中國通史（第九卷） · 第五十五章數學

中國古代數學經過先秦、兩漢至隋唐的持續發展，在宋元時期達到了頂峰，並在相當長的時期內居於世界領先的地位，而到了明清時期則逐漸衰落了，這是由於受當時社會政治、經濟、思想以及傳統數學內在局限性等因素綜合作用的結果。與此同時，西方經過中世紀漫長的黑夜之後，資本主義生產獲得蓬勃發展，科學技術也隨著以意想不到的速度發展起來。在數學方面，十六世紀時笛卡兒創立解析幾何學，此後，牛頓和萊布尼茨創立微積分學，從而完成了由常量數學到變量數學，由初等數學到高等數學，由古典數學到近代數學的轉變，西方數學走到了中國數學的前面。在這種情況下，中國數學的研究方向和內容都發生了一些新的變化，其中在中國數學史上具有重要意義的事件是珠算術的發展和明代萬曆以後西方數學的引進。中國為改變數學的落後局面和追趕世界數學主流，長途跋涉了達三個多世紀。 第一節傳統數學研究的衰落 明代研治數學的人為數不少，著述也相當多。據有關書目文獻記載，明代算書約有一百二十餘種，其數量超過了以往的任何時代①。特別是在明代，中國傳統數學的一些重要典籍，如《周髀算經》、《九章算術》以及宋元數學家的著作，大多還有傳本。明初編輯《永樂大典》，曾將漢至明初的各種算術分類抄入事韻算字條下，共三十六卷。清代纂修《四庫全書》，戴震等從中輯錄出《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《五經算術》、《數學九章》（即秦九韶《數書九章》）、《益古演段》等古典數學名著。《永樂大典》算字條現尚存原著第16343—16344卷，還有學者認為，現存《諸家算法及序記》是《永樂大典》第16361卷的抄本②。除上列之書外，從《永樂大典》現存部分中尚可見到楊輝《詳解九章算法》、《日用算法》、《續古摘奇算法》、《丁巨算法》、賈亨《算法全能集》、何平子《詳明算法》、嚴恭《通原算法》、《透簾細草》、《錦囊啟源》等著作。其中有不少是早已失傳的內容，為後世保存了許多寶貴的數學史料。南京國子監還曾刊刻《算法大全》、《算法》、《九章算法》等數學著作。此外如王孝通《緝古算經》、李冶《測圓海鏡》、朱世傑《四元玉鑒》等在民間也有流傳。儘管有較好的文獻基礎，但是，明代數學家對一些古典數學名著卻缺乏深入的研究，明代數學的總體水平並不高。例如宋元時所取得的諸如天元術、四元術、招差術、垛積術、大衍求一術、增乘開方法等重大數學成就，在明朝統治時期已大都少人理解，因而沒有能夠得到很好的繼承和發展。明代數學家程大位（著有《算法統宗》）看到開方作法本源圖，說是「注釋不明」，「不雲如何作用」。顧應祥（著有《勾股算術》、《弧矢算術》、《測圓算術》、《測圓海鏡分類釋術》）看到《測圓海鏡》里的天元術，說是「反覆合之，無下手之處」，感到「茫然無門路可入」，只好在《測圓海鏡分類釋術》中捨棄了原著有關天元術的內容。這種情況反映了當時中國傳統數學後繼乏人和數學研究幾乎停滯不前的嚴重程度。現在所說的明代數學的衰落也主要是指這一方面而言的。 ①李儼：《明代算學書志》，見李儼《中算史論叢》（第二集），科學出版社1954年版。②嚴敦傑：《跋重新發現之〈永樂大典〉算書》，載《自然科學研究》1987年第2期。 第二節商業 數學的發展明代的商品經濟相當發達，因此，明代在數學理論上雖然沒有什麼建樹，但隨著商品經濟的發展，商業數學得到了較大的發展，其突出表現是在當時一些重要數學著作中出現了更多的與商業貿易有關的應用問題。吳敬《九章詳註比類算法大全》（現通稱《九章算法比類大全》）可說是這方面的代表作。 吳敬，字信民，浙江仁和（今杭州市）人，曾任浙江布政使司的幕府。 他對浙江的經濟情況如田賦、稅收、人口等非常熟悉，常協助當地財政官員進行工作。吳敬於景泰元年（1450）寫成《九章算法比類大全》這部數學傑作。全書分十卷，共一千三百二十九個應用題。第一卷前另有「首卷」，稱為「乘除開方起例」，主要介紹大數記法、小數記法、度量衡的單位、乘除算法中用字的解釋、整數四則運算和分數四則運算等，並給出一百九十四個應用問題的解法。第一卷至第九卷按《九章算術》分類法分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈朒和勾股。各卷內容都是對該類應用問題的解法，其中最初幾個問題主要引自楊輝《詳解九章算法》、劉徽《海島算經》、王孝通《緝古算經》等，稱為「古問」。而結合當時社會情況的應用問題，則稱為「比類」。此外還有用詩詞形式表達的應用問題。第十卷專論「各色開方」，包括開平方，開立方，開高次方，開帶從平方和開帶從立方等。吳敬在該書「比類」中收集的許多題目，是與當時人們生產和生活實踐特別是與商業貿易有關的應用問題。這是商品經濟發展在數學中的反映。十五世紀中，歐洲南部各城市的商品經濟也很發達，商業數學也有相應的發展。在吳敬《九章算法比類大全》寫成後二十八年，義大利出現了一部相類似的著作《脫雷維沙算術》（Treviso為威尼斯附近的一個地名）。其中有不少相當於吳敬書中的問題和解法，如「異乘同除」、「就地抽分」、「合夥經營」、「互換乘除」等。這說明在資本主義發展的萌芽時期，商品經濟反映到數學上，東西方有類似的步伐①。吳敬這部著作的體例和內容，對程大位《算法統宗》等後世數學著作有較大的影響。 另外值得一提的是王文素的《算學寶鑑》。王文素，字尚彬，山西汾城人。他以三十餘年之功，於嘉靖三年（1524）寫成《算學寶鑑》一書，書名全稱《新集通證古今算學寶鑑》。全書共四十一卷。這是繼吳敬《九章算法比類大全》之後又一部商業數學巨著。書中介紹了珠算，也運用了籌算，包含有結合社會需要的各種應用問題，內容相當豐富。但可惜的是迄今不知這部著作是否有刊本行世。現較易見到的是北京圖書館藏抄本的影印本②。①錢寶琮：《中國數學史》，科學出版社1964年版，第134—136頁。 ②見郭書春主編：《中國科學技術典籍通匯·數學卷（二）》，河南教育出版1993年版。 第三節珠算術的發展 據現有資料推測，珠算大約發明於元中葉之前不太久的時間，而在元代關於珠算僅有一些零星的記載。珠算發明之後，隨著商品經濟的發達和算法的簡化，在明代逐漸得到廣泛應用，並且最終完全取代了籌算。明初刊刻的《對相四言雜字》是一部看圖識字的啟蒙著作。書中繪有算盤圖，也繪有算籌圖，說明珠算術發展很快，珠算盤在明初即已推廣，成為應該與算籌同時掌握的計算工具。明中期以前的一些數學專著，如吳敬《九章算法比類大全》和王文素《算學寶鑑》等，也都明確提到珠算盤，並記載了一些只在珠算中才能有的口訣。如「破五訣」說：「無一去五下還四」，「無二去五下還三」一或兩根算籌就行了，用不著「下還四」，「下還三」，因此「破五訣」應是珠算口訣。但這兩部書又主要是介紹籌算方法的著作。這種情況表明，直到明代中期，在實際生活中還是籌算和珠算同時並用的。 明代算盤的式樣與規格，在十五世紀中期的《魯班木經》里有明確的記載：「算盤式：一尺二寸長，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底。線上二子，一寸一分；線下五子，三寸一分。長短大小，看子而做。」這種算盤的上下算珠之間還沒有橫樑，只用一條繩線隔開。徐心魯《盤珠算法》（1573）中的九檔算盤圖，上有一珠，下有五珠，中間有木樑，與日本的算盤相同。日本算盤是來源於這種算盤還是獨立創製的，還有待於深入的研究。柯尚遷《數學通軌》（1578）中所繪算盤圖，稱為「初定算盤圖式」，有十三檔，上二珠，下五珠，中間用木製的橫樑隔開，已與現在通用的算盤相同。中國算盤的形制可能在這時已經基本定型了。 珠算的四則運算方法基本來自籌算，但也有所不同。如籌算中沒有加法和減法的口訣，而加減法口訣則是珠算術的重要組成部分。在明代的珠算著作中，加法口訣稱為「上法訣」，如「一，上一；一，下五除四；一，退九進一十」等等，減法口訣稱為「退法訣」，如「一，退一；一，退十還九；一，上四退五」等等。為提高運算速度，這些口訣對於珠算術是必要的，而籌算術則無此必要。珠算術的乘法口訣（九九口訣）和除法口訣（九歸口訣）等，與元代的籌算術完全相同。此外，明代珠算術中有一歸口訣，如「見一無除作九一，起一下還一」等，這種除法口訣是籌算術所沒有的。 明朝人撰寫的珠算書為數不少，但流傳下來的不多。現在有傳本的有徐心魯《盤珠算法》（1573）、柯尚遷《數學通軌》（1578）、朱載堉《算學新說》（1584）、程大位《直指算法統宗》（1592）和黃龍吟《算法指南》（1604）等。其中以程大位的《算法統宗》流傳最廣，影響也最大。 程大位（1533—1606），字汝思，號賓渠，安徽休寧（今黃山市）人。 少年時代就很喜歡數學，二十歲以後一面在長江中下游地區經商，一面研究數學問題，同時向知算者請教問難，並廣泛收集古代與當代的數學著作。四十歲左右回到家鄉專心致力於數學研究。1592年，在他六十歲的時候寫成《算法統宗》17卷。後來他又將該書刪繁就簡編成《算法纂要》4卷（1598）。《算法統宗》，全稱是《新編直指算法統宗》。書中詳細介紹了珠算盤的定位方法、加減乘除口訣和其他簡算口訣。這些口訣已相當完善，至今還在繼續使用。全書595個應用題，全部用珠算盤演算，並且還設計了用珠算開平方和開立方的方法（朱載堉在此前後也提出了珠算開方法）。萬曆時張居正推行一條鞭法，在全國範圍內清丈土地。《算法統宗》卷三「方田」中記有程大位專門為此創製的「丈量步車」，並繪有圖。這種「丈量步車」是用竹篾製成的，可以卷繩，類似於現在測量用的捲尺，用以丈量土地。《算法統宗》出版之後，很快「風行宇內」，凡學習計算的人士，「莫不家藏一編」①，一直到清末還在出版這部著作的各種翻刻本和改編本。明末李之藻編譯《同文算指》，還從《算法統宗》中摘錄了不少應用問題，以補充西洋算法的不足。 《算法統宗》的編著和流傳是從籌算到珠算這一轉變完成的標誌。從此，這種攜帶方便、使用方法簡便的珠算盤，成為主要的計算工具，一直到現在還在我國人民中間廣泛地應用著，充分顯示了適應社會需要的創造發明的強大生命力。不僅如此，珠算盤和有關著作還流傳到朝鮮、日本等亞洲國家，並且受到了這些國家的歡迎。古希臘、羅馬和俄國也曾有過算盤，它們的形制與中國算盤不同，並且由於使用不便而都被淘汰了，其作用和影響是根本不能與中國算盤相比的。 ①程大位：《直指算法統宗》程世綏序。 第四節西方數學的引進 十六世紀末，天主教耶穌會傳教士作為西方殖民國家的先遣隊，開始到中國來進行活動。最早到中國內地的是義大利傳教士利瑪竇（1552—1610），他是德國數學家克拉維斯（明代學者稱其為丁先生，C.Clavius，1537—1612）的學生。明朝末年，由於改革曆法的需要，又陸續聘請一些通曉天文數學的西方傳教士來曆局工作，其中有羅雅各（JacqaesRho，1590—1638，義大利人）、鄧玉函（JeanTerrenz，1576—1630，瑞士人）、湯若望（JeanAdamSchallvonBell，1591—1666，德國人）等。這些人的主要活動當然是進行宗教宣傳，但是，為了「鞏固地位」、「增進自由」和使教會獲得「極大的利益」，他們也介紹了西方的一些天文、數學、地理、製造槍炮等科學技術知識。在數學方面，這時傳入的有歐氏幾何、平面和球面三角學、圓錐曲線、筆算方法和一些計算工具等。西方的這些數學知識為瀕於衰廢的明代數學增添了新的內容，引起當時中國數學家學習和研究的興趣，並且做出相當大的成績，朝著中、西數學融合的方向邁出了重要的一步。 歐氏幾何這一時期最早譯成中文的西方數學著作是利瑪竇與徐光啟合譯的歐幾里得《幾何原本》前六卷，內容為平面幾何學。所用翻譯底本為克拉維斯注釋的《原本》十五卷拉丁文本，但僅譯出原著，未譯克拉維斯的注釋和其他研究者的成果。在稍後編撰的《崇禎曆書》等著作中，又介紹了《原本》後九卷及《原本》以外的屬於歐氏幾何體系的部分內容，如正多邊形，多面體等。歐氏幾何傳入後，其豐富新穎的內容及其嚴謹的邏輯體系和演繹方法，在中國數學界產生了比較大的影響。徐光啟曾明確指出，《幾何原本》為「度數之宗」，「此書未譯，則他書俱不可得論」，「此書為益，能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思；故舉世無一人不當學」①。對《幾何原本》的意義和重要性給予了極高的評價。徐光啟、孫元化等中國數學家還撰寫了一些介紹與討論《幾何原本》的專著，並試圖用歐氏幾何的思想來研究中國古代的傳統數學。清代康熙皇帝還曾請傳教士南懷仁、張誠、白晉等，到宮中講授幾何，並將法國數學家巴蒂（P.Parclies）的歐氏幾何著作譯成滿文本《幾何原本》。徐光啟和利瑪竇所譯《幾何原本》中確定的一些數學名詞，如點、線、直線、曲線、平行線、角、直角、銳角、鈍角、三角形、四邊形等等，都一直沿用至今。在翻譯《幾何原本》時，徐光啟原來是想譯完全書的，但由於利瑪竇反對，說是「請先傳此」，「徐計其餘」，譯事因而中輟。1856年，李善蘭、偉烈亞力譯出《幾何原本》後九卷，這已是前六卷譯出之後二百五十年的事情了。 三角函數歷史悠久的平面三角學和球面三角學，這時也傳入中國。《崇禎曆書》①徐光啟：《幾何原本雜議》。 中鄧玉函編譯的《大測》（1631），利用單位圓上有關的八條線段定義八種三角函數：正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、余矢，故稱「八線」，最後兩種三角函數現在已捨棄不用了。三角函數表造法有「六宗」（圓內接正六邊形、正四邊形、正三角形、正十邊形、正五邊形、正十五邊形的邊長求法，即求sin30°、sin45°、sin60°、sin18°、sin36°、sin12°的函數值），「三要」（指sin2A+cos2A=1，倍角公式和半角公式），「二簡」［指公式：sinA=sin（60°+A）-sin（60°-A），sin（A±B）=sinAcosB±cosAsinB］等方法。此外還有正弦定理和正切定理。鄧玉函編譯的《割圓八線表》是五位三角函數表，間隔為分，分與分之間按比例插入法計算。羅雅各所撰《測量全義》（1631），除介紹平面三角學中的正弦定理和正切定理外，還有同角三角函數的關係、餘弦定理、積化和差公式等，並且還介紹了屬於球面三角學的一些基本公式。《測量全義》附有一份四位三角函數表，間隔為15′。清初，由波蘭傳教士穆尼閣（J.N.Smogolenski，1611—1656）講授，後由薛鳳祚整理成書的《歷學會通》中，有一卷《三角算法》，其中介紹的平面三角學和球面三角學知識，比《崇禎曆書》中有關三角學的內容更為豐富，並且還給出了一個六位三角函數（正弦、餘弦、正切、餘切）對數表。三角學是明末清初傳入中國的較系統且最有實用價值的西方古典數學成就之一。 筆算李之藻和利瑪竇合編的《同文算指》是介紹西方筆算的著作，主要是根據克拉維斯的《實用算術概論》編譯的，並吸取了程大位《算法統宗》里的一些內容。書中主要介紹筆算定位法，四則運算，分數，比例，級數求和，開平方、立方和高次方，線性方程組等。記數與計算使用一、二、三..等漢字，沒有採用現在通用的印度—阿拉伯數碼。這部書對我國算術的發展有較大影響，後來清代學者對筆算很重視並加以改進，筆算方法逐漸得到了推廣。 《崇禎曆書》中的數學知識在《崇禎曆書》中，除平面三角法和球面三角法外，還比較零散和片斷地介紹了一些有關圓錐曲線（如橢圓、雙曲線、拋物線）的數學知識，以及阿基米德求圓面積、橢圓面積、球體積和橢圓旋轉體體積的方法，已知任意三角形三邊長求三角形面積的海倫公式等。這些也都是中國古代數學中所沒有的內容，但在當時未引起足夠的重視。 在學習和翻譯西方數學著作的同時，我國學者也開始了初步的研究，並陸續有一些論著問世。如徐光啟的《測量異同》、《勾股義》，孫元化的《幾何體論》、《幾何用法》、《泰西算要》，陳藎謨的《度測》，李篤培的《中西算學圖說》等。這些著作大多為學習西方數學的心得體會，有些還嘗試把中西數學融會貫通起來，但總的來說還沒有具有創新意義的研究成果。在當時條件下，這是完全可以理解的。