邏輯 · 一、直接推論

A. 名詞 普通教科書關於名詞（terms）的討論大約可以分為以下各節：1. 心理學或知識論方面的問題；2. 名詞的種類；3. 外延與內包的分別；4. 定義問題。因為這種討論一方面與普通教科書中的推論沒有多大的關係，教科書中的直接與間接推論大都使用符號，另一方面也對現在的邏輯沒有任何的幫助，本書特別從簡。 l. 心理學或知識論方面的問題。邏輯這一名詞在希臘本來是由logos變出來的，它包含兩部分，一為episteme，一為techne。前者是抽象的邏輯，後者是實用邏輯的法則。前一部分就是現在的知識論，而後一部分反變為抽象的形式邏輯。從歷史方面著想，邏輯最初就與知識論混在一塊。後來治此學者大半率由舊章，心理學與知識論的成分未曾去掉。自數理邏輯或符號邏輯興，知識論與邏輯學始慢慢地變成兩種不同的學問。本章既討論傳統邏輯學，也就不能不提到心理學與知識論方面的問題；但這些問題既與以下部分沒有多大的關係，我們也就不必多作討論。可是有一點我們應該注意。我們說的是邏輯學與知識論要分家。這句話或者免不了有人反對。如果反對者的理由是說事實上邏輯與知識不能分開，我們很可以同情。即以一個具體的人而論，他有物理、化學、生理、心理等等各方面的現象，而各方面的現象事實上沒有分開來。但我們不能因為在具體的世界裡，各種現象有它們的關聯，我們就不應該把它們區別為各種不同的學問的對象。物理現象與化學現象可以混在一塊，而物理學與化學仍應分家。邏輯與知識在事實上雖然聯在一塊，而邏輯學與知識論不能不分開。無論如何，本書遵照現在的趨勢，涉及知識論與心理學的地方均特別從簡。 2. 名詞的種類。此處的名詞可以是個體的符號，可以是性質的符號，可以是關係的符號。傳統邏輯似乎注重名詞，在本條暫且從舊。名詞的種類極不一致，各種各類的標準也當然不同。 a. 以範圍的廣狹為標準，有： （一）特殊名詞——如時地人物的名字。孔子，北平，周朝…… （二）普遍名詞——如人，桌子，椅子，書…… （三）集體名詞——如軍，師，班…… b. 以所指的為具體與否為標準，有： （一）具體名詞——如這個桌子，那個桌子…… （二）抽象名詞——如青，紅，公道…… c. 以知識層次為標準，有： （一）感覺名詞——代表感覺現象的名詞，如這本紅書，那張方桌子…… （二）概念名詞——代表概念的名詞，如方，圓，紅，黃…… d. 以意義的正負為標準，有： （一）正名詞——美，好，真…… （二）負名詞——不美，不好，不真…… e. 以意義的絕對或相對為標準，有： （一）絕對名詞——如人，樹，天，地…… （二）相對名詞——如好壞，真假，因果，左右…… 其他種種的分類法，如我們再想一想，或者還可以想出許多。但以上已經可以給我們一個印象。我們要知道這裡的各種名詞與演繹方面的推論——無論舊式與新式——均沒有多大的關係。理由如下： （甲）傳統推論中的命題均用符號，新式的系統也用符號，所以根本用不著提出此問題。 （乙）如果符號齊備，運用得法，各種名詞的相干的分別，在一系統內均可以有正確的表示，而不相干的分別根本就可以不理。 3. 外延與內包的分別。這個問題比較的重要。先表示普通的分別。名詞至少有二用，一注重它的意義，一注重它的範圍之內的具體的東西。襲人對寶玉說「人總要上進才行」。這裡的「人」是襲人心目中所盼望寶玉能修養得到的那樣的人，而不是人類中的趙錢孫李等等均為人的「人」。韓退之說「人其人」。這裡前面的人與後面的人不同。後面的「人」是具體的，前面的「人」是韓先生以為具有儒家理想的性質的人。一名詞的定義就是那一名詞的內包，一名詞所指的具體的分子，就是那一名詞的外延。 茲以深淺二字形容內包，以廣狹二字形容外延。內包有深淺，外延有廣狹。在內包方面，人的意義比動物的意義深；在外延方面，動物的範圍比人的範圍廣。普通人均以為內包愈深則外延愈狹，內包愈淺則外延愈廣。反過來似乎也可以說：外延愈廣則內包愈淺，外延愈狹則內包愈深。其實外延狹，內包不必深。龍的外延非常之狹，至少比人狹，而龍的內包不必比人的內包深。凡沒有具體分子的類詞，其外延皆狹，而其內包不必深。以上內包與外延成反比率的話似乎是表示事實上的統計情形，而從事實上的統計方面著想，這句話似乎可以說得過去。 關於內包與外延的討論及筆墨官司，有一部分現在根本可以不必提及，但另有一部分現在似乎還是很重要的問題，現在仍有所謂內包邏輯與外延邏輯。主張內包邏輯的人幾乎免不了以為外延邏輯根本不是邏輯，而是算學。主張外延邏輯的人，事實上是注重算學，但他們的系統在形式方面仍是邏輯。近來還有更進一步的辯論。茲以路易斯與羅素的系統為例。路易斯的系統似乎是所謂「內包」邏輯的系統，而羅素的系統通常以為是「外延」的系統。路易斯氏對於羅素的系統的批評約有以下諸端：（1）羅素的系統與我們心目意識中的邏輯大不同，尤其是蘊涵（implication）的意義與普通蘊涵的意義大不同，其結果是無論怎麼命題差不多都有蘊涵關係，而彼此獨立同時彼此一致的命題差不多沒有。（2）羅素系統中表面上雖是用方才所提到的那樣奇怪的蘊涵，而其實所用的均是路易斯氏所主張的蘊涵關係。路易斯謂羅素系統中的推論其所以無毛病者在此。（3）羅素系統中一部分的思想可以容納到路易斯的嚴格蘊涵系統中，而路易斯系統中有一部分的思想不能容納到羅素系統中去。贊成羅素系統的人（如亞伯拉姆氏）則謂路易斯系統中的嚴格蘊涵關係，羅素系統中亦有，不過照羅素系統的層次發生較遲而已。亞伯拉姆氏的文章很長，詳見Monist。總而言之，內包與外延似乎不是絕對兩不能通而彼此獨立的邏輯。即以「形式蘊涵」而論，這裡的蘊涵關係，說它是X方面的外延關係固可，稍加修改說它是φ與ψ的內包關係亦未嘗不可。 這個問題詳細地討論起來，既費時間且費精力。它與演繹系統的關係淺，與邏輯哲學（philosophy of logic）的關係深，我們在此處不過提及而已。 4. 定義問題。傳統邏輯里的定義問題頗為重要，但與現在的定義問題不同。茲先述傳統邏輯里的說法。這個說法大約可以分作以下部分：a. 定義之重要；b. 內包的定義；c. 外延的定義；d. 定義的規律。 a. 定義之重要。定義的重要，用不著多說。若所用的名詞其意義不定，則無談話的可能，無語言文字的可能，當然也無邏輯的可能。「重要」兩字是相對的。如果我們要思想合乎邏輯，要條理化，要一致等等，定義是不可缺的；如果我們不談邏輯，不談條理，我們也用不著定義。 b. 內包的定義。普通用定義二字時，所說的定義大都是內包的定義，因為嚴格地說沒有外延的定義。但在普通教科書里，內包的定義有兩種，一為名義的定義，一為實質的定義；前者如「博愛之謂仁」，後者如「人是兩足的動物」。一注重名詞所包含的意義，一注重名詞所代表的東西的實質。二者孰為重要，孰為靠得住，在從前曾為一辯論的問題，而在現在根本用不著討論，至少在邏輯系統範圍之內用不著討論。 c. 外延的定義。這個名詞是一時的創造，普通教科書里稱為division，這實在是一種分類法，不過它的原則就是二分法而已。任何一比較根本的名詞，或外延較廣的名詞，遞分之為二，可以成一擺成三角形的名詞集團。在此三角形內有些名詞，有它的特殊的一定的位置。例如下圖所示。 d. 關於定義之規律大約有好幾條，關於division也有規律。這許多規律中僅有一條是我們要注意的，其他都可以不理。我們所應當注意的一條，最簡單的說法，就是定義不要繞圈子。茲名整個表示定義的話為定義，被定義的名詞為左詞，定左詞的義的名詞為右詞。我們應注意的條件不過是說右詞中不能有左詞復現，或左詞不能重見於右詞。這一條是不僅傳統邏輯有此問題，現在還是有此問題。為什麼有此問題呢？我們覺得這一條規律是我們所應遵守的，但理由可不容易說。通常有兩個理由，現在因演繹邏輯系統化之後又加上第三個理由。 （一）知識方面的先後問題。我們對一名詞覺得要下定義時，或者我們不知道它的意義，或者它的意義不清楚，右詞的職責就是使我們知道左詞的意義，或使左詞的意義清楚。如果左詞重現於右詞，則右詞不能盡它的職責。這一個理由似乎是最普通的理由。 （二）無量推進而無止境的問題。如果右詞包含左詞，或左詞重現於右詞，而右詞的職務在定左詞之義，則右詞本身之義未定，如果第一個右詞本身的義未定，則須求助於另一定義，但第二定義中的右詞的情形與前一樣。如此類推永無止境，那就是說定義根本就不能實現。 （三）演繹邏輯系統化之後，除知識方面的先後外尚有系統方面的先後。每一系統有它的演進的層次。在一系統中之定義，右詞均已曾見於那一系統而左詞則尚未發現於那一系統。在系統的演進層次方面，右詞在前，左詞在後。如左詞重現於定義之右詞，則右詞在那一系統中仍為一未發現之名詞。以一尚未發現的名詞去定一尚未發現的名詞的義，當然辦不到。 以上的討論根據於定義不要繞圈子的規律，但這問題還有許多旁的問題夾雜在裡面。所謂左詞不能重現於右詞，是整個的左詞呢，還是只要與左詞有關係的名詞均不能重現於右詞呢？還是左詞的部分均不能重現於右詞呢？定義不能繞圈子，可是事實上能不能免繞圈子呢？如果百科全書代表人類的思想，百科全書免不了繞圈子，則我們的思想也免不了繞圈子。如果定義從大的方面廣的方面不能不繞圈子，而在狹的方面又不能繞圈子，則問題不是任何圈子都不能繞，而是多麼小的圈子不能繞。關於定義問題以後還要提出，但方才所說的這一層以後不再討論。 B. 命題 傳統的邏輯討論命題的時候常常是討論判斷，因此有一部分的思想是心理學與知識論方面的思想。以下的討論不限於狹義的傳統邏輯。茲分為四部分：1. 心理方面的討論；2. 主賓詞式的命題；3. 命題的各種分類法；4. 以量與質為標準的各種分類法。 1. 心理學與知識論方面的問題，在作者個人是最不容易著筆的問題。最大的關鍵似乎是把邏輯里的命題當作知識論里的判斷。判斷離不了心理，離不了歷史的背景，離不了一時一地的環境。既然如此，則討論命題的時候，演繹系統之外的問題也就不能不連帶提出討論。但其所以如此者，因為最初的邏輯本來就有知識論在內。談名詞就談到官覺與感覺，談命題就談到判斷，愈注重在求知識的實際上的應用，愈不能得抽象的進步，愈注重實質，愈忽略形式；其結果是形式方面的對與不對的問題無形之中變成了真與不真的問題。本書對於此問題特別從略。 2. 主賓詞的命題：傳統邏輯里的命題都是主賓詞式的命題。所謂主賓詞式的命題者可以用「『甲』是『乙』」的形式代表。此中「甲」與「乙」均代表名詞，而二者之間有「是」字以為聯繫。「甲」即主詞，「乙」即賓詞。此等名詞實由印度歐羅巴各種文字的文法中借來。從習於這一支派文字的人的眼光看來，這個形式當然是非常之普遍，在語言文字既為普遍，在邏輯也容易視為普遍，其結果是傳統邏輯的命題都是具這種形式的命題。 希臘文字也是這一支派的文字，希臘的思想也就受這一支派文字的影響。文字方面的通式既是主詞與賓詞的關聯，事物方面的普遍情形也就變成了本質與屬性的綜合。所謂判斷不過是表示某種本質有某種屬性而已。在傳統邏輯里，命題既與判斷分不開，判斷既表示某本質有某屬性，命題也就是某一主詞與某賓詞的關聯。 別的理由或者還不少，但主賓詞的形式既為命題的普遍形式，而傳統邏輯一方面範圍狹，另一方面又混沌，這樣從範圍方面說，表示關係的命題就發生困難。「A比B長，B比C長，所以A比C長」這樣的推論在三段論的推論中就發生問題。此推論是很明顯地靠得住，可是它不守三段論式法，而其所以不守三段論式法者是因為這個推論中的命題根本就不是主賓詞式的命題。即強為解釋成主賓詞式的命題，它們的推論仍違三段論式的規律。把命題限制到主賓詞式，其不遵守此式者傳統邏輯無法應付。 另外一方面因把命題限制到主賓詞式，傳統邏輯又太混沌。「甲是乙」這命題中之「是」字，其意義非常不清楚。茲特以最普通的「All men are mortal」為例。此命題至少可以有以下不同的意義： a. 把主賓詞均視為類詞，「是」字表示兩類的包含關係，如此則此命題的意義是「人」類包含在「有死」類之中。 b. 把主詞代表具體的個體，而賓詞代表類詞，「是」字表示什麼樣的個體屬於「有死」類，如此則此命題等於說「趙錢孫李等等」均是「有死」類的分子。分子與類的關係和類與類的關係根本不同，這一層以後再要提出說明。 c. 把主詞視為具體的東西而賓詞視為屬性，「是」字表示賓詞所代表的屬性可以形容主詞所代表的東西，如此，則此命題說「具體的人」有「有死」的屬性。 d. 把主詞與賓詞視為兩種概念，「是」表示兩概念之關係，而此命題之意義是「人」概念在「有死」的概念之中。這個等於說，無論有人與否凡能以「人」概念去形容的東西，也是能以「有死」概念去形容的東西。「是」表示無條件的兩概念的當然關係。 e. 以主詞的存在為條件而賓詞或為概念，或為類詞，或為表示屬性的名詞。如此則此命題在此條件滿足之下才有意義，不然無意義。「是」字表示在相當條件之下的一種一定的情形。 f. 以主詞的存在為事實而賓詞如e條所述。如此，則此命題表示事實，「是」字表示一種實然的情形。 g. 「all」這一字可以當作「所有已往及現在的」的解釋，則此命題中的「是」有「已經是」與「仍是」的兩意義，以後怎樣則不曾說起。 h. 「all」這一字可以當作「所有已往，現在及將來的」的解釋，則此命題的「是」字無時間的限制。 i. 「all」這一字也可以當作一集團的解釋，但大都不至於有此解釋。可是如果用此解釋，則「是」字的意義又與以上的不同，而在此解釋之下，又有各種不同的意義可能。 無論如何，即此兩端已經表示邏輯中的命題不能限於主賓詞式的命題，而傳統邏輯有此限制。 3. 命題的各種分類法。命題的分類有與名詞的分類一樣的地方；有各種不同的標準，也有各種不同的分類法，而同時彼此也可以相容。 a. 如以層次為標準，我們可以有： （一）初級命題。 如：禮義廉恥，國之四維。 （二）次級命題。 如：管子說，禮義廉恥，國之四維。 前一命題所注重的是禮義廉恥究竟是不是國之四維，而後一命題嚴格的說來注重在管子說了這句話沒有。如此類推，可以有三級命題、四級命題等等。此處之所謂初級是相對的，我們可以把它改成n級，如此則次級為n+1級。 b. 以命題之簡單與複雜為標準，我們有： （一）簡單命題。 如：李先生在教育部做事。 （二）連合命題。 如：李先生在教育部做事，同時在學校教書。 （三）複雜命題。 如：如果李先生在教育部做事，他就不能住在廣東。 c. 以命題所表示的情形的性質為標準，我們可以有： （一）直言命題。 如：人為萬物之靈。 （二）假言命題。 如：如果x是人，他就是萬物之靈。 d. 以命題的質與量為標準，我們可以有： （一）肯定命題。 如：李先生是學者。 （二）否定命題。 如：李先生不是學者。 （一）與（二）均從質著想。 （三）全稱命題。 如：所有的中國人都有黑頭髮。 （四）特稱命題。 如：有些中國人有黃頭髮。 （三）與（四）均從量著想。在此處「所有」視為「all」之譯名，「有些」視為「some」的譯名。「all」與「some」的意義不清楚，可是在此處不必特別提出討論。 4. 質量標準下的各種不同的分類法。在傳統邏輯，質量標準的分類法是最重要的分類，因為傳統演繹法的推論差不多全是根據於引用這種分類法的命題。但本段所舉的各種分類法之中，有些不在傳統邏輯範圍之內。 a. 最老的而同時也是最普遍的就是普通教科書里A、E、I、O四個命題。 （一）所有的 S 都是 P············A （二）有些 S 是 P··················I （三）有些 S 不是 P···············O （四）無一 S 是 P··················E 「A」「E」「I」「O」名詞當然是有來源的，但是我們可以置之不理。我們叫它們作東西南北或上下左右亦未嘗不可。但既有此舊名詞，最好是仍舊。S表示主詞，P表示賓詞。這四個命題有時寫成： （一）SAP，（二）SIP，（三）SOP，（四）SEP。 b. 以上的命題在主詞方面有量的表示，而在賓詞方面沒有量的表示。哈蜜敦（Hamilton）主張賓詞亦應有量的表示。這個主張在從前曾經有許多討論與辯論，而現在似已成邏輯學史上的陳跡。根據於此主張，哈蜜敦提出以下八個命題。 （一）所有的S是所有的P （二）所有的S是有些P （三）有些S是所有的P （四）有些S是有些P （五）任何S不是任何P （六）任何S不是有些P （七）有些S不是任何P （八）有些S不是有些P c. 溫約翰（Venn）以種種理由贊成以上的主張，而不贊成以上八個命題的辦法。他贊成以質量為標準而分別以下五個命題： （一）所有的S是所有的P （二）所有的S是有些P （三）有些S是所有的P （四）有些S是有些P （五）無一S是任何P d. 前幾年辭世的約翰生（Johnson）似乎主張把主詞與賓詞均視為形容詞，而傳統的A、E、I、O因此具以下的形式： （一）「A」 凡是S者均是P （二）「E」 無是S者是P （三）「I」 有是S者是P （四）「O」 凡是S者不均是P e. 賴德·弗蘭克林（Ladd-Franklin）與沈有乾先生均贊成以下比較複雜的八個命題： （一）無一S是P （二）所有非S均是P （三）無一非S是P （四）所有的S均是P （五）所有的非S不均是P （六）有些S是P （七）所有的S不均是P （八）除S之外有些是P 在以質量為標準的範圍之內，這八個命題的意義比以前的均精確，範圍也比以前的為廣，同時彼此的關係也相當的複雜。 C. 直接推論中之對待關係 所謂直接推論者即不用第三命題的媒介，在兩命題中由其一而推論到其二。傳統邏輯中的直接推論有兩部分，一即命題的對待關係，一為換質換位兩法及其變態的推論法。本段僅提對待關係。討論的層次如下：1. 各關係的定義；2.傳統邏輯教科書中的對待關係；3. 各種不同解釋下的各種不同的對待關係。 1. 各種關係的定義。 a. 反對（contrary）。兩命題 (1) 有反對的關係，如果 （一）可以同時假； （二）不能同時真； （三）由一命題之真，可以推論到第二命題之假； （四）由一命題之假，不能推論到第二命題之真或假。 b. 下反對的關係（sub-contrary）。兩命題有下反對的關係，如果 （一）可以同時真； （二）不能同時假； （三）由一命題之假，可以推論到第二命題之真； （四）由一命題之真，不能推論到第二命題之真或假。 c. 矛盾的關係（contradictory）。兩命題有矛盾的關係，如果 （一）不能同時真； （二）不能同時假； （三）由一命題之真，可以推論到第二命題之假； （四）由一命題之假，可以推論到第二命題之真。 d. 差等的關係（sub-alternate）。兩命題有差等的關係，如果一為全稱一為特稱，而 （一）可以同時真； （二）可以同時假； （三）如全稱為真，則特稱亦為真，全稱為假，特稱不定； （四）如特稱為真，全稱不定，特稱為假，全稱亦為假。 2. 表示命題的圖形。 a. 在教科書里，有以圖形表示命題的方法。圖形的確有助於我們對命題的了解。普通用的圖形似乎是兩個圈。方法如下： b. 本書所用的方法也是老方法。在未畫圖之前，我們應先說幾句關於二分法的話。如果有一名詞A用二分法後，就有另一名詞非A，茲以 表示之。如果有兩名詞A、B，用二分法後，就有四名詞，AB、 、 、 。如果有三名詞A、B、C，用二分法後，就有八名詞，ABC、 、 、 、 、 、 、 。命題同樣。說以A、B為例，我們可以畫圖形如下： 此中1為 ，2為 ，3為AB，4為 。 設有A、B、C三名詞，其圖形如下： 此中1為 ，2為 ，3為 ，4為ABC，5為 ，6為 ，7為 ，8為 。此圖在三段論或常用，在直接推論中只要上一頁那圖形。 c. 茲以圖表示A、E、I、O。 （一）SAP 此圖表示有SP，沒有 ，「+」表示有，「≡」表示沒有。關於有SP這一層，以後的討論尚多。第四格之 究竟有否，此圖沒有表示，這一層比以上兩圈的辦法高明得多。總而言之，此圖表示在代表P的那個圈子範圍之外沒有S，這也就是表示所有的S都是P。 （二）SEP 此圖表示沒有SP，那也就是表示沒有S是P。 （三）SIP 此圖表示有SP，那就是說有S是P。至於有不是P的S或不是S的P與否，此 圖無表示。 （四）SOP 此圖表示有SP，那就是說有不是P的S或有S不是P。至於有是P的S或不是S的P與否，此圖無表示。 3. 傳統教科書中的對待關係。 a.（一）A與E的關係為反對關係。「所有的S都是P」與「無一S是P」這兩個命題不能夠同時是真的；這一層顯而易見，如不能見，似乎沒有好法子表示。它們可以同時假；這層很容易知道，只要有一部分的S是P，一部分不是，則A與E俱假。既不能同時真，則如A是真的則E是假的，E是真的則A是假的。但既可以同時假，則A是假的，E可以是真的也可以是假的；E是假的，A可以是真的也可以是假的。 （二）茲以圖表示：此以上表示A與E「不能」同真，可以同假，一真則另一必假，一假則另一不定。此情形滿足反對的定義。 b.（一）I與O的關係為下反對的關係。「有些S是P」與「有些S不是P」——「有些」二字的範圍可以寬到「所有」——可以同時真，只要一部分的S是P，一部分S不是，這兩命題很容易知其可以同時真。可是它們不能同時假。這一層與「有些」的範圍有關，如果「有些」的範圍寬到「所有」的範圍，即令所有的S是P，這兩命題之中仍有一真，所以它們不能同時假。既然如此，由假可以推真，由真不能推假。 （二）茲以圖表示：以上表示I與O可以同真，「不能」同假，一假則另一必真，一真則另一不定。所以I與O為下反對。 c.（一）A與O，E與I的關係為矛盾關係。茲以A與O為例；「所有的S是P」與「有些S不是P」，這兩命題彼此互相否認。有些S不是P」等於說「不是所有的S是P」。既然如此，則在二分法情形之下，它們不能同時真，也不能同時假；由真可以推假，由假也可以推真。E與I的關係同樣。 （二）茲以圖表示： 此圖表示A與O「不能」同真也「不能」同假，一為真另一為假，一為假另一為真。它們是矛盾的命題。E與I同樣。 d.（一）A與I，E與O的關係為差等的關係。茲以A與I為例，「所有的S是P」與「有些S是P」，此兩命題一為全稱，一為特稱。全稱與特稱都可以真，如全稱為真，特稱亦真，特稱不過是限制稍低的命題而已。如果事實上無一S是P，則此全稱與特稱均假，所以可以同時假。但全稱為假時，特稱不必就假，高限度的話雖不能說，低限度的話不見得就不能說。由特稱的真不能推到全稱的真，低限度的話雖能說，高限度的話不見得就能說；可是特稱為假時，全稱亦為假，低限制的話不能說時，高限度的話也不能說。 （二）茲以圖表示：此圖表示A與I可以同真，亦可以同假；I真則A可真可假，I假則A假；A真則I真，A假則I可真可假。它們的關係為差等；E與O同樣。 通常以下圖表示A、E、I、O的關係： 4. 以上表示A、E、I、O在事實上有那樣的對待關係，現在我們要看看這些關係是否一致。我們似乎不能假設任何其他兩對待關係以證明A與O，E與I為矛盾的命題，但如果我們假設A與O、E與I為矛盾命題，及其他任何一對待關係，可以證明其餘的對待關係。 a. 茲假設E與I為矛盾，A與I為差等，證明A與E為反對。 （一）E與I既為矛盾，E假則I真；A與I既為差等，I真則A不定；所以E假則A不定。 （二）E真則I假，I假則A假，所以E真則A假。 （三）A假則I不定，I不定則E不定；所以A假則E不定。 （四）A真則I真，I真則E假；所以A真則E假。 （五）A真則E假，E真則A假；所以AE不能同真。 （六）A假則E不定，E假則A不定；所以AE可以同假。 （七）所以AE的對待關係為反對的對待關係。 b. 茲假設A與O為矛盾，A與I為差等，證明I與O為下反對。 （一）A與O既為矛盾，O真則A假；A與I既為差等，A假則I不定；所以O真則I不定。 （二）O假，則A真；A真，則I真；所以O假則I真。 （三）I真，則A不定；A不定，則O不定；所以I真則O不定。 （四）I假，則A假；A假，則O真；所以I假則O真。 （五）由真不能推假，所以I與O可以同真。 （六）由假可以推真，所以I與O不能同假。 （七）所以I與O的關係為下反對的關係。 c. 茲假設A與O為矛盾，I與O為下反對，證明A與I為差等。 （一）I與O既為下反對，I假則O真；O與A既為矛盾，O真則A假；所以I假則A假。 （二）I真，則O不定；O不定，則A不定；所以I真則A不定。 （三）A假，則O真；O真，則I不定；所以A假則l不定。 （四）A真，則O假；O假，則I真，所以A真則I真。 （五）（一）條表示A、I，可以同假。 （六）（四）條表示A、I，可以同真。 （七）A與I的對待關係為差等的對待關係。 D. 直接推論中之換質與換位 換質與換位至少有一部分是語言方面的問題；例如換質「凡S皆是P」與「無S是非P」，用布爾（Boole）的符號表示，都是「SP=O」，或如換位「有些S是P」與「有些P是S」，用布爾的符號表示，都是「SP>O」，因為「SP>O」與「PS>O」相等。在這一部分的直接推論中還有推論如 partial contraposition，full contraposition，partial inversion，full inversion等，但基本的變換還是換質與換位。本節的討論分以下各部分：1. 換質與換位的定義；2. 換質換位中所發生的問題。 1. 換質與換位的定義。 a. 換質的定義。所謂換質就是改換賓詞的質（正與反）以相反的語言表示一與原來命題意義相同的命題。此中有極大問題，最根本就是換質法能說得通否？由一包含正賓詞的正命題在什麼條件之下才能變成一包含反賓詞的否定命題？反正名詞的意義與範圍及肯定與否定命題的意義與範圍等等。但在此我們均不提及，我們假設換質法說得通。茲舉例如下： （一）SAP 換質到 　SEP （二）SIP 換質到 　SOP （三）SOP 換質到 　SIP （四）SEP 換質到 　SAP 以上由SAP換質到SEP等，均是由一有正賓詞的命題換成一有反賓詞的相反命題。茲以圖表示之：此圖表示換質是對稱的，不但SAP可以換質到SEP，SEP也可以換質到SAP。 b. 換位的定義。換位是改換主詞與賓詞之位置而得一由原來命題所能推論得到的命題。此處說「得一由原來的命題所能推論得到的命題」，因為換位後的命題與原來的命題不必相等。它們既不必相等，則換位不是對稱的。茲稱原來的命題為原位命題，換位後的命題為換位命題。 （一）換位的規律。 （甲）在原位命題未周延之名詞，在換位命題亦不得周延。（周延二字的意義最好以例表示。A的主詞周延，賓詞不周延；I的主賓詞均不周延；O的主詞不周延，賓詞周延；E的主賓詞均周延）。 （乙）原位命題與換位命題的質須一樣。 （二）換位的種類。 （甲）簡單的或無限制的換位，如SIP換到PIS。 （乙）有限制的，如由SAP換到PIS。 （三）A、E、I、O的換位： SAP 換到 　PIS SIP 換到 　PIS SOP 不能換 SEP 換到 　PES SOP之不能換位者，其理由已見於換位的規律。如果把SOP換位到POS，則在原位命題之S未周延而在換位命題的S周延，所以有違第一規律。如果把SOP換位到PIS則第一規律雖遵守，而原位命題為否定換位命題為肯定，其質不同，所以有違第二規律。結果是SOP不能換位。 c. 換質換位（contraposition）的定義。先換原來命題之質，再換換質命題之位，其結果即為換質換位之命題。或者說反原來命題之賓詞以之為主詞所得的命題即為原來命題之換質換位的命題。 （一）換質換位之種類： （甲）不完全的，如 。 （乙）完全的，如 ； （二）A、E、I、O的換質換位： （三）SIP沒有換質換位的命題，因為換質後SIP變成了SOP，而SOP不能換位。既不能換位當然就不能有換質換位的命題。所謂完全的換質換位，不過是把不完全的換質換位再換一次質而已。此足以表示這裡的第三種直接推論仍不過是第一與第二兩種直接推論的引用而已。 d. inversion，此不知如何翻譯才好，或者說反原來命題之主詞以之為主詞，而所得的新命題即為原來命題的inversion命題。 （一）inversion也有： （甲）完全的，如 （乙）不完全的，如 。 （二）A、E、I、O的inversion： SEP的inversion須先從換位起才能得到，SEP換位後得PES，PES換質後得 ，PAS再換位得 ，此即不完全的inversion， 再換質得 ，此即完全的inversion。 e. 傳統邏輯的換質換位可以總結如下：（此見威連約翰生的邏輯書中，不過符號稍有更改而已。） 此中有換位換質命題，上面所未曾談到。此不過是先換位後換質的命題，與換質換位命題的不同之處在質位更換的先後而已。 2. 換質換位的推論問題。 換質換位很早就發生問題。有人曾經說過：SAP之P不周延，而SAP所推論出來的 之P則周延，由一不周延的P居然推論到周延的P，推論層次中必有毛病。對於此問題鏗因斯（Keynes）早就提到「存在」問題，現在則整個的推論靠得住與否都發生問題。茲特從以下諸點著想。 a. 設有以下兩命題：「SAP」與 它們的關係是什麼關係呢？這問題看起來簡單，可是從傳統邏輯的推論方面著想，它是不容易得答案的問題。 （一）SAP可以換位到PIS； 可以換位到 而 又可以換質到POS。 PIS與POS在對待關係推論中有下反對關係。SAP雖不與PIS相等， 雖不與POS相等，而由SAP既可以推論到PIS，由 既可以推論到POS，同時PIS與POS有下反對的關係，我們可以問SAP與 的關係是否下反對的關係，那就是說它們是否不能同時假？ （二）SAP可以換質到 ，再換位到 ； 可以換質到 ，再換位到 ，而 又何以換質到 。 與 兩命題的關係在對待關係中是反對的關係。此處與（一）條所說的又大不相同，SAP等於 而 等於 。 與 既為反對的命題，我們似乎可以問SAP與 是否是反對的命題呢？它們是否不能同時真呢？如從（一）條它們不能同時假，如從本條它們又不能同時真。究竟它們的關係是怎樣的關係呢？ （三）由SAP可以推論到 ，而 ， 在對待關係中，有矛盾的關係。那麼SAP與 是否也有矛盾的關係呢？如果它們矛盾，它們既不能同時真，也不能同時假。這樣說來，既不反對，也無下反對的關係。SAP與 照以上說法，可以有三種不同的關係。哪一種說得過去，哪一種說不過去呢？這裡的問題不僅止於推論的靠得住否，一致否，同時它還有反主詞的意義問題。這個問題很麻煩，本書不提出討論，本書只限於直接推論之靠得住否。 b. 設SAP代表「所有的人是宇宙的分子」， 代表「所有的非人是宇宙的分子」。這兩個命題似乎沒有毛病，它們同時是真的。宇宙的分子既包括一切，則不僅所有的人是宇宙的分子，即所有的非人也是宇宙的分子。這兩個命題既然同時能真，當然不能矛盾，也不能反對，而照以上的說法，除第一項外，SAP與 總有衝突。 這兩命題或者可以說比較的古怪，我們可以舉一個近乎日常生活的命題。國內的報紙以受種種限制使讀者感覺到沒有真實的消息。在此情形之下，如果有人說「所有的正式電報都是假電報」，「所有的非正式電報也都是假電報」，他可以說這兩命題都是真的。但照以上所說，SAP與 似乎總是有衝突的。 這裡當然有旁的問題，如S的範圍、S的意義等，但這問題我們可以不必提及。有一問題是與以上討論對待關係時所討論的問題一致的。此處的兩例都可以說得過去，因為SAP與 之「P」有特別情形。這兩命題中之P都是沒有相反的名詞，或者說 所代表的東西不存在。在前一例，我們可以說，沒有非宇宙的分子，所以「所有的人都是宇宙的分子」與「所有的非人都是宇宙的分子」，都是真的。在後一例，我們所要表示的就是沒有真電報，所以「所有的正式電報是假的」而「所有的非正式電報也是假的」。從這一方面著想問題已經到存在問題上面去了。SAP與 兩命題都說得通的時候，則 不存在，而由SAP所推論得到 與由 所能推論到的 兩命題，就有主詞存在與不存在的問題發生。這一部分的直接推論與前一部分的直接推論有同樣的問題，那就是A、E、I、O的解釋。但這個問題要到第二部才討論。