中國通史（第六卷） · 第四十七章數學

隋唐時期，由於農業、手工業和商業的發展，以及編制曆法、開鑿大運河和大規模城市建設等實際需要，數學在前代成就的基礎上繼續向前發展。這一時期，見於記載的數學著作已明顯增多，如《隋書·經籍志》著錄有27種，宋初編纂的《新唐書·藝文志》著錄有35種。數學教育制度的確立、李淳風等對於十部算經的整理和注釋、王孝通《緝古算經》關於三次方程的工作、二次內插法的創立、實用算術的發展和計算技術的革新，以及數學知識的普及、中外數學交流的擴大等等，在中國古代數學史上都具有重要意義。 第一節數學教育 據歷史記載，早在西周時期「數」作為「六藝」之一，成為貴族子弟必修的一門課程，在一定程度上受到統治階級的重視。當時還有世代相傳掌管天文曆法和通曉數學的所謂「疇人」。但是數學知識的延續和發展，主要依靠私授家傳。如著名數學家祖沖之就稱得上是數學世家。隋唐時期，在數學教育方面的一項重要舉措是在國子監內設立算學館，並相應地在科學考試中設有明算科。如隋朝國子寺設立「算學」，置有博士二人，助教二人，招收學生八十人，進行數學教育。唐沿隋制，國子監亦設置「算學」，但其設於何時則有兩種說法。一說為貞觀二年（628），「是歲大收天下儒士..其書算各置博士學生，以備眾藝」①。《唐會要》也有類似記載，並且提到唐太宗多次親臨國子監視察，「國學之盛，近古未有」。另一說則稱，「唐廢算學，顯慶元年復置」②。從唐初百廢待興到社會穩定、經濟繁榮和文化發達的總體情況來看，大致應是，貞觀初設「算學」，後曾一度撤銷，而在顯慶元年（656）又在國子監內重新添設算學館。 唐代算學館由算學博士「掌教文武八品以下及庶人之子為生者」③，共招收學生三十人，分為兩組，學制均為七年。學習內容主要是十部算經，其中一組十五人學習《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《周髀算經》和《五經算術》，另一組十五人學習《綴術》和《緝古算經》。按當時規定，《孫子》和《五曹》共限習一年，《九章》和《海島》共三年，《張丘建》和《夏侯陽》各一年，《周髀》和《五經算》共一年，《綴術》四年，《緝古》三年，此外還要兼習《數術記遺》和《三等數》。 與此相應科舉取士還設置了明算科，考試內容主要從十部算經中選題，考試合格者可分配從九品以下的官職。然而，終唐之世數百年間，封建統治者對於數學教育興廢無常，算學館有時設置有時停辦，隸屬關係也常有改變，有時屬於國子監，有時又屬於秘書局或太史局，如顯慶元年（656）設算學館，僅過兩年多，於顯慶三年（658），因算學等「事唯小道，各擅專門，有乖故實，並令省廢」①，取消了算學館，並把算學博士以下人員轉屬太史局。龍朔二年（662）又重設算學館，而學生人數減為十人，翌年再使「算學隸秘書局」②。此後，「算學」仍時有興廢，大約在晚唐時，明算科考試也被取消了。這種情況當然對數學發展是不利的。隋唐以後在國子監創設算學館，進行專業數學教育，科舉考試中設立明算科選拔數學人才，這畢竟是我國歷史上的創舉。但由於封建思想的束縛，重經史輕理工的風氣長期盛行，因而數學教育並沒有受到應有的重視。例如，在唐代國子監中，有國子、太學、四門、律學、書學、算學六個學館，其中國子學有學生三百人，太學、四門各有學生五百人，而算學僅有學生三十人，後來又減為十人，並且只招收社會地位不高的人家的子弟。明算科科舉及第以及學數學的人又只能得到很低的官職，如國子博士是正五品上，而算學博士卻是品位最低的從九品下，算學博①《貞觀政要》卷七。 ②《新唐書》卷四六《百官志》。 ③《舊唐書》卷四四《職官志》。 ①②《唐會要》卷六六。 士與助教也只能拿到最低的月俸，因此「士族所趨唯明經、進士二科而已」③，「明經」和「進士」仍然是多數知識分子追求的目標。 ③《通典》卷十三《選舉》。 第二節算經十書 唐代國子監算學館採用的教材，是由國家統一編訂的。據《舊唐書·李淳風傳》載：初唐時，「太史監候王思辯表稱《五曹》、《孫子》理多踳駁，淳風復與國子監算學博士梁述、太學助教王真儒等受詔注《五曹》、《孫子》十部算經。書成，高宗令國學行用」①。《唐會要》廣文館條則稱，顯慶元年（656）十二月十九日尚書左僕射于志寧等奏置，「令習李淳風等注釋《五曹》、《孫子》等十部算經，分為二十卷行用」②。李淳風曾任朝議大夫、將士郎、承務郎、輕車都尉、太史丞、太史令、秘閣郎中等官職，著有《晉書》和《隋書》中的《天文志》、《律曆志》、《五行志》，以及《典章文物志》，《乙巳占》，《秘閣錄》，《法象志》等。 據新舊《唐書》和《宋史》等史籍記載，李淳風等編訂和注釋的十部算經，有《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《五經算術》、《綴術》和《緝古算經》，後世稱為「算經十書」。後來北宋元豐七年（1084）秘書省刻印算書時，《綴術》已經失傳，因而只刻印了九部，並且據考證，其中《夏侯陽算經》並非原著，而是唐代中期的《韓延算術》。由於此書卷上第一章引用了夏侯陽的一句話而被誤認為《夏侯陽算經》。南宋嘉定六年（1213），鮑澣之在福建汀州學校主持翻刻北宋本九部算經時，又補入從杭州七寶山寧壽觀所藏道書中發現的徐岳《數術記遺》一卷，並且輾轉流傳到現在。1963年中華書局出版錢寶琮校點本《算經十書》。 現在有傳本的《算經十書》每卷的第一頁上都題有「唐朝議大夫、行太史令、上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋」字樣，實際上只有《周髀》、《九章》、《海島》、《張丘建》和《五經算術》五種還保留有李淳風等的注釋，並且已非全貌，其他幾種都已失傳了。在李淳風等關於算經十書的校訂和注釋工作中，就天算內容而言，其《周髀算經注》水平較高，特別是修正了經文和趙爽、甄鸞注中的一些缺陷，作出了較大貢獻。例如，根據實際觀測，指出《周髀》等古代天算家認為南北相距千里、日影長度相差一寸的傳統說法不符合實際情況，據此推算得出的天文數據自然也是錯誤的；提出用兩根標竿（古人稱為「表」）測量時，應根據地勢高低不同對日高公式作適當的修正並提出了相應的計算方法；指出趙爽所修改的二十四節氣八尺高表的日影長度，用等差級數計算也與實際不合；逐條校正了甄鸞對趙爽《勾股圓方圖注》的種種誤解，這對於後世讀者有很大幫助。 李淳風等對其他算經的注釋有不少值得稱道之處，如在《九章算術》「少廣章開立圓術」中，引用了祖暅關於球體積計算的研究成果，保存了珍貴的史料。《綴術》失傳之後，幸有李淳風等的記述，才使後人能夠了解到祖氏父子的球體積公式和祖暅公理等中國數學史上的重要成就。對《海島算經》的註解，則詳細指明了解題中的演算步驟，在一定程度上為當時及後人的學習和研究提供了方便。李淳風等人的注釋工作也存在不少缺點，例如，讚揚祖沖之圓周率「更開密法」，而沒有充分認識到劉徽割圓術的重要意義，認①《舊唐書》卷七九《李淳風傳》。 ②《唐會要》卷六五。 為「徽雖出斯二法，終不能究其纖毫也」①；在《九章算術》有關圓面積的問題答案下，添加「按密率」計算所得答案，結果使後來不少人誤認為「約率」22/7是祖沖之的「密率」；總的來說，李淳風等人對算經十書進行系統的整理和注釋，這些算書又被採用為數學教材，從而使這些反映唐代以前中國古代數學發展情形的最重要的原始文獻得以流傳至今。 ①《九章算術》方田章圓田術李淳風等注。 第三節《緝古算經》與三次方程 唐代立於學官的十部算經中，王孝通《緝古算經》是唯一的一部由唐代學者撰寫的。王孝通主要活動於六世紀末和七世紀初。他出身於平民，少年時期便開始潛心鑽研數學，隋朝時以歷算入仕，入唐後被留用，唐朝初年做過算學博士（亦稱算曆博士），後升任通直郎、太史丞。畢生從事數學和天文工作。唐武德六年（623），因行用的傅仁均《戊寅元歷》推算日月食與實際天象不合，與吏部郎中祖孝孫受命研究傅仁均歷存在的問題，武德九年（626）又與大理卿崔善為奉詔校勘傅仁均歷，駁正術錯三十餘處，並付太史施行。王孝通所著《緝古算術》，被用作國子監算學館數學教材，奉為數學經典，故後人稱為《緝古算經》。全書一卷（新、舊《唐書》稱四卷，但由於一卷的題數與王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十題。第一題為推求月球赤緯度數，屬於天文曆法方面的計算問題，第二題至十四題是修造觀象台、修築堤壩、開挖溝渠，以及建造倉廩和地窖等土木工程和水利工程的施工計算問題，第十五至二十題是勾股問題。這些問題反映了當時開鑿運河、修築長城和大規模城市建設等土木和水利工程施工計算的實際需要。 王孝通在《上緝古算經表》中說：「伏尋《九章》商功篇有平地役功受袤之術。至於上寬下狹，前高后卑，正經之內闕而不論。致使今代之人不達深理，就平正之間同欹邪之用。斯乃圓孔方枘，如何可安。臣晝思夜想，臨書浩嘆，恐一旦瞑目，將來莫睹。遂於平地之餘，續狹邪之法，凡二十術，名曰《緝古》。」①這段話清楚地說明了他寫作本書的目的和研究成果。《緝古算經》涉及到立體體積計算、勾股計算、建立和求解三次方程x3＋ax2＋bx＝A（a、b和A，非負），建立和求解雙二次方程x4＋ax2＝A（a、A，為正，這是一種特殊形式的四次方程）等數學內容。這類問題與解法大多相當複雜，就當時數學水平而言是相當困難的，因此，在國子監算學館要學習三年，學習年限僅次於祖氏父子的《綴術》。例如該書第三題，假如從甲、乙、丙、丁四縣征派民工修築河堤，這段河堤的橫截面是等腰梯形，已知兩端上下底之差，兩端高度差，一端上底與高度差，一端高度與堤長之差，且已知各縣出工人數，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距離、負重運輸效率和築堤土方量，以及完工時間等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤體積）和這段河堤的長度、兩端高度、兩端上下底寬度，以及各縣完成的堤段長度等。前兩個問題是比較簡單的算術問題，後兩個問題則要經過較複雜的推導和幾何變換歸結為建立和求解形如x3＋ax2＋bx＝A的三次方程。在《緝古算經》第十五題至二十題等屬於勾股算術的問題中，王孝通還創造性地把勾股問題引向三次方程，並與代數方法結合起來，擴大了勾股算術的範圍，發展了勾股問題的解題方法。在中國數學史上，《緝古算經》是我國現存最早介紹開帶從立方法的算書，它集中體現了中國數學家早在公元七世紀在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，雖然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圓錐曲線的圖解法，一直到十三世紀義大利數學家菲波那契才有了三次方程的數值解法，這比王孝通晚了六百多年。王孝通對自己的研究成果十分得意。他在《上緝古算經表》中批①王孝通：《上緝古算經表》，錢寶琮校點《算經十書》，中華書局1963年版。評時人稱之精妙的《綴術》，「曾不覺方邑進行之術全錯不通，芻甍方亭之問於理未盡」，由於《綴術》已經失傳，王孝通的說法是否正確，已無從查考，但想來恐有失偏頗。他還宣稱，「請訪能算之人考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金」，這又未免有些過於自信。以後，宋元數學家創立了天元術、四元術和高次方程數值解法等，取得了更加輝煌的成就。 第四節二次插值法 二次插值法（又稱二次內插法）的創立，是隋唐數學的又一項重大成就。插值法是根據兩個自變量的已知函數值求這兩個自變量之間各自變量對應函數值的近似計算方法。這種方法是很有實用價值的。例如，在天文觀測中，人們不可能每時每刻都進行觀測，因此只能得到日月五星某些時刻在天球上的位置。利用這些觀測記錄推算日月五星在其他時刻的位置，就要用到插值法，這對於天文計算特別是日月交食的推算是十分重要的。實際上在《周髀》和《九章》中就已有了一次插值（或稱線性插值）公式。東漢末天文學家劉洪制訂《乾象曆》，為計算月球在近地點後n＋s日的共行度數，採用了一次插值公式：f（n＋s）＝f（n）＋s△，其中n為月球在近地點後運行的整日數，f（n）為對應的月球位置函數，0＜s＜1，△＝f（n＋1）－f（n）。此後，曹魏楊偉、姚秦姜岌、劉宋何承天、南齊祖沖之等各家曆法計算月行度數時也都採用了這種算法。隨著天文學的發展和觀測精度的提高，天文學家不僅發現了月球視運動的不均勻性，而且也發現了太陽和五星視運動的不均勻性，也就是說，日月五星的視運動並非是時間的一次函數。為了編制更好的曆法，特別是為了精確計算合朔和交食時刻，何承天、祖沖之以前所長期採用的一次插值法，誤差太大，已經不能滿足這種要求，於是中國天算家開始了新的探索。 隋開皇二十年（600），天文學家劉焯在他所編制的《皇極曆》中，在推算日月五星視運動度數時，首先創用了等間距二次插值公式：fnlsfnlslslsl()()()()(),+=++++--2212122212△△△△△△其中l為相等的時間間隔，求太陽視行度數時，l是一個節氣的平均日數，求月行度數時，l為一日，0＜s＜l，f（t）是時間t的函數，表示日月五星的運行度數。當l＝1時，上式可化為：fnsfnsssl()()(),+=++-△△22其中△＝△1，△2＝△2為各時間點上相應的一級差分和二級差分。這個公式實際上就是後來著名的牛頓插值公式的前三項。這種方法比以前所用的一次插值法精密，利用這個公式計算所得到的曆法精確度也有所提高。可惜的是劉焯《皇極曆》這部較先進的曆法當時並未頒行，直到唐代李淳風才將其計算方法引入《麟德歷》中。 由於各個節氣之間的時間長短實際上並不相等，即曆法中的各個節氣是不等間距的，日月五星的視運動也不是勻變速運動，因此用劉焯公式計算的結果仍然存在較大的誤差。為了解決這一問題，進一步提高曆法的精確度，唐代著名天文學家一行又在此基礎上大膽創新，在《大衍曆》（727）中創立了不等間距二次插值公式：ffsftsllsllsllll()()()+=++++--+-.è...÷△△△△△△121211222121122其中f（t）為已知值，l1，l2表示不同的時間間隔。此外，有些學者認為一行還提出了等間距三次差插值法的近似公式①，而有些學者則認為就插值算法本身而言，一行算法與劉焯算法實質完全相同，其分別僅在於以平氣或定氣為時間間隔的不同②。這些看法究竟是否合適，尚有待於更深入的研究。劉焯和一行的二次插值法影響很大，並且繼續有所發展，如晚唐天文學家徐昂編制《宣明歷》，在推算太陽和月亮行度時提出了更為簡便的插值公式，在一定程度上簡化了一行和劉焯的結果。後來宋元數學家又相繼創立三次插值法和高次插值法（招差術），在公式內容與形式上已與牛頓插值公式完全一致，更加圓滿地解決了與之相關的數學和天文計算問題。 ①嚴敦傑：《中國古代數理天文學的特點》，《科技史文集》（第1輯），上海科學技術出版社1978年版。②王榮彬：《中國古代曆法中的插值法構建原理》，見曲安京、紀志剛、王榮彬：《中國古代數理天文學探析》，西北大學出版社1994年版。 第五節實用算術的發展與敦煌算書 唐代中期以後，普遍推行「兩稅法」的賦稅制度，經濟情況得到一定程度的復興，農業、手工業和商業有了較大的發展。與此相應，人們在日常生活中需要進行計算的機會大量增加，從而產生改進和簡化籌算算法的迫切要求，促進了實用算術的發展，並且取得了顯著的成就。例如，以《夏侯陽算經》名義流傳至今的《韓延算術》，是一部可供地方官吏和平民百姓學習數學知識和計算技術的實用算術書。全書共三卷八十三題，書中收集和徵引各家算法及當時法令，保存了寶貴的數學史料。其中記載有將籌算多位數乘除轉變為單位數乘除的算法，把要擺放上中下三層的籌算簡化為在一個橫列里演算。如乘數為35，就可以先乘5，然後乘7。除數為12，可以先折半，然後再除以6。當乘數首位是1時，又可以「以加代乘」。如乘數是14，可用「身外添四」法，即被乘數不動（這相當於該數乘以10），然後再退一位加上該數的4倍；乘數是102，可用「隔位加二」法，除數是12，可用「身外減二」法，等等，都在被乘數或被除數籌式本身上進行演算。對於更多位數的乘除，可用類似的方法去處理。如果乘數或除數的首位數不是1，還能採用各種方法將它化為1，然後再來計算。這種算法叫做「求一」或「得一」算法，當時曾受到不少數學家的關注。據史籍記載，晚唐天文學家邊岡「用算巧，能馳騁反覆於乘除間。由是簡捷、超徑、等接之術興，而經制、遠大、衰序之法廢矣」①。這也從一個側面反映了唐代學者在簡化數字計算方面的成果及其影響。中唐以後乃至宋元時期，改革和簡化籌算算法的工作一直在繼續著，並且不斷有所進展，其中許多成果還被後來的珠算術所吸收，直到珠算完全代替籌算，這一工作方告結束。涉及籌算改革的專門書籍，除《韓延算術》外，還有陳從運《得一算經》七卷，「其術以因折而成，取損益之道，且變而通之，皆合於數」①，江本《一位算法》2卷，龍受益《算法》2卷、《求一算術化零歌》1卷、《新易一法算范要訣》1卷等，但可惜的是這些著作都已失傳了。 據史籍記載，庸宋之際數學著作為數不少，而傳留至今者則不多。十九世紀末在敦煌莫高窟藏經洞發現了大批歷史文獻。在這批文獻中包含有四種寫本算經②：《算經（並序）》1卷、《算書》和《算表》，這三種現藏法國國立巴黎圖書館；另兩部《算經（並序）》1卷，其內容與巴黎藏本完全相同，實際上是同一本書，此外還有《立成算經》一卷，這三部書現藏英國倫敦大不列顛博物館。以上四種算書大致說來可能成書於中晚唐或五代時期，是研究這一時期數學的重要史料。《算經》序中提到「凡算者正身端坐」，「蓋意明情樂者，安有不成哉」，等等，在戰亂時期一般不會有如此平和的心境，書中還有「又據大唐令文」字樣，關於大數記法和度量衡制度與《孫子算經》相同，另外此書有三個抄本，可見在當時是比較流行的，因此《算經（並序）》有可能是唐中期的作品。《算表》標明是五代時後周太祖廣順二年（952）寫本。《算書》載有男丁給米，養馬給粟，造袍用綿，城樓用兵，石車鉤弩，領軍出征等問題，顯然適應於軍事計算的需要，因此這部書可能①《新唐書》卷二八《歷志》。 ①《新唐書》卷五九《藝文志》，《宋史·律曆志》。 ②詳見李儼：《中國古代數學史料》，上海科學技術出版社1963年版。以下敦煌算書引文，均轉引自此書。寫於戰亂頻仍的五代時期。《立成算經》關於大數記法和度量衡制度趨於簡約，與《孫子算經》和《算經（並序）》有所不同，所列算法表也很簡明扼要，便於查索，因此可能也是五代時的作品。敦煌藏經洞發現的這四種算書所包含的數學內容主要有算籌記數法、大數記法、度量衡制，以及乘法口訣、四則運算、面積、體積計算和算表等，其中所載算題及乘法、乘方、累加和田畝等計算用表，有些很有實用價值，為唐以前算書所未見。這些來自民間的算書，反映了唐宋之際民間數學教育和數學知識應用的真實情況。 第六節中外數學交流 南北朝和隋唐時期，隨著佛教的流傳，印度的一些天文學和數學著作也傳入中國，並且有了中文譯本。《隋書·經籍志》著錄有《婆羅門算法》3卷，《婆羅門陰陽算曆》1卷，《婆羅門算經》3卷，但這些書早就失傳了，現已無法查考其具體內容。唐代還有一些印度天文學家在當時的司天監工作，主要有瞿曇、迦葉和俱摩羅三家，尤以瞿曇家族的成就最為突出。如著名天文學家瞿曇悉達，曾擔任過太史監等官職，編撰有《開元占經》120卷。在這部書所收的《九執歷》中，他所介紹的印度數學知識有印度數碼，如用9個數碼符號表示9個數字，用點表示空位或零，但該書僅用方框表示而沒有寫出這9個數碼的具體寫法，以致印度數碼未能在中國流傳下來。印度數碼亦於中世紀傳入阿拉伯國家，後又傳入歐洲，經過書寫形式上的演變，從而形成了現在世界通用的印度—阿拉伯數碼。瞿曇悉達介紹的印度數學知識還有圓弧量法、間隔為3°45′的正弦函數表等。其圓弧量法是把圓周分為360度，每度分為60分，與古希臘人的弧度量法相同，而與中國古代天文學家把周天分為度不同。但是，這些較先進的印度天36514文算法，與中國傳統的算法體系難以協調，中國學者中具有代表性的看法是「其算皆以字書（筆算），不用籌策。其術繁碎，或幸而中，不可以為法。名數詭異，初莫之辯也」①。因而這些內容都沒有被中國數學家和天文學家所採用。傳入中國的印度數學，後來僅有大數記法與小數記法，對中國數學有所影響，如元代數學家朱世傑《算學啟蒙》中的「極」、「恆河沙」、「無量數」、「虛」、「空」、「彈指」等大數與小數名稱，都來自佛教經典。另一方面，在錢寶琮主編的《中國數學史》中，列舉了十進位值制記數法、四則運算、分數、三率法、弓形面積與球體積、聯立一次方程組、負數、勾股問題、圓周率、重差術、一次同餘組、不定方程問題、開方法和正弦表的造法等14項數學內容，用以說明有些與中國數學極其相似的問題和算法，後來又出現在印度的數學著作中，因此印度數學的這些內容很可能受到了中國數學的影響。當然這還需要尋找更確切的證據，中印數學之間的關係是一個值得深入探討的課題。 中國與朝鮮、日本之間的文化交流，源遠流長。中國數學是朝、日兩國早期數學發展的基礎，其影響之大是可想而知的。在朝鮮，據《三國史記》記載，新羅早在七至八世紀，便曾在「國學」（相當於中國的國子監）內設立算學科，置「算學博士若助教一人，以《綴經》、《三開》、《九章》、《六章》教授之」①。其中所說《綴經》，當是祖沖之《綴術》，《九章》即《九章算術》，而《三開》、《六章》為何書則在我國古籍中未見記載。總的來說，其數學教育制度與所用教材，均與唐朝國子監算學館相類似。十至十四世紀的高麗王朝也建立了類似的制度。他們還多次派人來華採購各種書籍，其中也包括數學書籍。在日本，早在公元三世紀，日本就開始吸收中國的數學知識，而從六七世紀日本的飛鳥、奈良時代起，中國的曆法和數學就更多地直接或經由朝鮮間接地傳入日本。日本於八世紀初設立學校，講授數①《新唐書》卷二八《歷志》四下。 ①金富軾：《三國史記》卷三八《職官》上。 學，據日本養老二年（718）公布的《養老令》及其釋義書《令義解》（833）記載，可知當時所用教材有《孫子》、《五曹》、《九章》、《海島》、《六章》、《綴術》、《三開》、《重差》、《周髀》、《九司》等十部算書。其教職人員的設置、學生人數、學習內容和考試方法等也與唐朝國子監算學館的制度相類似。寬平年間（889—897）藤原佐世奉敕編撰《日本國見在書目》，記錄了當時在日本可以見到的各種書籍。在其中的「歷數家」一門中，除記載了《周髀》、《九章》等秦漢以來的算書外，還記錄了《六章》、《三開》等見於朝鮮書目的算書，此外也還有一些中國和朝鮮厲代書目都未載而僅見於日本的算書，如《九章私記》、《六章私記》、《新集算例》、《元嘉算術》、《要用算例》、《五行算術》等。這些著作中有些是中國人的作品，有些則可能是日本數學家在中國數學影響下而自行創作的作品。日本在相當長的時期內直接行用中國曆法，如《元嘉歷》、《麟德歷》、《大衍曆》和《宣明歷》等，這些曆法中所包含的數學方法加二次插值法等自然也相應地傳入了日本。