莊氏算學 · 卷五

欽定四庫全書 莊氏算學卷五 淮徐海道莊亨陽撰 中西筆算 度量權衡 度法 丈　尺　寸　分　厘　毫　絲　忽　微　纎　沙塵埃　　漠　模糊　逡巡　須防　瞬息　彈指剎那　六德　虛空　清浄【俱逓以十析】 量法 石　斗　升　合　勺　撮　抄　圭【俱逓以十析】　粟【六粟為圭】 權衡 兩　錢　分　厘　毫　絲　忽【俱逓以十析忽以下並與度法同】凡丈　石　兩以上則為十　百　千　萬【逓増十倍】　億兆　京　垓　秭　穰　溝　澗　正　載　極 恆河沙　阿僧秖　那由他【不可思議無量數億以下俱逓増萬倍】 田法 頃【百畆為頃】畆【二百四十步為一畆】分【二十四步為分】步【方五尺為步】 斤法 斤【十六兩為一斤】兩【以下俱與權衡同】 里法 里【三百六十步為一里計一百八十丈】 厯法 周天【十二宮為周】宮【三十度為宮】度【六十分為度】分　秒　微　纎忽　芒　塵【俱逓以六十析】 日時 日【十二時又為二十四小時】時【八刻又為二小時】刻【十五分】分以下俱與前同 石法 石【積二千五百寸即正方一尺高二尺五寸此系舊法如以尺度較倉積先將現用斗較准然後用為比例方得宻合也】 命位 凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸分厘皆為奇零命尺為單位則寸以下為奇零而丈則進而為十若命寸為單位則分以下為奇零而尺則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆為奇零命斗為單位則升以下為奇零而石則進而為十若命升為單位則合以下為奇零而斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則錢分釐毫皆為奇零命錢為單位則分以下為奇零而兩則進而為十若命分為單位則厘以下為奇零而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共有五位即知此數首位是萬矣至於厯法宮度分秒日時刻分之定位則每項命兩位如宮曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常列一位即命一等者宮度時刻則兩位命為一等而每一等有十單之列焉此又命位之最要者也 加法 加者命眾數而總成也葢數始於一終於九至十又復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之數合前後之位言之有單十千萬之等先自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本位下挨次並之即得總數若夫宮度時刻斤兩之數則不以十進必足所命之分始進一位 減法 減者較眾數而得余也凡以少減多以小減大原有之數書於上應減之數書於下橫列必對其位相減必從其類【如千減千百減百之類】如或下數大於上數不足減則借前之一以減本位【加法由後而進前減法則借前而退後其理一也】前位作一防以志之既得本位則前位所借之一併於前數而為減數然數相減必先辯其多寡首位必大於減數始可其定位亦然原列之次為減余位 因乗 因乗者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則必至於繁而無統此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如兩位以上則各以每位所因之數而又層累以積之也其法以原數為實乗數為法實列於上法列於下必使法實相當【如千對千百對百十對十單對單之類】按法乗實合而加之為所得數定位之法視其法實所命之單位後有奇零與否如無奇零則實中所命之單位相對即法尾之數若有奇零則法實相乗者法實之一位統得數之二位【如單位後奇零有一位則截得數之二位奇零有二位則截得數之四位向前為單位紀之】法實相乗再以法乗者【即自乗再乗也】法實之一位統得數之三位【如單位後奇零有一位則截得數之三奇零有二位則截得數之六位向前為單位紀之】是故得數以一位論者則為單十百千之類以兩位論者則為自乗之類以三位論者則為自乗再乗之類錯綜交互用法不一必須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如於左 開平方法 平方積者兩數相乗所得之數也開之之法每方積二位得方邊一位 法以自乗數與方根相商以相合者即定為初商書於積之上而以自乗之數書於初商積之下爰以方邊末位積數續書於下為次商亷隅之共積乃以初商之數倍之為亷法以除余積足幾倍即定次商為幾倍書於方積之上而以次商數為隅法與亷法數相加得數為亷隅共法書於余積之左以次商數乗之得數與次商亷隅共積相減減盡則已如有餘數又為第三位以後積數商開之法與次商同 開帶縱平方法 較法 法以縦方積四因以較自乗二數相加以開平方法開之得邊總加較折半為長減較折半為濶也 又法以縱多折半自乗與原積相加以開平方法開之得數為半和於半和較減半較得濶於半和加半較得長也 較數縱平方有較無長濶和故四因積數與較自乗數相加得長濶和積開方為長濶和 和數縱平方有長濶和無長濶較故用和自乗得和積與四因積相減餘數為較積開平方為長濶較 總之有長濶和有較者於和內加較折半為長減較折半為濶其理同也 和法 法以縱方積數四因以和自乘得數減去四因之數以開平方法開之即長濶相較之數以較數與和數相加折半為長減較即濶也 又法以和數折半為半和自乗與原積相減以開平方法開之得數為半較於半和減半較為濶於半和加半較為長 開立方法 立方者自乗再乗所得之數也有正方體之積數而求其每一邊之數也每積數三位得邊數一位其體形有初商之一大正方【此為自一至九自乗再乗數】為首位用各數自乗再乗為首位積以減通積餘數為次位以後積數次位積形為磬折體包大方之三面故有三平亷其邊與大方等其厚與次商數等有三長亷其長與大方等其寛厚皆與次商數等有一小隅系次商自乗再乗之數法以初商數自乗相因為三平廉面積與余積相商約得幾倍【用為少之數】即定次位為幾數然後以次商數與初商數相乗三因為三長亷面積又以次商自乗為小隅面積三數相併為平亷長亷小隅之共面積再以次商數乗之為磬折形通積以減余積減盡則止如有餘數又為第三位以後積數開之之法與次商同 開平方者有正方面之積數而求其每一邊之數也每積二位得方邊一位以縱橫之積數能至十倍故也法以各數自乗之數除首位積其餘數為第二位以後積數次以首位數加倍為亷法以商余積得幾倍即定次位為幾數並以此數為隅法然後以第二位數與亷法隅法相乗以減余積減盡則止再有不盡之數又為第三位積數照前商除其法皆同 田地頃畆分法 縱橫方五尺為一步二百四十步為一畆一百畆為一頃凡地縱橫相乗得積步得積步以二百四十步除之得畆數再二十四步為一分除不盡者為零若干步凡得積丈以六十除之得畆數【每邊數一丈得積四步】再六丈為一分除不盡者為零若干丈尺 正比例 以原有之兩數及現有之一數而求所不知之一數也其法以原有為兩數為一率二率以現有之一數為三率二率三率相乗一率除之得四率為所求三率與一率同類四率與二率同類 莊氏算學卷五