新法算書 · 卷八十六
欽定四庫全書
新法算書卷八十六 明 徐光啟等 撰幾何要法
界説章第一【凡八則】
第一界
方形者四直線兩縱兩橫相遇所成亦謂之四邊形如上甲圖
第二界
四邊形之四線等而四直角者為直角方形如上甲圖
第三界
四邊兩兩相等而俱直角者為長直方形如上乙圖
第四界
四邊等但非直角者為斜方形如上丙圖
第五界
四邊兩兩相等但非直角者為長斜方形
如上丁圖
第六界
已上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆謂之無法四邊形如上
戊圖等本卷多以直方形為論為其多有用也
第七界
凡形毎兩邊有平行線為平行線方形如上已圖
第八界
凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角線又於兩邊縱橫各作一平行線其兩平行線與對角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為余方形如甲乙丙丁方形於丙乙兩角作一線為對角線又依乙丁平行作戊巳線依甲乙平行作庚辛線其對角線與戊巳庚辛兩線交羅相遇於壬即作大小四平行線方形矣則庚壬巳丙及戊壬辛
乙謂之角線方形而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘方形
審矩章第二
凡作方形必欲用矩故先論審矩法後論棄矩求方之法矩以兩尺縱橫而成然必成直角方准若稍出入必為鋭鈍兩角而不成矩今欲審直角先審兩尺之棱如首卷第
一法後於他堅體上作半圜中畫徑線次以矩角倚半圜之界視二尺棱正切徑線與圜相交處則矩准而可用矣若有出入則當更改或于堅體上作一直線更作一垂線四邊作直角以一矩准四直角不爽則至准矣
一直線上求立直角方形章第三
如甲乙線上求立直角方形先於甲乙兩界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等次作丁丙線相聯即得所求
有直線形求作直角方形與之等章第四
甲直線無法四邊形求作直角方形與之等先作乙丁形與甲等【本卷第五第六章】而直角次任用一邊引長之如丁丙引之至己而丙己與乙丙等次以丁己兩平分於庚其庚防或在丙防或在丙防之外若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣若庚在丙外即以庚為
心丁己為界作丁辛己半圜末從乙丙線引長之遇圜界於辛即丙辛上直角方形與甲等如上圖丙辛壬癸
有三角形求作平行方形與之等而方形角又與所設角等章第五
設甲乙丙角形丁角求作平行方形與甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為兩平分如乙丙邊平分於戊次作丙戊己角與丁角等次自甲作直線與乙丙平行而與戊己線遇於己末自丙作直線與戊己平行為
丙庚而與甲己線遇於庚則得己戊丙庚平行方形與甲乙丙角形等而有丁角
有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角又與所設角等章第六
設甲乙丙五邊形丁角求作平行方形與五邊形等而有丁角先分五邊形為甲乙丙三【三角】形次依前章法作戊己庚辛平行方形與甲等而有丁角次於戊辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形與
乙等而有丁角末復引前線作壬癸子丑平行方形與丙等而有丁角即此三形並為一平行方形與甲乙丙並形等而有丁角自五邊以上可至無竆俱仿此法
有多直角方形求並作一直角方形與之等章第七
如五直角方形以甲乙丙丁戊為邊任等不等求作一直角方形與五形等先作己庚辛直角而己庚線與甲等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線
旋作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線而己子線上所作直角方形即所求
有平行方形求作三角形與之等而三角形角如所設角等章第八
如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角與戊等遇甲丙線於己次以乙丁線引長之為庚取丁庚度與乙丁等
末作己庚直線乙丙庚三角形與甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求
一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角又與所設角等章第九
設甲線乙角形丙角求於甲線上作平行方形與乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚
平行方形與乙角形等而戊己庚角與
丙角等次於庚己線引長之作己辛線
次作辛壬線與戊己平行次於丁戊引
長之與辛壬線遇於壬次自壬至己作
對角線引出之又自丁庚引長之與對
角線遇於癸次自癸作直線與庚辛平行又於壬辛引長之與癸線遇於子末於戊己引長之至癸子線得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即於甲線立形則先依本章法作己辛子丑方形次於甲線一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求
設不等兩直角方形如一以甲為邊一以乙為邊求別作兩直角方形自相等而並之又與元設兩形並等章第十
先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直角
而丙丁線與乙等次作戊丁線相聯末
於丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半
於直角己戊己丁兩腰相遇於己而等
即己戊己丁兩線上所作兩直角方形自相等而並之又與丙戊丙丁上所作兩直角方形等
兩直線形不等求相等之較幾何章第十一
甲與乙兩直線形甲大於乙以乙減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行方形與甲等次於丙丁線上依丁角作丁
丙辛庚平行方形與乙等即得辛庚戊
己為相減之較矣
有圜求作一直角方形與之等章第十二
方圓圓方之法自古名賢究折而未准
吾師丁先生幾何六卷之末設此神法
其法之用甚廣今撮其要以推作方圓
圓方之法先設甲乙丙丁直角方形次
以乙為心以甲為界作甲丁限象任分
為若干度今姑分為九十度又分甲乙丙丁兩線如前數為九十次自乙心至象限逐度皆作虛線次從甲乙丙丁兩線對望作平行線其與限象線交處俱作?次從甲作曲線貫諸防貫諸防之線則甲戊線為方圓圓方之根線而乙甲為邊乙丁為底次自甲至戊作一直線若乙戊直線與所設欲方之圜半徑等則甲乙線為所設圜限象之界線若圜半徑長則於乙丁線上截乙己與半徑等引長甲乙線作己庚與戊甲線平行庚至乙即長徑圜限象之界線若圜半徑短則於乙丁線上截乙辛與半徑等作辛壬線與戊甲平行則壬至乙即短徑圜限象之界線今有
子丑圜或大或小其半徑與乙辛等先
作一寅卯直線立一辰己垂線次從己
起取己午午未各與乙壬等次取己申
與乙辛等次兩平分申未於酉以酉為
心以申或未為界作半圜切垂線於辰
末取己辰作直角方形之一邊則此方
形與所設圜等以此可推不特一方與一圜即方之一邊線與圜一限象等方之半邊線與圜半限象等
有直角方形求作一圜與之等章第十三
如有甲線為方之邊先取一圜依前法
求其作方之線如前度得申己次作辰
申直線次截戊己如所設甲線等次自
戊作戊卯線與辰申平行末以己卯為
半徑之度作一圜即得所求
推用一法
依兩章方圓圓方之法可推任有直線形可作一圜與之等又任設一圜可作直線形與之等須先依前章法求多邊直線形作一方形與之等次依本章法作一圜形與直角方形等則得一圜與所設直線形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方與所設圜等次依前法作三角形如所設方形等則所作三角形如原設圜等
新法算書卷八十六