歷算全書 · 卷五十

欽定四庫全書 厯算全書卷五十 宣城梅文鼎撰 三角形舉要法卷一 測算名義 古用句股有割員弧背矢諸名今用三角其類稍廣不可以不知爰摘綱要列於首簡 防 防如針芒無長短濶狹可論然算從此起譬如算日月行度只論日月中心一點此防所到即為躔離真度線 線有弧直二種皆有長短而無濶狹自一防引而長之至又一防止則成線矣 如測日月相距度皆自太陽心算至太隂心是為弧線如測日月去人逺近皆自人目中一防算至太陽太隂天是為直線 凡句股三角之法俱論線線兩端各一防故線以防為其界 面 面有方員各種之形皆有長短有濶狹而無厚薄故謂之冪冪者所以冒物如量田疇界域只論土面之大小 面之方員各類皆以線限之故面以線為界【面之線亦曰邉】惟員面是一線所成乃弧線也若直線必三線以上始能成形體 體或方或員其形不一皆有長短有濶狹又有厚薄【或淺深高下之類】員體如球如柱方體如櫃如防或如員塔方塔皆以面為界【圖後】 以上四者【謂防線面體】略盡測量之事矣然其用皆在線如論防則有距線論面則有邉線論體則有稜線【面與面相得則成稜線】凡所謂長短濶狹厚薄淺深高下皆以線得之三角法者求線之法也 長短濶狹厚薄等類皆以量而得而量者必於一線正中若稍偏於兩旁則其度不真矣故凡測量所求者皆線也三角形 欲明三角之法必詳三角之形 兩直線不能成形成形者必三線以上而三線相遇則有三角故三角形者形之始也 多線皆可成形析之皆可成三角至三角則無可析矣故三角能盡諸形之理 凡可算者為有法之形不可算者為無法之形三角者有法之形也不論長短斜正皆可以求其數故曰有法若無法之形析之成三角則可量故三角者量法之宗也角 三角法異於句股者以用角也故先論角 兩線相遇則成角【平行兩直線不能作角何也線既平行則雖引而長之至於無窮終無相遇之理角安從生是故作角者必兩線相遇必不平行也】 角有三類一正方角一銳角一鈍角 如右圖以兩線十字縱橫相遇皆為正方角【亦曰直角亦曰方角】 如右圖以兩線斜相遇則一為銳角一為鈍角 凡銳角必小於正方角凡鈍角必大於正方角 正方角止一銳角鈍角則有多種而算法生焉 弧 角在小形與在大形無以異也故無丈尺可言必量之以對角之弧 法以角之端為員心用規作員員周分三百六十度乃視本角所對之弧於全員三百六十度中得幾何度分其弧分所對正得九十度者為正方角【九十度者全員四之一謂之象限】若所對弧分不滿九十度者為銳角【自八十九度以至一度並銳角也】所對弧分在九十度以上者為鈍角【自九十一度至百七十九度並鈍角也】 如圖丁為角即用為員心以作員形 其庚丁丙角【凡論角度並以中一字為所指之角此言庚丁 丙即丁為角也】所對者庚丙弧在全員為四 之一正得象限九十度是為正方角 若乙丁丙角所對者乙丙弧在象限庚丙弧之內小於象限九十度是為銳角 又乙丁壬角所對乙庚壬弧過於壬庚弧【壬庚亦象限九十度弧故庚丁壬亦方角】大於象限九十度是為鈍角 角之度生於割員 割員弧矢 有弧則有矢弧矢者古人割員之法也 如圖以乙子直線割平員則成弧 矢形 所割乙丙子員分如弓之曲古謂 之弧背以弧背半之則為半弧背 【如乙丙】 通正 割員直線如弓之謂之通【如乙子】 通半之古謂之半弧今曰正【如乙甲】 矢線 正以十字截半徑成矢【如丁丙橫半徑為乙甲正所截成甲丙矢】謂之正矢 【以上二條俱仍前圖】 正弧余弧正角餘角 所用之弧度為正弧以正弧減象限 為余弧【如庚丙象限內減乙丙正弧則其餘乙庚為余弧】 正弧所對為正角【如正弧乙丙對乙丁丙角則為正角】 以正角減正方角為餘角【如以乙丁丙正角去減庚丁丙方角則其餘乙丁庚角為餘角】 正余正矢余矢 有正弧正角即有正【如乙甲】有正矢 【如甲丙】亦即有餘【如乙己】有餘矢【如己庚】 正正矢余余矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所有 自一度至八十九度並得為乙丙並得為正弧即正余矢畢具 若用乙庚為正弧則乙丙反為余弧 角之正余亦同 割線切線 每一弧一角各有正余正矢余矢己成四線於平員內【古人用句股割員即此法也蓋此四線己成倒順二句股】 再引半徑透於平員之外與切員直線相遇為割線切線而各有正余復成四線【正割正切餘割餘切復成倒順二句股】共為八線故曰割員八線也 如圖庚乙丙平員切戊丙直線於丙 又引乙丁半徑透出員周外使兩線相 遇於戊則戊丙為乙丙弧之正切線 亦即為乙丁丙角之正切線而戊丁 為乙丙弧之正割線亦即為乙丁丙角之正割線又以平員切庚辛直線於庚與乙丁透出線相遇於辛則庚辛為乙丙弧之餘切線亦即為乙丁丙角之餘切線而辛丁為乙丙弧之餘割線亦即為乙丁丙角之餘割線割員八線 凡用一弧即對一角用一角亦對一弧故可互求凡一弧即有八線【正正矢正割正切余余矢餘割餘切】角亦然 凡一弧之八線即成倒順四句股角亦然 如圖庚丙象弧共九十度庚丁丙 為九十度十字正方角 任分乙丙為正弧乙丁丙為正角 則乙庚為余弧乙丁庚為餘角 正【乙甲　同丁己】　正矢【甲丙】正切【戊丙】　正割【戊丁】余【乙己　同丁甲】　余矢【庚己】餘切【辛庚】　餘割【辛丁】 以上八線為乙丙弧所用亦即為乙丁丙角所用【自一度至八十九度並同】若用乙庚弧亦同此八線但以余為正以正為余 乙甲丁句股形乙丁【半徑】為乙甲【正】為 股丁甲【余】為句　戊丙丁句股形戊丁 【正割】為戊丙【正切】為股丙丁【半徑】為句 以上兩順句股形同用乙丁甲角故其 比例等【凡句股形一角等則餘角並等】 乙己丁倒句股形乙丁【半徑】為己丁【正】為 股乙己【余】為句　辛庚丁倒句股形辛丁 【餘割】為丁庚【半徑】為股辛庚【餘切】為句　以上兩 倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等 乙甲丁句股形乙丁【半徑】為乙甲【正】為股甲 丁【余】為句　丁己乙倒句股形乙丁【半徑】為 己丁【正】為股乙己【余】為句　此倒順兩句股形等邉又等角【倒形之丁角即順形丁角之餘倒形之乙角即順形乙角之餘】竟如一句股也凖此論之則倒順四句股之比例亦無不等矣 角度 凡三角形並三角之度皆成兩象限【共一百八十度】 假如乙甲丁句股形其丁角五十五 度【當乙丙弧】則乙角必三十五度【當乙庚余弧】兩角共一象限九十度其甲角正方 原系九十度合三角成一百八十度 乙角何以必三十五度也試引乙丁過心至夘則夘丁丑角與丁乙甲角等【夘丁乙同為一線丁丑線又與乙甲平行則所作之角必等】而夘丁丑固三十度也則乙角亦三十度矣 又假如丙乙丁三角形從乙角作乙 甲直線至丁丙邉分為兩句股形【乙甲 丁乙甲丙】凖前論乙甲丁句股形以乙分 角與丁角合之成一象限九十度又 乙甲丙句股形以乙分角與丙角合之成一象限九十度然則以乙全角【即兩分角之合】與丁丙兩角合之必兩象限一百八十度矣【乙為鈍角並同】 以此推知三角形有兩角即知餘角【並兩角以減半周一百八十度得之】句股形有一角即知餘角【句股原有正方角九十度則余兩角共九十度故得一可知其二】相似形 既知角可以論形有兩三角形其各角之度相等則為相似形而兩形中各邉之比例相等【謂此形中各邉自相較之比例亦如彼形中各邉自相較之比例也】 比例 兩數相形則比例生比例者或相等或大若干或小若干乃兩數相比之差數也有兩數於此又有兩數於此數雖不同而其各兩數自相差之比例同謂之比例等或兩小數相等又有兩大數相等是為相等之比例數雖有大小其相等之比例均也或兩小數相差三倍又有兩大數亦相差三倍是為三倍之比例或兩小數相差為一倍有半又有兩大數相差亦一倍有半是為一倍有半之比例數雖有大小其為三倍之比例及一倍有半之比例均也 論八線之比例有二 一為八線自相生之比例 乙甲丁小句股形與戊丙丁大句 股形相似【見前條】故以半徑乙丁比 正乙甲若割線戊丁與切線戊 丙之比例也【此為以小比小股若大與大股】股 求亦同 又以半徑丙丁比正切戊丙若余甲丁與正乙甲之比例也【此為以大句比大股若小句比小股】股求句亦同餘仿此以故凡八線中但得一線則余皆可求觀圖自明一為八線算他形之比例 乙丁甲角所有八線為表中原設之數亢丁房句股形為今所算之數 或先有丁角有亢丁而求房丁句則為以乙丁半徑 比甲丁余若亢丁與房丁句 也【以角與句求亦同】以上是用八線以求 他形 或先有亢丁有亢房股而求丁 角則為以亢丁比亢房股若乙 丁半徑與丁角之正乙甲也【得乙 甲得丁角矣】或先有亢房股與房丁句 而求丁角則為以亢房股比房丁 句若丁庚半徑與庚辛餘切也【得庚辛亦得丁角】以上二者是用他形轉求八線 總而言之皆以先有兩數之比例為後兩數之比例其乗除之法皆依三率也 三率 三率算術古謂之異乗同除今以句股解之 丁戊大股【十四尺】丙戊大句【十一尺二寸】截丁乙小股【十尺】問乙甲截句 答曰八尺 術以所截小股乗大句得數 為實以大股為法除之即得截句 若先以原股【十四尺】除原句【十一尺二寸】得八寸為每一尺之句再以截股【十尺】乗之亦得八尺但先除後乗多有不盡之數故改用先乗後除乃古九章中通用之綱要也 先乗後除何以又謂之異乗同除曰今但有截股而不知句故以原有之句乗之股與句異名故曰異乗然後以原有之股除之股與股同名故曰同除然則又何以謂之三率曰本是以原有之股與句比今截之股與句共四件也然見有者只三件【原有之股與句及今截之股】故必以見有之三件相為乗除而得所不知之第四件故曰三率 三率乗除圖式 一率　原有股十四尺　　為法 二率　原有句十一尺二寸【相乗】 三率　今截股十尺　　　【為實】 四率　所求截句八尺　　法除實得所求 術曰以原股比原句若截股與截句也 凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率 二率三率常相乗為實一率常為法法除實得四率四率乃所求之數其三率者所以求之也三率與異乗同除非有二理但以橫列為異然數既平列即可以四率為法除二三相乗之實而得一率並可以一率四率相乗為實用二率為法除之而得三率或用三率為法除之亦得二率是故一四二三之位可以互居【四可為一二可為三】法實可以迭用【二與三可居一四之位一與四可居二三之位】變動不居惟用所適而各有典常於異乗同除之理尤深切而著明者也 三率互用圖 反之　　　　　更之　　　　　又反之 一句八尺　　　一股十尺　　　一句十一尺二寸二股十尺　　　二句八尺　　　二股十四尺三句十一尺二寸三股十四尺　　三句八尺 四股十四尺　　四句十一尺二寸四股十尺 右並以二率三率相乗為實一率為法除之而得四率 八線表 八線為各弧各角之句股所成故八線表者即句股形之立成數也古人用句股開方巳盡測量之理然句股皆邉線耳邉之數無方放之則彌四逺近之則陳几案故所傳算術皆以一端示例而已不能備詳其數也今變而用角則有弧度三百六十以限之而以象限盡全周有合於舉一反三之防又析象限之度各六十分凡為句股形二千七百角度五千四百【九十度之分五千四百而句股形並有兩角故其形二千七百而角數倍之】為正為切線為割線共一萬六千二百【三項各五千四百正余互用也】而句股之形略備用之殊便也銳角分兩句股鈍角補成句股然惟有八線表中豫定之句股故但得其角度則諸數厯然可於無句股中尋出句股矣 半徑全數 全數即半徑也不言半徑而言全數者省文也凡八線生於角度而有角有弧則有半徑八線之數皆依半徑而立也半徑常為一【或五位則為一萬或六位則為十萬】則正常為半徑之分【正必小於半徑】而不得為全數惟半徑可稱全數也【割切二線皆依正而生亦皆有畸零不得為全數】 用全數為半徑有數善焉一立表時易於求數也一用表時便於乗除也【三率中全數為除法則但降位可省一除若全數為乗法則但升位可省一乗】 厯書中多言全數【或但曰全】以從省便今算例中直雲半徑以欲明比例之理故質言之 補遺 正為八線之主 割圜之法皆作句股於圜內以先得正故古人祗用正亦無不足今用割切諸線而皆生於正 平圜徑二尺【即戊壬】半之一尺【即戊丙庚 丙等】為圜里六孤之一面【即乙戊】半徑 【戊丙】為半面【戊丁】為句句求股得 股【丁丙】轉減半徑【庚丙】得余【庚丁】為小句 半面【戊丁】又為小股句股求得小【戊庚】是為割六弧成十二弧之一面如是累析為二十四弧四十八弧至九十六弧以上定為徑一尺周三尺一寸四分有奇論曰九章算經載劉徽割圜術大略如此其以半徑為六弧之一面與八線理合半徑恆為一即全數半面為股則正也 平方徑十寸其積百寸內作同徑之平圜平圜內又作平方正得外方之半其積五十寸平方開之得七寸○ 七有奇【即離震等四等面之通】乃自 四隅之旁増為八角曲圜 為第一次【即八等面通】至第二 次則為曲十六【即十六等面通】第三次為曲三十二每次 加倍至十二次則為曲一 萬六千三百八十四於是方不複方漸變為圜矣其法逐節以大小句股冪相求至十二次所得小以一萬六千三百八十四乗之得三十一寸四分一五毫九絲二忽為徑十寸之圜周與祖沖之徑一百一十三周三百五十五合 論曰元趙友欽革象新書所撰乾象周髀法大略如此所得周徑與西術同其逐節所求皆通所用小股皆正也 又論曰劉徽祖沖之以割六孤起數趙友欽以四角起數今西術作割圜八線以六宗率則兼用之可見理之至者先後一揆法之精者中西合轍西人謂古人但知徑一圍三未深攷也 又論曰中西割圜之法皆以句股法求通通半之為正割圜諸率皆自此出總之為句股之比例而巳鈍角正 鈍角不立正而即以外角之正為正 鈍角之正在形外即外角之正也故乙丙已鈍角與乙丙甲外角同以乙丁為正【以鈍角減半周得外角假如鈍角一百二 十度其所用者即六十度之正】乙丁線能為乙 丙甲角正又能為乙丙已鈍角 正八線表止於象限以此【因鈍角與 外角同正故表雖一象限而實有半周之用】 鈍角余 鈍角既以外角之正為正即以外角之餘為余如前圖乙庚為外角【乙丙甲】余而即為鈍角【乙丙己】余 捷法以正角【戊丙巳】減鈍角【乙丙巳】得餘角【戊丙乙】即得余 過弧 鈍角之弧為過弧 巳戊為象限弧而乙戊巳為乙丙 巳鈍角之弧是越象限弧而過之 也故曰過弧 大矢 鈍角之矢為大矢 如前圖以乙丁辛分全圜即全徑亦分為二則丁甲為小半圜【乙甲辛】之徑謂之正矢丁巳為大半圜【乙已辛】之徑謂之大矢大矢者鈍角所用也　鈍角與外角同用乙丁正乙庚余所不同者惟矢【乙丙巳角用大矢丁已乙丙甲角用正矢丁甲】 捷法以乙庚【即丁丙】余加已丙半徑即得【丁巳】大矢【若以余減半徑亦得正矢】 正角以半徑全數為正 八線起○度一分至八十九度五十九分並有正而九十度無正非無正也蓋即以半徑全數為其正故凡算三角 有用半徑與正相為比例者皆正 角也【其法與銳角形鈍角形用兩正為比例同理並詳後卷】八十九度奇之正至九九九九九 而極迨滿一象限始能成半徑全數是故半徑全數者正角九十度之正也其數為一○○○○○ 厯算全書卷五十