　練習算術用的長方架 圖65　同期的串珠工具 圖66　串珠工具——立方串珠、方形串珠和串珠 在做這些練習的時候，孩子們表現出極大的學習熱情，這些練習使他們進行兩項活動，並使他們的頭腦清晰。 在書寫和算術中，我們積聚了艱苦教育的成果，教育的內容包括協調各個動作和初步認識世界。這種鍛煉與發展是一個人第一次致力於與世界進行智力對話的自然結果。 如果不通過書寫語言和數字對所有這些幫助孩子理清了意識的初期收穫加以鞏固的話，它們就有可能被荒廢。一旦它們藉助語言和數字這兩個工具確定和鞏固下來，這些經驗就能為未來教育展開一個無限廣闊的前景。因此我們所做的就是把孩子帶入一個更高的層次——文化層次——他現在可以接著去學校了，但這個學校不是我們現今所謂的學校，在當今的學校里，我們總是毫無理智地試圖給那些沒經過準備的或沒經過預先教育的大腦灌輸知識。 為了使那些已經受過系統訓練並且還沒有對正常工作感到厭倦的頭腦保持健康，我們的孩子必須有一個新型的學校來獲取文化。我那些針對更大年齡段的孩子的教學方法是這些方法的延續，它們已經是非常超前的了。