幾何原本 · 幾何原本卷二
西洋利瑪竇撰
第一題
兩直線任以一線任分為若干分其兩元線矩內直角形與不分線偕諸分線矩內諸直角形並等
解曰甲與乙丙兩線如以乙丙三分之為乙丁丁戊戊丙題言甲偕乙丙矩線內直
角形與甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩線內直角形並等
論曰試作乙己直角形在乙丙偕等甲之己丙矩線內【作法於乙界作庚乙丙界作己丙兩垂線俱與甲等為平行次作庚己直線與乙丙平行】次於丁戊兩點作辛丁壬
戊兩垂線與庚乙己丙平行【一卷卅三】其辛丁與庚乙壬戊與己丙既平行則辛丁與壬戊亦平行而辛丁壬戊與己丙等即亦與甲等【一卷卅四】如此則乙辛直角形在甲偕乙丁矩線內丁壬直角形在甲偕丁戊矩線內戊己直角形在甲偕戊丙矩線內並之則三矩內直角形與甲偕乙丙兩元線矩內直角形等
注曰二卷前十題皆言線之能也【能者謂其上能為直角形也如十尺線其上能為百尺方形之類】其説與筭數最近故九卷之十四題俱以數明此十題之理今未及詳因題意難顯畧用數明之如本題設兩數當兩線為六為十以十任三分之為五為三為二六乘十為六十之一大實與六乘五為三十及六乘三為十八六乘二為十二之三小實並等
第二題
一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線兩矩內直角形並等
解曰甲乙線任兩分於丙題言甲乙上直角方形與甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙兩矩線內直角形並等
論曰試於甲乙線上作甲丁直角方形從丙點作己丙垂線與甲戊乙丁平行【一卷卅一】其甲戊與甲乙既等【一卷卅四】則甲己直角形在甲乙甲丙矩線內乙丁與甲乙既等則丙丁直角形在甲乙丙乙矩線內而此兩形並與甲丁直角方形等
又論曰試別作丁線與甲乙等其甲乙線既任分於丙則甲乙偕丁矩線內直角形【即甲乙上直角方形】與甲丙偕丁丙乙偕丁兩矩線內直角形並等
【本篇一】
注曰以數明之設十數任兩分之為七為三十乘七為七十及十乘三為三十之兩小實與十自之百一大羃等
第三題
一直線任兩分之其元線任偕一分線矩內直角形與分余線偕一分線矩內直角形及一分線上直角方形並等
解曰甲乙線任兩分於丙題言元線甲乙任偕一分線如甲丙矩內直角形【不論甲丙為長分為短分】與分余丙乙偕甲丙矩線內直角形及甲丙上直角方形並等論曰試作甲丁直角方形從乙界作乙巳垂線與甲戊平行【一卷卅一】而於戊丁引
長之遇於己其甲戊與甲丙等則甲己直角形在元線甲乙偕一分線甲丙矩內丙丁與甲丙等則丙己直角形在一分線甲丙偕分余線丙乙矩內而甲己直角形與甲丙丙乙矩線內丙己直角形及甲丙上甲丁直角方形並等
又論曰試別作丁線與一分線甲丙等其甲乙線既任分於丙則甲乙偕丁矩線內直角形【即甲乙偕甲丙矩線內直角形】與丁偕丙乙【即甲丙偕丙乙】丁偕甲丙【即甲】
【丙上直角方形】兩矩線內直角形並等【本篇一】
注曰以數明之設十數任兩分之為七為三如前圖則十乘七為七十與七乘三之實二十一及七自之羃四十九並等如後圖十乘三為三十與七乘三之實二十一及三之羃九並等
第四題
一直線任兩分之其元線上直角方形與各分上兩直角方形及兩分互偕矩線內兩直角形並等
解曰甲乙線任兩分於丙題言甲乙線上直角方形與甲丙丙乙線上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙
偕甲丙矩線內兩直角形並等
論曰試於甲乙線上作甲丁直角方形次作乙戊對角線次從丙作丙己線與乙丁
平行遇對角線於庚末從庚作辛壬線與甲乙平行而分本形為四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊兩邊等而甲乙戊與甲戊乙兩角亦等【一卷五】夫甲乙戊形之三角並與兩直角等【一卷卅二】而甲為直角即甲乙戊甲戊乙皆半直角【一卷卅之二系】依顯丁乙戊角形之丁乙戊丁戊乙兩角亦皆半直角則戊己庚外角與內角丁等為直角【一卷卅九】而己戊度既半直角則己庚戊等為半直角矣角既等則己庚己戊兩邊亦等【一卷六】庚辛辛戊亦等【一卷卅四】而辛巳為直角方形也依顯丙壬亦直角方形也又庚辛與甲丙兩對邊等【一卷卅四】而乙丙與庚丙俱為直角方形邊亦等則辛己為甲丙線上直角方形丙壬為丙乙線上直角方形也又甲庚及庚丁兩直角形各在甲丙丙乙矩線內也則甲丁直角方形與甲丙丙乙兩線上兩直角方形及兩線矩內兩直角形並等矣
系從此推知凡直角方形之角線形皆直角方形又論曰甲乙線既任分於丙則元線甲乙上直角方形與元線偕各分線矩內兩直角形並等【本篇二】又甲乙偕甲丙矩線內直角形與甲丙偕
丙乙矩線內直角形及甲丙上直角方形並等【本篇三】甲乙偕丙乙矩線內直角形與丙乙偕甲丙矩線內直角形及丙乙上直角方形並等【本篇三】則甲乙上直角方形與甲丙丙乙上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩線內兩直角形並等
注曰以數明之設十數任兩分之為七為三十之羃百與七之羃四十九三之羃九及三七互乘之實兩二十一併等
第五題
一直線兩平分之又任兩分之其任兩分線矩內直角形及分內線上直角方形並與平分半線上直角方形等
解曰甲乙線兩平分於丙又任兩分於丁其丙丁為分內線【丙丁線者丙乙所以大於丁乙之較又甲丁所以大於甲丙之較故曰分內線】題言甲丁丁乙矩線內直角形及分內線丙丁上直角方形並與丙乙線上直角方形等
論曰試於丙乙線上作丙己直角方形次作乙戊對角線從丁作丁庚線與乙己平行遇對角線於辛次從辛作壬癸線與丙乙平行次從甲作甲子線與丙戊平行末從壬癸線引長之遇於子夫丁壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而辛丁與丁乙兩線等【一卷卅四】癸辛
與丙丁兩線等則甲辛直角形在任分之甲丁丁乙矩線內而癸庚為分內線丙丁上直角方形也今欲顯甲辛直角形及癸庚直角方形並與丙己直角方形等者於丙辛辛己相等之兩餘方形【一篇四三】每加一丁壬直角方形即丙壬及丁己兩直角形等矣而甲癸與丙壬兩形同在平行線內又底等即形亦等【一卷卅六】則甲癸與丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形則丑寅卯罄折形豈不與甲辛等次於罄折形又加一癸庚直角方形豈不與丙巳直角方形等也而甲辛癸庚兩形並亦與丙己等也則甲丁丁乙矩線內直角形及丙丁上直角方形並與丙乙上直角方形等
注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之為八為二則三為分內數【三者五所以大於二之較又八所以大於五之較】二八之實十六三之羃九與五之羃二十五等
第六題
一直線兩平分之又任引増一直線共為一全線其全線偕引増線矩內直角形及半元線上直角方形並與半元線偕引増線上直角方形等
解曰甲乙線兩平分於丙又從乙引長之増乙丁與甲乙通為一全線題言甲丁偕乙丁矩線內直角形及半元線丙乙上直角方形並與丙丁上直角方形等
論曰試於丙丁上作丙戊直角方形次作丁己對角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線於辛次從辛作壬癸線與丙丁平行次從甲作甲子線與丙己平行末從壬癸線引長之遇於子夫乙壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而乙丁與丁壬兩線等【一卷卅四】癸辛與丙乙兩線等則甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩線內而癸庚為丙乙上直角方形也今欲顯甲壬直角形及癸庚直角方形並與丙戊直角方形等者試觀甲癸與丙辛兩直角形同在平行線內又底等即形亦等【一卷卅六】而丙辛與辛戊等【一卷四三】則辛戊與甲癸亦等即又每加一丙壬直角形則丑寅卯磬折形與甲壬等夫磬折形加一癸庚形本與丙戊直角方形等也即甲壬癸庚兩形並亦與丙戊等也則甲丁乙丁矩線內直角形及丙乙上直角方形並豈不與丙丁上直角方形等
注曰以數明之設十數兩平分之各五又引増二共十二二乘之為二十四及五之羃二十五與七之羃四十九等
第七題
一直線任兩分之其元線上及任用一分線上兩直角方形並與元線偕一分線矩內直角形二及分余線上直角方形並等
解曰甲乙線任分於丙題言元線甲乙上及任用一分線如甲丙上兩直角方形並【不論甲丙為長分為短分】與甲乙偕甲丙矩內直角形二及分余線丙乙上直角方形並等論曰試於甲乙上作甲丁直角方形次作乙戊對角線從丙作丙己線與乙丁平行
遇對角線於庚末從庚作辛壬線與甲乙平行夫辛己丙壬皆直角方形【本篇四之系】而辛庚與甲丙等【一卷卅四】即辛己為甲丙上直角方形也又甲戊與甲乙等即甲己直角形在甲乙偕甲丙矩線內也又戊丁丁壬與甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩線內也夫甲己己壬兩直角形【即癸子丑罄折形】及丙壬直角方形並本與甲丁直角方形等今於甲己辛丁兩直角形並加一丙壬直角方形即與甲丁直角方形加一辛巳直角方形等矣則甲乙甲丙矩線內直角形二及丙乙上直角方形並與甲乙上直角方形及甲丙上直角方形並等也
注曰以數明之設十數任分之為六為四如前圖十之羃百及六之羃三十六並與
十六互乘之兩實百二十及四之羃十六等如後圖十之羃百及四之羃十六並與十四互乘之兩實八十及六之羃三十六等
第八題
一直線任兩分之其元線偕初分線矩內直角形四及分余線上直角方形並與元線偕初分線上直角方形等
解曰甲乙線任分於丙題言元線甲乙偕初分線丙乙矩內直角形四【不論丙乙為長分為短分】及分余線甲丙上直角方形並與甲乙偕丙乙上直角方形等
論曰試以甲乙線引増至丁而乙丁與丙乙等於全線上作甲戊直角方形次作丁巳對角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線於辛次從丙作丙壬線與甲巳平行遇對角線於癸次從辛作子丑線與甲丁平行遇丙壬於寅末從癸作卯辰線與戊己平行遇乙庚於巳其卯壬寅巳乙丑俱角線方形【一卷卅四之系】而卯癸與甲丙兩線等【一卷卅四】即卯壬為甲丙上直角方形又寅辛與丙乙兩線
等【一篇卅四】即寅巳為丙乙上直角方形與乙丑等【丙乙與乙丁等故】又乙辛辛巳兩線亦各與丙乙等而甲辛子巳兩直角形各在甲乙丙乙矩線內即等【子辛與甲乙等故】寅庚辛戊兩直角形亦各在甲乙丙乙矩線內即又等【寅辛辛丑與丙乙乙丁等辛庚丑戊與等甲乙之子辛等故】寅巳既與乙丑等而每加一癸庚即乙丑癸庚並與寅庚又等是甲辛一子巳二辛戊三乙丑四癸庚五五直角形並為午未申磬折形與元線甲乙偕初分線丙乙矩內直角形四等而午未申磬折形及卯壬直角方形本與甲戊直角方形等則甲乙乙丙矩線內直角形四及甲丙上直角方形並與甲乙偕丙乙上直角方形等注曰以數明之設十數任分之為六為四如前圖十六互乘之實四為二百四十及四之羃十六共二百五十六與十六之羃等如後圖十四互乘之實四為一百六十及六之羃三十六共一百九十六與十四之羃等
第九題
一直線兩平分之又任兩分之任分線上兩直角方形並倍大於平分半線上及分內線上兩直角方形並解曰甲乙線平分於丙又任分於丁題言甲丁丁乙上兩直角方形並倍大於平分半線甲丙上分內線
丙丁上兩直角方形並
論曰試於丙上作丙戊垂線與甲丙等次作甲戊戊乙兩腰次從丁作丁己垂線遇戊乙於己從己作己庚線與甲乙平行遇
戊丙於庚末作甲己線其甲丙戊角形之甲丙丙戊兩腰等即丙戊甲丙甲戊兩角亦等【一卷五】而甲丙戊為直角即余兩角皆半直角【一卷卅二之系】依顯丙戊乙亦半直角又戊庚己角形之戊庚己角為戊丙乙之外角即亦直角【一卷廿九】而庚戊己半直角即庚己戊亦半直角【一卷卅二之系】又庚戊己庚己戊兩角等即庚戊庚己兩腰亦等【一卷六】依顯丁乙己角形之丁乙丁己兩腰亦等夫甲丙戊角形之丙為直角即甲戊線上直角方形與甲丙丙戊線上兩直角方形並等【一卷四七】而甲丙丙戊上兩直角方形自相等即甲戊上直角方形倍大於甲丙上直角方形矣又戊庚己角形之庚為直角即戊己線上直角方形與庚戊庚己線上兩直角方形並等【一卷四七】而庚戊庚己上兩直角方形自相等即戊己上直角方形倍大於等庚己之丙丁上直角方形矣【庚己丙丁為丙己直角形之對邊故見一卷卅四】則是甲戊戊己上兩直角
方形並倍大於甲丙丙丁上兩直角方形並也又甲己上直角方形既等於甲戊戊己上兩直角方形並又等於甲丁丁己上兩直角方形並【一篇四七】則甲丁丁己上兩直角方形並亦倍大於甲丙丙丁上兩直角方形並矣而丁己與丁乙等則甲丁丁乙上兩直角方形並豈不倍大於甲丙丙丁上兩直角方形並也注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之為七為三分內數二其七之羃四十九及三之羃九倍大於五之羃二十五及二之羃四
第十題
一直線兩平分之又任引増一線共為一全線其全線上及引増線上兩直角方形並倍大於平分半線上及分余半線偕引増線上兩直角方形並
解曰甲乙直線平分於丙又任引増為乙丁題言甲丁線上及乙丁線上兩直角方形並倍大於甲丙線上及丙丁線上兩直角方形並
論曰試於丙上作丙戊垂線與甲丙等自戊至甲至乙各作腰線次從丁作己丁垂線引長之又從戊乙引長之遇於庚次作戊己線與丙丁平行末作甲庚線依前題論推顯甲戊乙為直角丙戊乙為半直角即相對之戊庚己亦半直角【一卷廿九】又己為直角【一卷卅四】即己戊庚亦半直角【一卷卅二】而己戊己庚兩腰必等【一卷六】依顯乙丁丁庚兩腰亦等夫甲戊上直角方形等於甲丙丙戊上兩直角方形並【一卷四七】必倍大於甲丙上直角方形而戊庚上直角方形等於戊己己庚上兩直角方形並【一卷四七】必倍大於對戊己邊之丙丁上直角方形【一卷卅四】則甲戊戊庚上兩直角方形並倍大於甲丙丙丁上兩直角方形並也又甲庚上直角方形等於甲戊戊庚上兩直角方形並亦等於甲丁丁庚上兩直角方形並則甲丁丁庚上兩直角方形並亦倍大於甲丙丙丁上兩直角方形並也而甲丁乙丁上兩直角方形並倍大於甲丙丙丁上兩直角方形並矣【丁庚與乙丁等故】
注曰以數明之設十數平分之各五又任増三為十三十三之羃一百六十九及三之羃九倍大於五之羃二十五及八之羃六十四也
第十一題
一直線求兩分之而元線偕初分線矩內直角形與分余線上直角方形等
法曰甲乙線求兩分之而元線偕初分小線矩內直角形與分余大線上直角方形等先於甲乙上作甲丙直角方形
次以甲丁線兩平分於戊次作戊乙線次從戊甲引増至己而戊己線與戊乙等末於甲乙線截取甲庚與甲己等即甲乙偕庚乙矩線內直角形與甲庚上直角方形等如所求
論曰試於庚上作壬辛線與丁己平行次作己辛線與甲庚平行其壬庚與丙乙等即與甲乙等而庚丙直角形在甲乙偕庚乙矩線內也又甲庚與甲己等而甲為直角即己庚為甲庚上直角方形也【一卷卅四】今欲顯庚丙直角形與己庚直角方形等者試觀甲丁兩平分於戊而引増一甲己是丁己偕甲己矩線內直角形【即丁辛直角形】及甲戊上直角方形並與等戊己之戊乙上直角方形等【本篇六】夫戊乙上直角方形等於甲戊甲乙上兩直角方形並【一卷四七】即丁辛直角形及甲戊上直角方形並與甲戊甲乙上兩直角方形並等矣次各減同用之甲戊上直角方形即所存丁辛直角形不與
甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各減同用之甲壬直角形則所存己庚直角方形與庚丙直角形等而甲乙偕庚乙矩線內直角形與甲庚上直角方形等也
注曰此題無數可解説見九卷十四題
第十二題
三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大於余邊上兩直角方形並之較為鈍角旁任用一邊偕其引増線之與對角所下垂線相遇者矩內直角形二
解曰甲乙丙三邊鈍角形甲乙丙為鈍角從餘角如甲下一垂線與鈍角旁一邊如丙乙之引増線遇於丁為直角題言對鈍角之甲丙邊上直角方形大於甲乙乙丙邊上兩直角方形並之較為丙乙偕乙丁
矩線內直角形二反説之則甲乙乙丙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線內直角形二並與甲丙上直角方形等
論曰丙丁線既任分於乙即丙丁上直角方形與丙乙乙丁上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線內直角形二並等【本篇四】此二率者每加一甲丁上直角方形即丙丁甲丁上兩直角方形並與丙乙乙丁甲丁上
直角方形三及丙乙偕乙丁矩線內直角形二並等也夫甲丙上直角方形等於丙丁甲丁上兩直角方形並【一卷四七】即亦等於丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩線內直角形二並也又甲乙線上直角方形既等於乙丁甲丁上兩直角方形並【一卷四七】即甲丙上直角方形與甲乙丙乙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線內直角形二並等矣
第十三題
三邊鋭角形之對鋭角邊上直角方形小於余邊上兩直角方形並之較為鋭角旁任用一邊偕其對角所下垂線旁之近鋭角分線矩內直角形二
解曰甲乙丙三邊鋭角形從一角如甲向對邊乙丙下一垂線分乙丙於丁題言對甲丙乙鋭角之甲乙邊上直角方形小於乙丙甲丙邊上兩直角方形並之較為乙丙偕丁丙矩線內直角形二反説之則乙
丙甲丙上兩直角方形並與甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩線內直角形二並等
論曰乙丙線既任分於丁即乙丙丁丙上兩直角方形並與乙丙偕丁丙矩線內直角形二及乙丁上直角方形並等【本篇七】此二率者每加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁上直角方形三與乙丙偕丁丙矩線內直角形二及乙丁甲丁上兩直角方形並等
也又甲丙上直角方形等於丁丙甲丁上兩直角方形並【一卷四七】即乙丙甲丙上兩直角方形並與乙丙偕丁丙矩線內直角形二及乙丁甲丁上兩直角方形並等也又甲乙上直角方形等於乙丁甲丁上兩直角方形並【一卷四七】即乙丙甲丙上兩直角方形並與乙丙偕丁丙矩線內直角形二及甲乙上直角方形並等反説之則甲乙上直角方形小於乙丙甲丙上兩直角方形並者為乙丙偕丁丙矩線內直角形二也注曰題中止論鋭角形不言直角鈍角形而直角鈍角形中俱有兩鋭角【一卷十七卅二】即對鋭角邊上形亦同此論【如第二第三圖是】但三鋭角形所作垂線任用一角而直角形必用直角鈍角形必用鈍角此為異耳【直角鈍角形不用直角鈍角不能作垂線】
第十四題
有直線形求作直角方形與之等
法曰甲直線無法四邊形求作直角
方形與之等先作乙丁形與甲等而
直角【一卷四五】次任用一邊引長之如丁
丙引之至己而丙己與乙丙等次以
丁巳兩平分於庚其庚點或在丙點或在丙點之外若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣【葢丙己與乙丙等又與丙丁等而余邊俱相等故乙丁為直角方形見一卷卅四】若庚在丙外即以庚為心丁巳為界作丁辛巳半圜末從乙丙線引長之遇圜界於辛即丙辛上直角方形與甲等
論曰試自庚至辛作直線其丁巳線既兩平分於庚又任兩分於丙則丁丙偕丙巳矩內直角形【即乙丁直角形葢丙己與乙丙等故】及庚丙上直角方形並與等庚巳之庚辛上直角方形等【本篇五】夫庚辛上直角方形等於庚丙丙辛上兩直角方形並【一卷四七】即乙丁直角形及庚丙上直角方形並與庚丙丙辛上兩直角方形並等次各減同用之庚丙上直角方形則丙辛上直角方形與乙丁直角形等
増題凡先得直角方形之對角線所長於本形邊之較而求本形邊
法曰直角方形之對角線所長於本形邊之較為甲乙而求本形邊先於甲乙上作甲丙直角方形次作乙丁對角線又引長之為丁戊線而丁戊與甲丁等即得乙戊
線如所求
論曰試於乙戊作戊己垂線從乙甲線引長之遇於己其乙戊己既直角而戊乙己為半直角【一卷卅二】即戊己乙亦半直角而戊乙與戊己兩邊等【一卷六】次作己庚與戊乙平行作乙庚與戊己平行即戊庚形為戊乙邊上直角方形也末作戊甲線即丁戊甲丁甲戊兩角等也【一卷五】夫乙戊己丁甲己既兩皆直角試每減一相等之丁戊甲丁甲戊角即所存己戊甲己甲戊兩角必等而己戊己甲兩邊必等【一卷六】則乙己對角線大於乙戊邊之較為甲乙矣 此増不在本書因其方形故類附於此
幾何原本卷二
欽定四庫全書