新法算書 · 卷九十二

欽定四庫全書 新法算書卷九十二　　　明　徐光啟等　撰測量全義卷六 論體 厯家所重全在測量所當測者略有三事一曰線測其長短二曰面測其長短廣狹三曰體測其長短廣狹厚薄所以測體者何也即如交食一法日與月各有不同心本天各有最髙度最髙沖度其去人逺近也恆不等其自相去之逺近恆不等人目所見二曜之體大小恆不等若此者必於地體推之故有日與月與地三大之比例【別有本書】不用此比例何繇知交食之歳月日時地影【即闇虛】比於月體小大之數幾何乎不因地月之比例何從推日輪之視體幾何大去人幾何逺乎則何繇知日食旣之有無金環乎何繇知月食過分之闇虛幾何大乎何繇定食限之幾何時刻乎不知地球之大何繇定東西相去幾何里即交食前後相去幾何時刻南北相去幾何里即日食應有應無有則幾何分秒乎則安得不講於量體之法乎然則測線測面者何也曰體者諸面之積也未能測面安能測體面者又諸線之積也未能測線安能測面又測候七政行度皆以句股弧?諸法諸法則皆線也諸線之積為面不知面理則亦不能晰線之體勢故三測為並重也雖然測天皆曲線曲面也直線與平面何為乎曰曲線法從直線出也曲面法從平面出也猶圓體法從方體出也故繇線而面而體繇直線而曲線平面而曲面方體而圓體譬之跬步前步未行後步不可得進也是測量之全義也 體者面之積或實如金木土石等或空如盤池陶穹等俱同理同法 其界為面面居體之周【面截面生棱如線遇線生角也又棱為兩面之共界】一面之體如球如卵 二面之體如半球半卵圓角圓堆 三面之體如剖球卵之一分 四面之體如三面角體而四面等 即三面角體第因各面俱等故屬四面 五面之體如四面角體【因角體之面無定數故左方不列其名】六面之體如立方正立方斜立方 八面之體八面俱等 十二面之體十二面俱等 二十面之體二十面俱等【自四六八十二二十面之外不能為等面胥無法之體也】公量如斗如升皆足為體之量總之以立方為本如用尺寸分為度而一尺之體其長其廣其袤各一尺八俱直棱八俱直角乘法一千實寸為一實尺一千實分為一實寸則以立方之體再自之耳此為物數均齊推算簡易者也 幾何原本一十一卷詳解其理今略引一二如左有法之體二其上者各面俱等蓋設一邊即知其面其容也其次則對面為平行面或同類之體有公法如角體者是也球亦有法之體蓋其徑其周其外面其容之比例恆相等第以比例無盡分之數亦屬次焉 第一體名立面體如正立方斜立方多邊立體正立圓體扁圓體【因其上下為平行面亦屬等面】公法以高乘底之積得其容【高深兩名互用】其高之度則垂線也 幾何原本十二卷七增題曰兩平行面內之體或同高兩體其比例為體與體若底與底但取同類相求以正高為據不論體勢直與不直 又本卷三十二題曰同類之體與體【凡比體者皆以其容積相比】為 其邊與邊三加之比例　解曰三加之比例者四幾何為同理之連比例則一與二為一加與三為再加與四為三加也【五卷十界】此雲三加者謂體之一與二若其邊之一與四也如二　四　八　十六為四幾何同理之連比例其首二尾十六為三加之比例則小體之邊二大體之邊四其小體之容與大體之容若小邊之二與大邊之十六也 系凡同類數體測定一體之容即其容與他體之容為其邊與邊三加之比例設有立方體其邊八其容五一二又設次體其邊十二即八與十二再加之得十八三加之得二七【其超法為一身有半】則初體與次體若八與二十七或用三率法八與二十七若五一二與一七二六或以四率連比例之第二率再自之得數同 第二體名角體底廣上銳如堆垜錐亭峰之類其法同也幾何十二卷七題之系曰同底同高之角體與平行面體【即同高體】之比例若一與三法曰如方錐之底邊設九則底積八十一設髙十八以乘底積得一四五八以三為法而一得四八六方錐之容也又如圓堆之底周設十二尺設高五尺則先求周之徑得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四為法而一得十一又十一之五底積也以高乗之得五七實尺又十一之三以三為法而一得十九又十一之一為圓堆之容【系凡委粟及?垣等角體皆求立體之容三除之為角體之容】 若不知其正高但知其底及棱則先求其正高 法曰若棱為偶數如上圖得四甲乙 丙丁為底之四邊各八又半甲丙對 角線十二弱戊為角頂戊甲戊乙戊 丁戊丙為四棱各十而求次圖之中 長線戊己【次圖何物如上圖戊甲丁丙乙為全體若從戊頂向 甲丙對角線平分之為二即所截之兩面各成戊甲丙三角形甲丙底十】 【二弱戊甲戊丙各十以此三邊求中長線戊已即角體之高】 法以半底甲已自之得三十六【句方】以減腰方一百【?方】餘六十四【股方】開方得甲已八為角體之正高余如前若棱為竒數如五底之各邊為十二棱之度為二十則先求一面之中長線【各體有底有面有棱底之邊隨體無定數面則恆各為三邊形形之底線即底之一邊兩腰即棱也】依句股法半底邊得六【為句】自之得三十六【句方】棱度自之得四百【?方】相減得三百六十四 【股方】開方得一十九又一十三之一【即股即面形之中長線】次求底形之中長線用正?法以五【底之邊數】為法三百六十【全圈之周】為實【幾何論凡有法之形形外可作圈切形之各角形內可作圈切形之各邊】而一得七十二度為一邊之弧半弧之正?【即底之半邊】為五八七七九第一率也【內】半邊之數六為二率【外】半弧之餘?八○九○二為三率【內】算得八又四之一不盡【外】為五邊底形從心所出之中垂線又正?【內】與半邊【外】若全數【內】與半徑【外】得一十又五之一強【形外圈之半徑】兩數並得一十八又二十之九強為五邊形之中長線次以面形之中長線底形之中長線及一棱之度三線相遇成一三角形【平分全體所分之兩面】有三邊之數求中長線得一十六又半不盡為所求元體之正高 底之周六十半之得三十以中垂線乗之得五七二又十三之四為底積以正高乗之得九四三八三而一為元體之容得三一四六也 若棱之度長短不等則用最長之棱及其對面之中長線求體之正高 論曰角體為立面體三之一者何也如正立方體自上而下對角平分之為兩塹堵毎一塹堵得正立方二之一又於塹堵之兩方面自上而下對角平分之成大小二分大者為陽馬得塹堵三之二小者為鼈臑得塹堵三之一則一正立方分之為塹堵得二陽馬則三鼈臑則六角體者陽馬也故得立面體三之一也【說見九章算】 又外切圈之半徑為句棱數為?用句股法求股即元體之正高【此法甚簡易但須各棱俱等乃可非公法也】 截圓角體法有五從其軸平分直截之所截兩平面為三角形一也橫截之與底平行截面為平圓形二也斜截之與邊平行截面為圭竇形【頂不銳近底之兩腰稍平行】三也直 截之與軸平行截面為陶邱形【頂曲漸下漸直底兩旁為銳角】四也無平行任斜截之截面為撱圓形五也內第一第二第五 【有本】論第三第四其面皆為一直線一曲 線兩界之面所截體之一分皆為兩平 面一曲面三界之體亞竒黙徳備論其 量法然非測量所必須又各截面皆有 底有軸【即中長線】有曲線若轉軸環行即徑 線為平底界曲線為曲面界生二界之 體其邊名曰平曲之邊平曲者從曲頂 而下漸趨平也若以此體為空體則皆造作燧鑒之法以其淺深為光心之逺近亦非測天所用未及詳焉 第三名斗體古名方窖圓窖等其上下兩面不等而相似蓋角體之截分也引長其棱即相遇而成全角之體【凡置斗體大面居下本角體之截分角體欲自立底必在下也其置截分亦然】 法曰若知本角體之高即先求本 角體之容後求所闕截分之容相 減余為元體之容假如斗體之底 長方一邊得八一邊得九則其積 七十二以全高二十四乗之得一七二八以三為法而一得五七六全角體之容也次置斗體上面之一邊四一邊四又半其積十八【即闕分之底】以闕分之高十二乗之得二一六以三為法而一得七二闕分之容也以減全角體其較五○四斗體之容也 若不知全角體之高則截體分求之 法曰如甲乙丙丁斗體之大面也邊 各二十四戊已庚辛小面也邊各一 十八用垂線截斗體從戊已邊向下 至午未底分元體為二從辛庚邊向下至申酉底從庚已至戍亥從辛戊至子丑皆如之分元體為九一居中成立面體四邊四體為塹堵【正二面一立一斜側二面為句股】四隅四體為陽馬【即角體亦名方錐】各以本法求其容並為斗體之容【塹堵以高乗底積二而一陽馬以高乗底積三而一】 立面體上下兩面等各邊十八其積為三二四以高十五乗之得四八六○塹堵【一名句股體】其底長方辛子三【兩面之較六折半得】 【三】辛庚為十八乗得五十四為底積以正高乗之得八 一二為法而一得四○五四倍之得一 六二○【四邊四體故】陽馬其底各三其積九 以正高乗之得一三五以三為法而一 得五四四倍之得一八○ 若斗面為多邊形而無法或其棱不等亦用次法從上 邊向下截成眾體如圖甲皆為塹堵 乙皆為陽馬其中間無法之形則以 形為底分之中作一立面體余為四 三邊形各形有棱有高可知其容又 公法【上二法遇圓體而窮】設上下面之邊與正高與兩面之積法曰上下兩面積各開方兩根相乗得數併入兩面積以正高乗之得數三而一為斗體之容如斗體各率同前下面各邊二四其積為五七六上面之各邊一八其積為三二四兩根相乗得四三二與前兩積並以高一五 乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗體之容也 又便法【小差而不逺】並兩面之邊半之自乗得數以高乗之得斗之容如前數上面邊一八下面邊二四並得四二半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一五比前少四五其差為一四七之一耳 凡有法之體五其面其棱皆等其大小相容相抱與球相似【幾何十一十二十二十四卷極論此理今稍引用為比例之法】 一曰四面體各面為三邊等形用堅楮依圖裁而合之 成一全體有六棱四隅 設各邊一百因前法求 其容為一一七四七二 半　此下五則皆名法體求容凡同類之體皆依此為例以顯推隱故下文稱例體例邊 二曰六面體立方也各面各棱等有十二棱八隅其面 為正方形設各邊一百 因前法求其容為十萬 三曰八面等之體各面為三邊等形有十二棱六隅各 邊設一百因幾何求其 容為四七一四二五有 竒 四曰十二面等之體各面為五邊等形有三十棱二十 隅邊設一百其容為七 六八六三八九 五曰二十面等之體各面為三邊等形有三十棱十二 隅邊設一百其 容為五二三八 ○九 依幾何之説得一體之容可推同類【同類者同若干面數也】萬體之容蓋同類兩體之容之比例與兩體邊上立方之比例等 假如置四面兩體大者邊設一百小者邊設五十兩數各再自之得一百萬與一二五○○○此兩數為兩體之容之比例而以大不等為一百萬之一二五○○○約為八之一用三率法則命分數為一率得分數為三率前所立例體之容為二率得四率為所求他體之容 如前數欲知五十邊上小體之容以例體大邊上立方一百萬為一率以所求小體邊上立方為二率以大體之容為三率用法得一四六八四又四之一為小體之容【第三率大體之容於前法體求容五例內簡其同類者即用之】 一率　一百萬 二率　　一二五○○ 三率　一七七四七二半為前例所立大體之容四率得一四六八四又四之一為所求小體之容 又欲知十二面體之容各邊二五法以同類之例體邊再自之得一百萬所設體之邊亦再自之得一五六二五如前推之 一率　　一百萬 二率　　一五六二五 三率　　七六八六三八九為前例所立十二面體之容四率　　得一二○○九九為所求十二面體之容 又設一體之容欲知其邊若干因此容與他容若此邊上立方與他邊上立方其法以例體之容為一率設體之容為二率例體邊上之立方數為三率得設體邊上之立方為四率開方得根即所求邊也如有一四六八四又四之一為今設四面等之容求其邊若干查前例其同類之體邊一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根為五十即所求設體邊數 一率　一一七四七二半【例容】 二率　一四六八四又四之一【設容】 三率　一百萬【例邊】 四率得一二五○○○為所求邊上立方開得五十為所求設體之邊 量圓球之容 圓球之全體見亞竒黙徳圓球圓柱書並見幾何一十四卷茲借數題明之 第一題 球上大平圜之積為本球圜面積四之一【此亞竒黙徳之一卷三十一題也大平圜者從大圏過心剖球體為二所分兩平面是也圜面積者全球大曲面之平積也】系　凡周乗徑生球圓面之積亦生大平圜積之四倍大圜周線上方形與球圓面之比例若大圜之周線與其徑　解曰如圖甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其徑【與球徑等】己辛與圜之周線等上成己壬方形形之庚辛與甲丙徑等而己壬方形外復成庚戊方形題言己庚 矩形為大平圜之四倍壬戊矩形與 庚己矩形等蓋壬辛己辛同為矩方 形之一邊戊辛辛庚亦同為矩方形 之一邊則兩矩方形必等夫己壬周 線上之方形也壬戊為大平圜之四倍而與球之圓面等則其比例如己辛與辛戊矣【五卷二周與徑比例之數為二二三之七一或二十二之七】又大圜徑上方形與球之圓面若圜之徑與其周蓋己庚矩方形與球之圓面等庚戊為徑上之方形則兩形之比例必若己辛周與辛戊徑矣 二系　球徑上方形與球之圓面為一與三又七一之十或一與三又七之一 第二題 徑三之二乗大平圜之積生球容之數【亞竒黙徳之一卷三十二題】解曰設大平圜之周一【凡大測當以全數為母則易推故設周為一自之再自之恆為一】其大徑為二二三之七一其半為四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈積也又以六六九之一四二【此大徑三分之二】乗之約之為二九八三七四之五○四一得球容之數 又大平圜之周再自之恆為一知大圜周上立方與球容之比例何者全數為母【即一幾何謂之命分數】是周上之立方也子數【幾何之得分數】為球容則球容與大圜周上立方之比例若五○四一與二九八三七四而盈用小徑之數得四九與二九○四 又球徑上立方與球容之比例若二十一與一十一而盈若四二六與二二三而朒法置球徑一大平圜之大積為十四分徑上方之十一以徑三之二乗之得四十二之二十二約之得二十一之十一為球之容又球徑上立方為一則其與球容之比例為二十一與十一而盈或用朒法則大平圜之小積得四二六與二二三亦徑上立方與球容之比例也【右徑上立方與球容之比例】因前論置球之徑　一求球之圜面以二十二乗徑數以七除之以所得之徑乗之得圓面之積【用二十二與七而盈用二二三與七十一則朒】　一求球之容以二十二乗徑以七除之得數以徑三之二乘之得球之容【右以徑求圜面積及球之容】又徑上立方與球之容若二一與一一而盈若四二六與二二三則朒　置大圜之周大圜周上之立方與球容若二九八三七四與五○四一而盈若二九四與四九則朒　置徑置球之圓面相乗六而一 置徑【四之一乗圓面三之二三之一乘圓面二之一】　乗大圜之積三而二或徑乗積三分之二　或徑三分之二乗積俱得球之容 或半徑乗大圜積三分之二所得為球容之半　或大圜半積乘徑三分之二所得亦半 量球一分之曲面 凡截球面過心其一分為全球之若干量法與全球無 異【或半球或四之一或五之一俱同法】　若截球面不 過心為直面而曲面界為球上之圏 則借天球之界以明之 解曰甲丁己辛為子午圏甲比己南 丁辛為夏至之圏從夏至圏截之甲至丁作直線用此線為半徑作甲丁別圏亞竒黙徳之一卷四十題曰甲丁別圏之積與丁甲辛球分之曲面等又從巳至丁作直線為他圏之半徑其圏之積亦與丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干 分則為無法之形 量球一分之容 取球之一分截面過心其曲面之界為圏亞竒黙德曰想圓角體其底之圏幾何與所截凸面之一分等其高為球之半徑此體之容與今所解之球分等 如甲丁己辛球丁甲辛庚為截分丁甲辛為凸面丁庚辛庚截面過心則先求丁甲半徑倍之以二二乗之以七除之所得之 半以半徑乗之為凸面之積次以甲庚半徑乗之三而一為丁甲辛庚球分之容 若截為直面不過心如甲丁辛之一分而求其容則先求甲丁辛凸面之積以徑乗之六而一為丁甲辛庚體之容次丁辛截面至心則想丁辛庚圓角體求其容以減丁甲辛庚體之容余為丁甲辛球分之容 量撱圓體之容 撱圓亦有法之體也又次於圓球其為體則長圓形之長徑為軸旋轉所生如一防直行生線一線橫行生面一面上行生體平圓面以徑為軸轉軸環行是生圓球長圓面則有二徑一長一短以長徑為軸轉軸環行是生撱圓之體以短徑為軸轉軸環行是生扁圓之體撱圓之體或名為卵體非也凡烏卵一端大一端小是為無法之體撱圓體則兩端等亞竒黙徳之第一卷備解此體及分角體之理今略述之 凡截圓球生兩圓面成兩圏若平分之即過心過心之截分恆相等若撱圓體從小徑橫截之生兩平圓面因小徑過心故若從其長徑直截之生兩長圓面即元體之長圓也若橫截與小徑平行亦成平圓面若斜截之則其面皆不等皆成長圓形 凡圓角體其底之徑為撱圓體之小徑其高半長徑則其體之容為撱圓體四之一 如甲乙為長徑丙丁為小徑 即丙戊丁甲半撱圓體倍大 於甲丙丁角體 解曰小徑以二十二乗之七而一小徑之周也得數以乗小徑四而一小徑之平圓面積也得數以乗半長徑圓柱之容也三而一角體之容也得數四之撱圓半體 之容也 若截面與小徑平行如庚己 壬求撱圓分體如庚甲壬之 容黙徳法曰先求庚壬甲角體之容次用三率法己乙【大分之軸線】與戊乙【半長徑線】甲己【小分之軸線】並若角體甲庚壬之容與撱圓小分庚己壬甲之容 若求大分之容先求角體庚 壬乙之容次用三率法甲己 【小分之軸線】與甲乙【長徑】戊乙【半長徑】 並若角體庚壬乙之容與撱圓大分庚己壬乙之容 量無法之體 解曰以錫為正方櫝各邊一尺或五寸若用木則以三 和灰塗其罅令不漏實之以水投所 量物其中則水溢取出物量水減幾 何得物之容如減一寸而櫝邊設一 尺則得一百寸為物之容蓋各邊一 尺上面積為一百寸水減一寸則為 一百寸若水減不及寸或過焉則量若干分以面積乘之得物之容 新法算書卷九十二