歷算全書 · 卷五十一

欽定四庫全書 厯算全書卷五十一 宣城梅文鼎撰 三角法舉要卷二 算例 三角形有三類 一曰句股形 即直角三邉形也有正方角一餘並銳角 一曰銳角形 三角並銳 一曰鈍角形 三角內有鈍角一餘並銳角 以上三類總謂之三角形其算之各有術 句股形第一術　有一角一邉求餘角余邉 內分二支 一先有之邉為 一先有之邉為句【或先有股亦同】 假如【壬癸丁】句股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】 求餘角余邉 一求癸丁邉 術曰以半徑全數比丁角之餘 若壬丁與癸丁句【半徑即丁乙余即甲丁 以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸】 一率【原設】半徑　　　　一○○○○○為法 二率【原設句】丁角【五十七度】余　五四四六四【相乘】 三率【今有】壬丁邉　　　九十一丈八尺【為實】 四率【今所求句】癸丁邉　　　五十丈　　　法除實得所求一求壬癸邉 術曰以半徑比丁角之正若壬丁與壬癸股 一率【原設股】半徑　　　　一○○○○○　為法二率【原設股】丁角【五十七度】正　八三八六七　【相乗】三率【今有】壬丁邉　　　九十一丈八尺　【為實】四率【今所求股】壬癸邉　　　七十七丈　　法除實得所求一求壬角 以丁角【五十七度】與象限九十度相減得餘三十三度爲壬角 計開 先有之三件 癸正方角【九十度】　丁角【五十七度】　壬丁【九十一丈八尺】 今求得三件 癸丁旬【五十丈】　壬癸股【七十七丈】　壬角【三十三度】 右例先得以求句股也是為句股形第一術之第一支 假如【壬癸丁】句股形有丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】求餘角余邉 一求壬角 以丁角【六十二度】與象限相減得餘二十八度為壬角 【戊丙丁句股形以戊丙切線為股丙丁半徑為句戊丁割線為 是丁角原有之線】 【今壬癸丁句股形既同丁角則其比例等】 一求壬丁邉 術為以半徑比丁角之割線若癸丁句與壬丁 一【原設句】半徑　　　　　一○○○○○　為法二【原設】丁角【六十二度】割線　二一三○○五　【相乗】 三【今有句】癸丁邉　　　　二十四丈　　　【為實】 四【所求】壬丁邉　　　　五十一丈二尺　法除實得所求一求壬癸邉 術為以半徑比丁角之切線若癸丁句與壬癸股 一【原設句】半徑　　　　　一○○○○○為法 二【原設股】丁角【六十二度】切線　一八八○七三　【相乗】 三【今有句】癸丁邉　　　　二十四丈　　　【為實】 四【所求股】壬癸邉　　　　四十五丈一尺　法除實得所求計開 先有之三件 癸正方角　丁角【六十二度】　癸丁句【二十四丈】 今求得三件 壬角【二十八度】　壬丁【五十一丈一尺】　壬癸股【四十五丈一尺】右例先得句以求及股也或先得股以求及句亦同是為句股形第一術之第二支 句股形第二術　有邉求角 亦分二支 一先有二邉 一先不知正方角而有三邉【新増】 假如【壬癸丁】句股形有壬丁【一百零二丈二】癸丁句【尺四十八】 求二角一邉 一求丁角 術為以壬丁比癸丁句若半 徑乙丁與丁角之餘甲丁 一　壬丁邉　　一百○二丈二尺　今有之為法二　癸丁邉　　　四十八丈　　　今有之句【丈相】三　半徑　　　一○○○○○　　原設之【乘為】四　丁角余　　四六九六六　　法除實得所求原設句 依術求得丁角六十二度【實以所得余撿表即】 一求壬角 以丁角【六十二度】與象限相減得餘二十八度為壬角一求壬癸邉 術為以半徑比丁角之正若壬丁與壬癸股 一　半徑　　　　　一○○○○○ 二　丁角【六十二度】正　　八八二九五 三　壬丁邉　　　　一百○二丈二尺 四　壬癸邉　　　　　九十丈○二尺三寸 計開 先有之三件 壬丁【一百○二丈二尺】　癸丁句【四十八丈】　癸正方角 今求得三件 丁角【六十二度】　壬角【二十八度】　壬癸股【九十丈○二尺三寸】 右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是為句股形第二術之第一支【此先有二邉為與句故用正余若先有者是句與股則用切線其比例之理一也】 假如【壬癸丁】三角形有壬丁邉【一百○六丈】壬癸邉【九十丈】癸丁邉【五十六丈】求角 一求癸角 術以壬丁大邉與丁癸邉相加得【一 百六十二丈】為總又相減得【五十 丈】為較以較乗總得【八千一百丈】為實以壬癸邉【九十丈】為法除之 仍得【九十丈】與壬癸邉數等即知 癸角為正方角 依術求得癸角為正方角定為句股形 一求丁角 術為以丁癸邉比壬癸邉若半徑與丁角之切線 一　丁癸句　　五十六丈 二　壬癸股　　九十丈 三　半徑　　　一○○○○○ 四　丁角切線　一六○七一四 依術求得丁角五十八度○六分【以所得切線撿表即得】 一求壬角 以丁角【五十八度○六分】與象限相減得餘三十一度五十四分為壬角 計開 先有三邉 壬丁邉【一百零六丈】　壬癸邉【九十丈】　癸丁邉【五十六丈】 求得三角 癸正方角　丁角【五十八度零六分】　壬角【三十一度五十四分】右例亦以邉求角而先不知其為句股形故兼用三邉是為句股形第二術之第二支 銳角形第一術　有兩角一邉求餘角余邉 假如【乙丙丁】銳角形有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁邉【一百二十尺】 先求乙角 術以丙角【六十度】丁角【五十度】相 並得【一百一十度】以減半周一百 八十度餘七十度為乙角 次求乙丁邉 術為以乙角正比丙丁邉若丙角正與乙丁邉 一　乙角【七十度】正　九三九六九 二　丙丁邉【即乙角對邉】　一百二十尺 三　丙角【六十度】正　八六六○三 四　乙丁邉【即丙角對邉】　一百一十尺○六寸 次求乙丙邉 術為以乙角正比丙丁邉若丁角正與乙丙邉 一　乙角【七十度】正　九三九六九 二　丙丁【乙角對邉】　　　一百二十尺 三　丁角【五十度】正　七六六○四 四　乙丙【丁角對邉】　　　　九十七尺八寸 計開 先有之三件 丙角【六十度】　丁角【五十度】　丙丁邉【一百二十尺】 今求得三件 乙角【七十度】　乙丁邉【一百一十尺零六寸】　乙丙邉【九十七尺八寸】右例先有之邉在兩角之間也若先有之邉與一角相對亦同蓋三角形有兩角即有第三角故無兩法 銳角形第二術　有一角兩邉求餘角余邉 此分二支 一先有之角與一邉相對 一先有之角不與邉相對 假如【甲乙丙】銳角形有丙角【六十度】甲丙邉【八千尺】甲乙邉【七千零三十四尺】 先求乙角 術為以甲乙邉比甲丙邉若丙角 正與乙角正 一　甲乙【丙角對邉】　　　七千○三十四尺 二　甲丙【乙角對邉】　　　八千尺 三　丙角【六十度】正　八六六○三 四　乙角　　正　九八四九六 撿正表得乙角八十度○三分 次求甲角 以丙角乙角相併得【一百四十度○三分】以減半周餘三十九度五十七分為甲角 次求乙丙邉 術為以乙角之正比甲角之正若甲丙邉之與乙丙邉 一　乙角【八十度○三分】正　九八四九六 二　甲角【三十九度五十七分】正　六四二一二 三　甲丙【乙角對邉】　　　　　八千尺 四　乙丙【甲角對邉】　　　　　五千二百一十五尺計開 先有之三件 丙角【六十度】　甲丙邉【八千尺】　乙甲邉【七千○三十四尺】 今求得三件 乙角【八十度○三分】　甲角【三十九度五十七分】　乙丙邉【五千二百一十五尺】右例有兩邉一角而角與一邉相對是為銳角形第二術之第一支 假如【甲乙丙】銳角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】　角在兩邉之中不與邉對求甲乙邉 先求中長線分為兩句股形 術為以半徑比丙角正若甲 丙邉與甲丁中長線 一　半徑　　　　　一○○○○○ 二　丙角【六十度】正　○八六六○三 三　甲丙邉　　　　四百尺 四　甲丁中長線　　三百四十六尺四寸一分次求丙丁邉【即所分甲丁丙形之句而甲丙為之】 術為以半徑比丙角余若甲丙邉與丙丁邉 一　半徑　　　　　一○○○○○ 二　丙角【六十度】余　　五○○○○ 三　甲丙邉　　　　四百尺 四　丙丁邉　　　　二百尺 次求乙丁邉【即所分甲丁乙形之句而甲丁為之股】 以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁次求丁甲乙分角【即分形甲丁乙句股之甲角】 術為以甲丁中長線比乙丁分邉若半徑與甲分角切線 一　甲丁中長線　三百四十六尺四寸一分 二　乙丁分邉　　　六十一尺○八分 三　半徑　　　　一○○○○○ 四　甲分角切線　　一七六三三 撿切線表得一十度為甲分角 末求甲乙邉 術為以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邉 一　半徑　　　　　　一○○○○○ 二　甲分角【十度】割線　一○一五四三 三　甲丁中長線　　　三百四十六尺四寸一分 四　甲乙邉　　　　　三百五十一尺七寸五分求甲全角 以丙角【六十度】之餘角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】與求到甲分角【一十度】相併得四十度為甲全角 求乙角 以甲分角【一十度】減象限得八十度為乙角【或並丙甲二角減半周亦同】 計開 先有之三件 甲丙邉【四百尺】　乙丙邉【二百六十一尺○八分】　丙角【六十度】 今求得三件 甲乙邉【三百五十一尺七寸五分】　甲角【四十度】　乙角【八十度】右例有兩邉一角而角在兩邉之中不與邉對故用分形以取句股是為銳角形第二術之第二支 又術【新増】　用切線分外角 假如【甲乙丙】銳角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】　此即前例但求甲角 術以【甲丙乙丙】兩邉相併為總相減為 較又以丙角【六十度】減半周得外 角【一百二十度】半之得半外角【六 十度】撿其切線依三率法求得半 較角以減半外角得甲角 一　兩邉總　　　六百六十一尺○八分 二　兩邉較　　　一百三十八尺九寸二分 三　半外角切線　一七三二○五 四　半較角切線　　三六三九七 撿切線表得【二十度】為半較角轉與半外角【六十度】相減得甲角四十度 次求乙角 並甲丙二角共【一百度】以減半周得餘八十度為乙角次求甲乙邉 一　甲角【四十度】正　六四二七九 二　丙角【六十度】正　八六六○三 三　乙丙邉　　　　二百六十一尺○八分 四　甲乙邉　　　　三百五十一尺七寸五分 銳角形第三術　有三邉求角 假如【甲乙丙】銳角形有乙丙邉【二十丈】甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】乙甲邉【一十三丈○五寸】 術曰任以【乙丙】大邉為底從甲角 作甲丁虛垂線至底分為兩句股 形 一甲丁丙形以甲丙邉為丁丙 為句 一甲丁乙形以甲乙邉為丁乙為句 兩相併為總相減為較　兩句相併【即乙丙邉原數】為句總求兩句相減之數為句較 術為以句總比總若較與句較也 一　兩句之總【即乙丙】　二十丈 二　兩之總　　　三十丈○六尺三寸五分三　兩之較　　　四丈五尺三寸五分 四　兩句之較【即丙戊】　六丈九尺四寸六分 求分形之兩句 以句較【六丈九尺四寸六分】減句總【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分為【甲丁乙】分形之句 又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加句較【六丈九尺四寸六分　即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分為【甲丁丙】分形之句 求丙角 術為以甲丙比丁丙句若半徑與丙角之餘 一　甲丙邉　　一十七丈五尺八寸五分 二　丁丙分邉　一十三丈四尺七寸三分 三　半徑　　　一○○○○○ 四　丙角余　　七六六一六 撿余表得丙角四十度 求甲角 術先求分形大半之甲角 以丙角【四十度】減象限餘五十度為【丁甲丙】分形之甲角 次求分形小半之甲角 術為以甲乙比丁乙句若半徑與分形甲角之正 一　甲乙邉　　　一十三丈○五寸 二　丁乙分邉　　　六丈五尺二寸七分 三　半徑　　　　一○○○○○ 四　甲分角正　　五○○一五 撿正表得三十度為【丁甲乙】分形之甲角 並分形兩甲角【先得五十度後得三十度】得共八十度為甲全角求乙角 倂丙甲二角共【一百二十度】以減半周得餘六十度為乙角計開 先有三邉 甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】　乙丙邉【二十丈】乙甲邉【一十三丈○五寸】 求得三角 丙角【四十度】　甲角【八十度】　乙角【六十度】 鈍角形第一術　有兩角一邉求餘角余邉 假如【乙丙丁】鈍角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙邉【五十四丈】 先求丁角 術以丙乙二角並之共【六十度半】以減半周得餘一百一十九度半 為丁鈍角 次求乙丙邉 術為以丙角正比丁角正若乙丁邉與乙丙邉 一　丙角【三十六度二十分】正　五九四八二 二　丁角【一百十九度三十分】正　八七○三六 三　乙丁邉　　　　　　五十四丈 四　乙丙邉　　　　　七十九丈○一寸 右所用丁角正即六十度半正以鈍角度減半周用之凡鈍角並同 求丁丙邉 術為以丙角正比乙角正若乙丁邉與丁丙邉 一　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二 二　乙角【二十四度】正　四○六七四 三　乙丁邉　　　　　五十四丈 四　丁丙邉　　　　　三十六丈九尺二寸 計開 先有之三件 丙角【三十六度半】　乙角【二十四度】　丁乙邉【五十四丈】 今求得三件 丁鈍角【一百一十九度半】　乙丙邉【七十九丈○一寸】　丁丙邉【三十六丈九尺二寸】 鈍角形第二術　有一角兩邉求餘角余邉 亦分二支 一先有對角之邉 一先有二邉皆角旁之邉而不對角 假如【甲乙丙】鈍角形有乙角【九十九度五十七分】甲丙對邉【四千尺】甲乙邉【三千五百一十七尺】 求丙角 術為以甲丙對邉比甲乙邉若 乙角正與丙角正 一　甲丙邉　　　　　　四千尺 二　甲乙邉　　　　　　三千五百一十七尺三　乙角【九十九度五十七分】正　九八四九六【即八十度三分正】 四　丙角　　　　正　八六六○三 撿表得丙角六十度 求甲角 並乙丙二角【共一百五十九度五十七分】以減半周得餘二十度○三分為甲角 求乙丙邉 術為以乙角之正比甲角之正若甲丙對邉與乙丙邉 一　乙角【九十九度五十七分】正　九八四六九 二　甲角【二十○度三分】正　三四二八四 三　甲丙邉　　　　　　四千尺 四　乙丙邉　　　　　　一千三百九十二尺計開 先有之三件 乙鈍角【九十九度五十七分】　甲丙邉【四千尺】　甲乙邉【三千五百一十七尺】 今求得三件 丙角【六十度】　甲角【二十度○三分】　乙丙邉【一千三百九十二尺】右例有兩邉一角而先有對角之邉是為鈍角形第二術之第一支 假如【乙丁丙】鈍角形有乙丁邉【一千零八十尺】乙丙邉【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】　角在兩邉之中不與邉對 術先求形外之虛垂線補成正方角 從不知之丙角作虛垂線於形外 如丙戊亦引乙丁線於形外如丁 戊兩虛線遇於戊成正方角 術為以半徑比乙角正若乙丙邉 與丙戊 一　半徑　　　　　一○○○○○ 二　乙角【二十四度】正　　四○六七四 三　乙丙邉　　　　一千五百八十二尺 四　丙戊邉【即虛垂線】　　　六百四十三尺 又以半徑比乙角之餘若乙丙邉與乙戊 一　半徑　　　　　一○○○○○ 二　乙角【二十四度】余　　九一三五五 三　乙丙邉　　　　一千五百八十二尺 四　乙戊邉【即乙丁引長線】　一千四百四十五尺 以原邉乙丁【一千○八十尺】與引長乙戊邉相減得丁戊【三百六十五尺】為形外所作虛句股形之句【則先得丙戊垂線為股而原邉丁丙為之】 求丁丙邉 依句股求術以丙戊股自乗【四十一萬三千四百四十九尺】丁戊句自乗【一十三萬三千二百二十五尺】並之得數【五十四萬六千六百七十四尺】為實平方開之得七百三十九尺為丁丙邉 求丙角 術為以丁丙邉比丁乙邉若乙角正與丙角正 一　丁丙邉　　　　　七百三十九尺 二　丁乙邉　　　　一千○八十尺 三　乙角【二十四度】正　四○六七四 四　丙角　　正　五九四四二 撿表得丙角三十六度二十九分 求丁角 並乙丙二角共【六十度二十九分】以減半周得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角 計開 先有之三件 乙丁邉【一千零八十尺】　乙丙邉【一千五百八十二尺】　乙角【二十四度】 今求得三件 丁丙邉【七百三十九尺】　丙角【三十六度二十九分】　丁鈍角【一百一十九度三十一分】 右例有兩邉一角而兩邉並在角之兩旁不與角對是為鈍角形第二術之第二支 又術【新增】　用切線分外角 假如【乙丙丁】鈍角形有丁乙邉【五百四十尺】丙乙邉【七百九十一尺】乙角【二十四度】　角在兩邉之中不與邉對求丙角 以【丁乙丙乙】兩邉相併為總相減為較又以乙角【二十四度】減半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】撿其切線得四七○四六三 術為以邉總比邉較若半外角切線與半較角切線 一　兩邉之總　　一千三百三十一尺 二　兩邉之較　　　二百五十一尺 三　半外角切線　四七○四六三 四　半較角切線　　八八七一九 撿表得半較角【四十一度三十五分】以轉減半外角【七十八度】得餘三十六度二十五分為丙角 求丁角 並乙丙二角共【六十度二十五分】以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角 求丁丙邉 術為以丙角正比乙角正若乙丁邉與丁丙邉 一　丙角【三十六度二十五分】正　五九三六五 二　乙角【二十四度】正　四○六七四 三　乙丁邉　　　　　　五百四十尺 四　丁丙邉　　　　　　三百六十九尺九寸八分計開 先有之三件 丁乙邉【五百四十尺】　丙乙邉【七百九十一尺】　乙角【二十四度】 今求得三件 丙角【三十六度二十五分】　丁鈍角【一百一十九度三十五分】　丁丙邉【三百六十九尺九寸八分】 鈍角形第三術　有三邉求角【新式】 假如【乙丙丁】鈍角形有乙丙邉【三百七十五尺】乙丁邉【六百○七尺】丁丙邉【三百尺】 術自乙角作虛垂線至甲又引丁 丙線橫出遇於甲而成正方角則 成乙甲丁句股形 又引橫線至辛使甲辛如丙甲成 乙甲辛句股形則丁辛為兩句之 總而所設丁丙邉為兩句之較 又乙丁邉為大形【乙甲丁】之乙丙邉為小形【乙甲辛即乙甲丙】之兩相併為總相減為較 術為以句較比較若總與句總 一　句較【即丁丙邉】　　　　三百尺 二　較【即乙丁內減乙丙之餘】　二百三十二尺 三　總【即乙丁乙丙二邉相併】　九百八十二尺 四　句總　　　　　　七百五十九尺四寸 以句較【三百尺】減所得句總【七百五十九尺四寸】餘數【五百二十九尺四寸】為大形之句甲丁 求丁角【用乙甲丁大形】 術為以乙丁比丁甲句若半徑與丁角之餘 一　乙丁　　六百○七尺 二　甲丁句　　五百二十九尺七寸 三　半徑　　　一○○○○○ 四　丁角余　　八七二六五 撿表得丁角二十九度一十四分 求丙角【用乙甲丙小形】 術為以甲丙句比乙丙若半徑與丙角之割線 一　甲丙句　　二百二十九尺七寸 二　乙丙　　三百七十五尺 三　半徑　　　一○○○○○ 四　丙角割線　一六三二五六 撿表得丙角【五十二度一十四分】為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分 求乙角 並丁丙二角所得度分【共一百五十七度】以減半周得餘二十三度為乙角 計開 先有三邉 乙丙邉【三百七十五尺】　乙丁邉【六百七尺】　　丁丙邉【三百尺】 求得三角 丁角【二十九度一十四分】　丙鈍角【一百二十七度四十六分】　乙角【二十三度】 右例鈍角形三邉求角作垂線於形外徑求鈍角乃新式也若以大邉為底從鈍角分中長線同銳角第三術 厯算全書卷五十一