历算全书 · 卷五十六

钦定四库全书 歴算全书卷五十六 宣城梅文鼎撰 方圆幂积一卷 方圆幂积说 歴书周径率至二十位然其入算仍用古率【十一与十四之比例本祖冲之径七周二十二之宻率】岂非以乗除之际难用多位欤今以表列之取数殊易乃为之约法则径与周之比例即方圆二幂之比例【径一则方周四圆周三一四一五九二六五而径上方幂与员幂亦若四与三一四一五九二六五尾数八位并以表为用】亦即为立方立圆之比例【同径之立方与圆柱若四与二一四有奇则同径之立方与立员若六与三一四有奇】殊为简易直截癸未歳匡山隠者毛心易干干偕其壻中州谢野臣惠访山居共论周径之理因反覆推论方员相容相变诸率庚寅在吴门又得锡山友人杨昆生定三方员订注圗说益觉精明甚矣学问贵相长也 方圎相容 新法厯书曰割圆亦属古法盖人用圭表等测天天圎而圭表直与圎为异类讵能合欤此所以有割圎之法也新法名为八线表云 又云径一围三絶非相凖之率然径七围二十二则盈径五十围百五十七则朒或详绎之则径一万围三万一四五九虽亦小有奇零不尽然用之颇为相近今算得平方与同径之平圆其比例若四○○与三一四五九平方内容平员平员内复容平方则内方与外方内员与外员之幂皆加倍之比例 假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁 员员内又容甲乙丙丁小平方小方 内又容壬丑癸子小平员如此逓互 相容则其幂积皆如二与一也 假外大平方【戊己庚辛】之积一百则内小平方之积【甲丁乙丙】必五十平员亦然 若求其径则成方斜之比例大径如斜小径如方假如内小平方积一百以甲丁或丙乙为径【甲丙或丁乙并同】开方求一百之根得径一十其外大平方积二百以甲乙或丁丙为径【或用戊庚或己辛或己戊或辛庚为径并同】开方求二百之根得径一十四一四有奇 甲乙为甲丁方之斜故斜径自乗之幂与其方幂若二与一而其径与斜径若一十与一十四【一四奇】也折半则为五与七【○七奇】故曰方五则斜七有奇也 三邉形内容平员平员内又容三邉则其幂之比例为 四与一甲乙丙三邉形内容丁戊己 平员平员内又容丁戊己小三邉则 内小三邉形为外大三邉形四之一 内外两平员之幂其比例亦为四与一 若有多层皆以此比例逓加 浑员内容立方立方内又容浑员如此逓互相容则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例外立方与内立方之径幂亦然丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方丙戊及戊甲皆立方边【丙辛及甲辛并同丙乙及甲丁等亦同】丙戊甲辛为立方面【余六面并同】丙甲【为方面斜线】丙丁【为立方体内对角线】即浑员径【乙甲同其辛壬及己戊皆亦对角若作线亦同】丙乙及甲丁等又皆为立楞【戊壬及辛己同】解曰立方面上斜径之幂为方幂之倍【句股法也 斜为方为句又为股并句股实成实故倍方幂即成斜径之幂】又以斜径 为股立方之立楞为句求得立方体内両对 角之斜径为此实内有股实【即面上斜径之幂为 方幂者二】有句实【即立楞之幂立楞原即方邉故其幂即立方面幂】共得方 幂三而此丙对角斜径即浑员之径内小员径又在立方体内即以方径为径其径之幂即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立员则内员径即立方之径 若求其径则外径大于内径若一十七有奇与一十内径之幂百开方得一十为径则外径之幂三百开方得一十七【又三十五之一十一】为径若有几层互容皆以此比例逓加卽得若求其体积则为五倍有奇之比例【若有多层亦以此比例逓加】假如内容立方积一千则外大立方积五千一百九十四有奇解曰立积一千则其径幂一百而外大立积之径幂三百又以径一十七【又三十五之一十一】乗之得五千一百九十四【又七之二】　此言大方积又在圗上浑员之外 积之比例 立方同径之立员其比例为六○○与三一四 立方同径之员柱其比例为四○○与三一四 员柱与同径之立员其比例为三与二 方圎周径相求 同积较径　为方变员员变方之用 凡方圎同积则员径大方径小其比例若一一二八三七九与一○○○○○○ 解曰员径一一二八三七九则方径一○○○○○○也法曰有员径求其同积之方径当以一○○○○○○乗以一一二八三七九除 有方径求其同积之员径当以一一二八三七九乗以一○○○○○○除 凡方员同积则员径上平方与方径上平方其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五解曰员径自乗四○○○○○○○○则方径自乗三一四一五九二六五 法曰有员径求其同积之方径当以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得数平方开之得方径 有方径求其同积之员径当以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五除得数平方开之得员径凡方员同积则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六 解曰员径一○○○○○○则方径八八六二二六也法曰有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○除之即得方径 有方径求同积之员径以一○○○○○○乗方径八八六二二六除之即得员径 约法 以一一二八二七九乗方径去末六位得同积之员径以○八八六二二六乗员径去末六位得同积之方径同积较周 凡方员同积则员周小方周大其比例若一○○○○○○与一一二八三七九亦若八八六二二六与一○○○○○○ 解曰员周一○○○○○○则方周一一二八三七九也 方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法 以一一二八三七九乗员周去末六位得同积之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同积之员周凡方员同积则其径与径周与周为互相视之比例解曰方周与员周之比例若员径与方径也 论曰凡同积之周方大而员小同积之径则又方小而员大所以能互相为比例 约法 以方周乗方径为实员周除之得员径若以员径除实亦得员周 以员周乗员径为实方周除之得方径若以方径除实亦得方周　皆用异乗同除例如左 一　员周一○○○○○○　　一　方周一○○○○○○二　方周一一二八三七九　　二　员周○八八六二二六三　方径○二八二○九四【七五】　三　员径○二八二○九四【七五】四　员径○三一八三○九【八八】　四　方径○二五○○○○积七九五七七【四四八　　　○○○○○○】　　积六二五○○○○○○○○ 一　员径一○○○○○○　　　一　方径一○○○○○○二　方径○八八六二二六　　　二　员径一一二八三七九三　方周三五四四九○四　　　三　员周三五四四九○四四　员周三一四一五九二　　　四　方周四○○○○○○积七八五三九【八一六　　　○○○○○○】　　积一○○○○○○○○○○○○ 第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积 论曰以上皆方员周径互相求乃同积之比例方员交变用之即比例规变面线之理 同径较积较周　即方内容员员外切方 凡方员同径则方积大员积小周亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五 方径一○○○○周四○○○○　积一○○○○○○○○员径一○○○○周三一四一五奇积○七八五三九八一六方径二○○○○周四○○○○　积四○○○○○○○○员径二○○○○周六二八三一奇积三一四一五九二六五凡径倍者周亦倍而其积为倍数之自乗亦谓之再加比例授时厯谓之平差 径二倍周亦二倍而其积则四倍径三倍周亦三倍而其积九倍乃至径十倍周亦十倍而积百倍径百倍周亦百倍而积万倍皆所加倍数之自乗数亦若平方谓之再加也 同周较积较径 凡方员同周则员积大方积小径亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五 方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆陞皆视周数之位今用百万为周则积陞六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬絶定位之法所以当明也 问位既大陞而数不变何耶曰周径相乗得积之四倍于是四除其积即得所求平积此平幂之公法也兹方员之周既为四则以乗其径而复四除之即还本数矣惟周数之四或十或百或千万亿无定而除法之四定为单数故无改数而有进位也 又论曰周四倍之径与周一之径为四倍其积则十六倍所谓再加之比例 浑圎内容立方径一万寸求圎径　法以方斜一万四千一百四十二寸为股自乗得二亿为股实以方径一万寸为句自乗得一亿为勾实并勾股实为三亿为实开方得一万七千三百二十○半寸命为浑圎之径 又以浑圎径求围得五万四千四百十四寸弱　周径相乗得九亿四千二百四十七万六九九四寸为浑幂以四除浑幂得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸奇为大平圎幂即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也 圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸以浑圎径乗平圎幂得之 倍圎柱积以三除之得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸 约法　立方径一千尺其积一十尺　外切之浑圎径一十七尺三二○五　浑圎积二千七百二十○尺六九五四　约为二千七百二十一尺弱 试再用径上立方求浑圎积法【即立方内求所容浑圎】以浑圎径自乗再乗得浑圎径上立方以圎率【三一四奇】乗之得数六除之得浑积并同 立方与员柱若四○○与三一四奇【同径之员柱也】 立方为六方角所成员柱为六员角所成其所容角体并六而方与员异故其比例如同径之周　此条为积之比例 员周上自乗之方与浑员面幂若三一四奇与一○○浑员面幂与员径上平方形亦若三一四奇与一○○皆员周与径之比例 浑员面幂与员径上平员若四与一 员柱面幂与员径上平员若六与一【六员角之底皆外向合成此数】平员并为一而员柱幂为其六倍浑员幂为其四倍浑员为员柱三之二即此可徴积之比例如其面也以上四条并面幂之比例浑员体与员角体若四与一浑员面既为平员之四倍从面至心皆成角体故体之比例亦四倍 立方面与径上平方若六与一【六面故也】 立方体与浑员体若六○○与三一四奇 浑员面与径上平方既若三一四奇与一○○而立方面与径上平方若六与一平方同为一○○而立方面为其六倍浑员面为其三倍一四奇故立方之面与浑员之面亦若六○○与三一四奇也而体之比例同面故亦为六○○与三一四奇 立员得员柱三之二 论曰凡员柱之面及底皆立员径 上平员也旁周似员筩亦如截竹 周围并以员径为高即员径乗员 周幂也为径上平员之四倍与浑 员面幂同积【半径乗半周得平员则全径乗全周必平员之四倍】合面与底共得平员之六倍而浑员面幂原系平员之四倍是员柱幂六而浑员幂四也而体积之比例凖此可知亦必为三之二矣【三之二即六之四之半】 问体积之比例何以得如面幂曰试于员柱心作员角 体至面至底成员角体二皆以半 径为高平员为底其余则外如截 竹而内则上下并成虚员角于是 纵剖其一邉而令员筩伸直以其 幂为底以半径为高成长方锥【底濶 如全径直如员周高如半径锥只一防】此体即同四 员角【或纵剖为四方锥亦同皆以周四分之一为底濶以全径 为底长以半径为高其体并同员角何也以周四之一乗全径与半 径乗半周同故方底同员底而其高又同则方角同员角】合面 底二员用共六员角矣而浑员体 原同四员角【浑员面为底半径为高作员锥即同四员 角】是员柱浑员二体之比例亦三 与二也 员角体得员柱三之一　凡角体并同 凖前论员柱有六员角试从中腰平截为两则有三员角而员筩体原当四员角今截其半仍为二员角或面或底原系一员角合之成三员角以为一扁员柱然则员角非员柱三之一乎 若立方形各从方楞切至心则成六方角【皆以方面为底半径为高】从半径平切之为扁立方则四周之四方角皆得一半成两方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角体亦三之一矣 浑员体分为四则所分角体各所乗之浑幂皆与员径上平员幂等 甲戊丙丁浑员体　从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径各自其浑幂透至乙心而以半径旋行而割切之则成上下两员角体一甲卯辰丑乙【以甲丑卯辰割浑员之面为底乙为其锐此割员曲径自丑而甲而辰居员周三之一】一丙癸寅子乙【以子丙寅癸浑员之割面为底乙为其锐此割员曲径亦 三之一如三百六十之一百二十】此上下两角体 相等皆居全浑体四之一中腰成 鼓形而上下两面并穵空各成虚 员角【其外则周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割员状此割 员曲径自辰而丁而癸居员周六之一为三百六十之六十】 此鼓形体倍大于上下两角体居浑员全体之半若从戊乙丁腰横截之为二则一如仰盂一如覆碗而其体亦浑员四之一也 如此四分浑体而其割员之面幂即各与员径上之平员幂等故曰浑员面幂与径上平员若四与一也问何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体曰试于子丙乙癸角体从子寅癸横切之则成子未癸午小员面 为所切乙子寅癸小员角体之底 乃子寅小半径乗子未癸小半周 所成也然则以子寅小半径乗子 未癸小半周又以乙寅半半径为 高乗之而取其三之一即小角体矣 试又于中腰鼓体从丑子及卯寅 及辰癸诸立线周遭直切之脱去 其外鼓凸形即成员柱体之外周 截竹形又从酉乙申横切之为两 【一仰盂一覆碗】则此覆碗体举一式为例 可直切断而伸之亦可成方角体 此体以乙寅半半径乗子未癸午 小员全周为底【其形长方】又以小半径 子寅【子寅即乙申】为高而乗之取三之 一为长方角体此长方角体必倍 大于小员角体何也两法并以小 半径及半半径两次连乗取三之 一成角体而所乗者一为小员全 周一为小员半周故倍大无疑 也 又丙癸寅子亦可成角体与乙子 寅癸等覆碗体既倍大则兼此两 角体矣 凖此而论仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体亦无疑也 又角体内既切去一小角体又穵 去一相同之小角体则所余者为 丙癸寅子员底仰盂体 鼓体内既穵去如截竹之体则所 余者为内平【如丑子及辰癸】外凸【如子戊丑及辰 丁癸】之空圈体而此体必倍大于员 底仰盂体何以知之盖两体并以 半径为平面【丑子与癸丙并同】并以员周 六之一为凸面而腰鼓之平面以 半径循员周行员底仰盂之平面则以半径自心旋转周行者两头全用旋转者在心之一头不动而只用一头则只得其半矣故决其为倍大也 凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员覆碗体而只得鼓体之半矣由是言之则上下角体各得中腰鼓体之半而鼓体倍大于角形浑体平分为四夫复何疑 曰浑体四分如此真无纎芥之疑体既均分为四则其浑体外幂亦匀分为四亦无可复疑但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶曰此易明也凡割浑员一分而求其幂法皆从其所切平面员心作立线至凸面心而以其高为股员面心至邉之半径为勾勾股求其斜用为半径以作平员即与所割圎体之凸面等幂假如前圗所论上下两角体从丑夘辰横线切之则以甲夘为股夘丑为句求得甲丑与半径同以作平员与丑夘辰甲凸面等然则此角体之凸面岂不与径上平员等幂乎 甲亢半径与甲丑同以作丑 亢平员与甲丑夘辰凸面等 幂 试又作甲戊线为半径之斜线【甲乙与戊乙皆半径为句为股故也】以为半径而作平员必倍大于半径所作之平员而浑员半幂与之等则浑员半幂不又为平员之倍乎 【如图甲丑为半径作乙庚房平员与丙戊甲平员等亦与甲辰夘丑 割员凸面等为浑幂四之一也】 【甲戊为半径作戊心亥平员与甲丁乙戊半浑幂等而倍大于乙庚 房亦倍大于丙戊甲平员则平员居浑幂四之一】 如是宛转相求无不脗合则平员为浑员幂四之一信矣取浑幂四之一法 当以半径为通以一端抵圎径之端为心旋而防之则所割浑幂为四之一而其浑幂与圎径上平员幂等 甲辰【即丁乙】之自幂一百辰夘之自 乗幂【七十五】如四与三则辰丑通 为径以作平员亦丁戊全径上平 员四分之三也大小两平员各为 底以半径为高而作员角体其比 例亦四与三也 今浑员径上平员【即下戊径上平员】所作之员角体既为浑积四之一则辰丑通径所作之员角体即浑体十六之三矣【即甲丑夘辰角体及乙丑夘辰角体之合】若以丑辰通上平员为底半半径为高而作角体即浑体三十二之三 分浑体为四又法 甲乙丙浑员体　从员周分为三【一丑甲辰一辰癸丙一丙子丑各得周三之一】又从辰从丙从丑依各半径【辰乙丙乙丑乙皆是】至乙心旋而 切之则成三角体者三各得浑体 四之一【一辰甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙说见前】则 其所余亦浑体四之一也【此余形有三平 员面以辰丑丑丙辰丙为员径而并穵空至乙心如员锥之幂有两】 【凸面以辰丑丑丙辰丙之员周为界以乙为顶皆弧三角形三角并锐】两凸面各得浑员幂八之一按辰丑即一百二十度通也凖前论以此通为圎径作平员为底半半径为高而成员角体此员角体积即为浑员体积三十二分之三【即先所论员角体八之三】 若依此切浑员体成半平半凸之体其积为浑积三十二之五【即员角体八之五】 环堵形面幂　锥形面幂 有正方正员面欲于周作立围之堵墙而幂积与之倍法于方面取半径为高即得 甲乙丙平方于其周作立起之 方围形如环堵取平方乙丙半 径为高则方围面幂倍大于平方 论曰从平方心乙对角分平方为四成四三角形并以方根为底半径为高于是以此四三角形立起令乙锐上指则皆以乙丙半径为高而各面皆半幂故求平方以半径乗周得幂也然则依方周作方墙而以半径为高岂不倍大于平方幂乎 凖此论之凡六等邉八等邉以至六十四等邉虽至多邉之面而从其各周作墙各以其半径为高则其幂皆倍于各平幂矣然则平员者多邉之极也若于其周作立圈如环而以其半径为高则环形幂积亦必倍大于平员有方锥员锥于其周作围墙而幂积与之倍 法于锥形之各斜面取其至锐之中线【如乙丙】以为环墙之高即得 方墙如环堵底用方周高如乙 丙即斜面自锐至底之斜立中 线 解曰此以锥体之斜面较幂也 论曰凡方锥皆有棱两棱交于锐各成三角面而斜立从此斜立之三角面自锐至根濶处平分之得中线【乙丙】于是自棱剖之成四三角面而植之则中线直指天顶而各面皆圭形为半幂故凡锥体亦可以中线乗半周得幂也然则于底周作方墙而以中线为高四面补成全幂岂不倍大乎 凖此论之凡五棱六棱以上至多棱多面之锥体尽然矣而员锥者多棱多面之极也则以其斜立线为高而自其根作员环则其员环之幂亦必倍大于员锥之幂前条所论切浑员之算得此益明盖员仰盂员覆碗及穵空之鼓形其体皆一凸面一平面相合而成其凸面弧径皆割浑员圈六之一其平面之濶皆半径然而不同者其内面穵空之平幂一为锥形【仰盂覆碗之内空如笠】一为环形也【鼓体之内空如截竹】准前论穵空之环幂必倍大于锥形之幂则其所负之割浑员体亦必环形所负倍大于锥形而穵空之鼓体必能兼员覆碗员仰盂之二体 撱圎算法【订厯书之误】 偶查撱圎求体法见其截小分之法有误今以数考之假如撱圎形长径为一千四百尺短径七百尺大分截长径一千○五十尺 甲己三百五十戊乙七百相并得 一千○五十　以此乗 己乙一千○五十尺　以此除 两数相同 右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率再用截大分轴己乙为法为苐一率以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率求得小分之容与圎角形等夫小分之容形外为弧线圎角之容形外为直线小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分渐小则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣有是理哉【小分渐小如辛癸甲则其甲己小于己戊而己乙者己戊与戊乙并也则其数亦大于甲己与戊乙并矣】 又如截大分长七百二十分己乙 为其轴甲己为其小分轴六百八 十分 依厯书法甲己小分轴【六百八十】为一率甲乙长径【一千四百】并戊乙短径【七百】共【二十一百】为二率求到庚壬乙圎角体为三率则所得四率为大分之容者比圎角容大三倍有奇亦恐无是理也何也圎角在圎柱形为三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也【虽壬庚略小于丙丁在中腰相近可以不论】今试求之【用苐一圗】依勿庵改法 假如截己乙大分轴一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己　依勿庵补法以己戊【三百五十尺】自乗【一十二万二千五百尺】与甲戊【七百尺】自乗【四十九万尺】相减余【三十六万七千五百尺】开方得己庚相当之原数　再以丙戊【三百五十尺】乗之甲戊【七百尺】除之为己庚实数倍之为庚壬线 再以壬庚线上方变为平员今用简法【因长径甲乙与短径丙丁原是折半之比例故也】竟以减余【三十六万七千五百尺】命为庚壬线上方以十一乗之得【四百○四万二千五百尺】又以十四除之得【二十八万八千七百五十尺】为庚壬线上所截撱体之平圎面 法以平圎面各乗其【大分小分】之轴【一千○五十尺三百五十尺】皆成圎柱形乃三除之为【大小】分内所容之【大小】圎角形 再以长径【一千四百尺】乗大圎角为实小轴【三百五十尺】除之为所截撱形之大分 以长径【一千四百尺】乗小圎角为实大轴【一千○五十尺】除之为所截撱形之小分 今用简法　置平圎面三除之得【九万六千二百五十尺】以小分轴【三百五十】乗之得庚甲壬小圎角形【三千三百六十八万七千五百尺】置小圎角四因三除之得【四千四百九十一万六千六百六十六又三之二】为所截小圎分 又置圎面三除之积【九六二五○】以大分轴【一千○五十尺】乗之得庚子乙大圎角形【一亿○一百○六万二千五百尺】 置圎角形【一○一○六二五○○】用四因之得【四亿○四百二十五万尺】为所截大圎分 小圎分大圎分两形并之【共四亿四千九百一十六万六六六六】为撱形全积 另求撱形全积 置短径【七百】自乗得【四十九万】以长径【一千四百】乗之得【六亿八千六百万】以十一因之二十一除之得【三亿五千九百三十三万三三三】为真撱圎全积 以真撱圎积与两截形并相较其差为九十分之一而弱 若用厯书法　求得截小分【二千三百六十八万七千五百尺】与小圎角同 截大分【六亿○六百三十七万五千】为大圎角之六倍 相并得【六亿四千○○六万二千五百尺】为撱圎全积　与撱圎真积相较其差更甚 如是辗转推求则知撱体大截分不可算今别立法凡撱体皆先如法求其全积再如法求其小分截积以小分截积减全积余为大分截积此法无可存 厯算全书卷五十六