邏輯 · 二、間接推論　三段論式法

以上對待關係的推論是由一命題推論到另一命題，換質與換位的推論也是由一命題推論到另一命題。在這兩種推論之中，兩命題之間沒有第三命題以為媒介，此所以稱為直接推論。三段論式的推論是兩命題用其一以為媒介而推論到第三命題。這是普通的說法。其實兩前提合起來即成一命題，由此聯合起來的一命題可以推論到一結論。果如此，則所謂間接推論亦即直接推論。我們現在既討論傳統邏輯的推論，最好暫仍舊說。 三段論的推論是已經有三名詞而同時是以主賓詞式的兩命題為前提，推論到它們所蘊涵的第三主賓詞式的命題，而以此第三命題為結論的推論。三段論並不僅是由兩前提推出一結論。A比B長，B比C長兩前提，能得一A比C長的結論，但這不是三段論。第一理由是這三個命題都不是主賓詞式的命題，第二理由是此三命題之中不只有三個名詞。以下的討論分以下各部：A. 關於三段論所用名詞；B. 三段論式的規律；C. 三段論式之格；D. 三段論式之式；E. 連環式等。 A. 關於三段論式所用名詞 1. 茲以下式為例： 所有的人都是有理性的 孔子是人 孔子是有理性的 a. 「大詞」是結論的賓詞，此例中「有理性的」是大詞。 b. 「小詞」是結論的主詞，此例中「孔子」是小詞。 c. 「中詞」是結論所無而兩前提所共有的媒介詞，此例中「人」是中詞。 d. 三段論有兩前提：具大詞之前提為大前提，具小詞之前提為小前提。 2. 「周延」。命題的範圍有涉及主賓詞的全體者，有僅涉及主賓詞之部分者；涉及部分時有堅決地表示一部分者，有含糊地表示一部分者。茲以A、E、I、O的主賓詞說明： 所有的S都是P 有些S是P 有些S不是P 無一S是P A命題涉及全體的S，可是僅涉及部分的P。此處所謂部分的P是說A命題究竟涉及全體的P或部分的P，我們不能決定，我們只得從低的限度說僅涉及部分的P。I命題說一部分的S是一部分的P，可是什麼部分、與部分的多少均未說出。O命題說一部分的S不是P。從S方面著想，我們不知道是全體或部分，或哪一部分；但從P方面著想，有一部分的S，無論哪一部分，不是P。在S方面範圍含糊，而在P方面範圍堅決。E命題涉及S與P的全體，毫無含糊的情形。A、E、I、O這四個命題之中，A的S，O的P，E的S與P，均稱為周延的名詞；而A的P，I的S與P，O的S，均稱為不周延的名詞。茲特表列如下： 主詞 賓詞 SAP 周　延 不周延 SIP 不周延 不周延 SOP 不周延 周　延 SEP 周　延 周　延 周延與不周延在三段論式中非常之重要，它的規律與推論一大部分根據於名詞的周延與否。 3. 三段論式中的大詞中詞小詞一共有四個不同的擺法，每一擺法稱為一「格」，例如： 每一格中有若干「式」例如AAA。（大前提，小前提，結論均為A命題）。 B. 三段論式的規律 1. 教科書所列規律如下： a. 在一三段論式中，不但有而且只有三名詞，即大詞、中詞與小詞；不但有而且只有三個命題，即大前提、小前提與結論。（這可以把它當作定義看待。） b. 中詞在兩前提中至少要周延一次。 （一）這條規律很要緊。中詞是兩前提的媒介，如中詞在兩前提中無一次周延，則大詞，可以與中詞之一部分發生關係，而小詞則與中詞之另一部分發生關係。 （二）如沒有（b）條的情形，則大詞與小詞的關係不能定，此關係不定，則不能得結論，因為結論不過表示大詞與小詞，因中詞之媒介，所得之關係而已。 （三）例：所有的狗都是動物 所有的人都是動物此例中「動物」為中詞，可是既未周延，狗可以是動物的一部分，而人可以是「動物」的又一部分，狗與人的關係在這兩命題範圍之內不能因中詞而定。 c. 在前提中未周延之名詞在結論中亦不得周延。 （一）在前提中周延之名詞，在結論中可以不周延。這一層在教科書中是如此的；可是如果命題的解釋改變後，此一層亦因之而有相當的改變。 （二）大詞周延的錯誤。如大詞在前提中不周延，而在結論中周延，則有大詞周延之錯誤。茲以下例表示： 所有有理性的人均負責任 有些公民不是有理性的人 ∴有些公民不負責任 此例中的結論或者是一句真話，可是不是對的結論，因為大前提只說有理性的人負責，沒有說無理性的人不負責。 （三）小詞周延的錯誤、意義、情形，均與（二）條相同，亦不能得結論。 d. 兩否定前提不能得結論。這一條規律，若從關係方面講，非常之清楚，以後提及。現在我們僅說如果兩前提都是否定命題，則大詞與小詞兩名詞均與中詞無關，它們彼此的關係不能定。此關係既不能定，當然無結論。 e. 如果兩前提中一前提為否定命題，則結論亦為否定命題；如結論是否定命題，則兩前提中亦必有一否定命題。如果我們認定兩肯定的前提，其結論亦為肯定，兩否定的前提沒有結論，同時結論為肯定，兩前提必均為肯定，則此條規律為必然的結果。 f. 兩特稱前提不能得結論。此條不必提出，它可以由以上的規律推論出來。 （一）如兩特稱前提為肯定命題，則中詞不周延不能得結論。 （二）如兩特稱前提為否定命題，則違第四條規律。 （三）如兩特稱前提中有一肯定一否定，則結論為否定命題。兩前提僅有一詞周延，而此周延之名詞須為中詞；結論既為否定命題，亦必有一周延名詞。結果是大詞周延錯誤，或中詞不周延錯誤，其中必有其一。 g. 如兩前提中一為特稱，則結論亦為特稱。可是我們須注意兩全稱的前提不必得一全稱的結論。那就是說如果結論是特稱，兩前提中不必有一為特稱。 2. 對於這些規律，我們可以注意以下諸點： a. 數目不必如此之大。有些規律如第六條可以完全由此前規律推論出來。有人以為只要一根本的原則即夠，而此根本原則即亞里士多德的「dictum de omni et nullo」。此原則說，凡能形容一命題之賓詞者亦均能形容其主詞。但這似談到原則問題，而不僅只規律而已。 b. 這些規律都是普遍的，無分於三段論式之格與式。談到格時又有各格的規律。 c. 有些規律可以圖形表示，例如以圈代表大、中、小詞P、M、S。 （一）兩否定前提不能得結論。 MEP 這兩命題可以有以下可能： 此表示SEP 此表示SIP或SOP 此表示SAP 此表示PAS或SIP 此表示S與P相同 （二）兩特稱命題不能得結論，例如： MIP 這兩命題可以有以下可能： 此表示SEP 此表示SIP 此表示SAP 此表示PAS或SIP 此表示P與S相同 此處所謂不能得結論者，是不能得三段論式的結論。 C. 三段論式之四格 上面已經說過，所謂格者是由兩前提中大、中、小詞之位置而定。簡單一點是由中詞之位置而定。格共有四，茲特分別討論。 1. 第一格。 a. 此格之形式如下：（仍以P代表大詞，M代表中詞，S代表小詞。） M——P S——P 我們在此處要特別注意，每格的特別規律完全根據於一格的形式，完全根據於大詞、中詞、小詞之位置。如果初學者把以上普遍的規律記清楚，他一定用不著記各格的規律，他看一格的形式，他就可以推出那一格規律來。若不注意各格的形式，死記各格的規律，一方面規律記不清楚，另一方面又不能得到邏輯的訓練。 b. 第一格的規律： （一）小前提一定是肯定命題； （二）大前提一定是全稱命題。 c. 證明： （一）小前提一定是肯定命題。如果不是，則根據以上第五條規律結論亦為否定命題；如果結論為否定命題，則大詞既為結論之賓詞，必為周延（因否定命題，O或E之賓詞均周延）；如果大詞在結論中周延，則根據第三條規律，在大前提中亦必周延；但在此格大詞在前提中為賓詞，所以如果大詞周延，則大前提必為否定命題，結果是如果小前提為否定，則大前提亦必為否定；但根據第四條規律兩否定命題不能得結論，所以小前提不能為否定命題。 （二）大前提一定是全稱命題。如果不是，那就是說如果是特稱命題，則中詞在大前提中既為主詞，必不周延，因為特稱命題之主詞均不周延，中詞在大前提中既不周延，則根據第二條規律，在小前提中必須周延；但中詞在小前提中為賓詞，如果周延，則小前提之賓詞既周延，小前提必為否定命題；如果小前提為否定命題，則……同上。所以大前提必須全稱。簡單一點的說法：小前提既必須肯定，則在小前提之中詞必不周延；照第二條規律，中詞既必須周延一次，則在大前提之中詞必須周延；但在此格之大前提，中詞為主詞，所以大前提必須全稱，因為全稱命題之主詞周延。 2. 第二格。 a. 形式： b. 規律：（因大、中、小詞之位置不同，規律亦異。） （一）兩前提中必有一前提為否定命題； （二）大前提必有全稱命題。 c. 證明： （一）兩前提中必有一前提為否定命題。在此格中，中詞在前提中均為賓詞，而根據第二條規律，中詞至少要周延一次；如果兩前提均為肯定命題，則中詞不得周延，因為肯定命題之賓詞，無論A與I，均不周延；中詞不周延，不能得結論；同時根據第四條規律，兩否定命題不能得結論；所以在此格中，兩前提中必有而且僅能有一前提為否定命題。 （二）大前提必為全稱命題。如果兩前提中必有一否定命題，則根據第五條規律結論必為否定命題；如結論為否定命題，則大詞即結論之賓詞，必為周延；如果大詞在結論中周延，在大前提亦必周延（第三條規律）；如大詞在大前提周延，而在此格大詞為大前提之主詞，則大前提必為全稱，因為只有全稱命題的主詞周延。 3. 第三格。 a. 形式： b. 規律： （一）小前提必為肯定命題； （二）結論必為特稱。 c. 證明： （一）小前提必為肯定命題。這裡的推論與第一格一樣，可以從簡。如果小前提為否定，則結論為否定；如結論為否定，則賓詞周延；如賓詞，即大詞，在結論周延，則在大前提亦周延；如大詞，在此格為賓詞，在大前提周延，則大前提必為否定命題；如是兩前提均為否定命題，不能得結論，所以小前提必須肯定。 （二）結論必為特稱。如果小前提必須肯定，則小前提的賓詞不周延；如果小前提之賓詞，即小詞，在小前提中不周延，在結論中亦不得周延（第三條規律）；小詞在結論中為主詞，主詞不周延，則結論必為特稱，因為僅特稱命題的主詞不周延。 4. 第四格。 a. 形式： b. 規律： （一）如兩前提中有一為否定命題，則大前提為全稱命題； （二）如大前提為肯定命題，則小前提為全稱命題； （三）如小前提為肯定命題，則結論為特稱。 c. 證明： （一）如兩前提中有一為否定命題，則大前提為全稱。如前提中有一為否定命題，則結論亦為否定命題；如結論為否定命題，則賓詞周延；賓詞為大詞，如大詞在結論中周延，在大前提中亦必周延；但大詞在此格為大前提之主詞，主詞周延，必為全稱命題。所以如兩前提中有一否定命題，則大前提必為全稱。 （二）如大前提為肯定命題，則小前提為全稱。如大前提為肯定命題，則賓詞不周延；大前提之賓詞為中詞，中詞必須周延一次，如在大前提中不周延，在小前提中必須周延；但中詞在此格為小前提之主詞，主詞周延，則小前提必為全稱。所以如大前提肯定，則小前提全稱。 （三）如小前提肯定，則結論為特稱。如小前提肯定，則賓詞不周延；可是賓詞為小詞，所以是結論之主詞，小詞在前提中不周延，在結論中亦不得周延；結論的主詞不周延，則結論必為特稱，因只有特稱命題的主詞不周延。 D. 以上四格根據於中詞在前提之位置 中詞在前提中僅有此四種不同的位置，所以只能有此四格。歷來對於此四格，有各種討論發生。例如，四格之中哪一格為最「上」，而答案大都是以第一格為最「上」。又如，第四格是否可以說得通？關於第四格，問題比較多。此處僅用約翰生（John son）先生的方法表示第四格之特別，也因此表示前三格的規律可以另外方法表示出來。 茲以S代表三命題中二次為主詞的名詞，P代表三命題中二次為賓詞的名詞，C代表三命題中一次為主詞，一次為賓詞的名詞。根本原則：（一）要包含兩次為主詞兩次為賓詞的那兩個名詞的命題——「S——P」——能成任何命題。這就是說要使S——P這一命題能為A或E或I或O，毫無限制。（二）對於包含S與C的那一命題——「S——C」——問質不問量。S即為主詞，而主詞之周延與否以量定而不以質定（全稱的主詞，總是周延；特稱的主詞，總是不周延），若定S——C之量是限制「S——P」之量。所以對於S——C只能問質。（三）對於包含C與P的那一命題——「C——P」——問量不問質。P既為賓詞，而賓詞之周延與否以質定不以量定（否定的賓詞，總是周延；肯定的賓詞，總是不周延），若定P之質等於限制「S——P」之質。 a. 規律： （一）小前提須肯定。 （二）大前提須全稱。 b. 證明： （一）小前提須肯定。在此格小前提為「S——C」命題，對於此命題問質不問量。小前提必須肯定，不然「S——P」一命題必為否定，「S——P」必須否定，則在質一方面不能不受限制，有違根本原則。所以小前提必須肯定，「S——P」才能不受質方面的限制。 （二）大前提必須全稱。在此格大前提為「C——P」這一命題，而對於這一命題問量不問質。大前提必須全稱，因為如果特稱，則結論必為特稱，那就是說「S——P」必為特稱，而「S——P」受量的限制。為使「S——P」不受量的限制起見，大前提必須全稱。 a. 為使「S——P」毫無限制起見，可有以下規律： （一）結論必為否定； （二）大前提必為全稱。 b. 證明： （一）結論必為否定。結論在此格為「S——C」這一命題，對於此命題問質不問量。從質方面著想，「S——C」應該是否定命題，因為如果肯定則前提均須肯定，而「S——P」既為小前提亦必須肯定。為使小前提「S——P」既可以肯定也可以否定起見，「S——C」這結論必為否定。這等於說兩前提中必有一前提為否定命題。 （二）大前提必須全稱。此格的大前提為「C——P」這一命題，而對於此一命題問量不問質。大前提「C——P」須全稱，因為如果是特稱，則根據兩特稱不能得結論的規律，小前提「S——P」這一命題非全稱不可。如是則「S——P」在量的方面受限制。為使「S——P」在量的方面不受限制起見，大前提必須全稱。 a. 此處為使大前提「S——P」毫無限制起見，可有以下規律： （一）結論必須特稱； （二）小前提必須肯定。 b. 證明： （一）結論必須特稱。此處的結論為「C——P」這一命題。對於此問題問量不問質。結論須為特稱，因為非特稱，則兩前提必須全稱，「S——P」既為大前提亦必須為全稱，如須全稱則量受限制。為使大前提「S——P」不受量的限制起見，結論「C——P」非特稱不可。 （二）小前提必須肯定。小前提在此處為「S——C」這一命題，而對於此命題問質不問量。「S——C」這小前提必須肯定，因為如果非肯定，而為否定，則大前提不能為否定而必須為肯定，因為兩前提不能同為否定。為使大前提可以肯定又可以否定起見，小前提「S——C」不能不是肯定。 4. 以上一、二、三格在此處的說法條件之下，其規律與以先說法完全一致。證明的方法當然不同，但這不過是因為說法根本不同。第四格的情形與以上三格均不同，第四格不能滿足新說法的根本條件。新說法根本條件之一就是「S」代表兩次為主詞的名詞，「P」代表兩次為賓詞的名詞，而「C」代表一次為主詞一次為賓詞的名詞。第四格的形式既為： 根本就沒有兩次為主詞的名稱，也沒有兩次為賓詞的名稱，所以第四格根本就不合新說法的條件，這也表示第四格至少有特別的情形。這個新說法有以下諸點值得我們注意： a. 表示第一、二、三格的規律不必以傳統的方法證明，可以用新說法表示同樣的情形。 b. 表示第四格與其他各格不同。 c. 表示以下所要討論的「式」的特殊情形。第一、二、三格各格的式均有特殊的情形，這一層下段再說。 E. 各格所有之式 所謂「式」者即A、E、I、O四種命題在兩前提一結論中之各種不同的配合法。例如AAA即表示兩前提一結論均為A命題。 1. 各種不同的配合的總數——A、E、I、O四個命題分配作大小兩前提與結論之總數為以下六十四式： AAA 　AEA 　 　AIA 　 　AOA EAA 　EEA 　 　EIA 　 　EOA IAA 　 　IEA 　 　IIA 　 　IOA OAA 　OEA 　 　OIA 　 　OOA AAE 　AEE 　 　AIE 　 　AOE EAE 　EEE 　 　EIE 　 　EOE IAE 　 　IEE 　 　IIE 　 　IOE OAE 　OEE 　 　OIE 　 　OOE AAI 　 　AEI 　 　AII 　 　AOI EAI 　 　EEI 　 　EII 　 　EOI IAI 　 　IEI 　 　III 　 　IOI OAI 　 　OEI 　 　OII 　 　OOI AAO 　AEO 　AIO 　 　AOO EAO 　EEO 　 　EIO 　 　EOO IAO 　 　IEO 　 　IIO 　 　IOO OAO 　OEO 　OIO 　 　OOO 2. 但此六十四配合中有好些為普遍的三段論式規律所不能承認的，例如II、OO、EE等。從能得結論的前提方面著想，這六十四配合之中，只有以下的前提才能得結論： 此處除開兩特稱與兩否定的前提。照此似有三十六可能，但仍有限制。例如AAA雖可，而AAE則違規律。 3. 三段論式既分為四格，而各格又有各格之規律，則此三十六配合之中仍有不能得結論者。例如，IE雖不違通常的原則，但不合任何一格的特別規律，所以也不能認為是可以得結論的兩前提。在此種種限制之下，可能的式僅有以下十九個： a. 第一格有四可能： AAA，EAE，AII，EIO。 （一）請注意：大前提均全稱， 小前提均肯定。 （二）請注意：結論可以是A、E、I或O；那就是照以上第二說法所表示的，結論在第一格質與量均無限制。 b. 第二格有四可能： EAE，AEE，EIO，AOO。 （一）請注意：兩前提中有一為否定命題，大前提均為全稱。 （二）請注意：小前提在第二格可以是A、E、I或O；那就是說照以上新說法，小前提的質與量毫無限制。 c. 第三格有六可能： AAI，IAI，AII，EAO，OAO，EIO。 （一）請注意：小前提均為肯定，結論均特稱。 （二）請注意：大前提在此格可以是A、E、I或O；那也就是以上新說法所說的，質與量毫無限制的命題。 d. 第四格有五可能： AAI，AEE，IAI，EAO，EIO。 （一）請注意：如兩前提中有否定命題，大前提為全稱； 如大前提為肯定命題，則小前提為全稱； 如小前提為肯定命題，則結論為特稱。 4. 三段論之四格既發生哪一格最靠得住的問題，每格的各式也有哪些式最靠得住的問題。第一格既視為最靠得住，其餘各格的式也要想法子把它們變成第一格的式才行。變更的方法不一，可是在本書內我們可以不必談到。在中古的經院學者，把以上各式都用特別的名字代表，編為詩歌，把各種更換的方法容納在內；如果把這詩記清楚，則這一部分的邏輯也就記清楚。我們用不著記這許多的式，即能記清楚，對於邏輯的訓練也不見得有多大的益處，這一部分的邏輯本書亦不提及。 F. 堆垛式及其他推論 1. 簡略的推論。所謂簡略的推論者：a. 或者是不提大前提，僅提小前提與結論；b. 或者不提小前提，僅提大前提與結論；c. 或者不提結論，僅提大小兩前提的推論。這當然是根據於三段論，不過在形式方面看來沒有三個命題而已。 這種簡略的推論，實是修辭方面、文學方面的技術，它使人動聽，使人驚異；雖然根據於三段論式法，雖然表示三段論式在實際上之引用，而不容易視為邏輯的一部分。其所以曾經當作邏輯一部分者，因為傳統邏輯沒有把形式與實質分別清楚而已。茲特舉例如下： a. 不提大前提，如：「孔子是人，他也不免一死」。 b. 不提小前提，如：「所有的人既然都好色，他也好色」。 c. 不提結論，如：「殺人者死，而他殺了人」。 2. 前後三段論式。前後三段論式不過是兩個三段論連在一塊，以頭一個三段論的結論為第二個三段論的大前提。茲特舉例如下： ∴所有的D是A 前一部即為前三段論，後一部即為後三段論。這種前後三段論可以有兩種不同的方向。一種是由相對普遍的到相對不普遍的，一種是由相對不普遍的到相對普遍的。這不過使讀者知道有此說法而已。 3. 堆垛推論。所謂堆垛推論者（sorites，從張申府先生所用名詞）即一大堆的三段論，省去各段的結論，僅提出總結論的推論。堆垛推論有兩種： a. 甲種如下例： ∴所有的A是E b. 乙種如下例： 所有的A是B ∴所有的E是B 這兩種堆垛推論都是一大堆的第一格式的三段論，所以它們都須遵守第一格的規律。 c. 甲種的規律如下： （一）第一前提可以是特稱，其餘均須全稱。 （二）最後的前提可以是否定，其他均須肯定。其實這兩條規律就是第一格的規律。茲特將以上甲例分為三段論如下： 以上都是第一格的三段論，都應遵守第一格的規律，（一）大前提須全稱，（二）小前提須肯定。甲種堆垛推論中只有第一前提是小前提，它必須是肯定命題；但既為小前提，它可以是全稱，也可以是特稱。甲種堆垛推論中之其他前提均為大前提，大前提須全稱，所以它們不能特稱。甲種堆垛推論的第一條規律，完全是第一格的規律。甲種堆垛推論的其他小前提，均為未曾以明文提出的各三段論的結論；如果任何非最後的前提是否定命題，則這些未曾以明文提出的小前提之中亦定有否定命題，小前提在第一格只能肯定不能否定，所以只有最後一前提才能否定。這也是遵守第一格的規律。 d. 乙種堆垛推論有同樣的情形，它的規律如下： （一）第一前提可以是否定命題，其他均須肯定。 （二）最後前提可以是特稱，其他均須全稱。 茲特將以上乙例分為三個三段論如下： 乙種的規律更顯而易見是第一格的規律。只有第一前提是大前提，其餘都是小前提。第一前提當然不能特稱，可是可以是否定命題，其他前提既均為小前提，在第一格三段論中當然不能否定。同時只有最後前提可以特稱，因為如果任何其他前提為特稱，則各段的結論之中必有一特稱命題，但各段的結論均為大前提，它們均不能特稱，所以只有最後前提能特稱。 4. 例外的推論。此處所謂例外者是不守三段論式的規律，而同時又靠得住的推論。這一種以上提出三段論式的定義時，已經提及。例如： 此推論有三命題，並且是靠得住的推論；但在三段論的範圍之內，它是例外，因為（一）它不是主賓詞式的命題，（二）如果把它當作主賓詞命題則它有四名詞如下：A、比B長、B、比C長。以後我們要表示這類的推論不是例外，如果我們提出普遍的三段論或普遍的傳遞關係的推論，它與傳統的三段論的位置一樣。其他守規則與不守規則的問題，有推論與無推論的問題等等，或者在詳細分析之下不成問題，或者即有問題也不見得是邏輯方面的問題。凡此種種，本書均不提及。