從一到無窮大 · 第八章　無序定律

一、熱的無序 倒上一杯水，你看到的是一種清澈而均勻的液體，沒有跡象表明其內部有結構或運動（當然，這是在你不晃動杯子的情況下）。但我們知道，水只是看起來均勻。如果把水放大幾百萬倍，就會看出它有明顯的顆粒結構，由大量緊密堆積在一起的分子所組成。 在同樣的放大倍數下，我們還清楚地看到，杯中的水絕非靜止不動，它的分子處於劇烈的騷動狀態中，四處運動，互相推擠，宛如興奮異常的人群。水分子或其他任何物質分子的這種無規則運動就是所謂的熱運動，因為熱現象正是由這種運動產生的。雖然人眼無法直接察覺到分子本身和分子的運動，但正是分子的運動刺激了人體的神經纖維，產生了所謂熱的感覺。對於那些比人小得多的生物，比如懸浮在水滴中的細菌，熱運動的效果就要顯著得多了。這些可憐的生物會被不停運動的分子從四面八方推來推去，不得安寧（圖77）。這種有趣的現象被稱為布朗運動，是英國生物學家布朗（Robert Brown）於一百多年前在研究植物花粉時最先注意到的。布朗運動非常普遍，懸浮在任何液體中的任何一種足夠小的微粒，或者空氣中飄浮的煙霧和灰塵，都可以觀察到有這種運動。 圖77　在周圍分子的來回撞擊下，一個細菌陸續換了六個位置（在物理上正確，在細菌學上卻不太準確） 如果把液體加熱，懸浮微粒的狂舞將會變得更加劇烈；如果液體冷卻，運動的強度就會顯著降低。因此，我們這裡看到的無疑是物質內部熱運動的效應。我們通常所說的溫度不過是對分子運動激烈程度的量度罷了。通過研究布朗運動對溫度的依賴性，人們發現溫度達到-273℃即-459℉時，物質的熱運動完全停止了，此時所有分子都歸於靜止。這似乎是最低的溫度，它被稱為絕對零度。談論更低的溫度是荒謬的，因為顯然沒有比絕對靜止更慢的運動！ 接近絕對零度的時候，所有物質的分子都沒有什麼能量，分子之間的內聚力將把它們凝聚成一塊堅硬的東西。這些分子所能做的僅僅是在凍結狀態下輕微顫動。溫度升高時，這種顫動會變得越來越強烈；到了某個階段，這些分子就能獲得某種運動自由而彼此滑動。此時原本凍結的物質沒有了硬度，變成了液體。溶解過程發生的溫度取決於作用於分子的內聚力的強度。在某些物質比如氫或空氣（氮氧混合物）中，分子之間的內聚力很弱，凍結狀態在較低的溫度下就會被熱運動所打破。例如，氫要到14K（即-259℃）以下才處於凍結狀態，而固體的氧和氮則分別在55K和64K（即-218℃和-209℃）時才溶解。在另一些物質中，分子之間的內聚力較強，因此能在較高溫度下保持固態。例如，純酒精一直到-114℃都能保持固態，而凍結的水（即冰）直到0℃才融化。還有一些物質能在更高的溫度下保持固態，例如鉛直到+327℃，鐵直到+1535℃才熔解，稀有金屬鋨則能一直堅持到+2700℃。雖然物質處於固態時，分子被牢牢束縛在自己的位置上，但這絕不意味著它們不受熱運動的影響。事實上，根據熱運動的基本定律，對於給定溫度下的所有物質，無論是固體、液體還是氣體，每一個分子的能量是相同的。差別僅僅在於，在某些情況下，這種能量已經足以使分子離開其固定位置，而在另一些情況下，分子只能在同一地點上顫動，就像被短鏈子拴住的狂怒的狗。 在上一章描述的X-光照片中很容易觀察到固體分子的這種熱顫動或熱振動。事實上我們已經看到，由於拍攝晶格分子照片需要相當長的時間，所以在曝光期間，分子決不能離開自己的固定位置。在固定位置周圍不斷顫動無助於拍攝清晰的照片，而是會導致照片的模糊。插圖1複製的分子照片顯示了這種效應。要想得到更清晰的照片，必須把晶體儘可能地冷卻。這有時是通過把晶體浸入液態空氣來實現的。另一方面，如果將被拍攝的晶體加熱，照片會變得越來越模糊。到達熔點時，圖樣會完全消失，因為分子離開了自己的位置，開始在熔解物中無規則地運動。 固體熔化之後，分子仍然聚在一起，因為熱運動雖然已經足以使分子脫離晶格中的固定位置，但還不足以把它們完全拆開。不過，如果溫度進一步升高，內聚力就不再能把分子維持在一起了。除非被周圍的容器壁所阻擋，它們將朝四面八方飛散開來。這樣一來，物質當然就處於氣態了。和固體的熔化一樣，對於不同的物質來說，液體的氣化溫度也有所不同，內聚力弱的物質的氣化溫度要低於內聚力強的物質。汽化過程還與液體受到的壓力有重大關係，因為外界壓力顯然會幫助內聚力把分子維繫在一起。因此，正如大家所知，密閉水壺中的水的沸騰溫度要比敞口水壺高，而在大氣壓大為降低的高山山頂，水不到100℃就會沸騰。順便說一句，通過測量水的沸騰溫度，可以計算出大氣壓，這樣便知道了這個位置的海拔高度。 但我們不要以馬克·吐溫（Mark Twain）為榜樣。據說他曾把一支無液氣壓計放進了煮碗豆湯的鍋里。這樣做非但無助於你得知海拔高度，氣壓計上的氧化銅還會把這鍋湯的滋味搞壞。 物質的熔點越高，其沸點也就越高。例如，液態氫在-253℃沸騰，液態氧和液態氮分別在-183℃和-196℃沸騰，酒精在+78℃沸騰，鉛在+162℃沸騰，鐵在+3000℃沸騰，鋨要到+5300℃以上才沸騰。58 圖78 固體那美妙的晶體結構遭到破壞之後，其分子先是像蠕蟲一樣爬來爬去，而後又像驚弓之鳥一樣四散飛逃。但這依然不說明熱運動的破壞力已達極限。如果溫度繼續增加，分子的存在就會受到威脅，因為分子之間越來越劇烈的碰撞會把分子打碎成單個原子。這種所謂的熱離解取決於分子的相對強度。某些有機物質的分子在幾百度時會打碎成單個原子或原子團，另一些更堅固的分子，比如水分子，要到1000度以上才會解體。不過，當溫度升至幾千度時，分子將不復存在，物質將是各種純化學元素的氣態混和物。 這正是溫度可達6 000℃的太陽表面的情況。而在紅巨星相對較冷的大氣層中，59仍然會存在一些分子，光譜分析法已經證明了這一事實。 高溫之下激烈的熱碰撞不僅把分子打碎成原子，還能把原子的外層電子剝掉，這被稱為熱電離。如果溫度升至幾萬度、幾十萬度，熱電離會變得越來越顯著，而到幾百萬度的時候，熱電離過程就會完成。這樣的極高溫度遠遠超出了我們實驗室中所能達到的溫度，但在恆星內部特別是太陽內部卻是司空見慣的。所有電子殼層都被徹底剝掉，物質成了在空間中狂奔亂撞的一堆裸原子核和自由電子的混合物。然而，雖然原子遭到徹底摧毀，但只要原子核完好無損，物質就仍然保持著基本的化學特性。如果溫度下降，原子核會重新俘獲自己的電子，完整的原子又形成了。 要使物質徹底熱離解，將原子核打碎成各個核子（質子和中子），溫度至少要升到幾十億度。即使在最熱的恆星內部，我們也沒有發現這樣高的溫度。不過幾十億年前我們的宇宙還年輕時，可能有過這種量級的溫度。我們將在本書最後一章回到這個令人興奮的問題。 於是我們看到，熱運動會逐步破壞基於量子定律建築起來的精巧的物質結構，並把這座宏偉的建築變成一堆沒有任何明顯規則的狂奔亂撞的粒子。 圖79　溫度的摧毀效應 二、如何描述無序運動？ 如果你認為，既然熱運動是不規則的，所以不可能對它作任何物理描述，那就大錯而特錯了。事實上，熱運動是完全不規則的，這一事實本身就決定了熱運動要服從一種新的定律，即無序定律或統計定律。為了理解這一點，我們先把注意力轉向著名的「醉鬼走路」問題。假定我們看到一個醉鬼斜靠在城市廣場中央的一根燈柱上（天曉得他是何時和如何來到這裡的），他突然決定隨便走走。於是他開始走了：先朝一個方向走幾步，再朝另一個方向走幾步，如此這般，每走幾步就以完全不可預測的方式換個方向再走幾步（圖80）。那麼，這樣彎彎折折走了比如100次之後，這個醉鬼離燈柱有多遠呢？初看起來，由於每一次拐彎都無法預料，這個問題似乎是無法回答的。但更仔細地考慮一下就會發現，雖然我們說不出這個醉鬼結束走路時會在哪裡，但我們可以說出他拐了相當多次彎之後離燈柱最可能有多遠。為了以嚴格的數學方式來處理這個問題，我們以燈柱為原點沿路面畫兩條坐標軸，X軸朝向我們，Y軸向右。設R為醉鬼總共拐了N次彎之後與燈柱的距離（圖80中N為14）。假設Xn和Yn分別為醉鬼的第N段路徑在對應軸上的投影，那麼由畢達哥拉斯定理顯然可以得出： R2=(X1+X2+X3+…+Xn)2+(Y1+Y2+Y3+…+Yn)2， 其中X和Y有正有負，這取決於醉鬼的這段具體路徑是遠離還是接近燈柱。請注意，既然他的運動是完全無序的，所以X和Y的正值和負值應當大致同樣多。在按照代數的基本規則計算上式的時候，須把括號中的每一項都與自己和括號中的其他各項相乘。於是， （X1+X2+X3+…+Xn)2 =（X1+X2+X3+…+Xn）（X1+X2+X3+…+Xn） = X12+X1X2+X1X3+…+X22+X1X2+…+Xn2 這一長串的和包含了X的所有平方項（X12，X22，…Xn2）和X1X2、X2X3等所謂的「混和積」。 圖80　醉鬼走路 到目前為止，這些數學都很簡單。現在我們要用到統計學觀點了。醉鬼走路是完全隨機的，所以他靠近燈柱和遠離燈柱的幾率是相等的，因此X的正負機率各占一半。這樣一來，那些「混和積」里總有可能找到數值相等但符號相反的可以彼此抵消的數對；拐彎次數N越大，就越可能有這種抵消。剩下來的只有那些X的平方項，因為平方項永遠是正的。於是總的結果可以寫成： X12+X22+…+Xn2=NX2， 其中X是各段路徑在X軸上投影的平均長度。 同樣，我們發現包含Y的第二個括號也能化為NY2，其中Y是各段路徑在Y軸上的平均投影。這裡需要重複指出，我們方才所做的嚴格來講並非代數運算，而是基於統計觀點，即運動的隨機性導致「混和積」相互抵消。現在，我們得到醉漢與燈柱最有可能的距離為： R2=N(X2+Y2) 或 。 但各個路徑在兩根軸上的平均投影就是45°的投影，因此 就等於路徑的平均長度（同樣由畢達哥拉斯定理得到）。用1來表示它，我們便得到 R=1·。 換句話說，這個結果的意思是：醉鬼在沿著不規則路徑拐了很多次彎之後，與燈柱最有可能的距離等於每段路徑的平均長度乘以路徑數目的平方根。 因此，如果這個醉鬼每走1米就（以不可預測的角度）拐個彎，那麼走了100米之後，他與燈柱最有可能的距離只有10米。如果筆直走，不拐彎，與燈柱的距離就是100米。這表明走路時頭腦清醒絕對有很大好處。 上面這個例子的統計性在於，我們所談的並非每一個個例中的精確距離，而是最有可能的距離。一個醉鬼或許會沿直線離開燈柱，不拐彎（儘管這種情況不大可能發生），或許每一次都拐180°的彎，因此拐第二次彎時又會回到燈柱。但如果有一大群醉鬼都從同一根燈柱出發，互不干擾地沿不同的曲折路徑行走，那麼經過足夠長的時間之後，你會發現他們將分布在燈柱四周的某個區域，他們與燈柱的平均距離可以由上述規則計算出來。圖81畫出了六個不規則行走的醉漢的分布情況。不用說，醉漢的數量越多，無序行走過程中拐彎的次數越多，上述規則就越準確。 圖81　在燈柱附近行走的六個醉鬼的統計分布 現在，把一群醉鬼換成一些很小的物體，比如懸浮在液體中的植物花粉或細菌，你就會看到植物學家布朗在顯微鏡下看到的那種景象。當然，花粉和細菌是不會醉酒的，但正如我們已經說過的，它們被周圍熱運動的分子朝四面八方不停地踢來踢去，因此不得不走出曲曲折折的軌跡，就像人在酒精的作用下完全失去方向感一樣。 如果透過顯微鏡觀察懸浮在水滴中的許多微粒的布朗運動，你可將注意力集中在某時聚集在某一小區域（靠近「燈柱」）中的一組微粒。你會發現，隨著時間的推移，它們會漸漸分散到整個視域，根據我們計算醉鬼距離時所依據的數學定律，它們與原點的平均距離將與時間的平方根成正比。 當然，這條定律也適用於水滴中的每一個分子。但你看不到單個分子，即使看到了，也無法將它們區分開來。要使這種運動變得可見，必須使用兩種不同類型的分子，比如可以憑藉顏色區分開來。現在，我們往一根化學試管里注滿一半高錳酸鉀溶液，使水呈漂亮的紫色，再往上面注入一些清水，注意不要把這兩層液體混在一起。我們會看到，紫色將逐漸滲透到清水中。如果等待足夠長的時間，你會發現，全部液體從底到頂都變得顏色均一了（圖82）。大家所熟知的這種現象被稱為擴散，是高錳酸鉀染料分子在水分子中的無規則熱運動所引起的。我們可以設想每個高錳酸鉀分子都是一個小醉鬼，被其他分子不停地推來推去。由於水分子（與氣體分子相比）排列非常緊密，因此每一個分子在連續兩次碰撞之間的平均自由程很短，只有億分之一英寸左右。另一方面，由於分子在室溫下的速度約為1/10英里每秒，所以一個分子只需一萬億分之一秒就會發生另一次碰撞。於是在1秒鐘之內，每一個染料分子會發生萬億次的碰撞，運動方向也會改變萬億次。它在第1秒鐘所走的平均距離將是億分之一英寸（平均自由程）乘以1萬億的平方根，這便是平均擴散速度，只有百分之一英寸每秒。如果不因碰撞而偏折，此分子1秒鐘之後將會跑到1/10英里以外的地方去，由此可見這種擴散速度是相當慢的。等上100秒鐘，分子會挪到10倍（=10）遠的地方；等上10 000秒鐘，也就是大約3個小時，顏色才會擴散到100倍（=100）即大約1英寸遠的地方。的確，擴散是個相當慢的過程。所以如果你往茶杯里放糖，最好是攪動一下，而不要等待糖分子自行運動到各處。 圖82 再來看一個擴散過程的例子，它是分子物理學中最重要的過程之一，讓我們考慮熱在鐵通條中的傳導方式。將通條的一端置於壁爐中。據經驗可知，要過很長時間，通條的另一端才會變得燙手。但你也許不知道，熱是通過電子的擴散過程而沿著金屬棒傳導的。無論是鐵通條還是其他金屬物體，內部都充滿了電子。金屬與玻璃等其他材料之間的區別在於，金屬原子失去了一些外層電子，這些電子在金屬晶格中四處遊蕩，會像普通氣體粒子一樣參與不規則的熱運動。 金屬外邊界的表面力會阻止電子逸出，60而在金屬內部，電子的運動卻是幾乎完全自由的。若給金屬絲加上一個電作用力，這些不受束縛的自由電子將會沿這個力的方向涌過去，產生電流。而非金屬通常都是良好的絕緣體，因為它們的所有電子都被束縛在原子上，不能自由移動。 把金屬棒的一端置於火中，這部分金屬中自由電子的熱運動會大大加劇，這些高速運動的電子開始攜帶額外的熱能向其他區域擴散。這個過程很像染料分子在水中的擴散，只不過這裡不是兩種不同的粒子（水分子和染料分子），而是熱電子氣擴散到冷電子氣所占據的區域中。不過，醉鬼走路的定律也適用於這裡，熱沿金屬棒傳導的距離與相應時間的平方根成正比。 作為擴散的最後一個例子，我們再舉一個具有宇宙意義的完全不同的案例。接下來我們會看到，太陽的能量源於它自身內部深處的化學元素髮生的嬗變。這些能量以強輻射的形式得到釋放，「光微粒」或光量子開始了從太陽內部到太陽表面的漫長之旅。由於光速是300 000公里每秒，而太陽的半徑僅為700 000公里，所以如果光量子沿直線移動而沒有任何偏離，那麼它只需2秒多鍾就能跑出來。但事實並非如此。光量子在逸出過程中會與太陽物質中的原子和電子發生碰撞。光量子在太陽物質中的自由程約為1厘米（比分子的自由程長得多！），而太陽的半徑是70 000 000 000厘米，所以光量子需要像醉漢那樣拐(7×1010)2或5×1021個彎才能到達表面。既然每一步需要花或3×10-11秒，所以整個旅行時間為3×10-11×5×1021＝ 1.5×1011秒，也就是5000年左右！這裡我們再次看到，擴散過程是何等緩慢啊。從太陽中心到太陽表面，光要走50個世紀；而進入空虛的星際空間之後，光沿直線從太陽表面到達地球卻只需8分鐘！ 三、計算機率 這個擴散例子只是把機率的統計定律應用於分子運動問題的一個簡單例子。在繼續進行討論，以理解支配一切物體——無論是微小的液滴，還是由恆星組成的浩瀚宇宙——熱行為的至關重要的熵定律之前，我們先要了解如何計算不同的簡單事件或複雜事件的機率。 最簡單的機率計算問題出現在擲硬幣的時候。大家都知道，此時（如果不撒謊的話）硬幣正面朝上和反面朝上的機率是相等的。我們通常會說，正面朝上和反面朝上的可能性是一半對一半。若把兩種可能性相加，便會得到=1。機率論中的1意味著確定性。擲硬幣的時候，你其實非常確定，硬幣不是正面朝上就是反面朝上，除非硬幣滾到沙發下面不見了蹤影。 現在，如果你把一枚硬幣連擲兩次，或者同時擲出兩枚硬幣（這兩種情況是一樣的），那麼不難看出，結果會出現圖83所示的四種可能性。 圖83　擲兩枚硬幣的四種可能組合 第一種情況是得到兩個正面，最後一種情況是得到兩個反面，而中間的兩種情況其實得到的是同樣的結果，因為正反面出現的順序（以及哪枚正面、哪枚反面）是無所謂的。於是我們說，得到兩個正面的機率是，得到兩個反面的機率也是，得到一次正面、一次反面的機會是。這裡同樣有++=1，這意味著在三種可能的組合當中，你必得其一。現在我們再來看看將一枚硬幣投擲三次的情況。此時總共有8種可能性，總結如下表： 第一次投擲　正　正　正　正　反　反　反　反 第二次投擲　正　正　反　反　正　正　反　反 第三次投擲　正　反　正　反　正　反　正　反 Ⅰ　Ⅱ　Ⅱ　Ⅲ　Ⅱ　Ⅱ　Ⅲ　Ⅳ 從這張表可以看出，擲出三次正面的機率是，擲出三次反面的機率也是，其餘的機率則被擲出二正一反和二反一正這兩種情況平分，即各為。 這張關於不同可能性的表正在迅速擴展，但我們還是看看將一枚硬幣投擲四次時的情況。這時有如下16 種可能性： 第一次投擲 正 正 正 正 正 正 正 正 反 反 反 反 反 反 反 反 第二次投擲 正 正 正 正 反 反 反 反 正 正 正 正 反 反 反 反 第二次投擲 正 正 反 反 正 正 反 反 正 正 反 反 正 正 反 反 第四次投擲 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 正 反 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅳ Ⅲ Ⅳ Ⅳ Ⅴ 這裡擲出四個正面的機率為，擲出四個反面的機率也是。擲出三正一反和三反一正的機率各為即，正反數目相等的機率為即。 隨著投擲的次數越來越多，如果以類似的方式列下去，這張表會長得寫不完。例如，若投擲十次，將會有2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024種可能性。但我們根本不需要寫下這麼長的表，因為根據我們前面所列的那些簡單例子的表，就可以看出簡單的機率法則，並把它們直接運用於更為複雜的情況。 首先我們看到，擲出兩個正面的機率等於第一次和第二次均擲出正面的機率之積，即 ＝×。 同樣，接連擲出三個正面和四個正面的機率也為每一次均擲出正面的機率之積，即 ＝××；=×××。 於是，如果問連擲10次均擲出正面的機會有多大，你只需把自乘10次便可得到答案，結果是0.000 98。這表明出現這種情況的機會其實非常小，大約一千次中只有一次！這便是「機率相乘」規則，它說的是：如果你想得到幾個不同的事物，你可以把單獨得到每一個事物的數學機率相乘而得到總的數學機率。如果你想得到許多個事物，而每一個事物都不那麼有把握得到，那麼你得到所有這些東西的機會實在是小得可憐！ 此外還有一條「機率相加」規則，它說的是：如果你只想得到幾個事物當中的一個（無論哪個都行），那麼這個機率將等於得到單個事物的數學機率之和。 投擲同一個硬幣兩次、得到正面反面各一的例子很容易說明這條規則。你這裡想要的要麼是「先正後反」， 要麼是「先反後正」，其中每一種組合的機率都是，因此得到其中任何一種的機率為+=。於是，如果你想求「既有這個，又有那個，還有那個，……」的機率，就應把各項單獨的數學機率相乘；如果你想求「這個，或那個，或那個，……」的機率，就應把各項單獨的數學機率相加。 在前一種情況下，你什麼事物都想要，那麼你想要的事物越多，這種機會就越小；在後一種情況下，你只想要其中某一個事物，那麼可供選擇的事物清單越長，你得到滿足的機會就越大。 如果試驗的次數很多，機率定律就會變得更加精確。投擲硬幣的實驗是一個很好的例證。圖84顯示了這一點，它給出了投擲兩次、三次、四次、十次和一百次硬幣時得到正面和反面相對次數的機率。從圖中可以看出，隨著投擲次數的增多，機率曲線變得越來越尖銳，正面和反面各占一半時出現的極大值也變得越來越顯著。 因此，如果投擲兩次、三次甚或四次，每一次均得到正面或反面的機會仍然很大。而若投擲十次，甚至連90%是正面或反面的機會都不大可能出現。如果投擲次數更多，比如一百或一千次，那麼機率曲線會變得像針一樣尖，哪怕只是稍稍偏離一半對一半的分布，也已經變得幾乎不可能。 圖84　得到正面和反面的相對次數 現在，讓我們用剛剛學到的簡單的機率計算規則來判斷在一種著名的撲克牌遊戲中，五張牌的各種不同組合的相對機率是多少。 我先來簡單介紹一下這個遊戲：每位玩家摸五張牌，得到最高組合者贏。這裡我們不考慮為獲得更好的牌而交換幾張牌所增加的複雜性，也不考慮虛張聲勢嚇唬對方相信你有一手好牌而認輸的心理策略——雖然虛張聲勢才是這種遊戲的核心，並使著名的丹麥物理學家玻爾（Niels Bohr）提出了一種全新的遊戲：無須用牌，玩家們只需談論自己想像中的組合來嚇唬對方就行。這完全超出了機率計算的領域而成了一個純粹心理學的問題。 作為機率計算的練習，現在我們來計算一下這種撲克牌遊戲中出現某些組合的機率。其中一種組合被稱為「同花」，即五張牌均屬於同一花色（圖85）。 圖85　同花（黑桃） 要想摸到同花，第一張牌是什麼無關緊要，只要計算出另外四張也是同一花色的機率就行了。一副牌共有52張，每種花色有13張，61因此摸去第一張牌之後，這種花色就只剩12張了。於是，第二張牌也屬於這一花色的機率為。同樣，第三、第四、第五張牌也屬於同一花色的機率分別為、和。既然希望所有五張牌都是同一花色，就需要用到機率乘法規則。你會發現，得到同花的機率為： 。 但不要以為每玩500次就肯定能摸到一次同花。你也許一次都摸不到，也可能摸到兩次。這裡只是機率計算。你可能連摸500多次一次同花也摸不到，也可能第一次就摸個同花。機率論所講的只是，摸500次可能會摸到一次同花。根據同樣的計算方法你也可以得知，玩這種遊戲3000萬次，大約會有10次摸到5張A牌（包括「百搭」在內）。 另一種撲克牌組合被稱為「滿堂紅」［有三張相同及另兩張相同的一手牌］（full hand，亦作full house），它更為罕見，因此也更有價值。「滿堂紅」由一個「對」和一個「三條」所組成（即有兩張牌為兩種花色的同一點數，另外三張牌為三種花色的另一點數，比如圖86所示的兩個5和三個Q）。 圖86　滿堂紅 要想得到滿堂紅，頭兩張牌是什麼無關緊要，但摸到這兩張牌之後，後三張牌當中必須有兩張與頭兩張之一的點數相同，第三張與另一張的點數相同。由於還有六張牌可以符合點數（如果已經摸到一張5和一張Q，那就還有三張5和三張Q），所以第三張牌符合要求的機會是。由於在剩下的49張牌中只有5張符合要求的牌，所以第四張牌也符合要求的機會是。第五張也符合要求的機會是。因此，得到滿堂紅的總機率為： ， 這大約是得到同花機率的一半。 以類似的方法，還能計算出「順子」（即點數連續的幾張牌）等其他組合的機率，以及因「百搭」的存在和換牌的可能性所導致的機率變化。 通過這種計算我們發現，撲克牌中使用的級別次序的確對應於數學機率的次序。我不知道這種安排是以前的某位數學家提出來的，還是全世界的數百萬賭徒冒著喪失財富的危險，在經常光顧的賭窟里純粹由經驗確立的。如果是後者，我們得承認，這是一個關於複雜事件相對機率的極好的統計研究課題！ 機率計算的另一個有趣例子是「生日重合」問題，它會引出非常出乎意料的回答。回想一下，你是否曾在同一天受邀參加兩個不同的生日宴會。你也許會說，收到兩份邀請的機會很小，因為你大約只有24位朋友可能邀請你，而他們的生日有一年的365天可以選擇呢！既然有那麼多可能的日期可供選擇，你的24位朋友中有兩人同日吃蛋糕的可能性一定非常小吧。 然而，雖然聽起來似乎令人難以置信，但你的判斷絕對是錯誤的。事實上，在這24個人當中，有一對甚至幾對人生日重合的機率是相當高的，出現重合的機率其實比不出現重合的機率還要大。 要想證明這個事實，你可以列出一張包含24人左右的生日表，或者乾脆從《美國名人錄》之類的工具書上隨機選出24個人，對他們的生日進行比較。我們還可以運用在擲硬幣和撲克牌的問題中已經熟悉的簡單的機率計算規則來確定這些機率。 我們先來計算24個人生日各不重合的機率。先看第一個人的生日是哪天，當然，這可以是一年當中的任何一天。那麼，第二個人的生日與第一個人不相重合的機率有多大呢？由於這個（第二個）人可以出生在一年當中的任何一天，所以他的生日與第一個人重合的機率為，不相重合的機率為。同樣，第三個人的生日與前兩個人都不重合的機率為，因為一年中有兩天已被排除。接下來的人的生日與前面任何一個人都不重合的機率依次為，，等，最後一個人的機率為即。 由於我們想知道這些生日當中存在一次重合的機率，我們須將以上所有這些分數相乘，這樣便得到了所有這些人的生日都不重合的機率： 。 如果使用某些高等數學方法，幾分鐘便可算得乘積。但如果不懂這些方法，就只能辛苦地將它直接乘出來了，62不過這也費不了太多時間。結果約為0.46，這表明生日都不重合的機率稍小於一半。換句話說，在你的這24位朋友當中，任何兩人生日都不重合的機率為46%，有兩人或更多人生日重合的機率為54%。於是，如果你有25個或更多個朋友，卻從未在同一天受邀參加兩場生日宴會，那麼你就可以相當確定地斷言，要麼你的大多數朋友並未組織生日宴會，要麼他們根本沒有邀請你去！ 生日重合問題是一個很好的例子，說明在判斷複雜事件的機率時，常識判斷可能是完全錯誤的。我曾問過很多人這個問題，包括不少著名的科學家，但除一個人以外，所有人都下了從2:1到15:1的賭注打賭說，這種重合不會發生。倘若那位老兄接受了所有這些賭注，他現在已經發財了！ 需要反覆強調的是，即使我們能按照既定的規則將不同事件的機率計算出來，並且挑出其中最有可能發生的事件，我們也根本不確定這就是即將發生的事情。除非我們檢驗數千次、數百萬次甚至數十億次，否則就只能推測說「可能」會怎樣，而不是「一定」會怎樣。如果只作少數幾次檢驗，機率定律就不那麼管用了。我們來看一個用統計分析來破譯一小段密碼的例子。比如愛倫·坡（Edgar Allan Poe）在其著名小說《金甲蟲》（The Gold Bug）中描寫了一位勒格讓（Legrand）先生，他在南卡羅來納荒涼的海灘上散步時撿到了一張半埋入濕沙的羊皮紙。在勒格讓先生的海濱小屋裡用火烘烤之後，這張羊皮紙上顯示出了一些神秘的墨水筆跡，這些筆跡在冷的時候看不見，加熱後則轉為紅色，變得清晰可讀。其中有一個頭蓋骨，暗示這份文件是一個海盜寫的；還有一個山羊頭，證明這位海盜正是著名的基德（Kidd）63船長；還有幾行印刷符號，似乎在暗示一處藏寶地點（見圖87）。 圖87　基德船長的訊息 讓我們按照愛倫·坡的說法，相信17世紀的海盜熟悉分號、引號等排印符號以及、、¶等符號。 勒格讓先生急於得到這筆錢，遂絞盡腦汁想破譯這段神秘的密碼。最後，他基於不同英文字母出現的相對頻率進行破譯。其方法的根據在於，任何一段英文，無論是莎士比亞的一首十四行詩，還是華萊士（Edgar Wallace）的一部偵探小說，如果數一數不同字母出現的次數，你會發現字母「e」出現得最為頻繁，然後依次是： a，o，i，d，h，n，r，s，t，u，y，c，f，g，l，m，w，b，k，p，q，x，z。 勒格讓先生數了數基德船長密碼中出現的不同符號，發現出現次數最多的是數字8。「啊哈，」他說，「這就是說，8最有可能代表字母e。」 他說的不錯。但這只是很有可能，而不是完全確定。事實上，如果這段密碼寫的是「You will find a lot of gold and coins in an iron box in woods two thousand yards south from an old hut on Bird island’s north tip」（在鳥島北端舊棚屋南面兩千碼的樹林中有一個鐵盒子，裡面有許多黃金和硬幣），那麼這其中就連一個「e」都沒有！不過機率定律幫了勒格讓先生的忙，他真的猜對了。 第一步走對之後，勒格讓先生自信滿滿，又以同樣方式按照出現的機率次序將各個字母加以排列。下表按照使用的相對頻率對基德船長訊息中的各個符號作了排列： 表中第二欄是按照各個字母在英語中出現的相對頻率排列的，因此有理由假設第一欄中的符號就代表同一行第二欄中的字母。但根據這種排列，基德船長訊息的開頭就成了ngiiugynddrhaoefr… 這根本沒有意義！ 怎麼回事呢？是不是這個詭計多端的老海盜使用了一些特殊的詞，其中包含的字母所遵循的頻率規則不同於英語常用詞中字母出現的頻率規則呢？根本不是。原因僅僅在於，這段訊息太短了，統計抽樣檢驗尚不能很好地起作用，最大可能的字母分布尚未出現。倘若基德船長用這樣一種複雜的方法把財寶藏起來，以至於密碼指令占了好幾頁紙甚至一整本書，那麼勒格讓先生用機率規則解出這個謎的把握就會大得多。 如果擲100次硬幣，你會比較確信正面朝上的次數有50次左右；但若僅擲4次，正面朝上的次數則可能有3次或1次。一般來說，試驗的次數越多，機率定律就越精確。 由於這段密碼中的字母數量不足，無法運用統計分析方法，勒格讓先生只好根據不同英語單詞的細微結構進行分析。首先，他依然假設出現頻率最多的符號「8」代表e，因為他注意到，這段較短的訊息中多次出現「8 8」這個組合（5次）。大家知道，字母e在英語詞中常常雙寫，比如在meet，fleet，speed，seen，been，agree等單詞中。此外，如果「8」真的代表e，那麼它應該會作為「the」這個詞的一部分而經常出現。檢查這段密碼的文本就會發現，「； 4 8」這個組合在其中出現了7次，倘若真是如此，我們就必須斷言，「；」代表t，「4」代表h。 讀者們可以去閱讀愛倫·坡的這篇小說，尋找破譯基德船長這段訊息的進一步細節。它的全文如下：「A good glass in the bishop’s hostel in the devil’s seat.Forty-one degrees and thirteen minutes northeast by north.Main branch seventh limb east side.Shoot from the eye of the death’s head,A beeline from the tree through the shot fifty feet out」（主教旅店的魔鬼座中有個好玻璃杯。北偏東41 度13 分。主幹東側的第七根樹枝。從骷髏的眼睛處開一槍。沿開槍方向從那棵樹直走50 英尺）。 勒格讓先生最後破譯的不同字母的正確含義列在表中最後一欄。可以看到，它們與根據機率定律所推測的字母不甚相符。這當然是因為這段文本太短，機率定律沒有什麼機會發揮作用。但即使在這個小小的「統計樣本」中，我們也能注意到各個字母有按照機率論要求的次序進行排列的趨勢，如果這段文本中的字母數量大得多，這種趨勢就會變成一條幾乎牢不可破的規則。 用大量試驗來實際檢驗機率論的預測的例子似乎只有一個，那就是美國國旗與火柴這個著名問題。 要想處理這個機率問題，你需要一面美國國旗，即它的一個部分由紅白條所組成。如果沒有旗子，可以拿一大張紙，在上面畫幾道等距的平行線。還需要一盒火柴——任何火柴都可以，只要短於紅白條的寬度就可以。此外還需要希臘字母π，它對應於我們的英文字母「p」，也被用來表示圓的周長與直徑之比。你也許知道，它在數值上等於3.1415926535…（我們還知道更多位數字，但無需繼續寫下去）。 現在把旗子鋪在桌子上，擲一根火柴到旗子上（圖88）。它可能完全落在一條帶子之內，也可能壓在兩條帶子的邊界上。這兩種情況各有多大可能性呢？ 圖88 根據我們確定其他機率的程序，必須先數出對應於某種可能性的情況有多少。 但火柴難道不是有無窮多種方式可以落在旗子上嗎？怎麼能數出所有可能性呢？ 讓我們更仔細地考察一下這個問題。如圖89所示，火柴落在條帶上的位置可由火柴中心與最近的邊界之間的距離以及火柴與條帶方向所成的角度來刻畫。圖中給出了火柴落下的三個典型例子。為簡單起見，假定火柴長度等於條帶寬度，比如都是2英寸。如果火柴中心離邊界很近，成的角又很大（如情況a），那麼火柴將與邊界相交。如果情況相反，角度很小（如情況b）或距離很大（如情況c），則火柴將全都落在一條帶子的邊界內。說得更精確些，如果半根火柴在豎直方向的投影大於條帶的一半寬度，則火柴將與邊界相交（如a），反之則不相交（如b）。這一陳述可以用圖89下半部分的圖形表示出來。橫軸給出的是火柴落下後所成的角度（以弧度為單位），縱軸則是半根火柴在豎直方向的投影長度；在三角學中，這個長度被稱為給定角度的正弦。顯然，當角度為零時，正弦值也為零，因為這時火柴呈水平方向。當角度為π/2即直角時，64正弦值等於1，因為此時火柴呈豎直方向，與其投影重合。對於介於其間的角度，正弦值由我們所熟悉的正弦曲線給出。（圖89隻畫出了完整曲線的四分之一，即從0到π/2。） 圖89 構造這張示意圖之後，估算火柴與邊界相交或不相交的機率就很方便了。事實上，正如我們所看到的（再看圖89上半部分的三個例子），如果火柴中心與邊界的距離小於相應的投影，即小於這個角度的正弦值，火柴就會與條帶的邊界相交。這意味著，圖中表示這個距離和角度的點位於正弦曲線以下。相反，當火柴完全落在條帶邊界以內時，將會給出正弦曲線以上的點。 於是，按照我們計算機率的規則，相交機率與不相交機率之比將等於曲線下的面積與曲線上的面積之比；或者說，要想計算兩個事件的機率，可以用與之相應的兩塊面積分別除以整個矩形的面積。可以用數學方法證明（參見第二章），圖中正弦曲線下的面積恰好等於1。由於整個矩形的面積是×1=，所以我們發現，火柴（其長度等於條帶的寬度）與邊界相交的機率為。 在這個最意想不到的場合，π出現了，18世紀的科學家布豐（George Louis Leclerc Buffon）最先注意到了這個有趣的事實，因此這個火柴和條帶的問題也被稱為布豐問題。 勤勉的義大利數學家拉澤里尼（Lazzerini）實際做了一個實驗。他擲了3408根火柴，發現共有2 169根與邊界相交。用這個實驗的精確記錄去檢驗布豐公式，發現π的值可以用來代替，即3.141 592 9。直到小數點後第七位，它才與精確值有所不同！ 這當然是對機率定律之有效性的一個極為有趣的證明，但與投擲數千次硬幣，用總投擲數除以正面朝上的數目來確定「2」相比，卻也並非更有趣。在後一種情況下，你得到2.000 000…的誤差一定會和拉澤里尼確定π值的誤差一樣小。 四、「神秘」的熵 從以上這些來自日常生活的機率計算的例子可以知道，如果涉及的數目很小，這種預測往往會令人失望；而當數目增多時，預測會變得越來越准。這就使機率定律特別適用於描述構成哪怕最小物質片段的幾乎數不清的分子或原子。因此，對於六七個醉鬼每人走二十多步的情況，醉鬼走路的統計定律只能給出近似的結果；但如果運用於每秒鐘經歷數十億次碰撞的數十億個染料分子，統計定律卻能導出最為嚴格的物理擴散定律。我們還可以說：在擴散過程中，試管中原先溶解於一半水中的染料會趨向於均勻分布在整個液體中，因為這種均勻分布比原先的分布有更大的可能性。 同樣道理，在你坐著讀這本書的整個房間裡均勻充滿著空氣。你從未想到房間裡的這些空氣會不經意地自行聚攏在某個角落，使你在椅子上感到窒息。不過，這件恐怖的事情在物理上並非完全不可能，而只是可能性極小罷了。 為了澄清這一點，我們設想房間被一個假想的豎直平面分成兩等分，此時這兩部分中的空氣分子最有可能是什麼分布呢？當然，這個問題等同於前面討論的投擲硬幣的問題。任選一個分子，它處於房間左半邊或右半邊的機會是相等的，就像擲出的硬幣正面朝上或反面朝上的機會相等一樣。 如果不考慮其他分子的位置，那麼第二個、第三個以及所有其他分子處於房間左半邊或右半邊的機會也是相等的。65因此，分子在兩半房間中的分布問題就如同大量投擲的硬幣的正反面分布問題，我們已經在圖84中看到，一半對一半的分布是最有可能的。從圖中我們還可以看到，隨著投擲次數的增多（我們這裡是氣體分子的數目變大），50%的可能性變得越來越大，當數目非常大時，這種可能性幾乎變成了確定性。由於普通大小的房間裡約有1027個分子，66所以它們同時聚在房間左半邊或右半邊的機率為 ， 即1比103×1026。 另一方面，由於空氣分子以每秒0.5公里左右的速度運動，從房間一端移到另一端只需0.01秒，所以它們在房間裡的分布每秒鐘將會刷新100次。因此要等上10299 999 999 999 999 999 999 999 998秒，才能得到完全處於房間某一側的分布。要知道，迄今為止宇宙的年齡也只有1017秒！所以還是安安靜靜讀你的書吧，不必擔心突然被窒息。 再舉一個例子。考慮桌上的一杯水。我們知道，水分子做著無規則的熱運動，正以極高的速度沿四面八方運動，但因分子之間內聚力的作用而不致逸出。 既然每一個分子的運動方向都完全受機率定律的支配，我們可以考慮這樣一種可能性：在某一時刻，杯子上半部的所有水分子都向上運動，而杯子下半部的水分子都向下運動。67在這種情況下，沿著將兩組水分子分開的水平面起作用的內聚力將無法抵抗這種「統一的分離欲望」，我們會看到一個不同尋常的物理現象：半杯水將以子彈的速度自動沖向天花板！ 另一種可能性是，水分子熱運動的總能量偶然集中在杯子的上半部分，此時杯底附近的水突然結冰，上部的水卻開始劇烈沸騰。那麼，你為何從未見過這樣的事情發生呢？這並非因為它們絕對不可能發生，而是因為極不可能發生。事實上，如果你試著計算一下原本沿各個方向隨機分布的分子偶然獲得上述分布的機率，就會得到一個與空氣分子全都聚集在一個角落的機率同樣小的數字。同樣，一些分子因相互碰撞而失去大部分動能、另一些分子得到這部分動能的機率也小到可以忽略不計。我們通常看到的速度分布同樣是具有最大可能性的速度分布。 讓我們從分子的位置或速度未處於最大可能安排的一個狀態開始，比如從屋子一角釋放出某種氣體，或者給冷水倒些熱水，此時會發生一系列物理變化，使該系統從這種不大可能的狀態達到極為可能的狀態。氣體將會擴散到整個房間，直至達到均勻狀態，上部的水的熱量將流向下部的水，直至所有的水都達到相等的溫度。於是我們可以說：一切依賴於分子無規則運動的物理過程都會朝著機率增大的方向發展，而當達到平衡狀態即不再有什麼事情發生時，機率達到最大。正如我們在屋內空氣分布的例子中所看到的，各種分子分布的機率往往是一些不方便表達的極小數字（比如空氣聚集在半間屋內的機率是10-3×1026），因此作為替代，我們常常取其對數。這個量被稱為熵，它在所有與物質無規則熱運動有關的問題中都起著顯著作用。現在可將前面關於物理過程中機率變化的敘述改寫成：物理系統中任何自發變化都會朝著熵增加的方向發展，最後的平衡態則對應於熵的最大可能值。 這便是著名的熵定律，也被稱為熱力學第二定律（熱力學第一定律是能量守恆定律）。你瞧，這裡面並沒有什麼可怕的東西。 熵定律又可以被稱為無序加劇定律，因為從上述所有例子中可以看出，當分子的位置和速度完全隨機地分布，以至於任何為其運動引入某種秩序的嘗試都會導致熵的減小時，熵便達到了極大值。通過研究把熱變成機械運動這個問題，可以得到對熵定律的另一個更為實際的表述。大家還記得，熱其實就是分子無規則的機械運動，因此不難理解，把給定物體的熱能完全轉變成宏觀運動的機械能，等於強迫該物體的所有分子都朝同一個方向運動。但在杯子裡的一半水自發沖向天花板的例子中我們已經看到，這種現象太不可能發生了，以致可以認為根本不會發生。因此，雖然機械運動的能量可以完全轉化成熱（例如通過摩擦），但熱能卻永遠不會完全轉化成機械能。這便排除了所謂「第二類永動機」68——即在正常溫度下吸收物體熱量，從而降低物體溫度，並用由此獲得的能量來做功——的可能性。例如，我們不可能建造一種不是通過燒煤，而是通過從海水中吸取熱量而在鍋爐中產生蒸汽的輪船，它先是把海水吸入機艙，然後再把吸收掉熱量的冰塊扔回海里。 那麼，普通的蒸汽機是如何在不違反熵定律的情況下把熱變成運動的呢？這是因為在蒸汽機中，燃料燃燒所釋放的熱只有一部分被實際轉化成機械能，其餘大部分熱要麼以廢氣的形式被排入大氣，要麼被專門的冷卻設備所吸收。在這種情況下，該系統有兩種相反的熵變化：（1）熵減小，此時一部分熱轉化為活塞的機械能；（2）熵增大，此時另一部分熱從鍋爐進入冷卻設備。熵定律只要求系統的總熵增加，因此只要讓第二個因素大於第一個就行了。為了更好地理解這一點，我們可以考慮這樣一個例子：在6英尺高的架子上放著一個5磅重的物體，根據能量守恆定律，此物體不可能在沒有外界幫助的情況下自動朝天花板上升。但另一方面，它卻可以讓自身的一部分朝地板下落，並用由此釋放的能量使另一個部分上升。 同樣，我們也可以使系統中一個部分的熵減小，只要另一個部分中有相應的熵增大就可以了。換句話說，對於一些正在作無序運動的分子來說，如果我們不在意其中一部分運動會變得更加無序，我們是能使另一部分變得更加有序的。和各種類型的熱機一樣，在許多實際情況中，我們的確是不在意的。 五、統計漲落 通過前一節的討論，大家想必已經很清楚，熵定律及其一切推論都完全建立在這樣一個事實的基礎上：在宏觀物理學中，我們討論的總是極大數量的分子，因此任何基於機率考慮的預測會變成近乎絕對確定的結果。如果我們考慮的是極少量的物質，這種預測就不那麼確定了。 例如，如果我們考慮的不是前面例子中充滿房間的空氣，而是體積小得多的氣體，比如邊長為百分之一微米69的正方體，那麼情況看起來就完全不同了。事實上，由於該立方體的體積為10-18立方厘米，它將只包含個分子。所有這些分子聚集在一半體積中的機率是=10-10。 另一方面，由於該立方體的體積要小得多，各個分子將以每秒鐘5×1010次的速度進行改組（速度為每秒0.5公里，距離只有10-6厘米），因此，半個正方體大約每秒鐘都會空出一次。不用說，某些分子集中在這個小立方體的某一端的情況會更經常地發生。例如，20個分子在一端、10個分子在另一端（即有一端多出10個分子）的情況會以 即每秒5000萬次的頻率發生。 因此在小尺度下，空氣分子的分布遠非均勻。如果放大率足夠大，我們應當會看到，分子在氣體的各個點瞬間有小的集中，然後再次散開，又在其他點出現類似的集中。這種效應被稱為密度漲落，它在許多物理現象中發揮著重要作用。例如，當太陽光穿透大氣層時，大氣層的非均勻性會使太陽光譜中的藍光發生散射，從而使天空染上我們所熟悉的藍色，太陽也因此看起來比實際更紅一些。這種變紅的效應在日落時尤為顯著，因為此時太陽光要穿過更厚的大氣層。如果沒有這些密度漲落，天空就永遠是漆黑一片，我們白天也能看到星辰。 普通的液體中也會發生密度漲落和壓力漲落，儘管沒有那麼顯著。因此，在描述布朗運動的成因時，我們還可以說，懸浮在水中的微粒之所以被推來推去，是因為作用於微粒各個側面的壓力在迅速發生變化。當液體越來越接近沸點時，密度漲落也變得越來越顯著，從而使液體略帶乳白色。 我們現在要問，對於統計漲落占主導作用的這些小物體，熵定律是否還適用呢？一個終生都被分子推來推去的細菌當然會對熱不能變成機械運動的說法嗤之以鼻！但這裡更準確的說法是，熵定律失去了它的意義，而不是遭到了違反。事實上，這個定律說的是，不能將分子運動完全轉化成包含巨大數量分子的大物體的運動。對於一個比分子本身大不了多少的細菌來說，熱運動與機械運動的區別實際上已經消失，它被周圍的分子推來推去，就像我們在騷動的人群中被不停地推搡一樣。如果我們是細菌，那麼只要把我們系在一個飛輪上，就能製造出一台第二類永動機，但那樣一來，我們就無法利用它了。因此，沒有理由為我們不是細菌而感到遺憾！ 然而，生命體似乎違反了熵增定律。事實上，植物生長時（從空氣中）吸收簡單的二氧化碳分子，（從土壤中）吸收水，把它們合成為植物所由以構成的複雜有機分子。從簡單分子轉化為複雜分子意味著熵的減小。事實上，木材燃燒，木材分子分解為二氧化碳和水蒸氣，這類正常過程的確是熵增過程。植物真的違反熵增定律嗎？難道真像過去的一些哲學家所主張的那樣，植物內部有某種神秘的活力在助其生長嗎？ 對這個問題的分析表明，矛盾並不存在，因為除了二氧化碳、水和某些鹽類，植物的生長還需要充足的陽光。除了儲存在植物體內、植物燃燒時又被釋放出去的能量，太陽光還攜帶著所謂的「負熵」（低熵）。當太陽光被綠葉吸收時，負熵就消失了。因此，植物綠葉中發生的光合作用涉及兩個相關的過程：（1）將太陽光的光能轉化為複雜有機分子的化學能；（2）用太陽光的低熵降低植物的熵，使簡單分子逐步形成複雜分子。用「有序對無序」的術語來說就是：太陽的輻射到達地球並且被綠葉吸收時，其內部秩序被奪走，這種秩序被傳遞給分子，使之能夠逐步形成更複雜和更有秩序的分子。植物由無機物形成身體，從太陽光得到負熵（秩序），而動物則要靠吃植物（或其他動物）而得到負熵，可以說是負熵的間接用戶。